Teorema de multiplicación de probabilidades

El teorema de la multiplicación de probabilidades era conocido por casi todos los

estudiosos a través de cálculos particulares. Sin embargo, fue Abraham De Moivre (1667–

1754) el primero que los enunció con autoridad. En la introducción a su obra Doctrina de

las Posibilidades de 1711, De Moivre presentó el importante concepto de independencia de

sucesos aleatorios; así, escribió: «Diremos que dos sucesos son independientes, si uno de

ellos no tiene ninguna relación con el otro» y procedió a definir los sucesos dependientes:

«Dos sucesos son dependientes si están ligados el uno al otro y la probabilidad de

ocurrencia de uno de ellos influye en la probabilidad de ocurrencia del otro». Una vez

hecho esto, De Moivre lo aplicó al cálculo de probabilidades: «la probabilidad de

ocurrencia de dos sucesos dependientes es igual a la probabilidad de ocurrencia de uno de

ellos dividida por la probabilidad de que el otro ocurra si el primero ya ha ocurrido. Esta

regla puede generalizarse para varios sucesos». El caso de varios sucesos lo describía así:

«Se necesita elegir uno de ellos como el primero, otro como el segundo, y así. Luego, la

ocurrencia del primero debe considerarse independiente de todas las demás; el segundo

debe considerarse con la condición de que el primero ha ocurrido: el tercero con la

condición de que tanto el primero como el segundo han ocurrido, y así. De aquí, la

probabilidad de las ocurrencias de todos los sucesos es igual al producto de todas las

probabilidades». O en notación moderna:

P{A1 ∩ A2….A N}=P{A1} P{A⋅ 2 | A1} P{A⋅ 3 | A1 ∩ A2}…. P{A⋅ N |A1 ∩…. AN-1}

De Moivre acompañó sus afirmaciones con ejemplos resueltos. También fue consciente

de que lo verdaderamente difícil de este teorema es descubrir cuándo dos sucesos son o no

independientes.

Cuando un acontecimiento resulta del concurso de dos acontecimientos A y B, la

probabilidad es igual a la de uno de ellos, A, por ejemplo, multiplicada por la probabilidad

nueva que corresponde al acontecimiento B cuando se sabe que A se ha realizado.

Si la probabilidad del acontecimiento B no se modifica por la llegada previa del

acontecimiento A se dice que ambos acontecimientos son independientes.

Ejemplo:

Probabilidad de sacar 2 reyes de una baraja de 52 cartas

P(A) = 4/52 = 0,0769

Casos favorables 4, los 4 reyes

Casos posibles 52, las 52 cartas.

P(B) = 3/51 = 0,0588

Casos favorables 3, los 3 reyes que quedan porque YA ha salido un rey.

Casos posibles 51, falta el rey que ya hemos extraído en A

P(AB) = (4/52) * (3/51) = 0,0045

Si al sacar la carta en el caso A se devolviera a la baraja entonces los casos serían

independientes y su probabilidad

P(AB) = (4/52) * (4/52) = 0,0059

Teorema De Multiplicación (O De Las Probabilidades Compuestas).

 Si para que se produzca un acontecimiento, debe producirse un acontecimiento A y

además un acontecimiento B, la probabilidad compuesta del primer acontecimiento es igual

a la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad condicionada de B después de

realizarse A. Simbólicamente se escribe:

 

En donde  es la probabilidad de B después de realizarse A.

 Ejemplo:

¿Qué probabilidad hay de que extrayendo dos cartas de una baraja de 52 cartas bien

mezcladas se obtengan dos ases? Obsérvese que la extracción es exhaustiva; es decir, que

una vez sacado un naipe, éste no se repone a la baraja.

La probabilidad de que el primer naipe sea un as es:

 

Una vez sacado el primer as, quedan sólo 3 ases en la baraja de 51 cartas; por tanto,

la probabilidad de sacar otro as es:

 

Así pues, la probabilidad buscada es:

 

Observación al teorema de multiplicación:

Si la probabilidad del acontecimiento A no es modificada por la realización del

acontecimiento B, se dice que los acontecimientos A y B son independientes y entonces el

teorema de multiplicación se escribe:

 

 

Ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de sacar no exhaustivamente dos ases de una baraja de 52 cartas?

Este es el caso en que después de sacar el primer as, éste se devuelve a la baraja y se

mezcla de nuevo antes de buscar el segundo as. Entonces la probabilidad es:

 

Teorema De La Multiplicación para Probabilidad Condicional.

Tomando como referencia la fórmula de probabilidad condicional,

                                           

Despejando:

 p (AÇE) = p(E)p(A½E)   Teorema  de la multiplicación para probabilidad condicional

Donde:

p(AÇE) = probabilidad de que ocurran A y E

p(E) = probabilidad de que ocurra E

p(A½E) = probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento E ya ocurrió

Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un

evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un

caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez

tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Ejemplo:

Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el

resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara

o sello, en el segundo lanzamiento.

Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno

de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso,

empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la

probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de

ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)

Ciertas Reglas de Multiplicación

Se relacionan con la determinación de la ocurrencia de conjunta de dos o más

eventos. Es decir la intersección entre los conjuntos de los posibles valores de A y los

valores de B, esto quiere decir que la probabilidad de que ocurran conjuntamente los

eventos A y B es:

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes

P(A y B) = P(A B) = P(B)P(A|B) si A y B son dependientes

Si se tienen varios eventos sucesivos e independientes entre sí, la probabilidad de

que ocurran todos ellos a la vez corresponde a la multiplicación de las probabilidades de

cada uno de los eventos.

Ejemplo:

 Si se responden al azar cuatro preguntas con cinco opciones cada una, ¿cuál es la

probabilidad de acertar a todas?

La probabilidad de acierto en cada una de las preguntas es 1/5. Por lo tanto, la probabilidad

de acertar en las cuatro es: