Teorema de Green
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TEOREMA DE GREEN
El “Teorema de Green” es un resultado que permite expresar una integral doble sobre una región “D” en una integral de línea a la largo de la curva cerrada “C” que constituye la frontera de la región “D”.
∮𝐶
❑
𝑃ⅆ 𝑥+𝑄ⅆ 𝑦=∬𝐷
❑
(𝜕𝑄𝜕𝑥 − 𝜕𝑃𝜕 𝑦 )ⅆ 𝑥ⅆ 𝑦
• PARA CONJUNTOS LIMITADOS POR CURVAS CERRADAS SIMPLES
Sea y funciones reales de clase sobre un conjunto abierto . Sea “C” una curva cerrada simple que constituye
la frontera de la región . Entonces:
Ejemplo:
Hallar el valor de la integral:
∮𝐶
❑
( 𝑦2+𝑥3 )ⅆ 𝑥− (𝑥4 )ⅆ 𝑦
Donde “C” es el perímetro de en sentido anti horario.
Corolario: Sea “C” una curva cerrada simple regular a trozos, y sea “D”la región interior a “C”. Entonces su ´área es
𝐷=12∮𝐶
❑
𝑥ⅆ 𝑦− 𝑦ⅆ 𝑥=∮𝐶
❑
𝑥ⅆ 𝑦=−∮𝐶
❑
𝑦ⅆ 𝑥
Ejemplo:Hallar el área encerrada por la hipocicloide de ecuación:
• Condicion necesaria y suficiente para que un campo vectorial de dimensión sea una gradiente sobre conjuntos simples conexos
TEOREMA 1Si es un campo vectorial de clase sobre un conjunto simple conexo D entonces:
𝜕𝑃𝜕 𝑦 =
𝜕𝑄𝜕𝑥
TEOREMA 2Si es un campo vectorial de clase sobre un conjunto simple conexo D entonces para toda curva cerrada simple y seccionalmente regular “C” contenida en “D” :
∮𝐶
❑
𝑃ⅆ 𝑥+𝑄ⅆ 𝑦=0⇔ 𝜕𝑃𝜕 𝑦 =𝜕𝑄
𝜕 𝑥
TEOREMA 3Sean de clase sobre un dominio simple conexo D sean y dos puntos cualesquiera en “D” y sean y dos caminos seccionalmente regulares en “D” que une a com entonces: 𝐶1
𝐶2
D
𝜕𝑃𝜕 𝑦 =𝜕𝑄
𝜕𝑥 ⇔∮𝐶1
❑
𝑃ⅆ 𝑥+𝑄ⅆ 𝑦=∮𝐶2
❑
𝑃 ⅆ 𝑥+𝑄ⅆ 𝑦