Teorema de Green

El teorema de Green relaciona una integral doble sobre una region del plano con una integral curvilıneasobre el borde.

Curva de Jordan.-: Es una curva cerrada en el plano que no se corta a si misma.

Region simplemente conexa.- Una region D es simplemente conexa si es conexa y el interior detoda curva de Jordan C contenida en D esta tambien contenida en D.

Teorema de Green.- Sea D una region simplemente conexa con un borde C (suave) orientado po-sitivamente. Si el campo vectorial F (x, y) = M(x, y)i + N(x, y))j es continuamente diferenciable en Dtenemos que

∫D

M dx+N dy =

∫ ∫D

∂N

∂x− ∂M

∂ydA

1

Una region estandar es una que ninguna recta vertical ni horizontal corta a la frontera en mas de 2puntos.

Dem: Primero demostraremos Teo. de Green para una region estandar.

Supongamos que D es una region estandar con borde C. Comenzamos demostrando que

∫ ∫D

∂M

∂ydx dy =

∫C

M dx

Como D es una region estandar, la frontera C se compone de una porcion interior C1 y una porcionsuperior C2 que son las graficas de dos funciones f1(x) y f2(x) respectivamente, en un cierto intervaloa ≤ x ≤ b. En esta situacion podemos calcular la integral doble por integracion iterada

∫ ∫D

∂M

∂ydx dy =

∫ ∫D

∂M

∂ydy dx =

∫ b

a

∫ f2(x)

f1(x)

∂M

∂ydy dx =

∫ b

a

M [x, f2(x)] dx−∫ b

a

M [x, f1(x)] dx =

∫−C2

M dx−∫−C1

M dx = −[∫

C2

M dx+

∫C1

M dx

]= −

∫C

M dx

Analogamente

∫ ∫D

∂N

∂xdx dy =

∫C

N dy

∴∫ ∫

D

∂N

∂x− ∂M

∂ydA =

∫ ∫D

∂N

∂xdx dy −

∫ ∫D

∂M

∂ydx dy =

∫C

N dy −∫C

−M dx =

∫C

M dx+N dy

Area como Integral Curvilınea

Sea D una region simplemente conexa con borde C liso a trozos. El area A de la region D es igual a laintegral

2

A =1

2

∫C

−y dx+ x dy

Dem: Sea F (x, y) = −yi + xj. Como F es continuamente diferenciable en D, se puede aplicar elTeo. de Green.

∫C

−y dx+ x dy =

∫ ∫D

∂

∂x(x)− ∂

∂y(−y) dA =

∫ ∫D

2 dA = 2A

∴ A =1

2

∫−y dx+ x dy

Este resultado suministra otra tecnica mas para hallar el area de una region, especialmente cuandola frontera esta dada en forma parametrica.

Formas alternativas del teorema de Green

Si F es un campo vectorial en el plano, se puede escribir F (x, y, z) = Mı + N + K0 y al calcular elrotacional

rotF = V × F =

∣∣∣∣∣∣∣ı K∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zM N 0

∣∣∣∣∣∣∣ = −∂N∂z

ı+∂M

∂z+

[∂N

∂x− ∂M

∂y

]K

∴ (rotF ) ·K =

[−∂N∂z

ı+∂M

∂z+

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)K

]·K =

∂N

∂x− ∂M

∂y

∴ Una forma vectorial del teorema de Green

∫ ∫R

∂N

∂x− ∂M

∂ydA =

∫C

F · dR =

∫ ∫R

rotF ·K dA

La extension de esa forma vectorial del teorema de Green a superficies en el espacio se conoce comoel teorema de Stokes.

3

Otra forma vectorial el teorema de Green

Sea r(S) = x(S)ı+ y(S)∴ r′(S) = x′(S)ı+ y′(S)Y el vector normal se puede escribir como−y′(S)ı+ x′(S) = N(S)y′(S)ı− x′(S) = N(S)

Entonces al F (x, y) = Mı+N se le aplica el teorema de Green para obtener

∫C

F · N dS = ba (Mı+N) − (y′(S)ı− x′(S)) dS =

∫ b

a

M∂y

∂S− N ∂x

∂SdS =

∫C

M dy − N dx =∫C

−N dx+M dy =

∫ ∫R

(∂M

∂x+∂N

∂y

)dA =

∫ ∫R

divF dA

∴∫C

F ·N dS =

∫ ∫R

div F dA

La generalizacion de esta forma a tres dimensiones se llama Teorema de la divergencial (Gauss).

Ejemplos: Compruebe que se verifica el teorema de Green para la integral curvilınea

∫t

−y dx + x dy

donde C es la curva cerrada

C1 := x = t y = 0 − 1 ≤ t ≤ 1dx = dt dy = 0

C2 := x = cos t y = sin t t ∈ [0, π]dx = − sin t dy = cos t

4

Por tanto

∫C

−y dx+ x dy =

∫C1

−y dx+ x dy +

∫C2

−y dx+ x dy =

∫ 1

−10 dt+ t− 0 +

∫ π

0

− sin t

(− sin t) + cos t(cos t) =

∫ π

0

sin2 t+ cos2 t dt = π

Ahora calculamos esa misma integral usando el teorema de Green. Observese que la curva fronteraes simple y M = −y N = x luego F (x, y) = −yı + x es continuamente deferenciable. El dominioD esta definido por las relaciones 0 ≤ y ≤

√1− x2 − 1 ≤ x ≤ 1. Aplicamos ahora el teorema de

Green

∫C

−y dx+ x dy =

∫ ∫D

∂

∂xx− ∂

∂y(−y) =

∫ 1

−1

∫ √1−x2

0

2 dy dx = 21

2(π) = π

Calculo del Trabajo por el teorema de Green

Sea C el camino cerrado en el plano. Halle el trabajo realizado por la fuerza F (x, y) = (x + xy2)ı +2(x2y − y2 sin y)

Por tanto se satisfacen las hipotesis del teorema de Green. Ası tenemos que

Sol.- El trabajo realizado W es igual al valor de

la integral curvilınea

∫C

F · dR Observese que F

es continuamente derivable en D y que D es unaregion simplemente conexa con un borde C orientadopositivamente.

W = CF · dR =

∫ ∫D

∂

∂x

(2x2y − 2y2 sin y

)− ∂

∂y

(x+ xy2

)dA =

∫ ∫D

4xy − 2xy dy dx =

2

∫ 1

0

∫ 1

x2

xy dy dx = 2

∫ 1

0

1

2xy2∣∣∣∣y=1

y=x2

=

∫ 1

0

x− x5 dx =1

2x2 − x6

6

∣∣∣∣10

=1

3

5

Area de una elipse

Demuestre que la elipsex2

a2+y2

b2= 1 tiene area πab

Sol.- Las ecuaciones parametricas de la elipse C son x = a cos θ y = b sin θ con 0 ≤ θ ≤ 2π.Entonces dx = −a sin θ dθ dy = b cos θ dθ.

Si designamos por A el area de la elipse tenemos

A =1

2

∫C

−y dx+ x dy =1

2

∫ 2π

0

−(b sin θ)(−a sin θ) dθ + (a cos θ)(b cos θ) dθ =

=1

2

∫ 2π

0

ab(cos2 θ + sin2 θ) dθ =1

2

∫ 2π

0

ab dθ =1

2ab2π = πab

Ejemplo.- Calcular el area de la region encerrada por la hipocicloide definida por x23 + y

23 = a

23

usando la parametrizacion x = a cos3 θ y = a sin3 θ con 0 ≤ θ ≤ 2π.

Sol.- A =1

2

∫∂D

x dy − y dx =

1

2

∫ 2π

0

(a cos3 θ)(3a sin2 θ cos θ)−(a sin3 θ)(−3a cos2 θ sin θ)dθ =

=3

2a2∫ 2π

0

(sin2 θ cos4 θ + cos2 θ sin4 θ) dθ =

=3

2a2∫ 2π

0

sin2 θ cos2 θ dθ =3

8a2∫ 2π

0

sin2 2θ dθ =3

8a2∫ 2π

0

1− cos 4θ

2dθ =

3

16a2∫ 2π

0

dθ − 3

16a2∫ 2π

0

cos 4θ dθ =3

8πa2

6