TEOREMA DE BERNOULLI I.OBJETIVOS: Demostrar el Teorema de Bernoulli a travs de prcticas experimentales por medio de los tubos de Pitot y las medidas piezometricas. II.FUNDAMENTO TERICO: Bernoulli, Teorema de, principio fsico queimplica la disminucindela presin deun fluido (lquido o gas) en movimiento cuando aumenta su velocidad. Fue formulado en 1738por el matemticoy fsicosuizo DanielBernoulli,yanteriormentepor Leonhard Euler.Elteoremaafirmaquelaenergatotaldeunsistemadefluidosconflujo uniforme permanece constante a lo largo de la trayectoria de flujo. Puede demostrarse que,comoconsecuenciadeello,elaumentodevelocidaddelfluidodebeverse compensado por una disminucin de su presin. Paraellosepuedeconsiderarlospuntos1y2,deunfluidoenmovimiento, determinandolaenergamecnicadeunaporcindeste,alolargodelfiletede fluido en movimiento que los une. Simeslaporcindemasaconsiderada,v surapidez,Y laalturasobreelnivel tomado como base,p la presin y la densidad en cada uno de los puntos, se puede escribir utilizando el teorema trabajo-energa cintica: .21212222211121 m pmgY mvm pmgY mv + + = + + Siahorasedivideatodoslostrminosdelosdosmiembros,entrelamasa considerada,seobtendrlaecuacindeBernoulli,quecorrespondealaleydela conservacindelaenergaporunidaddemasa.Sielfluidoesincompresible,como supondremosenlosucesivo,donde = =2 1,laecuacindeBernoulliadoptala forma: .212122222 2 121 1 m pgY v p gY v p + + + = + +El teorema se aplica al flujo sobre superficies, como las alas de un avin o las hlices de un barco. Las alas estn diseadas para que obliguen al aire a fluir con mayor velocidad sobrelasuperficiesuperiorquesobrelainferior,porloquelapresinsobreesta ltima es mayor que sobre la superior. Esta diferencia de presin proporciona la fuerza desustentacinquemantienealavinenvuelo.Unahlicetambinesunplano aerodinmico, es decir, tiene forma de ala. En este caso, la diferencia de presin que se producealgirarlahliceproporcionaelempujequeimpulsaalbarco.Elteoremade Bernoullitambinseempleaenlastoberas,dondeseaceleraelflujoreduciendoel dimetrodeltubo,conlaconsiguientecadadepresin.Asimismoseaplicaenlos caudalmetros de orificio, tambin llamados venturi, que miden la diferencia de presin entreelfluidoabajavelocidadquepasaporuntubodeentradayelfluidoaalta velocidadquepasaporunorificiodemenordimetro,conloquesedeterminala velocidad de flujo y, por tanto, el caudal. Considerandoelcaudalendosseccionesdiferentesdeunatuberayaplicandolaley de conservacin de la energa, la ecuacin de Bernoulli se puede escribir como: 222 2121 12 2ZgV PZgV P+ + = + + . (1) Y, ene este equipo2 1Z Z = ;yh P = Conesto,sequieredemostrarenestasprcticasque,paraunatuberadadacondos secciones,1y2,laenergaentrelasseccionesesconstante.Lasumadelostres trminos anteriores esconstante y, por lo tanto, el teorema de Bernoulli queda como sigue: gV PH22+ = . (2) Donde: gV22= Altura cintica hP==Alturapiezomtrica:eslaalturadeunacolumnadeaguaasociadaconla presin del campo gravitacional. Representacin grafica del teorema de Bernoulli. Figura 1 Enestasbasestericas,seconsideraqueelfluidoesideal,perolaspartculasrozan unas con otras. En este proceso la velocidad de las partculas disminuye y la energa del sistema se transforma en calor. Se considera que H es la prdida de presin entre las dos secciones, por lo que: H Q g P A = A . (3) Donde: Q gPH A= A. (4) Donde: P es la perdida de potencial. Con esto, se considera la ecuacin de Bernoulli como: H ZgV PZgV PA + + + = + +222 2121 12 2 . (5) TUBOS DE PITOT El tubo dePitotesun tubo vertical en su mayor parte,y horizontal en su extremo,el cualsesumergeencontradelflujo,talcomosemuestraenlafigura.Eltuboest abiertoporambasextremidades.Lavelocidadypresindelagua,hacequeesta ascienda en el tubo, hasta que la presin de la columna de agua equilibre la energa de velocidad del agua y de presin en el punto 2. EltubodePitotsirveparacalcularlapresintotal,tambinllamadapresinde estancamiento (suma de la presin esttica y de la presin dinmica). La operativa con un tubo de Pitot es: En primer lugar, se considera un obstculo fijo en el fluido en movimiento Figura 2 L a lnea P termina en el punto de impacto (P), si se hace un orificio en este punto P y se une ste con un tubo de medida, se est midiendo la presin total. Se puede tambin conocer la velocidad en la tubera, esto es: gV PgV P2 222 221 1+ = + . (6) V1 = V (Velocidad de las partculas), V2 = 0 hP PgVA ==1 222h g V A = 2 (7) III.DESCRIPCION DEL EQUIPO Descripcin: ElequipodedemostracindelteoremadeBernoulli,FME03,estformadoporun conductodeseccincircularconlaformadeunconotruncado,transparenteycon sietellavesdepresinquepermitenmedir,simultneamente,losvaloresdepresin esttica que correspondiente a cada punto de las siete secciones diferentes. Todas las llaves de presin estn conectadas a un manmetro con un colector de agua presurizada o no presurizada. Los extremos de los conductos son extrables, por lo que permiten su colocacin tanto de forma convergente como divergente con respeto a la direccin del flujo. Hay tambin una sonda (tubo de Pitot) movindose a lo largo de la seccin para medir la altura en cada seccin (presin dinmica) La velocidad de flujo en el equipo puede ser modificada ajustando la vlvula de control y usando la vlvula de suministro del Banco o Grupo Hidrulico. Unamangueraflexibleunidaalatuberadesalidasedirigealtanquevolumtricode medida. Para las prcticas, el equipo se montar sobre la superficie de trabajo del banco. Tiene patas ajustables para nivelar el equipo. La tubera de entrada termina en un acoplamiento hembra que debe de ser conectado directamente al suministro del banco. IV.DATOS A CONSIGNAR ESPECIFICACIONES Rango del manmetro: O - 300 mm. De agua. Nmero de tubos manomtricos: 8 Dimetro del estrangulamiento aguas arriba: 25 mm. Estrechamiento. -Estrechamiento aguas arriba: 100 -Estrechamiento aguas abajo: 210 DIMENSIONES Y PESOS: -Dimensiones aproximadas: 800x450x700mm. -Peso aproximado: 15kg. -Volumen aproximado: 0.25 m3 V.MATERIALES Banco Hidrulico (FME 00) o Grupo Hidrulico (FME00/B). Cronmetro.VI.PROCEDIMIENTO COMO LLENAR LOS TUBOS MANOMTRICOS: Enestaseccin,seexplicaelprocedimientoaseguirparauncorrectollenadodelos tubos manomtricos. 1.Cerrar la vlvula de control del Banco o Grupo Hidrulico (VC) y cerrar tambin la vlvula de control de flujo del equipo (VCC). 2.PonerenmarchalabombadeaguayabrircompletamentelavlvulaVCC.Abrir despaciolavlvulaCVhastaquesealcanceunflujomximo.Cuandotodoslos tubosmanomtricosestncompletamentellenosdeaguaynohayninguna burbuja de aire, cirrese VC y VCC. 3.Es muy importante que el equipo sea un compartimiento estanco. 4.Retrese la vlvula anti-retomo o brase la vlvula de purga. 5.AbrasedespaciolavlvulaVCC.Sepuedeobservarcomolostuboscomienzana llenarse de aire. 6.Cuandotodoslostuboshanobtenidolaalturadeseada(3040mm.),cierrela vlvula VCC y coloque la vlvula anti-retomo VCC o cierre la vlvula de purga. 7.Abrirlavlvuladecaudal delBanco oGrupoHidrulico ylavlvuladeregulacin del equipo. 8.Fijar un caudal y anotar su valor. 9.Colocar el tubo de Pitot en la primera toma de presin de mnima seccin. Esperar a que la altura en el tubo manomtrico de Pitot se estabilice. Este proceso puede tardar unos minutos. 10.Cuandolaalturadeambostubosseaestable,determinarladiferenciadealtura entre los dos tubos manomtricos; presin esttica "hi" y presin total "htp" (tubo de Pitot). 11.La diferencia corresponde a la presin cintica dada por "V2/2g". 12.Determinarlaseccinconlasiguienteecuacin:S=Q/V,dondeQeselcaudalde agua y V es la velocidad obtenida en dicha seccin. 13.Repetir todos los pasos descritos anteriormente para cada toma de presin. 14.Repetir los pasos previos para diferentes caudales de agua. 15.Paracadacaudaldeagualaseccindebesermsomenoslamisma.Calcularla media de las secciones obtenidas con diferentes caudales de agua. TABLA N 01 TABLA N 06 TABLA N 05 TABLA N 04 TABLA N 03 TABLA N 02 VII.RESULTADOS Anoteenlatablaparacadaposicindeestrangulamientolavelocidaddelfluidoyla altura cintica. 1.Cuando el tubo de pitot se encuentra en la seccin inicial S7 (mm)S0(mm)SO-S7(mm)Volumen (litros)Tiempo (s)Caudal ( m3/s) 1961583838.90.0003371 1981554338.80.0003409 2001544639.70.0003093 2.Cuando el tubo de pitot se encuentra en la seccin 1 S7 (mm)S1S1-S7Volumen (litros)Tiempo (s)Caudal ( m3/s) 3951502453420.000071 420125295341.30.000073 434110324342.10.000071 3.Cuando el tubo de pitot se encuentra en la seccin 2 S7 (mm)S2S2-S7Volumen (litros)Tiempo (s)Caudal ( m3/s) 1506288333.120.0000906 1488563329.250.0001026 1528468331.320.0000958 4.Cuando el tubo de pitot se encuentra en la seccin 3S7 (mm)S3S3-S7Volumen (litros)Tiempo (s)Caudal ( m3/s) 22488136319.570.0001533 22884144320.030.0001498 23082148318.540.0001618 5.Cuando el tubo de pitot se encuentra en la seccin 4 S7 (mm)S4S4-S7Volumen (litros)Tiempo (s)Caudal ( m3/s) 12310518346.710.00006423 12210517231.770.00006295 12110714119.930.00005018 6.Cuando el tubo de pitot se encuentra en la seccin 5. S7 (mm)S5S5-S7Volumen (litros)Tiempo (s)Caudal ( m3/s) 14811830112.010.00008326 14211428112.470.00008019 14111229113.050.00007663 TABLA N 07 Para completar la tablase siguen los siguientes pasos para el clculo correspondiente: Para el clculo del caudal: De la ecuacin: Donde:-Q: caudal (m3/s) -V: volumen (litros) -t: tiempo (s) Para el clculo de las seccionesdecada punto medido.estos sedeben hallar por ecuacionestrigonomtricas,teniendoencuentaeldimetrodelducto,ylos ngulos de estrechamientoaguas arriba y aguas abajo: Los cuales son: -Estrechamiento aguas arriba: 100 -Estrechamiento aguas abajo: 210 Adems el dimetro de la tubera es 25 mm. Posicin0123456 Longitud2.58.99.910.31112.419.4 Seccin (m2)19.63x10-468.41x10-480.12x10-485.07x10-494.08x10-4113.47x10-4237.62x10-4 Para el clculo de la velocidad, se procede a aplicar la ecuacin de continuidad en dos puntos, y se estima con la siguiente ecuacin. V (velocidaden m/sg.) = Q/S De la ecuacin:Donde: V: velocidad (m/s) G: gravedad (g= 9.806 m/s2) : Diferencia de altura (mm) Para el clculode la altura cintica se tiene la ecuacin:

altura cinetica Donde:V: velocidad (m/s) G: gravedad (g= 9.806 m/s2) : Altura cintica (mm) Calculo de la altura piezometrica De la ecuacin:

: altura piezometrica Donde:h: altura (metros ledos en cada lectura dela prctica para cada punto) TABLA N 01 TABLA N 02 TABLA N 03 TABLA N 04 TABLA N 05 TABLA N 06 Despus de haber realizado los calculo correspondientes se procede a llenaro completar las siguientes tablas para diferentes alturas de presin: Caudal (m3/s) velocidad (m/s) seccin (m2) altura cintica (m.c.a) S0-S7 (m.c.a) altura piezometrica (m.c.a) altura total (cin+piez) (m.c.a) Pitot (m.c.a) 0.00033710.17170.0019630.001503488380.19600.1975034880.158 0.00034090.17370.0019630.001537852430.19800.1995378520.155 0.00030930.15760.0019630.001265717460.20000.2012657170.154 Caudal (m3/s) velocidad (m/s) seccin (m2) altura cintica (m.c.a) S1-S7 (m.c.a) altura piezometrica (m.c.a) altura total (cin+piez) (m.c.a) Pitot (m.c.a) 0.0000710.01040.0068415.55882E-062450.39500.3950055590.15 0.0000730.01060.0068415.74885E-062950.42000.4200057490.125 0.0000710.01040.0068415.53245E-063240.43400.4340055320.11 Caudal (m3/s) velocidad (m/s) seccin (m2) altura cintica (m.c.a) S2-S7 (m.c.a) altura piezometrica (m.c.a) altura total (cin+piez) (m.c.a) Pitot (m.c.a) 0.00009060.01130.0080126.51716E-06880.15000.1500065170.062 0.00010260.01280.0080128.35578E-06630.14800.1480083560.085 0.00009580.01200.0080127.28778E-06680.15200.1520072880.084 Caudal (m3/s) velocidad (m/s) seccin (m2) altura cintica (m.c.a) S3-S7 (m.c.a) altura piezometrica (m.c.a) altura total (cin+piez) (m.c.a) Pitot (m.c.a) 0.00015330.01800.0085071.65572E-051360.22400.2240165570.088 0.00014980.01760.0085071.58054E-051440.22800.2280158050.084 0.00016180.01900.0085071.8448E-051480.23000.2300184480.082 Caudal (m3/s) velocidad (m/s) seccin (m2) altura cintica (m.c.a) S4-S7 (m.c.a) altura piezometrica (m.c.a) altura total (cin+piez) (m.c.a) Pitot (m.c.a) 0.000064230.00680.0094082.37633E-06180.12300.1230023760.105 0.000062950.00670.0094082.28302E-06170.12200.1220022830.105 0.000050180.00530.0094081.45034E-06140.12100.121001450.107 Caudal (m3/s) velocidad (m/s) seccin (m2) altura cintica (m.c.a) S5-S7 (m.c.a) altura piezometrica (m.c.a) altura total (cin+piez) (m.c.a) Pitot (m.c.a) 0.000083260.00730.0113472.74555E-06300.14800.1480027460.118 0.000080190.00710.0113472.54673E-06280.14200.1420025470.114 0.000076630.00680.0113472.32539E-06290.14100.1410023250.112 VIII.CUESTIONARIO 1)Tomando uncaudalpromedio, (para esto se debe interpolar)graficar un diagrama de evolucin de las alturas cintica, piezomtrica y totalen una escala conveniente y en un mismo grafico para todos los puntos: 2)Definir que es Presin Dinmica y que es Presin Esttica, y cul es la diferencia entre ambas. PRESION DINAMICA Sepuededecirquecuandolosfluidossemuevenenunconducto,lainerciadel movimientoproduceunincrementoadicionaldelapresinestticaalchocar sobreunreaperpendicularalmovimiento.Estafuerzaseproduceporlaaccin delapresinconocidacomodinmica.Lapresindinmicadependedela velocidad y la densidad del fluido. En mecnica de fluidos Se define como presin dinmica en la cantidad definida por: Donde (utilizando unidades del sistema internacional): q : presin dinmica en pascales : densidad del fluido en kg/m3 (e.g. densidad del aire)v : velocidad del fluido en m/s -0.05000000.00000000.05000000.10000000.15000000.20000000.25000000.30000000.35000000.40000000.45000000 1 2 3 4 5 6ALTURA (m) NUMERO DE PIEZOMETRO altura cineticaaltura piezometricaaltura total (cin+piez)PRESIN ESTTICA La figuramuestra un esquema de un recipiente lleno con lquido hasta una altura h.Estacolumnalquidaejercerunapresinsobreelfondoylasparedesde recipiente que lo contiene de valor: P = x h Dondeesladensidadopesoespecficodellquidoyhlaalturadelacolumna, Si consideramos ahora una seccin del fondo de rea A, la fuerza f resultante de la presin sobre esta rea sera: f = P x A DondeAeselreadelaseccinyPlapresinaqueestsometida. Unatpicapresinesttica,eslapresinatmosfrica,producidaentodas direccionessobreloscuerposcolocadosenlasuperficiedelatierradebidoala gran columna de aire sobre ellos. El resultado de esta accin en todas direcciones delapresinatmosfricanoproducefuerzanetadeempujedelcuerpohacia algn lado, solo tiende a comprimirlo. DIFERENCIA ENTRE PRESIN ESTTICA Y LA PRESIN DINMICA. La presin esttica en un punto de un fluido se manifiesta con la aparicin de una fuerza sobre una superficie. La presin dinmica es la energa cintica que tiene el fluido en movimiento. Un fluido en una conduccin es como un cocheque va por la carretera, las ruedas ejercen presin sobre el asfalto (presin esttica) y por tener velocidad posee una energa cintica (presin dinmica). Eshabitualenellenguajedelosbomberosdenominarpresindinmicaalaque marca un manmetro cuando el agua quecircula en una instalacin seencuentra enmovimiento.Estaformadeexpresarsenoescorrectayaqueelconcepto tcnicodepresindinmicaeselexpuesto,loquemarcaunmanmetroenesa situacin es una presin esttica, la cual ha disminuido respecto a la que haba ya quepartedelaenerga,queposeaelaguacuandoestabaenreposo,seha gastadoenponerenmovimientoelfluido.Poresoesmsadecuadollamaresta presinresidual. La presin esttica, en hidrulica se mide en metros de columna de agua, que es lo que se denomina altura de presin: Hp = P/gamma El significado fsico de esta altura esque si tenemos un cilindro de agua de Hp de altura, sobre su base se estar ejerciendo la presin P. Lapresindinmica,eslaenergacinticaqueposeeunmetrocbicodefluido con velocidad v. Es decir es el trabajo que hemos gastado es llevar un metro cbico de fluido de cero a la velocidad v. Se definealtura de velocidad: Hv = v2/2g ElsignificadofsicodeestaalturaHveslaalturaquehabraquedejarcaerun metrocbicodefluidoparaquealllegaralsuelotuvieraunavelocidadv.Porlo tanto, no hay que confundir la altura de presin con la altura de velocidad, ya que su significado fsico es distinto. 3)QuaplicacionesindustrialessetienentomandoencuentaelTeoremade Bernoulli? Neumtica y electro neumtica. Bombas y turbinas. 4)InvestigarcmoseaplicaelTeoremadeBernoulliaelTeoremadeTorricelli (velocidad de un liquido a travs de un orificio) Demostrarlo matemticamente. Consideremos el caso de un recipiente cilndrico de dimetrod2,cuyarea transversal es S2, conteniendoun fluido, por ejemplo agua, hasta cierto nivel h2, comoseindicaesquemticamenteenlaFig.1.Nuestrorecipientedrenaporunpequeoorificioenlaparteinferiordedimetrod1 yseccinS1(S1