Materia: Inteligencia Artificial

Tema: 2.8 Razonamiento probabilístico2.9 Teorema de Bayes

2.8. RAZONAMIENTO PROBABILÍSTICO [1]

La principal ventaja del razonamiento probabilístico sobre el razonamiento lógico es que el razonamiento probabilístico permite tomar decisiones racionales aún en los casos en que no haya suficiente información para probar que cualquier acción dada funcionará.

El uso de representaciones relacionales se ha quedado prácticamente en todas las áreas de aprendizaje computacional. Dentro de los desarrollos más importantes podemos mencionar:

Aprendizaje de árboles de decisión relacionales. Se aprenden árboles binarios, donde cada nodo contiene una conjunción lógica y los nodos dentro de un camino del árbol, pueden compartir variables entre sí. El probar un nodo significa probar la conjunción en el nodo y las conjunciones en el camino del nodo raíz hasta nodo que se está probando. Esto mismo se ha extendido a árboles de regresión.

Definición de una medida de distancia relacional que permite calcular la similaridad entre dos objetos. Esta distancia puede tomar en cuenta la similaridad entre objetos relacionados, por ejemplo, entre “hijos'' al comparar a dos personas. Esto se puede utilizar para aprendizaje basado en instancias relacional y para realizar clustering.

Aprendizaje de reglas de asociación de primer orden. Esto extiende la expresividad de las reglas de asociación y permite encontrar patrones más complejos.

Aprendizaje por refuerzo relacional con lo que se puede aprender una política óptima de acciones relacionales en un ambiente relacional. Por ejemplo, aprender qué movidas realizar en ajedrez, cómo jugar Titris, etc.

Aprendizaje de lenguajes lógicos (LLL) o gramáticas aprovechando la expresividad de la lógica de predicados.

Teorema de Bayes [2]

En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la

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probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.

Teorema de Bayes

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión:

En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que, con la información del problema, construyas una tabla de contingencia o un diagrama de árbol

Ejercicio 1:

Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de

haber sido producida por la máquina B. c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza

defectuosa?

Solución:

Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,

P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) == 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038

b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

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c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A

Ejercicio 2:

Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?

Solución:

Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.

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La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

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