TEMA9

Matemticas Generales para Maestros Carlos Maza Gmez

9.1

Se pueden distinguir varias acciones bsicas a realizar en el trabajo de Estadstica Descriptivaque aparecen relacionadas a continuacin.

Establecer los objetivos del trabajo

Estos objetivos pueden ser de dos clases:

- Descriptivos: Describir las caractersticas de un determinado conjunto de elementos. Porejemplo, se puede tratar de describir las costumbres de un determinado grupo de jvenes durante superodo de ocio.

- Confirmacin/Rechazo de una hiptesis formulada previamente. De esta manera, se planteandeterminadas hiptesis previas (el tiempo dedicado al ocio durante el fin de semana es mayor, loschicos consumen ms bebidas alcohlicas que las chicas, etc.) de manera que el estudio estadsticopermita confirmarlas o rechazarlas.

Esto implica la eleccin de variables en el estudio estadstico a realizar, que pueden ser, a suvez, de dos clases:

- Cualitativas, atributos cuyos valores no conocen valores intermedios. Por ejemplo, fumas/nofumas, tienes ordenador en casa/no lo tienes, te gusta para el verano la playa/la montaa, tienes el pelorubio/moreno/castao/blanco.

- Cuantitativas son aquellas variables cuyos valores pueden asociarse a una escala numricacomo, por ejemplo, edad, estatura, nmero de vasos de cerveza bebidos, etc. En trminosmatemticos, son variables susceptibles de ser medidas, hecho que no sucede en las variablescualitativas. Las variables cuantitativas, a su vez, se diferencian en continuas (entre dos valores siemprepuede existir uno intermedio, como en el caso de la estatura) y discretas (si no puede tomar valoresintermedios, como al considerar el nmero de hermanos).

Elegir la poblacin

La poblacin investigada puede ser de tamao tan reducido que resulte fcilmente asequible,por ejemplo, eligiendo como poblacin o conjunto de elementos investigados, los jvenes presentesen una fiesta. Sin embargo, un tamao demasiado pequeo conlleva una escasa generalizacin de losresultados obtenidos a una poblacin ms amplia. As, analizar la presencia de bebidas alcohlicas enla juventud preguntando a los integrantes de una botellona resultar completamente sesgado y no

Tema 9: Orientaciones del trabajoEstadstica Descriptiva


9.2

permitir generalizar las respuestas a todo tipo de jvenes. Sin embargo, una poblacin ms grande implica la eleccin de muestras representativas y para

que lo sean tendran que tomarse diversos estratos (jvenes de distintas edades, de distinto poderadquisitivo, de pueblos y de ciudad, etc.) y con un nmero en relacin a la poblacin total estudiada.

Confeccin de un cuestionario

Elegidas los variables a estudiar (cualitativas/cuantitativas) hay que formular las preguntasoportunas para conseguir los objetivos planteados. Las preguntas pueden ser abiertas (cmo pasasel fin de semana cuando sales de casa?) pero lo ms aconsejable a la hora de facilitar la codificacinde las respuestas es elegir preguntas de respuesta mltiple.

Por ejemplo, qu medios de comunicacin tienes en tu casa?:

Televisin ( )Radio ( )Telfono ( )Internet ( )Mvil ( )Otros ( ) Especifquese ..........................................

En estos casos siempre conviene dejar un apartado para casos no previstos (radios de ondacorta, por ejemplo, o cualquier otra tecnologa).

Naturalmente, las respuestas mltiples se pueden prever en el caso de los atributos cualitativos.En la eleccin de estos factores hay que tener en cuenta algunos aspectos que pueden causar seriosproblemas de codificacin despus.

Las preguntas deben estar bien formuladas y permitir respuestas inequvocas. As, por ejemplo:

Utilizas mucho el ordenador? S ( ) No ( )

es una pregunta mal formulada por cuanto el entrevistado dar un significado a la palabra mucho quepuede ser muy distinta de otras personas que respondan. Para unos mucho sern 2 horas al da, quepuede resultar lo normal para otros.

Te gusta pasar el verano en : La playa ( ) La montaa ( ) Con tus amigos ( )

Esta pregunta tambin est mal formulada por dos motivos. En primer lugar, las respuestasmltiples deben corresponder, en la medida de lo posible, a una misma variable. No se puede mezclaren las respuestas sugeridas el entorno (playa/montaa) con la compaa. En segundo lugar, lasrespuestas deben ser excluyentes entre s. En este caso, tal como se ha formulado la pregunta puedeque haya encuestados a los que guste tanto la playa como la montaa y ello no est previsto. La


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pregunta podra formularse mejor as:

Dnde te gusta ms pasar el verano?: La playa ( ) La montaa ( ) Otros ( )

El anlisis que es posible efectuar de los atributos cualitativos es ms pobre en cuanto aresultados que el efectuado en las variables cuantitativas. Por ello conviene elegir, siempre que sepueda, a estas segundas de manera preferente.

As, la pregunta: Fumas? S ( ) No ( )

puede sustituirse por: Cuntos cigarrillos fumas al da? .................

de manera que quien responda 0 podemos determinar que es no fumador y, al tiempo, la variable escualitativa y se puede examinar el grado en que se fuma dentro de la poblacin estudiada.

Esto conduce a otra observacin de importancia dentro de la formulacin de preguntas propiasde las variables cualitativas/cuantitativas. Es fcil transformar una variable cualitativa en cuantitativaimponiendo un criterio propio. As, podemos distinguir

No fumadores ....................... 0 cigarrillos al da.Pequeos fumadores ............. 0 - 5 cigarrillos al da.Medianos fumadores ............ 5 - 10 cigarrillos al da.Grandes fumadores ............... Ms de 10 cigarrillos al da.

Sin embargo, una variable cualitativa es difcil de transformar en cuantitativa sin una prdidaconsiderable de exactitud en el anlisis de los datos cuando no contradicciones y anlisis inadecuados.Por ejemplo:

De qu color tienes el pelo?Rubio ( ) Moreno ( ) Castao ( ) Blanco ( ) Otros ( )

no tiene sentido codificarlo como variable cualitativa posteriormente,

Rubio (1) Moreno (2) Castao (3) Blanco (4) Otros (5)

puesto que las respuestas no tienen una naturaleza numrica que pueda ser ordenada.

Construccin de tablas de frecuencia

Cuando se empieza a examinar las respuestas habidas, la primera actuacin consiste enconstruir una tabla para cada variable donde aparezcan sus valores con la frecuencia absoluta, esdecir, el nmero de respuestas que corresponden a dicho valor.


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As, ante la pregunta Fumas? (Variable cualitativa) se presentan dos valores posibles, S y No.Si se ha pasado el cuestionario a 50 personas en total, la frecuencia absoluta puede ser:

Frecuencia absoluta S ........... 20No .......... 30

Que dara paso a una frecuencia relativa o cociente entre la frecuencia absoluta y el nmerototal de respuestas:

Frecuencia relativa S ......... 20/50 = 0,4 ......... 40 %No ........ 30/50 = 0,6 ......... 60 %

expresable, como se ve, por medio de porcentajes sobre el total de respuestas. La frecuencia relativasera, en este sentido, el tanto por uno.

Cuando nos encontramos con una variable cuantitativa x que presenta una serie de valores xi,cada uno con una frecuencia absoluta ni, se puede disponer el mismo tipo de tabla, teniendo en cuentaque la frecuencia relativa se definir como F r = ni / N siendo N = Sumatorio ni el nmero total deobservaciones. As, en el caso de la edad de los estudiantes en una clase:

xi ni fr % fa18 6 0,12 12 % 0,12

19 12 0,24 24 % 0,36

20 14 0,28 28 % 0,64

21 10 0,20 20 % 0,84

22 8 0,16 16 % 1

N = 50 1 100 %Tabla 1

La ltima columna corresponde a la frecuencia relativa acumulada, que se obtiene haciendocorresponder a cada valor xi la suma de las frecuencias relativas de dicho valor y todos sus anteriores.El significado que tiene se refiere fundamentalmente a las variables cuantitativas y consiste en indicarla frecuencia de la presencia de valores menores o iguales que el indicado. As, el hecho de que al valor xi = 20 le corresponda una frecuencia acumulada de 0,64 indica que el 64 % de las observacionesse refiere a estudiantes de hasta 20 aos.

Cuando en la variable se consideran intervalos ms que valores concretos, fundamentalmentesi la variable cualitativa es continua, el valor de xi se suele tomar como el valor medio del intervalo. Deesta forma, al registrar estaturas, se pueden obtener los intervalos


9.5

(1,50 - 1,60], (1,60 - 1,70], (1,70 - 1,80], (1,80 - 1,90]

sustituyndose de cara a obtener los estadsticos oportunos por:

1,55 - 1,65 - 1,75 - 1,85.

Representaciones grficas

Existen diversas representaciones grficas ms o menos aconsejables segn el tipo de variablesutilizada. El ms importante suele ser el diagrama de barras o histograma, particularmente adecuadocuando la variable es cualitativa y continua (el ancho de barra representara el intervalo) pero presentetambin en las variables de tipo cualitativo.

En otras ocasiones o cuando losintervalos son sustitudos por las marcasde clase o valores intermedios, se tieneun diagrama de puntos que, para mejorcomprensin, se unen entre s medianteuna lnea.


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Uno de los ms populares tambin es el diagrama de sectores, particularmente de aplicacinen las variables cualitativas. En l, el ngulo central de cada sector es proporcional a la frecuencia(absoluta o relativa). As, en caso de disponer, como en al tabla 1, de 50 observaciones y quererrepresentar un valor de frecuencia 12 se procedera a establecer a siguiente proporcionalidad:

360 / 50 = x / 12de modo que

x = 12 x 360 / 50 = 86,4 y la representacin de esta frecuencia correspondera a un ngulo central de 86, fcilmentedeterminado con el transportador de ngulos.

E x i s t e n o t r a s representaciones grficas derivadas del diagrama de barras y que muestran la frecuencia de los valores de la variable segn criterios de tamao pero no referidos a barras, sino a figuras alusivas a l avariable de que se trata. Son los pictogramas.


9.7

Medidas de centralizacin

Las medidas de centralizacin pretenden sustituir todo el conjunto de datos por uno que losrepresente de manera resumida. Existen bsicamente tres, que se examinan a continuacin.

Media aritmtica

Si se ha obtenido en un examen parcial un 4 y en el siguiente un 6, estas dos observaciones seresumen en una sumando ambas y dividiendo por el nmero de observaciones:

x = (4 + 6) = 5Si se desea hallar un valor que represente las notas obtenidas en determinado examen, se vuelven asumar todas ellas dividiendo por el nmero de notas registradas:

x = 1/12 (1 + 1 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8) = 5,08

As que, si las observaciones son xi y el nmero total de datos es N, la media aritmtica se definircomo

x = 1/N (x1 + x2 + x3 + ... + xN) = Sumatorio xi / N

Ahora bien, en vez de sumar tres veces cinco o dos veces siete, se pueden sustituir los valoresrepetidos por el producto del valor xi por la frecuencia absoluta que presentan ni , que para el casoplanteado en la tabla 1, dara lugar a

x = 1/50 (18 x 6 + 19 x 12 + 20 x 14 + 21 x 10 + 22 x 8) = 20,04

x = Sumatorio xi ni / N

Mediana

La mediana se define como el valor que ocupa el punto central cuando la serienumrica est ordenada creciente o decrecientemente. Para su clculo resulta de gran utilidad lafrecuencia acumulada por cuanto la mediana ser el valor numrico que deje la mitad de lasobservaciones por debajo y la mitad por encima de dicho valor.

Si el nmero de observaciones es impar el clculo de la mediana es inmediato porque, una vezordenadas las observaciones, se elige a la central. Tal es el caso de las siguientes calificaciones:

1 1 3 4 4 5 6 6 7 8 8

Se tienen once valores ordenados, de manera que la mediana ser la que tenga la posicin sexta (el 5)por cuanto hay cinco notas inferiores y cinco notas superiores.

Cuando el nmero de observaciones es par, como en el caso recogido antes de las notas deun examen:

1 1 4 5 5 5 6 6 6 7 7 8


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resultar que habr una pareja de valores que deja a un lado y otro el mismo nmero de observaciones.En ese caso, la mediana se considera la semisuma de estos dos valores centrales que, para el ejemploconsiderado, ser de 5,5.

Cuando el nmero de valores es muy grande, se considera tambin admisible tomar comomediana el valor de la variable correspondiente a la frecuencia absoluta acumulada inmediatamentesuperior a N/2 o bien, en la frecuencia relativa acumulada, la inmediatamente superior a 0,50 (50 %)que, en el caso de la tabla 1, sera 20.

Este clculo puede representarse fcilmente en un diagrama de barras o de puntos. Dado queen ordenadas se suele reflejar el nmero N de observaciones, se tiende una lnea paralela al eje deabcisas por N/2 de manera que el valor coincidente con este lnea o el inmediatamente superior resultaser la mediana.

Moda

La moda, de aplicacin tanto a variables cualitativas como cuantitativas, es el valor de lavariable de mayor frecuencia. Su determinacin, obviamente, se produce al observar el valor xi alque corresponde el mayor ni en la tabla de frecuencias.

Medidas de dispersin

Un alumno A tiene las siguientes calificaciones en una asignatura: 4, 7, 9, 2, 8. Otro alumnoB tiene en cambio las siguientes: 5, 6, 6, 6, 7. Las medias respectivas son:

xA = 6 ; xB = 6Sin embargo, se puede apreciar que el simple dato de la media aritmtica no describe el

comportamiento de ambos alumnos, el segundo mucho ms regular que el primero. Esta regularidadse basa en que sus calificaciones estn ms cerca de la media aritmtica mientras que las del alumnoA aparecen ms dispersas respecto a este estadstico.

La primera medida estadstica para determinar el grado de dispersin de los datos es elrecorrido, es decir, la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de la variable. En elcaso de los dos alumnos sera:

RA = 8 - 2 = 6 ; RB = 7 - 5 = 2

Sin embargo, la medida de la dispersin ser ms exacta si consideramos las diferencias decada dato respecto de la media aritmtica:

Alumno A Alumno B4 - 6 = - 2 5 - 6 = -17 - 6 = 1 6 - 6 = 09 - 6 = 3 6 - 6 = 02 - 6 = - 4 6 - 6 = 08 - 6 = 2 7 - 6 = 1


9.9

Se puede observar que la suma de las desviaciones es igual a 0 en ambos casos porque unasdesviaciones por debajo son compensadas por otras desviaciones por encima de la media, lo que eslgico esperar dadas las caractersticas de la propia media como valor centralizado de los datospresentes. Sin embargo, la idea de sumar estas desviaciones es adecuada pero siempre queconsideremos, o bien el valor absoluto de estas desviaciones (- 4 y + 4 supondran una mismadesviacin) o bien, como se hace habitualmente, el cuadrado de las desviaciones parciales.

Alumno A Desv2 Alumno B Desv2

4 - 6 = - 2 4 5 - 6 = -1 17 - 6 = 1 1 6 - 6 = 0 09 - 6 = 3 9 6 - 6 = 0 02 - 6 = - 4 16 6 - 6 = 0 08 - 6 = 2 4 7 - 6 = 1 1

Suma 34 Suma 2

Cuando se comparan sumas de desviaciones al cuadrado habr que tener en cuenta el nmerode observaciones para poder comparar de manera uniforme casos en que el nmero de observacioneses diferente (por ejemplo, comparar la dispersin de notas en una asignatura en la que hay cinco notasparciales con otra de la que se llega a disponer de ocho notas parciales). De este modo se divide estasuma por el nmero de observaciones en lo que puede entenderse como una media aritmtica de loscuadrados de las desviaciones.

A este trmino se le llama varianza, es decir, el cociente entre la suma de los cuadradosde la desviacin a la media aritmtica y el nmero de datos:

V = Sumatorio ni (xi - x)2 / N

Pero esta varianza no puede compararse adecuadamente con la media ya que las desviacionesestn elevadas al cuadrado. Por eso, se define la desviacin tpica como la raz cuadrada de la varianzay se suele representar por la letra ?. De este modo, si la varianza de los dos casos anteriores era:

VA = 34 / 5 = 6,8VB = 2 / 5 = 0,4

su desviacin tpica ser:?A = ? 6,8 = 2,6?B = ? 0,4 = 0,6

de manera que los datos referidos al alumno A quedan mejor descritos con los dos estadsticos, lamedida de su centralizacin y de su dispersin, (6, 2,6) mientras que el alumno B queda descrito dela misma forma (6, 0,6).


9.10

Variables bidimensionales

Cuando, dentro de una misma poblacin estudiada, se disponen datos de la presenciasimultnea de valores de dos variables, esto permite estudiar la posible relacin entre ambas. En estesentido, nuevamente hay que distinguir entre el estudio de la relacin de dos variables cuantitativas (loque da lugar a la idea de correlacin y un anlisis a partir de la covarianza) y cuando al menos una delas variables es de tipo cualitativo (y entonces el estudio se realiza por medio de las tablas de dobleentrada).

Dos variables cuantitativas

Supongamos que, dentro de una clase formada por diez alumnos, se tienen las notas de dosasignaturas, matemticas y fsica.

Variable XMatemticas

Variable YFsica

7 6

6 4

8 7

3 4

6 5

9 6

4 2

10 9

2 1

5 6

Media: x = 6 Media: 5Tabla 2

Podemos representar estas calificaciones (cada uno de los valores de estas variables) demanera conjunta en un eje de abcisas (notas de Matemticas) y otro de ordenadas (notas de Fsica)de manera que nos encontremos ante un diagrama de puntos. Cuando los puntos representados distanpoco de una recta como la trazada podemos afirmar que existe una correlacin positiva entre ambasasignaturas. En otras palabras, que cuando los valores de una asignatura aumentan (notas mejores)tambin aumentan los de la otra as como que si las notas de una asignatura disminuyen (peores notas)


9.11

tambin lo hacen los de la otra.Cabe tambin la existencia de una

correlacin negativa, es decir, que al aumento de losvalores de una variable le corresponda unadisminucin similar de los valores de la otra. Ellopuede suceder, por ejemplo, cuando confrontamoslas distancias a las que un jugador tira a canasta enbaloncesto con el nivel de aciertos. Es posible unacorrelacin negativa que indicara que a mayordistancia menor nmero de aciertos y viceversa.

Continuando con el ejemplo de la tabla 2,existe un parmetro estadstico que nos indica elcarcter y grado de la correlacin entre ambasvariables. Se trata de la covarianza, entendida como la media de los productos de las distanciasde un valor a su media. La idea es una extensin de la de varianza para una variable. En efecto, cadavariable tiene una media de manera que la conjuncin de ambas da lugar a un punto dentro de larepresentacin grfica que, tal como se seala en la figura, es el (6,5).

Pues bien, la covarianza considera la desviacin respecto de la media correspondiente de losvalores de cada variable y los multiplica por parejas. Naturalmente, ello tiene que corregirse, dado quese suman todos estos productos, con la divisin por el nmero de observaciones. Por otro lado, sedemuestra en Estadstica, que este valor se puede expresar como la media de los productos menos elproducto de las medias, dando lugar a otra forma de clculo ms sencilla:

CXY = 1/N Sum. (xi - x) (yi - y) = 1/N Sum.(xi yi) - x y

de forma que en el caso de las dos asignaturas, esta covarianza sera se:

C XY = 1/10 (348 - 30) = 31,8

que da un valor positivo alto, indicando un grado de relacin elevado entre ambas variables.

Una variable cualitativa al menos

Cuando interviene una variable cualitativa en el anlisis de la relacin entre variables lacomplejidad estadstica del estudio que es posible realizar aumenta notablemente. Es por ello que, alnivel de este curso, solamente citaremos como elemento de anlisis la realizacin de una tabla de dobleentrada en la que los valores de cada variable aparezcan en abcisas u ordenadas de manera que cadacasilla registre el nmero de casos conjuntos de un valor determinado de cada variable.

As, si relacionamos las notas de una asignatura distribuidas en cuatro categoras (suspenso S,aprobado A, notable N y sobresaliente SO) con el sexo de los estudiantes (hombre H y mujer M) sepuede establecer una tabla con los casos en que suceden simultneamente los distintos valores de las


9.12

variables.En una columna de la derecha se dispone la frecuencia absoluta y relativa (en forma de

porcentaje) de los valores de la variable sexo. Se puede observar que, al haber 12 observaciones encada caso, hay un 50 % de hombres y un 50 % de mujeres.

De igual modo, en la fila inferior se seala los mismos tipos de frecuencias de los valores de lavariable calificaciones: Para toda la poblacin (24 casos), hay un 21 % de suspensos, 37 % deaprobados, 25 % de notables y 17 % de sobresalientes. Todos estos porcentajes son los esperablessi la otra variable no tiene efecto sobre la que presenta estas frecuencias.

S A N SO

H3

25 %60 %

12,5 %

542 %55 %21 %

325 %50 %

12,5 %

18 %25 %4 %

1250 %

M2

17 %40 %8 %

433 %45 %17 %

325 %50 %

12,5 %

325 %75 %

12,5 %

1250 %

521 %

937 %

625 %

417 %

24

Es por ello que se incluye, tras la frecuencia absoluta de cada casilla (primera lnea en cadauna), tres porcentajes sucesivos. Veamos qu anlisis permiten.

El primer porcentaje corresponde a la frecuencia relativa al valor de la variable Sexo. As, hay5 suspensos en esta poblacin, que representan el 21 % de total de observaciones. Pues bien,considerando slo los hombres, los suspensos son 3, es decir, 3/12 = 0,25 de frecuencia relativa sobreel total de hombres (el 25 %). De este modo, podemos comparar el porcentaje de suspensos de todala poblacin (21 %) con el porcentaje de suspensos de los hombres (25 %) y de las mujeres (17 %),de donde se puede concluir que parece existir una influencia de la variable Sexo sobre el nmero desuspensos. Si comparamos del mismo modo el porcentaje de sobresalientes global (17 %) podemosobservar que es ms elevado en las mujeres (25 %) que en los hombres (8 %) revelando una tendenciaa que las mujeres saquen mejores notas y, en consecuencia, la variable Sexo tenga influencia sobre avariable Calificacin.

El segundo porcentaje realiza una labor similar pero refiriendo los valores de cada casilla a lafrecuencia absoluta de cada calificacin. As, sobre 5 suspensos, 3 son de hombres (60 % del total desuspensos) y 2 de mujeres (40 %). Teniendo en cuenta que la frecuencia esperable, si hubiera unadistribucin equitativa, sera del 50 % en cada caso, parece haber una tendencia, nuevamente


9.13

confirmada, a un nmero mayor de suspensos entre los hombres. Del total de sobresalientes (4), porotra parte, el 75 % son de mujeres y slo el 25 % de hombres, mostrando la misma tendencia.

El ltimo porcentaje se refiere a la frecuencia relativa de cada casilla, no respecto a la fila ocolumna correspondiente, sino respecto del total.

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