tema7

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PROFESOR:

Concepción Cortés Rodríguez

CURSO 2002-2003LICENCIATURA EN CC. AMBIENTALES

TEMA 7:MÉTODOS DISCRETOS

DPTO. ECONOMÍA GENERAL Y ESTADÍSTICA

UNIDAD DOCENTE DE ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA. UNIVERSIDAD DE HUELVA

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7.1 Introducción

7.2 El método de las Jerarquías Analíticas (método AHP)

7.3 Aplicación del método AHP

7.4 El método ELECTRE

7.5 Aplicación del método ELECTRE

7.6 El método de Arrow-Raynould

7.7 Aplicación del método de Arrow-Raynould

TEMA 7. MÉTODOS MULTICRITERIO DISCRETOSTEMA 7. MÉTODOS MULTICRITERIO DISCRETOS

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7.1. Introducción7.1. Introducción

n Los problemas de decisión de tipo discreto tienen un número finito de soluciones, generalmente no muy elevado. Los problemas de decisión de tipo continuo se caracterizan porque el conjunto de soluciones factibles está formado por un número infinito de puntos.

n La mayoría de los métodos continuos desarrollados hasta ahora también se pueden aplicar a los problemas multicriterio discretos, aunque existen algunos métodos que son específicos para este tipo de problemas:

F El Método de las Jerarquías Analíticas (AHP).

F El Método ELECTRE.

F El Método axiomático de ARROW y RAYNAUD.

n Todos estos métodos discretos se caracterizan porque:n Son métodos de sobreclasificación.

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n Fundamentos básicos de los métodos de sobreclasificación

n Son menos sólidos teóricamente pero más fáciles de aplicar a problemas reales.

n Tienen un número reducido de alternativas o de elecciones posibles que deben ser evaluadas

en base a varios atributos o criterios.

La alternativa A sobreclasifica a la alternativa B (o la alternativa A es preferible a la

alternativa B), cuando A es igual o superior a B en una mayoría de criterios y cuando en los

restantes criterios la diferencia de puntuación no es demasiado importante.

La sobreclasificación se establece en base a dos conceptos: CONCORDANCIA y

DISCORDANCIA.

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CONCORDANCIA y DISCORDANCIA

La CONCORDANCIA cuantifica hasta qué punto para un elevado número de atributos la

alternativa A es más preferida que B.

La DISCORDANCIA cuantifica hasta qué punto no existe ningún atributo para el que B

sea mucho mejor que A.


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7.2. El Método de las Jerarquías Analíticas (método AHP)7.2. El Método de las Jerarquías Analíticas (método AHP)


Método de las Jerarquías Analíticas o método AHP

Este método fue propuesto por Tomas L. Satty (1977, 1980) y se basa en la obtención de

preferencias o pesos de importancia para los criterios y las alternativas. Para ello, el decisor

establece “juicios de valores” a través de la escala numérica de Saaty (del 1 al 9)

comparando por parejas tanto los criterios como las alternativas.

Para la aplicación de este método es necesario que tanto los criterios como las alternativas se puedan estructurar de forma jerárquica. El primer nivel de jerarquía corresponde al propósito general del problema, el segundo a los criterios y el tercero a las alternativas.

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7.3. Aplicación del Método AHP7.3. Aplicación del Método AHP


Problema de selección del trazado de un tramo de autopista

El problema de decisión consiste en elegir el trazado de un tramo de autopista. Existen tres trazados o alternativas posibles que denominamos A, B, y C, que se evalúan en base a tres criterios:

A1: Coste de ejecución,A2: Impacto ambiental,A3: Tiempo de ejecución.

El decisor considera que el criterio coste es 2 veces más importante que el criterio impacto ambiental y 5 veces más importante que el criterio tiempo de ejecución. Además el criterio impacto ambiental es 3 veces más importante que el criterio tiempo de ejecución.

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NIVEL 3: Alternativas

NIVEL 2: Criterios

Elección de un trazado de autopistaNIVEL 1:Propósito

Coste Impacto Ambiental Tiempo de ejecución

C

B

A

C

B

A

C

B

A

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A1 A2 A3

A1: Coste 1 2 5

A2: Impacto Ambiental 1/2 1 3

A3:Tiempo de ejecución 1/5 1/3 1

ATRIBUTOS

AT

RIB

UT

OS

MATRIZ DE COMPARACIÓN “POR PAREJAS” PARA EL NIVEL JERÁRQUICO 2

1

03

05

0 2

321

3332

2231

1121

332211

=++=−+−=−+−=−+−

+++++

WWW

pnWW

pnWW

pnWW

pnpnpnMin ESTIMAR LOS VALORES DE LOS PESOS Wi COMO UN PROBLEMA DE

PROG. POR METAS PONDERADAS

Solución: Los pesos relativos del nivel 2

obtenidos son W = (0.588, 0.294, 0.118)

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MATRIZ DE COMPARACIÓN “POR PAREJAS” PARA EL NIVEL JERÁRQUICO 3

COSTE

A B CA 1 6 3B 1/6 1 1/2C 1/3 2 1

ALTERNATIVAS

IMPACTO AMBIENTAL

A B CA 1 1/9 1/5B 9 1 2C 5 1/2 1

ALTERNATIVAS

TIEMPO DE EJECUCIÓN

A B CA 1 1/2 1/4B 2 1 1/2C 4 2 1

ALTERNATIVAS PESOS RELATIVOS PARA EL NIVEL 3

Coste: W = (0.667, 0.111, 0.222)

Impacto ambiental: W = (0.069, 0.621, 0.31)Tiempo de ejecución: W = (0.143, 0.286, 0.571)

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DETERMINACIÓN DE LOS PESOS GLOBALES

0.294

NIVEL 3: Alternativas

NIVEL 2: Criterios

Elección de un trazado de autopistaNIVEL 1:Propósito

Coste Impacto Ambiental Tiempo de ejecución

C

B

A

0.31

0.621

0.069

C

B

A

0.222

0.111

0.667

C

B

A

0.571

0.286

0.143

0.1180.588

A: 0.667*0588 + 0.069*0.294 + 0.143*0.118 = 0.429

B: 0.111*0588 + 0.621*0.294 + 0.286*0.118 = 0.282

C: 0.222*0588 + 0.31 *0.294 + 0.571*0.118 = 0.289

El trazado A del tramo de autopista

es la mejor solución

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7.4. El Método ELECTRE7.4. El Método ELECTRE


Método ELECTRE

El método ELECTRE es el método multicriterio discreto más conocido y a la vez más

utilizado en la práctica desde finales de los 60. Fue inicialmente propuesto por Benayoun,

Roy y Sussman (1966) y posteriormente mejorado por Roy (1971).

Se utiliza para reducir el tamaño del conjunto de soluciones eficientes.

Funciona por bipartición, es decir, intenta dividir el conjunto eficiente en dos subconjuntos:

el de las alternativas más favorables para el decisor (el núcleo) y el de las alternativas

menos favorables, es decir por las peores. Para ello, utiliza el concepto de “relación de

sobreclasificación”, por eso se le incluye dentro de los métodos de sobreclasificación.

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VECTOR DE PESOSMATRIZ DECISIONAL

MATRIZ DE ÍNDICES DE CONCORDANCIA

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MATRIZ DECISIONAL. Los datos de partida se ordenan en forma de una matriz con la siguiente estructura:

AL

TE

RN

AT

IVA

S

E1E2...Ej...Em

ATRIBUTOS

A1 A2 ... Ai ... An

RESULTADOS

R11 R12 ... R1i ... R1n

...Rj1 Rj2 ... Rji ... Rjn

...

Rm1 Rm2 ... Rmi ... Rmn

E1, E2, ..., Ej, ..., Em representan las posibles alternativas o elecciones alcanzables por el centro decisor.

A1, A2, ..., Ai, ..., An representan los atributos o criterios relevantes para el problema.

R11, R12, ..., Rji, ..., Rmn representan el resultado alcanzado por cada alternativa en cada uno de los atributos.

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VECTOR DE PESOS: El decisor ha de proporcionar los pesos preferenciales que subjetivamente asocia a cada atributo. Los llamaremos W = (W1, W2, ..., Wi, ..., Wn)

Con la matriz decisional y el vector de pesos W se calcula la matriz de índices de concordancia.

Propiedades de los pesos:

ä Son números positivos.

ä La suma de todos los pesos ha de ser uno.

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MATRIZ DE ÍNDICES DE CONCORDANCIA: C(i,k)

Se obtiene sumando los pesos asociados a los criterios en los que la alternativa Ei es

mejor que la alternativa Ek .

En caso de empate se asigna la mitad del peso a cada una de las alternativas.

Propiedades de la matriz de índices de concordancia:

ä Es una matriz cuadrada de orden m, el número de alternativas.

ä La suma de elementos simétricos con respecto a la diagonal principal es siempre uno.

ä Los elementos de la matriz son números que están entre 0 y 1.

ä En la diagonal principal nunca hay valores.

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MATRIZ DECISIONAL NORMALIZADA Y PONDERADA

MATRIZ DECISIONAL NORMALIZADA

MATRIZ DE ÍNDICES DE DISCORDANCIA

MATRIZ DECISIONAL

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MATRIZ DECIONAL NORMALIZADA: Para normalizar dividimos cada elemento de la matriz decisional inicial por su rango, es decir, por la diferencia entre el ideal y el anti-ideal de cada columna.

MATRIZ DECIONAL NORMALIZADA Y PONDERADA: Multiplicamos cada columna de la matriz decisional normalizada por su peso preferencial.

MATRIZ DE ÍNDICES DE DISCORDANCIA: d(i,k)El índice de discordancia entre las alternativas Ei y Ek se calcula como el cociente entre la diferencia mayor en valor absoluto de los criterios para los que la alternativa i es peor que la j y la mayor diferencia en valor absoluto entre los resultados alcanzados por la alternativa i y la k.

Propiedades de la matriz de índice de discordancia:ä Es una matriz cuadrada de dimensión m, el número de alternativas.

ä Los elementos de la matriz son números que están entre 0 y 1.


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MATRIZ DE DOMINANCIA DISCORDANTE



MATRIZ DE DOMINANCIA CONCORDANTE

UMBRALES DE CONCORDANCIA Y DISCORDANCIA

MATRIZ DE DOMINANCIA AGREGADA

GRAFO ELECTRE Y NÚCLEO DEALTERNATIVAS MÁS FAVORABLES

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Umbrales de concorancia y discordancia

Para que una alternativa sobreclasifique a otra, el método ELECTRE utiliza dos umbrales o niveles de exigencia que llamaremos c y d.

Dichos umbrales serán unos niveles de concordancia y discordancia respectivamente, que van a reflejar qué exige y qué tolera el decisor al formular una relación desobreclasificación.

Su cálculo:c es el umbral mínimo para el índice de concordancia. Se calcula con los valores medios de los elementos de la matriz de índices de concordancia.

d es el umbral máximo para el índice de discordancia. Se calcula con los valores medios de los elementos de la matriz de índices de discordancia.

Conviene someter dichos umbrales a un análisis de sensibilidad con objeto de ver las posibles influencias en el núcleo.


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MATRIZ DE DOMINANCIA CONCORDANTE: Toma el valor 1 cuando un elemento de la matriz de índices de concordancia es mayor que c y 0 si es menor o igual que c.

MATRIZ DE DOMINANCIA DISCORDANTE: Toma el valor 0 cuando un elemento de la matriz de índices de concordancia es mayor que d y 1 si es menor o igual que d.

MATRIZ DE DOMINANCIA AGREGADA (CONCORDANTE-DISCORDANTE): Toma el valor 1 cuando elementos homólogos de las dos matrices anteriores son 1, y toma el valor 0 para los demás casos.

Propiedades de las matrices de dominancia concordante, discordante y agregada:ä Son matrices cuadradas de dimensión m, el número de alternativas.

ä Los elementos de la matriz son 0 y 1.



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EL GRAFO ELECTRE: Se obtiene de la matriz agregada. En el grafo se representan, para cada criterio, las relaciones de dominación. Cada vértice representa una de las alternativas o elecciones no dominadas.

Del vértice i al vértice k se traza un arco, si y sólo si el correspondiente elemento de la

matriz de dominancia agregada es 1.

Si existe un arco orientado de A a B, esto significa que: “Cualquiera que sea el criterio, la

alternativa A es superior a la alternativa B, es decir, A domina a B”.

C

B

A

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NÚCLEO DEL GRAFO ELECTRE: Está formado por aquellas alternativas que no se

dominan (no se sobreclasifican) entre sí, es decir, que no existen arcos o flechas entre los correspondientes vértices.

Además, se tiene que cumplir que las demás alternativas estén dominadas por alguna alternativa del núcleo, es decir, que exista al menos un vértice del núcleo del que sale un arco a los vértices que no forman parte del núcleo.

Ejemplo: Según los criterios A1 y A3 la alternativa B domina a A y a C. Además, las

alternativas A y C están dominadas por B. Por tanto, B es el núcleo.

Criterio A1 Criterio A2 Criterio A3

C

B

AC

B

AC

B

A

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Extensiones del método ELECTRE

ELECTRE I: es el primer método de sobreclasificación publicado. Reducimos el número de elementos o de alternativas que forman el núcleo. El proceso finaliza cuando el núcleo contenga un solo vértice.

ELECTRE II: es un método también de sobreclasificación pero más elaborado teóricamente que el anterior. Permite obtener una ordenación completa de las alternativas no dominadas.

ELECTRE III: en este método la relación de sobreclasificación se basa en conjuntos borrosos.

ELECTRE IV: apropiado para casos en los que el centro decisor no desea especificar los pesos preferenciales.

PROMETHEE: este método de sobreclasificación multicriterio permite obtener una ordenación total o parcial de las alternativas no dominadas.

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7.5. Aplicación del Método ELECTRE7.5. Aplicación del Método ELECTRE


Problema de selección de inversiones

Supongamos el caso de un centro decisor que tiene que ordenar preferencialmentecinco inversiones (alternativas) que denominamos A, B, C, D y E, que se evalúan en base a cinco criterios:

A1: Valor actual neto (VAN),A2: Tasa interna de rendimiento (TIR),A3: Nivel de empleo,A4: Volumen de ventas,A5: Impacto ambiental.

Todos los criterios son de maximizar, excepto el último que es de minimizar.

El decisor proporciona a cada atributo los siguientes pesos preferenciales: W = (0.25, 0.25, 0.2, 0.1, 0.2)

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Los datos de partida, es decir, la MATRIZ DECISIONAL, viene recogida en la siguiente tabla:

Todos los criterios son de maximizar, excepto el último que es de minimizar.

A1 A2 A3 A4 A5

A 100 15 7 40 50B 200 25 7 60 200C 100 20 4 25 25D 200 30 20 70 350E 250 25 15 100 500

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Fila 1: C(A,B) = 0 + 0 + 1/2 (0.2) + 0 + 0.2 = 0.3

C(A,C) = 1/2 (0.25) + 0 + 0.2 + 0.1 + 0 = 0.425

C(A,D) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0.2 = 0.2

C(A,E)= 0 + 0 + 0 + 0 + 0.2 = 0.2

A B C D E

A - 0.3 0.425 0.2 0.2

B 0.7 - 0.8 0.325 0.325

C 0.575 0.2 - 0.2 0.2

D 0.8 0.675 0.8 - 0.65

E 0.8 0.675 0.8 0.35 -

ALTERNATIVAS

ALT

ER

NA

TIV

AS

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MATRIZ DECISIONAL NORMALIZADA

100 R(A, A1) = R(C, A1) = ____________ = 0.67

250 -100200

R(B, A1) = R(D, A1) = ____________ = 1.33 250 -100

250 R(E, A1) = ____________ = 1.67

250 -100

A1 A2 A3 A4 A5

A 0.67 1 0.44 0.53 0.11

B 1.33 1.67 0.44 0.8 0.42

C 0.67 1.33 0.25 0.33 0.05

D 1.33 2 1.25 0.93 0.74

E 1.67 1.67 0.94 1.33 1.05ALT

ERN

ATI

VAS

ATRIBUTOS

A1 A2 A3 A4 A5

A 100 15 7 40 50B 200 25 7 60 200C 100 20 4 25 25D 200 30 20 70 350E 250 25 15 100 500

A1 A2 A3 A4 A5

A 0.17 0.25 0.09 0.05 0.02

B 0.33 0.42 0.09 0.08 0.08

C 0.17 0.33 0.05 0.03 0.01

D 0.33 0.5 0.25 0.09 0.15

E 0.42 0.42 0.19 0.13 0.21ALT

ER

NA

TIV

AS

ATRIBUTOS

Columna 1: Elementos de la col.1 de la mat. dec. normalizada por 0.25

Columna 2: Elementos de la col.2 de la mat.dec.normalizada por 0.25

Columna 3: Elementos de la col.3 de la mat.dec. normalizada por 0.2 ...

MATRIZ DECISIONAL NORMALIZADA Y PONDERADA

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A B C D E

A - 1 1 1 1

B 0.38 - 0.44 1 0.79

C 0.45 1 - 1 1

D 0.51 0.39 0.68 - 0.99

E 0.76 1 0.81 1 -

ALTERNATIVAS

ALT

ER

NA

TIV

AS

max0.17 - 0.33; 0.25 - 0.42; 0.05 - 0.08 0.17d(A, B) = __________________________________________________________________ = ________ = 1

max0.17 - 0.33; 0.25 - 0.42; 0.05 - 0.08; 0.21 - 0.08 0.17

max0.15 - 0.02 0.13d(D, A) = __________________________________________________________________________ = ________ = 0.51

max0.33 -0.17; 0.5 -0.25; 0.25 -0.09; 0.09 -0.05; 0.15 -0.02 0.25

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A B C D E

A - 1 1 1 1

B 0.38 - 0.44 1 0.79

C 0.45 1 - 1 1

D 0.51 0.39 0.68 - 0.99

E 0.76 1 0.81 1 -

ALTERNATIVASA B C D E

A - 0.3 0.425 0.2 0.2

B 0.7 - 0.8 0.325 0.325

C 0.575 0.2 - 0.2 0.2

D 0.8 0.675 0.8 - 0.65

E 0.8 0.675 0.8 0.35 -

ALTERNATIVASMATRIZ DE ÍNDICES DE CONCORDANCIA

Umbral mínimo de concordancia: c = 0.5 (valores medio de la m. Índic. conc.)Umbral máximo de discordancia: d = 0.81 (valores medio de la m. Índic. disconc.)

A B C D E

A - 0 0 0 0

B 1 - 1 0 1

C 1 0 - 0 0

D 1 1 1 - 1

E 1 0 1 0 -

ALTERNATIVASA B C D E

A - 0 0 0 0

B 1 - 1 0 0

C 1 0 - 0 0

D 1 1 1 - 1

E 1 1 1 0 -

ALTERNATIVAS

MATRIZ DE DOMINANCIA DISCORDANTEMATRIZ DE DOMINANCIA CONCORDANTE

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NÚCLEO DEL GRAFO ELECTRE :alternativa D

MATRIZ DE DOMINANCIA AGREGADA (CONCORDANTE-DISCORDANTE)

A B C D E

A - 0 0 0 0

B 1 - 1 0 0

C 1 0 - 0 0

D 1 1 1 - 1

E 1 0 1 0 -

ALTERNATIVAS

ALT

ER

NA

TIV

AS

EC

B

A

DGRAFO ELECTRE

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7.6. El Método de7.6. El Método de ArrowArrow--RaynaudRaynaud


Método de Arrow-Raynaud

Este método fue propuesto por Arrow y Raynaud en 1986 y se basa en la utilización de un

algoritmo de clasificación compatible con cinco axiomas de la teoría de la elección social.

La aplicación de este método no sólo se utiliza para obtener la alternativa o elección mejor clasificada, sino también para obtener una escala de clasificación de las alternativas.

A veces, los resultados obtenidos pueden ser contradictorios a los proporcionados por otros métodos, como por ejemplo el AHP.

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7.6. El Método de 7.6. El Método de ArrowArrow--RaynaudRaynaud

REGLA MAXIMIN: Elegir el máximo de cada

fila y luego el más pequeño de todos ellos

MATRIZ DE CLASIFICACIÓN

Es una matriz cuadrada y sus elementos representan el nº de veces que una alternativa domina o clasifica a otra. En caso de empate se asigna la mitad.

Eliminar la fila y columna que de el mínimo. La alternativa correspondiente constituye la peor elección y pasa a ocupar el último lugar de la escala de clasificación la 1º vez o delante de las ya eliminadas para las demás veces. El proceso finaliza cuando sólo quede una alternativa en la matriz de clasificación. Ésta será la elección mejor clasificada.

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7.7. Aplicación del Método de 7.7. Aplicación del Método de ArrowArrow--RaynaudRaynaud


Problema de selección de inversiones que sirvió para ilustrar el método ELECTRE.

CRITERIOS: A1: Valor actual neto (VAN), A2: Tasa interna de rendimiento (TIR),A3: Nivel de empleo, A4: Volumen de ventas, A5: Impacto ambiental.

Todos los criterios son de maximizar, excepto el último que es de minimizar. El decisor proporciona a cada atributo los siguientes pesos preferenciales: W = (0.25, 0.25, 0.2, 0.1, 0.2)

ALTERNATIVAS: A, B, C, D, E.

A1 A2 A3 A4 A5

A 100 15 7 40 50B 200 25 7 60 200C 100 20 4 25 25D 200 30 20 70 350E 250 25 15 100 500

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A B C D E

A - 1.5 2.5 1 1

B 3.5 - 4 1.5 1.5

C 2.5 1 - 1 1

D 4 3.5 4 - 3

E 4 3.5 4 2 -

ALTERNATIVAS

ALT

ER

NA

TIV

AS

REGLA MAXIMIN: Min [máximo de cada fila]

Paso 1: Min [2.5, 4, 2.5, 4, 4] = 2.5 El mínimo se alcanza en las filas 1 y 3. Quitamos las filas y columnas 1 y 3. Las alternativas A y C son las peores elecciones.

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A B C D E

A

B - 1.5 1.5

C

D 3.5 - 3

E 3.5 2 -

ALTERNATIVAS

AL

TE

RN

AT

IVA

S


Paso 2: Min [1.5, 3.5, 3.5] = 1.5 El mínimo se alcanza en la fila de B. Quitamos la fila y la columna de B.

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A B C D E

A

B

C

D - 3

E 2 -

ALTERNATIVAS

AL

TE

RN

AT

IVA

S


Paso 3: Min [3, 2] = 2 El mínimo se alcanza en la fila de E. Quitamos la fila y la columna de E.

Ordenación de las Alternativas: D E B A,C

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