Tema3-Corte-Torsión

Cátedra: Estructuras de Hormigón Armado Docentes: Dr.Ing. M.Tornello, Dr.Ing. G.Palazzo, Ing. D.Pagano, Ing. V.Roldan

Universidad Tecnológica Nacional

Facultad Regional Mendoza

TEMA 3: DISEÑO A CORTE Y TORSION

Página 1 septiembre de 2012

1. RESISTENCIA AL CORTE [11.1]

1.1. Consideración general

La naturaleza relativamente abrupta de las fallas "por corte," en comparación con las fallas dúctiles por

flexión, hacen que sea deseable diseñar los elementos de manera que la resistencia bajo solicitaciones

de corte sea igual o mayor que la resistencia bajo solicitaciones de flexión. Para asegurar una falla

ductil por flexión, el código establece requisitos mínimos y máximos para la cantidad de armadura

longitudinal y requiere un mínimo de armadura de corte en todos los elementos solicitados a flexión,

excepto para ciertos tipos de construcciones.

1.2. Campo de aplicación de este Capítulo

En este Capítulo se incluyen las prescripciones para el dimensionamiento a corte de elementos

estructurales no pretensados donde es válida la teoría de viga, se cumple la hipótesis de Bernoulli –

Navier, y se trata de problemas unidimensionales (con secciones sometidas a M, V y P). Se consideran

además hormigones de densidad normal.

No se tiene en cuenta el diseño de:

a) Zonas con discontinuidades geométricas o de carga.

b) Problemas en 2 D (donde actúan x, y, xy).

c) Vigas de gran altura, ménsulas cortas, nudos de pórticos y tabiques.

d) Diseño al corte en losas. En este caso el corte no es generalmente crítico para losas con cargas

distribuidas por unidad de superficie o por unidad de longitud apoyadas en vigas o paredes, ya

que el máximo corte por unidad de longitud es relativamente pequeño. Sin embargo, el corte

puede ser crítico para losas en la vecindad de cargas concentradas debido a que el máximo corte

por unidad de longitud de la losa es relativamente alto alrededor de tales cargas (falla por

punzonado).

El procedimiento de diseño para los casos a) a c) anteriores pueden realizarse según el Método de las

Bielas que se detalla en el Anexo A del Proyecto de Reglamento. También para estos casos deben

aplicarse los Art. 11.8 a 11.11. Para el caso de las losas y zapatas deben seguirse las disposiciones del

Art. 11.12 del Proyecto.

1.3. Inecuación básica de diseño

Para los elementos estructurales incluidos en este capítulo, el diseño de las secciones transversales

sometidas a esfuerzos de corte se debe basar en la expresión (1).

Demanda Suministro

Resistencia de Diseño Resistencia Requerida

VuVn (1)

Siendo:






- Vu el esfuerzo de corte mayorado en la sección considerada.

- Vn resistencia nominal al corte

- el factor de reducción de resistencia.

Los requisitos para el diseño al corte se presentan en términos de las fuerzas de corte (no de las

tensiones de corte), de modo de ser compatibles con las demás condiciones del método de diseño por

resistencia, las cuales se expresan en términos de cargas, momentos y fuerzas.

1.4. Resistencia de Diseño

1.4.1. Factor de reducción de resistencia

Para el caso de corte se tiene =0.75, según P-C201-2002.

1.4.2. Determinación de la resistencia al corte nominal

A partir de la (1) puedo calcular Vn considerando el límite inferior de esa inecuación, según se indica

en la (2).

VuVn (2)

También puede expresarse Vn en función de la resistencia proporcionada por el hormigón y la

armadura, tal como se indica en la (3).

VsVcVn (3)

Siendo:

- Vc la resistencia nominal al corte proporcionada por el hormigón.

- Vs la resistencia nominal al corte proporcionada por la armadura de corte.

En la determinación de Vn se debe considerar el efecto de cualquier abertura en los elementos

resistentes.

1.4.3. Valor límite para la resistencia nominal

En todos los casos debe verificarse el valor límite de Vn dado en la (4).

dbcfVn w´6

5 (4)

1.5. Resistencia Requerida

Para definir el esfuerzo de corte mayorado Vu a considerar en el diseño se contemplan 2 situaciones de

apoyo y cargas.






1.5.1. Primera situación de apoyos y cargas

Se consideran elementos estructurales donde se verifican las siguientes condiciones de apoyo y cargas,

que se grafican en la Figura 1:

- La reacción en el apoyo, en la dirección del corte aplicado, introduce compresión en las zonas

extremas del elemento.

- Las cargas se aplican en, o cerca de, la cara superior del elemento.

- No se presente ninguna carga concentrada entre el borde del apoyo y la ubicación de la sección

crítica.

Elemento apoyado sobre Elementos aporticados en forma

apoyos directos monolítica con otro elemento

Figura 1: Primera situación de apoyo y carga considerada.

Para estas condiciones de apoyo y cargas, la fisura inclinada más cercana al apoyo de la viga se

extiende hacia arriba desde la cara del apoyo y alcanza la zona de compresión a una distancia

aproximadamente igual a d desde la cara del apoyo, según se observa en Figura 2.

Figura 2: Diagrama de cuerpo libre en el extremo de una viga.

Si se aplican cargas en la parte superior de la viga, los estribos que atraviesan esta fisura estarán

solicitados por cargas que actúan como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la parte inferior de

la Figura anterior. Las cargas aplicadas sobre la viga, entre la cara de la columna y el punto ubicado a

una distancia d desde la cara, se transfieren directamente al apoyo por compresión en el alma arriba de






la fisura. Por lo tanto, en estos casos el Reglamento permite el diseño para el esfuerzo máximo de corte

mayorado Vu, correspondiente a una distancia d desde la cara interna del apoyo.

1.5.2. Segunda situación de apoyos y cargas

En esta parte se consideran las condiciones de apoyo no contempladas en el caso anterior, tal como las

mostradas en Figura 3.

Elementos aporticados por un Cargas que actúan Elementos donde las cargas no están

elemento en tracción cerca del apoyo aplicadas en o cerca de la cara superior

Figura 3: Segunda situación de apoyo y carga considerada.

Para esta situación de apoyo y cargas se debe realizar el diseño según Vu en la sección crítica de corte

que corresponde a la cara del apoyo.

2. RESISTENCIA AL CORTE PROPORCIONADA POR EL HORMIGÓN [11.3]

La resistencia al corte proporcionada por el hormigón Vc, se supone igual tanto para vigas con

armadura de corte como sin ella, y su valor se adopta igual al valor del esfuerzo de corte que provoca

una fisuración inclinada significativa.

2.1. Límite superior de cf `

Como la resistencia Vc está en función de la resistencia a la tracción del hormigón, caracterizada

por c̀f , se recuerda que el Proyecto de Reglamento limita este valor según la expresión (5).

MPacf 3.8` (5)

Debido a la falta de resultados de ensayos y de experiencia práctica con hormigones de resistencias a la

compresión mayores que 70 MPa, la edición 1989 del Código ACI 318 imponía un valor máximo de

8,3 MPa para c̀f a utilizar en la determinación de la resistencia al corte de vigas, viguetas y losas de

hormigón. Actualmente se permiten excepciones que se indican en el Art. 11.1.2.1. del Proyecto de

Reglamento. En él no se prohíbe el uso de hormigones con f'c > 70 MPa; simplemente se advierte al

diseñador que no debe considerar ninguna resistencia mayor que 70 MPa al calcular Vc.

2.2. Vc para elementos sometidos únicamente a corte y a flexión

La expresión básica para la determinación de la resistencia al corte de elementos sin armadura de corte

es la (6).






dbcfdbMu

dVucfVc www `3.0

7

1120`

(6)

Debe tenerse en cuenta que las tres variables de la expresión (6) que afectan la resistencia al corte son:

- cf ` (medida de la resistencia a tracción del hormigón).

- db

As

w

w (cuantía de la armadura referida a una sección bw . d).

- Mu

dVuque debe ser menor a 1 con objeto de limitar el valor de Vc cerca de los puntos de inflexión

(Mu es el momento mayorado que actúa simultáneamente con Vu en la sección considerada).

De manera simplificada también puede calcularse Vc según la (7):

dbcfVc w`6

1 (7)

2.3. Vc para elementos sometidos también a compresión o tracción

En el Art. 11.3 del P-C201-2002 se presentan además las expresiones que permiten cancular Vc para

elementos sometidos a compresión axial, tracción axial significativa y elementos de sección circular.

3. RESISTENCIA AL CORTE PROPORCIONADA POR LA ARMADURA DE CORTE

[11.4]

3.1. Objetivo

El objetivo de esta parte es determinar la resistencia nominal al corte Vs proporcionada por la armadura

de corte y las expresiones que permiten determinar la armadura de corte.

3.2. Tensión de fluencia de diseño para la armadura de corte

La limitación de la tensión de fluencia de diseño de la armadura de corte tiene por finalidad

proporcionar un control del ancho de las fisuras diagonales. Esta tensión está limitada a:

MPafy 420 en general

MPafy 500 en el caso de mallas de acero soldadas de alambres

conformados






3.3. Límites para la separación de la armadura de corte

3.3.1. Separación máxima de la armadura de corte ubicada en forma perpendicular al eje del

elemento

cm

d

s máx

40

2

Si dbcfVs w´3

1 :

cm

d

s máx

20

4

3.3.2. Separación máxima de estribos inclinados y armadura longitudinal doblada

Los estribos inclinados y la armadura longitudinal doblada deben estar separados de manera tal que

cada línea a 45° que se prolongue hacia la reacción, desde la mitad de la altura del elemento, d/2, hasta

la armadura longitudinal de tracción, debe estar cruzada, como mínimo, por una línea de armadura de

corte (ver Figura 4).

Figura 4: Condición para la separación de estribos inclinados y

armadura longitudinal doblada.

3.4. Necesidad de la armadura de corte

Si 2

VcVu

no es necesario colocar armadura de corte.

Si VcVuVc

2

es necesario colocar armadura mínima de corte.

Si VcVu es necesario determinar la armadura de corte de acuerdo a las expresiones (10) y (12).

En la Figura 5 se representa gráficamente las condiciones anteriores.






Figura 5: Requisitos de resistencia al corte.

3.5. Armadura mínima de corte

3.5.1. Consideración sobre la armadura mínima

La armadura de corte restringe el desarrollo de la fisuración inclinada, y por consiguiente se incrementa

la ductilidad y es posible advertir la inminencia de una falla. Caso contrario, en un alma sin armadura

de corte, la formación súbita de fisuras inclinadas podría conducir en forma directa a una falla

repentina.

Esta armadura de corte resulta de gran importancia si el elemento es solicitado por una fuerza de

tracción imprevista o por una sobrecarga. Por lo tanto, se requiere un área mínima de armadura de

corte, mayor o igual que la armadura que se obtiene aplicando las expresión (8).

3.5.2. Situaciones donde no debe colocarse armadura mínima de corte

Las losas, las zapatas y las losas nervuradas no están sujetas a este requisito mínimo de armadura de

corte, dado que existe la posibilidad de que la carga se distribuya entre zonas fuertes y débiles. Sin

embargo, los resultados de algunas investigaciones han demostrado que las vigas de gran altura y las

losas livianas armadas en una dirección, especialmente si están construidas con hormigones de alta

resistencia, pueden fallar en presencia de cargas menores que el valor de Av determinado por medio de

la expresión (8).

3.5.3. Área mínima de armadura de corte

Cuando se requiera armadura de corte, el área mínima de armadura de corte, por unidad de longitud, se

determina según la (8).






w

y

w

w

y

bfk

bb

f

cf

s

Av 33.0

16

´ (8)

3.6. Determinación de la armadura de corte

3.6.1. Consideración

La determinación de la armadura de corte se fundamenta en una modificación de la analogía del

reticulado, analogía que parte de la suposición de que todo el corte lo resiste la armadura de corte. Sin

embargo, una intensa investigación sobre elementos pretensados y no pretensados ha demostrado que la

armadura de corte se debe diseñar para resistir únicamente el corte que supera aquel que provoca la

figuración inclinada, siempre que se considere que los elementos diagonales del reticulado tienen una

inclinación de 45°.

Para estribos inclinados o barras dobladas como armadura de corte, sólo se deben considerar como

efectivas las ¾ partes centrales del tramo inclinado.

Las expresiones (9), (11) y (13) se desarrollan en función de la resistencia al corte Vs, atribuida a la

armadura de corte. Luego en las expresiones (10) y (12) se determina la sección de estribo necesario

por unidad de longitud, en función de las ecuaciones anteriores.

3.6.2. Armadura de corte perpendicular al eje del elemento

s

dfAVs

yv (9)

df

Vs

s

A

y

v (10)

3.6.3. Estribos inclinados como armadura de corte

s

dsenfAVs

yv cos (11)

dsenf

Vs

s

A

y

v

cos (12)

3.6.4. Armadura de corte esté constituida por una barra o alambre individual






dbcfsenfAVs wyv ´4

1 (13)

3.6.5. Armadura de corte combinada

Cuando se utilice más de un tipo de armadura de corte para armar el mismo tramo de un elemento, la

resistencia nominal al corte se debe calcular como la suma de los valores de Vs, determinados para los

diversos tipos de armadura de corte.

4. DETALLES DE ARMADO [7]

4.1. Tipos de armadura de corte

La armadura de corte puede estar constituida por:

a) Estribos perpendiculares al eje del elemento

b) Malla de acero soldada con alambres ubicados perpendicularmente al eje de elemento

c) Estribos circulares, estribos cerrados y zunchos.

Para los elementos no pretensados la armadura de corte puede estar constituida también por:

a) Estribos que formen un ángulo de 45° o más con la armadura longitudinal de tracción.

b) Armadura longitudinal con una parte doblada que forme un ángulo de 30° o más con la armadura

longitudinal de tracción.

c) Combinaciones de estribos y armadura longitudinal doblada.

Los estribos en los elementos solicitados a flexión pueden ser abiertos o cerrados. Cuando sean

abiertos, su función esencial será la de colaborar para soportar los esfuerzos transversales generados

por las solicitaciones de corte, y en el caso de ser cerrados, adicionar su capacidad para arriostrar las

barras comprimidas y absorber esfuerzos de torsión.

A los fines de este Reglamento se utiliza el término “estribo cerrado” para designar a la armadura

transversal de los elementos solicitados a compresión y el término “estribo” para designar

genéricamente a la armadura transversal de los elementos solicitados a flexión.

En las vigas la armadura comprimida se debe encerrar con estribos o estribos cerrados que satisfagan

las limitaciones de diámetro y separación establecidas en Tabla 1, o con una malla soldada de un área

equivalente. Tales estribos se deben colocar en todos los sectores donde se requiera armadura

comprimida.






lestructuraelementodelmenorladodelensión

estriboslosdealambreobarraladediámetros

allongitudinbarraladediámetros

s

dim

48

16

Tabla 1: Diámetros mínimos y separaciones máximas de estribos

para armadura comprimida.

Tanto los estribos como los estribos cerrados deben constituir una sola pieza, para lo cual estarán

conformados por alguna de las tres opciones que se muestran en Figura 6.

Figura 6: Ejemplos de conformación de estribos.

4.2. Ganchos normales

En la Figura 7 se muestran los ganchos para el anclaje de estribos y estribos cerrados.






Figura 7: Ganchos para el anclaje de estribos y estribos cerrados.

Los ganchos a utilizar en zonas sísmicas se definen en el Reglamento INPRES- CIRSOC 103 Parte II.

4.3. Diámetro del mandril de doblado

El diámetro mínimo del mandril de doblado se define en Tabla 2 y se muestra en la Figura 8.

Tabla 2: Diámetro mínimo del mandril de doblado para estribos.






Figura 8: Diámetro mínimo del mandril de doblado para estribos.

5. EJERCICIO DE APLICACIÓN

5.1 Objetivo: Dimensionar al corte la viga V1 de 6.00 m de luz con voladizo de 2.00 m, cuyo diagrama

de corte último se muestra en Figura 1:

65

.26

KN

10

9.2

6 K

N

87

.41

KN

Figura 1: Solicitaciones de corte último para la viga V1

Esta viga posee como armadura para las solicitaciones de flexión:

2 db 8 (armadura superior)

2 db 20 + 2 db 16 (armadura inferior)

Considerar:

a) Sólo Estribos

b) Estribos y barra doblada

5.3 Dimensionamiento al corte considerando sólo estribos.

a) Metodología de diseño

Se fija un diámetro de estribos y se calcula la separación necesaria, verificando que ese valor sea menor

que la separación máxima permitida por reglamento.

En esta parte sólo se realiza el diseño para el mayor Vu (que corresponde al apoyo A por la derecha)

b) Datos

Parámetros geométricos b = 0.20 m c = 2 cm

h = 0.40 m db = 2 cm

d = 0.364 cm

Parámetros de los materiales f’c = 20 Mpa k = 12,6

fy = 420 Mpa kN57.325dbc´f

Parámetros de la Aº de corte dbe = 0,6 cm

2e

e cm28,04

dbAdb






n = 2 (nº de barras)

Parámetros de la Aº de corte Av = n Adbe = 0,566 cm2

(Av/s)mín = b/k = 1,59 cm

2/m

Solicitaciones de corte en la Vu A(d) = 94.05 kN

Sección crítica Vu B(d) = 72.20 kN

c) Resistencia de diseño

Vn = Vu(d)/Ø = 94.05 / 0,75

Vn = 125.40 kN

57.3256

5db'f

6

5Vn clím

Vnlím = 271,31 KN

Vn < Vnlím

d) Resistencia al corte proporcionado por el hormigón

57,3256

1db'f

6

1Vc c

Vc = 54,26 KN

ØVc = 0,75 x 54,26

ØVc = 40,70 KN

Como Vu(d) > ØVc se requiere armadura de corte

e) Resistencia al corte proporcionado por la armadura

Vs = Vn – Vc = 125.40 – 54,26 ; Vs = 71.14 KN

f) Determinación de la separación necesaria de estribos

Separación máxima de estribos Como

cm40Smáxocm2,182/dSmáx3

122,0

57,325

14,71

dbfc

Vs

cm2,18Smáx






Sección necesaria de estribos por metro

m

cm65,4

cm

KNm

KN

42364,0

14,71

fd

V

s

A 2

2y

sv

m

vv

s

A

s

A

Separación de estribos

122.065.4

566.0

sAv

AvS

Adopto S = 12 cm

S < Smáx

g) Determinación del Vu para el cual sólo se necesita armadura de corte mínima

Se adopta Smáx = 18 cm

cm

cm14,3

18,0

566,0

Smáx

Av2

KN03,4842364,014,3fydSmáx

AvVs

KN29,102Vn;03,4826,54VsVcVn

Vu = Ø Vn = 0,75 x 102,29 = 76,72 KN

Para todo Vu(x) 76,72 KN es necesario 1 dbe 6 c/18 cm






h) Detalles de armadura

5,002,00 1,00

1dbe 6mm c/12cm 1dbe 6mm c/18cm1dbe 6mm c/18cm

0,16

0,3

6

0,036

Ø0,024

1dbe 6mmc/18cm

0,20

0,4

0

2db 20mm +2db 16mm

2db 8mm

Sección con Mu máx

5.4 Dimensionamiento al corte considerando estribos y barras dobladas

a) Metodología de diseño

Se elige la barra a doblar y el diámetro del estribo

Se calcula la separación de estribos necesaria en la zona de la barra doblada, y fuera de ella

b) Datos

b = 0,20 m c = 2 cm






h = 0,40 m db = 2 cm ; db1=0.8 cm

Parámetros geométricos d = 0,364 cm dbe = 0,6 cm

cm32

8,06,02

2

ddc'd 1b

be

Parámetros de los materiales f’c = 20 Mpa k = 12,6

fy = 420 Mpa kN57.325dbc´f

dbe = 0,6 cm

2e

e cm28,04

dbAdb

n = 2 (nº de barras)

Parámetros de la Aº de corte Av = n Adbe = 0,566 cm2

(Av/s)mín = b/k = 1,59 cm

2/m

Se considera el doblado de un db = 16

2

22

b

bd cm01,24

6,114,3

4

dAs

Solicitaciones de corte en la Vu(d) = 94.05 KN

Sección crítica (Vu a una distancia d del apoyo A)

Para la valoración de la barra a doblar se considera el art. 12.12.3 del proyecto de reglamento CIRSOC

201/2002. En este art. se establece que para momento positivo se debe prolongar hasta el apoyo

SA3

1

Para determinar la posición de la barra a doblar se considera el art. 11.5.6.7 del proyecto mencionado.

En él se establece que para la armadura de corte sólo se debe considerar efectivamente las 4

3 parte

central del tramo inclinado de cualquier barra doblada.

Para aprovechar de mejor manera la barra doblada se considera d2=d, según nomenclatura de Figura 2.






2db 8mm1dbe 6mm c/18cm

2db20mm+2db16mm

x

d16,002,00

d=d2

d3

1dbe 16mm

Siendo:

d1: distancia donde se levanta la barra.

d2: distancia desde donde es activa la barra doblada.

d3: distancia hasta donde es activa la barra doblada.

cm4,36dd 2

)'dd(75,0dd 1 )'dd(75,0dd1

)0,34,36(75,04,36d1

cm45,61d1

Para esta distancia hay que verificar si por flexión puede levantarse esta barra: )d(MuMn 1

)'dd(75,0dd 13 )'dd(75,0dd 13

)0,34,36(75,045,31d1

cm5,86d1

º45tg

)0,34,36(45,61

tg

)'dd(dX 1

; cm05,28X

c) Resistencia de diseño

Vn = 125,40 KN

d) Resistencia al corte proporcionado por el hormigón

Vc = 54,26 KN

e) Resistencia al corte proporcionado por la armadura de estribos






e-1) Zona con barra doblada activa

Vs1 = Vn – Vc -Vsdb

senfyAV adbsdb

2

2

sdbcm

KNcmº45sen4201,2V

KN68,59Vsdb

dbc'f4

1V limsdb

KN39,81V limsdb

limsdbsdb VV

Vs1 = 11,46KN

e-2) Zona sin barra doblada activa (desde la distancia d3)

c3n2s V)d(VV

KN51,103)d(V;75,0

63,77)d(V)d(V 3n

3v

3n

26,5451,103V 2s

KN25,49V 2s

f) Determinación de la separación necesaria de estribos.

f-1) Zona con barra doblada activa

Separación

máxima

de estribos

mín

v1v

2

2y

1s1v

s

A

s

A

m

cm59,1

cm

KN.m

KN

42.364,0

46,11

f.d

V

s

A

Como

cm2,182

dSmáx

3

104,0

57,325

46,11

bdc´f

V 1s

cm40

Smáx = 18,2cm






Sección

necesaria

de estribos

por metro

Separación

de estribos

f-2) Zona sin barra doblada activa

Separación

máxima

de estribos

Sección

necesaria

de estribos

por metro

m1820,059,1

566,0

s

A

As

1v

v

Adopto s = 18cm máxss

Como

cm2,182

dSmáx

3

1151,0

57,325

25,49

producto

V 2v

cm40

Smáx = 18,2cm

m1755,022,3

566,0

s

A

As

1v

v

Adopto s = 18cm máxss

mín

v2v

2

2y

2s2v

s

A

s

A

m

cm22,3

cm

KN.m

KN

42.364,0

25,49

f.d

V

s

A

Smáx = 18,2cm






Separación

de estribos

g) Detalle de armadura

2,00 6,000,61

0,28

2db20mm+2db16mm1db16mm

1dbe 6mm c/18cm 1dbe 6mm c/18cm






DISEÑO A TORSIÓN:

1.- INTRODUCCIÓN:

En la ingeniería civil las solicitaciones de Torsión muy frecuentemente no actúan solas, en la mayoría

de los casos vienen acompañadas por momentos flectores, esfuerzos de cortes y algunas veces por

esfuerzos axiales.

Durante años la torsión se trataba como un efecto secundarios de los elementos estructurales y en

muchos casos no era tenida en cuenta en forma explicita en el diseño; su efecto era tomado por el factor

de seguridad global de estructuras diseñadas en forma conservadora. En los últimos años ha surgido la

necesidad de considerar los efectos de torsión en el diseño de elementos y disponer armaduras

adecuadas para aumentar la resistencia a torsión. Existen dos razones principales para este cambio.

La primera se relaciona con el mejoramiento en los métodos de análisis y diseño y la segunda razón

tiene que ver con el incremento en el uso de elementos estructurales en los cuales la torsión es un

aspecto principal de su comportamiento (vigas de puentes curvos, vigas cajón con cargas excéntricas,

losas helicoidales de escaleras, etc). Por lo tanto desde 1960 se ha dado una evolución importante en las

actividades de investigación relacionadas con la torsión en el hormigón armado.

Al considerar los efectos de la torsión en las estructuras de hormigón armado, es importante diferenciar

entre los que muchos autores llaman: torsión primaria y torsión secundaria. La torsión primaria,

también conocida como torsión de equilibrio o torsión estáticamente determinada se evidencia cuando

la carga exterior no tiene otra alternativa que ser equilibrada por la torsión. Un ejemplo de ello es la

losa en voladizo mostrada en figura 1-1. Las cargas aplicadas en la superficie de la losa producen

momentos torsores que actúan a lo largo de la longitud de la viga de apoyo de la losa. Éstos son

equilibrados por el momento torsor resistente “T” que se genera en las columnas. Sin éstos momentos

torsores la columna colapsaría.

La torsión secundaria, también conocida como torsión por compatibilidad o torsión estáticamente

indeterminada, se evidencia a partir de los requisitos de continuidad, es decir de la compatibilidad de

deformaciones entre partes adyacentes de una estructura. En este caso los momentos torsores no

pueden determinarse únicamente teniendo en cuenta el equilibrio estático. Si no se considera la

continuidad en el diseño, posiblemente aparecería un cierto agrietamiento en la continuidad, sin

embargo ello no implica el colapso del elemento estructural. Un ejemplo de torsión secundaria se

presenta en el caso de vigas de borde de una losa monolítica de hormigón armado tal como se indica en

la figura 1-2.






Fig. 1.1: Torsión primaria o de equilibrio en una losa en voladizo

Fig. 1-2: Torsión secundaria o de compatibilidad en una viga de borde

Si la viga de borde posee rigidez a torsión, está adecuadamente armada para la solicitación de torsión y

por último se las columnas pueden proveer el momento torsor resistente “T” necesario, los momentos

en la losa serán aproximadamente los de un apoyo exterior rígido (figura 1-3). Si la viga posee una

rigidez baja a torsión y su armadura a dicha solicitación es inapropiada, aparecerán fisuras que

reducirán la rigidez a torsión y los momentos en las losa se aproximan a los de un borde articulado

(figura 1-4).

Fig. 1-3: Momentos en las losas si las vigas de borde posee o no rigidez a torsión

En los diseños de hormigón armado a menudo no se tienen en cuenta los efectos de torsión secundarios,

cuando los efectos de torsión son bajos y cuando los estados alternos de equilibrio son posibles. Ello

está permitido por el código ACI y por consiguiente por la norma CIRSOC 201-2005.






2.- TORSIÓN EN ELEMENTOS DE HORMIGÓN SIMPLE:

En la figura 2.1, se señala una porción de elemento prismático sometido a momentos torsores “T”,

iguales y opuestos en sus extremos.

Fig. 2-1: Esfuerzos originados por torsión.

Si el material es elástico la teoría de torsión de Saint Venant, indica que los esfuerzos cortantes por

torsión se distribuyen sobre la sección transversal, tal como se indica en el apartado b) de la citada

figura. Los mayores esfuerzos cortantes se presentan en el tramo medio de las caras más anchas. Si el

material se deformara inelásticamente, como ocurrirá con el hormigón armado, la redistribución de los

esfuerzos se aproxima a las líneas de trazos indicadas en la misma figura.

Los esfuerzos cortantes actúan en pares sobre un elemento en o cerca de la superficie ancha (figura 2-1,

apartado a). Este estado de esfuerzos es equivalente a un conjunto de esfuerzos de tracción y de

compresión iguales en las caras de un elemento rotado un ángulo de 45º con respecto a la dirección

cortante. Estos esfuerzos de tensión inclinados son del mismo tipo que los causados por cortantes

transversales. Sin embargo, para el caso de torsión, y dado que los esfuerzos de corte por torsión tienen

signos opuestos en las dos caras opuestas del elemento, los esfuerzos de tensión diagonal

correspondientes forman ángulos rectos entre sí.

Cuando los esfuerzos de tensión diagonal exceden la resistencia del hormigón, aparece un estado de

fisuración en el elemento estructural. El valor del momento torsor que corresponde a la formación de

dicha grieta diagonal se conoce como Momento Torsor de agrietamiento “Tcr”

Existen diversas maneras de analizar elementos sometidos a torsión. Observando la distribución de

tensión indicada en la figura 2-1, se acepta la utilización de la “analogía del tubo de pared delgada o

de la armadura espacial”. En ella, los esfuerzos cortantes se consideran constantes en un espesor finito

“t” alrededor del perímetro del elemento, permitiendo considerar la viga como si fuera un tubo

equivalente (figura 2-2).






Fig. 2-2: Tubo de pared delgada bajo torsión.

Dentro de las paredes del tubo de torsión es resistida por el flujo de corte “q”, el cual tiene unidades de

fuerza por unidad de longitud. En la analogía “q” se considera constante alrededor del perímetro del

tubo. Tal como se observa en la figura 2-2, las resultantes de las componentes individuales del flujo de

corte están localizadas dentro de las paredes del tubo y actúan a lo largo de las longitudes “yo” en las

paredes verticales y a lo largo de las longitudes “xo” en las paredes horizontales. Las longitudes “xo” e

“yo” deben medirse en el centro de las paredes.

La relación entre el momento torsor aplicado y el flujo de corte queda definido por la ecuación

siguiente:

2

2

2

2 xoyoqyooxqT (1)

Los dos términos de la derecha representan las contribuciones de las paredes horizontal y vertical al

momento torsor resistente. Por lo tanto:

yoxoqT 2 (2)

El producto (xo yo), representa el área encerrada por la trayectoria del flujo de corte “Ao”:

AoqT 2 (3)

Ao

Tq

2

(4)






El área “Ao”, es aplicable a secciones cajón huecas, al igual que a secciones sólidas en cuyo caso

incluye el área del vacio central. Para un espesor de pared de tubo “t”, el esfuerzo cortante unitario que

actúa dentro de las paredes del tubo resulta:

tAo

T

t

q

2 (5)

En figura 2-1-a) se indica el esfuerzo principal a tracción = . El hormigón comenzará a fisurarse

cuando = = f’t , es decir la resistencia a tracción del hormigón. Considerando que el hormigón está

sometido a tracción y compresión biaxial ( f’t ) puede estimarse desde un punto de vista conservador

igual a:

'

ct f3

1'f (6)

Por lo tanto sustituyendo : '

CCR f3

1* , en la ecuación (5) y despejando “T”, se obtendrá el

valor del momento torsor de fisuración:

tAof3

2T

'

CCR (7)

“Ao”, representa el área encerrada por el camino seguido por el flujo de corte, la misma debe ser una

fracción del área encerrada por el perímetro externo de la sección transversal completa de hormigón

(Acp). Generalmente el valor de “t”, puede aproximarse a una fracción de la relación (Acp / Pcp), donde

“Pcp”, es el perímetro de la sección transversal.

Para elementos sólidos con secciones transversales rectangulares “t”, puede tomarse de 1/6 á ¼ del

ancho mínimo de la sección. Si se utilizara un valor de ¼ para un elemento de relación ancho vs. altura

igual a 0.50, se obtendría un valor aproximado de Ao = 2/3 Acp. Para dicho elemento entonces:

cp

cp

P

A

4

3t

(8)

Utilizando los valores de”Ao” y “t” indicados precedentemente en la ecuación (7), finalmente se

obtiene el siguiente valor del Momento Torsor de Fisuración:






CP

2

CP'

CCRP

Af

3

1T (9)

La ecuación (9) permite estimar de manera razonable el momento torsor de fisuración para elementos

de hormigón armado, independientemente de la forma de su sección transversal.

3.- TORSIÓN EN ELEMENTOS DE HORMIGÓN ARMADO:

Para valores de “T”, superiores al “TCR”, la armadura debe estar conformada por estribos con poca

separación y además por barras longitudinales. Ensayos realizados han demostrado que la sola

armadura longitudinal aumenta muy poco la resistencia a torsión, lograndose incrementos de un 15%

como máximo. Esto es lógico, dado que la única forma de que las barras longitudinales puedan

contribuir a la resistencia a la torsión es por el efecto de “dovela”, que en particular es bajo y poco

confiable si la fisuración a lo largo del elemento estructural no está restringido por armadura transveral.

Para elementos estructurales con una adecuada armadura de torsión (figura 3-1-a), las fisuran se

delinean como un espiral (figura 3-1-b).

Fig. 3-1: Vigas de Hormigón Armado solicitadas a torsión. Disposición de armaduras y estado de fisuración debida a torsión.

Después de ocurrida la fisuración, la resistencia a torsión del hormigón disminuye hasta casi la mitad

de la resistencia del elemento no fisurado, y el resto de la torsión la resiste ahora la armadura. Dicha






redistribución en la resistencia interna se observa en la curva “momento torsor vs. ángulo de torsión”

(figura 3-2)

Fig. 3-2: Curva Momento torsor versus rotación para un elemento de hormigón armado

Los ensayos experimentales han demostrado que, después de la fisuración, el área encerrada por el flujo

de corte queda definida por las dimensiones “xo” e “yo”, medidas hasta los ejes centrales de la

armadura transversal cerrada más alejada y no hasta el centro de las paredes del “tubo” como lo era

antes. Estas dimensiones definen: (midiendo las distancias hasta la línea central del acero).

yo*xoAoh (Área bruta) (10)

)yoxo(2Ph (Perímetro de Corte) (11)

El análisis de la resistencia a torsión del elemento estructural puede estimarse considerando al elemento

como un reticulado espacial constituido por las diagonales de hormigón en espiral, que toman las

cargas paralelas pero no perpendicular a las fisuras de torsión, y elementos en tracción transverales que

corresponden a los estribos cerrados y por último a los cordones en tracción que corresponden a las

barras longitudinales.

La analogía del tubo hueco y la armadura espacial resulta una simplificación del problema y subestima

de manera importante la capacidad a torsión, por lo tanto no es del todo real dado que se puede

demostrar que la resistencia de torsión está controlada por la resistencia de la armadura transveral

independientemente de la resistencia del hormigón.

De acuerdo se indica en figura 3-3, la resistencia a torsión correspondiente a un elemento con una

sección transversal rectangular, puede representarse como la suma de las contribuciones de los

cortantes en en cada una de las cuatro paredes del tubo hueco equivalente. La contribución a la

resistencia a torsión del cortante que actúa en la pared vertical derecha del tubo es por ejemplo igual a:






Fig. 3-3: Analogía de la armadura espacial.

2

4 4 xoVT (12)

Utilizando el mismo razonamiento que en corte (modelo de armadura para vigas con refuerzos en el

alma), el equilibrio de una sección de pared vertical con un borde paralelo a una grieta de torsión con

ángulo “”, puede evaluarse utilizando la figura 3-4. Admitiendo que los estribos que atraviesan las

fisuras están en fluencia, el cortante en la pares considerada resulta:






Fig. 3-4: Fundamentos del Diseño a Torsión:.Compresión diagonal en pared vertical de la viga. Diagrama de equilibrio de fuerzas debido al corte en pared vertical.

nfAV ytt4 (13)

At = Área de una rama del estribo cerrado.

fyt = Tensión de Fluencia de la armadura transversal.

n = Número de estribos interceptados por la fisura de torsión.

Dado que la proyección horizontal de la grieta es “yo cot ” y “n = yo cot /s”, donde “” es el ángulo

de inclinación del puntal y “s” es la separación de estribos, resulta:

cot4s

yofAV

ytt (14)

Reemplazando la ecuación (14) en la (12) se obtiene:

cot2

4s

xoyofAT

ytt (15)

Con un razonamiento análogo al realizado es posible demostrar que se obtienen expresiones iguales a la

(15) para cada una de las paredes laterales y horizontales del elemento estructural. Por lo tanto si se

suma la contribución de todos los lados puede obtenerse la capacidad nominal de la sección:

cot2

24

1 s

xoyofATiT

ytt

in

(16)

Donde: ohAyoxo






Ordenando la expresión (16) finalmente queda:

cot2

s

fAAT

yttoh

n (17)

Los puntales diagonales a compresión que se forman paralelamente a las fisuras de torsión son

necesarios para el equilibrio de la sección transversal (figura 3-4 a y b). La componente horizontal de

la compresión de dichos puntales, en las paredes verticales debe equilibrarse con una fuerza de

tracción axial “N4”. Admitiendo la distribución uniforme de tensiones supuesta del flujo de corte

alrededor del perímetro del elemento, los esfuerzos diagonales en los puntales deben ser

uniformemente distribuidos obteniéndose una línea de acción de la fuerza resultante que coincide con

la altura media de la pared.

Según la figura 3-4 c), la contribución total de la pared vertical derecha debido a la presencia del

momento torsor resulta:

2

44 cotcots

yofAVN

ytt (18)

Sumando la contribución de todos los lados, la fuerza de tracción total resulta:

2

4

4

1cot)(2 yoxo

s

fANN

ytt

i

(19)

2cots

pfAN

hytt (20)

ph = Perímetro de la línea central de los estribos cerrados.

Entonces es necesario proveer armadura longitudinal para soportar la fuerza axial “N”. Pensando el

acero en fluencia se tendrá:

2cots

pfAfA

hytt

yll (21)

2cotyl

yt

ht

lf

fp

s

AA (22)






Al = Área de armadura longitudinal para resistir el efecto de torsión.

fyl = Tensión de fluencia del acero longitudinal.

Experimentalmente se ha encontrado que después de la fisuración el área efectiva encerrada por la línea

de flujo de corte es un poco menor que el valor “Aoh”, por lo tanto se recomienda utilizar un valor

reducido igual a :

oho AA 85.0 (23)

Aoh = Área encerrada por la línea central de la armadura transversal.

Además se ha encontrado en forma experimental que el tubo equivalente para cargas cercanas a la

última puede aproximarse al valor:

h

oh

p

At (24)

Donde “ph” es el perímetro de “Aoh”.

4.- ESFUEZOS DE TORSIÓN Y ESFUERZOS CORTANTES:

En la práctica de la ingeniería civil existen muy pocos casos en los cuales los elementos estructurales se

encuentran solicitados a exclusivamente momentos torsores. La situación más común es aquella en que

el elemento está sujeto a momentos flectores y corte, a los que se suma en el tema que se trata los

esfuerzos debidos a torsión.

En un elemento no fisurado, las fuerzas de corte y el momento torsor, producen esfuerzos de corte. En

un elemento fisurado, tanto el cortante como la torsión incrementan las fuerzas diagonales y también se

incrementa el ancho de las fisuras diagonales y como consecuencia de ello se incrementa entonces las

fuerzas resultantes en las armaduras transversales.

El esfuerzo de corte nominal producida por una fuerza de corte aplicada “V” es:

db

V

w

v (25)

El esfuerzo cortante producido por torsión está dado por la ecuación (5)

tAo

T

t

q

2






Fig. 4-1: Adición de esfuerzos por torsión y corte en secciones huecas y macizas.

Tal como se indica en figura 4.1 a), para secciones huecas, los esfuerzos de corte y torsión deben

sumarse en una cara del elemento. De esta manera para secciones transversales de hormigón armado

fisurado con (Ao = 0.85*Aoh) y (t = Aoh / ph), el esfuerzo total máximo puede expresarse como:

27.1 oh

h

w

tvA

pT

db

V (26)

Para elementos estructurales con secciones transversales sólidas (figura 4-1 b), “t”, se distribuye

alrededor del perímetro, tal como lo representa la analogía del tubo hueco, sin embargo toda la sección

transversal constribuye a soportar “v”. La comparación con resultados experimentales ha demostrado

que la ecuación (26) es conservadora para secciones transversales sólidas y que se podría lograr una

mejor representación del esfuerzo cortante máximo mediante la raíz cuadrada de la suma de los

cuadrador de los esfuerzos cortantes nominales:

A

pT

db

V

oh

h

w27.1

22

(27)

Las ecuaciones (26) y (27) se utilizan para estimar los esfuerzos cortantes en el hormigón para cargas

de servicio y cargas últimas.






5.- DISPOSICIONES DE CÓDIGO CIRSOC 201-2005 PARA DISEÑO A TORSIÓN:

Las condiciones de seguridad del reglamento exige que:

TnTu ó TuTn (28)

Tu = Resistencia requerida a la torsión para cargas mayoradas.

Tn = Resistencia nominal a torsión del elemento.

Para la solicitación de torsión el coeficiente de reducción de resistencia es: = 0.75

El valor de “Tn” se basa en la ecuación (17), en la cual se reemplaza el valor de “Aoh” por “Ao”, por lo

cual:

cot2

s

fAAT

ytto

n (29)

Las secciones localizadas a menos de una distancia “d” de la cara de apoyo pueden diseñarse para el

mismo momento torsor “Tu” que el calculado a una distancia “d”, debido a los efectos favorables de la

compresión generada en el apoyo. Por otro lado si existiese un momento torsor concentrado aplicado

dentro de dicha distancia, la sección critica debe tomarse en la cara del apoyo.

5.1.- Vigas tipo “T” y con secciones tipo “Cajón”:

Para vigas con sección “T” existe una porción de las alas que contribuyen al momento torsor de

fisuración y además si las mismas han sido armadas con estribos cerrados contribuyen a la resistencia a

torsión.

El ancho de las alas que sobresale a cada lado del alma y que contribuye es igual al menor de los

siguientes valores:

i) La altura total de la viga (h) menos el espesor de la losa (hf).

ii) Cuatro veces el espesor de la losa (hf).

Al igual que para seccione llenas “Acp”, para secciones en cajón, con o sin alas, representa el área

encerrada por el perímetro exterior de la sección de hormigón armado.

Para valores superiores al momento torsor de fisuración, el momento torsor aplicado deberá ser

resistido por la porción de la sección representada por “Aoh”, área encerrada por las líneas centrales de

la armadura transversal de torsión más alejadas.






Fig. 5-1: Definición de “Aoh”

En figura 5.1 se representa el valor de “Aoh”, para secciones rectangulares, en cajón y en “T”. Para

secciones con alas el reglamento no exige que la sección utilizada para calcular “Acp” coincida con

aquella para calcular “Aoh”.

5.2.- Torsión Mínima:

Si el momento torsor mayorado “Tu” no excede el valor )P/A(f)12/1( cp

2

cp

'

c´ (para elementos no

pretensados), los efectos de torsión pueden despreciarse. Este límite inferior corresponde al 25% del

momento torsor de fisuración determinado con la ecuación (9) y reducido mediante el coeficiente “”.

La presencia de de momentos torsores iguales o por debajo de éste límite, no afectará en forma

significativa la resistencia a flexión o corte del elemento estructural.

5.3.- Torsión primaria y torsión secundaria:

Se había citado en los párrafos anteriores que el reglamento diferencia entre la torsión primaria (por

equilibrio) y la torsión secundaria (por compatibilidad), esto se definión en al apartado 1) del presente

tema y según lo indicado en Fig. 1.1 y Fig. 1.2.

Para la torsión primaria, el elemento debe diseñarse para suministrar la resistencia a torsión requerida

por equilibrio estático. Para torsión secundaria, generadas por condiciones de compatibilidad, se supone

que la fisuración provocará una redistribución de fuerzas internas. En éstos casos el momento torsor

máximo mayorado “Tu” puede reducirse al siguiente valor para elementos no pretensados :

cp

cp

cp

AfTu

2

'

3

1 (30)

Para elementos no pretensados solicitados por una fuerza de tracción o compresión axial la reducción

del momento torsor puede tomarse igual a:






´

2

´ 31

3

1

cgcp

cp

c

fA

Nu

p

AfTu (30.1)

El valor reducido de “Tu” que admite el reglamento, intenta aproximar la resistencia de torsión a la

fisuración de la viga de apoyo de la losa para una carga combinada de torsión y flexión. Las

importantes rotaciones que se presentan con carga de torsión especialmente constantes producirán una

redistribución significativa de las fuerzas internas, justificando la utilización del valor reducido en el

diseño del elemento a torsión y de los elementos de apoyo.

La reducción del momento torsor sólo se podrá realizar en aquellos casos en que la redistribución de

momentos, en la viga que se está diseñando, sea posible. Algunos ejemplos de ellos pueden observarse

en la Fig. 5.1.1 (a) y (b).

(a) (b)

Fig. 5.1.1: (a): Ejemplo de momento torsor de diseño para el cual el reglamento no permite reducción.

(b): Ejemplo de momento torsor de diseño que se puede reducir.

5.4.- Límites del esfuerzo Cortante:

Basado en observaciones empíricas, el ancho de las fisuras diagonales producidas por la acción

combinada del corte y la torsión bajo cargas de servicio, pueden limitarse al esfuerzo cortante calculado

bajo “cortante y torsión mayoradas”, es decir:

'

max3

2c

w

c fdb

Vv (31)

Donde “vmax”, corresponde al límite superior de la capacidad a corte. Trabajando con la ecuación (26) y

(31) se obtendrán los límites para secciones transversales huecas.






'

2 3

2

7.1c

w

c

oh

hu

w

u fdb

V

A

pT

db

V (32)

Con un razonamiento análogo para secciones macizas, trabajando con la ecuación (27) y la (31), se

obtendrán los correspondientes límites:

'

22

3

2

27.1c

w

c fdb

V

oh

hu

w

u

A

pT

db

V (33)

Si las desigualdades indicadas por las ecuaciones (32) y (33) no se cumplen, deberán aumentarse las

dimensiones transversales del elemento estructural o bien mejorar la calidad del hormigón.

Por último el reglamento exige que si el espesor de la pared es variable alrededor del perímetro de una

sección hueca, la ecuación (32) deberá valorarse en una posición para la cual la parte izquierda de dicha

ecuación sea máxima. Si el espesor de la pared es menor que el valor supuesto de “t” utilizado en el

desarrollo de la ecuación (26), (Aoh / ph), el valor real de “t” debe utilizarse en el cálculo de los

esfuerzos cortantes por torsión. Como resultado, el segundo término a la izquierda de la ecuación (32)

deberá tomarse como (Art. 11.6.3.3 del Reglamento):

tA

T

oh

u

7.1

Donde “t” es el espesor de la pared de la sección hueca en la posición en la cual se verifican los

esfuerzos.

5.5.- Armadura de Torsión:

La Resistencia nominal a torsión está dada por la ecuación (29):

cot2

s

fAAT

ytto

n

El ángulo “”, puede tomar cualquier valor entre 30º y 60º, sin embargo se sugiere tomar un valor de

= 45º. El área encerrada por el flujo de corte “Ao” puede tomarse igual a “0.85 Aoh”. Trabajando con la

ecuación (28) y (29) el área requerida para la sección transversal de una rama de estribo para torsión es:






cot2 yto

u

tfA

sTA (34)

Por otro lado la armadura determinada para torsión debe sumarse a la requerida para corte. Si los

estribos fueran de dos ramas esto puede expresarse de la manera siguiente:

s

A

s

A

s

A tvtv 2

(35)

Tal como se cito en los apartados anteriores los estribos ha disponer para tomar torsión deben ser

cerrados, tal de proporcionar la capacidad requerida a través de las grietas diagonales en todas las caras

de la viga. Los estribos en forma de “U” abiertos no son adecuados cuando se está en presencia de

torsión. El reglamento admite estribos de dos tramos (figura 5-2), donde el estribo en forma de “U” se

combina con una barra superior horizontal anclada en forma apropiada.

Fig. 5-2: Estribos y armadura longitudinal a torsión.

Por otro lado el reglamento exige que los estribos deben anclarse con ganchos a 135º, alrededor de una

barra longitudinal, a menos que el hormigón que rodea al anclaje esté confinado por un ala de una viga

o una losa maciza, en este caso el gancho puede ser a 90º (figura 5-2: a, b, d). No se deben utilizar






estribos en forma de “U” superpuestos como se muestra en la figura 5-2 d). Si las alas se incluyen en el

cálculo de la resistencia a torsión de la viga “T” o “L”, deben disponerse estribos cerrados tal como se

muestra en la figura 5-2 e).

La separación de los estribos cerrados “s”, que satisface la ecuación (35), no debe exceder el menor de

los siguientes valores:

8

hps

mms 300

Adicionalmente es necesario controlar el área mínima de estribos cerrados, la cual debe cumplir con la

relación siguiente:

yt

w

yt

wctv

f

sb

f

sbfAA

33.0

16

1)2( ' (36)

El área de las barras longitudinales “Al”, requerida para resistir la torsión está dada por la ecuación

(22), donde “” debe tener el mismo valor empleado para calcular “At”. En la citada ecuación (22),

(At / s), debe tomarse de acuerdo a lo calculado con la ecuación (34). En base al comportamiento de

vigas de hormigón armado ensayadas a torsión, el reglamento exige que “Al”, no sea inferior a:

y

yt

ht

y

cpc

lf

fp

s

A

f

AfA

12

5 '

min, (37)

Siendo yt

wt

f

b

s

A

6

1

La armadura longitudinal de torsión debe estar distribuida a lo largo del perímetro del estribo cerrado,

con una separación máxima de 300 mm. (debe ubicarse al menos una barra en la esquina del estribos

cerrado). Las barras longitudinales deben tener un diámetro “ds”, tal que:

24

sds ó mmds 10

Siendo “s” la separación de estribos.

Las armaduras requeridas por torsión pueden combinarse con las requeridas por otras solicitaciones,

siempre y cuando el área suministrada sea la suma de las áreas individuales. Por otro lado es necesario

proporcionar armadura de torsión al menos por una distancia igual a (bt + d) más allá del punto donde






teóricamente se requiere, donde “bt” es el ancho de aquella parte de la sección transversal que contiene

los estribos cerrados que resisten torsión.

El punto en el cual no se requiere más armadura de torsión (para elementos no pretensazos) es el punto

en el cual:

cp

cp

cp

AfTu

2

'2

1

Este valor es el 25% del momento torsor de fisuración, reducido por el factor “” utilizado para la

solicitación de torsión.

5.6.- Diseño a Torsión:

El diseño a torsión de un elemento a flexión de hormigón armado involucra una serie de pasos. Se

resume a continuación los más importantes:

1) Determinar si el momento torsor mayorado es menor que (para elementos pretensados):

cp

cp

cp

Af

2

'2

1

Si fuera así el efecto de torsión puede despreciarse. De lo contrario habrá que diseñar a torsión. Es de

hacer notar que en éste paso hay que incluir la longitudes de las alas colaborantes para el cálculo de

(Acp) y (Pcp) de acuerdo a lo descrito en el punto 5).

2) Si se trata de torsión por compatibilidad, en lugar de torsión por equilibrio, el momento torsor

mayorado máximo puede reducirse a (para elementos pretensados):

cp

cp

cp

AfTu

2

'

3

1

ajustando de manera correspondiente los momentos y corte en el elemento soporte. Para elementos no

pretensazos con fuerza axial de tracción o compresión a:

´

2

´ 31

3

1

cgcp

cp

c

fA

Nu

p

AfTu

La torsión por equilibrio NO puede reducirse.

3) Verificar los esfuerzos cortantes en la sección con corte y torsión combinados utilizando los criterios

expuestos en el apartado 5.4).






4) Calcular la armadura transversal requerida para torsión utilizando la ecuación (34) y la necesaria

para corte. Luego sumar “At” y “Av”, utilizando la ecuación (35).

5) Verificar que se cumplan los requisitos mínimos de armadura transversal tanto para torsión como

para corte. Estos requisitos incluyen la separación máxima (punto 5.5) y el área mínima de estribos

(ecuación 36).

6) Calcular la armadura de torsión longitudinal utilizando el mayor de los valores dados por las

ecuaciones (36) y (37), cumpliendo los requerimientos de separación y diámetro de las barras dadas en

el punto 5.5).

7) Continuar la armadura de torsión hasta (bt + d) más allá del punto donde “tu” es menor que:

cp

cp

cp

Af

2

'2

1






APLICACIÓN PRÁCTICA DE TORSIÓN

1) OBJETIVOS:

Dimensionar un elemento estructural de Hormigón Armado solicitado a Tensiones

tangenciales debidas a Corte y Torsión utilizando los conceptos desarrollados por la

fundamentación teoría, con la aplicación de la normativa CIRSOC 201-2005, basada en ACI

318.

Desarrollar criterios de armado para las secciones dimensionadas, tal de que los mismos se

puedan generalizar para otros casos similares a los tratados en la presente aplicación.

2) NORMATIVA A UTILIZAR:

* Proyecto, Cálculo y Ejecución de Estructuras de Hormigón Armado y Pretensado. Reglamento

CIRSOC 201-2005, basado en ACI 318.

3) Solicitaciones de Torsión. Casos más usuales de la Práctica Profesional:

La torsión pura es una solicitación poco frecuente en la Ingeniería Civil (no así en otras especialidades,

por ejemplo la mecánica o industrial). En la mayoría de los casos viene acompañada de Flexión y

Corte, por ello en la presente aplicación se tendrá en cuenta dichas solicitaciones interactuando con las

de torsión.

Previo al diseño es necesario distinguir entre Momentos de Torsión que son necesarios para el

equilibrio (primarios) y los que sólo son debidos a una solicitación (secundarios). Por ejemplo:

Tu P

B B C

Tu

A P A D

Fig(1): El equilibrio sólo se puede conseguir teniendo en cuenta los Momentos Torsores de la viga AB

que se transmiten a los apoyos como Momentos Flectores (No existe posibilidad de redistribuir

momentos).

Fig. (1): La carga aplicada en

el voladizo sólo se podrá

soportar cuando la viga (AB)

presente resistencia a torsión.

Fig. (2): La carga podrá ser

sopotada aún cuando las vigas

(AB) y (DC) no presenten

resistencia alguna a torsión.






Fig(2): En la viga AB aparecen Momentos Torsores porque la viga transversal transmite los momentos

de empotramiento. Sin embargo los “Tu”, no son necesarios para el equilibrio (Hay posibilidad de

redistribuir momentos).

Conclusión:

Los Momentos Torsores se verificarán cuando los mismos sean necesarios para el equilibrio.

Algunos otros casos de la Práctica Profesional:

Fig. a: Vigas Longitudinales

de Puentes

Fig. b: Vigas Balcón Fig. c: Vigas c/ Pasarelas excéntricas

Fig. d: Vigas de Eje Curvo Fig. e: Vigas asociadas con ménsulas cargadas y

ancladas en tramos (aparejos)

Fig. f: Vigas Transversales de Pilas de Puentes

Fig. g: Columnas con ménsulas para puentes Grúas (Fuerzas Frenado)






4) EJEMPLO DE APLICACIÓN:

Problema a Resolver: Se proyecta una pasarela apoyada sobre una viga excéntrica. Dicha viga se

encuentra apoyada sobre una fila de columnas separadas entre sí 6.00 m. Las dimensiones de las

columnas son de (30*30) cm. El ancho total de la pasarela es de 1.20 m y debe dejar un espacio libre

por debajo de la misma de 3 m., tal que permita la circulación de vehículos de carga mediana. Por otro

lado la viga excéntrica tiene fijado un aparejo para elevar carga en su vano central cuya capacidad

máxima es de 300 KN.

El esquema estructural que responde a las necesidades de proyecto es:

300KN D

Viga a Diseñar

Wu h = 3.00 m

C

B

A

L = 6.00 m

4.1) Características Mecánicas de los Materiales:

Se utilizan las características para el Hormigón y Acero dadas por el Reglamento en su Capitulo 2 y 3

respectivamente, los cuales forman parte de los datos del presente problema.

4.2) Determinación de las solicitaciones:






Mediante los conceptos del análisis estructural es posible determinar el estado de solicitación de la

estructura aporticada. Sin embargo se centra la atención en las solicitaciones de la viga CD, la cual

interesa dado el tipo de solicitación que nos ocupa, flexión, corte y torsión.

4.2.1. Solicitaciones de Flexión y Corte. 4.2.2. Solicitaciones de Torsión.

Wu viga = 15.80 KN/m Wu*= 9.21 KN

C D C D

300KN

3.00 m

6.00 m A 6.00 m B

A B

Diagrama Momentos Flectores Diagrama Momentos Torsores

189.26 189.26 26.30

KNm KNm Knm

320.40KNm 26.30KNm

197.40

KN

197.40

KN

Diagrama de Esfuerzos de Corte

Evaluación del Momento Torsor y Corte:

Según el Art. 9.2 del reglamento, para evaluar la resistencia requerida una de las combinaciones de carga que fija es:

Wu(losa) = 1.2D + 1.6L = 1.2*4 KN/m2 + 1.6*5 KN/m2 = 12.80 KN/m2.

Wu(losa) = 12.80 KN/m2.

Mu = Wu* = 12.80 KN/m2 *1.2

2 m2/2 = 9.21 KN (Carga Ficticia sobre la viga CD)

Tn = 9.21*5.70/2 = 26.24 KNm

Tu = 26.30 KNm (Momento Torsor mayorado)

Tn = Tu / ø = 26.30 / 0.75 = 35.09 (Momento Torsor nominal)

Reacción de la losa sobre la viga CD:

Vu (losa) = 12.80 Kn/m2 * 1.20 m = 15.36 KN/m

P.Propio Viga: 0.30m * 0.60m * 24 KN/m3 = 4.32 KN/m






Carga total sobre la viga: 15.36 KN/m + 4.32 KN/m = 19.68 KN/m

En consecuencia el esfuerzo de corte mayorado en la sección transversal de la viga CD y a una

distancia “d” de la cara de la columna resulta:

Vu(viga) = 19.68 Kn/m *(5.70 m/2 – 0.56 m) + 300 KN / 2 = 186.20 KN

Vu (viga) = 186.20 KN.

Resumen:

Tu = 26.30 KNm Momento Torsor mayorado sobre la viga CD.

Vu = 186.20 KN Esfuerzo de corte mayorado en la sección transversal de la viga CD.

Nota: Se verificará la sección de apoyo de la viga CD, sección donde se encuentra el máximo

Momento torsor, máximo esfuerzo de corte y un determinado valor de momento flector.

4.3) Datos:

D = 4 KN/m2 Cargas Permanentes en la losa de la Pasarela.

L = 5 KN/m2 Sobrecargas en la losa de la Pasarela.

f’c = 25 MPa Resistencia especificada a la compresión del hormigón (Art. 2.3)

fy = 420 MPa Tensión de fluencia especificada de la armadura (Art. 3.6)

fyt = 420 MPa Tensión de fluencia especificada de los estribos cerrados para resistir la torsión

(Art. 11.6.3.4).

fyl = 420 MPa Tensión de Fluencia especificada de la armadura longitudinal dispuesta para

resistir la torsión (Art. 11.6.3.4).

b = 30 cm Ancho de la viga.

d = 56 cm Altura efectiva de la viga.

h = 60 cm. Altura total de la viga.

dbe = 8 mm Diámetro adoptado del estribo.

cc = 2 cm Recubrimiento del estribo (Art. 7.7.1.c.)






Fig 1 : Esquema de la viga a resolver

4.4) Se determina si se requiere o no armadura de torsión:

A través del Art. 11.6.1, permite ignorar el efecto de torsión, cuando el momento torsor mayorado (Tu), resulta menor que:

cp

cp

AcpfTu

2´

12

1 (1)

Donde:

Acp = Área encerrada por el perímetro exterior de la sección transversal de hormigón.

Acp = b * h = 30 cm * 60 cm = 1800 cm2 = 0.18 m2.

pcp = Perímetro exterior de la sección transversal de hormigón:

pcp = 2b + 2h = (2*30) cm + (2*60) cm = 180 cm = 1.80 m.

Entonces:

KNmMNmm

mMPa

p

AcpcfTu

cp

62.500562.080.1

)18.0(

12

2575.0

12

' 222

Nótese que la magnitud de (Tu), resulta menor que la requerida (26.30 KNm) por lo tanto será

necesario disponer de armadura de torsión:

4.5) Verificación del Art. : 11.6.3.1.a) del reglamento:






Se debe limitar la sección transversal de la sección por dos motivos:

Para reducir la fisuración.

Controlar el aplastamiento del hormigón debido a la tensión inclinada de compresión producida

por corte y trosión.

cf

db

Vc

Aoh

phTu

db

Vu

ww

'3

2

**70.1

*

*

2

2

2

(2)

( i ) (ii)

( i ) = Tensiones tangenciales debidas a corte.

( ii ) = Tensiones tangenciales debidas a torsión.

Aoh = Área encerrada por el eje de los estribos más externos, dispuestos para resistir torsión.

Aoh = 2/2)2/(2 becbec dchdcb

Aoh = [(30 – 4.8 ) cm + (60 - 4.8) cm] = 1391 cm2 = 0.139 m2

Aoh = 1391 cm2 = 0.139 m2

ph = Perímetro del eje de la armadura transversal más externa para absorber momentos

torsores.

ph = 2/2)2/(2*2 becbec dchdcb

ph = 2*[(30 – 4.8) cm + (60 – 4.8) cm = 160.80 cm = 1.608 cm

ph = 160.80 cm = 1.608 m.

Vc = Resistencia nominal al corte proporcionada por el hormigón (Según Art. 11.3 del Reglamento)

MNmmMpa

dbcf

Vc w 14.056.0*30.06

25*

6

'

Vc = 0.14 Mn = 140 KN.

Se determina el primer término de la ecuación (2):

2/2043

2139.0*70.1*75.0

608.1*30.26

56.0*30.0

20.186

*70.1*

*

*

2

2

22

2

2

mKNm

mKN

mm

KN

Aoh

phTu

db

Vu

w

Se determina el segundo miembro de la ecuación (2) :






2/3125/1000*253/256.0*30.0

14075.0'

3

2

*mKNMpaKPaMPa

mm

KNcf

db

Vc

w

Entonces 2043 KN/m2 < 3125 KN/m2 => Verifica

4.6) Armadura transversal (At) necesaria para torsión:

De la analogía del reticulado espacial, con diagonales de compresión formando un ángulo (). Se asume que el hormigón no resiste tensiones de tracción y que la armadura fluye. Entonces la armadura transversal se diseña de acuerdo con la

expresión siguiente:

gs

fyAtAoTn t cot*

***2 (3)

gfyAo

Tn

s

At

v cot***2 (4)

Ao = Área total encerrada por el camino de flujo de corte. Desde un punto de vista práctico puede

estimarse en 0.85*Aoh

= Ángulo de las diagonales comprimidas en la analogía del reticulado para torsión. Se admite = 45º

m

2m000353.0

º45gcot*MPa420*2m139.0*85.0*2

/MNm0263.0

s

At

m

2cm53.3

m

2m000353.0

s

At

4.7) Armadura de Esfuerzo de Corte perpendicular al eje de la viga:

La resistencia nominal generada por el hormigón se evalúa con:

dbcf

Vc w **6

' (5)

KNMNmmMPa

Vc 14014.056.0*30.0*6

25

La resistencia nominal generada por la armadura de corte, se evalúa con:

VcVu

Vs

(6)






KNKNKN

Vs 73.9714075.0

30.178

De las expresiones (5) y (6), reemplazando y agrupando convenientemente se concluye que:

dfy

dbcfVu

s

Avw

*

**6

`

m

m

mMPa

mmMPaMN

s

Av 200046.0

56.0*420

56.0*30.0*6

25

75.0

1862.0

m

cm

m

m

s

Av 260.4

200046.0






4.8) Se verifica el área mínima de armadura transversal de corte.

Se verifican las dos condiciones fijadas por el artículo 11.5.5.3 y 11.5.6.3 del Reglamento Cirsoc 201-

2005:

m

cm

m

m

MPa

mMPa

fy

bcf

s

Av

t

w 223.2

2000223.0

420

30.025

16

1'

16

1

1

min

(7)

m

cm

m

m

MPa

mMPa

fy

b

s

Av

t

w 238.2

2000238.0

420

30.0

3

1

3

1

2

min

(8)

Entonces el

s

Av

s

Avdecires

m

cm

s

Av minmin 238.2

Por lo tanto: m

2cm60.4

s

Av

4.9) Armadura Adicional longitudinal necesaria para torsión.

En cada cara de la viga, el flujo de tensiones tangenciales (Vi) es resistido por una componente de

compresión diagonal (Di = Vi / sen ), en el hormigón y una fuerza axial de tracción (Ni = Vi / cotg ),

por lo que se hace necesario de una armadura longitudinal para completar el equilibrio de Vi.

Este aspecto está reglamentado en el art. 11.6.3.7 de la Cirsoc 201-2005:

2)(cot*** gfy

fyph

s

AtAl t (9)

226.4)º45(cot*420

420*608.1*/265.2 2 cmg

Mpa

MPammcmAl

4.10) Se verifica que (Al) sea mayor que la armadura mínima requerida para torsión:

Se verifica lo establecido en el artículo 11.6.5.3 del reglamento. Este control se realiza dado que se ha

comprobado que vigas de hormigón armado con menos del 1% en volumen de armadura de torsión, han

fallado en torsión pura para momentos torsores correspondientes a la fisuración torsional.

Entonces:

Al = 4.26 cm2






fy

fyph

s

At

fy

AcpcfAl t**

*12

*`*5min (10)

Siendo: tfy

b

s

At*

6

1 (11)

m

cm

m

m

MPa

mMPa

s

At 220.1

200012.0

420

30.0*

6

1

Entonces => 2.65 cm2/m > 1.20 cm2/m => Verifica

Por lo tanto:

2000467.0420

420*608.1*/2000265.0

420*12

218.0*25*5min m

Mpa

MPammm

Mpa

mMPaAl

Siendo (Al < Almin) => Almin adoptado Al = 4.67 cm2>4.26cm²

4.11) Verificación del Área mínima de estribos cerrados:

Cuando un elemento está sometido a un Momento Torsor mayorado (Tu), mayor que los valores de

torsión critica (Art. 11.6.1), se debe disponer de una cantidad mínima de armadura transversal en el

alma para la combinación de corte más torsión. (Art. 11.6.5.2). Ello se verifica con las dos siguientes

ecuaciones:

yt

w

yt

wc

f

sb

f

sbfAtAv 33.0

16

1)2( ´ (12)

La cual se puede expresar como:

yt

w

yt

wc

f

b

f

bf

s

At

s

Av33.0

16

1)

2( ´

Siendo:

t

w

fy

bcf

s

At

s

Av'

16

12

1

(13)

m

cm

m

m

MPa

mMPa

s

At

s

Av 223.2

2000223.0

420

30.025

16

12

1






t

w

fy

b

s

At

s

Av

3

12

2

(14)

m

cm

m

m

MPa

mMPa

s

At

s

Av 238.2

2000238.0

420

30.0

3

12

2

Entonces:

m

cm

s

At

s

Av 238.22

min

Dado que:

m

2cm72.11

m

2cm56.3*2

m

2cm60.4

s

At2

s

Av

s

At2

s

Av

min

Por lo tanto:

2.38 cm2/m < 11.72 cm2/m

En consecuencia el Área mínima de estribos cerrados será 11.72 cm2/m

4.12) Cálculo de la Separación de Estribos:

Del punto anterior se conoce que:

m

2cm72.11

s

Av

Donde Av = 2*At = 1 cm2 (para db = 8 mm)

Entonces: s = 1 cm2 / 11.72cm2/m = 0.085 m =>

Por lo tanto se plantean las siguientes alternativas como estribos:

db 8mm c/8.50 cm. ó db 10mm c/13.50 cm.

4.13) Verificación de la separación de Estribos:

Debido a la solicitación de torsión se debe dar cumplimiento a lo indicado por el Art. 11.6.6.1 de la

norma. La separación de estribos se limita para asegurar el desarrollo de la resistencia torsional última

de la viga, tal de prevenir una pérdida de la rigidez torsional y para controlar el ancho de fisura. Se

controla con:

s = 8.5 cm






cmmmph

s 20201.08

608.1

8

s 30 cm

En cuanto a la separación de estribos para solicitaciones de corte se controla lo especificado en al

artículo 11.5.5.1 del Reglamento:

Vs = 97.73 KN < 2*Vc = 2*140 KN = 280 KN => Verifica

Entonces: s d / 2 = 56 cm /2 = 28 cm.

s 40 cm.

¾ h = 45 cm

4.14) Determinación de la Armadura Longitudinal necesaria:

El reglamento requiere que la armadura longitudinal de torsión se distribuya alrededor del perímetro de

los estribos cerrados con una separación máxima de 30 cm. (Art. 11.6.6.1). Se requiere de barras

longitudinales en cada esquina del estribo para proporcionar anclaje a las ramas del estribo, como así

también para desarrollar la resistencia torsional y controlar la fisuración.

La armadura se dispondrá en tres capas, por lo tanto:

AL = Al /3 = 4.67 cm2 / 3 = 1.56 cm2/capa.

Por lo tanto se disponen:

En la parte inferior de la viga : 2 db 10 mm (1.58 cm2)

A mitad de altura de la viga: 2 db 10 mm (1.58 cm2)

El diámetro de las barras longitudinales, deben satisfacer las siguientes condiciones: (art. 11.6.6.2 del

reglamento):

db s/24 = 100 mm / 24 = 4.17 mm

db 10 mm

A la armadura superior se le debe adicionar la sección de armadura por flexión:

Assup = As + AL = 7.58 cm2 + 1.56 cm2 = 9.14 cm2.

Armadura inferior adicionar As por flexión:

Las dos condiciones quedan

verificadas.

Las dos condiciones quedan

verificadas.

Se adopta 2 db 20 mm + 2 db 16 mm (10.30 cm2)

Las tres condiciones quedan

verificadas.






Asinf = As + AL = 16.80 cm2 + 1.56 cm2 = 18.36 cm2 → (5db20 + 2db16=19.70cm²)

Por último se verifica que la separación entre barras longitudinales sea inferior que los 300 mm que fija

la norma.

cmcmdbdbdbch

s ec 70.252

)128.0*22*260(

2

)*2*2( 1020

Fig. 2: Detalle de Armado de la Sección de Apoyo.

s = 25.70 cm < 30 cm => Verifica






Fig. 2: Detalle de Armado de la Sección de Tramo.

5. Bibliografía:

PROYECTO DE REGLAMENTO CIRSOC 201. Reglamento Argentino de Estructuras de

Hormigón. 2005.

PROYECTO DE REGLAMENTO CIRSOC 201. Comentarios al Reglamento Argentino de

Estructuras de Hormigón. 2005.

PROYECTO DE REGLAMENTO CIRSOC 201. Ejemplos de Aplicación. Noviembre de

2002.

PROYECTO DE REGLAMENTO CIRSOC 201. Tablas para el diseño de elementos

estructurales de Hormigón. Noviembre de 2002.

AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. “Building Code Requirements for Structural

Concrete (ACI 318-02) and Commmentary (ACI 318R-02)”. Farmigton Hill, Michigan.

PROYECTO DE REGLAMENTO CIRSOC 101. Cargas Permanentes y sobrecargas

mínimas de diseño para edificios y otras estructuras. Diciembre de 2002.

PROYECTO DE REGLAMENTO CIRSOC 101. Comentario al Reglamento de Cargas

Permanentes y sobrecargas mínimas de diseño para edificios y otras estructuras. Diciembre de

2002.

ACI340R-97, “ACI Design Handbook, Design of Structural Reinforced Concrete Elements in

Accordance with the Strength design method of ACI 318-95”.

NILSON, “Diseño de Estructuras de Concreto”. Duodécima edición. Mc Graw Hill, 2000.






ANEXO Nº 1:

Determinación del requerimiento de armadura longitudinal debido a flexión para la sección de apoyo

y la central de la viga CD.

I) Sección de Apoyo:

Datos:

f’c= 25 MPa Resistencia especificada a la compresión del Hormigón (s/art. 2.3)

1 = 0.85 Valor adoptado dado que f’c es menor que 30MPa, de acuerdo lo especifica el

artículo 10.2.7.3. del reglamento.

fy = 420 MPa Tensión de Fluencia especificada de la armadura (s/art. 3.6)

Es = 200000MPa Módulo de elasticidad del acero, según lo establecido en el art. 8.5.2.

MD = 80 KNm Momento externo generado por las cargas permanentes.

ML = 58.30 KNm Momento externo generado por las sobrecargas.

Mu = 1.2MD + 1.6ML Momento requerido obtenido por la combinación de los momentos externos

mayorados de acuerdo con lo establecido por el art. 9.2.1.

Mu = 189.28 KNm.

= 0.90 Factor de reducción de resistencia según articulo 9.3.2.

MuMn Momento nominal de la viga.

Mn = 170.35 KNm.

b = 30 cm Ancho de la viga rectangular.

h = 60 cm Altura total de la viga rectangular.


d = 56 cm Altura efectiva de cálculo de la viga rectangular.

Se utiliza el procedimiento, con coeficiente adimensional:

KNm35,170M

M v

n

0852,056mx30MPax25x85,0

KNm35,170x1000

d.b.'f.85,0

M1000M

22

wc

n

n

06588,0'f85,0

4,1k

c

amín 0637,02

k1kM amín

amínnmín

268,0M13179,0M0637,0M nmáxnnmín






cm50,532

0852,0x21156

2/m211dz

2

1

2

1

n

2

y

n

s cm58,7MPa420x50,53

KNm35,170x1000

f.z

M1000A

0'A s

Requerimiento de armadura de flexión en el apoyo de la viga CD, arriba: 7,58 cm2

II) Sección Central:

Datos:

f’c= 25 MPa Resistencia especificada a la compresión del Hormigón (s/art. 2.3)

1 = 0.85 Valor adoptado dado que f’c es menor que 30MPa, de acuerdo lo especifica el

artículo 10.2.7.3. del reglamento.

fy = 420 MPa Tensión de Fluencia especificada de la armadura (s/art. 3.6)

Es = 200000MPa Módulo de elasticidad del acero, según lo establecido en el art. 8.5.2.

MD = 130 KNm Momento externo generado por las cargas permanentes.

ML = 102.75 KNm Momento externo generado por las sobrecargas.

Mu = 1.2MD + 1.6ML Momento requerido obtenido por la combinación de los momentos externos

mayorados de acuerdo con lo establecido por el art. 9.2.1.

Mu = 320.40 KNm.

= 0.90 Factor de reducción de resistencia según articulo 9.3.2.

MuMn Momento nominal de la viga.

Mn = 356 KNm.

b = 30 cm Ancho de la viga rectangular.

h = 60 cm Altura total de la viga rectangular.


d = 56 cm Altura efectiva de cálculo de la viga rectangular.

Se utiliza el procedimiento, con coeficiente adimensional:

KNm356Mn

178,056x30MPax25x85,0

KNm356x1000m

2n

06588,0kamín 0637,0mnmín






268,0m178,0m0637,0m nmáxnnmín

cm46,502

178,0x21156

2/m211dz

2

1

2

1

n

2

y

n

s cm80,16MPa420x46,50

KNm356x1000

f.z

M1000A

0'A s

Requerimiento armadura de flexión en tramo central de la viga CD, abajo: 16.80 cm2

Tema3-Corte-Torsión

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