Tema+2+Divisibilidad
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IES Los Colegiales Matemticas 1 ESO Tema 2 Divisibilidad
Tema 2 Divisibilidad1. Relacin de Divisibilidad Entre dos nmeros a y b existe la relacin de divisibilidad si al dividir a : b la divisin es exacta.
Ejemplo:
Existe la relacin de divisibilidad entre estos nmeros?
a) 42 y 6
Dividimos 42 : 6 El cociente es 7 y el resto es 0. La divisin es exacta.
Si existe la relacin de divisibilidad.
b) 35 y 8
Dividimos 35 : 8 El cociente es 4 y el resto es 3. La divisin no es exacta.
No existe la relacin de divisibilidad.
2. Mltiplos y Divisores de un nmero Si entre dos nmeros a y b existe la relacin de divisibilidad se cumple siempre que:
a es mltiplo de b a est en la tabla de multiplicar de b
b es divisor de a b divide exactamente a a
Ejemplo:
a) 42 y 6
Entre 42 y 6 si existe la relacin de divisibilidad porque la divisin es exacta, por lo tanto:
42 es mltiplo de 6, porque est en la tabla del 6 6x7 = 42
6 es divisor de 42, porque la divisin 42:6 es exacta.
b) 35 y 8
Entre 35 y 8 no existe la relacin de divisibilidad porque la divisin no es exacta, por lo tanto:
35 no es mltiplo de 8, porque 35 no est en la tabla del 8
8 no es divisor de 35, porque la divisin no es exacta.
3. Mltiplos de un nmero Para calcular los mltiplos de un nmero a construimos su tabla de multiplicar:
mltiplos de a = {a0, a1, a2, a3, a4, }
Ejemplo:
Calcula los 15 primeros mltiplos de 7
mltiplos de 7 = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70 ,77, 84, 91, 98, 105, }
Fco. Javier Snchez Garca Pg. 1/6
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4. Divisores de un nmero Para calcular los divisores de un nmero a dividimos a entre los nmeros naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, , hasta que el cociente sea menor o igual que el divisor. Tachamos las divisiones que no sean exactas y de las divisiones exactas cogemos todos los divisores y todos sus cocientes.
Ejemplo:
Calcula los divisores de 45
div (45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45 }
45 l 1 45 l 2 45 l 3 45 l 4 45 l 5 45 l 6 45 l 7 No sigo 00 45 01 22 00 15 01 11 00 9 03 7 03 6 porque el
cociente (6) es menor o igual que el divisor (7)
5. Nmeros Primos y Compuestos Nmeros primos son los que slo tienen dos divisores: el 1 y el mismo nmero.
Ejemplo:
17 l 1 17 l 2 17 l 3 17 l 4 No sigo dividiendo porque el cociente es
00 17 01 8 02 5 01 4 menor o igual que el divisor.
Div(17) = { 1, 17 } Es un nmero primo.
Nmeros Compuestos son los que tienen ms de dos divisores, es decir, adems del 1 y del mismo nmero tambin tiene otros divisores
Ejemplo:
45 l 1 45 l 2 45 l 3 45 l 4 45 l 5 45 l 6 45 l 7 00 45 01 22 00 15 01 11 00 9 03 7 03 6 div (45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45 }Es un nmero compuesto.
6. Nmeros Primos comprendidos entre el 1 y el 100 2, 3, 5, 7,11, 13, 17, 19,23, 29,31, 37,41, 43, 47,53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97
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7. Criterios de Divisibilidad Son reglas que nos ayudan a saber si un nmero es divisible por otro sin tener que hacer la divisin.
Vamos a estudiar los criterios de divisibilidad de los primeros nmeros primos: 2, 3, 5, 7 y 11:
Un nmero es divisible por 2, cuando termina en cifra par (0, 2, 4, 6 y 8).Ejemplo:
54: SI es divisible por 2, porque acaba en cifra par
79: NO es divisible por 2, porque no acaba en cifra par (9 es impar)
Un nmero es divisible por 3, cuando la suma de todas sus cifras es mltiplo de 3.Ejemplo:
87: SI es divisible por 3, porque 8 + 7 = 15 = mltiplo de 3
179: NO es divisible por 3, porque 1 + 7 + 9 = 17 = no es mltiplo de 3
Un nmero es divisible por 5, cuando termina en 0 o en 5Ejemplo:
130: SI es divisible por 5, porque acaba en 0
709: NO es divisible por 5, porque no acaba ni en 0 ni en 5
El 7 no tiene criterio de divisibilidad, hay que hacer la divisin: Si da exacta es divisible por 7. Si no da exacta no es divisible por 7.
Ejemplo:
91: SI es divisible por 7, porque la divisin 91 : 7 es exacta
142: NO es divisible por 7, porque la divisin 142 : 7 no es exacta
Un nmero es divisible por 11, cuando :
Sumamos las cifras que ocupan lugar par.
Sumamos las cifras que ocupan lugar impar.
Restamos los dos resultados y tiene que dar 0 o mltiplo de 11
Ejemplo:
253 : SI es divisible por 11, porque:
2 + 3 = 5
2 5 3 5 5 = 0
5
Los siguientes nmeros primos 13, 17, 19, 23 no tienen criterios de divisibilidad. Hay que hacer la divisin para saber si es divisible por ellos.
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8. Descomponer un nmero en Factores Primos Consiste en expresar un nmero a como producto de nmeros primos (factores primos):
30 = 6 x 5 No vale, 6 no es un nmero primo
30 = 2 x 3 x 5 Si vale, 2, 3 y 5 son nmeros primos.
Para descomponer un nmero en factores primos tenemos que saber dos cosas:
Los nmeros primos
Los criterios de divisibilidad
Procedimiento para descomponer un nmero en factores primos:
60 2 Es divisible por 2 porque acaba en cifra par. 60 : 2 = 3030 2 Es divisible por 2 porque acaba en cifra par. 30 : 2 = 1515 3 Ya no se puede a 2. Es divisible por 3 porque 1 + 5 = 6 = mltiplo de 3 5 5 5 es primo y slo se puede dividir entre l mismo 5 : 5 = 1 1 Ya hemos terminado.
Expresamos 60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 22 x 3 x 5 En forma de potencia.
9. Cmo puedo averiguar si un nmero es primo? Con los criterios de divisibilidad de 2, 3, 5, 7, 11 y a partir del 13, 17, 19, 23..., haciendo las divisiones hasta que el cociente sea menor o igual que el divisor. Si ninguna divisin ha dado exacta el nmero es primo.
Ejemplo:
241 241 No es divisible por 2, porque no acaba en cifra par
1 No es divisible por 3, porque 2 + 4 +1 = 7 no es mltiplo de 3
No es divisible por 5, porque no acaba ni en 0 ni en 5
No es divisible por 7, porque la divisin no es exacta. Hacemos la divisin:
241 l 7
31 34
3
Con los siguientes nmeros primos hacemos las divisiones:
241 l 11 241 l 13 241 l 17 No sigo dividiendo porque
21 21 111 18 71 14 el cociente es menor o igual
10 7 3 que el divisor.
No se cumple ningn criterio de divisibilidad y ninguna divisin ha dado exacta, por lo tanto:
241 es un nmero primo.
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10. Mnimo Comn Mltiplo (m.c.m.) de varios nmeros. Dados dos o ms nmeros el m.c.m., es el menor de los mltiplos comunes de esos nmeros, distinto de cero.
Ejemplo:
Calcula el m.c.m.(4, 6, 9)
Mltiplos de 4 = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76 }Mltiplos de 6 = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, }Mltiplos de 9 = {0, 9, 18,. 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, ...} Los mltiplos comunes de 4, 6 y 9 son: 0, 36, 72, ...
El m.c.m. (4, 6 y 9) = 36 Es el menor distinto de ceroEsta forma de hacerlo tiene inconvenientes: larga, te puedes equivocar y ya todos mal..., as que vamos a a aprender un mtodo para calcular el m.c.m.1 Se descomponen los nmeros en factores primos.
2 El m.c.m., es el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.Ejemplo:
a) Calcula el m.c.m.(4, 6 y 9)
4 2 6 2 9 3 4 = 22
2 2 3 3 3 3 6 = 2 x 3
1 1 1 9 = 32
m.c.m. (4, 6 y 9) = 22 x 32 = 4 x 9 = 36
b) Calcula el m.c.m. (42, 70 y 90)
42 2 70 2 90 2 42 = 2 x 3 x 7
21 3 35 5 45 3 70 = 2 x 5 x 7
7 7 7 7 15 3 90 = 2 x 32 x 5
1 1 5 5
1
m.c.m. (42, 70 y 90) = 2 x 32 x 5 x 7 = 2 x 9 x 5 x 7 = 630
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11. Mximo Comn Divisor (M.C.D.) de varios nmeros Dados dos o ms nmeros el M.C.D., es el mayor de los divisores comunes de esos nmeros.
Ejemplo:
Calcula el M.C.D. (12, 24, 30)
Div(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Div(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Div(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
12 l 1 12 l 2 12 l 3 12 l 4
00 12 00 6 00 4 00 3
24 l 1 24 l 2 24 l 3 24 l 4 24 l 5
00 24 00 12 00 8 00 6 04 4
30 l 1 30 l 2 30 l 3 30 l 4 30 l 5 30 l 6
00 30 00 15 00 10 2 7 00 6 00 5
Los divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6
El M.C.D.(12, 24 y 30) = 6 porque 6 es el mayor de todos.Esta forma de hacerlo tiene inconvenientes: larga, te puedes equivocar y ya todos mal..., as que vamos a a aprender un mtodo para calcular el M.C.D.1 Se descomponen los nmeros en factores primos.
2 El M.C.D., es el producto de los factores comunes elevados al menor exponente.Ejemplo:
a) Calcula el M.C.D.(12, 24, 30)12 2 24 2 30 2 12 = 22 x 3
6 2 12 2 15 3 24 = 23 x 3
3 3 6 2 5 5 30 = 2 x 3 x 5
1 3 3 1
1
M.C.D.(12, 24 y 30) = 2 x 3 = 6
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