Matemticas Generales para Maestros Carlos Maza Gmez

1.1

Distintas formas de contar

Los hombres han tenido necesidad de contar desde los primeros tiempos, sea el nmero decabezas de ganado, el de guerreros de una tribu, utensilios, jarras de lquidos, cestos de grano, etc. Sinembargo, lo han hecho de forma diferente no slo en lo que a los signos se refiere, sino en los criteriosutilizados para contar.

As, los egipcios contaban de diez en diez pero su forma de contar era aditiva, es decir, queiban aadiendo el mismo signo hasta llegar a la unidad superior. De este modo, escribiran

8 = 26 = ??

83 = ????????

Los mayas hacan algo completamente distinto puesto que contaban bajo el mismo principioaditivo pero presentando dos caractersticas especficas:

1) Las unidades se representaban por puntos de manera que cinco puntos se sustituan por otrosigno, una raya.

2) Se contaba de 20 en 20, demanera que veinte unidades de undeterminado orden se sustituan por unaunidad de orden superior que seescriba encima de las anteriores.

Tema 1Sistemas de Numeracin

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1.2

Este ltimo constituye el principio posicional de la numeracin por el cual una cifra osigno numrico tiene valor por la cantidad que representa en s misma y por la posicinrelativa respecto de las dems cifras.

Este hecho se podr apreciar mejor en el sistema de numeracin mesopotmico. De nuevo las unidades se representan por trazos verticales aditivamente:

5 = 8 =

Al llegar a la decena, se abreviaba el trazado de signos:

10 = < 14 = < 32 =

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1.3

Numeracin romana

Sigue siendo utilizada la numeracin romana, hbrido de base cinco y diez que presentacaractersticas aditivas en sus distintas unidades con algunas abreviaturas que limitan tal aditividad. Lossignos bsicos son

Las caractersticas fundamentales de esta forma de numeracin son:

1) Si el smbolo de menor valor est a la derecha, se suma.

XI = 10 + 1 = 11

2) Si el smbolo de menor valor est a la izquierda, se resta.

IX = 10 - 1 = 9

3) No se pueden repetir ms de tres veces los smbolos I, V, X, C, M.

4) Los smbolos L y D no se repiten.

Cambio de base

De cualquier base a base diez

Supongamos que tenemos elnmero 121 4) es decir, en base 4, demanera que 4 unidades de un ordensean equivalentes a una unidad delorden superior. Puede representarseen un baco plano de la forma dada.

1 x 42 + 2 x 4 + 1Tomamos la unidad de tercer orden(la de la izquierda), a cuntasunidades de primer orden equivalen?.1 x 4 transformar esa unidad detercer orden en 4 unidades desegundo orden y, volviendo amultiplicar por 4, las transformaremos en unidades de primer orden. En total sern

1 x 42 = 16Del mismo modo, las dos unidades de segundo orden se transforman en otras de primero multiplicandopor 4,

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1.4

2 x 4 = 8a lo que habr que sumar la unidad de primer orden que se tena.

De esta manera la expresin polinmica:1 x 42 + 2 x 4 + 1 = 16 + 8 + 1 = 25

nos da la transformacin de la cantidad en base cuatro a la base diez:121 4) = 25 10)

Si queremos hacer el proceso inverso se debe proceder de otro modo. Supongamos quetenemos el nmero 38 y queremos expresarlo en base 4. En el baco plano es como si tuviramos 38unidades de primer orden en la casilla de la derecha. Los pasos a seguir sern:

1) Transformacin en unidades de segundo orden.38 : 4 = 9 y de resto 2

lo que significa que las 38 unidades se pueden expresar como 9 grupos de 4 (unidades de segundoorden) y restan 2 unidades de primer orden, no agrupables.

2) Transformacin en unidades de tercer orden:9 : 4 = 2 y de resto 1

que quiere decir que las 9 unidades de segundo orden dan lugar a dos grupos de 4 (unidades de tercerorden) sobrando una de segundo orden, no agrupable.

De este modo, la conclusin es que se dispone finalmente de:

38 unidades de primer orden9 unidades de segundo orden + 2 unidades de primer orden2 unidades de tercer orden + 1 unidad de segundo orden + 2 unidades de primer orden

de modo que la expresin numrica ser: 212 4)

Algoritmos de la suma y resta

En base decimal la suma es una operacin por la que se unen o combinan dos cantidades. Enlo que se refiere a la suma de cantidades grandes se realiza el algoritmo mediante dos reglas bsicas:

1) Sumar unidades del mismo orden, empezando por las inferiores.2) Si la suma de estas cantidades da lugar a una unidad de orden superior, sta pasa a

registrarse entre las unidades de orden inmediatamente superior.

Pues bien, la suma de grandes nmeros en bases diferentes sigue las mismas pautas, con lasalvedad de que el paso de una unidad a la siguiente se realiza conforme a la base de numeracin. Enuna operacin realizada en base 5, el resultado ser:

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1.5

1 12 4 2 3 5)

+ 1 3 4 1 5)--------------------4 3 1 4 5)

La resta es una operacin ms compleja en la que cabe abordar el algoritmo de dos manerasdistintas:

Mtodo de tomar prestado

Es el ms usual al comienzo de la enseanza y, por ser distinto del habitual, lo realizaremosprimero en una base distinta de la decimal. El procedimiento consiste de nuevo en operar entre sunidades del mismo orden. Cuando sea posible realizar la resta (la cifra del minuendo es mayor o igualque la del sustraendo) se har as pero, en caso contrario (por ejemplo, 1-3), se tomar prestada unaunidad del orden superior transformndose en las unidades de orden inmediatamente inferior quecorrespondan a la base. De este modo ser posible hacer la operacin.

2 5 3 63 0 4 1 5)

- 1 2 2 3 5)------------------1 3 1 3 5)

Mtodo de las llevadas

El mtodo usual en base decimal, tal como se automatiza tras la enseanza primaria, consisteen plantear la operacin del mismo modo que antes pero actuar de modo diferente cuando no se puederealizar la resta correspondiente entre las unidades de que se trate. En ese caso, se aaden 10 unidadesauxiliares a la cifra del minuendo, se realiza la resta entre esas unidades y luego se lleva unaaadindose a la cifra del sustraendo en la unidad inmediatamente superior.

12 153 2 52 8

- 1 7 8-------------1 4 7

Esta accin auxiliar est basada en una propiedad de la resta: Si al minuendo y sustraendo de una restale sumamos o restamos la misma cantidad, el resultado de la resta no vara. En este caso, se hanaadido diez unidades al minuendo y otras diez unidades (en forma de una decena) al sustraendo,realizndose esta accin tantas veces como sea necesario.

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1.6

Algoritmos de la multiplicacin

La multiplicacin suele definirse (aunque no se reduzca a ella) como una suma reiterada. Puesbien, el algoritmo egipcio de duplicacin responde a esa idea presentando la ventaja de que no esnecesario recordar las llevadas al realizar la operacin. Esta ventaja y la sencillez de su uso es la causade su introduccin temprana en la enseanza.

Sea, por ejemplo, la multiplicacin 27 x 13 La interpretaremos como la accin de repetir 27 un total de 13 veces, pero ello se puede hacerduplicando sucesivamente el nmero de veces de la repeticin:

27 ................ 1 vez 54 ................ 2 veces108 ............... 4 veces216 ............... 8 veces---------------------------

216 + 108 + 27 = 35 .............. 8 + 4 + 1 = 13 veces

As, repetir 27 hasta 13 veces es lo mismo que repetirlo 8 veces + 4 veces + 1 vez, de manera que slotenemos que sumar las cantidades correspondientes en la columna de la izquierda, fruto de esasrepeticiones.

Sin embargo, cuando las cantidades son ms crecidas el procedimiento se hace muy engorrosoy es necesario utilizar las propiedades de la multiplicacin. Bsicamente son dos:

1) La distributiva, por la cual 8 x 342 = (8 x 300) + (8 x 40) + (8 x 2) 2) La asociativa, que permite considerar: 8 x 300 = 8 x (3 x 100) = (8 x 3) x 100, p. ej.

Una de las dificultades mayores en lamultiplicacin, cuando se aplican estaspropiedades, consiste en agrupar las unidadesdel mismo orden dentro de los resultadosparciales. Este hecho se hace evidente cuandola operacin se hace en horizontal. Unalgoritmo que resuelve este problema y es muysemejante al actual, es el algoritmo encelosa. Los dos factores de la multiplicacinse colocan en la parte superior y derecha de uncasillero, de forma que el resultado de cadacasilla se obtenga multiplicando las cantidadescorrespondientes de arriba y la derecha. La disposicin de las diagonales permite diferenciar, dentrode cada casilla, el orden de unidad de cada cifra y, de manera oblicua, alinear las unidades del mismo

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1.7

orden. Por ejemplo, si se plantea lamultiplicacin 326 x 38 el casillero a obtenersera el mostrado.

326 x 38 = 12.288

Este procedimiento puede utilizarse pararealizar multiplicaciones en bases distintas de ladecimal. As, en el caso de 243 5) x 32 5) sedispondra un casillero similar que dara lugar alresultado deseado:

243 5) x 32 5) = 144315)

Ello permite interpretar mejor el algoritmo actual en base decimal, muy parecido al que aqu se haexpuesto. Cambia la disposicin de los nmeros (uno bajo el otro) y de los resultados parciales(alineando en vertical las unidades del mismo orden, en vez de forma oblicua). Ello obliga, a aplicar lapropiedad distributiva de un modo ms sistemtico empezando por las unidades del multiplicador,siguiendo por sus decenas, millares, etc.

3 4 7x 2 5-------------

1 7 3 5 6 9 4 0 ------------------ 7 6 7 5

de manera que el producto de las decenas 20 x 347 = (2 x 10) x 347 = (2 x 347) x 10 por lo quese aade un cero al resultado de multiplicar las decenas del multiplicador por las cifras delmultiplicando.

Algoritmo de la divisin

La divisin responde bsicamente a la accin de repartir, dividir la cantidad llamada dividendoD en un nmero de grupos del tamao indicado por el divisor d. Ese nmero de grupos es el cocientec pudiendo quedar un resto r en la igualdad que caracteriza la divisin:

D = d x c + rEl primer procedimiento que resuelve una divisin, dados su dividendo y divisor, por tanto, es

encontrar un nmero c cuyo producto por d se acerque lo ms posible al valor del dividendo D. Esteprocedimiento sustractivo permite resolver 38 : 5, por ejemplo, sin ms que encontrar el nmero7 tal que 5 x 7 = 35. As, 38 = 5 x 7 + 3 que suele escribirse a travs del diagramacorrespondiente.

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1.8

Pues bien, el mtodo sustractivo puede hacerse bastanteineficaz para nmeros grandes. Basta imaginar el esfuerzo paraencontrar la solucin a la divisin 659 : 7. Habra de multiplicarseel divisor 7 por nmeros muy grandes para encontrar la mejoraproximacin al dividendo 652.

Es por ello que se recurre al mtodo distributivo por elcual se distribuyen las divisiones realizadas sobre el dividendoaprovechando su descomposicin polinmica:

659 : 7 = (650 : 7) + (9 : 7)adoptando el esquema conocido por el cual se separa el dividendo, empezando por sus valores

superiores, de forma que se divida por partes entre eldivisor. Los resultados parciales se van sumando a lassiguientes unidades inmediatamente inferiores para seguirprocediendo a la divisin. De este modo:

659 = 94 x 7 + 1

Obsrvese que esta divisin parte de un adecuadoconocimiento de la tabla de multiplicar por 7, hecho que hayque tener en cuenta si se desea extender el procedimiento a

la divisin en otras bases.Planteamos la divisin 342 5) : 4 para lo cual partimos de la tabla de multiplicar del 4 en base

5:4 x 1 = 44 x 2 = 134 x 3 = 224 x 4 = 31