TEMA XV

LINEAS DE TRANSMISIÓN

1

15.1. OBTENCIÓNYANÁLISIS ENMODONORMALDELASECUACIONESLa línea de transmisión más utilizada en un principio fue la de dos hilos paralelos, de-

nominada línea de Lecher, que fue quien estableció sus propiedades a partir de los trabajosexperimentales precisos. Esta linea se utilizó inicialmente para transmitier señales de bajafrecuencia, con lo cual su función principal era la de simple conexión entre sistemas que,por otra parte, no eran muy distantes.Posteriormente, la transmisión de señales por estas lineas, y por otras de tipo coax-

ial, etcétera, se realizó a frecuencias más elevadas, donde los fenómenos de inducción ydesplazamiento cobran más importancia que los simplemente resistivos o conductivos, es-tableciéndose una fuerte analogía con la propagación de ondas libres. De esta forma, desdeun punto de vista formal, se obtuvo al mismo tiempo una conexión entre la teoría de cir-cuitos desarrollada inicialmente y el tratamiento en términos del campo electromagnéticoque es el apropiado en el estudio de las ondas.La forma prácticamás generalizada de utilización de las líeas de transmisión es operando

en su modo fundamental que es el TEM. Dado que la distribución transversal del camoelectromagnético ya se ha visto que a efectos formales se reduce, para estos modos, a laresolución de un problema tipo estático, nos centraremos en este tema en el análisis de lapropagación en la dirección longitudinal, aspecto que encuentra un tratamiento apropi-ado en términos de la teoría de circuitos de parámetros distribuidos. Desde este punto devista se caracteriza a la línea en términos de su capacidad y autoinducción por unidad delongitud equivalentes, asociadas respectivamente a las energías de tipo eléctrico y mag-nético que el sistema puede almacenar por unidad de longitud, así como por la resistenciaasociada a los cables o conductancia entre cables, también por unidad de longitud, parámet-ros asociados a la disipación energética que tendrá lugar en la línea. Conviene destacar, deacuerdo con lo estudiado en el tema anterior, que este análisis será también útil para losproblemas de propagación en guías, debido a la línea equivalente que puede asociarse acada modo de transmisión.Aunque ya se ha visto el formalismo general, vamos a particularizar la obtención de las

ecuaciones de las líneas de transmisión para el caso de ondas TEM, y posteriormente eneste apartado desarrollaremos su estudio en términos de los modos normales.Ecuaciones de las líneas de transmisiónParticularizando las ecuaciones (14.4) del tema anterior para la situación correspondi-

ente a ondas TEM, Ez = 0 y Hz = 0, una vez multiplicadas vectorialmente por uz, seobtiene

∂Et∂z

= µuz × ∂Ht

∂t(15.1)

∂Ht

∂z= −²uz × ∂Et

∂tEn la práctica el medio entre conductores suele ser dieléctrico no magnético, µ = µo,

mientras que dicho dieléctrico en principio tendrá una pérdidad que vendrán caracterizadaspor una permitividad compleja ² = ²0 − j²00. La parte imaginaria ligada a las pérdidas,frecuentemente se suele representar en términos de una conductividad equivalente que,como fácilmente se comprueba, vendrá dada por

2

σ = ω²00 (15.2)quedando la segunda de las ecuaciónes (15.1) en la forma

∂Ht

∂z= −²0uz × ∂Et

∂t− σuz ×Et

Separando las dependencias del campo en la forma usual:

Ht = ht(x1, x2)i(z, t) (15.3)

Et = et(x1, x2)v(z, t)

Las expresiones (15.1) toman la forma

et∂v

∂z= µ (ut × ht) ∂i

∂t(15.4)

ht∂i

∂z= −²0(uz × et)∂v

∂t− σuz × etv

Desde un punto de vista formal, puede suponerse que et es el campo debido a un po-tencial unidad entre conductores (constante y uniforme a lo largo de toda la línea). Conreferencia a un sistema tipo como el de la figura 15.1 el potencial v vendría entonces de-terminado por

v(z, t) =

Zc1

E · dlefectuándose la circulación del campo a lo largo de cualquier línea, en el plano transversalque une a los dos conductores.

Figura 15.1

De forma análoga puede suponerse que ht corresponde a la distribución de campo mag-nético debida a una corriente unidad (en la figura 15.1 esta situación correspondería a cor-riente iguales y opuestas en ambos conductores), de forma que la intensidad vendría dadapor

i(z, t) =

Zc2

H · dl

Teniendo en cuenta la definición de los campos normalizados que conduce a queZc1

et · dl =Zc2

ht · dl = 1

3

las dos ecuaciones 15.4, integradas respectivamente a los largo de las líneas C1 y C2,quedan en la forma

∂v

∂z= −L∂i

∂t∂i

∂z= −C ∂v

∂t−Gv

donde se han utilizado las definiciones siguientes para los parámetros de la línea C, L y G

C = ²0Zc2

(uz × et) · dl [Farad/m]

L = −µZc1

(ut × ht) · dl [Henry/m] (15.5)

G = σ

Zc2

(uz × et) · dlh(Ωm)−1

ique puede comprobarse coinciden con la capacidad, autoinducción y conductancia de lalínea por unidad de longitud.Conviene destacar aquí que los parámetros introducidos pueden calcularse pro proced-

imientos estáticos, una vez determinadas la geometría y el medio constitutivo del sistema,aunque los valores de dichos parámetros a alta frecuencia no coincidirán en general con losde frecuencias estáticas o baja frecuencia. Estas discrepancias son debidas básicamente aque las distribuciones de corrientes en los conductores, así como las propiedades del medio,serán diferentes en general a baja y alta frecuencia; no obstante, en el rango de alta frecuen-cia los valores de dichos parámetros permanecen prácticamente constantes en los márgenesusuales de utilización de las líneas.Desde un puento de vista formal, la hipótesis de campo TEM no nos ha permitido intro-

ducir en el análisis las posibles pérdidas adscritas a la resistencia de los conductores, ya queuna conductividad finita de los mismos llevaría automáticamente asociada una componentelongitudinal del campo eléctrico. En la práctica la conductividad asociada a las paredesque conforman al sistema es finita si bien muy elevada; las ecuaciones ya obtenidas siguensiendo válidas, pero hay que complementarlas con el término debido a la caída de potencialasociada a la resistencia de los conductores. Teniendo esto en cuenta, las ecuaciones delínea de transmisión quedan en la forma ampliamente conocida:

∂v

∂z= −Ri− L∂i

∂t(15.6)

∂i

∂z= −C ∂v

∂t−Gv

siendo R la resistencia por unidad de longitud de la línea.Estas ecuaciones pueden justificarse con un modelo circuital apropiado. En la figuar

15.2 se representa a la línea utilizando el simbolismo usual de dos cables (uno consideradoactivo y otro de referencia), así como el circuito equivalente correspondiente a un tramo∆z del sistema. Aplicando las ecuaciones básicas de los circuitos al modelo propuesto seobtiene

4

v(z, t) = v(z +∆z, t) + L∆z∂i(z, t)

∂t+R∆z i(z, t)

i(z, t) = i(z +∆z, t) +C∆z∂v(z, t)

∂t+G∆z v(z, t)

Figura 15.2

Desarrollando v e i en z + ∆z en términos de su valores en z y pasando al límitecuando ∆z tiende a cero, se confirman fácilmente las ecuaciones básicas de las líneas detransmisión ya expuestas en (15.6). Para situaciones correspondientes a alimentación ar-mónica, como son las que trataremos a lo largo de este tema, dichas ecuaciones quedan enla forma

∂V (z)

∂z= −ZeI(z) (15.7)

∂I(z)

∂z= −YeV (z)

donde V e I son los fasores corespondientes a v e i, y representadoZe e Ye a la impedanciay admitancia equivalentes de la línea por unidad de longitud, dadas por

Ze = R+ jωL (15.8)

Ye = G+ jωC

Puede comprobarse que las ecuaciones (15.7) coinciden formalmente con las ya ex-puestas en el análisis general de guías, ecuaciones (14.43), que rigen el comportamiento delos modos normalizados en lo que a su dependencia con z se refiere.Análisis en modo normal de las ecuacionesLa utilización de las magnitudes tensión e intensidad para describir la propagación en

líneas de transmisión está justificada como continuación de la sistemática clásica de lateoría de circuitos. Para el estudio de las ecuaciones de línea de transmisión conviene, sinembargo, utilizar magnitudes transformadas, combinaciones lineales de V e I, de formaque se obtengan ecuaciones separadas para dichas magnitudes, conservando el carácter deecuaciones de primer orden. A esta técnica de análisis se suele denominar análisis enmodonormal, y las nuevas magnitudes,modos normales, vendrán ligados, como veremos, a lasondas incidente y reflejada que, en general, van a coexistir en la línea. De esta forma

5

se obtiene una descripción más natural de la propagación en la línea, aunque convieneconservar la correspondiente a V , I y parámetros relacionados, con objeto de poder aplicardirectamente los resultados de la teoría de circuitos.Definamos como magnitud auxiliar para describir la propagación, la combinación sigu-

iente:a(z) = V (z) +AI(z)

siendo A una constante que determinaremos a partir de una condición de simplificación ennuestras ecuaciones transformadas. Combinando apropieadamente las ecuaciones (15.7)de partidad obtenemos µ

∂V

∂z+ ZeI

¶+A

µ∂I

∂z+ YeV

¶= 0

o bien∂

∂z(V +AI) +AYe

µV +

ZeAYe

I

¶= 0

Dado la libertad que tenemos para definir A, escojamos

A =ZeAYe

⇒ A = ±rZeYe= ±Zo (15.9)

siendo Zo la denominada impedancia característica, que constituye un parámetro impor-tante en la caracterización de la línea, como posteriormente precisaremos.Con la determinación de A efectuada, los modos normales quedan definidos en la sigu-

iente forma

a+ = V + ZoI (15.10)

a− = V − ZoIsiendo Yo = Z−1o , la admitancia característica de la línea. En términos de los modosnormales las magnitudes V e I, vienen dadas por

V =1

2

¡a+ + a−

¢(15.11)

I =1

2Yo¡a+ − a−¢

Por otra pare, las nuevas magnitudes obedecen a las siguientes ecuaciones separadas

∂a+

∂z+pZeYea

+ = 0 (15.12)

∂a−

∂z+pZeYea

− = 0

cuyas soluciones son de la forma

a+ = a+o exp [j(ωt− βz)]

6

a− = a−o exp [j(ωt+ βz)]

siendo a±o constantes y viniendo definida la constante de propagación como

β = −jpZeYe = −j

p(R+ jωL) (G+ jωC) (15.14)

Fácilmente se relacionan a+ y a− con los modos propagantes según z creciente o de-creciente, es decir, con ondas incidente y reflejada respectivamente.

15.2 CARACTERIZACIÓN DE LA PROPAGACIÓN EN LÍNEAS DE TRANS-MISIÓNLas características básicas de una línea quedan precisadas en cuanto se conozcan los

parámetros correspondientes a su circuito equivalente Ze, Ye. A partir de esto parámetrosse ha introducido la impedancia característica

Zo =

rZeYe=

sR+ jωL

G+ jωC=

rL

C

s1+R/(jωL)

1+G/(jωC)(15.15)

cuyo significado podemos determinar sin dificultad. Si suponemos una línea uniforme,indefinida, alimentada por un extremo, es lógico suponer que, dada la ausencia de fuentesde reflexión, en dicha línea sólo se propagará la onda progresiva incidente, que hemossimbolizado por a−. De esta forma, fijando a = 0, se obtiene

V =1

2a+(z) ; I =

1

2Yoa

+(z)

Definiendo entonces la impedancia en la línea como cociente entre los fasores V e I

Z(z) =V (z)

I(z)=

12a+(z)

12Yoa

+(z)= Zo (15.16)

resultará que, en la situación que hemos supuesto, dicha impedancia será independientede la posición en la línea y tendrá por valor Zo. De esta forma, si cortamos la línea enun punto y la terminamos con una impedancia igual a Zo, la línea se comportará como sifuera indefinida. Teniendo en cuenta esto, la impedancia característica de una línea seráaquella que colocada terminando a la misma, absorbe toda la energía que sobre ella incida,no dando lugar, por tanto, a reflexiones.De la expresión (15.15) que define a la impedancia característica en términos de los

parámetros de la línea, se deduce que, en el caso de una línea sin pérdidas, la impedanciacaracterística es real y tiene por valor

Zo =

rL

C= Ro (15.17)

dado que G y R se consideran nulos; simbolizamos por Ro precisamente la valor de Zopara una línea sin pérdidas. Frecuentemente la línea tiene pérdidas, pero éstas son bajasen el sentido de que a las frecuencias de operación R/ωL y G/ωC son muy inferioresa la unidad; en esta situación, desarrollando la expresión (15.15) y quedándonos con los

7

términos significativos se obtiene:

Zo ≈rL

C

1+R/(2jωL)

1+G/(2jωC)≈ Ro

µ·1+

RG

4ω2LC

¸+ j

·G

2ωC− R

2ωL

¸¶con lo cual las pérdidas dan lugar a una modificación muy pequeña, de segundo orden,en la parte real de Zo y traen consigo la aparición de una componente imaginaria, en Zo,de primer orden. Frecuentemente, en transmisiones a larga distancia, por cables submari-nos, etc., la componente de pérdidas asociadas al cable, R/ωL, es superior a las pérdidasdebidas al dieléctrico,G/ωC; en estas circunstancias y en un margen adecuado de frecuen-cias puede lograrse la cancelación del término imaginario en la expresión de Zo si se elevaadecuadamente el valor de L de forma que se obtenga

G

C=R

LEste objetivo se puede lograr, por ejemplo, intercalando regularmente a distancias apropi-

adas autoinducciones, actualmente con núcleo de ferrita, colocadas en serie en los dosconductores de la línea; a este procedimiento se le denomina ‘‘pupinización’’, tomandoel nombre del científico que los desarrolló.El interés del procedimiento citado queda claro si se observa su repercusión en la con-

stante de propagación. A partir de la relación (15.14) que define la constante de propagaciónen términos de los parámetros de la línea, se obtiene que

β2 = −ZeYe = ω2LC

µ1− j R

ωL

¶µ1− j G

ωC

¶que, con la condición expresada en (15.18), toma la forma de un cuadrado perfectgo, conlo cual resulta,

β = ω√LC

µ1− j R

ωL

¶Desdoblando β en sus componentes de fase y atenuación

β = β0 − jβ00se obtienen los siguientes valores para ambas componentes

β0 = ω√LC

β00 =ω√LC

ωL/R=√RG

En estas condiciones la línea posee una velocidad de fase y una atenuación constantes enel rango de frecuencias deseado, lo cual hace prácticamente equivalente a una línea idealno dispersiva, que no introduce ni distorsión de fase ni de amplitudes, aspecto de enormeinterés a efectos de transmisión de información.Magnitudes y parámetros utilizados para describir la propagaciónComo ya hemos visto en el apartado anterior, las magnitudes de trabajo utilizadas para

describir la propagación de una onda en una línea de transmisión suelen ser o bien V e I,que permiten adaptar al estudio de líneas la teoría de circuitos, o bien los modos normales

8

a+ y a− que vienen ligados con la descripción de la propagación en una visualizaciónmás directa en términos de ondas incidentes y reflejadas. Ambas descripciones puedenutilizarse independientemente según convenga a la situación que se desee analizar, y los re-sultados obtenidos pueden expresarse y trasladarse de una descripción a la otra sin ningunadificultad.Cuando se utiliza la descripción en términos de los modos normales, suele introducirse

como parámetro para caracterizar a la propagación el denominado coeficiente de reflexión,definido como cociente entre las componentes reflejada e incidente

ρ(z) =a−(z)a+(z)

(15.19)

Este coeficiente será en general complejo, y su variación con la posición está determinada,teniendo en cuenta las expresiones para los modos normales establecidas en las relaciones(15.13)

ρ(z) =a−oa+oexp(2jβz)

En la práctica, frecuenctemente las condiciones de propagación quedan determinadaspor la impedancia de terminación que se ponga en la línea, impedancia de carga quesimbolizaremos por ZL. Debido a esto, se suele cambiar de variable utilizando l = −z yescogiendo el origen justamente en la carga, tal como se representa en la figura 15.3, deforma que las l crecientes van hacia el generador. En esto términos resulta

ρ(l) = ρL exp(−2jβl) (15.20)siendo ρL, valor de ρ en l = 0, el coeficiente de reflexión en la carga.

Figura 15.3

En el caso de una línea sin pérdidas, β = β0 se observa que el coeficiente de reflexióncaría en fase, pero su módulo permanece constante a los largo de la línea. Este resultado, yen esencia la variación simple que posee el coeficiente de reflexión a lo largo de la línea,corrobora el interés que posee la descripción en términos de los modos normales.Cuando se describe la propagación en la línea en términos de voltajes e intensidades, el

parámetro utilizado es la impedancia, que, como ya hemos dicho, se define como cocienteentre V e I. Expresando V e I en términos de a+ y a− y utilizando las expresiones que, de

las dependencias de a+ y a− con z, ya tenemos, puede obtenerse en definitiva cuál es la

9

dependencia deZ con la posición en la línea. No obstante, vamos a seguir otro camino paraobtener esta dependencia, consistente en determinar en primer lugar cuál es la ecuación quegobierna la variación de Z con la posición.En la figura 15.4 se representa un tramo de línea de longitud dl, en términos de su

circuito equivalente, siendo Z(l) y Z(l + dl) las impedancias vistas en los extremos delcuadripolo representado y que deseamos relacionar

Figura 15.4

La asociación de Yedl y [Z(l)]−1 nos da una admitancia Y1

Yl = Yedl +1

Z(l)

Sumando, por otra parte, la impedancia (Y1)−1 con Zedl, obtenemos la impedancia Z(l+dl) = Z + dZ

Z + dZ = Zedl +1

Yedl +1

Z(l)

Desarrollando el segundo miembro y parando en los primeros términos, resulta

Z + dZ = Zedl+ Z(1− YeZdl)o bien

dZ

dl= Ze − YeZ2

Normalmente en el trabajo con líneas de transmisión aparece frecuenctemente la im-pedancia característica y se obtiene uns simplificación conveniente normalizando las im-pedancias respecto a Zo

ZN ≡ Z

Zo= Z

rYeZe

Efectuando esta normalización y teniendo en cuenta la expresión (15.14), la ecuación paraZ queda en la siguiente forma, denominada ecuación de Pierce;

dZNdl

= jβ¡1− Z2N

¢(15.21)

Esta ecuación es del tipo deRiccati de primer orden; en la expresión apareceZN al cuadrado

10

dado que si se invierte el sentido de l cambian tanto dl como dZN , permaneciendo inalter-ados ambos miembros de la ecuación.La ecuación diferencial para Z se integra fácilmente, resultando

ZN = tanh(jβl +K)

donde K puede determinarse, por ejemplo, de las condiciones de carga de la línea. Así, sien l = 0 suponemos que la impedancia es ZL, o ZLN normalizada a Zo, se obtiene

ZNL = ZN(0) = tanh(K)

con lo cual, desarrollando la función tangente hiperbólica de suma de dos argumentos, yutilizando la relación anterior, resulta en definitiva

ZN =ZNL + j tan (βl)

1+ jZNL tan (βl)(15.22)

Se comprueba aquí nuevamente que cuando ZL = Zo, es decir, ZLN = 1, la impedanciaa lo largo de la línea es constante e igual a Zo, lo cual corresponde a la anulación de lavariación de Z con respecto a l en la ecuación (15.21).Caracterización de una onda estacionariaLos modos normales a+ y a− constituyen ondas elementales progresivas cuya aso-

ciación en general va a dar lugar a la formación de una onda estacionaria; la onda pro-gresiva, desde este punto de vista, será el caso particular correspondiente a coeficiente dereflexión nulo.Centrándonos principalmente en la situación correspondiente a líneas sin pérdidas, con

objeto de una mayor claridad y sencillez de desarrollo, en este apartado procuraremos car-acterizar en general a las ondas estacionarias, tanto desde un punto de vista formal comoen orden a su estudio experimental.Veamos en primer lugar cuáles son los diagramas de tensión e intensidad correspondi-

entes a una onda estacionaria en general. Partiendo de las relaciones entre V e I y los modosa+ y a−, ecuacióne (15.11) y (15.13), se deduce, teniendo también en cuenta la definicióndel coeficiente de reflexión, que:

V (z) =1

2

¡a+(z) + a−(z)

¢=1

2a+(z) [1+ ρ(z)] =

1

2a+o exp(−jβz) [1+ ρ(z)]

(15.23)e igualmente,

I(z) =1

2Zoa+o exp(−jβz) [1− ρ(z)] (15.24)

donde, en la situación de línea sin pérdidas, β es real, Zo también y coincidente conRoi =(L/C)1/2, y ρ resulta ser un número complejo, de módulo constante y fase dada por 2βz.En las relaciones anteriores destaca que los módulos de los factores V e I son propor-

cionales al módulo 1+ρ y 1−ρ, respectivamente, representados gráficamente en la figura15.5, conjuntamente con las variaciones de V e I, con z, respectivamente.

11

Figura 15.5

La relación entre la impedancia y el coeficiente de reflexión se deduce inmediatamentea partir de las relaciones (15.23) y (15.24), obteniéndose

Z =V

I= Zo

1+ ρ

1− ρ

o bien

ZN =Z

Zo=1+ ρ

1− ρ(15.25)

que fácilmente conduce también a

ρ =ZN − 1ZN + 1

(15.26)donde tanto ρ como Z son funciones de la posición.Es ilustrativo estudiar algunos casos particulares. Suponiendo, por ejemplo, que se

termina la línea con un cortocircuito, ZL = 0, de (15.26) se obtiene que ρL = −1, lo quecorresponde a una onda refejada de igual magnitud que la incidente pero opuesta en faseen l = 0, la posición de la carga, conduciendo a un valor nulo de V y máximo de I, talcomo corresponde físicamente a un cortocircuito. Por otra parte, de la ecuación (15 .22) sededuce que

Z(l) = jZo tanβl

La impedancia es puramente reactiva, y a una distancia de l = λ/4, siendo λ la longitudde onda, se hace infinita correspondiento a una situación de circuito abierto; la impedanciase reproduce cada λ y toma todos los valores, imaginarios, a lo largo de la línea.

En la figura 15.6 se representan los diagramas de onda estacionaria correspondientesa valores de |ρ| igual a 1, como en el caso analizado, a cero, correspondiendo a una ondaprogresiva debido a que ZL = Zo, y a un valor intermedio entre los dos citados. La mag-nitud representada es V pudiendo deducirse la gráfica correspondiente a I por lo estudiadoanteriormente. Evidentemente, en el caso de líneas sin pérdidas, el rango posible de val-

12

ores de |ρ| es entre 0 y 1, no pudiendo ser mayor que la unidad pues ello significaría mayorpotencia reflejada que incidente, lo cual es imposible si la carga se supone pasiva.

Figura 15.6

En dichas gráficas destaca en primer lugar que, para cada situación, los valores de losmáximos y de los mínimos son iguales, estando esto directamente ligado a la hipótesis depérdidas nulas, con la conservación, conseccuentemente, del |ρ| a lo largo de la línea. Porotra parte se comprueba que los máximos y mínimos están separados entre sí λ/2, siendo lavariación en torno a los mínimos mucho más acusada. Además, el cociente entre máximoy mínimo pasa de valores tendentes a infinito, para |ρ| próximo a la unidad, hasta valorestendentes a la unidad en el caso de onda progresiva.La forma de este diagrama de onda estacionaria, en lo que respecta a relación entre máx-

imo y mínimo, así como localización de los mismos, viene directamente ligada al carácterde la carga que termina a la línea, y su determinación experimental constituye un proced-imiento para medir ZL.A efectos de caracterización experimental de una onda estacionaria se introduce como

parámetro básico la denominada razón de onda estacionaria, término comúnmente repre-sentado por la siglas VSWR correspondientes a la denominación inglesa ‘‘Voltage StandingWave Ratio’’; este parámetro se introduce como cociente entre los valores del potencial enpuntos correspondientes a máximo y mínimo

S =|Vmax||Vmin| (15.27)

Teniendo en cuenta la variación de |V | descrita gráficamente en la figura 15.5, o bien en vir-tud de la expresión (15.23) que la determina, se observa queVmax corresponde a situaciónesen que ρ coincide con |ρ| ; de la misma forma Vmin corresponde a valores de ρ tambiénreales y coincidentes con − |ρ|, con lo cual resulta

S =1+ |ρ|1− |ρ| (15.28)

o bien

13

|ρ| = S − 1S + 1

(15.29)con lo cual, la medida de la razón de onda estacionaria en la línea nos determina el módulodel coeficiente de reflexión. Cabe destacar que la introducción del parámetro S sólo tienesentido en líneas sin pérdidas o con pérdidas suficientemente pequeñas; en el caso ideal larazón de onda estacionaria se mantiene constante a lo largo de toda la línea y en la situaciónde pérdidas pequeñas los valores de S en puntos alejados serán diferentes, viniendo ligadaesta diferencia al coeficiente de atenuación. Dependiendo de la carga, S podrá tomar val-ores que van desde S = 1 para el caso de onda progresiva (ρ = 0;ZL = Zo), hasta Stendente a infinito para ondas totalmente estacionarias correspondientes a cortocircuito,circuito abierto, etc. (|ρ| = 1).Evidentemente, la caracterización completa del coeficiente de reflexión, o de la im-

pedancia de carga, precisa además de una información referente a la fase de ρ; esto seconsigue mediante la determinación de las posiciones de los mínimos, normalmente referi-das a la posición de la carga. Para dicho propósito servirían itualmente la localización delos máximos en el diagrama de onda estacionaria, si bien se utiliza a los mínimos dado quela variación en torno a los mismos es mucho más acusada que en torno a los máximos, pu-diendo determinarse su posición experimentalmente con mucha mayor precisión. Por otraparte, la localización de los mínimos determina automáticamente la longitud de onda quecoincide con el doble de la distancia entre mínimos consecutivos, lo cual indirectamentesirve para medir la frecuencia.Para conectar la fase de ρ, sea r, con la posición de losmínimos, acudimos a la expresión

de V en función de la posición

V (z) =1

2a+o exp(jβl) [1+ |ρ| exp j(−2βl + rL)]

siendo rL el valor de la fase de ρ en la posición de la carga, supuesta en l = 0. El primermínimo respecto a la carga, que supondremos situado en l = l1, se producira cuando

j(−2βl1 + rL) = jπy se repetirán los mínimos cada semilongitud de onda, como ya hemos citado. La relaciónobtenida conduce a que

−βl1 + rL2=

π

2⇒ tan(−βl1 + rL

2) = tan

π

2= 0

y por tanto

cot(rL/2) = − tan(βl1)lo que nos permite determinar rL experimentalmente, y por tanto, precisar completa-

mente a ρ. Como además ρ y Z están ligados entre sí según la ecuación (15.25), la deter-minación de S y de la posición de un mínimo, sea l1 su distancia a la carga, determina a suvez la impedancia de carga, que operando adecuadamente puede expresarse como

ZLZo

=1+ ρL1− ρL

=1S − j tan(βl1)1− 1

S j tan(βl1)(15.30)

14

Una técnica de laboratorio frecuentemente utilidada para la determinarción del dia-grama de onda estacionaria es mediante líneas o guías ranuradas. En la figura 15.7 seesquematiza una linea coaxial ranurada; la ranura se hace de tal forma que no corte laslíneas de corriente asociadas a la distribución del campo electromagnético del modo encuestión, en este caso el modo TEM, con lo cual la perturbación que introduce la presen-cia de la ranura va a ser pequeña. A través de dicha ranura se puede introducir una sondametálica que en el caso de la figura muestrará la componente radial del campo eléctricoexistente en la línea. Las corrientes que induce el campo en la sonda pueden ser detectadasmediante un rectificador y llevadas a un medidor de continua; normalmente los detectoresutilizados operan en el rango de baja señal y poseen respuesta cuadrática, con lo que laslecturas del medidor serán proporcionales al cuadrado de la tensión (o del campo). Así, sison LM y Lm las lecturas correspondientes a un máximo y a un mínimo, respectivamente,la razón de onda estacionaria vendrá dada por

S =

µLMLm

¶1/2

Figura 15.7

15.3 TRANSFORMACIÓN COEFICIENTE DE REFLEXIÓN-IMPEDANCIA:DIAGRAMA DE SMITH

Hemos descrito el comportamiento de una línea de transmisión en términos de la tensióne intensidad y también en términos de los modos normales. Se ha introducido el coeficientede reflexión y con él se obtiene una visión muy directa de las diferentes situaciones quepueden presentarse; no obstante, y aunque en principio sea redundante, también se ha intro-ducido la impedancia dado que es quizá un parámetro más familiar, en términos del cual sedesarrolla la teoría de circuitos, y que permite simplificar diversas situaciones como son lascorrespondientes a asociaciones serie o paralelo de elementos, etc. Desde un punto de vistapráctico, en el estudio de una situación existen facetas cuyo análisis conviene hacerlo entérminos de impedancias y otras que se prestan mejor a un tratamiento en términos del coe-ficiente de reflexión; lo interesante es poder efectuar dicho análisis según convenga y tenerun procedimiento sencillo de trasladar los resultados que se obtengan de un planteamientoal otro.

15

Desde un punto de vista formal las relaciones de partida son la (15.25) y la (15.26) queestablecen una transformación bilineal entre los planos complejos correspondientes a Z ya ρ. Actualmente la utilización de ordenadores facilita grandemente todo el aspecto opera-tivo, pero dada la importancia que han tenido, y que aún se conserva, vamos a desarrollaren este apartado un procedimiento gráfico que facilita grandemente todos los problemasoperativos que surgen al necesitar transformar los diversos resultados en términos de Z yde ρ. Para cubrir este objetivo se han diseñado diversas cartas gráficas entre las que destaca,por ser universalmente utilizada, la carta de Smith; esta carta parte del principio de que ladescripción del comportamiento de la línea es más secilla en términos de ρ y consiste enuna representación de las impedancias en el plano complejo correspondiente al coeficientede reflexión. Dicha representación se basa en la transformación bilineal representada porla relación (15.26) que utilizaremos en la forma

ρ = 1− 2

ZN + 1(15.31)

donde recordemos que ZN simboliza la impedancia normalizada Z/Zo. Entre las diver-sas formas de representar ZN en el plano ρ, la carta de Smith utiliza el procedimiento derepresentar dos familias de curvas, las correspondientes a resistencia constante y las dereactancia constante

ZN = RN + jXN

Aefectos de llevar a cabo la transformación conforme anteriormente descrita, recordemosen primer lugar que en general tendremos que analizar situaciones correspondientes a líneacargada con elementos pasivos, lo cual conduce a que

RN ≥ 0 ; |ρ| ≤ 1

Figura 15.8

16

Figura 15.9 Carta de Smith

Así la transformación representada por (15.31) nos pasa del semiplano derecho delplano Z al interior de una circunferencia de radio unidad en el plano ρ. Esta transforma-ción podemos dividirla en otras más elementales. Supongamos por ejemplo, una recta RNconstante, en el plano Z como la señalada por Lo en la figura 15.8; la operación 1 + ZNtraslada Lo a la recta L1 que, invertida, se convierte en la circunferencial L2 que pasa porel origen, debido a la operación (1+ZN)−1; L3 surge de multiplicar por (-2), y finalmenteL4 de trasladar a L3 una unidad real.Para distintos valores de RN obtendremos una familia de circunferencias en el plano ρ,

todas ellas con centro en el eje real, en el punto (RN/(1+RN), 0), que pasan por el punto(1,0) y de diámetro 2/(1+RN).Mediante un procedimiento análogo, partiendo de rectasXN constante, obtenemos una

familia de circunferencias en el plano ρ, todas ellas tangentes al eje real en el punto (1,0),de radio 1/XN y con centro en el punto (1, 1/XN).Estas dos familias de curvas configuran la Carta de Smith, representada en la figura

15.9, que como ya hemos apuntado constituye en esencia un sistema de cálculo rápido,cuyas propiedades básicas destacaremos a continuación, mediante un estudio de diferentescasos de aplicación.

Figura 15.10

Cualquier impedancia normalizada queda en este diagrama encerrada por la circunfer-encia R = 0. Por ejempolo, el punto de intersección de las curvas R = B y X = C

18

corresponde a la impedancia normalizada B + jC; así, en la figura 15.10, el punto A rep-resenta la impedancia ZN = 1+ j. El módulo del coeficiente de reflexión es la distanciade este punto al orígen expresada como franción del radio unidad. Para esto se suele daruna escala lineal de dicho radio. Por otra parte, la fase del coeficiente de reflexión referidoa esta posición particular en el plano ρ (es decir, la fase de la tensión de la onda reflejadacon respecto a la incidente en dicho punto) es, según la definición de ρ el ángulo medidodesde el semieje positivo del eje real en sentido antihorario. Para facilitar esta lectura sesuministra en la carta una escala de ángulos.

APLICACIONES DE LA CARTA DE SMITHa) Fijada ZL calcular ρPara ello conviene resaltar en primer lugar que en la Carta de Smith están represen-

tadas las impedancias normalizadas y, como primer paso, la entrada en la carta ha de sercon ZL/Zo. Dado que la representación está confeccionada en el plano correspondiente alcoeficiente de reflexión, situado en forma módulo argumental, una vez localizada ZLN , ladistancia al centro nos dará |ρ|, también expuesto en una escala inferior, pudiendo leerse lafase en la circunferencia extrema del diagrama; esta última escala viene dada en grados ytambién en fracciones de λ. Una vez localizado ρL, la transformación de ρ a lo largo de lalínea, supuesta sin pérdidas, caerá en una circunferencia correspondiente a |ρ| constante; enla carta se señalan los sentidos de giro según se recorra la línea hacia el generador o haciala carga.

Figura 15.11

19

En la figura 15.11 se destaca, por ejemplo, la situación correspondiente a ZLN = 1, 2 +j1, 3, resultanto |ρ| = 0, 5 con un argumento, en la carga, de 50o

b) Transformación de impedanciasUna vez fijada la frecuencia de operación se conoce la longitud de onda en la línea, sea

λ. Si se precisa conocer el valor de la impedancia a una distancia l de la carga, el primerpaso será establecer el valor de l en unidades de longitud de onda; a continuación, teniendoen cuenta la escala marcada como ‘‘longitudes de onda hacia el generador’’ se gira sobrela circunferencia correspondiente a |ρ| constante, un valor dado por las fracciones de λdeseadas y se localiza el valor de ZN en la carta.Con referencia a la figura 15.11, si se desea conocer el valor de Z a 0, 31λ de la carga,

operando como se indica se encuentraZN = 0, 34−j0, 06, valor que habria quemultiplicarpor Zo para encontrar Z. En la escala exterior, a ZLN le corresponde un accimut θL =0, 180λ y a ZN el accimut θN = (0, 180λ+ 0, 310λ) = 0, 490λConviene observar que, recorriendo la circunferencia correspondiente a |ρ| constante,

el punto de cruce con el eje real (del plano ρ) de la derecha corresponden al valor de ρ = +|ρ| y en dicho punto la impedancia será real y de valor

ZN =

µ1+ ρ

1− ρ

¶ρ=|ρ|

=1+ |ρ|1− |ρ|

que coincide con la razón de onda estacionaria según se refleja en la relación (15.28).De acuerdo con esto y en relación a la figura 15.11, la razón de onda estacionaria cor-

respondiente es S=3, valor que puede calcularse conociendo que |ρ| = 0, 5 o por lecturadirecta en una de las escalas inferiores de la carta.Por otra parte el punto de cruce con la parte positiva del eje real coincide en posición

con un máximo de tensión, dado que esta situación corresponde, como ya se ha citado, aρ = + |ρ| . De la misma forma se encuentra que el cruce con la parte negativa del eje realcorresponde a un mínimo de tensión y en él se encuentra que la ZN es real y coincide envalor con S−1.

c) Dada S y la posición de un mínimo, encontrar ZLEsta es una técnica frecuenctemente utilizada para determinar experimentalmente el

valor de la impedancia de carga. Una vez medida S se traza, de acuerdo con lo visto ante-riormente, la circunferencia correspondiente a |ρ| constante, que cortará al eje real positivoprecisamente en el punto ZN = S. A continuación, en el punto simétrico respecto al ori-gen, tendríamos el mínimo y moviéndonos ‘‘hacia la carga’’ un ángulo determinado por lalocalización del mínimo (que normalmente se da como posición del mínimo respecto a lacarga), tendremos determinada ZLN sobre la circunferencia de |ρ| constante.En el ejemplo reflejado en la figura 15.11, tendríamos que los datos experimentales

serían:S = 3

Distancia mínimo-carga dmin = 0, 50λ− 0, 18λ = 0, 32λ

20

El mínimo estará situado en la parte negativa del eje real en el punto correspondientea ZN = 1/3 y moviéndonos hacia la carga la distancia 0, 32λ sobre la circunferencia|ρ| = 0, 5, llegaremos a la impedancia de carga ZLN = 1, 2 + j1, 3d) Utilización de la carta operando con admitanciasPartiendo de la relación que liga a Z y ρ

ZN =1+ ρ

1− ρ

se comprueba que invertir el signo de ρ (esto en la carta de Smith se corresponde conlocalizar el punto simétrico respecto del origen) conduce a calcular el inverso de ZN , esdecir la admitancia

YN = Z−1N =

µ1− ρ

1+ ρ

¶Así pues, en la carta de Smith invertir un número complejo corresponde simplemente

a localizar su simétrico respecto al origen. Consecuentemente, trabajar con admitanciassigue un camino totalmente análogo a la operación con impedancias.e) Adaptación de impedancias mediante un ‘‘stub’’ simpleSi en un punto dado de la línea se consigue que la impedancia vista desde el generador

corresponda a Zo se eliminará la onda reflejada; si esto se obtiene mediante colocación deimpedancias reactivas (no disipativas) en la línea, en definitiva se logrará que a la carga setransmita el máximo de energía, situación de gran interés desde un punto de vista experi-mental.En la práctica la adaptación de impedancias puede obtenerse por diversos procedimien-

tos entre los cuales, y a modo de ejemplo de aplicación de la carta de Smith, vamos acitar el de ‘‘stub’’ simple. Se denomina ‘‘stub’’ a un tramo de línea de longitud variablecortocircuitada por uno de sus extremos y que normalmente se acopla en paralelo con lalínea principal, tal como se esquematiza en la figura 15.12; recordemos, de acuerdo conresultados ya obtenidos, que a lo largo del ‘‘stub’’ puede conseguirse cualquier valor deimpedancia reactiva (parte real nula).

Figura 15.12

En la figura 15.12, Y1 simboliza a la admitancia que se ve mirando hacia la carga en el

21

punto donde esta colocado el ‘‘stub’’ ; Y2 es la admitancia que se ve en el punto de uniónmirando hacia el cortocircuito en el ‘‘stub’’ ; la admitancia a que da lugar, en el punto citado,la asociación de Y1 e Y2 será

Y = Y1 + Y2

Figura 15.13

f) Adaptación de impedancias mediante un doble ‘‘stub’’Como indica la figura 15.14 se trata de lograr la adaptación en este caso por medio de

dos secciones de línea cortocircuitada situadas a una distanciaD también fija. Las variablesa encontrar en este caso son l1 y l2, la longitudes de las secciones de línea o sintonizadores.

22

Figura 15.14

donde se ha de considerar que Y1 proviene de transformar YL a lo largo de un tramo de línead y, por otra parte, Y2 proviene de transformar una admitancia debida a un cortocircuito alo largo de una distancia l. Al ser Y2 puramente reactiva, estará situada en la circunferenciaunitaria (la más externa y que delimita la carta, y que corresponde a R = 0), siendo elpunto de corte con el eje real negativo el correspondiente a impedancia cero (cortocircuito)y el simétrico respecto al origen (es decir, el punto de corte con el eje real positivo) elcorrespondiente a la admitancia infinita (cortocircuito).El problema se reduce a hallar un punto de la línea en que la admitancia normalizada

sea de la forma Y1 = 1 ± jb1, punto que se encontrará moviéndonos desde YLN hacia elgenerador hasta encontrar los punto de corte con la circunferencia g = 1, como indica lafigura 15.13. El arco recorrido desde YLN hasta Y1 o Y 01 nos dará la distancia d en longi-tudes de onda. La longitud l la hallamos, de forma análoga moviéndonos desde el puntoC, representativo de la admitancia infinita del cortocircuito, hasta encontrar los puntos ao a0 de admitancias Y2 = −b1 e Y 02 = +b1 respectivamente. De esta forma la suma delas admitancias 1± jb1 y ∓b1 producen una admitancia normalizada igual a la unidad, esdecir, Yo; con lo cual se logra la adaptación.El primer paso es tralsadar la admitancia YLN la distancia d1 hacia el generador obte-

niendo, figura 15.15, la admitancia Y3 = g3 + jb3. La adición del primer sintonizadortransforma esta admitancia en otra Y 03 = g3 + jb3 ± jb1 que se encontrará en la circun-ferencia g3 = cte. Tendremos que elegir una admitancia Y 03 tal que al girar la distanciaDcaiga sobre la circunferencia g = 1, teniendo entonces en la sección pp0 de la línea unaadmitancia Y4 = 1± jb2. La adicción del segundo sintonizador de admitancia ∓jb2 pro-duce la admitancia YN = 1 con lo que la adaptación queda lograda. El problema radicaen encontrar la admitancia Y 03 adecuada. En lugar de proceder por tanteos lo que se hacees girar la circunferencia g = 1 en sentido contrario, es decir hacia la carga, una distanciaigual a D. La intersección de la circunferencia girada con la circunferencia g3 = cte nosproporciona los puntoa A y B posibles soluciones para Y 03 . Deshaciendo el giro obtener-mos los puntos A0 y B0 soluciones correspondientes a Y4. Esto nos permite conocer jb1 yjb2, admitancias de los sintonizadores y hallar sus longitudes como se indicó en el ejemplo

23

anterior.

Figura 15.14

Obsérvese que todas las admitancias Y3 que caigan dentro del círculo sombreado nopueden adaptarse. Sería entonces necesario modificar la distanciaD.

15.4 TRATAMIENTO DE LAS LINEAS CON PÉRDIDASEn la práctica todas las líneas tienen pérdidas, si bien frecuentemente dichas pérdidas

son muy pequeñas y todo lo ya estudiado para líneas ideales sigue siendo útil.Formalmente las pérdidas se reflejan en aportar un pequeño término imaginario a la

impedancia característica, que normalmente puede despreciarse, y también a la constantede propagación β,

β = β0 − jβ00 = β0 − jαEn este caso el término imaginario, la constante de atenuación, no puede despreciarse

por muy pequeño que sea, si se considera un tramo de línea suficientemente grande, dadoque el efecto de la atenuación se ve amplificado por la longitud. En el caso de pérdidaspequeñas los dos términos de la constante de propagación vienen ligados con los parámetrosde la línea por

β0 ≈ ω√LC

β00 ≈ 12

√LC

µR

L+G

C

¶

24

y la influencia de β00 puede destacarse observando, por ejemplo, la expresión de la distribu-ción de V a lo largo de la línea:

V =1

2a+o exp(−jβ0z) exp(−β00z) +

1

2a−o exp(jβ

0z) exp(β00z) =

=1

2a+o exp(jβ

0l) exp(β00l) +1

2a−o exp(−jβ0l) exp(−β00l)

En la Figura 15.16 se expone un esquema tímio de onda estacionaria en una línea depérdidas medias. Se observa que a medida que nos alejamos de la carga (se ha puesto uncortocircuito en l = 0), la relación máximo a mínimo disminuye y tendería a la unidadsi nos alejásemos suficientemente de la carga, debido a que los máximos y mínimos soncausados por la interferencia de las ondas incidente y reflejada y, esta última, a distanciassuficientemente alejadas de la carga es prácticamente nula debido a su atenuación segúnexp(−β00l). En esta situación, si el generador está suficientemente alejado de la carga, eldesacoplo oscilador-carga es grande en el sentido de que cualquier variación en la carga noafecta al oscilador.

Figura 15.16

Cuando las pérdidas son pequeñas puede considerarse que losmodos a+ y a− trasportanbásicamente la energía en forma independiente, pero aparece un pequeño término extra deinteracción. En efecto, la potencia transmitida viene dada por

P =1

2Re (V I∗)

P =1

8Re³ha+o e

−jβ0z−β00z + a−o ejβ0z+β00z

i h(a+o )

∗ ejβ0z−β00z − (a−o )∗ e−jβ

0z+β00ziY ∗o´

O bien:

P =1

2Re (V I∗) =

1

8Renh¯a+o¯2exp(−2β00z)− ¯a−o ¯2 exp(2β00z)iY ∗o o+

+1

8Re©£(a+o )

∗(a−o )∗ exp(j2β0z)− (a+o )∗(a−o )∗ exp(−2jβ0z)

¤Y ∗oª

si las pérdidas son nulas o muy pequeñas el segundo sumando en la expresión de la

25

potencia transmitida es nulo puesto que Y ∗o sería real y el factor que multiplica a Y ∗o es ladiferencia de dos complejos conjugados que es imaginario puro. En este caso la potenciatotal transmitida es la diferencia de las potencias asociadas a las ondas incidente y reflejada.Si las pérdidas son apreciables, desglosando a la admitnacia característica en sus com-

ponentes, Yo = Go + jBo, y operando adecuadamente se obtiene:

P =1

2Re (V I∗) =

1

8Go¯a+o¯2exp(−2β00z)

·1− |ρ|2 + 2Bo

GoIm(ρ)

¸(15.32)

siendo el último término debido exclusivamente a las pérdidas, y representa un intercambiode energía entre las ondas incidente y reflejada.Antes de proseguir es conveniente hacer un inciso respecto a las unidades en que se

suele medir la atenuación. Según aparece β00 en las expresiones desarrolladas arriba, susunidades corresponden, al igual que las de β0, a [longitud]−1; no obstante, en la práctica laatenuación suele darse en decibelios (dB) o en nepers. El decibelio se define en términosde la relación entre las potencias transmitida en z y en z + L, así

Atenuación en dB = 10 log10 e2β00L = 8, 686β00L (15.33)

tal como se desprende de (15.32) supuesto despreciable el último término. El neper, porotra parte, se define en términos de la relación entre la amplitud de la onda en z y en z+L,según

Atenuación en nepers = ln10 e2β00L = β00L (15.34)

Las expresiones (15.33) y (15.34) corresponden a la atenuación introducida en la ondapor un tramo de longitud L, y, teniendo en cuenta dichas expresiones, el coeficiente deatunuación β00 o α, suele expresarse en dB o en nepers por unidad de longitud.La expresión del coeficiente de reflexión, supuestas pérdidas no nulas, resulta ser

ρ =a−oa+oexp(2jβ0z) exp(2β00z) = ρL exp(−2jβ0l) exp(−2β00l)

destacándose como diferencia importante respecto al caso sin pérdidas, que su módulo nopermanece constante al movernos a lo largo de la línea, sino que decrece según exp(−2β00l)a medida que nos alejamos de la carga. Por otra parte, observando la expresión (15.32)se comprende que cuando las pérdidas son apreciables, aún estando cargada la línea conun elemento pasivo, Re(ZL) > 0, pueden existir situaciones en que |ρ| sea mayor quela unidad sin que se viole el principio de conservación de la energía; esta situación, noobstante, se encuentra muy raramente y además |ρ| se atenuaría rápidamente al alejarnosde la carga, como ya hemos dicho, tomando valores inferiores a la unidad.El diagrama de Smith sigue siendo útil en el caso de líneas con pérdidas, sobre todo si

estas son pequeñas. Sin embargo, la representación de ρ ya no será una circunferencia, sinoque decrecerá siguiendo una espiral, a medida que nos alejamos de la carga; precisamenteeste decremento puede utilizarse en la medida de β00 mediante la determinación de S enpuntos distantes.

26