TEMA: ANALISIS DE VELOCIDADES.

MECANISMOS Análisis de velocidades.

Análisis de velocidades. Pag-1

TEMA: ANALISIS DE VELOCIDADES.

1- INTRODUCCION. 2- ANALISIS GRAFICO DE VELOCIDADES.

2.1- Polígono de velocidades: método de las velocidades relativas. 2.1.1- Aplicación a órganos deslizantes. 2.1.2- Otros casos.

2.2- Método de los centros instantáneos de rotación. 2.1.1- Teorema de Aronhold-Kennedy o de los tres centros. 2.1.2- Localización de los c.i.r.

3- ANALISIS NUMERICO DE VELOCIDADES.

3.1- Introducción. 3.1.1- Mecanismo de tres eslabones. 3.1.2- Mecanismo biela-manivela.

3.2- Planteamiento general. 3.3- Velocidades de puntos del mecanismo.

3.3.1- Velocidades de puntos de definición del mecanismo: pares. 3.3.2- Velocidades de puntos asociados a un eslabón.



1-INTRODUCCION

Hasta ahora se ha realizado el estudio del movimiento de los mecanismos, esto es, el cálculo de las diferentes posiciones que ocupan los eslabones en el espacio, en función del valor de una variable (que se ha denominado variable de entrada ó primaria), así como de la trayectoria que describen los puntos del mecanismo ó puntos asociados a sus eslabones.

Este tema se centrará en la forma en que se recorren estas trayectorias en función del tiempo; es

decir, se realizará el estudio de una de las características del movimiento de los puntos de los eslabones: en definitiva, se analizarán las velocidades de estos puntos. Para ello, será necesario conocer como varía con el tiempo la variable primaria de mecanismo: se deberá conocer la velocidad de entrada del eslabón motor del mecanismo.

Como en el tema anterior, el estudio de velocidades se enfocará desde dos métodos diferentes:

por una parte se realizará el estudio de velocidades a través de métodos gráficos y por otra se establecerán las bases necesarias para poder acometer el estudio con métodos numéricos de gran aplicación en ordenadores.

La conveniencia de la aplicación, a un caso concreto, de un método u otro deberá ser elegida por

el alumno en función de una serie de determinantes que en cada caso deberán ser evaluados; entre otros cabe destacar: - Profundidad requerida en el análisis. - Precisión exigida. - Rapidez necesaria. - Disponibilidad de herramientas adecuadas.



2.-ANALISIS GRAFICO DE VELOCIDADES. Los métodos gráficos de cálculo de velocidades están basados en las relaciones geométricas

existentes entre las magnitudes mecánicas, por lo tanto, es imprescindible para un buen uso de estos métodos el conocimientos previo de los conceptos cinemáticos que han sido estudiados en el curso de "Mecánica", sin los cuales la aplicación de métodos gráficos no tendría ningún sentido.

2.1-Polígono de velocidades: método de las velocidades relativas. En la figura 1 se muestra un eslabón genérico de un mecanismo del cual se conoce la velocidad

de uno de sus puntos, Avr , y la dirección de la velocidad de otro de sus puntos, el punto B.

A

B

a

b

VV VV

m

m

n n

Polo

direcci¾n perpendicular a AB

AB

A

BV

BA

Fig-1. Polígono de velocidades de un eslabón genérico.

Se desea calcular la velocidad del punto B, y para ello se utilizará el método de las velocidades

relativas, esto es: r r rv v vB A BA= +

Además se aprovechará el hecho de que la velocidad relativa del punto B respecto del punto A,

rvBA , es

perpendicular a la línea que une los puntos A y B del eslabón. Teniendo esto en cuenta, se procederá como a continuación se indica, obteniéndose como resultado el polígono de velocidades mostrado en la figura 1.



a) Se elige un polo, O, que será el origen de los vectores de velocidad. b) Se traza a escala el vector

rvA . c) Por el polo se traza una recta n-n según la dirección de

rvB . d) Por el extremo de

rvA se traza otra recta m-m que sea perpendicular a la recta AB.

e) El punto de corte de m-m con n-n, determina el punto b del polígono de velocidades; el vector que va de O a b será

rvB y el que va de b a a será rvBA . Por otra parte, la velocidad angular del

eslabón será:

BAvBA=ω

Aplicando este método a un mecanismo, por ejemplo el de cuatro eslabones representado en la

figura 2, se podrá realizar el análisis de velocidades del mismo. En este casó se supondrá conocida la velocidad angular del eslabón OA, ω2.

1 1

23

4A

B

O OC

V

V Ob

c

aV

VV V V

AB AC

BCBC

ABA AC

W

WW 2

3

4A

B

Fig-2. Análisis gráfico de velocidades del mecanismo de cuatro eslabones.

Al conocerse la dirección de

vVB , y puesto que la velocidad del punto A puede ser calculada de

inmediato mediante:

OAOAVA ⋅=⋅= 22 ωωrr

se actuará como se ha indicado anteriormente, teniendo en cuenta la relación:

v r r

V V VB A BA= +

En la figura 2 se muestra el polígono de velocidades obtenido.



Si se desea determinar la velocidad de un punto cualquiera asociado al eslabón 3 (tal como el C

en el ejemplo que se está desarrollando), puesto que: r r r

r r rV V V

V V VC A CA

C B CB

= +

= + ⇒

r r r

r r rV V V

V V VA C AC

B C BC

= +

= +

y al ser

rVAC perpendicular a AC y

rVBC perpendicular a BC, se trazarán por los extremos de AV

r y

rVB

sendas perpendiculares a AC y BC respectivamente, y el punto donde intersecten será el punto c buscado pues cumple con las dos expresiones vectoriales anteriormente planteadas.

2.1.1-Aplicación a órganos deslizantes. Cuando se trata de analizar velocidades en el caso de que en el mecanismo aparezcan órganos

deslizantes, tales como perfiles de ruedas dentadas, levas y guías móviles, aparece un caso de movimiento compuesto del punto.

Su solución mediante la aplicación de métodos gráficos se desarrollará a continuación. En la figura 3 se muestra un mecanismo formado por dos perfiles que deslizan uno sobre otro (

el eslabón 2 se tomará como conductor y el 3 como conducido).

AB 3 2

Y

X

X'

Y'

1 1ω2

M =M3 2

Fig-3. Organos deslizantes.



Si se desea calcular la velocidad de rotación del órgano conducido, sabiendo que la del eslabón 2 es ω2, se operará de la siguiente forma:

a) Se determinarán los ejes fijos (unidos a la bancada) X´Y´. b) Se examinará cuál es el sistema de referencia móvil, y se elegirán los ejes X e Y más convenientes en cada caso, asociados a uno de los eslabones Puesto que el movimiento del M puede considerarse como movimiento compuesto del punto:

( ) )()( MrelatMarrasMAB VVVrrr

+=

Esta fórmula puede simplificarse de la siguiente forma: r r r

V V VM M M3 2 3 2= + /

Donde la velocidad del punto M perteneciente al eslabón 2 (velocidad de arrastre del punto M, si

se considera el sistema de referencia móvil asociado al eslabón 2) es conocida: r r r

V AMM2 2 2= ×ω

Una vez calculada esta velocidad se procederá tal y como se explicó anteriormente pues la

dirección de r

VM3 es conocida (perpendicular a BM3) y también la de

rVM3 2/ que es la dirección del

movimiento relativo y debe ser tangente a los dos perfiles en el punto de contacto (dirección de X en la figura).

En la figura 4 se muestra el polígono de velocidades correspondiente al mecanismo que acaba

de estudiarse.



V

V

direccion Xm

m

BM

a AM

O3 M

M

3

2 2

2

3

Fig-4. Polígono de velocidades del mecanismo de la figura 3.

Por otra parte para calcular la velocidad angular del eslabón conducido, una vez conocido r

VM3

es inmediato puesto que:

ω33

3=VBM

M

Se deja como ejercicio para el alumno el cálculo de velocidades en el caso de mecanismos con

guías móviles como el de la figura 5, en el cual el eslabón motor es la manivela 2.

A

B

M3

4

2w

1

2

Fig-5. Mecanismo con guías móviles: mecanismo de tres eslabones.



2.1.2-Otros casos.

Existen casos en los que los métodos vistos hasta ahora no son aplicables. Siempre que se trabaje con métodos gráficos, se deberá intentar buscar relaciones geométricas entre las diferentes magnitudes cinemáticas que puedan plasmarse fácilmente de forma gráfica; así, en el ejemplo de la figura 6 para calcular la velocidad del punto P se procederá como a continuación se detalla.

Puesto que V BCCB = ·ω3 , pero también la velocidad del punto P respecto del punto B es V PBPB = ·ω3 , se obtendrá:

ω

ω

3

3

=

=

VCBVPB

CB

PB

} ⇒ VPB

VCB

PB CB=

1 1

4

3

2A

BC

D

P

VV

VV

Vpb

co

BC CD

V =w xA B

V =V + V

c 2

c

B

P

PB

CB

W 2

C B CB Fig-6. Cálculo de la velocidad del punto P

luego el punto P se determinará en la recta bc del polígono de velocidades mediante la semejanza de triángulos mostrada en la figura.

2.2-Método de los centros instantáneos de rotación.

Se define centro instantáneo de rotación (o de velocidades) de una pareja de eslabones como la ubicación instantánea de un par de puntos coincidentes, cada uno perteneciente a uno de los dos eslabones, para los que las velocidades absolutas son iguales. O de otra forma: para los que la velocidad aparente de uno de los puntos es cero, tal y como la percibe un observador situado en el otro eslabón.



De forma más gráfica se podría decir que es el punto alrededor del cual puede considerarse que uno de los eslabones gira con respecto del otro en un movimiento dado (con independencia de si el otro eslabón permanece fijo ó no).

Puesto que se ha adoptado el convenio de numerar los eslabones de los mecanismos, se

designarán los c.i.r. utilizando los números de los eslabones asociados a él: así el P14 se identificará como el centro instantáneo de rotación entre los eslabones 1 y 4.

Por otra parte, un mecanismo tendrá tantos centros instantáneos de rotación como formas

diferentes existan de parear los números de los eslabones; así para un mecanismo de n eslabones existirán:

( )2

1• −=

nnN

centros instantáneos de rotación.

2.2.1-Teorema de Aronhold-Kennedy o de los tres centros.

Este teorema se utilizará para determinar la posición de los c.i.r. que no hayan sido determinados por simple inspección, atendiendo a la definición de centro instantáneo de rotación.

El enunciado del teorema es el siguiente: Los tres centros instantáneos compartidos por tres

cuerpos rígidos en movimiento relativo uno con respecto del otro (estén ó no conectados), están sobre la misma línea recta.

Para demostrar este teorema, se supondrá (según se muestra en la figura 7) que el eslabón 1 es

estacionario y los 2 y 3 pivotan sobre el eslabón fijo 1. Por simple inspección y atendiendo, como se ha comentado anteriormente, a la definición de

centro instantáneo de rotación, se localizan de forma inmediata los c.i.r. P12 y P13.



P

P P

3

2

1

V

VP2

P3

12 13

Fig-7. Teorema de los tres centros.

Si se supone que el punto P es el c.i.r. P23, entonces, por definición de c.i.r. las velocidades

absolutas de P2 y P3 deberán ser iguales, y esta circunstancia sólo podrá darse cuando el c.i.r. P23 esté sobre la línea que une P12 y P13 ( ya que sólo cuando esté localizado sobre dicha recta podrán las direcciones de

rVP2

y r

VP3ser coincidentes) con lo que queda demostrado el teorema .

2.2.2-Localización de los c.i.r.

Para poder localizar los centros instantáneos de rotación de un mecanismo, se procederá como se indica a continuación:

a) Se calcula el número de c.i.r. existentes en el mecanismo:

( )2

1• −=

nnN

b) Se realiza una lista de los centros y se dibuja un polígono con tantos vértices como eslabones. c) Por simple inspección, atendiendo a la definición de centro instantáneo de rotación, se localizan todos los c.i.r. posibles. d) Se aplica el teorema de Kennedy para determinar la posición de los restantes.

A continuación se muestran ejemplos comentados de localización de c.i.r. para diferentes

mecanismos de frecuente utilización práctica.



Ejemplo 1: Leva con seguidor oscilante de cara plana.

1

23

A

P PP

w13

23132

1

2 3

Fig-8. C.i.r. de un mecanismo de leva con seguidor oscilante de cara plana.

El c.i.r. P23 debe estar sobre la recta que une las articulaciones. Por otra parte, si consideramos

fijo el eslabón 3 (móviles 1 y2) la velocidad de A2 sobre 3 deberá tener la dirección indicada, por lo tanto (por definición de c.i.r) el c.i.r. P23 estará sobre la perpendicularidad a

rVA2 3/ trazada a partir del

punto A.

Ejemplo 2: Mecanismo de cuatro eslabones.

12

34

1A

BC

DP

P

P

PP

Pw V

VC

B14

1224

23

34

13

2

1 2

34

Fig-9. C.i.r. de un mecanismo de cuatro eslabones.

Sobre la línea P12-P14 tiene que estar el c.i.r. P24, pero también sobre P23-P34. Lo mismo ocurre

con el centro instantáneo de rotación P13 y las rectas P12-P23 y P14-P34 (ó por definición tiene que ser perpendicular a la dirección de

rVB y a la de

rVC ).



Ejemplo 3: Mecanismo de biela-manivela con rueda y cremallera.

P

P

P

P

PA

B

C

D

Rodadura pura

12 3

4

P

13

14

12

23

34

24

1 2

34

Fig-10. C.i.r. de un mecanismo de biela-manivela con rueda y cremallera.

El c.i.r P13 estará sobre AB y sobre CD, pues son las rectas que unen los centros instantáneos de

rotación P12-P23 por una parte y P14-P34 por la otra. Siguiendo el mismo razonamiento el P24 se hallará en el punto de intersección de las rectas AD y BC.

Ejemplo 4: Mecanismo de tres eslabones.

A

B

C1

2

3

1P

P

PP

P

PP 1 2

34

23

23

12 24 14

34

13

4

Fig-11. C.i.r. de un mecanismo de tres eslabones.



Puesto que el movimiento relativo del eslabón 3 sobre el 2 es un deslizamiento (traslación) sobre este último, el c.i.r. P23 estará en el infinito sobre la recta perpendicular al eslabón 2. El c.i.r. P13 estará localizado en la intersección de las rectas que unen los puntos P14-P34 y P12-P23 (esta última recta será la perpendicular al eslabón 2 que pase por el punto P12). De igual forma se localizaría el centro instantáneo de rotación P24.

Una vez determinados los c.i.r. se pueden resolver problemas a través de ellos teniendo en cuenta que Pij es un punto perteneciente a los eslabones i y j, y que en el instante considerado tiene una velocidad absoluta que es igual para el punto perteneciente tanto a un eslabón como a otro.

3- ANALISIS NUMERICO DE VELOCIDADES. 3.1-Introducción.

Se realizará una introducción al análisis de velocidades por medio de métodos numéricos, mediante la realización de una serie de ejemplos concretos para, posteriormente, generalizar.

3.1.1-Mecanismo de tres eslabones.

En la figura 12 se muestra el mecanismo de tres eslabones sobre el que se realizó el estudio de posición en el tema anterior.

L

C

q

Rα

Fig-12. Mecanismo de tres eslabones.



Al plantear la ecuación vectorial de bucle cerrado, por componentes, se obtuvieron las siguientes expresiones:

L cos α - R cos q - C = 0 L sen α - R sen q = 0

La solución obtenida para el problema de posición fue:

+

=⇒+

=⇒+

=qRC

RsenqartgqRC

RsenqtgqRC

RsenqLLsen

coscoscoscosαα

αα

y una vez calculado el ángulo α:

L R q= .sensenα

o L C R q= + coscosα

Por lo tanto se conocen los valores de q, C, R, α y L, así como de &q , y se desea calcular la

variación con el tiempo de las variables secundarias, esto es &α y &L :

Derivando el anterior sistema de ecuaciones respecto al tiempo, se obtiene:

& cos & sen & sen& sen & cos & cosL L R q qL L R q q⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

α α α

α α α

00

Sistema lineal y homogéneo, en las variables &α y &L , que puede expresarse de forma matricial

como se indica a continuación:

−=

⋅

−q

senqqR

LLsenLsen

coscoscos

&&

&

ααααα

Donde la matriz del término de la izquierda de la ecuación es la matriz jacobiana:

[ ]JLsenLsen

=

−αααα

coscos

Calculando la inversa de la matriz J:



[ ] [ ]L

senLsenL

JJJ

adj

−

==− αααα

coscos

1

luego:

−

−

=

q

senqsen

LsenLLqRL

coscoscos

αααα

α&

&

&

( )( )

( )( )

−

−=

⋅−⋅

⋅+⋅−=

q

LR

qRsenqqsenqsen

LR

qsensenqRLα

α

αα

αα

α coscoscos

coscos&

&

&

por lo tanto:

( )

( )qLRq

qsenRqL

−⋅⋅=

−⋅⋅=

αα

α

cos&&

&&

⇒ ( )

( )qLR

q

qsenRqL

−⋅=

−⋅⋅=

αα

α

cos&

&

&

&

A los cocientes &

&

αq

y &

&

Lq

se los denominará, en adelante, coeficientes de velocidad:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )qLR

qqK

qsenRqLqK L

−⋅==

−⋅⋅==

αα

α

α cos&

&

&

&

De forma que los coeficientes de velocidad para nada dependen de la velocidad de ninguna

variable, sino que son únicamente función de la posición del mecanismo.

Para calcular la variación con el tiempo de las variables secundarias (α y L en este caso) se multiplicaran los coeficientes de velocidades por las velocidades del eslabón de entrada ( &q en este

caso), obteniéndose: & &

& &

α α= ⋅

= ⋅

K qL K qL



3.1.2-Mecanismo biela-manivela.

En el mecanismo mostrado en la figura 13 la variable de entrada es q (posición angular de la manivela) y su variación temporal &q (velocidad angular de la manivela).

q L

α 2

α3

L L1

3

2

Fig-13. Mecanismo biela-manivela.

Planteando la ecuación vectorial de bucle cerrado se obtiene:

r r r rL L L1 2 3 0+ + =

o representada por componentes:

f L q L Lf L q L L

1 1 2 2 3 3

2 1 2 2 3 3

00

= ⋅ + ⋅ + == ⋅ + ⋅ + =

cos cos cossen sen sen

α αα α

Las variables secundarias serán en este caso α2 y L3. Derivando el sistema de ecuaciones respecto del tiempo:

− ⋅ ⋅ − ⋅ + =

⋅ ⋅ + ⋅ + =

L q q L LL q q L L

1 2 2 2 3 3

1 2 2 2 3 3

00

& sen & sen & cos& cos & cos & sen

α α α

α α α

y ordenando términos:

− ⋅ + = ⋅ ⋅

⋅ + = − ⋅ ⋅

L L L q qL L L q q

2 2 2 3 3 1

2 2 2 3 3 1

& sen & cos & sen& cos & sen & cosα α α

α α α



que forma un sistema lineal y homogéneo en las incógnitas & &α2 3 y L , que expresado en forma

matricial quedará:

−

⋅=

⋅

⋅⋅−

qsenq

qLLsenL

senLcoscos

cos1

3

2

322

322 &&

&ααααα

siendo la matriz del término de la izquierda la matriz jacobiana de ( )32 , Lf α

r. Su inversa será:

JJJ

adj− =1

puesto que el determinante de la matriz jacobiana es:

( )322322322 coscoscos αααααα −−=⋅⋅−⋅⋅−= LLsensenLJ

y puesto que la matriz adjunta de J es:

[ ] senLL

senJ adj

⋅−−

−=

2222

33

coscos

αααα

se obtendrá la matriz inversa:

[ ] ( )322

2222

33

1

coscos

cos

αααααα

−−

−−−

=−

LsenLL

sen

J

Luego, las velocidades de las variables secundarias serán:

( )

−

⋅

−−−

⋅−−

=

q

senqsenLL

senL

qLL coscos

coscos 2222

33

322

1

3

2

αααα

ααα &&

&

por lo tanto, los coeficientes de velocidades tendrán los valores:

( ) ( )

−−

+⋅

−⋅−

=

=

222

33

322

1

3

2

coscoscoscos

cos3

2

αααα

αα

αα

qsensenqLqsenqsen

LL

KK

qLq

L

&

&&

&

que operando:



( )( )322

31

coscos

2 ααα

α +⋅−⋅−

=L

qLK

( )( )32

21

cos3 ααα

+−⋅

=qsenLK L

Por lo tanto, para una velocidad angular conocida del eslabón de entrada, las velocidades de las

variables secundarias serán: & &

& &

α α2

3

2

3

= ⋅

= ⋅

K q

L K qL

3.2-Planteamiento general.

Hasta ahora, en los ejemplos estudiados en el apartado anterior, para realizar el cálculo de la velocidad de las variables secundarias se ha derivado, respecto al tiempo, cada una de las ecuaciones resultantes de plantear la ecuación vectorial de bucle cerrado.

De forma general, con independencia de los bucles que formen el mecanismo, al plantear la

ecuación de bucle cerrado para cada uno de los bucles del mismo, se obtendrán una serie de ecuaciones con el mismo número de incógnitas que de ecuaciones planteadas. Si para un caso general, se supone que el número de ecuaciones es n, resulta:

( )( )( )

( ) 0,,,,

0,,,,0,,,,0,,,,

21

213

212

211

=

===

nn

n

n

n

qf

qfqfqf

ααα

ααααααααα

L

M

L

L

L

Donde las αi son variables secundarias que no tiene porque ser siempre angulares, y se supondrá

que q es la variable de entrada. Derivando respecto al tiempo cada una de las anteriores (teniendo en cuenta la regla de la

cadena) se obtendrá:



dfdt

fq

dqdt

f ddt

f ddt

f ddt

dfdt

fq

dqdt

f ddt

f ddt

f ddt

dfdt

fq

dqdt

f ddt

f ddt

f ddt

dfdt

fq

dqdt

n

n

n

n

n

n

n n

1 1 1

1

1 1

2

2 1

2 2 2

1

2 2

2

2 2

3 3 3

1

2 3

2

2 3

0

0

0

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

= ⋅ +

∂∂

∂∂α

α ∂∂α

α ∂∂α

α

∂∂

∂∂α

α ∂∂α

α ∂∂α

α

∂∂

∂∂α

α ∂∂α

α ∂∂α

α

∂∂

∂

......

......

......

M

M

f ddt

f ddt

f ddt

n n n

n

n

∂αα ∂

∂αα ∂

∂αα

1

1

2

2 0⋅ + ⋅ + + ⋅ =......

Expresiones que forman un sistema lineal y homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas, siempre y cuando sean conocidas las derivadas parciales de las funciones de posición, es decir, cuando el problema de posición haya sido previamente resuelto.

Expresando el sistema en forma matricial:

=

⋅

+⋅

0

00

2

1

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

M

M

M

M

L

OMM

L

L

M

dtd

dtddt

d

fff

fff

fff

dtdq

qf

qfqf

n

n

nnn

n

n

n α

α

α

∂α∂

∂α∂

∂α∂

∂α∂

∂α∂

∂α∂

∂α∂

∂α∂

∂α∂

∂∂

∂∂∂∂

Donde la primera matriz es la resultante de derivar parcialmente respecto la variable primaria q

las diferentes ecuaciones de posición. La segunda matriz es la matriz jacobiana, que ya apareció en el tema de análisis de posiciones. La tercera matriz es la matriz de las derivadas respecto el tiempo de las variables secundarias,

esto es, la matriz de las velocidades. De forma simplificada, se puede expresar el sistema:



[ ] [ ]0=

⋅+⋅

dt

dJqqf ii α∂∂

&

Puesto que lo que se quiere calcular son las velocidades de las variables secundarias, es decir:

[ ]ii

dtd

αα

&=

y como:

[ ]

⋅−=

⋅

qfq

dtdJ ii

∂∂α

&

se obtendrá finalmente:

[ ] [ ]

⋅⋅−= −

qfJq i

i ∂∂

α 1&&

O expresando las velocidades en función de los coeficientes de velocidad:

[ ] [ ]

⋅−=

= −

qfJ

qK ii

I ∂∂α

α1

&

&

3.3-Velocidades de puntos del mecanismo.

Hasta el momento se han calculado las velocidades de las variables que definen la posición de cada uno de los bucles del mecanismo. Pero, de forma general, no serán sólo estas velocidades las que resulten interesantes para realizar el estudio cinemático de los mecanismos, sino también las velocidades de diversos puntos pertenecientes a los eslabones de los mismos.

Al igual que se hizo en el tema de "Análisis de posiciones ", se distinguirá entre aquellos puntos

que definen el mecanismo (los pares) y los puntos asociados a sus diferentes eslabones.

3.3.1-Velocidades de puntos de definición del mecanismo: pares. En la figura 14 se muestra parte de un mecanismo genérico. El problema que se plantea a

continuación es el cálculo de las velocidades de puntos como el B y el C, supuesto conocido el problema de posición y calculadas las velocidades de las variables secundarias.



α

B

C

A rr

r

L22

1B c

A

α

L1

Fig-14. Cálculo de las velocidades de los pares.

Para puntos como el B , se demostró en el tema anterior que su posición viene dada por:

x x Ly y L

B A

B A

= += +

1 1

1 1

cossen

αα

Para calcular la velocidad de este punto, bastará con derivar respecto al tiempo las ecuaciones

anteriores:

v x x Lv y y L

Bx B A

By B A

= = −= = +& & & sen& & & cos

1 1 1

1 1 1

α αα α

Puesto que A es un punto invariable, las derivadas de su posición respecto al tiempo serán nulas,

por tanto:

v x Lv y L

Bx B

By B

= = −= =& & sen& & cos

1 1 1

1 1 1

α αα α

En el caso de puntos como el C, que pertenecen a un eslabón que no está unido a la bancada, se

obtuvo que su posición viene dada por:

x x Ly y L

C B

C B

= += +

2 2

2 2

cossen

αα



Derivando respecto al tiempo se obtendrá:

v x x Lv y y L

Cx C B

Cy C B

= = −= = +& & & sen& & & cos

2 2 2

2 2 2

α αα α

o sustituyendo las componentes de la velocidad del punto B por sus valores:

v x L Lv y L L

Cx C

Cy C

= = − −= = +& & sen & sen& & cos & cos

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

α α α αα α α α

Que de forma matricial puede ser expresado como:

⋅

−−=

=

2

1

2211

2211

coscos αα

αααα

&

&r

LLsenLsenL

vv

VCy

CxC

3.3.2-Velocidades de puntos asociados a un eslabón. En la figura 15 se muestra un eslabón genérico de un mecanismo. Este se une al eslabón anterior

por medio del par A y al siguiente por medio del B. En este caso se deberá calcular la velocidad del punto P de coordenadas (up,vp) referidas a los ejes de referencia U-V asociados al eslabón.

α

y

xx x

y

y

A

P

v u

i

iuvp p

A p

A

p B

Fig-15. Velocidades de puntos asociados a un eslabón.

Cuando se realizó el cálculo de posición del punto P, se vio que:



x x u vy y u v

P A P i P i

P A P i P i

= + ⋅ − ⋅= + ⋅ + ⋅

cos sensen cos

α αα α

Puesto que ( )PPP yxV &&

r,= , derivando respecto al tiempo la anterior expresión se obtendrá la

velocidad del punto P:

& & & sen & cos& & & cos & senx x u vy y u v

P A P i i P i i

P A P i i P i i

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

α α α αα α α α

Puesto que el punto A es un par, y por tanto punto de definición del mecanismo, se conoce como

calcular su velocidad y al ser los demás términos conocidos queda calculada la velocidad del punto P asociado al eslabón genérico del mecanismo.

La expresión de la velocidad del punto P, puede ser formulada de forma matricial como a

continuación se indica:

⋅

−−−

⋅+=P

P

ii

iiiAP v

usen

senVV

αααα

αcos

cos&

rr

Puesto que

rrPA , referenciado a los ejes X-Y, es:

( ) ( ) jrirjvsenuisenvur

yx PAPAiPiPiPiPPA

rrrrr+=⋅⋅+⋅+⋅−⋅= αααα coscos

y como la expresión vectorial de la velocidad angular del eslabón es:

r rω αi i k= ⋅&

se obtendrá que la velocidad del punto P respecto del punto A es:

r r rV rPA i PA= ×ω

operando:

r r r rω α α αi PA i

PA PA

i PA i PAri j k

r rr i r j

x y

y x× = = − ⋅ ⋅ + ⋅0 0

0& & &

sustituyendo rPAx

y rPAy por sus valores:



( ) ( ) jsenvuivsenur iPiPiiPiPiPAi

r&

r&

rr⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−=× ααααααω coscos

o por componentes:

( ) ( )( ) ( )iPiPiYPA

iPiPiXPA

senvurvsenur

αααωαααω

−⋅⋅=×

⋅+⋅⋅−=×

coscos

&rv

&rr

o en forma vectorial

⋅

−−−

⋅=

P

P

ii

iii

PA

PA

vu

sensen

VV

Y

X

αααα

αcos

cos&

luego, como debería esperarse:

r r rV V VP A PA= +



BIBLIOGRAFIA:

Título: TEORIA DE MAQUINAS Y MECANISMOS. Autor: Joseph E. Shigley. Editorial: McGraw-Hill. Título: MECHANICS OF MACHINES. Autor: Samuel Doughty. Editorial: John Wiley & Sons. Título: MECANICA DE MAQUINAS. Autor: Ham, Crame, Rogers. Editorial: McGraw-Hill. Título: CINEMATICA Y DINAMICA DE MAQUINAS. Autor: A. de Lamadrid. Editorial: Sección de Publicaciones ETSII de Madrid.

TEMA: ANALISIS DE VELOCIDADES.

Documents

Transcript of TEMA: ANALISIS DE VELOCIDADES.