TEMA 9 INTEGRALES -...

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TEMA 9 INTEGRALES 9.1 Àrea bajo una curva. Teorema fundamental del cálculo. Ejercicios página 197 1. Calcula el área de las siguientes regiones sombreadas a) El área comprendida por la curva fx 3 3x 2 y el eje de ordenadas. -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -1 1 2 3 4 x y Área sombreada G1 G1 donde Gx fx Recordamos que si Fx ax n Fx n ax n1 Tomamos Gx 3x x 3 Gx 3 3x 2 De esta forma Área sombreada 3 1 1 3 3 1 1 3 4 unidades cuadradas. Tareas 04-03-2014: todos los ejercicios que faltan del 1 Tareas 04-03-2014: 2,3 8.2 Integral definida. Regla de Barrow Ejercicios página 198 4 Calcula c) 0 2 x 2 1 dx x 3 3 x 0 2 2 3 3 2 0 3 3 0 2 3 Tareas 04-03-2013: todos los ejercicios que faltan del 4 5 Escribe una función continua f para que 1 1 fxdx 0 Nos hace falta una función continua que corte al eje de abscisas dejando a ambos lados de ese corte la misma superficie. Por ejemplo, fx x Comprobémoslo: 1 1 xdx x 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 0 Regla interesante:Gx ax n Gx ax n1 n 1 Otra solución válida sería: gx x 3 1 1 x 3 dx x 4 4 1 1 1 4 4 1 4 4 0 6 Calcula 1 4 |3x |dx 1

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TEMA 9 INTEGRALES

9.1 Àrea bajo una curva . Teorema fundamental del cálculo .Ejercicios página 1971. Calcula el área de las siguientes regiones sombreadas

a) El área comprendida por la curva f�x� � 3 � 3x2 y el eje de ordenadas.

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-1

1

2

3

4

x

y

Área sombreada� G�1� � G��1� donde G��x� � f�x�Recordamos que si F�x� � axn � F��x� � n � axn�1

Tomamos G�x� � 3x � x3 � G��x� � 3 � 3x2

De esta forma Área sombreada� �3 � 1 � 13� � 3 � ��1� � ��1�3 � 4 unidades cuadradas.Tareas 04-03-2014: todos los ejercicios que faltan del 1Tareas 04-03-2014: 2,3

8.2 Integral definida . Regla de BarrowEjercicios página 1984 Calcula

c) �0

2�x2 � 1�dx � x3

3� x

0

2� 23

3� 2 � 03

3� 0 � 2

3Tareas 04-03-2013: todos los ejercicios que faltan del 4

5 Escribe una función continua f para que ��1

1f�x�dx � 0

Nos hace falta una función continua que corte al eje de abscisas dejando a ambos lados de esecorte la misma superficie.Por ejemplo, f�x� � xComprobémoslo:

��1

1xdx � x2

2 �1

1� 12

2� ��1�2

2� 0

Regla interesante:G��x� � axn � G�x� � axn�1

n � 1Otra solución válida sería: g�x� � x3

��1

1x3dx � x4

4 �1

1� 14

4� ��1�4

4� 0

6 Calcula ��1

4|3x|dx

1

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Vamos a analizar la función f�x� � |3x| ��3x if x � 0

3x if x � 0

��1

4|3x|dx � �

�1

0�3xdx � �

0

43xdx � �3x2

2 �1

0� 3x2

2 0

4�

� �3 � 02

2� �3 � ��1�2

2� 3 � 42

2� 3 � 02

2� 3

2� 24 �

� 512

unidades cuadradas

��3 � 02

2� �3 � ��1�2

2� 3

2

�3 � 42

2� 3 � 02

2� 24

Tareas 05-03-2014: 7

8.3 Propiedades de la integralPágina 199 ejercicios

8 Si

�0

1f�x�dx � 1

�1

2f�x�dx � 2

�0

3f�x�dx � 3

, calcula

a) �0

2f�x�dx � �

0

1f�x�dx � �

1

2f�x�dx � 1 � 2 � 3

Tareas 05-03-2014: todos los ejercicios que faltan del 8

9 Si f es continua y �0

1f�x�dx � 2,¿Cuánto vale �

0

1g�x�dx, siendo g�x� � f�x� � 1?

�0

1g�x�dx � �

0

1�f�x� � 1�dx � �

0

1f�x�dx � �

0

11dx � 2 � x�0

1 � 2 � �1 � 0� � 3

Hemos aplicado que la integral de la suma es la suma de las integrales.Tareas 05-03-2014:10

ATENCIÓN: ESTUDIAR LAS DOS TABLAS DE LAS PÁGINAS 202 Y 204PARA EL DÍA 07-03-2014

8.4 Área entre dos curvasPágina 201 ejercicios11 Calcula el área de la región limitada por la gráfica de y � 1

x , el eje horizontal y las rectasverticales x � 1 y x � 2.

Tabla de valores para y � 1x �

x 1 1.5 2

y 11

� 1 11. 5

� 0. 666 67 12

� 0. 5

El recinto encerrado sería:

2

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-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-1

1

2

x

y

Por lo tanto dicha área es �1

2 1x dx � ln|x|�1

2 � ln 2 � ln 1 � ln 2 unidades cuadradas.

Tareas 07-03-2014: 12,13,14

8.5 La integral indefinida . Primitivas inmediatasPágina 203 ejercicios15 Calcula las integrales indefinidas siguientes.

e) � x � x3 � 2x

x2 dx � � x

x2 � x3

x2 � 2xx2 dx � � x

12�2 � x3�2 � 2x1�2dx �

� � x� 32 � x1 � 2x�1dx � � x� 3

2 dx � � x1dx � 2 � x�1dx � x� 32�1

� 32�1

� x1�1

1 � 1� 2 ln|x| � C �

� x� 12

� 12

� x2

2� 2 ln|x| � C � � 2

x� x2

2� 2 ln|x| � C

Tareas 07-03-2014: todos los ejercicios que faltan del 1516 Calcula en cada caso la función f�x� que verifica las condiciones dadas.

c) f��x� � x3 � 4 � 6x y f�0� � � 4ln 6

Tenemos que: � x3 � 4 � 6x dx � � x3dx � 4 � 6x dx � x3�1

3 � 1� 4 6x

ln 6� C � x4

4� 4 6x

ln 6� C

Se trata de infinitas primitivas, pues la C es un número real cualquiera. De todas ellasqueremos la que cumple nuestra condición.Calculamos

f�0� � � 4ln 6

� 04

4� 4 60

ln 6� C � � 4

ln 6� 0

4� 4 1

ln 6� C � � 4

ln 6�

� � 4ln 6

� C � � 4ln 6

� C � 0

Será f�x� � x4

4� 4 6x

ln 6Tareas 10-03-2013: todos los ejercicios que faltan del 16

8.6 Otras integrales indefinidas inmediatasPágina 205 Ejercicios17 Calcula las siguientes integrales indefinidas

b) � e2x

1 � e2x dx � �1� �

Hacemos un cambio de variable, llamamos t � 1 � e2x

Derivamos esta última expresión, en la izquierda con respecto a la variable t y en la derechacon respecto a la variable x.1dt � 2e2xdxEn esta expresión despejamos dx.

3

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12e2x dt � dx

Ahora hacemos el cambio de variable en la integral indefinida.

� �1� � � e2x

t � 12e2x dt � 1

2 �1t dt � 1

2� ln|t| � C � �2� �

Deshacemos el cambio de variable.

� �2� � 12

� ln|1 � e2x | � C

De forma inmediata:

� e2x

1 � e2x dx � 12 �

2 � e2x

1 � e2x dx � 12

ln|1 � e2x | � C

h) � x1 � 9x4 dx � � x

1 � �3x2�2 dx � �1� �

Hacemos un cambio de variable, llamamos t � 3x2

Derivamos esta última expresión, en la izquierda con respecto a la variable t y en la derechacon respecto a la variable x.1dt � 6xdxEn esta expresión despejamos dx.16x

dt � dx

Ahora hacemos el cambio de variable en la integral indefinida.

� �1� � � x1 � t2 � 1

6xdt � 1

6 �1

1 � t2 dt � 16

arctan t � C � �2� �

Deshacemos el cambio de variable.

� �2� � 16

arctan 3x2 � C

De forma inmediata es:

� x1 � 9x4 dx � � x

1 � �3x2�2 dx � 16 �

2 � 3x1 � �3x2�2 dx � 1

6arctan 3x2 � C

Tareas 10-03-2014: todos los ejercicios que faltan del 17

8.7 Integración por partesSe suele presentar la fórmula de la integración por partes de la siguienta manera:

� udv � u � v � � vdu

Página 206 Ejercicios20 Calcula las siguientes integrales indefinidas.

a) ��1 � x�e�xdx � �1� �

Vamos a intentar hacerla por un cambio de variable.Sea t � 1 � x � t � 1 � �xDerivando esta expresión nos queda: dt � �dx � �dt � dxAplicamos este cambio de variable a nuestra integral:

� �1� � � te t�1��dt�

Claramente no hemos ganado nada; no ha funcionado el cambio de variable.

��1 � x�e�xdx � �2� �

Vamos a hacerla, integrando por partes � udv � u � v � � vdu

u � 1 � x

e�xdx � dv�

derivaremos para encontrar du

integraremos para encontrar v�

du � �1dx

� e�xdx � � dv�

�du � �1dx

�e�x � v

Entonces resulta que:

4

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� �2� � �1 � x���e�x� � ���e�x���1�dx � �x � 1��e�x� � � e�xdx �

� �x � 1��e�x� � ��e�x� � C � �x � 1��e�x� � e�x � C � xe�x � C

f) � sin x � sin xdx � �2� �

ATENCIÓN!!!!!!!: sin x � sin x � sin2x no es sin x2

Vamos a hacerla, integrando por partes � udv � u � v � � vdu

u � sin x

sin xdx � dv�

derivaremos para encontrar du

integraremos para encontrar v�

du � cosxdx

� sin xdx � � dv�

�du � cosxdx

�cosx � v

� �2� � sin x � ��cosx� � ���cosx� � cosxdx � � sin x cosx � � cosx cosxdx �

� � sin x cosx � � cos2xdx � �3� �

Hay que tener en cuenta que sin2x � cos2x � 1 � cos2x � 1 � sin2x

� �3� � � sin x cosx � ��1 � sin2x�dx � � sin x cosx � � 1dx � � sin2xdx �

� � sin x cosx � x � � sin2xdx

Es decir;

� sin2xdx � � sin x cosx � x � � sin2xdx �

� 2 � sin2xdx � � sin x cosx � x �

� � sin2xdx � � sin x cosx � x2

� C

Tareas 11-03-2014: todos los ejercicios que faltan de la página 206

8.8 Integración por cambio de variablePágina 207 Ejercicios21 Calcula las siguientes integrale

d) ��x3 � 5�4 � x2dx � �1� �

Hacemos el cambio de variable t � x3 � 5Derivamos esta última expresión, para obtener la relación entre dt y dx.

dt � 3x2dx � dt3

� x2dx

Sustituimos en nuestra integral el cambio de variable.

� �1� � � t4 � dt3

� 13 � t4dt � 1

3� t4�1

4 � 1� C � 1

3� t5

5� C � �2� �

Deshacemos el cambio de variable.

� �2� � 115

�x3 � 5�5� C

Podemos hacerlo inmediata de otra forma:

��x3 � 5�4 � x2dx � 13 ��x

3 � 5�4 � 3x2dx � 13

�x3 � 5�4�1

4 � 1� C � 1

15�x3 � 5�5

� C

Tareas 11-03-2014: todos los ejercicios que faltan de la página 207

8.9 Teorema del valor medio del cálculo integral .Página 208 Ejercicios23 Halla el valor medio de las siguientes funciones en los intervalos indicados.

c) f�x� � 13

x � 1 en �0, 3�

Lo primero es que nuestra función al ser un polinomio es continua en el intervalo considerado,por lo que estamos en condiciones de aplicar el Teorema del valor medio del cálculo integral.

5

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Lo segundo es que hay que hacer es la integral definida de la función en en el intervalo dado.

�0

3 13

x � 1 dx � 13

x2

2� x

0

3� 1

6� 32 � 3 � 1

6� 02 � 0 �

� 32

� 3 � 3 � 62

� 92

u2

Primero vamos a representar esta función: se trata de una recta de pendiente 13

(es decir, si la

variable x se desplaza a la derecha tres lugares, subimos 1) y ordenada en el origen 1 (esdecir, la recta pasa por el punto �0, 1�). Ojo, SÓLO LO VAMOS A PINTAR SOBRE ELINTERVALO CERRADO �0, 3�

La función dada es continua en el intervalo �0, 3� por lo tanto, estamos en condiciones de aplicarel Teorema del valor medio para el cálculo integral. Es decir, existe un número c � �0, 3� tal que

f�c� � �3 � 0� � 92

� 3f�c� � 92

� f�c� � 32

� 13

c � 1 � 32

� c3

� 32

� 1 � c � 3 3 � 22

� 32

Observa que c � 32

� 1. 5 � �0, 3� siendo

f� 32� � 1

3� 3

2� 1 � 1

2� 1 � 1 � 2

2� 3

2Fijate que f� 3

2� � �3 � 0� � 3

2� 3 � 9

2u2 es el área del rectángulo de base 3 y altura f� 3

2�.

Gráficamente sería que las dos áreas sombreadas tienen la misma superficie.

Tareas 11-03-2014: todos los ejercicios que faltan del 23

EJERCICIOS FINALESTareas 12-03-2014: 25,2627 Representa gráficamente la función dada por

6

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f�x� �4 � x2 if �2 � x � 0

4 � x if 0 � x � 4

y halla el área de la región limitada por la gráfica de f y el eje de abscisas.Se trata de una función definida a trozos, por lo que hemos de pintar cada "cacho"

� 4 � x2 if �2 � x � 0

Se trata de un trozo de parábola, la "original x2" con las ramas hacia abajo y subidacuatro unidades.Consideramos la tabla de valores:

x -2 -1 0

y 0 3 4

Pintamos estos puntos y los unimos con una forma parabólica.

� 4 � x if 0 � x � 4

Se trata de un segmento, es un trozo de recta. Consideramos la siguiente tabla devalores.

x 0 4

y 4 0

Pintamos estos dos puntos y los unimos con un segmento.Los puntos quedan pintados así:

Para dibujar la siguiente gráfica:

7

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-2 -1 0 1 2 3 4

1

2

3

4

x

y

El recinto encerrado es la suma de las dos áreas siguientes:

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0

-1

1

2

3

4

5

x

y

� que se calcula con ��2

0

�4 � x2�dx

-1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

8

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que se calcula con �0

4

�4 � x�dx

El área pedida es la suma de dos integrales:

� ��2

0

�4 � x2�dx � �0

4

�4 � x�dx � 4x � x3

3 �2

0� 4x � x2

2 0

4�

� 4 � 0 � 03

3� 4 � ��2� � ��2�3

3� 4 � 4 � 42

2� 4 � 0 � 02

2�

� � 4 � ��2� � ��2�3

3� 4 � 4 � 42

2� 40

3u2

Tareas 12-03-2014: 28,2930 ¿Son verdaderas o falsas estas afirmaciones?

a) Si f es continua y par, entonces ��a

a

f�x�dx � 2 �0

a

f�x�dx

Como f es par, es cierto que f��x� � f�x�. Es decir, que la función es simétrica con respecto aleje OY. Por lo tanto, el área encerrada por la función, el eje de ordenadas y las recta x � a es lamisma que el área encerrada por la función, el eje de ordenadas y la recta x � �a. De ahí quesea cierta.

b) Si f� es continua, entonces ��a

a

f�x�dx � 0

La primera derivada de una función está relacionada con su monotonía, es decir, nos dicedonde una función es creciente o decreciente.Es falsa!Es cierta sólo si la función es impar, es decir, si �f��x� � f�x�.

c) �0

x sin xdx � 2x

Falso, pues una integral definida siempre es el área de un recinto, no va a ser una función de x.Tareas 12-03-2014: 30(d,e,f)

31 Calcula ��1

1

�x � |x|�dx � �1�

|x| ��x if x � 0

x if x � 0

�1� � ��1

0

�x � |x|�dx � �0

1

�x � |x|�dx � ��1

0

�x � x�dx � �0

1

�x � x�dx � ��1

0

0dx � �0

1

2xdx �

� 0 � �x2 �01� 12 � 02 � 1

Tareas 18-03-2014: 3235 Contesta, razonando la respuesta, si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) �a

b

f�x�dx � �b

c

f�x�dx � �a

c

f�x�dx

Se cumple siempre que b � �a, c�

b) �a

b

f�x� � g�x�dx � �a

b

f�x�dx � �a

b

g�x�dx

FALSO; ponemos un contraejemplo;

9

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� Si es cierto, en particular se cumplirá para �0

1

�x � x�dx � �0

1

xdx � �0

1

xdx

Sin embargo, tenemos que:

�0

1

�x � x�dx � �0

1

x2dx � x3

3 0

1� 13

3� 03

3� 1

3

�0

1

xdx � x2

2 0

1� 12

2� 02

2� 1

2

Pero 13

�� 12

� 12

d) Si �a

b

f�x�dx � 0 y f�x� � 0 para todo x, entonces a � b

Cierta!!!!!!

Por definición, �a

b

f�x�dx es el área del recinto encerrado por las rectas verticales

x � a, x � b, la gráfica de f y el eje de abscisas. Como f�x� � 0, siempre que a �� b eserecinto es no vacío. Por lo tanto, dicha área valdrá cero si a � b

e) �a

b

�f�x� � g�x��dx � �a

b

f�x�dx � �a

b

g�x�dx

Cierta

c) Si �a

bf�x�dx � 0, entonces a � b

Falsa!!!Consideramos la función y � �2x � 1Ahora calculamos:

�0

1�2x � 1dx � ��x2 � x�0

1� ��12 � 1� � �02 � 0� � 0

Tareas 18-03-2014: 39,41,42,43,46

38 Calcula el área del recinto limitado por las curvasy � 2x

y � x2

2Teniendo en cuenta la primera función (su dominio es �0,��� sólo se pinta a la derecha del ejede ordenadas, también pintaremos la segunda (la parábola "original x2" un poco más achatadaal esta dividida por 2) en esa región del plano.Consideramos la siguiente tabla de valores para y � 2x

x 0 2 8

y 0 2 4

Consideramos la siguiente tabla de valores para y � x2

2x 0 2 4

y 0 2 8

Gráficamente la situación es:

10

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Hemos de hallar los puntos donde se cortan las dos gráficas, resolviendo el siguiente sistemade ecuaciones.

y � 2x

y � x2

2Se resuelve por el método de igualación:

2x � x2

2� 2x

2� x2

2

2� 2x � x2�2

22 � 8x � x4 � 0 � x4 � 8x �

� 0 � x�x3 � 8�Un producto es igual a cero , cuando uno de los multiplicandos es cero .� x � 0� x3 � 8 � 0 � x3 � 8 � x � 3 8 � 2

Ahora hemos de encontrar los valores correspondientes de y:� si x � 0 � y � 2 � 0 � 0� si x � 2 � y � 2 � 2 � 2

Conclusión, las dos curvas comparten los puntos �0, 0� y �2, 2�. Además, observando la gráficaentre esos dos puntos se ve que y � 2x queda por encima de y � x2

2. Por lo tanto, el área del

recinto encerrado es:

�0

2

2x � x2

2dx � �

0

2

�2x�12 � x2

2dx � 2 � x

12�1

12 � 1

� 12

� x2�1

2 � 10

2

� 2 � 232

32

� 12

� 23

3� 2 0

32

32

� 12

03

3� 2 �

2 2 � 23

� 43

�4 2

2

3� 4

3� 8 � 4

3� 4

3El recinto encerrado es el siguiente

11

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-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-1

1

2

3

x

y

Observa que 2x � 2 � x44 Determina el área de la figura ABCDA sabiendo que la curva ADC es parte de la gráfica de una

función polinómica de segundo grado.

Es decir

12

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-3 -2 -1 1 2 3

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Podemos descomponer la figura en dos: un triángulo ABC y una "copa" ADC. Por lo tanto, lasuma de estas dos áreas será el dato pedido.

El área del triángulo será el producto de su base por la altura partido por dos� 4 � 12

� 2 u2

Para calcular el área de la copa, necesito la ecuación de la parábola. En principio, la parábolaviene dada por y � ax2 � bx � c. Tendríamos que sustituir los tres puntos que me dan en estaecuación para encontrar un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas a,b,c quese resolvería. Sin embargo, teniendo en cuenta la posición de nuestra "copa", la ecuación de laparábola es de la forma y � ax2 � cDada la simetría de la parábola con respecto al eje de ordenadas, sustituimos nada más quelos puntos C y D:C � �2, 0� � 0 � a � 22 � c � 0 � 4a � cD � �0,�4� � �4 � a � 02 � c � �4 � c

Sustituimos este valor en la otra ecuación: 0 � 4a � 4 � a � 44

� 1

La ecuación de la parábola es y � x2 � 4Dado que la "copa" es simétrica con respecto la eje de ordenadas y queda por debajo del ejede abscisas su área será:

�2 �0

2

�x2 � 4�dx � �2 x3

3� 4x

0

2� �2 23

3� 4 � 2 � �2 8

3� 8 �

� �2 8 � 243

� 323

u2

El área pedida es 323

� 2 � 32 � 63

� 383

u2

Tareas 19-03-2014: 47,4850 Identifica cada una de las primitivas siguientes con una de la tabla dada en el texto y, a

continuación, resuélvelas:

a) � 1x � 2 dx �

� � 1x dx � 2 � 1dx � ln|x| � 2x � C

e) � x1 � x4 dx �

� � x1 � �x2�2 dx � 1

2 �2x

1 � �x2�2 dx � 12

arctan x2 � C

Para los incrédulos:Hacemos un cambio de variable t � x2

Hemos de derivar esta expresión para encontrar la relación entre dt y dx.

dt � 2xdx � dt2x

� dx

Sustituimos en nuestra integral.13

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� x1 � x4 dx � � x

1 � �x2�2 dx � � x1 � t2

dt2x

� 12 �

11 � t2 dt � 1

2arctan t � C �

� 12

arctan x2 � C

i) � x3 � 5x2 � 3x dx �

� � x3

x dx � 5 � x2

x dx � 3 � 1x dx �

� � x2dx � 5 � xdx � 3 � 1x dx � x3

3� 5 x2

2� 3 ln|x| � C

ñ) � 2 sin x cosx1 � sin2x

dx � �1� �

� Primer intento:Hacemos el cambio de variable t � sin xDerivamos esta última expresión para obtener la relación entre dt y dx.

dt � cosxdx � dtcosx � dx

� �1� � � 2t cosx1 � t2

dtcosx � � 2t

1 � t2 dt � ln|1 � t2 | � C �

� ln|1 � sin2x| � CTareas 19-03-2014: todos los ejercicios que faltan del 50Tareas 19-03-2014: 51

52 Encuentra la primitiva de f�x� � x � 4x2 que vale 5 en 2.

� x � 4x2 dx �

� � xdx � 4 � x�2dx � x2

2� 4 x�1

�1� C � x2

2� 4

x � C

Según varía la constante C, tenemos una función distinta; de todas ellas a nosotros nos pidenla que cumple que F�2� � 5. Así tendremos;22

2� 4

2� C � 5 �

� 2 � 2 � C � 5 �

� C � 1

Será F�x� � x2

2� 4

x � 1

Tareas 21-03-2014: 54,55,5657 Calcula las siguiente integrales por el método de integración por partes.

� udv � u � v � � vdu

b) � x2x dx � �1� �

Tomamos:� u � x � du � dx

�12x dx � dv � � dv � � 2�xdx � v � � 2�x

ln 2� �1� � x � � 2�x

ln 2� � � 2�x

ln 2dx � � x

2x ln 2� 1

ln 2 � 2�xdx �

� � x2x ln 2

� 1ln 2

� 2�x

ln 2� C � � x

2x ln 2� 1

2x ln22� C

f) ��x2 � x�e�2x�1dx � �2� �

Tomamos:� u � x2 � x � du � �2x � 1�dx

� dv � e�2x�1dx � � dv � � e�2x�1dx � v � e�2x�1

�2� �2� � �x2 � x� � e�2x�1

�2� � e�2x�1

�2� �2x � 1�dx �

� ��x2 � x�e�2x�1

2� � xe�2x�1dx � 1

2 � e�2x�1dx �

14

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� ��x2 � x�e�2x�1

2� � xe�2x�1dx � 1

2� e�2x�1

�2� �3� �

� � xe�2x�1dx � �4� �

La tenemos que resolver integrando por partes:� u � x � du � dx

� dv � e�2x�1dx � � dv � � e�2x�1dx � v � e�2x�1

�2

�4� � x � e�2x�1

�2� � e�2x�1

�2dx � � xe�2x�1

2� 1

2 � e�2x�1dx �

� � xe�2x�1

2� 1

2� e�2x�1

�2� � xe�2x�1

2� e�2x�1

4

� �3� � ��x2 � x�e�2x�1

2� xe�2x�1

2� e�2x�1

4� e�2x�1

4� C �

� e�2x�1 � x2 � 2x � 12

� C

l) � ex cos�3x�dx � �1� �

Tomamos:� u � ex � du � exdx

� dv � cos�3x�dx � � dv � � cos�3x�dx � v � sin 3x3

� �1� � ex �sin�3x�

3� � sin�3x�

3exdx �

ex sin�3x�3

� 13 � ex sin�3x�dx �

Hemos de calcular la última integral � ex sin�3x�dx � �2� �

Vamos a integrar por partes:� u � ex � du � exdx

� dv � sin�3x�dx � � dv � � sin�3x�dx � v � � cos�3x�3

� �2� � ex � cos�3x�3

� � � cos�3x�3

� exdx �

� � ex cos�3x�3

� 13 � ex cos�3x�dx

Recapitulamos:

� ex cos�3x�dx �ex sin�3x�

3� 1

3� ex cos�3x�

3� 1

3 � ex cos�3x�dx �

� � ex cos�3x�dx �ex sin�3x�

3�

ex cos�3x�9

� 19 � ex cos�3x�dx �

� 1 � 19 � ex cos�3x�dx �

ex sin�3x�3

�ex cos�3x�

9�

� 109 � ex cos�3x�dx �

ex sin�3x�3

�ex cos�3x�

9�

� � ex cos�3x�dx �3ex sin�3x�

10�

ex cos�3x�10

Tareas 21-03-2014: 57(a,c,d,e,g,h,j,k,i)58 Halla el área que encierra el recinto limitado por las gráficas de f�x� � xex, y � 0, x � �1, x � 1

Lo primero que hay que hacer es la representación gráfica del área a considerar.Consideramos una tabla de valores para la función f�x� � xex

x -1 0 1

y

� si x � �1 � f��1� � ��1�e�1 � � e�1 � � 0. 367 88 � �0. 4� si x � 0 � f�0� � �0�e0 � 0� si x � 1 � f�1� � 1e1 � e � 2. 718 3

Nos queda x -1 0 1

y �0. 4 0 2. 7

Gráficamente es:

15

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Por lo tanto, el área pedida:

� ��1

0xexdx � �

0

1xexdx

Pero � xexdx no es inmediata!!!!

Tenemos que hacer la integración por partes: �udv � uv � � vdu

� xexdx � �1� �

Tomamos:

u � x

dv � exdx�

1 � du � 1 � dx

�1dv � � exdx��

du � dx

v � ex

� �1� � xex � � exdx � xex � ex � C

Finalmente:

� ��1

0xexdx � �

0

1xexdx � ��xex � ex ��1

0 � �xex � ex �01 �

� ��0 � e0 � e0 � ���1�e�1 � e�1�� � �1 � e1 � e1 � �0 � e0 � e0�� �

� ��2e�1 � 1� � 1 � 2 � 2e�1 � 2 � 2e

� 0 � e0 � e0 � ���1�e�1 � e�1� � 2e�1 � 1� 1 � e1 � e1 � �0 � e0 � e0� � 1

Tareas 24-03-2014: 59, 6061 Calcula:

a) � sin�sin x� � cosxdx � �1� �

Hacemos el cambio de variable sin x � tDerivamos esta expresión para obtener:

cosxdx � 1 � dt � dx � dtcosx

� �1� � � sin t � cosx � dtcosx � � sin tdt � ���� sin t�dt � �cos t � C � �cos�sin x� � C

b) � ex

�ex � 1�3 dx � �2� �

Hacemos el cambio de variable ex � tDerivamos esta expresión para obtener:

exdx � 1 � dt � dx � dtex � dt

t

� �2� � � t�t � 1�3

dtt � ��t � 1��3dt �

�t � 1��3�1

�3 � 1� C � � 1

2�t � 1�2 � C �

� � 12�ex � 1�2 � C

c) � e�2x

1 � e�4x dx � � e�2x

1 � �e�2x�2 dx � �3� �

16

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Hacemos un cambio de variable e�2x � tDerivamos esta expresión para obtener:

�2e�2xdx � 1 � dt � dx � dt�2e�2x � dt

�2t

� �3� � � t1 � t2

dt�2t

� � 12 �

11 � t2 dt � � 1

2arctan t � C � � 1

2arctan e�2x � C

d) � cos�ln x�x dx � �4� �

Hacemos un cambio de variable ln x � tDerivamos esta expresión para obtener:1x � dx � 1 � dt � dx � xdt

� �4� � � cos tx � xdt � � cos tdt � sin t � C � sin�ln x� � C

62 Encuentra el valor medio de:a)� a.1) f1�x� � x en el intervalo �0, 1�

Lo primero es calcular �0

1

xdx � x2

2 0

1� 12

2� 02

2� 1

2

Como f1�x� es continua en �0, 1�, existe al menos un número c � �0, 1� tal que

�0

1

xdx � �1 � 0�f1�c�.

Es decir, 12

� 1 � c � c � 12

� a.2) f2�x� � x12 en el intervalo �0, 1�

Lo primero es calcular �0

1

x12 dx � x

32

32 0

1

� 132

32

� 032

32

� 23

Como f2�x� es continua en �0, 1�, existe al menos un número c � �0, 1� tal que

�0

1

f2�x�dx � �1 � 0�f2�c�.

Es decir, 23

� 1 � c � c � 23

2� 4

9� a.3) f3�x� � x

13 en el intervalo �0, 1�

Lo primero es calcular �0

1

x13 dx � x

43

43 0

1

� 143

43

� 043

43

� 34

Como f3�x� es continua en �0, 1�, existe al menos un número c � �0, 1� tal que

�0

1

f3�x�dx � �1 � 0�f3�c�.

Es decir, 34

� 1 � 3 c � c � 34

3� 27

64b) Conjetura, a partir del apartado anterior, el valor medio de fn�x� � x

1n en dicho

intervalo.Tenemos la siguiente tabla:

17

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n fn�x� cn

1 x 12

� 12

1� 0. 5

2 x12 4

9� 2

3

2� 0. 444 44

3 x13 27

64� 3

4

3� 0. 421 88

4 x14 4

54� 0. 409 6

5 x15 5

6

5� 0. 401 88

n x1n n

n � 1

n

c) ¿A qué número se aproxima el valor medio de fn�x� � x1n cuando n es grande? ¿Se

puede explicar este resultado a partir de la gráfica de dicha función?

Tenemos que calcular limn��

nn � 1

n� e�1 � 0. 367 88

Se cumple que limn��

1 � 1n

n� e se trata de un límite del tipo 1�

Por lo tanto:

limn��

nn � 1

n� lim

n��1

n � 1n

n

� limn��

11 � 1

n

n

� limn��

1 � 1n

�1 n�

� limn��

1 � 1n

n �1� lim

n��1 � 1

nn �1

� e�1

18