Tema 8 (Teoría)

Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

UNIDAD 4: Geometría analítica.

Tema 8. Espacios afines.

Conceptos de espacio y subespacio afín. Plano afín: diferentes formas de expresar la ecuación de una recta, posición relativa de dos rectas, problemas métricos. Espacio afín: diferentes formas de expresar la ecuación de una recta y de un plano, posición

relativa de rectas, de planos o de rectas y planos, problemas métricos.

Introducción.

La geometría es la rama de las matemáticas que estudia la forma y el tamaño de las figuras, así como las transformaciones que sobre ellas se ejercen.

La antigua civilización griega ya poseía amplios conocimientos sobre geometría. Estos cono-cimientos fueron recopilados por Euclides en una obra, ”Los Elementos”, que fue la base del estu-dio de la geometría hasta finales del s. XIX. Los Elementos están basados en un sistema de verda-des evidentes, denominados axiomas, a partir de los cuales se deducen las propiedades de las figu-ras mediante razonamientos lógicos.

En el s. XVII, el filósofo y matemático francés R. Descartes introdujo la noción de coordena-da de un punto. Los trabajos de los matemáticos durante los dos siglos siguientes mostraron que las propiedades geométricas de las figuras pueden demostrarse más fácilmente utilizando el sistema de representación mediante coordenadas cartesianas. Esta forma de estudiar la geometría se denomina Geometría Analítica.

La Geometría Analítica sustituyó a la de Los Elementos de Euclides a finales del s. XIX y ac-tualmente es la forma más extendida de estudiar la geometría.

En la geometría elemental se parte de unas nociones primarias que no se definen. La primera de ellas es la noción de punto (del espacio ordinario se dice sólo que está formado por puntos) y a ésta siguen las de recta y plano. Designaremos el espacio ordinario por A.

Dos puntos dados, A y B, del espacio A determinan una recta, AB, y un segmento, AB . Lla-maremos vector fijo a un segmento cuyos extremos se dan en un cierto orden. Así pues, el par (A,B)

determina un vector fijo que representaremos por AB y el par (B,A) el vector fijo BA . Dado el vec-

tor fijo AB , diremos que A es el origen del vector y B es el extremo. Para distinguir gráficamente este último se acostumbra a representarlo con una punta de flecha. Si los puntos A y B coinciden, diremos que determinan un vector fijo nulo.

Dos vectores fijos no nulos, AB y CD , tienen la misma dirección cuando las rectas AB y CD son paralelas, es decir, no tienen ningun punto en común o coinciden.

Dos vectores fijos no nulos, AB y CD , no pertenecientes a la misma recta, tienen el mismo sentido cuando tienen la misma dirección y los extremos B y D pertenecen al mismo semiplano de los dos que determina la recta AC sobre el plano que determinan las rectas AB y CD.


Se llama módulo de un vector fijo AB a la longitud del segmento AB . Sea V3 el conjunto de los vectores fijos del espacio. Se dice que dos vectores fijos no nulos,

AB y CD , son equipolentes, y se escribe AB CD , cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Por definición, todos los vectores fijos nulos se consideran equipolentes.

Se llama vector libre al subconjunto de V3 formado por todos los vectores fijos equipolentes a

uno dado. El vector libre determinado por AB se denotará por ][AB o bien por una letra minúscula

con una flecha encima, xAB ][ . Denotaremos por V el conjunto de los vectores libres del espacio. Se llama módulo, dirección y sentido de un vector libre al módulo, dirección y sentido de

cualquiera de sus representantes. En definitiva, en el espacio ordinario que conocemos intuitivamente, coexisten un conjunto de

puntos que representamos por A, y un conjunto de vectores que representamos por V. Esta coexis-tencia no es independiente ya que existe una correspondencia de A × A en V de manera que a cada

par ordenado de puntos (A,B) se le puede hacer corresponder el vector ][AB .

Espacio afín y euclídeo.

Definición de espacio afín.

Un espacio afín es un conjunto no vacío A, a cuyos elementos se les llama puntos, junto con un espacio vectorial V, a cuyos elementos se les llama vectores, y una aplicación :A × A V que a cada par de puntos A, B A le hace corresponder un vector de V, (A,B), que denotaremos por

AB , y que verifica las siguientes condiciones:

(i) Dado un punto A A y un vector v V, existe un único punto B A tal que (A,B) = v ,

o lo que es lo mismo AB = v . (ii) Dados tres puntos A,B,C A, se cumple (A,B) + (B,C) = (A,C), o lo que es lo mis-

mo ACBCAB (relación de Chasles). Ejemplo. Consideremos A = IR2, V = IR2 y :IR2 × IR2 IR2 tal que, si A = (a1,a2) y B =

(b1,b2), (A,B) = (b1-a1,b2-a2). Veremos que se cumplen las condiciones (i) y (ii) de la definición anterior.

(i) Dados A = (a1,a2) y v =(v1,v2), el punto B = (a1+v1,a2+v2) A verifica que

(A,B) = (a1+v1-a1,a2+v2-a2) = v

(ii) Dados los puntos A = (a1,a2), B = (b1,b2) y C = (c1,c2), se tiene

(A,B) = (b1-a1,b2-a2) (B,C) = (c1-b1,c2-b2)

y (A,C) = (c1-a1,c2-a2)

por lo que se cumple la relación de Chasles. Así pues, este conjunto es un espacio afín al que llamaremos plano afín cartesiano.


Ejemplo. Consideremos A = IR3, V = IR3 y :IR3 × IR3 IR3 tal que, si A = (a1,a2,a3) y B = (b1,b2,b3), (A,B) = (b1-a1,b2-a2,b3-a3).

Del mismo modo que en el ejemplo anterior se puede demostrar que este conjunto es un espa-cio afín y le daremos el nombre de espacio afín cartesiano.

Definición de espacio afín euclídeo.

Tanto en el espacio vectorial IR2 como en IR3, se puede definir el producto escalar de dos vecto-res. Cuando consideramos el plano (espacio) afín cartesiano dotado del producto escalar de IR2 (IR3), se le da el nombre de plano (espacio) afín euclídeo.

Definición de producto escalar.

Sean ),( 21 uuu y ),( 21 vvv dos vectores de IR2. El producto escalar de u y v es el núme-ro real

2211 vuvuvu

Sean ),,( 321 uuuu y ),,( 321 vvvv dos vectores de IR3. El producto escalar de u y v es el

número real

332211 vuvuvuvu

Puesto que lo que veremos a continuación es válido tanto para el producto escalar de IR2 como para el de IR3, denotaremos por V a cualquiera de dichos espacios vectoriales.

Propiedades del producto escalar.

(i) Simétrica: uvvu para todo vu, V.

(ii) Distributiva: wuvuwvu )( para todo wvu ,, V.

(iii) vuvu para todo vu, V y todo IR.

(iv) 0uu para todo u V, 0u .

(v) 0uu si, y sólo si, 0u . Se dice que dos vectores de V son ortogonales cuando su producto escalar es nulo.

Definición y propiedades de la norma.

Sea v V. Llamaremos norma del vector v al número real no negativo

vvv

Un vector se dice que es unitario si su norma vale 1. La norma verifica las siguientes propiedades:

(i) 0v si, y sólo si, 0v .

(ii) vv para todo v V y todo IR.

(iii) vuvu para todo vu , V.

(iv) vuvu para todo vu , V.


Ángulo formado por dos vectores.

Dados u y v vectores no nulos de V, se define el ángulo entre ambos vectores como el núme-ro real 0 ≤ ≤ que verifica

vu

vu cos

De esta expresión se deduce que el producto escalar de dos vectores es el producto de sus normas por el coseno del ángulo que forman

cosvuvu

Distancia entre dos puntos.

Dados dos puntos A, B A, se define la distancia entre A y B como la norma del vector AB , es decir

ABBAd ),(

Propiedades de la distancia: (i) d(A,B) = 0 si, y sólo si, A = B. (ii) d(A,B) = d(B,A) para todo A, B A. (iii) d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B) para todo A, B, C A.

Subespacios afines.

En un espacio afín A, asociado a un espacio vectorial V, se dice que B, B A, es un subespa-

cio afín de A cuando W = { v = AB / A, B B } sea un subespacio vectorial de V. Es decir, el sub-conjunto B, de A, se dice que es un subespacio afín suyo si hay un subespacio vectorial W de V tal que:

(i) Para cualesquiera que sean los puntos A y B de B, el vector v = AB pertenece a W.

(ii) Para cualquiera que sea el punto A B y para todo v W, el punto B = A + v es un pun-to de B.

A los subespacios afines se les llama también variedades lineales afines o, más abreviadamen-te, variedades lineales; suele, sin embargo, reservarse estas denominaciones para los casos en que W es de dimensión finita. Una variedad lineal de dimensión cero está constituida por un único punto. Las variedades lineales de dimensión uno reciben el nombre de rectas y las de dimensión dos se llaman planos.

Sistemas de referencia y coordenadas de un punto.

Sistemas de referencia y coordenadas de un punto.

Sea un punto arbitrario O del espacio y { 1u , 2u , 3u } una base de V3. El conjunto

{O; 1u , 2u , 3u } se llama sistema de referencia y O origen de coordenadas.


Dado un sistema de referencia y un punto P del espacio, OP se halla unívocamente determi-

nado y, por ser { 1u , 2u , 3u } una base de V3, existirá una terna de números reales (x1,x2,x3) que serán

las coordenadas del vector OP , es decir:

332211 uxuxuxOP

El vector OP se llama vector de posición del punto P, y los números (x1,x2,x3) se llaman co-ordenadas de P respecto del sistema de referencia dado, y se escribe P(x1,x2,x3).

Ejemplo

En el dibujo anterior: 321 OPOPOPOP , por tanto:

321 23 uuuOP y las coordenadas del punto P son (3,1,2) respecto de ese sistema.

Resulta así que, fijado un sistema de referencia {O; 1u , 2u , 3u }, existe una correspondencia bi-unívoca entre los puntos del espacio y los elementos de IR3, de manera que a cada punto P del espa-cio le asociamos sus coordenadas (x1,x2,x3) y a cada terna (x1,x2,x3) de números reales le asociamos un punto P del espacio.

Sistema de referencia ortonormal.

Llamamos sistema de referencia ortonormal a aquel en el que los vectores de la base tienen de módulo uno y son mutuamente perpendiculares.

{O; 1e , 2e , 3e } es un sistema de referencia ortonormal

º90),(),(),(

1

133221

321

eeeeee

eee

Obsérvese que cuando el sistema de referencia es ortonormal, las coordenadas de un punto P

se identifican con la longitud de los segmentos 1OP , 2OP , 3OP .

A partir de ahora, si no se dice lo contrario, utilizaremos siempre un sistema de referencia or-tonormal.

P1

P

P2

P3

O 1u 2u

3u

OP

O

P1

P2

P3

P

1e 2e 3e


Cambio de sistema de referencia.

Consideremos dos sistemas de referencia cualesquiera en el espacio:

S = {O; 1u , 2u , 3u } y S’ = {O’; 1v , 2v , 3v } Un punto cualquiera P tendrá diferentes coordenadas referidas a ambos sistemas. Se trata de

hallar una relación que nos permita, conocidas las coordenadas del punto en uno de los sistemas, calcular las coordenadas de dicho punto en el otro.

Sean 321 ,, xxx las coordenadas del punto P respecto a S; '3

'2

'1 ,, xxx sus coordenadas en S’ y

(a1,a2,a3) las coordenadas de O en S’.

Al ser { 1u , 2u , 3u } y { 1v , 2v , 3v } bases de V3, existen números reales aij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) tales que:

3132121111 vavavau

3232221212 vavavau

3332321313 vavavau

En la figura vemos que OPOOPO '' , de donde:

3322113322113'32

'21

'1 uxuxuxvavavavxvxvx

33332231133

23322221122133122111113'32

'21

'1

vxaxaxaa

vxaxaxaavxaxaxaavxvxvx

Por tanto

3

2

1

3323133

3222122

3121111

'3

'2

'1

3332231133'3

3322221122'2

3312211111'1

100011

xxx

aaaaaaaaaaaa

xxx

xaxaxaaxxaxaxaaxxaxaxaax

Estas ecuaciones nos permiten pasar del sistema de referencia S al S’ y recíprocamente.

P O’

O 1u

2u

3u

2v

1v

3v


Geometría del plano afín euclídeo.

Ecuación de la recta en el plano.

Dado un punto P del plano afín y un vector no nulo v IR2, se llama recta que pasa por P y

tiene la dirección de v al conjunto formado por los puntos X del plano tales que vPX para IR. La ecuación

vPX (1)

se llama ecuación vectorial de la recta, v es el vector director y P es el punto de paso.

Si P(p1,p2), X(x,y) y v = (v1,v2), la ecuación (1) se convierte en (x - p1,y - p2) = (v1,v2)

o, lo que es lo mismo, (x,y) = (p1,p2) + (v1,v2) (2)

En la ecuación vectorial de una recta, se puede sustituir el vector director v por uno cualquie-

ra de los vectores v , 0, obteniéndose una nueva ecuación vectorial que corresponde a la mis-ma recta.

Por otra parte, se puede elegir como punto de paso cualquier punto de la recta. La nueva ecua-ción vectorial corresponde a la misma recta.

Si en la ecuación (2) igualamos componente a componente se obtiene un par de ecuaciones sobre IR a las que se les da el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta:

22

11

vpy

vpx

(3)

Si multiplicamos la primera ecuación de (3) por v2, la segunda por v1 y restamos las ecuacio-nes que obtengamos, se tiene

ax + by + c = 0 (4) con a = v2, b = -v1 y c = p2v1 – p1v2. La ecuación (4) se llama ecuación implícita de la recta.

Cualquier ecuación de la forma ax + by + c = 0

con (a,b) (0,0), es la ecuación de una recta del plano cuya dirección es ortogonal al vector (a,b).

Además, esta ecuación corresponde a la recta que pasa por el punto

0,

a

c y tiene como vector

director (-b,a).

Por otra parte, es fácil comprobar que el vector director de esta recta, ),( abv , es ortogonal al vector ),( ba .

Si b 0, se puede despejar y en (4) y se obtiene la llamada ecuación explícita de la recta:

b

cx

b

ay

(5)

Si v1 0 y v2 0, podemos despejar e igualar en las dos ecuaciones de (3) y se obtiene la ecuación

2

2

1

1

v

py

v

px

(6)

llamada ecuación continua de la recta.


Por dos puntos distintos del plano, P(p1,p2) y Q(q1,q2), pasa una única recta, cuya ecuación vectorial es

221121 ,,, pqpqppyx Una recta cualquiera del plano queda definida si se conoce un punto P de ella y un vector no

nulo a IR2 ortogonal a su dirección. En función de P y a , la ecuación de la recta es

0 PXa (7) Ésta es la llamada ecuación euclídea de la recta.

Posiciones relativas de dos rectas en el plano.

Dadas dos rectas en el plano, r1 y r2, las distintas posiciones relativas de ambas rectas se ob-tienen estudiando la existencia de solución, mediante el Teorema de Rouché-Frobenius, del sistema formado por las ecuaciones implícitas de ambas rectas:

00

2222

1111

cybxarcybxar

Se pueden dar los siguientes casos:

Posición de las rectas Clasificación del sistema Teorema de Rouché-Frobenius

Se cortan en un punto

Compatible determinado 2222

111

22

11

cba

cbarg

ba

barg

Rectas paralelas

Incompatible

222

111

22

11

cba

cbarg

ba

barg

Rectas coincidentes

Compatible indeterminado 2

222

111

22

11

cba

cbarg

ba

barg

Problemas métricos en el plano.

Se define la distancia de un punto P a una recta r como la menor de las distancias del punto P a los puntos de la recta r.

La distancia de un punto P(xo,yo) a una recta r de ecuación ax + by + c = 0 viene dada por

22

oo),(ba

cbyaxrPd

(8)

Dadas dos rectas paralelas r1 y r2, la distancia desde cualquier punto de r1 a la recta r2 es siempre la misma. Se define la distancia entre dos rectas paralelas como la distancia de un punto de una de las dos a la otra.

Llamaremos ángulo formado por dos rectas al ángulo agudo o recto determinado por dos vec-

tores directores de las rectas. Si las rectas r y s tienen como vectores directores ),( 21 uuu y

),( 21 vvv , respectivamente, entonces

22

21

22

21

2211),cos(),cos(vvuu

vuvu

vu

vuvusr


Geometría del espacio afín euclídeo.

Ecuación de la recta en el espacio.

Dado un punto P del espacio afín y un vector no nulo v IR3, se llama recta que pasa por P y

tiene la dirección de v al conjunto formado por los puntos X del espacio tales que vPX para IR. La ecuación

vPX (9)

se llama ecuación vectorial de la recta, v es el vector director y P es el punto de paso.

Si P(p1,p2,p3), X(x,y,z) y v = (v1,v2,v3), la ecuación (9) se convierte en (x - p1,y - p2,z – p3) = (v1,v2,v3)

o, lo que es lo mismo, (x,y,z) = (p1,p2,p3) + (v1,v2,v3) (10)

Del mismo modo que para el plano afín, se puede demostrar que la ecuación vectorial de una recta del espacio afín cartesiano es independiente del vector director y del punto de paso que elija-mos.

Si en la ecuación (10) igualamos componente a componente se obtienen tres ecuaciones sobre IR a las que se les da el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta:

33

22

11

vpz

vpy

vpx

(11)

Si v1 0, v2 0 y v3 0 podemos despejar e igualar en las tres ecuaciones de (11) y se ob-tiene la ecuación

3

3

2

2

1

1

v

pz

v

py

v

px

(12)

llamada ecuación continua de la recta. Por dos puntos distintos del espacio, P(p1,p2,p3) y Q(q1,q2,q3), pasa una única recta, cuya

ecuación vectorial es Una recta cualquiera del plano queda definida si se conoce un punto P de ella y un vector no

nulo a IR2 ortogonal a su dirección. En función de P y a , la ecuación de la recta es

0 PXa (13) Ésta es la llamada ecuación euclídea de la recta.

332211321 ,,,,,, pqpqpqpppzyx

Ecuación del plano en el espacio.

Dado un punto P del espacio afín y dos vectores vu, IR3 linealmente independientes, se

llama plano que pasa por P y tiene a vu y como vectores directores al conjunto formado por los

puntos X del espacio tales que vuPX para , IR. La ecuación

vuPX (14) se llama ecuación vectorial del plano.

Si P = (p1,p2,p3), X = (x,y,z), u = (u1,u2,u3) y v = (v1,v2,v3), la ecuación (14) se convierte en


(x - p1,y - p2,z – p3) = (u1,u2,u3) + (v1,v2,v3) o, lo que es lo mismo,

(x,y,z) = (p1,p2,p3) + (u1,u2,u3) + (v1,v2,v3) (15) Se puede demostrar que la ecuación vectorial de un plano del espacio afín cartesiano es inde-

pendiente de los vectores directores y del punto de paso que elijamos. Si en la ecuación (15) igualamos componente a componente se obtienen tres ecuaciones sobre

IR a las que se les da el nombre de ecuaciones paramétricas del plano:

333

222

111

vupz

vupy

vupx

(16)

Si en (16) eliminamos los parámetros y , se obtiene la ecuación implícita del plano 0 dczbyax (17)

Cualquier ecuación de la forma 0 dczbyax

con (a,b,c) (0,0,0), es la ecuación de un plano del espacio cuyos vectores directores son ortogona-les al vector (a,b,c). Además, esta ecuación es la ecuación implícita del plano que pasa por el punto

0,0,

a

d y tiene como vectores directores (-b,a,0) y (-c,0,a).

Por otra parte, es fácil comprobar que los vectores directores de este plano, )0,,( abu y

),0,( acv , son ortogonales al vector ),,( cba . Por tres puntos distintos del espacio, P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3) y R(r1,r2,r3), que no estén alinea-

dos, pasa un único plano, cuya ecuación vectorial es 332211332211321 ,,,,,,,, prprprpqpqpqpppzyx

Posiciones relativas de dos planos en el espacio.

Dados dos planos en el espacio, 1 y 2, las distintas posiciones relativas de ambos planos se obtienen estudiando la existencia de solución, mediante el Teorema de Rouché-Frobenius, del sis-tema formado por las ecuaciones implícitas de ambos planos:

00

22222

11111

dzcybxadzcybxa

Se pueden dar los siguientes casos:

Posición de los planos Clasificación del sistema Teorema de Rouché-Frobenius

Se cortan en una recta


1111

222

111

dcbadcba

rgcbacba

rg

Planos paralelos

Incompatible

2222

1111

222

111

dcbadcba

rgcbacba

rg

Planos coincidentes


2222

1111

222

111

dcbadcba

rgcbacba

rg


Otra forma de expresar la ecuación de una recta en el espacio.

Toda recta del espacio afín es intersección de dos planos distintos y por ello está representada por un sistema de ecuaciones del tipo:

00

2222

1111

dzcybxadzcybxa

donde el rango de la matriz de coeficientes

222

111

cbacba

es 2.

Posiciones relativas de tres planos en el espacio.

Dados tres planos en el espacio, 1, 2 y 3, cuyas ecuaciones implícitas son

00

0

33333

22222

11111

dzcybxadzcybxadzcybxa

si denotamos por A la matriz del sistema formado por las tres ecuaciones y A la matriz ampliada de dicho sistema, se pueden dar los siguientes casos:

Posición de los planos Teorema de Rouché-Frobenius Se cortan en un punto rg(A) = rg( A ) = 3 Se cortan en una recta rg(A) = rg( A ) = 2 Planos coincidentes rg(A) = rg( A ) = 1

Planos paralelos rg(A) = 1 rg( A ) = 2 No se cortan y no son paralelos rg(A) = 2 rg( A ) = 3

Posiciones relativas de dos rectas en el espacio.

Dadas dos rectas en el espacio, r1 y r2, cuyas ecuaciones son

00

2222

11111 dzcybxa

dzcybxar y

00

2222

11112 zyx

zyxr

con 2222

111

cbacba

rg y 2222

111

rg , si denotamos

222

111

222

111

cbacba

A y

2222

1111

2222

1111

dcbadcba

A

se pueden dar los siguientes casos:

Posición de las rectas Teorema de Rouché-Frobenius Se cruzan rg( A ) = 4

Se cortan en un punto rg(A) = rg( A ) = 3 Rectas paralelas rg(A) = 2 rg( A ) = 3

Rectas coincidentes rg(A) = rg( A ) = 2


Posiciones relativas de una recta y un plano en el espacio.

Dada una recta en el espacio, r, cuya ecuación es

00

2222

1111

dzcybxadzcybxa

r

con 2222

111

cbacba

rg , y un plano, , de ecuación 0 zyx , si denotamos

222

111

cbacba

A y

2222

1111

dcbadcba

A

se pueden dar los siguientes casos:

Posición de la recta y el plano Teorema de Rouché-Frobenius Se cortan en un punto rg(A) = rg( A ) = 3 Recta paralela al plano rg(A) = 2 rg( A ) = 3

Recta incluida en el plano rg(A) = rg( A ) = 2

Problemas métricos en el espacio.

Se define la distancia de un punto P a un plano como la menor de las distancias del punto P a los puntos del plano .

La distancia de un punto P(xo,yo,zo) a un plano de ecuación ax + by + cz + d = 0 viene dada por

222

ooo),(cba

dczbyaxPd

(18)

Llamaremos ángulo formado por dos rectas al ángulo agudo o recto determinado por dos vec-tores directores de las rectas.

Si las rectas r y s tienen como vectores directores ),,( 321 uuuu y ),,( 321 vvvv , respecti-

vamente, entonces

23

22

21

23

22

21

332211),cos(),cos(vvvuuu

vuvuvu

vu

vuvusr

El ángulo diedro que forman dos planos del espacio será el ángulo agudo determinado por sus vectores característicos o normales. Así, si los planos y ’ tienen como vectores característicos

),,( 321 aaaa y ),,(' '3

'2

'1 aaaa , respectivamente, entonces

ba

baba

),cos()',cos(

Tema 8 (Teoría)

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