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27/11/2019

1

6.- Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad.

6.1 Concepto de variable aleatoria. Distribución de probabilidad

6.2 Función de distribución

6.3 Variables aleatorias discretas y continuas

6.4 Valor esperado de una variable aleatoria. Momentos

6.5 Otras medidas de posición, dispersión y forma

6.6 Variables aleatorias bidimensionales

6.7 Independencia de variables aleatorias

6.8 Principales momentos en variables aleatorias bidimensionales

ix in if

Colectiva Unifamiliar

56 14

0,80 0,20

total 70 1

ix in iN if iF

1 2 3 4 5

7 14 21 21 7

7 21 42 63 70

0,10 0,20 0,30 0,30 0,10

0,10 0,30 0,60 0,90

1 total 70 1

1i iL L ix in if iN iF

0-10 10-20 20-40 40-50

5 15 30 45

25 40 20 15

0,25 0,40 0,20 0,15

25 65 85 100

0,25 0,65 0,85

1 total 100 1

VARIABLES ESTADISTICAS. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS.

27/11/2019

2

ix ip

1 2 3 4 5 6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

ix in if

1 2 3 4 5 6

45 57 51 48 54 45

0,15 0,19 0,17 0,16 0,18 0,15

total n=300 1

7.1 Concepto de variable aleatoria y distribución de probabilidad.

Se define una variable aleatoria X como

X

( )i i iX x

Se denomina distribución de probabilidad

i ip X x P

0ip i

1ii

p

6.1

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3


►EJEMPLO 7.1

X=número de cruces en tres lanzamientos de una moneda y obtenga.

X

CCC +CC

C+C CC+ ++C +C+ C++ +++

( ) 0X CCC ( ) 1X CC

1 1 2 2 2 3

6.1

6.1


0

10

8p X CCC P P

1

1 1 1 31

8 8 8 8p X CC C C CC P P

2

1 1 1 32

8 8 8 8p X C C C P P

3

13

8p X P P

ix ip

0 1 2 3

1/8 3/8 3/8 1/8

3

0

1ii

p

6.1

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4

7.2 Función de distribución.

Variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.

Se define la función de distribución de una variable aleatoria X como:

( )F x X x X x x P P

Propiedades:

Si i j i jx x F x F x

0 1F F

1 ( )X x F x P

1 2 2 1( ) ( )x X x F x F x P

6.2



►EJEMPLO 7.2

Calcule la función de distribución asociada a la variable aleatoria X del ejemplo 7.1.

Represente su gráfica.

ix ip

0 1 2 3

1/8 3/8 3/8 1/8

6.2

6.1.

6.2

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5



≤

6.2

6.36.3 Variables aleatorias discretas y continuas.


Variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas. Variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.

La función de distribución de una variable aleatoria discreta es una función escalonada

( ) i

ix xF x X x p

P

La función de distribución de una variable aleatoria continua es una función continua. La derivada

de la función de distribución de una variable aleatoria continua se denomina función de densidad

'( ) ( )F x f x

6.2

6.36.3 Variables aleatorias discretas y continuas.

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6

Propiedades de la función de densidad:

( ) 0f x x

( ) 1f x dx

( ) 0a

a

X a f x dx P

( )b

a

a X b f x dx P

( )a

a X f x dx

P

( )a

X a f x dx

P

( ) ( )x

F x X x f t dt

P

6.3 Variables aleatorias discretas y continuas.

►EJEMPLO 7.3

Sea la función de distribución de la variable aleatoria X:

3

0 , 0

3, 0 1

21 ,1

x

x xF x x

x


6.3

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7


( ) 0f x x

( ) 1f x dx

21 0 1x x .

10 1 3

2

0 1 0

3 3 3 1 3 2( ) 0 1 0 0 0 1 1

2 2 3 2 3 2 3

xf x dx dx x dx dx x


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8

Si x<0 ( ) ( ) 0 0x x

F x X x f t dt dt

P

Si 0 1x

0 3 3 3

2

0 0

3 3 3 3( ) ( ) 0 1 0

2 2 3 2 3 2

xx x t x x xF x X x f t dt dt t dt t x

P

Si 1<x

10 1 3

2

0 1 0

3 3 3 1( ) ( ) 0 1 0 0 0 1 1

2 2 3 2 3

x x tF x X x f t dt dt t dt dt t

P


1 1

32 22

1133

1 1 3 3 3 1 1 1 1 3 11 261 0,206

3 2 2 2 3 2 2 24 3 81 2 24 81

tX t dt t

P

11 3

2

1122

1 3 3 3 1 1 1 51 1 0,3125

2 2 2 3 2 3 2 24 16

tX t dt t

P

3 1 111 1 1 1 11 262 8 27 0, 206

3 2 2 3 2 2 16 54X F F

P

3 11 1 1 11 52 81 1 1 1 0,31252 2 2 2 16 16

X X F

P P


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9

valor esperado, esperanza matemática o media

1

i ii

E X x p

momentos no centrados o respecto al origen:

1

r rr i i

i

E X x p

momentos centrados, respecto a la esperanza o respecto a la media como:

1

r r

r i ii

E X E X x E X p

La varianza, 2 , 2

desviación típica

6.4 Valor esperado de una variable aleatoria. Momentos.

r rr E X x f x dx

r r

r E X E X x E X f x dx


2 22 2 1

33 3 1 2 13 2

2 44 4 1 3 1 2 14 6 3

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10

Propiedades de la media y de la varianza.

E aX b aE X b

2 2 2aX b a X

Desigualdad de Tchebycheff:

2

11X E X k E X k X E X k

k P P


►EJEMPLO 7.4

Calcule la media y la varianza de las distribuciones de probabilidad de los ejemplos 7.2 y 7.3

Solución:

Distribución de probabilidad del ejemplo 7.2:

ix ip i ix p 2i ix p

0 1 2 3

1/8 3/8 3/8 1/8

0 0,375 0,750 0,375

0 0,375 1,500 1,125

total 1,500 3

3

0

1,5i ii

E X x p

23 32 2 2 2

2 10 0

3 1,5 0,75i i i ii i

x p x p


6.2 y 6.3

6.2

6.4

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11


2

2

0 , 0

3 3 3(1 ) , 0 1

2 20 ,1

x

xf x x x

x

11 1 2 4

2 31

0 0 0

3 3 3 3 1 1 31 0,375

2 2 2 2 4 2 2 4 8

x xE X x f x dx x x dx x x dx

22 2

2 1

1 30,059375

5 8

Donde 11 3 5

2 2 2 42

0 0

3 3 3 1 1 1( ) 0, 2

2 2 3 5 2 3 5 5

x xE X x f x dx x x dx


6.3

Moda.

( ) ( )f Mo f x x

iX Mo p i P

Mediana, cuartiles y percentiles.

1( )

2F Me X Me P

( )4i i

iF Q X Q P

( )100i i

iF P X P P

Coeficiente de variación.

CV

E X

Coeficiente de asimetría.

31 3

Coeficiente de apuntamiento o curtosis.

42 4

3

6.5 Otras medidas de posición, dispersión y forma.

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12

►EJEMPLO 7.5

Calcule la moda, mediana, percentil 75 y coeficiente de variación de las distribuciones de probabilidad

de los ejemplos 7.2 y 7.3

Solución:


ix ip ip acumulados

0 1 2 3

1/8 3/8 3/8 1/8

0,125 0,500 0,875

1 Mo=1 y Mo=2

1+2Me= 1,5

2

75 2P

0,75

0,5771,5

CVE X


6.2 y 6.3

6.5

6.2


6.3

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13


Para calcular el coeficiente de variación utilizamos los valores de la media y varianza calculados en

el ejemplo 7.4

0,059375 0,24367

0,64980,375 0,375

CVE X


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14

,X Y

( ), ( )i i iX Y

distribución de probabilidad bidimensional

, , ,ij i j i jp X Y x y X x Y y P P .

0 ,ijp i j

1iji j

p

6.6 Variables aleatorias bidimensionales.

►EJEMPLO 7.6

X=número de cruces en tres lanzamientos de una moneda.

Y=número de caras en los dos primeros lanzamientos de la moneda.

,X Y

CCC

+CC

C+C CC+ ++C +C+ C++ +++

( ), ( ) 0,2X CCC Y CCC

( ), ( ) 1,1X CC Y CC

(1,1) (1,2) (2,0) (2,1) (2,1) (3,0)

6.6


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15

1 1 1 1

2 2 2 8CCC C C C C C C P P P P P …

31 1

2 8

P P P P

02

10, 2

8p X Y CCC P P

11

1 1 2 11, 1

8 8 8 4p X Y CC C C P P

12

11, 2

8p X Y CC P P

20

12, 0

8p X Y C P P

21

1 1 2 12, 1

8 8 8 4p X Y C C P P

30

13, 0

8p X Y P P


X Y 0 1 2

0

1

2

3

0

0

18

18

0

28

28

0

18

18

0

0

3 2

0 0

1iji j

p

.


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16

Función de distribución bidimensional. Función de densidad bidimensional.

función de distribución (conjunta) de ,X Y :

2, , , ,F x y X x Y y X x Y y x y P P

Si las variables aleatorias son discretas la función de distribución es escalonada (discontinua).

Si las variables aleatorias son continuas la siguiente derivada de la función de distribución conjunta es

la función de densidad (conjunta) de ,X Y :

2 ,( , )

F x yf x y

x y

2( , ) 0 ,f x y x y

( , ) 1f x y dx dy

En particular:

, , ( , )yx

F x y X x Y y f u v du dv

P


►EJEMPLO 7.7

Sea la variable aleatoria bidimensional de tipo continuo con función de distribución conjunta

2 3 23, 0 1 0 1

( , ) 20 ,

xy x yx y

F x y

en otro caso

Calcule la función de densidad conjunta y compruebe que cumple las dos propiedades que

caracterizan a toda función de densidad.

6.7



27/11/2019

17

2 3 23, 0 1 0 1

( , ) 20 ,

xy x yx y

F x y

en otro caso

2 2 23 3( , ) , 0 1 0 1

20 ,

y x yF x y x y

xen otro caso

22 26 6

( , ) 3(1 ) , 0 1 0 1( , ) 2

0 ,

y x yF x y x y x y

f x yx y

en otro caso

2( , ) 0 ,f x y x y

( , ) 1f x y dx dy

1 11 1 1 1 13 2

2

0 0 0 0 00 0

1 13 1 3 3 1 2 2 2 1

3 3 2 2

x yy x dx dy y x dy y dy y dy



Distribuciones de probabilidad marginales.

Para variables aleatorias discretas, se define la distribución de probabilidad marginal de X como

,i i i ijj

p X x X x Y cualquier valor p

P P

Análogamente para la variable aleatoria Y

,j j j iji

p Y y X cualquier valor Y y p

P P

Para variables aleatorias continuas, se define la función de densidad marginal de X como

( ) ( , )Xf x f x y dy

Análogamente para la variable aleatoria Y

( ) ( , )Yf y f x y dx



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18

Distribución de probabilidad bidimensional del ejemplo 7.6:

X Y 0 1 2 ip

0

1

2

3

0

0

18

18

0

28

28

0

18

18

0

0

18

38

38

18

jp 28 4

8 2

8

1


6.6



226 6

3(1 ) , 0 1 0 1( , ) 2

0 ,

y x yx y x y

f x y

en otro caso

11 2

2 2 21

0 0

1

3( ) ( , ) 3 1 3 1 1 0 1

2 2

( ) 0

yf x f x y dy x y dy x x si x

f x en otro caso

11 3

22

0 0

2

1( ) ( , ) 3 1 3 3 1 2 0 1

3 3

( ) 0

xf y f x y dx x y dx y x y y si y

f y en otro caso


6.7


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19

Independencia de variables aleatorias.

Recordemos que dos sucesos A y B son independientes si

A B A BP P P

En el caso discreto, diremos que las variables X e Y son independientes si

, ,i j i j i jX x Y y X x Y y x y P P P

o lo que es lo mismo

,ij i jp p p i j

En el caso continuo, diremos que las variables X e Y son independientes si

, ,X Yf x y f x f y x y

6.7 Independencia de variables aleatorias.


X Y 0 1 2 ip

0

1

2

3

0

0

18

18

0

28

28

0

18

18

0

0

18

38

38

18

jp 28 4

8 2

8

1


6.6

27/11/2019

20


226 6

3(1 ) , 0 1 0 1( , ) 2

0 ,

y x yx y x y

f x y

en otro caso

2

1

3(1 ) , 0 1

( ) 20 ,

x xf x

en otro caso

2

2 , 0 1( )

0 ,

y yf y

en otro caso


6.7

6.8 Principales momentos en variables aleatorias bidimensionales.

Media (marginal) de X.

Variables discretas:

Variables continuas: 1E X x f x dx

Media (marginal) de Y.


Variables continuas: 2E Y y f y dy

Propiedades:

E X Y E X E Y

E X Y E X E Y

1

i ii

E X x p

1

j jj

E Y y p

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21


Varianza (marginal) de X.


2 22 2 2 2 2

1x i i

i

Var X X x E X p E X E X E X E X

Variables continuas:

2 22 2 2 2 21xVar X X x E X f x dx E X E X E X E X

Varianza (marginal) de Y.


2 22 2 2 2 2

1y j j

j

Var Y Y y E Y p E Y E Y E Y E Y


2 22 2 2 2 22yVar Y Y y E Y f y dy E Y E Y E Y E Y

Propiedades:

2 ,Var X Y Var X Var Y Cov X Y

2 ,Var X Y Var X Var Y Cov X Y


Covarianza (momento centrado de ordenes 1,1):


1 1

, , xy i j iji j

Cov X Y X Y E X E X Y E Y x E X y E Y p


, ,

( , )

xyCov X Y X Y E X E X Y E Y

x E X y E Y f x y dx dy

Propiedades:

,Cov X Y E XY E X E Y .

En caso de independencia:

, 0Cov X Y

Var X Y Var X Var Y .

Var X Y Var X Var Y

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