Colegio Abecé S. L.

Dosier Matemáticas

4º ESOOpción B

Javier Aura

ACTIVIDADES REPASO 1ª EVALUACIÓN (MATE B)

TRABAJO PARA NAVIDADES

1.- Indica el conjunto numérico más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números:

-12 23 7’14 5’22242424… 5’33313113111311113…

2.-Halla las aproximaciones por exceso, defecto y por redondeo de 5’1483… cuando se eligen dos y cuando se eligen tres cifras decimales.

3.- Calcula el valor de las siguientes potencias:

a) b) c) d) e)

4.-Calcula utilizando las propiedades de las potencias:a) b) c) d)

5.- Reduce a común índice los siguientes radicales y ordena de menor a mayor:a) ; ; b) ; ;

6.- Introduce o extrae los factores posibles de dentro de la raíz;a) b) c) d)

7.- Calcula las siguientes sumas y restas de radicales:a) b)

8.- Racionaliza:

a) b) c)

9.-Calcula aplicando la definición de logaritmo y sin utilizar la calculadora:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

10.- Calcula utilizando las propiedades de los logaritmos y sin utilizar la calculadora.

a) b)

c) d)

11.- Sabiendo que calcula:

a) b)

c) d)

e) f)

g)

h)

12.- Expresa con un solo logaritmo:

a)

b)

c)

d)

13.- Calcula:a) b) c) d)

14.- Calcula utilizando las igualdades notables:a) b) c)

15.- Factoriza los polinomios e indica las raíces que obtienes:a) b)

16.- Resuelve los distintos tipos de ecuaciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

17.- Resuelve los siguientes sistemas:

a)

b)

c)

TEMA 1: LOGARITMOS

1.-Resuelve aplicando la definición de logaritmo:

log2 8 = log2 16 = log3 9 =

log10 100 = log6 1 = log7 =

log4 4 = log2 4 = log4 2 =

log5 1 = log5 5 = log3 27 =

log3 = log3 243 = log2 =

2.- Resuelve aplicando la definición de logaritmo:

log3 = log3 = log5 =

log7 = log6 = log8 =

log2 = log5 = log10 =

log27 3 = log5 = log3 =

log25 5 = log49 7 = log125 5 =

3.- Calcula el valor de x que satisface las siguientes igualdades:

log2 x = 4 logx 4 = 2 log4 x =

log3 x = 2 logx 8 = 3 logx 16 = 4

log5 x = -2 logx 100 = 2 logx 30 = 1

4.- Calcula utilizando las propiedades de los logaritmos:

a) log 0’001 =b) 2 log 9 – log 81 =c) log 0’5 + log 2 =

d) log 4 + log + log 2 =

e) log 1000 – log 10 =f) log 50 + log 2 =g) log 0’1 = h) 4 ( log 2 + log 5) – 3 log 10 =

i) 2 ( log 8 + log + log ) =

j) log 0’0001 =

k) 3 log 3 – log 27 =

5.- Calcula el valor de:

a) log 0’00001 =b) log =c) log 125 + log 8 =d) log 5 – log 500 =e) 2 log 3 – log 9 =f) log 0’02 + log 5 =g) log 2500 – 2 log 5 =

h) log + log 5 =

i) log 1000 – log 100 =

6.- Indica si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades y razona tu respuesta:

a) log 100 = log 50 +log 2b) log 100 = 2 · log 50c) log 4 = 2 · log 2

d) log 10 = log 5 + log 5

7.- Expresa con un solo logaritmo las siguientes expresiones:

a) log 6 + log 2 – log 3 =b) 2 · log 2 + log 36 – log 12 =

c) ( log 3 + log 25 ) - =

d) 3 ( log 8 – log 4 ) + log 3 =e) log 16000 – ( log 40 + log 2 ) =f) log 5 + 1 =g) 2 – log 4 =h) 3 + log 3 – log 5 =

8.- Expresa con un solo logaritmo:

a) log 4 + log 3 + 2 log 3 =b) 4 log 2 – log 4 =

c) log 9 – log 3 =

d) log 25 – log 5 =

e) log + log 5 + log 3 =

f) log 4 + log 6 – log 6 =g) log 0’2 + log 5 =h) 2 log 3 – log 9 =

9.- Sabiendo que log 2 = 0’3010, calcula el valor de:

a) log 64 =b) log =

c) log =

d) log 2000 =e) log 40 =f) log =g) log 5 =

10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771 calcula el valor de:

a) log 6 =b) log 81 =c) log 1’5 =d) log 0’09 =e) log =

f) log =

g) log =

h) log 36 =

11.- Sabiendo que log 5 = 0’69, calcula:

a) log 625 =b) log 50 =c) log =d) log 25000 =e) log 0’005 =f) log 2 =

12.- Sabiendo que log 2 = 0’301 y log 3 = 0’47, calcula:

a) log 60 =b) log 0’006 =c) log 18 =

d) log =

e) log =

13.- Completa los huecos para que sean ciertas las siguientes igualdades :

a) log ___ + log 3 = log 21 d) log ___ = 2 · log 3b) log 16 = ___ · log 2 e) log 8 – log 2 = log ___ c) log = ___ · log 2 f) log 28 = log ___ + ___ · log 2

g) log 72 = log ( ___3 · 3 _ ) = log ___3 + log 3 _ = ___ · log 2 + 2 · log ___

14.- Utilizando los logaritmos decimales de la calculadora y la expresión del cambio de base, calcula:

a) log3 2 =

b) log5 15 =

c) log3 512 =

15.- Calcula los siguientes logaritmos utilizando la expresión del cambio de base y la calculadora; después, comprueba el resultado utilizando la definición de logaritmo.

a) log5 25 =

b) log4 64 =

c) log9 3 =

16.- Sin utilizar la calculadora, halla, como en el ejemplo, los siguientes logaritmos:

Ejemplo: log3 729 = = = = 6

a) log5 625 =

b) log6 216 =

c) log3 243 =

17.- Expresa en función de log 2 :

a) log 32 + log 4 + log 8 =

b) ( log 8 – log 2 ) + ( log 6 – log 3 ) =

c) log 1024 + log - log 160 =

18.- Expresa en función de log 3:

a) log 9 – 3 · log 3 =

b) log + log 27 – log 3 =

c) log 18 – ( log 3 + log 2 ) =

d) log 54 + 2 · log 2 – log 8 =

e) log 27000 – (log 30 + log 3 ) =

19.- Expresa en función de log 5:

a) log 25 – 3 · log =

b) log 75 – 2 log 3 + log 15 =

TEMA 3: ECUACIONES Y SISTEMAS

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) log 6 = log x + log 3b) log 2 + log (x + 3) = log 4c) log (x + 18) – log x = 1 d) log (3x + 5) – log (2x + 1) = 1 – log 5

2.- Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) log (-4x + 6) – log (3x – 2) = log 2b) log x + log 4 = 0c) log (x + 5) = log x + log 5d) log x2 = log 1 + 2·log (x – 2)

3.- Resuelve las ecuaciones logarítmicas y haz la comprobación:

a) log (2x + 8) + log (x + 8) = 1b) log (2x – 3) + log (3x – 2) = 2 – log 25c) 2 log x = log (x2 – 2x + 6)d) log (x + 1)2 = 2

4.- Resuelve las siguentes ecuaciones :

a) log (7x + 15) – log 5 = 1

b) log = 1 + log (21 – x)

c) log = 2 – 2 log x

SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

1.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas:

a) x – y = 15 log x + log y = 2

b) x + y = 22 log x – log y = 1

2.- Resuelve los siguientes sistemas:

a) 2 log x – 5 log y = -1 c) 3 log x + 2 log y = 12

3 log x + 2 log y = 8 log = -1

b) 4 log x – 3 log y = -1 d) log x + log y3 = 5

log xy = 5 log = 4

ECUACIONES EXPONENCIALES

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2x = 8b) 7x = 49c) 2x+1 = 256d) 11x = 1331

2.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3x+1 = 81b) 2x-1 = 64c) 5x+2 = 625d) 7x-2 =2401

3.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3x = 27b) 9x = 729c) 3x+1 = 729d) 12x = 20736

4.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2· 5x = 875b) 3· 2x = 24c) 3· 5x = 75d) 7· 2x = 224

5.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 5x = 10b) 2x = 25c) 3x+1 = 80d) 7x = 39

6.- Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 3x+1 – 3x = 162b) 2x+3 + 2x = 18

c) 9x – 2· 3x -3 = 0d) 42x+1 – 4x+2 = 768e) 4x – 2x = 2f) 4x – 5· 2x + 4 = 0

7.- Resuelve:

a) 3x-1 + 69 = 32x – 3x

b) 2x+3 + 4x-1 – 80 = 0c) 2x + 2x-1 = 24d) 2x-1 + 2x + 2x+1 = 7

8.- Resuelve estas ecuaciones:

a) 52x – 30· 5x + 125 = 0b) 52x – 6· 5x + 5 = 0c) 32x+2 – 28· 3x + 3 = 0d) 4x – 5· 2x + 4 = 0

SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES

1.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales:

a) 2x + 5y = 92x-1 + 5y+1= 9

b) 7· 5x – 4· 3y+1 = 1715x-1 + 3y+4 = 32

c) 3· 2x – 5· 3y = 32x+1 + 3y+1 =59

d) 2x + 3y = 352x – 3y = 29

TEMA 4: INECUACIONES Y SISTEMAS

1.- Resuelve las siguientes inecuaciones:

a)

b)

c)

2.-Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

a) –(x + 2)2 + 3x 2 (-x2 + 1)b) x (x + 3) – 2x > 4x + 4c) (2x – 3)2 1

d) 0

e)

3.- Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x3 – 2x2 – 3x < 0b) x3 – 7x + 6 0c) x3 – 3x2 – 6x + 8 0d) x3 – x2 - 4x + 4 > 0

4.- Una empresa de alquiler de coches cobra 30 euros fijos más 25 céntimos por kilómetro recorrido. Otra empresa de la competencia no tiene canon fijo, pero cobra 45 céntimos por kilómetro recorrido. ¿A partir de cuántos kilómetros es más económica la primera?

5.- Una fábrica paga a cada agente comercial 1 euro por artículo vendido más una cantidad fija de 1000 euros. Otra fábrica de la competencia paga 150 céntimos por artículo y 400 euros fijos. ¿Cuántos artículos debe vender un agente comercial de la competencia para ganar más dinero que el primero?

6.- Halla los números naturales cuyo triple menos seis unidades es mayor que su duplo más cinco unidades.

7.- Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determina en qué periodo de sus vidas la edad del padre excede en más de 6 años al doble de la edad del hijo.

8.- ¿Cuáles son los números cuyo triple excede a su duplo en más de 30?

9.- Una empresa de informática cobra por elaborar un programa de ordenador 1000 euros más 120 euros por hora de programación. Otra empresa de la competencia cobra siempre 10000

euros cualquiera que sea el número de horas de programación.¿En qué condiciones conviene elegir una u otra empresa?

10.- Un vendedor tiene un contrato con una editorial por el cual percibe 360 euros de sueldo fijo más 130 euros por enciclopedia que venda. De otra editorial recibe otra oferta por la que le ofrecen 160 euros por enciclopedia que venda. Analiza la conveniencia de cada una de las ofertas según el número de enciclopedias que venda.

11.-Eduardo dice:”El doble de mi edad más tres años es mayor que mi edad más 15 años”.¿Qué edad tiene Eduardo?

12.- Una madre y su hija se llevan 25 años. Determina en qué periodo de sus vidas la edad de la madre excede en más de 10 años al doble de la edad de la hija.

13.-Halla los números naturales cuyo triple menos siete unidades es mayor que su duplo más cinco unidades.

14.- Una empresa de alquiler de coches cobra un canon fijo de 49 euros, 30 céntimos por kilómetro recorrido. Otra empresa de la competencia no tiene canon fijo, pero cobra 50 céntimos por kilómetro recorrido. ¿A partir de qué kilómetros es más económica la primera?

15.-Una cooperativa paga a cada agente comercial 5 € por artículo vendido, más una cantidad fija de 1200 €. Otra cooperativa de la competencia paga 7’5 € por artículo y 500 € fijos. ¿Cuántos artículos deben vender para que el comercial de la competencia gane más dinero que el primero?

16.- ¿Cuáles son los números cuyo triple no sobrepasa su duplo en más de 20?

17.- Una empresa de transporte cobra por viaje 2000€, más 100€ por km a recorrer. Otra empresa de la competencia cobra siempre 10000€ , cualquiera que sean los kilómetros recorridos.¿En qué condiciones conviene elegir una u otra empresa?

TEMA 6: TRIGONOMETRÍA

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

1.- Si  es un ángulo del cuarto cuadrante y su coseno vale 0’8, calcula tg Â.2.- Calcula el seno y el coseno del ángulo agudo  sabiendo que tg  = 2.

3.- Calcula el coseno y la tangente del ángulo  sabiendo que sen  = y que es un ángulo

del segundo cuadrante.

4.- Calcula el seno y la tangente del ángulo  sabiendo que cos  = - y que es un ángulo del

tercer cuadrante.5.- Calcula el seno y el coseno del ángulo  del que se sabe que tg  = -3 y que es un ángulo del cuarto cuadrante.

6.- Calcula el seno y el coseno del ángulo  sabiendo que tg  = y que es un ángulo del

segundo cuadrante..

Relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos diferentes

7.- Con ayuda de las razones trigonométricas del ángulo de 45º, calcula las del ángulo de 135º.8.- Con ayuda de las razones trigonométricas del ángulo de 60º, calcula las del ángulo de 240º.9.- Con ayuda de las razones trigonométricas del ángulo de 30º, calcula las del ángulo de –30º.10.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 300º.11.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 150º.12.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 225º13.- Expresa las razones trigonométricas del ángulo de 130º en función de las de un ángulo del primer cuadrante.14.- Expresa las razones trigonométricas del ángulo 333º en función de las de un ángulo del primer cuadrante.15.- Expresa las razones trigonométricas del ángulo de –15º en función de las de un ángulo del primer cuadrante.16.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 1125º.17.- Expresa las razones trigonométricas del ángulo de 4000º en función de las de uno del primer cuadrante.18.- Expresa las razones trigonométricas del ángulo de 1750º en función de las de uno del primer cuadrante.

PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA:RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. APLICACIONES A LA GEOMETRÍA

1.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12 cm. y el ángulo menor 35º.Calcula los catetos y el ángulo mediano del triángulo.

2.- Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 5 cm. y su ángulo opuesto 40º. Calcula el valor de la hipotenusa y del otro cateto.

3.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden a = 8 cm. y b = 24 cm. Halla los restantes elementos del triángulo.

4.- Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 85 dm cada uno y el desigual 168dm. Calcula los ángulos de dicho triángulo así como la altura sobre el lado desigual.

5.- El ángulo opuesto al lado desigual de un triángulo isósceles mide 65º. Cada uno de los lados iguales mide 12 cm. Calcula el lado desigual y la altura sobre él.

6.- La base de un triángulo isósceles mide 5 cm y el ángulo opuesto a dicha base es de 55º. Calcula la medida de la altura sobre dicha base así como el área del triángulo.

7.- La base de un triángulo isósceles mide 10 m y el ángulo opuesto 50º. Calcula los lados y el área.

8.- Dos lados de un triángulo miden 9 cm y 14 cm y el ángulo que forman estos lados 57º. ¿Cuánto mide el área?

9.- Calcula el área de un triángulo del que se conocen sus lados, a = 15 cm y b = 20 cm, y el ángulo comprendido entre ellos, C = 35º. 10.- Halla la base y la altura de un rectángulo sabiendo que una de sus diagonales, que mide 20cm, forma con la base del mismo un ángulo de 30º.

11.- Halla el área de un pentágono regular de lado 10 m.

12.- Halla el área de un octógono regular de lado 20 m.

PROBLEMAS PARA APLICAR

1.- Calcula la longitud de la sombra de la torre Eiffel cuya altura es de unos 300 m, cuando la inclinación de los rayos solares medida sobre el horizonte es de 14º.

2.- Una moneda mide 2’4 cm de diámetro. Halla el ángulo que forman las tangentes a dicha moneda desde un punto situado a 6cm del centro.

3.- Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm y cada rama mide 12 cm. Halla el ángulo que forman las ramas del compás.4.- Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60º y cada rama tiene 12 cm de longitud, halla el radio de la circunferencia que puede trazarse.

5.- Desde un faro colocado a 40 m sobre el nivel del mar se ve un barco bajo un ángulo de depresión de 55º. ¿A qué distancia del pie del faro se encuentra el barco?

6.- Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya en una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 30º. Halla la anchura de la calle. ¿Qué altura se alcanza con dicha escalera sobre cada una de las fachadas?

7.- Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre, ese ángulo mide 60º.Halla la altutra de la torre.

8.- Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 45º, y si se retrocede 40 m, se ve bajo un ángulo de 30º. Halla la altura del árbol y el ancho del río.

9.- Dos amigos han creído ver un ovni desde dos puntos situados a 800 m, con ángulos de elevación de 30º y 75º respectivamente. ¿Sabrías hallar la altura a la que está el ovni sabiendo que se encuentra entre ellos?

10.- Se desea calcular la altura del campanario de la iglesia de Villanueva la Lastra, para ello se hacen dos observaciones desde dos puntos situados uno a dada lado de la torre y alineados con ella obteniendo como ángulos de elevación 28º y 47º. Si la distancia entre los puntos de las observaciones es 50 metros. Halla la altura de la torre.

11.- Para medir la distancia entre dos pueblos se utiliza un globo cautivo que está a 560 metros de altura. Desde Navas de Abajo se ve bajo un ángulo de elevación de 20º y desde Navas de Arriba bajo un ángulo de elevación de 25º. Suponiendo que el globo está entre los dos pueblos y alineado con ellos calcula la distancia que los separa.

PROBLEMAS DE REPASO

1.- Una escalera de 6 m de largo se encuentra apoyada en una pared de tal forma que su pie dista 3 m de la misma. Calcula la altura del punto de la pared en el que la escalera está apoyada así como el ángulo que dicha escalera forma con el suelo.

2.- Para determinar el ancho de un río se fija una señal en la orilla, a continuación el operario se coloca delante de la señal pero al otro lado del río y camina 30 metros por la orilla hasta un punto que forma un ángulo de 64º con la señal. Calcula la anchura del río.

3.- Una torre de 20 m de alto proyecta una sombra de 25 metros de largo. Calcula el ángulo de inclinación de los rayos solares en ese momento sobre el suelo.

4.- La inclinación de los rayos solares en cierto momento es de 38º sobre la horizontal. Calcula la longitud de la sombra que proyecta un árbol de 3’5 metros de altura.

5.- Desde un faro, situado a 40 m sobre el nivel del mar, se observa un barco bajo un ángulo de depresión de 28º .Calcula las distancias que separan al barco del pie del faro y del punto más alto del faro.

6- Desde cierto lugar se ve el punto más alto de una torre bajo un ángulo de 35º.Si se retrocede 200 metros, se ve la misma torre pero bajo un ángulo de 20º. Calcula la altura de la torre.

7.- Se desea calcular la altura de una torre de lanzamiento de cohetes; para ello se hacen dos observaciones desde dos puntos A y B situados a un lado de la torre, obteniendo como ángulos de elevación 30º y 45º, respectivamente. La distancia AB es de 30 m. Halla la altura de la torre.

8.- Pedro y Ana ven desde las puertas de sus casas una torre de televisión, bajo los ángulos de 45º y 60º. La distancia entre sus casas es de 126 m y la antena está situada entre sus casas y alineadas con ellas. Halla la altura de la torre.

9.- Calcula la altura a la que se encuentra un objeto del suelo sabiendo que dos personas, situadas una a cada lado del mismo en línea recta, lo observan con un ángulo de elevación de 50º y 67º respectivamente y que la distancia de separación entre ellas es de 6 m.

TEMA 8: VECTORES. GEOMETRÍA ANALÍTICA

Vectores . Ejercicios

1. Calcula el valor de k sabiendo que e l módulo del vector = (k, 3) es 5 .

2. Dados los vér t ices de un t r iángulo A(1, 2) , B(-3, 4) y C(-1, 3) , hal lar las

coordenadas del bar icentro.

3. Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, -2) es el punto medio

de AC, A(-3, 1) .

4. Averiguar s i están al ineados los puntos: A(-2, -3) , B(1, 0) y C(6, 5) .

5. Calcula las coordenadas de D para que e l cuadri lá tero de vér t ices : A(-1, -2) ,

B(4, -1) , C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

6. De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3) , B(5, 1) , C(-2, 0) . Halla las

coordenadas del vér t ice D.

7. Las coordenadas de los ext remos del segmento AB son: A (2, -1) y B(8, -4) .

Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos par tes

ta les que AC es la mi tad de CB.

8. Si e l segmento AB de extremos A(1,3) , B(7, 5) , se divide en cuat ro par tes

iguales , ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de divis ión?

9. Si M 1 (2, 1) , M 2 (3, 3) y M 3 (6, 2) son los puntos medios de los lados de un

tr iángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vér t ices del t r iángulo?

Ecuaciones de la recta I . Ejercicios

1. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por

los puntos A(1,2) y B(-2,5) .

2. Halla la pendiente y la ordenada en el or igen de la rec ta 3x + 2y - 7 = 0.

3. Hallar la ecuación de la recta r , que pasa por A(1,5) , y es paralela a la

recta s ≡ 2x + y + 2 = 0.

4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por e l punto (2, -3) y es para lela a

la recta que une los puntos (4, 1)) y (-2, 2) .

5 . Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3) , son vért ices de un tr iángulo isósceles ABC

que t iene su vér t ice C en la recta 2 x - 4 y + 3 = 0 s iendo AC y BC los

lados iguales . Calcular las coordenadas del vér t ice C.

6 . La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es para lela a la rec ta

s ≡ mx + 2y -13 = 0. Calcula m y n.

Tema 10: Funciones reales

1.Calcular el dominio de las funciones:

1

2

3

4

6

7

8

9

10

11

12

13

2.Dadas las funciones:

Calcular:

1

2

3

4

5

6

7Probar que:

3 . Estudia la s imetr ía de las s iguientes funciones:

1

2

4. Hallar la función inversa de:

5. Dadas las funciones:

Calcular :

1

2

3

4

5 Probar que :

6 . Representa las funciones def inidas a t rozos:

1

2

3

7. Representa las funciones valor absoluto:

1f(x) = |x − 2 |

2f(x) = |x² −4x + 3 |

3f(x) = |x | − x

REPASO DE DOMINIOS DE FUNCIONES:

8.- Halla el dominio de las siguientes funciones racionales:

a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x) =

d) f(x) =

9..- Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) = x2 + 2

b) f(x) =

c) f(x) =

d) f(x) =

e) f(x) = 1 +

f) f(x) =

g) f(x) =

3.- Halla el dominio de las siguientes funciones racionales:

a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x) =

d) f(x) =

e) f(x) =

f) f(x) =

g) f(x) =

h) f(x) =

i) f(x) =

TEMA 11: LÍMITES DE FUNCIONES

1.- Resuelve los siguientes límites de sucesiones:

a) =

b) =

c) =

d) (-7n + 1) · ( 4 – n5) =

e) =

f) 9 (7 – n2) =

g) =

h) =

i) =

j) =

k) =

l) (4n –3 ) =

m) n =

n)

o) =

p) =

3.- Calcula los siguientes límites de sucesiones:

a)

b) =

c)

d)

4.- Calcula los siguientes límites:

a)

b)

c)

5.- Calcula los siguientes límites:

a)

b)

c)

d)

6.- Calcula los siguientes límites:

a)

b)

c)

d)

TEMA 12: ESTUDIO DE FUNCIONES

ASÍNTOTAS HORIZONTALES Y VERTICALES

1.- Halla las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones:

a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x) =

d) f(x) =

e) f(x) =

f) f(x) =

g) f(x) =

h) f(x) =

i) f(x) =

j) f(x) =

k) f(x) =

l) f(x) =

m) f(x) =

n) f(x) =

FUNCIONES CUADRÁTICAS

1.- Representa gráficamente sin utilizar tabla de valores e indica si la función es cóncava o convexa:

y = x2 + 1 y = x2 + 5 y = - x2 – 3 y = x2 – 3 y = -x2 + 1 y = -x2 + 5

2.- Dadas las siguientes funciones:

f(x) = 3x2 g(x) = -3x2 + 5 h(x) = 2x2 + 3 l(x) = -5x2 – 3

a) Represéntalas gráficamente. ¿Corta alguna al eje X?b) Indica el eje de simetría y el vértice de cada una de ellas.

c) Indica si la función es cóncava o convexa.

3.- Tenemos la función f(x) = (x – 1)2

a) Halla el vértice de la parábola que la representa.b) ¿Tiene eje de simetría?. Indícalo.c) Represéntala gráficamente e indica si la función es cóncava o convexa.

4.- Representa gráficamente las siguientes funciones:

f(x) = -(x – 4)2 f(x) = - (x + 3)2 f(x) = (x – 3)2 f(x) = (x + 2)2

Indica el vértice y el eje de simetría de cada una de ellas.

5.- Representa gráficamente las siguientes funciones:

f(x) = (x – 1)2 + 5 f(x) = -(x +3)2 +2 f(x) = - ( x – 2)2 – 1 f(x) = (x + 2)2 – 4

Indica el vértice y el eje de simetría de cada una de ellas.

6.- Representa gráficamente las siguientes funciones indicando en cada caso el vértice, el eje de simetría y los puntos de corte con los ejes.

f(x) = x2 + 4x + 3 f(x) = -x2 – 4x + 5f(x) = x2 – 6x + 8f(x) = -x2 + 6x + 7f(x) = -x2 – 6x – 8

f(x) = x2 – 10x + 21f(x) = x2 + 2x + 4f(x) = -x2 + 4x + 1f(x) = 2x2 – 8x + 7f(x) = -x2 + 4x – 1f(x) = x2 + 8x + 9

FUNCIONES LINEALES

1.- Indica la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes funciones:

f(x) = xf(x) = -x – 5f(x) = -4xf(x) = x + 1f(x) = -2x + 2 f(x) = 3x – 4

2.-Representa gráficamente en el mismo diagrama las siguientes funciones:

y = -3x y= -3x + 5y = -3x – 1

a) Indica la pendiente y la ordenada en el origen de cada una de ellas.b) ¿Cómo son las rectas entre si?. Razona tu respuesta.

3.- Representa gráficamente en el mismo diagrama las siguientes funciones:

f(x) = 2xf(x) = 2x +3f(x) = 2x – 2

a) Indica la pendiente y la ordenada en el origen de cada una de ellas. b) ¿Cómo son las rectas entre sí?. Razona la respuesta.

4.- Halla la ecuación de la recta de pendiente 5 y que pasa por el punto A(-1, -2).

5.- Dados los puntos A(0,2) y B(2,3) .

a) Representa la función lineal que pasa por ellosb) Halla la ecuación de esta función.

6.- Halla la ecuación de las siguientes funciones:

a) Tiene pendiente –1 y pasa por el punto (0,3).b) Tiene pendiente 5 y pasa por el punto (2,7).c) Tiene pendiente 0 y ordenada en el origen 1.

d) Tiene pendiente 1 y ordenada en el origen 0.

7.- Halla la ecuación de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente:

a) Pasa por los puntos A(0,2) y B(2,-4).b) Pasa por los puntos A(1,4) y B(3,2).c) Pasa por los puntos A(1,7) y B(-2,4)d) Pasa por los puntos A(0,1) y B(1,0)

TEMA 16 : COMBINATORIA. TÉCNICAS DE RECUENTO

DIAGRAMA EN ÁRBOL

1.- Si Marisa tiene 4 faldas, 3 camisas y 2 pares de zapatos. ¿De cuántas formas distintas se podrá vestir?.Haz el diagrama en árbol.2.- Se lanzan dos dados de distinto color. Forma mediante un diagrama en árbol todos los posibles resultados.3.- Se lanza una moneda y un dado cúbico. Forma mediante un diagrama en árbol todos los resultados posibles.

COMBINATORIA

1.- La bandera de un país está formada por tres franjas horizontales de igual anchura y distinto color.¿Cuántas banderas distintas se podrán formar con los siete colores del arco iris?2.- ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 12 alumnos en los cuatro asientos de la primera fila de la clase?¿Y si el primer puesto está siempre reservado para el delegado?3.- En un campeonato de fútbol participan 24 equipos.¿De cuántas maneras se pueden ocupar los tres primeros puestos?4.- ¿Cuántas señales pueden hacerse con cuatro banderas de diferentes colores izando en el mástil, cada vez, 2, 3 o 4 banderas?5.- ¿De cuántos modos se pueden repartir tres premios distintos entre Juan, Pedro, María, Alicia y Pilar, de manera que ninguno de ellos reciba dos premios?6.- Con las cifras 1, 2 y 3, ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden formar?¿Cuántos son pares?7.- Con las cifras 6, 7, 8 y 9, ¿Cuántos números de seis cifras se pueden formar?¿Cuántos terminan en 6?¿Cuántos son múltiplos de 2?8.- ¿Cuántas apuestas hay que rellenar para acertar una quiniela de 14 resultados?¿Y cuántas para acertar 13 resultados?9.- En el alfabeto Morse se utilizan dos símbolos, el punto y la raya.¿Cuántos caracteres diferentes es posible obtener en el citado alfabeto tomando 1, 2, 3 ó 4 de los símbolos citados?10.- Sacamos tres cartas de un baraja española de forma que al extraer la primera de ellas la devolvemos a la baraja antes de extraer la segunda y, de la misma manera, antes de extraer la tercera devolvemos la segunda al mazo.¿Cuántos resultados diferentes podemos obtener?11.- ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, secretario y tesorero de un club de baloncesto sabiendo que hay 12 posibles candidatos?12.-¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 sin que se repita ninguna cifra?13.- Un electricista dispone de ocho terminales(polos), de los cuáles tiene que unir cinco a otros cinco de una emisora. Si todas las conexiones fueran igualmente posibles, ¿de cuántas formas se pueden realizar las conexiones?14.- En un festival de canciones han llegado a la fase final 10 cantantes.¿De cuántas formas se pueden adjudicar los premios1º, 2º y 3º teniendo en cuenta que ningún concursante puede llevarse más de un premio?15.- ¿Cuántos números de dos cifras existen en el sistema decimal?. No se debe tener en cuenta aquellos cuyo primer dígito a la izquierda es 0.16.- En una carrera ciclista participan 34 corredores; al llegar a la meta se entregan tres premios a distintos corredores. ¿De cuántas maneras se podrá realizar la entrega?

17.- Las matrículas de los coches de un país están formadas por dos letras diferentes seguidas de cuatro números, repetidos o no. ¿Cuántos coches se podrán matricular si el alfabeto tiene 28 letras?18.- En un abecedario de 26 letras se forman palabras, con sentido o no, de cuatro letras.

a) ¿Cuántas palabras se podrán formar si las letras son diferentes?b)¿Cuántas palabras se podrán formar si las letras pueden repetirse?c)¿Cuántas acabarán en z en el caso a?

19.- Un semáforo consta de tres luces de color rojo, verde y ámbar, cada una de las cuales puede permanecer apagada o encenderse. ¿Cuántas señales distintas se pueden formar?20.- Halla la cantidad de números capicúas de ocho cifras.¿Cuántos capicúas hay de nueve cifras?21.- Con las letras de la palabra PELUCA, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer?¿Cuántas empiezan por P?¿Cuántas empiezan por PEL?22.- ¿Cuántos números de cuatro cifras sin que se repita ninguna se pueden formar con los dígitos 2, 4, 6 y 8?23.- Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7,¿Cuántas ordenaciones distintas pueden formarse de manera que las cifras pares ocupen los lugares pares y las cifras impares los impares?24.- ¿De cuántas maneras se pueden introducir cinco objetos distintos en cinco cajas diferentes, teniendo en cuenta que en cada caja sólo se puede meter un objeto?25.- ¿De cuántas formas pueden colocarse en fila 10 alumnos si suponemos que hay dos que ocupan siempre el mismo puesto, uno el primero y otro el último?26.- ¿De cuántas formas se pueden sentar seis personas en una fila de butacas de un cine?27.- Con las letras de la palabra DISCO, ¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por O?28.- ¿De cuántas formas se pueden colocar 10 cantores de un coro si dos de ellos tienen que estar siempre en los extremos?29.- ¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer con las cinco vocales?¿Cuántas empiezan por ae?30.- ¿Cuántos números de cinco cifras distintas, que no empiecen por cero, se pueden escribir con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4?31.- ¿De cuántas formas pueden disponerse en la mano cinco cartas determinadas de una baraja?32.- En una escalada, una determinada cordada está compuesta por cinco escaladores. Teniendo en cuenta que van uno detrás de otro, ¿De cuántas formas podrá llegar a la cima?33.- ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar ninguna posición distinta de la portería?34.- ¿De cuántas formas distintas puede llegar a la meta cinco caballos en una carrera?35.- En el banquete que sigue a una boda se sientan en la mesa presidencial ocho personas, incluidos los novios. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar de forma que los novios no se separen?36.- Una secretaria ha escrito 12 cartas dirigidas a 12 personas distintas, y sus correspondientes sobres. A la hora de meter las cartas en los sobres la llaman por teléfono y, sin fijarse, va introduciendo, al azar, las cartas en los sobres. ¿De cuántas formas distintas podrá llenar los sobres?37.- En cada programa de radio de una emisora intervienen cuatro locutores. Si una cadena de radio dispone de 20 locutores, ¿De cuántas formas distintas se puede presentar un programa?38.- ¿Cuántas rectas se pueden trazar con 20 puntos situados en un plano de tal forma que no hay tres puntos alienados?39.- A una reunión acuden 30 personas. Se decide constituir comisiones de seis personas para estudiar un cierto plan. ¿Cuántas comisiones diferentes se pueden formar?

40.- ¿Cuántas jugadas diferentes se pueden obtener si se sacan 8 cartas de una baraja de 40 cartas?41.- ¿De cuántas formas pueden combinarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?42.- En una cierta provincia existen 10 pueblos que están incomunicados entre sí.¿Cuántos trazados hay que realizar para que siempre exista comunicación entre dos pueblos cualesquiera?

43.- A una reunión asisten 17 personas y se intercambian saludos entre todos.¿Cuántos saludos se han intercambiado?44.- ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las 9 localidades que quedan en el cine entre las 12 personas que aún esperan en la cola de entrada?45.- Se tienen 20 bolas diferentes y 2 urnas. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 bolas en una de ellas y 8 bolas en la otra?46.- Con 18 soldados, ¿Cuántas guardias distintas, de cuatro soldados cada una, pueden formarse?¿Y en cuántas entrará de guardia cada soldado?47.- Con los guarismos de los números 47251 y 6839, ¿Cuántos números de seis cifras podemos formar de manera que cada uno tenga tres cifras distintas del primero y tres cifras distintas del segundo?48.- Con las cifras impares 1, 3, 5, 7 y 9. a) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden hacer? b) ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden hacer? c) ¿Cuántos productos de tres factores se pueden hacer? d) Para los números del apartado a, ¿Cuántos acaban en 5?49.- Una clase consta de 7 niños y 3 niñas. El profesor quiere elegir a 4 de ellos para hacer un trabajo: a) ¿De cuántas maneras podrá hacerlo? b) ¿De cuántas formas podrá elegirlos con la condición de que haya 2 niños y 2 niñas?50.- ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse tres chicos y dos chicas en una fila de butacas de un cine teniendo en cuenta que no pueden estar dos chicos juntos ni dos chicas juntas?51.- La plantilla de un equipo de fútbol está compuesta por 3 porteros, 7 defensas, 5 medios y 8 delanteros. ¿Cuántas alineaciones distintas podrá formar el entrenador suponiendo que cada jugador sólo puede ser alineado en su demarcación?: Nota: Un equipo de fútbol se compone de 1 portero, 3 defensas, 2 medios y 5 delanteros.52.- Con un grupo de 12 alumnos de un curso deben formarse tres equipos de cuatro personas cada uno para asistir a tres exposiciones distintas. ¿Cuántas formaciones diferentes pueden hacerse?

TEMA 17: CÁLCULO DE PROBABILIDADES

APLICACIÓN DE LA COMBINATORIA AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

1.- Se lanzan 3 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 caras?2.- De una baraja de 40 cartas se extraen tres cartas. Halla la probabilidad de que las tres sean reyes.3.- Para acertar un pleno al quince en las quinielas hay que acertar los quince partidos que figuran en el impreso, marcando en cada partido: el 1 si gana el equipo de casa, la X si empatan y, o el 2 si gana el equipo de fuera. Si se rellena una columna al azar y todos los resultados fueran equiprobables, ¿Cuál es la probabilidad de acertar?4.- Para hacer una apuesta en la Lotería Primitiva hay que marcar con cruces sies números en un bloque donde figuran números de 1 al 49. El primer premio lo tiene quien acierte los seis números. ¿Cuál es la probabilidad de acertar los seis números?5.- Javier, Fátima, Santiago y Violeta se hacen una foto. ¿Cuál es la probabilidad de que Fátima y Santiago estén juntos?6.- Un cartero distribuye al azar tres cartas en sus correspondientes buzones.¿Cuál es la probabilidad de que cada carta esté en el buzón correcto?7.- Luis, Alberto y Jordi participan en una prueba de natación. Halla la probabilidad de que Luis llegue en primer lugar, seguido de Jordi.8.- Al término de una reunión entre los jefes de gobierno de los 10 países más desarrollados, se realiza una foto.¿Cuál es la probabilidad de que el presidente de los Estados Unidos aparezca junto al Jefe de Gobierno inglés?9.- En el banquete posterior a una boda se sientan los novios y los padres de ambos (6 personas) en la mesa presidencial. Halla la probabilidad de que los novios estén juntos.10.- Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 se forman números de tres cifras sin que se repita ninguna. ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un número de entre todos los números formados, sea el 134?11.- Con las cifras impares se forman números de dos cifras pudiéndose repetir. Si se escribe cada número en una papeleta, se introduce en una urna y se extrae al azar una papeleta de la urna,¿Cuál es la probabilidad de que salga el 11?12.- Seis caballos participan en una carrera. Teniendo en cuenta que no pueden llegar empatados, ¿Cuál es la probabilidad de que gane el caballo “Siempre ligero”?13.- Calcula la probabilidad de que al sacar dos cartas a la vez de una baraja española resulten ser una pareja de sotas.14.- Una urna contiene 3 bolas blancas y 2 negras. Se considera el experimento aleatorio “extraer dos de las bolas a la vez y observar su color”. Halla la probabilidad de que las dos bolas sean blancas.15.- Calcula la probabilidad de obtener un triple seis al lanzar al aire tres veces un dado.16.- Se considera el experimento aleatorio “lanzar tres dados al aire”. Calcula la probabilidad de obtener cuatro puntos al sumar el resultado de los tres dados.17.-Lanzamos cinco monedas al aire. ¿Cuál es la probabilidad de que obtengamos exactamente una cruz?18.- Se sabe que en una ciudad la probabilidad de nacer varón y la de nacer mujer es la misma. Si una familia tiene tres hijos, a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos sean varones? b) Y si una familia tiene 11 hijos, ¿Cuál es la probabilidad de que seis sean varones?

SUCESOS ALEATORIOS. PROBABILIDAD.

1.- Se considera la experiencia consistente en sacar una carta de una baraja española. En los siguientes pares de sucesos, señala si son compatibles o incompatibles:

a) “sacar un oro” y “sacar un caballo”:b) “sacar una figura” y “sacar un tres”:c) “sacar una carta menor que 6” y “sacar una espada”d) “sacar el as de oros” y “sacar un rey”: e) “sacar una carta impar” y “sacar una copa”:

2.- En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se considera la experiencia consistente en extraer una bola de la urna. Describe los sucesos contrarios a los siguientes sucesos y escríbelos entre llaves.

a) A = “sacar un número par”b) B = “sacar un múltiplo de 5”c) C = “sacar un 3”d) D = “sacar un número primo”e) E = “sacar un número par o múltiplo de 3"f) F = “sacar un número par y múltiplo de 3”

3.- Lanzamos un dado y consideramos los siguientes sucesos:A = “sacar un 4” , B = “sacar menos de un 3” y C = “sacar par"

Calcular:

4.- Tiramos un dado. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Salir un 5b) Salir un múltiplo de 3c) Sacar menos de 4d) Salir un número pare) Salir un número más pequeño o igual que 5f) Sacar un múltiplo de 2g) Salir un múltiplo de 7h) Salir un número primoi) Salir número imparj) Salir un número mayor que 2

5.- Disponemos de una urna con 3 bolas blancas, 4 rojas, 2 azules y 5 negras. Consideramos el experimento de extraer una bola de la urna. Cuál es la probabilidad de:

a) Sacar una bola blancab) No sacar rojac) Sacar bola azuld) Que la bola no sea ni blanca ni negra.

6.- En una clase de 4º de ESO hay 30 alumnos, de los cuales 18 son chicas. Elegimos un alumno al azar. Calcula la probabilidad de que sea chico.

7.- Extraemos una carta de una baraja española compuesta por 40 cartas. Calcula la probabilidad de que:

a) Sea el rey de copasb) Sea un caballoc) sea un orod) Sea una carta con el número menor o igual que 5e) No sea un rey

8.- El juego del dominó consta de 28 fichas. Si elegimos una ficha al azar, halla la probabilidad de que:

a) Sea el seis dobleb) Sea una ficha doblec) Al menos uno de sus puntos sea el 1.d) Sus puntos sumen 9.

9.- De una urna que contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10 extraemos una bola. Halla la probabilidad de que el número extraído:

a) Sea el 9 b) No sea parc) Sea múltiplo de 5d) Sea de 2 cifras

10.- En un campamento internacional hay 3 jóvenes españoles, 4 franceses, 2 alemanes, 5 ingleses y un ruso. Se va a elegir, por sorteo al encargado de llevar las cuentas. Calcula la probabilidad de que la persona elegida sea:

a) Francesa o inglesa.b) Española o rusac) Alemana o inglesa

11.- Se lanza un dado de quinielas. Halla las siguientes probabilidades:

a) Que salga el 1b) Que salga la Xc) Que salga el 2d) Que salga el 1 o el 2e) Que no salga el 2

12.- Se extrae una carta de una baraja española. Halla la probabilidad de:

a) Sacar una figurab) Sacar una espadac) Sacar una figura de espadas

d) Sacar una figura o una espada.

13.- En una urna hay 5 bolas verdes, 4 rojas y 8 amarillas. Se extrae una bola al azar. Halla las siguientes probabilidades:

a) p(verde) =b) p(roja) =c) p(amarilla) =d) p(verde o roja) =e) p( no verde) =

14.- En un grupo de 7 amigos, 5 juegan al fútbol y 2 a baloncesto de los cuáles uno de ellos juega también a fútbol. Halla la probabilidad de que e una persona al azar juegue a fútbol o a baloncesto.

15.- En un grupo de 50 alumnos hay 10 que tienen 14 años, 13 que tienen 15 años, 17 que tienen 16 años y 10 que tienen 17 años. Se elige uno al azar. Halla la probabilidad de que tenga 15 o 16 años.

16.- Alberto tiene en su bolsillo 3 monedas de 1 céntimo, 4 de 5 céntimos, 6 de 20 céntimos y 1 de 1 euro. Saca, sin mirar, una moneda del bolsillo. Halla la probabilidad de que:

a) Sea de 1 céntimo o de 5 céntimos.b) Sea de 1 euro o de 20 céntimos.

17.- En una urna hay 50 bolas numeradas del 1 al 50. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) Sea parb) No acabe en 7c) Acabe en 0 o en 5d) Sea par o múltiplo de 5

18.- En un grupo de 30 alumnos hay 14 que hacen natación y 8 que usan gafas. Se sabe que 3 de las personas que hacen natación usan gafas. ¿Cuál es la probabilidad de que elegida una persona al azar use gafas o haga natación?

19.- La probabilidad de que un aluno de 4ºE.S.O. apruebe Matemáticas es del 80%, que apruebe Lengua es del 70% y de que apruebe las dos 60%.¿Cuál es la probabilidad de que elegido un alumno al azar apruebe Matemáticas o Lengua?

20.- Se extraen dos cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de que sean dos oros.a) Con devoluciónb) Sin devolución

21.- En un armario de cocina hay 5 refrescos de cola, 3 de limón y 6 de naranja. Se escogen dos al azar.¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean de naranja?

22.- Una jarra contiene 2 canicas rojas, 3 canicas azules y 4 canicas verdes. Luis saca al azar una canica. Después saca otra Sara sin que Luis devuelva la que sacó. ¿Cuál es la probabilidad de que Luis saque canica azul y Sara roja?

23.- Lanzamos una moneda dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos cruces?

24.- En una urna hay 5 bolas blancas y 7 negras. Se extraen dos bolas, una a continuación de la otra, calcula cuál es la probabilidad de que las dos sean blancas:

a) Con devoluciónb) Sin devolución

25.- La probabilidad de que una persona fume es 0’4. Elegidas 3 personas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas fume?¿Y de que fume sólo una de ellas?

26.- La probabilidad de que Juan enceste un tiro a canasta es 0’7. ¿Cuál es la probabilidad de que enceste tres tiros seguidos a canasta?

27.- En una urna hay 3 bolas rojas y 4 verdes, en otra urna hay 3 bolas rojas y 2 verdes. Se toma al azar una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean del mismo color?

28.- Ana guarda en el cajón de su armario 6 camisetas: 2 blancas, 3 negras y 1 azul. En otro cajón tiene 5 pantalones: 2 negros y 3 azules. Si abre un cajón y coge una camiseta sin mirarla y luego abre el cajón de los pantalones y elige uno, también sin mirarlo, ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean del mismo color?

29.- Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambos dados salgan dos números pares o dos impares?¿ Y de que salga al menos un número par?

30.- En una clase hay 12 chicos y 18 chicas, se eligen consecutivamente dos personas al azar para que sean delegado y subdelegado. Halla la probabilidad de que sean:

a) Las dos del mismo sexob) Un chico y una chica

31.- En una bolsa hay 5 caramelos de limón, 6 de naranja y 4 de cola. Sin mirar, una persona coge un caramelo y, a continuación, otra persona coge otro caramelo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hayan cogido sus caramelos del mismo sabor?

32.- Se extraen sucesivamente y sin devolución dos cartas de una baraja española.¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean del mismo palo?

33.- En una familia con dos hijos, calcula la probabilidad de que:

a) El primero sea chico y la segunda chica.b) Uno de los hijos sea chico y el otro chicac) Al menos tengan una chica.

34.- ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres veces un dado se obtenga sólo un 5?

35.- En un grupo de amigos hay 6 rubios y 10 morenos. Si se escoge al azar tres de ellos. Halla la probabilidad de que:

a) Los tres sean rubiosb) Los tres sean morenosc) Sean 1 rubio y dos morenos

PROBABILIDAD CONDICIONADA

1Sean A y B dos sucesos a leator ios con p(A) = 1/2 , p(B) = 1/3 , p(A

B)= 1/4 . Determinar :

1

2

3

4

5

2Sean A y B dos sucesos a leator ios con p(A) = 1/3 , p(B) = 1/4 , p(A

B) = 1/5 . Determinar :

1

2

3

4

5

6

3En un centro esco la r los a lumnos pueden optar por cursar como

lengua extran jera ing lés o f rancés . En un determinado curso , e l 90% de los

a lumnos estud ia ing lés y e l resto f rancés . E l 30% de los que estud ian ing lés

son ch icos y de los que estud ian f rancés son ch icos e l 40%. E l e leg ido un

a lumno a l azar , ¿cuá l es la p robabi l idad de que sea ch ica?

4De una bara ja de 48 car tas se extrae s imul táneamente dos de e l las .

Ca lcu lar la probab i l idad de que:

1 Las dos sean copas .

2Al menos una sea copas .

3Una sea copa y la o t ra espada.

5Ante un examen, un a lumno só lo ha estud iado 15 de los 25 temas

correspondientes a la mater ia de l mismo. Éste se rea l i za extrayendo a l azar

dos temas y de jando que e l a lumno esco ja uno de los dos para ser

examinado de l mismo. Ha l lar la probabi l idad de que e l a lumno pueda e leg i r

en e l examen uno de los temas estud iados .

6Una c lase está formada por 10 ch icos y 10 ch icas ; la mi tad de las

ch icas y la mi tad de los ch icos han e leg ido f rancés como as ignatura

optat iva .

1 ¿Cuá l es la probabi l idad de que una persona e leg ida a l azar sea

ch ico o estud ie f rancés?

2¿Y la probab i l idad de que sea ch ica y no estud ie f rancés?

7Un ta l ler sabe que por término medio acuden: por la mañana t res

automóvi les con prob lemas e léc tr icos , ocho con prob lemas mecánicos y t res

con prob lemas de chapa, y por la tarde dos con prob lemas e léct r icos , t res

con prob lemas mecánicos y uno con prob lemas de chapa .

1 Hacer una tab la ordenando los datos anter iores .

2Calcu lar e l porcenta je de los que acuden por la tarde.

3Calcu lar e l porcenta je de los que acuden por prob lemas mecánicos .

4Calcu lar la probab i l idad de que un automóvi l con prob lemas

e léc tr icos acuda por la mañana .

8Una c lase consta de se is n iñas y 10 n iños . S i se escoge un comité de

t res a l azar , ha l lar la probabi l idad de:

1 Selecc ionar t res n iños .

2Selecc ionar exactamente dos n iños y una n iña.

3Selecc ionar por lo menos un n iño.

4Selecc ionar exactamente dos n iñas y un n iño.

9Una ca ja cont iene t res monedas . Una moneda es corr iente, ot ra t iene

dos caras y la o t ra está cargada de modo que la probabi l idad de obtener

cara es de 1/3 . Se se lecc iona una moneda lanzar y se lanza a l a i re . Ha l lar

la probabi l idad de que sa lga cara .

10Una urna cont iene 5 bo las ro jas y 8 verdes . Se extrae una bo la y se

reemplaza por dos de l ot ro co lor . A cont inuac ión, se extrae una segunda

bo la . Se p ide:

1 Probab i l idad de que la segunda bo la sea verde.

2Probab i l idad de que las dos bo las extra ídas sean de l mismo co lor .

11En una c lase en la que todos pract ican a lgún deporte , e l 60% de

los a lumnos juega a l fútbo l o a l ba loncesto y e l 10% pract ica ambos

deportes . S i además hay un 60% que no juega a l fútbo l , cuá l será la

probab i l idad de que escogido a l azar un a lumno de la c lase:

1 Juegue só lo a l fú tbo l .

2 Juegue só lo a l ba loncesto .

3Pract ique uno so lo de los deportes .

4No juegue n i a l fú tbo l n i a l ba loncesto .

12En una c iudad, e l 40% de la pob lac ión t iene cabel los castaños, e l

25% t iene o jos castaños y e l 15% t iene cabel los y o jos castaños . Se escoge

una persona a l azar :

1 Si t iene los cabe l los castaños , ¿cuá l es la probabi l idad de que tenga

también o jos castaños?

2Si t iene o jos castaños , ¿cuá l es la probabi l idad de que no tenga

cabel los castaños?

3¿Cuá l es la probabi l idad de que no tenga cabel los n i o jos castaños?

13En un au la hay 100 a lumnos, de los cua les : 40 son hombres , 30

usan gafas , y 15 son varones y usan gafas . S i se lecc ionamos a l azar un

a lumno de d icho curso:

1 ¿Cuá l es la probabi l idad de que sea mujer y no use gafas?

2Si sabemos que e l a lumno se lecc ionado no usa gafas , ¿qué

probab i l idad hay de que sea hombre?

14Disponemos de dos urnas : la urna A cont iene 6 bo las ro jas y 4

bo las b lancas , la urna B cont iene 4 bo las ro jas y 8 bo las b lancas . Se lanza

un dado, s i aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; s i e l

resu l tado es 3 ó más, nos vamos a la urna B . A cont inuac ión ext raemos una

bo la . Se p ide:

1 Probab i l idad de que la bo la sea ro ja y de la urna B .

2Probab i l idad de que la bo la sea b lanca .

15Un estud iante cuenta, para un examen con la ayuda de un

despertador , e l cua l cons igue desperta r lo en un 80% de los casos . S i oye e l

despertador , la probabi l idad de que rea l i za e l examen es 0 .9 y , en caso

cont rar io , de 0 .5 .

1 Si va a rea l i zar e l examen, ¿cuá l es la probabi l idad de que haya

o ído e l despertador?

2Si no rea l i za e l examen, ¿cuá l es la probabi l idad de que no haya o ído

e l despertador?

16En una estanter ía hay 60 novelas y 20 l ibros de poes ía . Una

persona A e l ige un l ibro a l azar de la estanter ía y se lo l leva. A

cont inuac ión otra persona B e l ige otro l ibro a l azar .

1 ¿Cuá l es la probabi l idad de que e l l ib ro se lecc ionado por B sea una

novela?

2Si se sabe que B e l ig ió una novela , ¿cuá l es la probabi l idad de que e l

l ib ro se lecc ionado por A sea de poes ía?

17Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000

mujeres usan ga fas . S i e l número de mujeres es cuatro veces super ior a l de

hombres , se p ide la probabi l idad de encontrarnos :

1 Con una persona s in gafas .

2Con una mujer con gafas .

18En una casa hay t res l laveros A, B y C ; e l pr imero con c inco l laves ,

e l segundo con s iete y e l tercero con ocho, de las que só lo una de cada

l lavero abre la puerta de l t rastero . Se escoge a l azar un l lavero y , de é l una

l lave para abr i r e l t rastero . Se p ide:

1 ¿Cuá l será la probab i l idad de que se ac ie r te con la l lave?

2¿Cuá l será la p robabi l idad de que e l l lavero escogido sea e l tercero y

la l lave no abra?

3Y s i la l lave escogida es la co rrecta , ¿cuá l será la probabi l idad de

que pertenezca a l pr imer l lavero A?