Tema 4 Árboles.

Conceptos Generales.

DefiniciónEstructura de datos

jerárquica (no lineal) que puede representarse como un conjunto de nodos enlazados entre sí por medio de ramas.

Formalmente, un árbol es una estructura da datos que cumple una de las siguientes condiciones:Estructura vacíaNodo de tipo base que tiene

de 0 a N subárboles disjuntos entre sí.

1

3

4

57

9

29 44

17

69

Nodo base: raíz del árbol

Conceptos (I):

Nivel de un nodo: número de nodos a recorrer hasta llegar a él Nivel de la raíz = 1

Profundidad de un nodo: número de predecesores más 1 Profundidad (1) = 1 Profundidad (9) = 3

Altura del árbol: profundidad máxima. Altura = 4

1

3

4

57

9

29 44

17

69

Nivel 1

Nivel 2

Nivel 3

Nivel 4

Conceptos (II): Camino del nodo X al nodo Y:

sucesión de nodos que permitan llegar desde X a Y.

Antecesor: A es un nodo antecesor de B si para alcanzar B, desde el nodo raíz, es necesario pasar por A.

Sucesor: B es un nodo sucesor de A, si A es antecesor de B.

Raíz: único nodo que no tiene antecesor Nodo hoja: nodo sin sucesores Subárbol: árbol formado por un nodo y

sus descendientes Grado de un nodo: número de hijos Grado del árbol: el mayor de los grados

de los nodos Amplitud/anchura del árbol: número

de nodos del nivel más poblado.

1

3

4

57

9

29 44

17

69

Árbol completoTodos los nodos (excepto las hojas) tienen el mismo grado y

los diferentes niveles están poblados por completoPara obtener un árbol completo se pueden generar nodos

especialesEn un árbol completo:

Amplitud del nivel n: An = gn-1

Número de nodos: Nn = 1

3

4

57

9 17

gn -1g -1

Definición.Árbol de grado 2Implementación física:

Estructura estática (matrices)Estructura dinámica

Los nodos de un árbol tienen (al menos) tres componentes:Clave (de tipo simple o estructurada)Puntero que indique la ubicación del árbol derechoPuntero que indique la ubicación del árbol izquierdo

Además: convención para indicar que no tiene hijos (valor null)

0 1 2 3 4 5

clave 1 7 3 4 9 17

Ar.Iz 1 3 5 * * *

Ar.De 2 4 * * * *

1

37

4 9 17

arbol Memoria estática

Memoria dinámica

1

7

3 *

4 * * 9 * *

17 * *

nombre

Arbol

NodoArbol

Definición de las clasesClase Arbol

public class Arbol {String nombre;NodoArbol raiz;

public Arbol () {nombre = null;raiz = null;

}}

Clase NodoArbolpublic class NodoArbol {

int clave;NodoArbol iz;NodoArbol de;

public NodoArbol () { clave = 0;

iz = null;de = null;

} }

Árboles binarios de búsqueda (I).Concepto:

Un árbol binario de búsqueda (ABB) es un árbol binario en el que se verifica que las claves del subárbol izquierdo son menores que las claves del árbol derecho.

Características:Mayor eficiencia en búsquedas.Listado de claves ordenadas: orden

central.

Ejemplo

Árboles binarios de búsqueda (II)