TEMA 3:

TEORÍA DE PERTURBACIONES LINEAL

Friday, November 22, 13

3.1 El universo inhomogéneo •En un universo inhomogéneo, la métrica requiere dos funciones adicionales 𝜓(x,t)  𝛷  (x,t)  que corresponden al potencial Newtoniano y a la perturbación a la curvatura espacial, respectivamente:

|�| ⌧ 1 | | ⌧ 1

gµ⌫ =

0

BB@

�1� 2 (~x, t) 0 0 00 a

2(1 + 2�(~x, t)) 0 00 0 a

2(1 + 2�(~x, t)) 00 0 0 a

2(1 + 2�(~x, t))

1

CCA

•Para calcular las ecuaciones de las perturbaciones en temperatura de los fotones y en densidad de materia, debemos calcular primero las ecuaciones de Einstein a primer orden en teoría de perturbaciones lineal: símbolos de Christoffel para lamétrica perturbada!

�µ↵� =

g

µ⌫

2

✓@g↵⌫

@x

�+

@g�⌫

@x

↵� @g↵�

@x

⌫

◆

�0µ⌫ =

1

2g0↵(g↵µ,⌫ + g↵⌫,µ � gµ⌫,↵)•Empecemos por:

�0µ⌫ =�1 + 2

2(g0µ,⌫ + g0⌫,µ � gµ⌫,0)

�000 = ,0�00i = �

0i0 = ,i = iki

�0ij =1� 2

2

@

@t(�ija

2(1 + 2�)) = �ija2(H + 2H( � �) + �,0)

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3.1 El universo inhomogéneo �µ↵� =

g

µ⌫

2

✓@g↵⌫

@x

�+

@g�⌫

@x

↵� @g↵�

@x

⌫

◆

�i00 =ikia2 �i

j0 = �i0j = �ij(H + �,0) �i

jk = i�(�ijkk + �ikkj + �jkki)

•Ahora podemos calcular el tensor de Ricci y el escalar de Ricci (R=g𝝁𝛎R𝝁𝛎):

Rµ⌫ = �↵µ⌫,↵ � �↵

µ↵,⌫ + �↵�↵�

�µ⌫ � �↵

�⌫��µ↵

R00 = �↵00,↵ � �↵

0↵,0 + �↵�↵�

�00 � �↵

�0��0↵

•Ejercicio para el próximo día:

R00 = �3a

a� k2

a2 � 3�,00 + 3H(�,0 � 2 ,0)

Rij = �ij

✓(2a2H2 + a

d2a

dt2)(1 + 2�� 2 ) + a2H(6�,0 � ,0) + a2�,00 + k2�

◆+ kikj( + �)

R+ �R = 6

a

a+

✓a

a

◆2!

� 12

✓H2 +

a

a

◆+ 2

k2

a2 + 6�,00 � 6H( ,0 � 4�,0) + 4

k2�

a2

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3.2 Ecuaciones de Einstein en teoría de perturbaciones

•Hemos visto en la primera lección:

Gµ⌫ = 8⇡GTµ

⌫

G00 = g00

✓R00 �

1

2g00R

◆= (�1 + 2 )R00 �

R2

�G00 = �6H�,0 + 6 H2 � 2

k2�

a2

⇢ =g

(2⇡)3

ZE(~p)f(~x, ~p)d3xd3pTµ

⌫ =

0

BB@

�⇢ 0 0 00 p 0 00 0 p 00 0 0 p

1

CCA

•Función de distribución a orden lineal en teoría de perturbaciones:•Para bariones y materia oscura: ρ  (1+δ),    δ  es la perturbación en densidad•Para fotones,

•Para neutrinos,

T 00 = �⇢�(1 + 4⇥0)

T 00 = �⇢�(1 + 4N0)

k2�+ 3a

a

✓�� a

a

◆= 4⇡Ga2(⇢dm�dm + ⇢b�b + 4⇢�⇥0 + 4⇢�N0)

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3.2 Ecuaciones de Einstein en teoría de perturbaciones

•De la componente i-j:

Gµ⌫ = 8⇡GTµ

⌫

donde Θ y N son los momentos cuadrupolares del foton y del neutrino.

k2( + �) = �32⇡Ga2(⇢�⇥2 + ⇢⌫N2)

•De las otras dos combinaciones de componentes se pueden extraer otras dos ecuaciones de Einstein que no utilizaremos y por lo tanto las dejo como ejercicio!

•La componente 0-0, que hemos visto anteriormente:

k2�+ 3a

a

✓�� a

a

◆= 4⇡Ga2(⇢dm�dm + ⇢b�b + 4⇢�⇥0 + 4⇢�N0)

es la Ecuación de Poisson en el límite en el que la expansión del universo se puede ignorar:

�r2� = 4⇡G�⇢

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T

µ⌫;µ ⌘ @T

µ⌫

@x

µ+ �µ

↵µT↵⌫ � �↵

⌫µTµ↵

•En un universo en expansión, la conservación del tensor energía momento implica que la derivada covariante de dicho tensor es cero:

Tµ⌫;µ = 0

3.3 Perturbaciones en las distintas componentes

•A primer orden en teoría de perturbaciones:

T 00 = �(⇢+ �⇢) = �⇢(1 + �)

T 0i = (⇢+ p)vi = �T i

0

✓ = ikjvj

Comenzaremos por la materia oscura, ya que es el caso más sencillo (no interacciona)

T 0i;0 = 0

T 00;0 = 0 � = �(1 + w)(✓ + 3�)� 3

a

a

✓�p

�⇢� w

◆�

✓ = � a

a(1� 3w) ✓ � w

1 + w✓ +

�p�⇢

1 + wk2� + k2

�dm = �(✓dm + 3�) ✓dm = � a

a✓dm + k2

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Calculemos ahora cómo evoluciona la perturbación en materia oscura. De las ecuaciones:

3.4 Ecuación del crecimiento de estructuras

�dm = �(✓dm + 3�) ✓dm = � a

a✓dm + k2

k2�+ 3a

a

✓�� a

a

◆= 4⇡Ga2(⇢dm�dm + ⇢b�b + 4⇢�⇥0 + 4⇢�N0)

Estamos interesados en escalas pequeñas (k grande), en el límite cuasi-estático (Newtoniano), en el cual las derivadas temporales se pueden despreciar comparadas con los gradientes espaciales:

�dm = �(✓dm) =a

a✓dm � k2 = � a

a�dm + k2�

�dm +a

a�dm = 4⇡Ga2⇢dm�dm

�dm + 2H �dm = 4⇡G⇢dm�dm

Si ahora escribimos derivadas en función del factor de escala a:

�00 +

✓3

a+

H 0

H

◆�0 = 3⌦m,0a

�3H20/2H

2 �

a2

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3.5 Ecuaciones de perturbaciones en fotonesYa hemos visto la ecuación de Boltzmann en la lección pasada. Sin embargo, esta vez necesitamos aplicarla a la función de distribución de las partículas, y no a la densidad de partículas, que es la integral de la función de distribución. Por lo tanto,el cálculo será más complicado! df

dt= Cf

segundo orden!df

dt

=@f

@t

+@f

@x

i

dx

i

dt

+@f

@p

dp

dt

+@f

@p

i

dp

i

dt

df

dt=

@f

@t+

pi

a

@f

@xi� p

@f

@p

✓H +

@�

@t+

pi

a

@

@xi

◆

los fotones pierdenenergía en un universoen expansión

Efectos de los potenciales gravitacionales en el fotón

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3.5 Ecuaciones de perturbaciones en fotonesAhora necesitamos expandir a primer orden en teoría de perturbaciones la función de distribución del fotón:

A orden 0, T es sólo una función del tiempo (escala con el factor de escala a-1), y la perturbación está descrita por

⇥ ⌘ �T

T

f(~x, p, p, t) =

1

exp

⇣p

T (t)(1+⇥(~x,p,t)

⌘� 1

= f

0 � p

@f

0

@p

⇥

Luego a orden 0, df/dt= @f0

@t�Hp

@f0

@p= 0

@f0

@t=

@f0

@T

dT

dt= �dT/dt

Tp@f0

@pPero:

Luego: �dT/dt

T� da/dt

a= 0 ! T / 1

a

a primer orden, desprecio el término de colisiones

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3.5 Ecuaciones de perturbaciones en fotonesAhora necesitamos expandir a primer orden en teoría de perturbaciones la función de distribución del fotón:

A orden 0, T es sólo una función del tiempo (escala con el factor de escala a-1), y la perturbación está descrita por

⇥ ⌘ �T

T

f(~x, p, p, t) =

1

exp

⇣p

T (t)(1+⇥(~x,p,t)

⌘� 1

= f

0 � p

@f

0

@p

⇥

A primer orden, df/dt=

�p

@f

0

@p

✓@⇥

@t

+p

i

a

@⇥

@x

i+

@

@t

+p

i

a

@�

@x

i

◆

efectos debidos a la expansión del universo

efectos debidos a la gravedad

Ahora sólo nos falta el término de colisiones C de la ecuación de Boltzmann para los fotones!

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3.5 Ecuaciones de perturbaciones en fotonesEn el universo temprano, los fotones permanecen unidos a los electrones y positrones via el proceso Compton:

donde:•σT es la sección eficaz de Compton•ne es la densidad de electrones•vb es la velocidad de los electrones•y el monopolo de la distribución:

e�(~q) + �(~p) $ e�(~q0) + �(~q0)

Y, para este proceso, Cf viene dado por:

�p@f0

@pne�T (⇥0 �⇥(p) + p · ~vb)

⇥0(~x, p) ⌘ 1/4⇡

Zd⌦0⇥(p0, ~x, t)

Notar que, si vb=0, lo que provoca el proceso de Compton es una distribución tipo monopolo, siendo la temperatura del cielo uniforme, independiente de la dirección en la que miramos. Si vb no es 0, los fotones también poseerán un momento dipolar, determinado por la amplitud y dirección de vb.

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3.5 Ecuaciones de perturbaciones en fotonesFinalmente, podemos escribir la ecuación de Boltzmann para los fotones a primer orden como:

�p@f0

@pne�T (⇥0 �⇥(p) + p · ~vb)�p

@f

0

@p

✓@⇥

@t

+p

i

a

@⇥

@x

i+

@

@t

+p

i

a

@�

@x

i

◆=

En tiempo conforme y reemplazando las variables en sus trasformadas de Fourier:

˙⇥+ ikµ⇥+ ˙�+ ikµ = �⌧(⇥0 � ⇥+ µvb)

es decir ⇥(~x) =

Zd

3k/(2⇡)3⇥(~k)ei

~

k~x

µ ⌘~k · pk

⌧ ⌘ �ne�Ta

y la propagación del fotón y la profundidad óptica se definen como:

mu is the cosine of the angle between the wavenumber k and the proton propagation. The wavevector k is pointing in the direction in which the temperature is changing. When mu=1 the photon is aligned with k, and it is traveling in the direction the temperature is changing. A photon traveling in the direction in which the temperature is the same has mu=0

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3.5 Ecuaciones de perturbaciones en barionesProtones y electrones son considerados como bariones y están acoplados entre sí via el proceso de Coulomb:e+p e+p, y sus perturbaciones son idénticas:

⇢e � ⇢0e⇢0e

=⇢p � ⇢0p

⇢0p⌘ �b ~ve = ~vp ⌘ ~vb

La perturbación en densidad es exactamente igual que la de la materia oscura:

La perturbación en velocidad es idéntica a la de materia oscura, excepto por el término de colisiones:

˙vb +a

avb + ik = ⌧

4⇢�3⇢b

(3i⇥1 + vb)

˙�b + ikvb + 3 ˙� = 0

⇥1 ⌘ i

Z 1

�1dµ/2µ⇥(µ)

es el momento dipolarNotice that moving electrons is difficult because they are tightly coupled to photons via Coulomb scattering.If the proton was infinitely heavy, Compton scattering will not change at all the electron-proton fluid velocity.

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k2�+ 3a

a

✓�� a

a

◆= 4⇡Ga2(⇢dm�dm + ⇢b�b + 4⇢�⇥0 + 4⇢�N0)

k2( + �) = �32⇡Ga2(⇢�⇥2 + ⇢⌫N2)

˙�b + ikvb + 3 ˙� = 0 ˙vb +a

avb + ik = ⌧

4⇢�3⇢b

(3i⇥1 + vb)

˙�m + ikvm + 3 ˙� = 0 ˙vm +a

avm + ik = 0

˙⇥+ ikµ⇥+ ˙�+ ikµ = �⌧(⇥0 � ⇥+ µvb)

N + ikµN = � ˙�� ikµ

Ecuaciones de Eisntein

Bariones

Materia Oscura

Neutrinos

Fotones

•Estas ecuaciones rigen la evolución de las perturbaciones en el universo. •Pero, para integrarlas, necesitamos conocer las condiciones iniciales!•Teorías inflacionarias

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