Tema 3. Derivadas

Teoremas sobre la derivación

Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

Teorema de Fermat

Si f (x) tiene un extremo relativo en un punto x0, en el cual f ‘(x) está definida, entonces f ‘(x0) = 0.

Punto crítico de una funciónSi f está definida en x0, se dirá que x0 es un punto crítico de f si f ‘(x0) = 0 o si f ’ no está definida en x0.

Interpretación gráfica

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Teorema de Rolle

Si f (x) es una función continua en [a,b], derivable en (a,b) y tal que f (a) = f (b), entonces existe al menos un punto c (a,b) tal que f ‘(c) = 0.

Interpretación gráfica

EjemploEstudiar si se cumplen las condiciones del teorema de Rolle para f (x) = | x – 4 | en el intervalo [-3,3]

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Teorema de Lagrange o del valor medio

Si f (x) es una función continua en [a,b] y derivable en (a,b), entonces existe al menos un punto c (a,b) tal que

ab

afbfcf

'

Interpretación gráfica

EjemploEstudiar si se cumplen las condiciones del teorema de Lagrange para f (x) = x2 – 2x en el intervalo [0,1]

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Teorema de Cauchy

Si f (x) y g(x) son funciones continuas en [a,b], derivables en (a,b) y se verifica que g(a) ≠ g(b) y g‘(x) ≠ 0 para x (a,b), entonces existe al menos un punto c (a,b) tal que

agbg

afbf

cg

cf

'

'

EjemploEstudiar si f (x) = x2 + 1 y g(x) = x3 – x verifican el teorema de Cauchy en el intervalo [1,2]

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Regla de L’Hôpital

Sean f (x) y g(x) dos funciones derivables en (a,b) y tal que g‘(x) ≠ 0 en (a,b). Si f (x) y g(x) tienden a 0 o ambas tienden a ±∞, entonces

xg

xf

xg

xf

'

'limlim

En esta expresión el límite puede ser cuando x tiende a un valor finito o infinito.

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Fórmula de Taylor

Polinomio de Taylor de la función f en x = x0:

n

i

ii

nnn

xxxfi

xxxfn

xxxfxxxfxfxP

000

)(

00)(2

00000

))((!

1

))((!

1))((''

!2

1))((')()(

EjemploHallar el polinomio de Taylor de grado 6 para la función f (x) = ln (x +1) en un entorno de 0.

(Aproximación de funciones mediante un polinomio de grado n)

Residuo: 10

)1( ))(()!1(

1)()()(

nn

n xxfn

xPxfxR

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