Tema 2 Polinomios y fracciones algebraicas
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Polinomios y
Fracciones algebraicas
Introducción.Polinomios.
Un polinomio en una indeterminada x es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios .
Ejemplo
El Grado de un polinomio es el mayor de los grados de los términos que lo forman.
P(x )=−7 x3+4 x2
−5
Términos CoeficientesGrados
Introducción.
Igualdad de Polinomios. Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes delos términos semejantes son iguales
Suma y resta de Polinomios. Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términosSemejantes. Para restar se suma el minuendo con el opuesto delSustraendoEjemoplo: P( x)=2 x4
− x2+3 y Q(x )=x3
+2x2−x+1
P (x)+Q(x )=2 x4+ x3
+(−1+2) x2−x+(3+1)=2 x4
+x3+ x2
−x+4P(x )−Q (x)=2 x4
−x3+(−1−2) x2
−x+(3−1)=2 x4−x3
−3 x2+x+2
Introducción.
Producto de Polinomios. Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada termino del primerpolinomio por todos los términos del segundo polinomio y se agrupan lostérminos semejantes. Ejemoplo:
P(x )=2x 4−x2
+3 y Q (x)=x3+2 x2
− x+1P(x )⋅Q( x)=2 x4
⋅(x3+2 x2
− x+1)−x2⋅(x3
+2 x2−x+1)+3⋅( x3
+2 x2−x+1)=
=2 x7+4 x6
−2 x5+2 x4
− x5−3 x2
−2 x4 x−x3
− x2+3 x3
+6 x2−3 x+3=
=2 x7+4 x6
−3 x5+3 x3
+2 x2−3 x+3
Introducción.
La potencia de base un polinomio y de exponente n natural se define como:
Potencias de polinomios. [ p (x)]n
[ p (x)]n=p( x)⋅p (x)⋅…⋅p (x) n vecesProductos notables.
(a+b)2=a2
+2⋅a⋅b+b2
(a−b)2=a2
−2⋅a⋅b+b2
(a+b)⋅(a−b)=a2−b2
(a+b)3=a3
+3⋅a2⋅b+3⋅a⋅b2
+b3
(a−b)3=a3
−3⋅a2⋅b+3⋅a⋅b2
−b3
Introducción.
División de polinomiosLa división de dos polinomios llamados dividendo y divisor, consiste en encontrar otros dos polinomios llamados cociente y resto que cumplen:● Dividendo = divisor · Cociente + Resto● Grado del Resto < Grado del divisor.
Además el Grado del cociente será la diferencia entre los grados del dividendo y del divisor.
3 x4−4 x3
+5 x2−2 x+12 x2
−3 x+5−3 x4
+9 x3−15 x2 3 x2
+5 x+55 x3
−10 x2−2 x
−5 x ³+15 x2−25 x
5 x2−27 x+12
−5 x2+15 x−25−12x−13
Cociente
Resto
Dividendo divisor
1 Regla de RuffiniLa regla de Ruffini nos permite calcular los coeficiente del cociente y el resto de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x-a) donde “a” es un número real.Ejemplo:
(2 x3+3 x2
+x−4 ) :(x−1)
= Resto
2 x2+5 x+6Cociente =
1
1
2
22
2 3 -4
556
6
2 Teorema del resto y el Factor
Valor numérico de un polinomios.
Teorema del resto
Llamamos Valor numérico de un polinomio al resultado de sustituir la indeterminada por el número dado:
P(x )=x3−3 x2
+2 x−5si x=0 P(0)=03
−3⋅02+2⋅0−5=−5
si x=2 P (2)=23−3⋅22
+2⋅2−5=−5
El resto de la división de un polinomio P(x) por (x-a) es igual al valor numérico del polinomio para x=a
Teorema del factorun polinomio P(x) tiene como factor (x-a) , o es divisible por el monomio (x-a), si el valor numérico del polinomio para x=a es cero. Luego el polinomio puede escribirse como P(x)=(x-a) · C(x)
3 Factorización de polinomiosLlamamos Raíz de un polinomio P(x) , a cada uno de los números “a” para los cuales el valor numérico del polinomio es cero .
Las raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente, siempre que este no sea nulo
a es raíz de P(x )⇔ P(a)=0
● Descomposición factorial de un polinomioEl polinomio de grado n
Con n raíces x1, x2, … xn queda descompuesto de la forma siguiente:
P(x )=an xn+an−1 xn−1
+…+a1 x+a0
P(x )=an⋅(x−x1)⋅(x−x2)⋅…⋅(x− xn)
4 Fracciones AlgebraicasLlamamos Fracción algebraica al cociente de dos polinomios
P(x )
Q(x )● Fracciones Algebraicas Equivalentes
Son Equivalentes
P(x )
Q(x ) y
R (x)T (X)
⇔P( x)⋅T ( x)=R(x )⋅Q( x)
Si multiplicamos o dividimos el numerador y denominador de una fracción algebraica por un mismo polinomio, obtenemos una fracción equivalente a la original.
5 Operaciones con Fracciones Algebraicas
● Fracciones Algebraicas irreducibles.Son aquellas cuyo numerador y denominador son primos entre sí.
● Simplificación de Fracciones Algebraicas.Para simplificar Fracciones algebraica se divide numerador y denominador por el MCD.● Suma y resta de Fracciones Algebraicas.Se reducen a común denominador y se suman o restan los numeradores. Finalmente se transforma en una fracción irreducible.
● Producto de Fracciones Algebraicas.Se multiplican los numeradores y denominador. Finalmente se transforma en una fracción irreducible.● Cociente Fracciones Algebraicas.Se multiplica la primera por la inversa de la segunda. O bien, se multiplican los términos cruzados. Finalmente se transforma en una fracción irreducible.