Números racionales. Teoría

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Matemáticas TEMA 2

Números racionales. Teoría

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Matemáticas TEMA 2

1.- Números racionales

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos

enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por

Las fracciones también pueden ser negativas

Otra forma de representar los números racionales consiste en utilizar cifras decimales, por

ejemplo 2

5 se puede escribir 0,4. Cualquier fracción se puede escribir como un numero decimal

y cualquier numero racional decimal se puede escribir en forma de fracción, a esa fracción se

le llama fracción generatriz de un número decimal.

Existen distintos tipos de números decimales:

1. Decimal exacto: La parte decimal de un número decimal exacto está

compuesta por una cantidad finita de términos.

Para hallar la fracción generatriz escribimos una fracción que tiene como numerador el

número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras

decimales tenga.

Ejemplo:

2. Periódico puro: La parte decimal, llamada periodo, se repite infinitamente.

Ejemplo:

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Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el número

dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por

tantos nueves como cifras tenga el período.

3. Periódico mixto: Su parte decimal está compuesta por una parte no periódica y

una parte periódica o período.

Ejemplo:

Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el número

dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas, y

por denominador, un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período,

seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.

4. No exactos y no periódicos: Hay números decimales que no pertenecen a

ninguno de los tipos anteriores, este tipo de números se llaman irracionales y

tienen infinitas cifras decimales y no se pueden expresar en forma de fracción

Ejemplo:

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√2

2.- Fracción propia e impropia

Se llama FRACCIÓN PROPIA a aquella cuyo valor es menor que la unidad.

En la práctica ocurre cuando el denominador es mayor que el numerador.

Ejemplos:

5

7;

−4

5;

7

10;

−2

3, 𝑒𝑡𝑐

Se llama FRACCIÓN IMPROPIA a aquella cuyo valor es mayor que la unidad. En ese caso la

fracción es suma de un número entero y una fracción propia.

En la práctica ocurre cuando el denominador es menor que el numerador.

Ejemplo:

7

3=

3

3+

3

3+

1

3= 1 + 1 +

1

3= 2 +

1

3

2.- Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes (tienen el mismo valor)

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

si a.d = c.b

Ejemplo:

3

4=

6

8 3 ∙ 8 = 6 ∙ 4 = 24

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Si se multiplica o divide el numerador y el denominador de una fracción por un número entero

distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada.

5

7= ⟦∙ 2⟧

10

14= ⟦∙ 3⟧

15

21= ⟦∙ 5⟧

25

35

También podemos dividimos numerador y denominador por un mismo número, que debe ser

divisor común a ambos:

450

700= ⟦: 5⟧

90

140= ⟦: 5⟧

18

28= ⟦: 2⟧

9

14

Si la fracción resultante no se puede reducir más, se llama IRREDUCIBLE y se dice que es el

representante canónico del número racional.

Para hallar de forma rápida la fracción irreducible se divide numerador y denominador por el

máximo común divisor de ambos:

M.c.d. ( 450 y 700 ) = 2.52 = 50

450

700= ⟦: 50⟧ =

9

14

4.- Comparación de fracciones

Dos fracciones sólo pueden compararse si tienen IGUAL denominador o IGUAL numerador.

Fracciones con igual numerador

En expresión decimal serían:

3 / 4 = 0,75

3 / 5 = 0,6

Vemos que 0,75 es mayor que 0,6 (0,75 > 0,6)

Luego 3 / 4 es mayor que 3 / 5 3 / 4 > 3 / 5

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Conclusión: Si dos fracciones tienen igual numerador, es mayor la que tenga menor

denominador.

Fracciones con igual denominador

Ejemplo: 3 / 7 y 2 / 7

En expresión decimal serían:

3 / 7 = 0,4285

2 / 7 = 0,2857

Vemos que 0,4285 es mayor que 0,2857

Luego 3 / 7 es mayor que 2 / 7

Conclusión: Si dos fracciones tienen igual denominador, es mayor la que tenga mayor

numerador.

Fracciones con distinto denominador

Como para comparar dos fracciones deben tener igual denominador para ello se reducen a

común denominador, es decir se calcula el mcm (mínimo común múltiplo) de los

denominadores

Ejemplo 1

2 𝑦

3

7

Mcm (2 y 7) = 14 → 7∙1

14=

7

14 y

2∙3

14=

6

14

7

14>

6

14 →

1

2>

3

7

5.- Sumas y restas

Para SUMAR o RESTAR fracciones, se transforman en otras equivalentes que tengan un

denominador común a todas ellas, y se suman entre sí los nuevos numeradores, atendiendo a

sus signos.

Si en dichas operaciones hay números enteros, se convierten previamente en fracciones.

Ejemplo:

5

7+

4

7=

9

7

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9

7 , que es una fracción impropia pues 9 > 7

Como tienen ambas fracciones denominador común, el 7, el resultado es otra fracción con

igual denominador y como numerador la suma de numeradores.

Ejemplo:

4

7−

2

5=

20

35−

14

35=

20 − 14

35=

6

35

6

35 , que es una fracción propia pues 6 < 35

Como 7 y 5 son primos entre sí, el denominador común es el producto de denominadores.

Ejemplo:

6

7− 2 =

6

7−

2

1=

6

7−

14

7=

6 − 14

7=

−8

7

Como el 2 no es una fracción, lo convertimos en fracción dividiéndolo entre la unidad.

El denominador común de 7 y 1 es 7

6.- PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA FRACCIÓN

Para multiplicar un número por una fracción se multiplica dicho número por el numerador de

la fracción, dejando el denominado invariable.

Ejemplo:

5 ∙ 4

6=

5.4

6=

20

6 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑠

10

3

Ejemplo:

(−7) ∙ 3

14=

(−7).3

14=

−21

14 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑠

−3

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INVERSA DE UNA FRACCIÓN

La inversa de un número a es 1 / a

La inversa de una fracción a / b es:

𝑏 ∙ 1

𝑎=

1 ∙ 𝑏

𝑎=

𝑏

𝑎

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7.- DIVISIÓN DE FRACCIONES

Para dividir dos fracciones se multiplica a la primera la inversa de la segunda.

Ejemplo:

5

7∶

4

6=

5

7 ∙

6

4=

30

28

pues la inversa de 4/6 es 6/4

Con este método de dividir se evita emplear “castillos” en las operaciones.

JERARQUÍA EN LAS OPERACIONES

Son unas normas básicas de operar con números:

Primero se realizan los PARÉNTESIS, si les hay.

Si hay paréntesis anidados ( uno dentro de otro) se opera de dentro hacia fuera.

Segundo las POTENCIAS y RAÍCES, si las hay.

Tercero los PRODUCTOS y DIVISIONES, si los hay.

Cuarto las SUMAS y RESTAS, si las hay

Si hay una igualdad en el orden o jerarquía en las operaciones, se opera de IZQUIERDA a

DERECHA.

8.- POTENCIAS DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

Para elevar una fracción a una potencia, se elevan a dicha potencia el numerador y el

denominador.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (6

7)

2

= 62

72=

36

42

Las potencias también pueden ser un número fraccionario.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: ⌊(3

4)

12

⌋

3

= (3

4)

32

Las potencias de números fraccionarios tienen las mismas propiedades que las de los números

enteros.

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9.- Radicales Se denomina radical de índice n de un número a, o raíz n-ésima de un número a, al número que elevado a n nos da a. De esta forma, diremos que b es la raíz n-ésima de a siempre que bn = a:

√𝑎𝑛

= 𝑏 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑏𝑛 = 𝑎 Ejemplo:

Resuelve √2163

1. descomponemos el radicando en factores primos: 216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1

2. Como es una raíz cúbica, intentamos agrupar los factores en tres grupos iguales: 216 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = (2 ∙ 3) ∙ (2 ∙ 3) ∙ (2 ∙ 3) = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 63 Como 63 = 216

√2163

= 6

𝐼) 𝑎−𝑛 = (1

𝑎)

𝑛

= 1

𝑎𝑛

𝐼𝐼) (𝑎

𝑏)

𝑛

= 𝑎𝑛

𝑏𝑛

𝐼𝐼𝐼) (𝑎

𝑏)

−𝑛

= 𝑏𝑛

𝑎𝑛

𝐼𝑉) (𝑎

𝑏)

𝑛

∙ (𝑎

𝑏)

𝑚

= (𝑎

𝑏)

𝑛+𝑚

𝑉) (𝑎

𝑏)

𝑛

: (𝑎

𝑏)

𝑚

= (𝑎

𝑏)

𝑛−𝑚

𝑉𝐼) [(𝑎

𝑏)

𝑛

]𝑚

= (𝑎

𝑏)

𝑛 ∙𝑚

𝑉𝐼𝐼) (𝑎

𝑏)

𝑛

∙ (𝑐

𝑑)

𝑛

= (𝑎

𝑏 ∙

𝑐

𝑑)

𝑛

= (𝑎 ∙ 𝑐

𝑏 ∙ 𝑑)

𝑛

𝑉𝐼𝐼𝐼) (𝑎

𝑏)

𝑛

: (𝑐

𝑑)

𝑛

= (𝑎

𝑏∶

𝑐

𝑑)

𝑛

= (𝑎 ∙ 𝑑

𝑏 ∙ 𝑐)

𝑛

Recordatorio: operaciones con potencias:

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Los resultados que podemos obtener al calcular una raíz n-ésima dependen de si el índice de la raíz es par o impar.

9.1.- Producto y división de radicales A la hora de operar con radicales resultan muy útiles las siguientes expresiones que nos permiten convertir cualquier radical en una potencia de índice fraccionario:

√𝑎𝑛

= 𝑎1

𝑛 y √𝑎𝑚𝑛= 𝑎

𝑚

𝑛 Ejemplo:

Resuelve √113

∙ √115 1. Expresamos los radicales como potencias de exponente fraccionario:

√113

∙ √115 = 1113

∙ 1152

2. Resolvemos aplicando las propiedades de las potencias:

1113

∙ 1152 = 11

13

+52

= 11176

Podemos expresar el resultado en forma de radical:

√11176

9.2.- Extracción de factores de un radical Utilizando la expresión que convierte los radicales en potencias, podemos simplificar determinadas expresiones extrayendo factores de una raíz.

√1153 = 11

53

= 1133

+ 23 = 11

33

∙ 1123 = 11 ∙ 11

23

En algunas ocasiones tendrás que descomponer el radicando para averiguar qué factores primos lo forman. Ejemplo:

Resuelve √180 1. Descomponemos el radicando en factores primos: 180 = 22 ∙ 32 ∙ 5

2. Extraemos los factores fuera de la raíz cuadrada

√180 = 2 ∙ 3 ∙ √5 = 6 ∙ √5

En resumen, cada vez que tengamos n factores iguales dentro de una raíz n-ésima podemos sacar estos factores como uno solo que multiplica la raíz.

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9.3. Suma y resta de radicales Ejemplo:

Resuelve √45 + 3 √20 − 11 √63 1. Descomponemos todos los radicandos en factores primos: 45 = 32 ∙ 5 20 = 22 ∙ 5 63 = 32 ∙ 7

2. Extraemos todos los factores que sea posible en cada radical:

√45 = 3 √5

√20 = 2 √5

√63 = 3 √7 Solo podemos sumar radicales si al extraer factores de ellos resultan ser el mismo radical multiplicando por distintos números. Si esto no es así y los radicales son distintos, lo único que podemos hacer es dejar la operación indicada.