Tema 19 Tecnicas De Recuento

Si un primer experimento se puede hacer de m formas diferentes y un segundoexperimento de n formas diferentes,entonces los dos experimentos juntos se pueden hacer de m. n formas diferentes.

Modelos diferentes de camisetas según color, talla y calidad:

1. Diagrama en árbol: Principio general de recuento

MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTO Javier Fernández

Variaciones ordinarias o sin repetición de m elementos tomados de n en n (n ≤ m), son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:

• En cada grupo entren n elementos distintos.• Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento o en el orden de

colocación.El número de variaciones ordinarias se representa por Vm,n.

Vm,n = m (m – 1) (m – 2) …(m – n + 2) (m – n + 1)

¿De cuántas formas pueden llegar 8 corredores a la meta?

2. Variaciones sin repetición


Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n, son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:

• En cada grupo entren n elementos repetidos o no.• Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento o en el orden de

colocación.El número de variaciones con repetición se representa por VRm,n.

VRm,n = mn

¿Cuántos resultados distintos sePueden obtener al lanzar dosdados?

3. Variaciones con repetición


Permutaciones ordinarias de n elementos son los distintos grupos que se pueden formar de manera que:

• En cada grupo entren n elementos.• Dos grupos son distintos si difieren en el orden de colocación de los elementos.El número de permutaciones ordinarias de n elementos se representa por Pn.

Si en un campeonato participan 5 equipos,¿de cuántas formas pueden llegar a la meta?

Pn = n (n – 1) (n – 2) … 3 . 2 . 1

4. Permutaciones sin repetición


n! = n . (n–1) . (n–2) . ........ . 3 . 2 . 1

Observa Vm,n = m . (m–1) . (m–2) . …. . (m – n + 1) =

m (m –1) (m–2) … (m – n +1) (m – n) (m – n –1)....2.1

(m – n) (m – n –1)....2.1= =

m!

(m – n)!

• Haciendo m = n, para conservar la validez de la fórmula debe ser 0! = 1• La notación n! permite escribir de manera compacta números grandes.• El número 100! tiene 158 cifras.

100!= 9332621544394415268169923885626670049071596826438162146859296389521759999322991560894146397615651828625369792082722375825118521

0916864000000000000000000000000

5. Factorial de un número natural


Combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n (n ≤ m), son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:

• En cada grupo entren n elementos distintos.• Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento.

El número de combinaciones ordinarias se representa por Cm,n

m, nm, n

n

VC

P=

¿De cuántas formas se pueden elegir tres asignaturas optativas entre cinco?

Biología

Física

Historia

Latín

Matemáticas

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

C5,3 = V5,3

P3

= 10

6. Combinaciones sin repetición


Esto también se puede escribir de la siguiente forma:

m (m –1) (m–2) … (m – n +1) (m – n )!

m! (m – n)!=

m!

m! (m – n)!Cm,n =

( )mnEsta última expresión recibe el nombre de número combinatorio

m (m–1) ... (m – n +1)

n!

En general: Cm,n = Vm,n

Pn

=

7. Números combinatorios


( )m0 = 1

( )mm = 1

( )mn = ( )m

m – n

( )mn = ( )m

n – 1 + ( )m + 1n

8. Propiedades de los números combinatorios


1 ( )10

1 1 ( )11( )1

0

1 2 1 ( )21 ( )2

2( )20

1 3 3 1 ( )31 ( )3

2( )30 ( )3

3

1 4 6 4 1 ( )41 ( )4

2( )40 ( )4

3 ( )44

1 5 10 10 5 1 ( )51 ( )5

2( )50 ( )5

3 ( )54 ( )5

5

Triángulo de Pascal

1 6 15 20 15 6 1 ( )61 ( )6

2( )60 ( )6

3 ( )64 ( )6

5 ( )66

( )m0• = ( )n

n = 1 ( )mm• = ( )m

m–n ( )mn• + ( )m

n–1 ( )m+1n

9. Números combinatorios: Triángulo de Pascal o Tartaglia


=

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

(a + b)1 = a + b

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3 b2 + 6a2 b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 +5ab4 + b5

1 3 3 1

1 1

1 2 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Fórmula del binomio de Newton

Los números se llaman coeficientes binomiales.( )ni

ab n=n0ann

1an−1 b. . . n

ian−ib i. . . n

n−1ab n−1 n

nb n

10. Potencia de un binomio


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