Tema 17 Iniciacion A La Derivada
7
Click here to load reader
Transcript of Tema 17 Iniciacion A La Derivada
La tasa de variación media tm de la función f(x) en el intervalo [x, x + h] viene dada por:
m
var iación de la función f (x h) f (x)t
var iación de la var iable independiente h
+ −= =
La tasa de variación media de una función da una idea de la rapidez con que creceo decrece la función en un intervalo por unidad de incremento de la variableindependiente.
1. Tasa de variación media
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 17. INICIACIÓN A LA DERIVADA Javier Fernández
La tasa de variación instantánea ti es el límite de las tasas de variación mediacuando los intervalos de la variable independiente se hacen cada vez máspequeños.
ih 0
f (x h) f (x)t lim
h→
+ −=
2. Tasa de variación instantánea
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 17. INICIACIÓN A LA DERIVADA Javier Fernández
La derivada de una función en un punto x es el límite, si existe, dado por:
h 0
f (x h) f (x)lim
h→
+ −
Si una función f es derivable en un punto x = a, la derivada de la función en dichopunto viene dada por la expresión:
h 0
f (a h) f (a)Df (a) f '(a) lim
h→
+ −= =
h 0
f (2 h) f (2)f '(2) lim
h→
+ −= =
2 2
h 0
(2 h) 2lim
h→
+ −= =2
h 0
4 4h h 4lim
h→
+ + −= =
h 0lim(4 h)
→= + = 4
3. Concepto de derivada de una función en un punto
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 17. INICIACIÓN A LA DERIVADA Javier Fernández
La pendiente de la la recta P0P1, secante a la curva es:
2 2 2(2 h) 2 4 4h h 4m 4 h
2 h 2 h
+ − + + −= = = ++ −
A medida que h tiende a 0, el punto P1 va recorriendola curva aproximándose a P0. La rectas secantes P0P1, P0P2, P0P3, … P0Pn se aproximan a la rectatangente, t.
La pendiente de la recta tangente a la curva en elpunto P de coordenadas (x0, f(x0)) es
m = f'(x0). La ecuación de la recta t es:
y – f(x0) = f'(x0) (x – x0)
4. Interpretación geométrica de la derivada
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 17. INICIACIÓN A LA DERIVADA Javier Fernández
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 2:
Para obtener la derivada en el punto x:
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 3:
Se dice que la función derivada (o simplemente derivada) de y = x2 es f '(x) = 2x.
5. Función derivada
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 17. INICIACIÓN A LA DERIVADA Javier Fernández
Df 3=limh 0
f 3h −f 3h
=limh 0
96hh2−9h
=limh 0
h 6hh
=limh 0
6h=6
Df 2=limh 0
f 2h−f 2h
=limh 0
44hh2−4h
=limh 0
h 4hh
=limh 0
4h=4
Df x =limh 0
f xh −f x h
=limh0
x22xhh2−x2
h=lim
h 0
2xhh2
h=lim
h 0
h 2xh h
=limh 0
2xh=2x
6. Derivada de algunas funciones elementales
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 17. INICIACIÓN A LA DERIVADA Javier Fernández
Nombre de la Función Función Derivada
Potencial y = xn y'= nxn–1
Logarítmica y = Lx y'=
Exponencial y = ax y' = ax La
Seno y = sen x y' = cos x
Coseno y = cos x y' = – sen x
Operación Función Derivada
Derivada del producto de un nú mero poruna función
y = a . f(x) y'= a . f'(x)
Derivada de la suma de funciones y = f(x) + g(x) y'= f'(x) + g'(x)
Derivada de la diferencia de funciones y = f(x) – g(x) y'= f'(x) – g'(x)
Derivada del producto de dos funciones y = f(x) . g(x) y' = f'(x) g(x) + g' (x) f(x)
Derivada del cociente de dos funciones y = f (x)
g(x)y' =
2
f'(x)g(x) g'(x)f(x)
g (x)
−
7. Derivadas de operaciones de funciones
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 17. INICIACIÓN A LA DERIVADA Javier Fernández
