Tema 16 Funciones Potenciales, Polinomicas Y Racionales

•Las funciones de la forma y = mx + b se llaman lineales. Su gráfica es una recta.• m es la pendiente de la recta.• n es la ordenada para x = 0, y se llama ordenada en el origen.

• (0, 3)

y = 3x +2

1. Función lineal

MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández

•Las funciones de la forma y = ax2 + bx + c con a 0 se llaman cuadráticas.•Su gráfica es una parábola.•Las coordenadas del vértice V(x, y) de la parábola se obtiene del siguiente modo:• La abscisa es la solución de 2ax + b = 0• La ordenada se obtiene hallando la imagen en la parábola de la abcisa.

y = x2 – 2x – 3

x = 1

y = – 4 • V(1, – 4)

Eje de simetría

2. Función cuadrática


• La parábola y = x2 + k se obtiene al trasladar la parábola y = x2, k unidades en• vertical.• Si k > 0, se traslada la parábola hacia arriba.• Si k < 0, se traslada la parábola hacia abajo.

x2 + 3

x 2 – 5

3.1 Representación de una parábola por traslación (I)


• La parábola y = (x + h)2 se obtiene al trasladar la parábola y = x2, h unidades• horizontalmente.• Si h > 0, se traslada la parábola hacia la izquierda h unidades.• Si h < 0, se traslada la parábola hacia la derecha h unidades.

(x – 3)2

(x + 2) 2

3.2 Representación de una parábola por traslación (II)


La parábola y = (x + h)2 + k se obtiene al trasladar la parábola y = x2, h unidadeshorizontalmente y k unidades verticalmente, de manera que el vértice se sitúa enel punto V(–h, k).

(x – 3)2

(x –3 ) 2 +2

3.3 Representación de una parábola por traslación (II)


•Las funciones de la forma se llamen funciones de proporcionalidad•inversa.• Su gráfica se llama hipérbola, y cada una de las partes de la que consta, ramas.• Es simétrica respecto del origen, que es el centro de la hipérbola.• Es continua en todos los puntos, salvo en 0, que no pertenece al dominio.

ay , x 0

x

ay , a 0

x

ay , a 0

x

4. Función de proporcionalidad inversa


Son funciones de la forma , donde p(x) y q(x) son polinomios,

con q(x) 0.El dominio de una función racional es toda la recta real, excepto los valoresde x que anulan al denominador.

p(x)f (x)

q(x)

Algunas funciones racionales son las siguientes:

5. Funciones racionales


Una función y = f(x) tiene una asíntota horizontal y = h si existe alguno de los límites o bien

x

lim f (x) h

x

lim f (x) h

2

2x

2xlim 2

x 1

2

2x

2xlim 2

x 1

La función puede cortar a la asíntotahorizontal

6. Asíntotas horizontales


Una función y = f(x) tiene una asíntota vertical x = k si existe alguno de los límites:

x k x k x k

lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x)

2x 0

1lim

x

La recta x = 0 es asíntota vertical.Las rectas x = 1, x = –2, x = 3 son asíntotas

verticales.

7. Asíntotas verticales


Una función y = f(x) tiene una asíntota oblicua y = mx + n si se verifica que:

f (x) mx n cuando x

8. Asíntotas oblicuas


Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = f(x)+2

Trasladamos la gráfica de y = f(x) dos unidades hacia arriba

• Si la función y = f(x) pasa por el punto (x0,y0) entonces la función y = f(x)+a• pasa por el punto (x0, y0+ a). • La gráfica de y = f(x) + a se obtiene trasladando a unidades hacia arriba• (abajo) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0).

9. Traslación vertical de funciones


Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = f(x+2)

Trasladamos la gráfica de y = f(x) dos unidades a la izquierda

• Si la función y = f(x) pasa por el punto (x0, y0) entonces la función y = f(x+a)• pasa por el punto (x0 – a, y0). • La gráfica de y = f(x+a) se obtiene trasladando a unidades hacia la izquierda• (derecha) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0).

10. Traslación horizontal de funciones


Una traslación horizontal y una traslación vertical implican una única traslaciónoblicua.

Gráfica de y = f(x)Gráfica de

y = 2 + f(x+2)

Trasladamos la gráfica de y = f(x) dos unidades a la izquierda y dos unidades hacia arriba

11. Traslación oblicua de funciones


• Si la función y = f(x) pasa por el punto (x0, y0) entonces y = f(ax) pasa por el• punto (x0/a, y0). • Si a > 1 la gráfica se contrae horizontalmente. Se observa que x0/a disminuye.

Gráfica de y = f(x)Gráfica de y = f(2x)

Se contrae la gráfica horizontalmente a la mitad

12. Contracción horizontal


Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = f(x/2)

Se dilata la gráfica horizontalmente al doble

• Si la función y = f(x) pasa por el punto (x0, y0) entonces y = f(ax) pasa por el• punto (x0/a, y0). • Si 0 < a < 1 la gráfica se dilata horizontalmente. Observa que x0/a aumenta.

13. Dilatación horizontal


Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = 0.5 . f(x)

Se contrae la gráfica verticalmente a la mitad

• Si y = f(x) pasa por (x0, y0) entonces y = af(x) pasa por (x0, ay0). • Por ello para 0<a<1 esta transformación contrae verticalmente la gráfica de• la función.

14. Contracción vertical


Gráfica de y = f(x)Gráfica de y = 2f(x)

Se dilata la gráfica verticalmente al doble

• Si y = f(x) pasa por (x0, y0) entonces y = af(x) pasa por (x0, ay0). • Por ello para a > 1 esta transformación dilata verticalmente la gráfica.

15. Dilatación vertical


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