Tema 15 Aproximación de funciones por series.

Tema 15

Aproximación de funciones por series.

Si aproximamos por su polinomio de Taylor una función indefinidamente derivable en torno a un punto

x0 y sus derivadas están acotadas entre este punto y cierto x del dominio la aproximación va siendo mejor a

medida que crece el grado del polinomio y el error tiende a cero cuando n tiende a infinito.

|Rn(x)| =

∣∣∣∣∣∣ f (n+1(c)(n + 1)!

(x − x0)n+1

∣∣∣∣∣∣ ≤ M(n + 1)!

|x − x0|n+1 =⇒ lı́m

n→+∞|Rn(x)| = 0

Esta idea permite convertir la aproximación de una función en una expresión exacta de la función como

un polinomio de infinitos términos. En este tema vamos a desarrollar los conceptos necesarios para poder

hablar de polinomios de infinitos términos y analizar bajo que hipótesis podemos expresar una función dada

como uno de estos polinomios, que formalmente reciben el nombre series.

15.1. Sucesiones y series.

15.1.1. Sucesiones y series numéricas.

Una sucesión de números reales es una lista ilimitada de números a1, a2, a3, . . . , an, . . . donde el índice

n indica el lugar que ocupa el número an en la lista y formalmente es una función real con dominio en los

naturales en la que cada termino lleva una doble información: su valor y el lugar que ocupa.

Definición 15.1 Una sucesión {an}n≥1 es una función real con dominio en los números naturales en la que

el valor que toma en cada n se denota por an y recibe el nombre de termino enésimo de la sucesión. ♣

521

Bloque IV. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AMPLIADO

Es necesario insistir en la diferencia entre la propia sucesión y el conjunto de valores que toma la

sucesión, que es la misma que hay entre una función y su conjunto de valores (conjunto imagen). Obsérvese,

por ejemplo, que una sucesión tiene siempre infinitos términos incluso aunque tome un solo valor, como

es el caso de las sucesiones constantes. Cuando el índice n se interpreta como el tiempo muchas veces se

utiliza el término de serie temporal para referirse a una sucesión y se representa esta sucesión gráficamente

identificando cada elemento de la sucesión con el par (n, an).

Ejemplo 15.2 Una primera forma de definir una sucesión es mediante su término general

Sucesión constante an = a: a, a, a, . . .

Sucesión de los números naturales an = n: 1, 2, 3, . . .

an = (−1)n: −1, 1,−1, 1, . . . ♣

Como en toda función, las formulas no tienen por que referirse sólo a operaciones algebraicas sencillas

y basta que cada término este definido sin ambigüedad y sin excepción alguna. Por ejemplo, en la sucesión

en la que el termino enésimo es la aproximación decimal con n cifras decimales exactas de π, aunque

probablemente no podamos calcular el término un billón, éste y cualquier otro están perfectamente definidos

3.1; 3.14; 3.141; 3.1416; 3.14159; 3.141592;

Ejemplo 15.3 Otra forma de definir una sucesión es mediante una fórmula de recurrencia en la que cada

término se define recursivamente en función de los anteriores

Progresiones aritméticas de primer termino a y diferencia d

an+1 = an + d

a1 = a=⇒ a, a + d, a + 2d, a + 3d . . .

Progresiones geométricas de primer termino a y razón q

an+1 = anq

a1 = a=⇒ a, aq, aq2, aq3 . . .

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 522

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TEMA 15. APROXIMACIÓN DE FUNCIONES POR SERIES.

Sucesión de Fibonaccian+2 = an+1 + an

a1 = 1, a2 = 1=⇒ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... ♣

En los casos más sencillos, como las progresiones, se encuentran sin dificultad los términos generales;

an = a + (n − 1)d para las aritméticas y an = aqn−1 para las geométricas. Sin embargo, en general es un

problema más complicado que se aborda con el estudio de las ecuaciones en diferencias.

Definición 15.4 (Sucesiones convergentes) Una sucesión {an}n≥1 es convergente si existe un número real a

tal que para cada ϵ > 0 se puede encontrar un número natural n0 de modo que a partir de él (n ≥ n0) se

verifique |an − a| < ϵ.

Se dice entonces que el número a es límite de la sucesión o que la sucesión converge a a y se escribe

lı́mn→∞

an = a o {an} → a. ♣

Así, si la sucesión tiene límite todos los términos de la sucesión, excepto a lo sumo una cantidad finita

de ellos, están contenidos en un entorno del límite (donde el radio del entorno, ϵ, puede ser prefijado de

antemano). De manera más informal podemos decir que los términos de la sucesión se aproximan al límite

tanto como se quiera para n lo suficientemente grande.

Ejemplo 15.5

La sucesión constante an = a converge al número a

La sucesión {1/n} converge a 0

La sucesión {(−1)n} no es convergente.

La sucesión {n} no es convergente. ♣

En los dos últimos ejemplos nos encontramos con sucesiones que no tienen límite. En el último caso la

sucesión crece indefinidamente y decimos que diverge a infinito.

Definición 15.6 Una sucesión an tiene límite infinito si para todo H > 0 existe un n0 de modo que a partir

de él (n ≥ n0) se verifica |an| > H.

Se dice entonces que el límite de la sucesión es infinito o que la sucesión diverge a infinito y se escribe

lı́mn→∞

an = ∞ o {an} → ∞. ♣

Página 523 PROYECTO MATECO 3.14159



Nota Se pueden especificar los signos del infinito sin más que tener en cuenta el signo de los términos

de la sucesión. Nos referiremos a las series que ni convergen ni divergen a un infinito con signo como

sucesiones oscilantes. ♣

Definición 15.7 Una sucesión está acotada superiormente si existe algún número K tal que para todo n

an < K y está acotada inferiormente si existe algún número K tal que para todo n K < an.

Se dice que esta acotada si lo esta superior e inferiormente (∃K > 0/∀n |an| < K).

Proposición 15.8 Si una sucesión an es convergente entonces está acotada. ♣

Así tenemos que toda sucesión convergente está acotada. Sin embargo, el recíproco no es cierto y no

toda sucesión acotada es convergente. Por ejemplo, la sucesión {(−1)n} está acotada y no es convergente.

Esta última sucesión es oscilante y además es un caso particular de sucesión periódica (de periodo 2), ya

que toma valores que se repiten cada cierto número de términos.

Definición 15.9 Una sucesión an es periódica si existe p tal que xn+p = xn ∀n. El menor p que lo verifica

recibe el nombre de periodo. ♣

La sucesión {n} crece y su valor aumenta indefinidamente, pero ahora vamos a ver que no toda sucesión que

crece lo hace indefinidamente.

Definición 15.10 Dada una sucesión an

an es creciente si n1 < n2 =⇒ an1 ≤ an2 (estrictamente si an1 < an2).

f es decreciente si n1 < n2 =⇒ an1 ≥ an2 (estrictamente si an1 > an2).

f es monótona si cumple alguno de los casos anteriores. ♣

Proposición 15.11 (Teorema de Weierstrass) Toda sucesión monótona creciente tiene límite, finito si está

acotada superiormente o infinito si no lo está. ♣

De este modo una sucesión que crece y está acotada superiormente tiene un límite (también si decrece

y está acotada inferiormente).




Ejemplo 15.12 La sucesión (1 + 1n )n es creciente y está acotada por 3 por lo que tiene límite finito. Este

límite es el número e. ♣

Proposición 15.13 Si an y bn son dos sucesiones convergentes y existe un n0 tal que a partir de él se tiene

an ≤ bn entonces lı́mn→∞

an ≤ lı́mn→∞

bn ♣

Proposición 15.14 (Regla del sandwich). Si an y bn son dos sucesiones convergentes con un mismo límite

a y existe un n0 tal que a partir de él una tercera sucesión cn está comprendida entre ambas an ≤ cn ≤ bn

entonces esta sucesión tiene el mismo límite

lı́mn→∞

cn = a ♣

Proposición 15.15 Un par de sucesiones monótonas son dos sucesiones {an} y {bn} tales que {an} es cre-

ciente, {bn} decreciente y an ≤ bn ∀ n ∈ N con lı́m(an − bn) = 0

Si {an} y {bn} forman un par de sucesiones monótonas son convergentes con lı́m an = lı́m bn. ♣

Proposición 15.16 (Criterio de convergencia de Cauchy). an es convergente si y sólo si para cada ϵ > 0

existe un n0 tal que ∀n,m ≥ n0 |an − am| < ϵ ♣

La sucesión tiene límite si todos los términos de la sucesión, excepto a lo sumo una cantidad finita

de ellos, están contenidos en un mismo entorno (donde el radio del entorno, ϵ, puede ser prefijado de

antemano). O lo que es lo mismo, los términos de la sucesión están tan próximos como se quiera para

índices lo suficientemente grandes.

Observación Una sucesión en la que para cada ϵ > 0 existe un n0 tal que ∀n,m ≥ n0 |an − am| < ϵ recibe

el nombre de sucesión de Cauchy. Aunque en nuestro caso una sucesión es convergente si y sólo sí es de

Cauchy. Estos conceptos no son equivalentes y cuando lo son hablamos de un espacio de Cauchy. ♣

Nota (Cálculo de límites) El calculo de límites de sucesiones es análogo al de funciones cuando x tiende

a +∞ y las indeterminaciones también son análogas. ♣

Ejercicio 15.17 Calcular los siguientes límites:




(a) lı́mn→∞

(√

3n2 − 2n + 1 − 5n) (b) lı́mn→∞

(3√n3 + 6n2 − n) (c) lı́m

n→∞

(3n3 − 28n3 + 2

)−n

(d) lı́mn→∞

(3n3 − 28n3 + 2

)n

(e) lı́mn→∞

(4n2 − 5n + 8

5n2 − 3

) 4n5+82n5

(f) lı́mn→∞

√n + 1n

1√

n+1−√

n

(g) lı́mn→∞

11 + 1

√n

n

(h) lı́mn→∞

(n2 − 2

n2

)2n2

(i) lı́mn→∞

(2n2

2n2 − n + 1

)n3

(j) lı́mn→∞

(n)1

n2 (k) lı́mn→∞

n2

2n (l) lı́mn→∞

ln(n)n

(m) lı́mn→∞

ln(n)√

n(n) lı́m

n→∞

22n(n!)2

√n(2n)!

(o) lı́mn→∞

(1n2

) n3

n4+1

(p) lı́mn→∞

1 + 32 + 52 + ... + (2n − 1)2

22 + 42 + 62 + ... + (2n)2

♣

Una serie es la generalización de la suma a los términos de una sucesión infinita,

a1 + a2 + · · · + an + · · ·

Para definir la suma de la serie evaluamos la suma de un número finito de términos sucesivos y estudiamos

el comportamiento de la suma a medida que crece el número de términos. En el estudio de las series, cada

uno de los términos de la sucesión a sumar viene expresado por su término general y uno de los principales

problemas es determinar la posible convergencia de la serie sin realizar explícitamente los cálculos. Como

es natural, también aparece el problema de determinar el valor de la suma.

Definición 15.18 La serie asociada a una sucesión an es

+∞∑n=1

an

En esta serie las sumas parciales enésimas de la serie son

sn = a1 + a2 + + · · · + an =

n∑k=1

ak

La serie será convergente si la sucesión de sus sumas parciales es convergente. En este caso, el límite

de las sumas parciales de la serie recibe el nombre de suma de la serie y si se denota la suma con el mismo

símbolo que la serie se escribe+∞∑n=1

an = lı́mn→∞

n∑k=1

ak ♣




Nota Análogamente a una sucesión, cuando las sumas parciales divergen a un infinito con signo decimos

que la serie es divergente a dicho infinito y oscilante en el resto de los casos. ♣

Nota El carácter de una serie no cambia si se prescinde de un número finito de sumandos, aunque gene-

ralmente cambia el valor de la suma. ♣

Ejemplo 15.19

La serie correspondiente a una progresión geométrica, donde cada término se obtiene multiplicando

el anterior por la razón, recibe el nombre de serie geométrica y es convergente sí y sólo si |q| < 1 con

∞∑n=0

aqn =a

1 − q(|q| < 1)

La serie formada por los inversos de los naturales recibe el nombre de serie armónica y es divergente

∞∑n=1

1n= 1 +

12+

13+

14+

15+ · · ·

La serie formada por los inversos de los naturales que cambian alternativamente de signo recibe el

nombre de serie armónica alternada y es convergente∞∑

n=1

(−1)n+1 1n= 1 −

12+

13−

14+

15− · · · ♣

Proposición 15.20 (Linealidad de la convergencia de series)

Sean∑

an y∑

bn dos series convergentes y α, β ∈ R entonces∑

(αan + βbn) es convergente y∑(αan + βbn) = α

∑an + β

∑bn ♣

Nota La suma de dos series convergentes es convergente. Además, no es convergente la suma de una serie

convergente y de una serie no convergente. Al sumar dos series no convergentes, en general, la suma puede

ser tanto convergente como no convergente. ♣

Para estudiar la convergencia de una serie vamos a utilizar una condición necesaria que nos permitirá

descartar la convergencia de determinadas series. La siguiente proposición se basa en que cada término de

la serie es la diferencia entre dos sumas parciales (an = sn − sn−1). Si la serie es convergente, las sumas

parciales tienen el mismo límite y, por tanto, el término general tiende a cero.




Proposición 15.21 (Condición de Cauchy necesaria para la convergencia de una serie)

Si la serie∑

an es convergente entonces lı́m an = 0. ♣

Esta condición no es suficiente para la convergencia de una serie. Por ejemplo, el término general de la

serie armónica tiende a cero y no es convergente. Una condición necesaria y suficiente para la convergencia

de una serie, de poco interés práctico, aparece en la siguiente proposición y no es más que la condición de

Cauchy para la convergencia de una sucesión aplicada a las sumas parciales de una serie.

Proposición 15.22 (Condición de Cauchy necesaria y suficiente para la convergencia de una serie)

La serie∑

an es convergente si y solo si para cada ϵ > 0 existe un n0 tal que para m, n > n0∣∣∣∣∣∣∣m∑

k=n

an

∣∣∣∣∣∣∣ < ϵ. ♣

El primer paso en el estudio del carácter de una serie es analizar las series de términos no negativos

cuyo estudio se simplifica y tiene relación con todo tipo de series. Cuando los términos son no negativos la

sucesión de sus sumas parciales es monótona no decreciente, por lo que o bien esta acotada superiormente

y converge, o bien no está acotada superiormente y diverge. Así, será convergente si y sólo si estas sumas

están acotadas.

Proposición 15.23 (Condición necesaria y suficiente para la convergencia de una serie de términos no

negativos) Dada una serie∑

an con an ≥ 0∑an es convergente si y solo si sus sumas parciales están acotadas superiormente. ♣

A continuación vamos a ver varios criterios para comparar el carácter de dos series. Estos criterios

permiten estudiar el carácter de una serie comparándola con alguna serie cuyo carácter sea conocido.

Proposición 15.24 (Criterio de la mayorante) Sean∑

an y∑

bn dos series de términos tales que a partir

de un término 0 ≤ an ≤ bn.

Si∑

bn converge entonces∑

an converge. ♣

Nota Si 0 ≤ bn ≤ an y si∑

bn diverge entonces∑

an diverge (criterio de la minorante). ♣

Proposición 15.25 (Criterio de comparación por paso al límite) Sean∑

an y∑

bn dos series de términos

no negativos tales existe lı́man

bn= l (finito o infinito).




Si 0 < l < +∞ entonces∑

an tiene el mismo carácter que∑

bn

Si l = 0 entonces si∑

bn es convergente también es convergente∑

an

Si l = +∞ entonces si∑

bn es divergente también es divergente∑

an ♣

En la siguiente proposición se enuncian varios criterios de comparación que se obtienen, entre otros

métodos, por comparación por paso al límite con series conocidas.

Proposición 15.26 Sean∑

an y∑

bn dos series de términos no negativos.

(Criterio de Cauchy o de la raíz) Supongamos que existe R = lı́m n√

an

• Si R < 1 entonces∑

an es convergente

• Si R > 1 entonces∑

an es divergente

(Criterio de D’Alembert o del cociente) Supongamos que existe R = lı́m an+1an


an es convergente


an es divergente

(Criterio de Raabe) Supongamos que existe R = lı́m n(1 − an+1an

)


an es convergente


an es divergente

(Criterio de la integral) Supongamos que an = f (n) con f : [1,+∞)→ [0,+∞) no creciente.

•∑

an es convergente si y sólo si es convergente la integral impropia∫ +∞

1f (x)dx

(Criterio de Pringsheim) Supongamos que para cierto α ∈ R existe el limite l = limnα an

• Si α > 1 y 0 ≤ l < +∞ la serie∑

an converge.

• Si α ≤ 1 y 0 < l ≤ +∞ la serie∑

an diverge. ♣

Ejemplo 15.27 El criterio de la integral permite comprobar que la serie∞∑

n=1

1ns es convergente si y solo si

s > 1 (Esta serie como función de s recibe el nombre de función zeta de Riemann). ♣




Ejercicio 15.28 Estudiar el carácter de las siguientes series:

(a)∞∑

n=0

(n + 1

n

)n

(b)∞∑

n=0

n + 1(n + 2)n!

(c)∞∑

n=0

2nn!nn (d)

∞∑n=0

n!nn

(e)∞∑

n=0

1√

n + 1 +√

n(f)

∞∑n=0

ln(n)n

(g)∞∑

n=0

1n(4n2 − 1)2 (h)

∞∑n=0

n(2 + (−1)n)n

4n

(i)∞∑

n=0

√(n − 1)!

(1 + 1)(1 +√

2)(1 +√

3)...(1 +√

n)♣

Cuando los términos de una serie tienen distintos signos el estudio de la convergencia se complica y

los primeros resultados se obtienen para series cuyos términos cambian alternativamente de signo (series

alternadas).

Proposición 15.29 Sea an una sucesión no creciente con limite cero.

La serie∞∑

n=0(−1)nan es convergente y, si denotamos por sn la suma parcial enésima de la serie y por s su

suma, se verifica

|s − sn| < an+1 ♣

En este caso, si tomamos la suma parcial como valor aproximado de la serie el error que cometemos es

menor o igual que el primer término que despreciamos.

Ejemplo 15.30 La serie armónica alternada∞∑

n=1

(−1)n+1

nes convergente (su suma es ln 2). ♣

Ejercicio 15.31 Comprobar que la serie∞∑

n=2

(−1)n ln nn

es convergente. ♣

Vamos a ver que si una serie que tiene términos tanto positivos como negativos y la serie formada por

los valores absolutos de sus términos es convergente la serie original también es convergente.

Definición 15.32 Sea∑

an una serie.∑an es absolutamente convergente si

∑|an| es convergente. ♣

Proposición 15.33 Sea∑

an una serie.

Si∑

an es absolutamente convergente entonces∑

an es convergente con∣∣∣∣∣∣∣∞∑

n=1

an

∣∣∣∣∣∣∣ ≤∞∑

n=1

|an| ♣




Nota La convergencia absoluta es una condición suficiente de convergencia pero no necesaria. Por ejem-

plo, la serie armónica alternada es convergente pero no absolutamente convergente. ♣

Definición 15.34 Sea∑

an una serie.

∑an es incondicionalmente convergente si es convergente y toda reordenación suya es convergente

con la misma suma, donde una reordenación de la serie es una serie∑

bn tal que existe una aplicación

biyectiva, r : N→ N en la que para cada n bn = ar(n)

∑an es condicionalmente convergente si es convergente pero no incondicionalmente

convergente. ♣

De modo que en una serie condicionalmente convergente alguna reordenación suya, con exactamente

los mismos términos pero en otro orden, o bien no es convergente o converge a una suma distinta.

Proposición 15.35 (Teorema de Dirichlet) Sea∑

an una serie.∑an es incondicionalmente convergente si y sólo si es absolutamente convergente. ♣

Nota En una serie absolutamente convergente siempre obtenemos la misma suma cualquiera que sea la

reordenación de los términos pero si una serie es condicionalmente convergente (convergente y no ab-

solutamente convergente) existen reordenaciones que toman cualquier valor, finito o infinito (teorema de

Riemann). ♣

Ejercicio 15.36 Estudiar la convergencia absoluta y condicional de las siguientes series y, si es posible,

sumar las series con un error menor que una centésima.

(a)∞∑

n=0

(−1)n

n2 + n + 1(b)

∞∑n=0

(−1)n−1

en♣

Ejercicio 15.37 Estudiar la convergencia absoluta y condicional de las siguientes series y, si es posible,

sumar las series hasta el tercer término dando una cota del error cometido.

(a)∞∑

n=0

(−1)n+1

10n (b)∞∑

n=0

(−1)n−12n

n2♣




Ejercicio 15.38 Estudiar según los valores de a el carácter de la serie∞∑

n=0

(−1)n+1

na

Para a = 2, sumarla (si es posible) hasta el cuarto término dando una cota del error cometido.

Para a = 3, sumarla (si es posible) con un error menor que una centésima. ♣

El problema de sumar una serie es un problema complicado cuya resolución se basa en distintos méto-

dos, adecuados a cada tipo de series.

♦ La serie geométrica tiene una fórmula de sumación (ejemplo 15.19).

♦ Las series telescópicas son aquellas en las que el término general puede escribirse de la forma

an = bn − bn+1.

Su convergencia y su suma se pueden determinar fácilmente a través de sus sumas parciales:

S n = (b0 − b1) + (b1 − b2) + · · · + (bn−1 − bn) + (bn − bn+1) = b0 − bn+1

Ejemplo 15.39 La serie∞∑

n=1

1n(n + 1)

es una serie telescópica si escribimos1

n(n + 1)=

1n−

1n + 1

.

En este caso

sn = (1 −12

) + (12−

13

) + · · · + (1n−

1n + 1

) = 1 −1

n + 1

Como el límite es uno tenemos que la serie es convergente y∞∑

n=1

1n(n + 1)

= 1 ♣


n=1ln(1+ 1

n ) es una serie telescópica divergente usando ln(1+ 1n ) =

ln(n + 1) − ln(n). ♣

♦ Las series hipergeométricas son series que cumplen

an+1

an=αn + βαn + γ

con α > 0.

Estas series son convergentes si y sólo si γ > α + β. Además, tienen una fórmula de sumación en la que su

suma esa1γ

γ − α − β





n=1

1n(n + 1)

también es una serie hipergeométrica y calcular su

suma utilizándolo. ♣

♦ Las series aritmético-geométricas son de la forma∞∑

n=0P(n)qn donde P(n) es un polinomio no constante

y q cumple q < 1. Su suma se calcula por reducción sucesiva a una serie geométrica.

Ejercicio 15.42 Sumar la serie∞∑

n=0

n2

2n ♣

Nota Algunas series se suman con ayuda de otras series de suma conocida. Entre las series que es conve-

niente conocer están las siguientes

El número e como serie e =∞∑

n=0

1n!

Dos sumas riemannianas∞∑

n=1

1n2 =

π2

6

∞∑n=1

1n4 =

π4

90♣

Ejercicio 15.43 Sumar la serie∞∑

n=0

n2

n!♣

Ejercicio 15.44 Estudiar el carácter de las siguientes series, sumándolas cuando sea posible:

(a)∞∑

n=0

1 · 3 · 5...(2n − 1)2 · 4 · 6...(2n + 2)

(b)∞∑

n=p

p!(n − p)!n!

(c)∞∑

n=2

ln(1 −

1n

)(d)

∞∑n=0

2n + 5n

10n

(e)∞∑

n=2

1n2 + n − 2

(f)∞∑

n=2

1n2 − 1

(g)∞∑

n=3

1n2 − 4

(h)∞∑

n=0

2n2 − 3n + 2(n + 1)!

(i)∞∑

n=0

3n + 13n (j)

∞∑n=0

2n + 17n (k)

∞∑n=0

n3 − 1n!

(l)∞∑

n=0

3n

5n − 4

(m)∞∑

n=0

n3 + 2n + 1(n − 1)!

(n)∞∑

n=0

5n − 43n (o)

∞∑n=0

3n2 + 1n2 +

√n

(p)∞∑

n=0

3n2 + 12n

♣

Ejercicio 15.45 Estudiar según los valores de a la convergencia de la serie∞∑

n=1

nan

4n con a > 0. y sumarla

para a=2. ♣

15.1.2. Cálculo en diferencias.

En esta sección vamos a hacer una pequeña introducción al cálculo en diferencias, que es el equiva-

lente en tiempo discreto al cálculo diferencial, ya que entre sus aplicaciones está la suma de series. El




concepto fundamental es la diferencia finita de una función que mide el incremento de la función entre dos

puntos situados a una distancia prefijada h, que recibe el nombre de paso de la diferencia. Se consideran

tres tipos de diferencias: anterior ∇h[ f ](x) = f (x) − f (x − h), posterior ∆h[ f ](x) = f (x + h) − f (x) y central

δh[ f ](x) = f (x + 12h) − f (x − 1

2h). Nosotros sólo vamos a trabajar con la diferencia posterior, que también

recibe el nombre de diferencia adelantada. Esta diferencia da lugar al concepto de derivada en el cálculo

diferencial (límite del cociente entre el incremento de la función y la longitud del paso) y, al igual que las

demás, se puede usar para aproximar derivadas. Aunque aquí utilizaremos el cálculo en diferencias para su-

mar series. en general se emplean en ecuaciones diferenciales y ecuaciones en diferencias y para su cálculo

se utilizan reglas de diferenciación parecidas a las reglas de derivación. De hecho, para que las reglas sean

todavía más similares a las del cálculo diferencial se introduce el operador siguiente.

Definición 15.46 Sea f ∈ F (paso h = 1).

Se define el operador diferencia como ∆ f (x) = f (x + 1) − f (x).

Se define el operador siguiente como S f (x) = f (x + 1). ♣

Nota El nombre de operadores se debe a que actúan sobre funciones y, al igual que la derivada de una

función es otra función, la diferencia de una función es también una función. ♣

Ejemplo 15.47 Sean f1(x) = c, f2(x) = x y f3(x) = x2

∆ f1(x) = f1(x + 1) − f1(x) = c − c = 0 S f1(x) = f1(x + 1) = c

∆ f2(x) = f2(x + 1) − f2(x) = (x + 1) − x = 1 S f2(x) = f2(x + 1) = x + 1

∆ f3(x) = f3(x + 1) − f3(x) = (x + 1)2 − x2 = 2x + 1 S f3(x) = f3(x + 1) = (x + 1)2 ♣

Definición 15.48 Sea f ∈ F .

La diferencia k-ésima de f es ∆k f (x) = ∆ . . . k veces . . .∆ f (x)

que se define recursivamente como ∆∆k−1 f (x) = ∆k−1 f (x + h) − ∆k−1 f (x) con ∆0 f (x) = f (x)

El k-ésimo siguiente de f es S k f (x) = S . . . k veces . . . S f (x)

que se define recursivamente como S S k−1 f (x) = S k−1 f (x + h) con S 0 f (x) = f (x). ♣

Proposición 15.49 (Reglas de diferenciación válidas para cualquier paso h) Sean f , g ∈ F y α ∈ R




1. Regla de la constante: ∆(α f )(x) = α∆ f (x).

2. Regla de la suma: ∆ ( f + g) (x) = ∆ f (x) + ∆g(x).

3. Regla del producto: ∆ ( f · g) (x) = S f (x)∆g(x) + g(x)∆ f (x).

4. Regla del cociente: ∆(

fg

)(x) =

∆ f (x)g(x) − f (x)∆g(x)g(x)S g(x)

siempre y cuando g(x), S g(x) , 0.

5. Regla de la potencia: ∆k1(∆k2 f )(x) = ∆k1+k2 f (x). ♣

Ejemplo 15.50 ∆(x2 + 3x + 5) = ∆x2 + 3∆x + ∆5 = (2x + 1) + 3 · 1 + 0 = 2x + 4 ♣

Nota Diferencias más utilizadas (para paso h)

(a)∆hax = ax(ah − 1) (b)∆h ln x = ln x+hx

(c)∆h sen x = 2 cos(x + h2 ) sen(h

2 ) (d)∆h cos x = −2 sen(x + h2 ) sen(h

2 ) ♣

Nota Si f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a0 entonces ∆n f (x) = ann! y ∆r f (x) = 0∀r > n. ♣

Proposición 15.51 Sea f ∈ F

∆n f (x) =n∑

k=0

(nk

)(−1)kS n−k f (x) ♣

Definición 15.52 Una suma indefinida de una función es otra función que la tiene como diferencia (F(x)

es una suma indefinida de f (x) si y sólo si ∆F(x) = f (x)).

El conjunto de sumas indefinidas de una función f (x) recibe el nombre de suma indefinida de f , se

representa por ∆−1 f (x) y si F(x) es una suma indefinida de f (x) se tiene

∆−1 f (x) = {F(x) + p(x)/p(x) es periódica de periodo 1} ♣

Nota La suma indefinida es el equivalente en el cálculo en diferencias a la integral en el cálculo diferencial

y, al igual que las primitivas de una función se diferencian en una constante, las sumas indefinidas de una

función se diferencian en una función periódica de periodo h. ♣

Proposición 15.53 (Propiedades de la suma indefinida)

1. (linealidad) ∆−1 (c1 f1(x) + c2 f2(x)) = c1∆−1 f1(x) + c2∆

−1 f2(x).

2. (sumación por partes) ∆−1 ( f1(x)∆ f2(x)) = f1(x) f2(x) − ∆−1 (∆ f1(x)S f2(x)). ♣




Ejemplo 15.54

1. Para calcular ∆−1c partimos de ∆cx = c(x + 1) − cx = c:

∆cx = c =⇒ cx = ∆−1(c) =⇒ ∆−1(c) = cx + p(x)

2. Para calcular ∆−1x partimos de ∆x2 = (x + 1)2 − x2 = 2x + 1:

∆x2 = 2x + 1 =⇒ x2 = ∆−1(2x + 1) = 2∆−1(x) + ∆−1(1) = 2∆−1(x) + x =⇒

∆−1(x) =x2 − x

2+ p(x)

3. Para calcular ∆−1x2 partimos de ∆x3 = (x + 1)3 − x3 = 3x2 + 3x + 1:

∆x3 = (x + 1)3 − x3 = 3x2 + 3x + 1 =⇒ x3 = ∆−1(3x2 + 3x + 1) = 3∆−1(x2) + 3∆−1(x) + ∆−1(1) =

3∆−1(x2) + 3 x2−x2 + x =⇒ ∆−1(x2) = 1

3

(x3 − 3

(x2−x

2

)− x

)=

2x3 − 3x2 + x6

+ p(x) ♣

Cuando se aplica la regla de Barrow a una función obtenemos la integral definida como la diferencia

entre dos valores de una integral indefinida y las constantes de integración no intervienen. Análogamente,

cuando obtengamos las sumas definidas como diferencias entre dos valores de una suma indefinida las

funciones periódicas tampoco van a jugar ningún papel en su cálculo.

Teorema 15.55 (Fórmula de sumación) Sea f ∈ Fn∑

k=1

f (k) = ∆−1 f (x)

n+1

1

= ∆−1 f (n + 1) − ∆−1 f (1) ♣

Nota Para paso h y primer valor f (a) se tiene:

f (a) + f (a + h) + f (a + 2h) + · · · + f (a + nh) =n∑

k=0

f (a + kh) = ∆−1 f (x)]a+h(n+1)

a♣

Ejemplo 15.56

1.n∑

k=1k = ∆−1x

]n+1

1=

x(x−1)2

]n+1

0=

(n + 1)n2

2.n∑

k=1k2 = ∆−1x2

]n+1

1=

x(x−1)(2x−1)6

]n+1

1=

(n + 1)n(2n + 1)6

♣

Ejemplo 15.57 Calcular∞∑

k=1

1k2+k comprobando previamente que ∆−1 1

x2+x =−1x

1. ∆(−1x

)=−1

x + 1−−1x=

1x2 + x




2.n∑

k=1

1k2 + k

= ∆−1 1x2 + x

]n+1

1=

(−1x

)]n+1

1=−1

n + 1− (−1) =

nn + 1

3.∞∑

k=1

1k2 + k

= lı́mn→+∞

n∑k=1

1k2 + k

= lı́mn→+∞

nn + 1

= 1 ♣

15.1.3. Sucesiones y series de funciones .

Si para cada número natural n está definida una función fn(x) en un dominio común, D, la aplicación

de los naturales en el espacio de las funciones que a cada n le asocia fn(x) recibe el nombre de sucesión de

funciones y se denota por { fn(x)}. la función de la sucesión asociada al número natural n recibe el nombre de

término n-ésimo de la sucesión y para cada punto x ∈ D la sucesión de números reales que tiene por término

n-ésimo el número real fn(x) puede ser convergente o no. Llamamos campo de convergencia de la sucesión

de funciones al conjunto de puntos del dominio para los que la sucesión de los valores de las funciones

converge y definimos una nueva función haciendo corresponder a cada punto del campo de convergencia,

x ∈ S ⊆ D, el límite de la sucesión de valores fn(x)

f (x) = lı́mn→∞

fn(x)

En este caso decimos que la sucesión de funciones converge puntualmente (o punto a punto) en S a la

función f (x), que recibe el nombre de límite puntual de la sucesión.

Para poder construir nuevas funciones como límites de funciones conocidas o aproximar una función por

una sucesión de funciones más sencillas las propiedades de las funciones que forman la sucesión se tienen

que traspasar a la función límite. Sin embargo, nos encontramos con sucesiones de funciones continuas

cuya función límite es discontinua, sucesiones de funciones cuyas derivadas no convergen a la derivada de

la función límite y que lo mismo ocurre con la derivación.

El primer paso para abordar este problema es precisar la noción de convergencia puntual e introducir

una noción más fuerte de convergencia, que recibe el nombre de convergencia uniforme.

Definición 15.58 Sea una sucesión de funciones { fn(x)} definidas en un conjunto no vacío S .




Convergencia puntual: { fn(x)} converge puntualmente a f (x) en x ∈ S si

∀ϵ > 0 existe un entero n0 (que depende de ϵ y de x) tal que

| fn(x) − f (x)| < ϵ ∀n ≥ n0

Convergencia uniforme: { fn(x)} converge uniformemente a f (x) en S si

∀ϵ > 0 existe un entero n0 (que depende de ϵ) tal que

| fn(x) − f (x)| < ϵ ∀n ≥ n0 ∀x ∈ S

Nota Toda sucesión que converge uniformemente en un conjunto S converge puntualmente en el conjunto

pero el concepto de convergencia uniforme es más fuerte. En la convergencia puntual el término a partir

del cual la sucesión y su límite están a una distancia menor que ϵ depende de este ϵ y del propio punto x,

mientras que en la convergencia uniforme sólo depende de ϵ y lo hace de tal forma que la distancia entre la

sucesión y su límite es menor que ϵ en todos los puntos de S simultáneamente a partir de cierto término. ♣

Ejemplo 15.59

(a) La sucesión de funciones fn(x) = x/n converge uniformemente en [0, 1] a la función f (x) = 0

(b) La sucesión de funciones fn(x) = xn converge puntualmente en [0, 1] con convergencia no uniforme a la

función f (x) =

0, si 0 ≤ x < 1

1, si x = 1. ♣

Proposición 15.60 Sea una sucesión de funciones { fn(x)} definidas en un intervalo no vacío I.

Si todas las funciones fn(x) son continuas y { fn(x)} converge uniformemente a f (x) en I entonces f (x)

es continua. ♣

Nota Esto nos permite decir que si la convergencia es uniforme en I para x0 ∈ I el límite cuando x tiende

a x0 y el límite cuando n tiende a +∞ se pueden intercambiar

lı́mn→+∞

lı́mx→x0

fn(x) = lı́mx→x0

lı́mn→+∞

fn(x) ♣

Nota Para estudiar la convergencia uniforme de una sucesión de funciones { fn(x)} en un intervalo no vacío

I se puede utilizar el criterio de Cauchy, que tiene la ventaja de no implicar a la función límite. Este criterio




establece como condición necesaria y suficiente para la convergencia uniforme que para todo número real

ϵ > 0 exista un entero positivo n0 (que dependerá sólo de ϵ) tal que

| fn(x) − fm(x)| < ϵ ∀n,m ≥ n0 ∀x ∈ S ♣

Proposición 15.61 Sea una sucesión de funciones { fn(x)} definidas y derivables con derivada continua en

un intervalo no vacío [a, b].

Si { fn(x)} converge uniformemente a f (x) en [a, b] y la sucesión de sus derivadas { f ′n(x)} converge unifor-

memente a una función g(x) en [a, b] entonces f (x) admite derivada continua con

f ′(x) = g(x) ∀x ∈ [a, b]. ♣

Proposición 15.62 Sea una sucesión de funciones { fn(x)} definidas y continuas en un intervalo no vacío

[a, b].

Si { fn(x)} converge uniformemente en [a, b] entonces el límite cuando n tiende a +∞ y la integral entre

a y b se pueden intercambiar

lı́mn→+∞

∫ b

afn(x) =

∫ b

alı́m

n→+∞fn(x) ♣

Ejercicio 15.63 Obtener el límite de las siguientes sucesiones y estudiar si la convergencia es uniforme:

(a) fn(x) =1

1 + nx2 , x ≥ 0 (b) fn(x) =1

n + x, x ≥ 0 (c) fn(x) =

xn − 1xn + 1

, x > 0

Definición 15.64 (Series de funciones ) Dada una sucesión de funciones { fn(x)} definidas en un conjunto

no vacío S la sucesión de funciones correspondiente a sus sumas parciales

S k(x) = f1(x) + f2(x) + · · · + fk(x) =k∑

n=1

fn(x)

recibe el nombre de serie de término general fn(x) y se representa por∞∑

n=1fn(x).

El campo de convergencia puntual de la serie es

{x ∈ S/∞∑

n=1

fn(x) es convergente }

y en él la función correspondiente al límite puntual de la sucesión de sus sumas parciales recibe el nombre

de función suma de la serie.




El campo de convergencia absoluta de la serie es

{x ∈ S/∞∑

n=1

| fn(x)| es convergente } ♣

Nota Si la sucesión de sumas parciales converge uniformemente en un conjunto se dice que la serie fun-

ciónal converge uniformemente en dicho conjunto. En este caso se tiene que la sucesión de sus términos

generales converge uniformemente a la función nula en dicho conjunto (condición necesaria de conver-

gencia). Los resultados sobre continuidad, derivabilidad e integrabilidad de la función suma de la serie

son análogos a los obtenidos para sucesiones y siempre envuelven la convergencia uniforme de las series

implicadas. ♣

Proposición 15.65 (Criterio M de Weierstrass) Sea una sucesión de funciones { fn(x)} definidas en un in-

tervalo no vacío I.

Si existe una serie de números reales convergente∞∑

n=1Mn cuyos términos acotan a cada función en valor

absoluto dentro del intervalo

| fn(x)| ≤ Mn ∀x ∈ I∀n ∈ N

entonces la serie∞∑

n=1fn(x) converge absoluta y uniformemente en I. ♣

Ejercicio 15.66 Utilizando el criterio de Weierstrass, obtener el campo de convergencia uniforme de las

series:

(a)+∞∑n=1

1n2 + x2 (b)

+∞∑n=1

cos(nx)n4

15.2. Desarrollo de Taylor en serie de potencias

La idea de un polinomio con infinitos términos corresponde formalmente al concepto de serie de poten-

cias, que no es otra cosa que una serie de la forma

∞∑n=0

an(x − x0)n,

donde an recibe el nombre de coeficiente n-ésimo de la serie y x0 el de centro de la serie. Si los coeficientes

a0, a1, . . . am−1 son cero, se suelen escribir como∞∑

n=man(x − x0)n.




Una serie de potencias comparte muchas propiedades con los polinomios, ya que en cierto modo es un

polinomio con infinitos términos. Toda serie de potencias converge para x = x0 con suma a0 y el primer

problema es determinar para qué otros valores converge la serie de potencias o si este punto es el único en el

que la serie converge. El siguiente teorema garantiza que si nos limitamos al conjunto de los números reales

y el centro no es el único punto en el que la serie converge, la serie de potencias converge absolutamente

dentro de un intervalo con el mismo centro que la serie y no lo hace fuera del intervalo (en los extremos la

convergencia o divergencia es diferente en cada serie y pueden darse distintos casos).

Teorema 15.67 Sea una serie de potencias∞∑

n=0an(x − x0)n.

El radio de convergencia de la serie de potencias es el valor (finito o infinito) dado por

R = sup

|x − c| :∞∑

n=0

an(x − x0)n converge

Si R > 0, el intervalo (x0 − R, x0 + R) se denomina intervalo de convergencia de la serie de potencias

|x − x0| < R la serie converge absolutamente.

|x − x0| > R la serie no converge y la sucesión de sus términos no está acotada. ♣

Ejemplo 15.68

a) La serie∞∑

n=0n!xn tiene radio de convergencia R = 0 y converge sólo si x = 0.

b) Las siguientes series tiene radio de convergencia R = 1 y convergen absolutamente si |x| < 1:

i)∞∑

n=0xn diverge para x = 1 y es oscilante para x = −1.

ii)∞∑

n=1

xn

ndiverge para x = 1 y converge condicionalmente para x = −1.

iii)∞∑

n=1

(−1)nx2n

nconverge condicionalmente para x = 1 y x = −1.

iv)∞∑

n=1

xn

n2 converge absolutamente para x = 1 y x = −1.

c) La serie∞∑

n=1

xn

n!tiene radio de convergencia R = +∞ y converge absolutamente ∀x ∈ R.




Nota Podemos expresar el radio de convergencia de una serie de potencias en función de sus coeficientes

aplicando criterios de convergencia para series (se extienden a los casos cero e infinito de foma lógica)

1. Si existe lı́m∣∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣∣ = l entonces R =1l

(criterio del cociente)

2. Si existe lı́m n√|an| = l entonces R =

1l

(criterio de la raíz). ♣

Nota Cuando alguno de estos límites no existe podemos usar el límite superior en lugar del límite en el

criterio de la raíz (fórmula de Cauchy-Hadamard para el radio de convergencia). ♣

Ejercicio 15.69 Obtener el radio de convergencia de la serie de potencias

∞∑n=0

an(x − x0)kn,

en función de k y del radio de convergencia de la serie∞∑

n=0an(x − x0)n.

Ejercicio 15.70 Comprobar el campo de convergencia de las series del ejemplo 15.68. ♣

Ejercicio 15.71 Obtener el campo de convergencia de las siguientes series:

(a)+∞∑n=1

1n2

( x6

)n(b)

+∞∑n=1

(−1)n (x + 1)n

n2n (c)+∞∑n=1

1n

( x2

)2n

(d)+∞∑n=0

1 · 2 · 3 · · · (n + 1)5 · 6 · 7 · · · (n + 5)

xn (e)+∞∑n=1

(−1)n n2

2n − 1(x − 2)n

♣

Una serie de potencias de radio no nulo define en su intervalo de convergencia una función

f (x) =∞∑

n=0

an(x − x0)n,

de forma que la serie representa a la función f (x) en el intervalo de convergencia y el primer problema es

determinar las propiedades de esta función.

Proposición 15.72 Sea f (x) una función definida como una serie de potencias con radio de convergencia

R > 0:

f (x) =∞∑

n=0

an(x − x0)n,




a) f (x) es continua en todo punto interior del intervalo de convergencia.

b) f (x) es derivable en todo punto interior del intervalo de convergencia término a término con

f ′(x) =∞∑

n=1

nan(x − x0)n−1.

c) f (x) es integrable en el intervalo de convergencia término a término con∫f (x)dx =

∞∑n=1

an(x − x0)n+1

n + 1+C. ♣

Nota En los extremos del intervalo cuando es posible se utiliza el lema de Abel que establece que si

la serie es convergente en un extremo del intervalo la función definida por la serie es continua en dicho

extremo. ♣

Nota El radio de convergencia de las series de potencias obtenidas tanto derivando como integrando

término a término es el mismo R pero en los extremos del intervalo la situación puede cambiar tanto al

integrar como al derivar. Aunque depende de cada caso, al integrar no se pierden extremos del intervalo ni

al derivar se ganan. ♣

Nota La aplicación reiterada de la derivación término a término permite afirmar que una función definida

por una serie de potencias con radio de convergencia R > 0 tiene derivadas de todos los órdenes en su

intervalo de convergencia con f k)(x) =∞∑

n=kn(n − 1) · · · (n − k + 1)an(x − x0)n−k y, por tanto, an =

f n)(x0)n! . En

consecuencia, las sumas parciales de una serie de potencias son los correspondientes polinomios de Taylor

de la función definida por la serie en torno a su centro. ♣

Nota Si dos series de potencias con el mismo centro definen la misma función en un entorno del centro

tienen que tener los mismos coeficientes. ♣

Otro problema que se plante es determinar tanto si una función dada se puede representar por una serie

de potencias en torno a un punto también dado como en qué entorno del centro es válida esta representación.

Nota Para representar una función por una serie de potencias la función tiene que ser indefinidamente

derivable en un entorno del punto y la serie de potencias necesariamente tiene que corresponder a la serie

de Taylor de la función centrada en el punto en torno al cual desarrollamos la función

∞∑n=0

f n)(x0)n!

(x − x0)n




Cuando existe un entorno del punto en el cual esta serie es convergente y su suma coincide con el valor de

la función se dice que la función es desarrollable en serie de potencias y que la serie es el desarrollo en serie

de potencias de la función en el punto. El campo de validez de este desarrollo es el conjunto de puntos en

el que la función esta definida, la serie converge y sus valores coinciden. ♣

En la introducción hemos visto que si las derivadas sucesivas están acotadas el resto de Taylor tiende a

cero con n y la función coincide con su serie de Taylor. En general, para que la función coincida con su serie

de Taylor sus derivadas sucesivas no pueden ser muy grandes y, en ciertos casos es suficiente comprobar

que las derivadas están acotadas por potencias sucesivas de una constante.

Proposición 15.73 Sea f (x) una función con derivadas de todos los órdenes en un intervalo

(x0 − R, x0 + R) con R > 0.

Si existen números reales no negativos C y M tales que

| f (n)(x)| ≤ CMn∀x : |x − x0| < R

entonces la función coincide con su serie de Taylor en el intervalo (x0 − R, x0 + R). ♣

Ejemplo 15.74

a) f (x) = ex es derivable siempre y coincide en todo R con su desarrollo en torno a x0 = 0,∞∑

n=0

xn

n!.

b) f (x) = ln(1 + x) es derivable en (−1,+∞) y sólo coinciden con su desarrollo en torno a x0 = 0 en

(−1, 1], que es el intervalo de convergencia de la serie∞∑

n=1(−1)n+1 xn

n.

c) f (x) = e−1/x2definida por su límite en x = 0 está definida y es derivable en todoR pero sus derivadas

sucesivas se anulan en x0 = 0 y su desarrollo en torno a este punto es cero por lo que sólo coincide

con la función en el punto x0 = 0. ♣

Nota La suma de dos series de potencias con el mismo centro es la serie de potencias con el mismo centro

cuyos coeficientes son la suma de los correspondientes coeficientes de ambas series (sumamos término

a término). Análogamente, la combinación lineal de series de potencias con el mismo centro es la serie

de potencias con el mismo centro cuyos coeficientes son la combinación lineal de los correspondientes




coeficientes (combinación término a término). En ambos casos el radio de convergencia es como mínimo

el menor de los radios de convergencia de las series implicadas. ♣

Nota El producto de dos series de potencias con centro x0 y coeficientes respectivos an y bn es la serie de

potencias∞∑

r=0

∞∑s=0

arbs(x − x0)r+s =

∞∑n=0

cn(x − x0)n, con cn =

n∑k=0

akbn−k

donde la segunda expresión recibe el nombre de producto de Cauchy y su radio de convergencia es como

mínimo el menor de los radios de convergencia de las series implicadas. ♣

Ejercicio 15.75 Desarrollar en serie de potencias de x las funciones:

(a) f (x) = x cos x − sen x (b) f (x) = (2 − ex)2 (c) f (x) =x + 5

x2 + x − 2♣

Ejercicio 15.76 A partir del desarrollo de ln(1 + x) obtener donde sea posible+∞∑n=1

x2n−1

2n − 1. ♣

Ejercicio 15.77 Hallar el desarrollo en serie de potencias de una función f analítica tal que f (0) = 3 y

f ′(x) = f (x) + x. ♣

Nota Una serie muy útil para obtener desarrollos en serie de algunas funciones es la serie binomial. Esta

serie tiene radio de convergencia 1 y corresponde al desarrollo

1(1 − x)r =

∞∑n=0

(n + r − 1

n

)xn

En este desarrollo los coeficientes del tipo(

rk

)reciben el nombre de coeficientes binomiales y son los coefi-

cientes del binomio de Newton generalizado

(x + y)r =

∞∑k=0

(rk

)xr−kyk con

(rk

)=

r(r − 1)(r − 2) · · · (r − k + 1)k!

donde r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero. ♣



Tema 15 Aproximación de funciones por series.

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