Tema 12 Limite De Sucesiones

La representación de los 100 primeros términos de la sucesión an = 2n/(n + 1)nos permite sospechar que los términos de la sucesión se van acercando alnúmero real 2.

1.1 Aproximación al concepto de límite (I)

MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 12. LÍMITE DE SUCESIONES Javier Fernández

La representación de los 100 primeros términos de la sucesión an = 3n + 1 nospermite sospechar que los términos de la sucesión se hacen cada vez mayoresy sobrepasan cualquier número real por grande que sea.

1.2 Aproximación al concepto de límite (II)


La representación de los 100 primeros términos de la sucesión an = 1/n nospermite sospechar que los términos de la sucesión se van acercando al númeroreal 0.

1.3 Aproximación al concepto de límite (III)


li m = 0

li m = 2

• Una sucesión an tiene por límite el número a, cuando a medida que n• toma valores cada vez mayores, los términos de la sucesión se aproximan• cada vez más al número a.• Las sucesiones que tienen como límite un número real se dice que son• convergentes.

2. Idea intuitiva de límite


n 10 100 1000 10000 …n toma valores cada vez

mayores

an=1n 0,1 0,01 0,001 0,0001

1n tiende a 0

n 10 100 1000 10000 … n toma valores cadavez mayores

an=2n1n−1

2,33... 2,03... 2,003... 2,0003... …2n1n−1

tiende a 2

Una sucesión de números reales an tiene por límite el número real a,cuando dado un número real positivo r,por pequeño que sea, existe un término de la sucesión tal que todoslos siguientes a él verifican que

|an – a| < r

a1 a a + ra – ra2 a3 a4 a5 a6 ……...

an* an*+1an*–1

| a1 – a || a2 – a |…………………...

3. Definición de límite de una sucesión


• Una sucesión an tiene por límite +∞ (o –∞) cuando a medida• que n toma valores cada vez mayores, los términos de la sucesión• se hacen mayores (menores) que cualquier número prefijado.• Las sucesiones que tienen como limite +∞ o –∞ se dice que• son divergentes.

4. Límites infinitos. Idea intuitiva



an=2n+1 21 201 2001 20001 an toma valores cadavez mayores


an= – n2+1 – 99 –999 – 9999 – 99999 … an toma valores cadavez menores

La sucesión de números an tiende a más infinito, lim an = +∞, si paratodo valor K se puede conseguir que todos los términos a partir de unodado sean mayores que K, sin más que dar a n valores tan grandes comosea necesario.

a1 a2 a3 a4 a5 ……...

K

ak

ak+

1……...

5.1 Sucesiones divergentes (I)


La sucesión de números an tiende a menos infinito, lim an = – ∞, sipara todo valor K se puede conseguir que todos los términos a partirde uno dado sean menores que K, sin más que dar a n valores tangrandes como sea necesario.

a1a2a3a4a5……...ak

ak+

1

……...

K

5.2 Sucesiones divergentes (II)


Si las sucesiones an y bn son convergentes de límites a y b respectivamente,y las operaciones tienen sentido se verifican las siguientes propiedades:

n nlim (a b ) a b+ = +

n nlim (a b ) a b− −=

n nlim (a b ) a b⋅ ⋅=

n

n

a a siendo b 0b b

lim ≠=

b bnn siendo a 0lim a a >=

k kn) siendo a 0 y k Rlim (a a > ∈=

a an siendo k 0lim k k >=

6. Operaciones con sucesiones convergentes


Una expresión es indeterminada cuando no se puede obtener el límiteutilizando directamente las operaciones aritméticas con los límites decada uno de los operandos.

7. Expresiones determinadas


Racionales Exponenciales

Casos 00

∞∞ 0 ·∞ ∞−∞ 1∞ 0∞

00

8. Teoremas sobre sucesiones convergentes


Suma y resta Producto Cociente

a +( ± ∞)=±∞

a–(±∞)= ∓ ∞

a>0⇒a.(±∞)=±∞

a<0⇒a.(±∞)= ∓ ∞

a>0⇒ ±∞a =±∞

a<0⇒ ±∞a

=∓∞

−∞−∞=−∞

∞∞=∞

∞ ·±∞=±∞

−∞ ·±∞=∓∞

Para salvar indeterminaciones del tipo ∞ / ∞ procedentes del cociente depolinomios se divide numerador y denominador por la máxima potenciade n que haya en el denominador.

4 2

4 3

2n n 1lim

n n 1

+ − =− −

2 4

4

1 12

n nlim1 1

1n n

+ −=

− −1

24 2

3

2n n 1lim

n 1

+ − =−

3

3

1 12n

n nlim1

1n

+ −=

−

32

3

n 1lim

n 1

− =−

3

3

1 1

n nlim1

1n

−=

−

22

1=

1

+∞ = +∞

00

1=

9. Indeterminación


∞∞

•Al representar algunos términos de la sucesión (1+1/n)n observamos que:• Cada término de la sucesión es menor o igual que el siguiente.• Todos los valores que se han hallado están entre 2 y 3.

•Se cumple que:

• Toda sucesión creciente y acotada superiormente tiene límite.

• Por eso la sucesión (1+1/n)n es convergente y a su límite se le llama número e:

n1

lim 1 en

+ =

10. La sucesión


1 1n

n

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