TEMA 10. Diedrico.directo FUNDAMENTOS

5/10/2018 TEMA 10. Diedrico.directo FUNDAMENTOS - slidepdf.com

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1º BACHILLERATOTEMA 10.

DIÉDRICO DIRECTO

DIBUJO TÉCNICO



1. La representación del punto por coordenadas

La representación de un punto A sematerializa en su proyección horizontalA1 y su proyección vertical A2.

No se dibuja línea de tierra.

Su situación queda determinada enbase a las proyecciones de otros puntos(sistema de coordenadas relativas)

X Separación entre líneas de referencia

Y Diferencia de alejamientos

Z Diferencia de cotas

X=DISTANCIA

Y= ALEJAMIENTO A 1

A 2

1 B

B 2

Z =COTA



Una recta queda definida por dos puntos.

Un punto pertenece a una recta si susproyecciones pertenecen a las de esarecta (A y B pertenecen a la recta r)

Las proyecciones de los puntosdeterminan las proyecciones de la recta

r 1 1 A

2

A

2 r

1 B

2 B

x

y

z

2. La representación de la recta

Recta oblicua: Las dos proyecciones de la

recta son oblicuas a las líneas de referenciade sus puntos.



Son las posiciones en las cuales la recta muestra su verdadera magnitud en alguna de susproyecciones.

También son útiles para determinar relaciones geométricas respecto a otros elementos,como los ángulos respecto de los planos de proyección.

h 1 1 A

2

A

2

h

1 B

2

B

3. Posiciones favorables de la recta

β

Recta horizontal: Paralelaal PH.

Su proyección vertical h2 es perpendicular a las

líneas de referencia .

En la planta se proyecta laVM y se mide el ángulo β que forma la recta con elPV.

f 1 1 A

2 A 2 f

1 B

2 B

α

Recta frontal: Paralela alPV.

Su proyeccion horizontal f1 es perpendicular a las líneasde referencia.

En el alzado se proyecta laVM y se mide el ángulo α que forma la recta con el PH.

r 1

1 A

2 A

2 r

1 B

2 B

Recta de perfil: Paralela alPP.

En el perfil se proyecta la VMy se mide el ángulo α queforma la recta con el PH y elángulo β que forma con elPV.

β

3 A

3 B

α


http://slidepdf.com/reader/full/tema-10-diedricodirecto-fundamentos 5/411 ≡B

2 B

r 1 1 A

2 A 2 r

1 B

2 B

=V.M.

Recta perpendicular alPP: En la planta y elalzado se proyecta laVM.

Las dos proyeccionesprincipales son paralelasentre sí yperpendiculares a laslíneas de referencia.

En el perfil la proyección

es un punto.

≡r 1 1 A

2 A

2 r

Recta vertical:Perpendicular al PH yparalela a los otros dosplanos de proyección.

La dirección de laproyección vertical es lamisma que la de las líneasde referencia.

En el alzado y perfil seproyecta en VM. En la planta

su proyección es un punto.

r 1

1 A

2 A 2 ≡ r

1 B

2 ≡B

Recta de punta:Perpendicular al PV yparalela a los otros dosplanos de proyección.

La dirección de laproyección horizontal esla misma que la de laslíneas de referencia.

En la planta y perfil seproyecta en VM. En el

alzado su proyección esun punto.

r 3 =V.M. 3 A 3 B =V.M.

3 B =V.M. 3 r

=V.M.

≡ r 3



Dada una recta r y el punto M, para queel punto pertenezca a la recta esnecesario que las proyecciones delpunto se encuentren sobre lasproyecciones del mismo nombre en larecta

r 1

M 2

M 1

r 2

1 N

2 N

En el caso de la recta de perfil no es

suficiente con comprobar lasproyecciones horizontal y vertical y enel caso del punto C nos hemos deauxiliar de la proyección de perfil paracomprobar que no pertenece a larecta.

4. Pertenencia de punto a recta

2 r

r 1

1 A

2 A

1 B

2 B β

3 A

3 B

α 2 C

1 C

3 C



5. Condición de corte de dos rectas

r 1 s 1

s 2 2 r

P 1

P 2

La condición para que dos rectas secorten es que tengan un punto encomún.

Cuando no se da esta circunstancialas dos rectas se cruzan en elespacio.

r 1

s 1

s 2 2 r

P 1

P 2



6. Proyecciones auxiliares de una recta (por cambio de plano)

Además de la proyección de perfil de una recta, a veces es conveniente disponer deotras proyecciones auxiliares para lo que necesitaremos cambiar la posición de uno delos dos planos de proyección principales.

Conversión de una rectaoblicua en horizontal:

A2

B 2

A1

B 1

z

A2 ’

B 2 ’

VM

Conversión de una rectaoblicua en frontal:

A2

B 2

A1

B 1 y

A1’

B 1’ VM



7. Representación del plano

La mejor manera de representar un plano es por medio del polígono más simple(triángulo) perteneciente a dicho plano

Dado un polígono ABC que define unplano y el punto P

Se traza una de las proyecciones deuna recta auxiliar R que pase por P

Se comprueba que el punto P estécontenido en R

r 1

M 2

M 1

r 2

1 N

2 N

P 1

P 2

1 C

B 1

1 A

2 A

C 2

B 2

Se localizan las proyecciones de laintersección de R con dos rectas delplano para que R esté contenida en

dicho plano (M y N)

Trazar la otra proyección de R

8. Pertenencia recta y punto a un plano



Rectahorizontaldel plano:Paralela alPH dereferencia.

Rectafrontal delplano:Paralela alPV dereferencia

9. Rectas notables del plano

h 2

h 1

f 2

f 1

Recta demáxima

pendiente:Perpendiculara unahorizontal delplano

Recta demáxima

inclinación:Perpendiculara una frontaldel plano m 1

m 2 n 2

n 1



Tres puntos noalineados

Dos rectas que secortan

Una recta y unpunto exterior

Dos rectasparalelas

1 P

P 2

1 r

2 r

1

2

1 B

1 A 1 C

2 A

2 B

2 C

r 1 s 1

s 2 2 r

P 1

P 2

10. Formas de determinar un plano

La forma más habitual de representar un plano en diédrico directo es mediante una formapoligonal cerrada, pero desde el punto de vista conceptual el plano puede venir determinadopor:

A2

B 2

r 2

A1

B 1

r 1

C 2

D 2

s 2

C 1

D 1

s 1



h 1 m 1

h 2

2 m

Con una recta demáxima pendiente

Con una recta demáxima inclinación

n 1 f 1

f 2 2 n

P 1

P 2

Los dos siguientes son casos particulares de dos rectas que se cortan:

P 1

P 2



Las posiciones que un plano puede ocupar en relación con los planos de proyecciónson: oblicuo, perpendicular y paralelo.

Las posiciones favorables del plano son aquellas en las que el plano muestra suverdadera magnitud o aquellas que son útiles para resolver relaciones geométricas,como ángulos o intersecciones.

11. Posiciones del plano favorables

Plano perpendicular a los de proyección o planos proyectantes

Proyectante horizontal:Perpendicular al PH.

En la planta su proyección queda contenidaen una recta y se mide el ángulo β de esteplano con el PV.

En este plano las rectas horizontales sontambién de máxima inclinación.

Las frontales, cuya proyección horizontales un punto (recta vertical) son tambiénrectas de máxima pendiente.

α 2

α 1

β

f 2

f 1

h 2

≡h 1



Proyectante vertical:

Perpendicular al PV.

En el alzado su proyección queda contenidaen una recta y se mide el ángulo que formacon el PH.

En este plano las rectas horizontales sontambién de máxima inclinación y suproyección vertical es un punto (recta depunta).

Las frontales, son también rectas demáxima pendiente. α 1

α 2

β

h 1

h 2

f 1

≡f 2

Proyectante de perfil:

Es perpendicular al PP.

En el perfil su proyección queda contenida enuna recta y se miden los ángulos que formacon el PH y con el PV.

α 2

α 1

α 3



Plano horizontal:

Paralelo al PH y perpendicular a los otros dos de proyección.

En planta los elementos contenidos se presentan en VM y en elalzado y perfil la proyección está contenida en una recta.

Todas las rectas de este plano son horizontales, inclusolas de máxima pendiente.

La frontal f tendrá sus dos proyecciones paralelas a la LT.

La recta de máxima inclinación es una recta de punta.

Plano paralelo a los de proyección o planos proyectantes

α 1= VM

α 2

Plano frontal:

Paralelo al PV y perpendicular a los otros dos de proyección.

En el alzado los elementos se ven en VM y en la planta y el

perfil la proyección de los mismos queda contenida en la recta.Todas las rectas de este plano son frontales, incluso las demáxima pendiente.

La horizontal h tendrá sus proyecciones paralelas a la LT.

La recta de máxima pendiente es una recta de punta.

α 2 = VM

α 1

h 1

≡h 2

f 2

≡f 1

f 1

≡f 2

h 2

≡h 1

m 1

m 2

n 2

n 1



Plano de perfil:

Paralelo al PP y perpendicular a los otros dos planosde proyección.

En el perfil los elementos se ven en VM. En la plantay el alzado la proyección queda contenida en unarecta.

La horizontal h coincide con la recta de máximainclinación y es, al mismo tiempo, una recta depunta.

La frontal f coincide con la recta de máximapendiente y es una recta vertical.

α 1

y

Y’

y

Y ’

α 3 = VM α 2

h 3

≡h 1

h 2 f 3

≡ f 2

f 1



12. Proyecciones auxiliares del plano por medio de CAMBIOS DE PLANO

Que una forma plana sea paralela a un plano de proyección supone una gran ventaja ya quela proyección que obtenemos sobre este es real en forma y dimensión (VM).

Conversión plano oblicuo en proyectante horizontal (CAMBIO DE PLANO HORIZONTAL)

1 C

B 1

1 A

2 A

C 2

B 2

f 1

f 2

Y C

Y B

1 B’

A’ 1

C’ 1

Para realizar estaoperación utilizamos como

auxiliar una rectaFRONTAL



Conversión plano proyectante horizontal en frontal (CAMBIO DE PLANO VERTICAL)

2 C

B 2

2 A

1 A

B 1

C 1

Z B

z A

2 A’

C’ 2

B’ 2

Por las proyecciones horizontales de lospuntos se trazan nuevas líneas de

referencia perpendiculares a la recta-proyección horizontal del plano y sobre ellas

se trasladan las cotas

La nueva proyección vertical está en VM.



Conversión plano oblicuo en proyectante vertical (CAMBIO DE PLANO VERTICAL)

1 C

B 1

1 A

2 A

C 2

B 2

h 1

h 2

Z C

z B

2 A”

B’’ 2

C’’ 2

Para realizar estaoperación utilizamos como

auxiliar una recta

HORIZONTAL



Conversión plano proyectante vertical en horizontal (CAMBIO DE PLANO HORIZONTAL)

2 A

1 A

2 B

2 C

1 C

1 B

Y B

Y C

1 C

1 A’

1 B’

Por las proyecciones verticales de lospuntos se trazan nuevas líneas de

referencia perpendiculares a la recta-proyección vertical del plano y sobre ellas

se trasladan los alejamientos

La nueva proyección horizontal está en VM.



RESUMEN

A2

B 2

A1 B 1

C 2

C 1

h 2

h 1

z 2

z 1

A’ 2

B’ 2

C’ 2

C’ 1

A’ 1 B’ 1

VM

Para representar la VM de un plano en posición general realizamos dos

cambios de plano.En el primero el plano ha de quedar proyectante (vertical) : h1 indica la direcciónde la proyección

A partir de esta proyección y proyectando perpendicularmente definimos elnuevo plano horizontal de proyección paralelo a este polígono sobre el que

hallamos la VM del mismo.



A2 B 2

C 2 D 2

C 1

D 1

A1

B 1

z

VM

En este caso un de las horizontales del plano (lados AB o CD) indica ladirección de la proyección

En el segundo, el plano debe quedar paralelo al nuevo plano de proyección



Cambio de plano horizontal (piezas)

En la nueva proyección horizontal (o planta auxiliar), los alejamientos

relativos respecto al plano de los elementos representados no varíanrespecto a los que tenían en la antigua planta.

y

VM

y1

y2

VM



Cambio de plano vertical (piezas)

En la nueva proyección vertical (o alzado auxiliar), las cotas o alturas de

los elementos representados no varían respecto a las que tenían en elantiguo alzado

VM z z

B 2 A2

A1

B 1

V 1

V 2



13. Intersección entre rectas

Rectas que se cortan

Existe un punto común a ambas rectas

Rectas que se cruzan

s 1

s 2

1 r

2 r

1 P

2 P

1 r

2 r

s 1

s 2

NO existe un punto común a las rectas

La intersección entre dos rectas es un punto. No hay que confundirla con

el caso de dos rectas que se cruzan (en el espacio)



14. Intersección de dos planos

La intersección dos planos es unarecta.

Si utilizamos como planos dosformas poligonales, la rectaintersección está definida por elsegmento que tienen ambos encomún (siempre que los planosno sean paralelos)

Si uno de los planos esproyectante, se visualizadirectamente la recta intersección.

α

β

s

A2

B 2

A1 B 1

C 2

C 1

D 2 E 2

F 2 F 1

E 1

D 1

G 2

H 2

G 1

H 1



visibilidad

Para determinar la visibilidad de los planos:

A2

B 2

A1 B 1

C 2

C 1

D 2 E 2

F 2 F 1

E 1

D 1

G 2

H 2

G 1

H 1

En las zonas comunes de la proyección vertical, serán visibles las que tenga

mayor alejamiento (lo que se ve en el plano horizontal) y oculta la de menor.

En las zonas comunes de la proyección horizontal serán invisibles,aquellas que observando la proyección vertical tenga menor cota.

Menor cota: no visible en proyección horizontal

Menor cota: no visible en proyección horizontal



Mediante cambio de plano

E 2

G 2

E 1

G 1

F 2

F 1

A2

B 2

A1

B 1 C 2

C 1

h 2 z 2

z 1

z 4

z 3

A’ 2

B’ 2

C’ 2 K’

L1

K 2 L2



Mediante planos auxiliares

E 2

G 2

E 1

G 1

F 2

F 1

A2

B 2

A1

B 1 C 2

C 1

α 2 M 2 K 2 L2

M 1 K 1

L1

S 1

S 2 β

2 O

2

P 2 Q

2

O 1

P 1 Q 1 T 1

T 2



15. Intersección entre recta y plano

La intersección de una recta con un plano es un punto.

El método general para determinar la intersección deuna recta r con un plano α, consiste en hacer pasarpor la recta r un plano auxiliar β. La intersección de α

con β produce una recta s. La intersección de r con sorigina el punto de intersección.

Si el plano está situado en posición favorable(proyectante), queda inmediatamente visualizado elpunto de intersección.

r

α

β

s P

El plano en posición proyectante es una posiciónfavorable, muy útil para la resolución de interseccionesy en la representación de la perpendicularidad.

α 1

α 2

P 2

r 2

P 1

r 1



Mediante cambio de plano

z 2

z 1

h 2 A2

B 2

A1

B 1

C 2

C 1

r 2

r 1

z 3

C’ 2

B’ 2 I’ 2

I 1

I 2

Mediante plano auxiliar quecontenga la recta (intersección

de planos)

A2

B 2

A1

B 1

C 2

C 1

r 2

r 1

I 2

≡α 2 D 2

E 2

D 1 E 1

I 1



E 2

G 2

E 1

G 1

F 2

F 1

A2

B 2

A1

B 1 C 2

C 1

α 2

M 2 N 2

M 1

N 1

β2

≡O2

P 2

O 1

P 1 S 1

S 2

T 1

T 2

16. Intersección de dos planos mediante intersección recta plano



1. Paralelismo entre rectas

Dos rectas paralelas tienen susproyecciones paralelas.

17. Paralelismo

Si demás de ser paralelas sonparalelas a un plano de perfil, senecesita su proyección de perfil

para verificar el paralelismo

r 2

r 1

s 2

s 1

2. Paralelismo entre recta y plano

Una recta r es paralela a un plano,cuando lo es a una recta s queestá contenida en el plano

r

α s

A

B



Casos de paralelismo entre recta y plano

Trazar por un punto Pexterior a un plano α

una recta paralela alplano. (infinitassoluciones)

Trazar por un puntoP un plano α

paralelo a un recta r.(infinitas soluciones)

Dadas dos rectas r ys no paralelas, trazar

el plano α paralelo as. (solución única)

s 2

s 1

r 2

r 1

P 2

P 1

r 2

r 1

r 2

r 1

s 2

s 1 P 1

P 2

r 2

r 1

s 2

s 1 s 2

s 1 P 1

P 2



3. Paralelismo entre planos

Si dos planos α y β son paralelos también los son las rectas r y s resultantes de

la intersección de esos dos planos con un plano auxiliar δ.Si dos rectas que se cortan definen un plano, en dos planos paraleloshallaremos pares de rectas que se corten y que sean paralelas a otros paresde rectas del otro plano.

Dos planos paralelos tendrán paralelas las rectas notables: las horizontales y

las frontales, las de máxima pendiente y las de máxima inclinación o los ladosdel polígono que representa el plano.

Trazar por un punto P el plano β paralelo al plano α.

h 2

h 1

f 2

f 1

f 2

f 1

h 2

h 1

P 2

P 1

α 2

α 1

P 2

P 1

r 2

r 1

s 2

s 1

α 2

α 1

r 2

r 1 s 2

s 1

α 2

α 1



1. Perpendicularidad entre rectas

Según el teorema de las tres perpendicularidades, si dos rectas sonperpendiculares entre sí en el espacio (tanto si se cortan como si se cruzan) y unade ellas es paralela a un plano, las proyecciones ortogonales de las dos rectassobre este plano son perpendiculares entre sí.

18. Perpendicularidad

r

α

s

r’ s’

r 2

r 1

P 2

P 1

f 2

f 1

A2

A1 r 1

r 2 P 2

P 1

h 2

h 1

A2

A1

Recta perpendicular a f o h que pasa por P



p2

p1

s’ 1

r’ 1

A1

A2 r 2

r 1

Recta perpendicular a r que pasa por A: Método cambio de plano

1. Realizo el cambio deplano horizontal y convierto ren una horizontal.

2. Realizo este mismocambio de plano para A.

3. Desde A’1 trazo una s’

1recta perpendicular a r’1.

4. Obtengo B, punto deintersección de las dosrectas y lo traslado sobre lasotras proyecciones de r.

5. Uno A con B para dibujarlas proyecciones de la recta sperpendicular a r

11

12

21

22

B2



h2

h1

f 2

f 1

A1

A2

r 2

r 1

Recta perpendicular a r que pasa por A: Método Plano auxiliar

1. Dibujo por A unahorizontal perpendicular a r1

2. Dibujo por A una frontalperpendicular a r2

3. Inserto r en un planoauxiliar α que corta al planoformado por h y f

≡ α2

4. Obtengo los puntos deintersección 1 y 2 parahallar s (intersección de losdos planos)

11

12

21

22

s1

≡ s2

5. Donde s corta a r hallopunto B

6. Uno A con B y obtengorecta solución.

B1

B2

p2

p1



2. Perpendicularidad entre recta y plano

Si una recta es perpendicular a un plano también lo es a todas las infinitas rectascontenidas en ese plano.

A2

c 2

A1

c 1 B 2

B 1

h 2

h 1

f 2

f 1

P 2

P 1

r 2

r 1

Aplicando el teorema

de las tresperpendicularidadesse deduce que en laplanta la proyecciónde la recta r seráperpendicular a lasproyecciones de las

rectas horizontales delplano. Por la mismarazón en el alzado laproyección de r seráperpendicular a lasproyecciones de lasfrontales del plano.

Trazar por P la recta perpendicular aun plano conocido

Trazar por A el plano perpendicular auna recta conocida

A1

A2

r 2

r 1

h2

h1

f 2

f 1



α

3. Perpendicularidad entre planos

A2

c 2

A1

c 1 B 2

B 1

h 2

h 1

f 2

f 1

s 2

s 1

Un plano β es perpendicular aotro α si β contiene una recta

perpendicular a α. Además r esel eje de un haz de planosperpendiculares a α.

β

r

r 2

r 1

P 2

P 1

α 2

α 1

Dibujar plano que pase por la rectar y sea perpendicular al dado ABC



h2 12

11

h1

C 2

A2

B2

E 2

D2

F 2

B1

E 1 C 1

A1

F 1

D1

Analizar si son perpendiculares entre sí los dos planos

f 2

22

21

f 1

32

31

1. Dibujo una horizontal delplano ABC

2. Dibujo una frontal delplano ABC

3. Dibujo en el plano EFGuna recta cualquiera r cuya r1 sea perpendicular a h1 y r2 perpendicular a f2

4. Compruebo que la rectapertenece al plano EFD. En

este caso compruebo que larecta r pertenece al plano porlo que ambos planos sonperpendiculares.

r 2

42

41

r 1

TEMA 10. Diedrico.directo FUNDAMENTOS

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