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PLANO CARTESIANOCalculo Diferencial

1. COORDENADAS EN EL PLANOEl plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina coordenada x del punto o abscisa del punto.La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada y del punto u ordenada del punto.

2. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE PUNTOSLos ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante.

Ejemplo 1: Representa en los ejes de coordenadas los puntos:

A(1, 4), B(-3, 2), C(0, 5), D(-4, -4), E(-5, 0), F(4, -3), G(4, 0), H(0, - 2)

Ejercicio: Represente en el plano cartesiano los siguientes puntos:

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Signos

Abscis

a

Ordenad

a

1er

cuadrante+ +

2º

cuadrante− +

3er

cuadrante− −

4º

cuadrante+ −

2

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Ejercicios:1. Representa en los ejes de coordenados los puntos:

a. A(-4,5) , b(8,-5), C (-6,-7)b. A(1/2, -5/3), B(-2/3, -7/4), B(-17/3, 7/5)

2. Dado un triángulo de vértices A(-4,6), B(-1,-4), C(3,√ 36) represéntelo en el plano cartesiano.

3. Determinar las coordenadas del vértice faltante C, para completar un triángulo equilátero:A(0,-4), B(-3,5), C(¿?)

4. Determinar los vértices faltantes del rectángulo definido por los siguientes puntos:A(-3,3), B(2,-2), C(2,3), D(¿?)

3. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANOCuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

, , , , d = 5 unidades

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Ejercicios

1. Determinar la distancia entre los siguientes segmentos de recta y determinar su punto medio.a. A(-2/3,-6/5) y B(√16,-5)

b. C(-1/3, -4/5) y D(7/3, 5/3)

c. F(13/5,7/8) y G(-2/3, -5/9)

2. Dado los vértices ABC de los siguientes triángulos, Determinar el perímetro:a. A(3,-4), B(-3/4, -5/7), C(-5/9, 7)

b. A(-1/3,-3), B(-1/4, -5/8), C(-2/5, -7/8)

3. Determinar el área de la circunferencia que tiene origen en el punto O(3,4) y pasa por el punto (-6,-8)

4. La abscisa de un punto es 7, y su distancia al punto (1,-2) es 10. Determine la ordenada del punto

5. Si P es el punto (1, a) y su distancia al punto (6,7) es 13. Determine el valor de a.

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