LOLA MORALES – 4ºE IES Clara Campoamor (Móstoles)

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1.1. Clasificación de los números.

Todos ellos, racionales e irracionales, son los números REALES Ejercicios.

1. Clasifica los siguientes números según pertenezcan a ℕ,ℤ,ℚ, ó  ℝ: • 2′31 • 3′103 • 3 • −1!2 • 𝜋 • 2!1010010001…

• 2!111… • 2 • 9

• !"!

2. Da un ejemplo de:

a. Un número racional que no sea entero. b. Un número racional que no sea real. c. Un número real que no sea racional. d. Una fracción que no sea decimal. e. Un decimal que no sea fracción.

3. ¿Cuántos números hay entre el 0 y el 2 sin contar el 0 y el 2?

√𝟐 𝝅 𝝓 √𝟕𝟑

Irracionales

Tema 1: Números reales. • Clasificación de los números. • Representación en la recta real. Intervalos. • Potencias de exponente fraccionario. Radicales sencillos. • Racionalización. • Logaritmos. Propiedades. • Números reales en la vida real. Número e. Errores.

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4. ¿Crees que puede haber más números además de los reales?

1.2. Representación en la recta real. Intervalos.

Ejercicios.

1. Vuelve a responder al ejercicio 3 del apartado anterior. ¿Qué crees que habría que concretar en la pregunta?

2. ¿Cómo escribirías los siguientes conjuntos de números? Ponlo en forma de intervalo, dibuja el intervalo y exprésalo con palabras.

a) −5 < 𝑥 ≤ 2   b) !!≤ 𝑥 < !

! c) 𝑥 > 2 y 𝑥 ≤ 5 d) 𝑥 ≤  − !

!

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3. Dados los intervalos 𝐴 = 𝑥 ∈ ℝ/−3 ≤ 𝑥 < 4 𝐵 = 𝑥 ∈ ℝ/4 ≤ 𝑥 < 7 𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 < 5}

i. Ponlos en forma de intervalo.

ii. Calcula: a) 𝐴 ∪ 𝐵 b)𝐴 ∩ 𝐵 c)  𝐴 ∩ 𝐶     d)𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 e) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶

4. Escribe como intervalos o unión de intervalos: a. 𝑥 < 5

b. 𝑥 ≤ 5

c. 𝑥 > 5

d. 𝑥 − 2 < 0

5. Escribe como desigualdad y como intervalo los siguientes conjuntos de números.

6. Piensa en una situación real cuya respuesta se pueda expresar mediante un intervalo de números reales.

7. ¿Cómo escribirías la respuesta a “Todas las edades comprendidas entre 12 y 18 años”? Ten en cuenta qué tipo de números son.

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1.3. Potencias de exponente fraccionario. Radicales sencillos.

• 𝑎! = 𝑏 si se cumple que 𝑏! = 𝑎 • 𝑎! · 𝑏! = 𝑎 · 𝑏! . En particular, 𝑎 · 𝑏 = 𝑎 · 𝑏. Igual con la división. • 𝑎! + 𝑏! no se puede hacer si 𝑎 ≠ 𝑏. En particular, 𝑎 + 𝑏 no se puede hacer si

𝑎 ≠ 𝑏 y se tiene que 𝑎 + 𝑎 = 2 𝑎. • 𝑎!! = 𝑎!·!!·!

• 𝑎!! = 𝑎!·! • 𝑎!! = 𝑎! !

• 𝑎!! = 𝑎. En particular, 𝑎! = 𝑎 • 𝑎!! se puede escribir como 𝑎!/!. En particular, 𝑎 = 𝑎!/!

Ejercicios. 1. Simplifica al máximo las siguientes expresiones radicales:

a. 75 + 3 27 − 12 + !!48

b. 8! − 4!

c. 3! · 9!

d. 2 · 2!

e. 2 · 4!

f. !"#!· !

!· !"

!"

g. 128

h. 3 3

2. Escribe como potencia y opera utilizando sus propiedades. a. 3 · 4

b. 3 · 3!

c. 3!! · 3

3. Halla el perímetro exacto de este triángulo:

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4. Realiza las siguientes operaciones y simplifica lo máximo posible:

a. 2 − 2 · 3 − 5

b. 1 − 5 · 1 + 5

c. 2 3 − 12 · 3

d. 3 − 1!

e. 2 + 2!

f. 2 − 3 · 3 + 6

g. 2 − 1 · 2 + 1 + 2

h. 2 5 − 3 · 2 5 + 3

1.4. Racionalización.

• !!= !

!· != !

!

• !!±!

multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador.

• !!!! multiplicamos y dividimos por 𝑎!!!! para eliminar la raíz del denominador.

Ejercicios.

1. Racionaliza y opera al máximo:

a. !!

b. !! !

c. !!!

d. !

!!!

e. !!!!

f. !!! !

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g. !!! !

h. !!! !!!! !

i. !!!!

+ !!

j. !!+ !

!!!+ !

!!!

1.5. Logaritmos. Propiedades.

Definición: El logaritmo en base a de un número n, es otro número b, tal que se cumple que ab = n. Matemáticamente: 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒏 = 𝒃 𝒂𝒃 = 𝒏. (a>0, a≠ 1, 𝑛 > 0). Ejemplo: log! 9 = 2, ya que se cumple que 32=9. Propiedades:

• log!(𝑛! · 𝑛!) = log! 𝑛! + log! 𝑛! • log!(𝑛!/𝑛!) = log! 𝑛! − log! 𝑛! • log! 𝑛! = 𝑘 · log! 𝑛 • log! 1 = 0 • log! 𝑎 = 1

Ejemplos: log!(5 · 6) = log! 5 + log! 6; log!!"!= log! 15 − log! 7;log! 9!" = 12 · log! 9.

¿Cómo se cambia de base un logaritmo? A veces necesitaremos pasar de una base a a otra base nueva b (normalmente a una que calcule la calculadora, 10 o e).

loga n= logb n / logb a Las bases más utilizadas son 10 y un número nuevo llamado e que estudiaremos en el apartado siguiente. Los logaritmos de base 10 se llaman logaritmos decimales y los de base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Cuando el logaritmo es en base e se escribe “ln” en lugar de “loge”.

Ejercicios.

1. Halla en cada caso el valor de * aplicando la definición de logaritmo y sus propiedades.

a. log! 81 =∗

b. log∗ 4/9 = 2

c. log!∗ = 1/2

d. log!∗ = −2

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e. log!" 100000 =∗

f. log!∗ = − !!

g. log!∗  = 2  

h. log! 27  =∗                      

i. log!" 6  =∗          

j. ln e!! =∗            

k. log!∗  = 0                          

l. log! 7∗ = 3                          

m. log∗ 625 = 4  

n. log4   ∗  =   !!                            

o. log! 4  =∗                          

p. log∗!"!"= 2  

q. log! 32∗ = 0’1  

 

2. Deja los siguientes logaritmos solo en función de log 2, log 3, log 5 y log 7: a. log 4 =

b. log 32 =

c. log 6=

d. log 20=

e. log 2=

f. log 3! =

g. log 14 =

h. log 3.5 =

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3. Ya sabes que los logaritmos se usan, por ejemplo, para medir el impacto de los terremotos, pero aquí verás otra aplicación útil: el pH de una disolución es el logaritmo decimal del inverso de la concentración de iones de hidronio [H3O+], es decir, pH=log(1/[H3O+]). El pH máximo es 14 y, claro, es siempre positivo. Una disolución es ácida si su pH es menor que 7 y es básica si es mayor que 7 (el “pH neutro” es justo 7). ¿Cuál es el pH de una disolución cuya concentración es de 7·10-5 mol/L? ¿Es ácida o básica? (Sólo necesitas saber como dato que log 7≈0’84).

1.6. Números reales en la vida real. Número e. Errores.

• El número e es un número irracional como lo es π y su valor aproximado es

2,71828182845904523… Su definición es e = lim!→! 1 + !!

!. Se usa como base

habitual de los logaritmos (logaritmos neperianos).

• El número 𝜙 = !! !𝟐

aparece en la naturaleza y en muchas obras artísticas.

Ejercicios. 1. ¿Cómo aproximarías 5 con al menos 2 cifras decimales exactas?

2. ¿Cuántas palomitas de maíz crees que cabrían en clase? ¿Cómo lo has calculado? ¿Qué error crees que estás cometiendo con la estimación?

3. a. Halla en gramos la cantidad de azúcar que consumes en un día mediante una estimación (mira las etiquetas de los productos que comes).

b. Busca la cantidad diaria recomendada para alguien de tu edad.

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4. La cantidad de antibiótico en cierta cápsula es de 1,5 g ± 0,2 %. a) ¿Qué significa esta afirmación?

b) ¿Entre qué valores oscila la cantidad de antibiótico en cada cápsula?

5. Busca alguna obra de arte donde aparezca el número áureo, phi (𝜙). ¿Cuánto vale aproximadamente?

6. ¿Es verdad que 𝜋 = !""!!"

? ¿Por qué?

7. Busca en el supermercado una pastilla de caldo de pollo o un sobre de caldo de

pollo. Halla qué cantidad de gramos de pollo tomaríamos en cada ración (¡no hace falta que hagas la sopa de verdad!).

8. ¿Cuánto más devastador es un terremoto de 7 grados en la escala de Richter que

uno de grado 4?

9. Mira los datos de audiencias televisivas de ayer. ¿Crees que son cifras exactas o

redondeadas? ¿Por qué? ¿Qué significan esos porcentajes?

10. Busca información sobre la historia del número 𝜋 y escribe al menos un párrafo de

unas 8-10 líneas sobre lo que encuentres.