Tema 1Tema 1

IntroducciIntroduccióón a la asignaturan a la asignatura

-La necesidad de otro tipo de estimación surge de los problemas conocidos(sobre todo en el ámbito fotogramétrico, pero no sólo) del Ajuste Mínimo Cuadrático en el caso de Observaciones con errores no aleatorios

-Orígenes :1774:P.S.Laplace.Expuso las bases del método(determinación de las dimensiones terrestres).Proposiciones:1)La suma algebraica de los errores debe ser igual acero

2)La suma de los valores absolutos de los erroresdebe ser mínima

(“Tratado de Mecánica Celeste”)

-Esta segunda proposición curiosamente es precursora de uno de los Métodos de Estimación Robusta existentes

-Concepto de Estimación Robusta : Kendall(1948)

-Posteriormente desarrollado por Huber y Hampel en la Universidad de Zurich(1960-70)

-Paralelamente en Princeton por Andrews en 1970

-1ª aplicación en la Geodesia : Carosio y Borre hacia 1980

-Primera definición de Robustez: Un procedimiento estadístico es considerado como robusto si no es muy sensible al alejamiento de las suposiciones iniciales de las cuales depende, es decir el hecho de que la muestra no siga exactamente una Distribución Normal

-Hay que destacar dos trabajos que marcaron el comienzo de la etapa de aplicación de estos métodos:

1) El famoso artículo de Huber, en 1964, ha sido el origen de todas las respuestas a la cuestión de cómo diseñar procedimientos estadísticos robustos. Introduce los llamados M-estimadores y caracteriza una familia de mayor robustez entre ellos para la estimación en la localización, cuando la distribución subyacente es una normal contaminada.

-Una tesis realizada por Hampel(1968), relacionada con el trabajo de VonMises, introduce la curva de influencia como una herramienta manifestando la sensibilidad de un estimador a los valores de las observaciones. De esta forma, se puede modificar el procedimiento de estimación de modo que no dependa de las observaciones erróneas, o de alguna otra característica específica de las observaciones.

JUSTIFICACIÓN DE LA ASIGNATURA

-Por una parte las experiencias conocidas en la práctica topográfica, geodésica y fotogramétrica en las cuales los métodos de ajuste clásico no se comportaban como era de esperar

-Por otro lado, la existencia de unos métodos de ajuste o estimación alternativos, denominados de estimación robusta, que por sus características matemáticas y por sus aplicaciones en determinados campos podrían ser quizá los sustitutos, en determinados casos de los métodos clásicos.

-Aplicación en el ámbito de la Fotogrametría( aunque se analizarán algunos casos topográficos)

-Objetivo general :“Estudio de la aplicación de diversos métodos de estimación robusta en algunos problemas fotogramétricos en los que sea necesario la utilización de algún método de ajuste observacional “

-Se han elegido las situaciones fotogramétricas más didácticas en las cuales se podían presentar estos problemas y se optó por analizar las siguientes:

1)Estudio del efecto de los errores de tipo I presentes en las fotocoordenadas medidas dentro del proceso de Orientación Relativa Analítica y análisis de resultados.

2) Estudio del efecto de los errores de tipo I presentes en las transformaciones tridimensionales de semejanza, en general, y enla Orientación Absoluta Analítica, en particular, estudiando todos los casos posibles que aparecen al considerar como observables tanto las coordenadas modelo, como las coordenadas terreno de los puntos de control.

3) Estudio de los efectos de los errores de tipo I presentes en las coordenadas modelo calculadas o medidas, en el proceso de formación de la banda en Aerotriangulación y en el cálculo de las coordenadas banda.

-Centraremos nuestro estudio en una serie de determinados estimadores para estudiar su eficacia en los problemas fotogramétricos investigados. Estos estimadores son:

-Método de la Mínima Suma-Método Danés-Estimador de Huber-Estimador de Geman-McClure

-Algunas referencias de proyectos de investigación en este ámbito:

1) Los trabajos realizados en el Instituto de Geodesia y Fotogrametría dependiente del Instituto Suizo de Tecnología, con base en Zurich, en el que existen tres líneas de investigación:

-El Proyecto Geo-Software, dentro del cual se han desarrollado una serie de programas para resolver los problemas geodésicos más importantes y que implementa en la actualidad una serie de aplicaciones robustas para la detección de errores en las observaciones.

-El desarrollo de procedimientos de estimación robusta para la vectorización y estructuración automática de objetos de tipo área, a partir de mapas topográficos escaneados, los cuales pueden utilizarse como un procedimiento de entrada de datos para un sistema de información geográfica.

- Integración de métodos robustos en los algoritmos matemáticos de compensación para transformaciones lineales geodésicas.

2) En la Universidad de Texas se ha desarrollado una plataformadenominada GAUSSFIT para resolver los problemas de ajusteutilizando métodos clásicos y métodos robustos en la reducción delos datos astrométricos obtenidos a partir de las observacionesprocedentes del Telescopio Espacial Hubble de la NASA.

3)En el Instituto de Geodesia e Investigación Geofísica de la Academia Húngara de las Ciencias, se ha investigado y obtenido buenos resultados en la aplicación de determinados estimadores robustos en el cálculo de los parámetros de una transformación proyectiva en dos dimensiones utilizando en concreto el método de la mínima suma(o mínima norma).

4) Dentro de los proyectos e investigaciones planeados para el período 1996-2000 por The Royal Institute of Technology de Suecia, dentro del departamento de Geodesia y Fotogrametría, existe una línea de investigación con el título genérico de Aspectos de la Calidad, en la que se tratan de mejorar los procesos en fotogrametría digital, de forma que la detección de errores en los conjuntos de observaciones utilizados sea realizada de forma automática y aplicando algoritmos que se basan en los métodos de estimación robusta.

DESCRIPCIÓN PORMENORIZADA DE LA ASIGNATURA

Primera Parte .- Las Técnicas de Estimación Robusta

• Los errores de tipo I Distribuciones de probabilidadMétodos existentes de eliminación

• Fundamento matemático de los métodos robustosMétricas y estimadoresPunto de análisis y función de influencia

• Clasificación de los métodos de estimación robusta

Estimadores de tipo MEstimadores de tipo LEstimadores de tipo MMEstimación robusta y detección de errores

Segunda Parte.- La aplicación de los métodos robustos en procesos fotogramétricos

• Estimación robusta en Fotogrametría

Detección de observaciones aisladasProblemas planteados por el método clásico

• Posibles aplicaciones

El estimador bicuadradoDetección automática de los errores de tipo IModificación al Método DanésEl programa PAT-M43 de ajuste de bloques

Tercera Parte .- Adaptación de diversos estimadores robustos a tres problemas fotogramétricos fundamentales

FASE DE TRABAJO INDIVIDUAL : Cada alumno elegirá un determinado problema de ajuste y estudiará la posible aplicación de métodos de estimación robusta(topografía, fotogrametría, geodesia, etc)

�� BREVE REVISIBREVE REVISIÓÓN DE LOS MN DE LOS MÉÉTODOS TODOS CLCLÁÁSICOS DE AJUSTE MMCCSICOS DE AJUSTE MMCC

�� Datos de partidaDatos de partida : Conjunto de Observaciones : Conjunto de Observaciones redundantes(lredundantes(l). Modelo de Distribuci). Modelo de Distribucióón Normaln Normal

�� ElaboraciElaboracióónn :: Planteamiento de las Ecuaciones de Planteamiento de las Ecuaciones de ObservaciObservacióón:n: Av + Bx = fAv + Bx = f

(Método General de Ajuste)�� Criterio MCriterio Míínimo Cuadrnimo Cuadrááticotico : : Φ = Φ = Φ = Φ = Φ = Φ = Φ = Φ = vvt t P v mP v míínimanima

�� Resultados del AjusteResultados del Ajuste :: ParParáámetros , Residuos y metros , Residuos y Observaciones ajustadas + PrecisionesObservaciones ajustadas + Precisiones

�� Casos particulares:Casos particulares:

�� MMéétodo todo ParamParaméétricotrico::•• V (residuos) = V (residuos) = Ax(ParAx(Paráámetrosmetros) ) –– L(observacionesL(observaciones))

SoluciSolucióón : x = (n : x = (AAttPAPA))--11((AAttPLPL))CCáálculo de precisiones a posteriorilculo de precisiones a posteriori

�� MMéétodo de Ecuaciones de Condicitodo de Ecuaciones de Condicióón:n:B v + D = 0

Donde D = Bl –l0Cálculo de Precisiones a posteriori

�� TTéécnicas Estadcnicas Estadíísticas para detectar errores sticas para detectar errores groseros en la metodologgroseros en la metodologíía cla cláásicasica::

�� Tests de BaardaTests de Baarda

�� Tests de HipTests de Hipóótesis basados en la tesis basados en la Varianza de ReferenciaVarianza de Referencia

�� Criterios de eliminaciCriterios de eliminacióón sobre las n sobre las desviaciones estdesviaciones estáándar a posteriorindar a posteriori

�� Test de BaardaTest de Baarda(Data Snooping):(Data Snooping):

�� v : vector de residuos (vv : vector de residuos (v11,v,v22,...,v,...,vnn))

�� CCáálculo del residuo normalizado:lculo del residuo normalizado:

�� Residuos normalizados Residuos normalizados ≈≈ N(0,1)N(0,1)

�� Test de HipTest de Hipóótesis : Htesis : H00 : : Residuos normalizados Residuos normalizados ≈≈ N(0,1)N(0,1)

�� Si existe un Si existe un úúnico error en las observaciones, su residuonico error en las observaciones, su residuonormalizado sernormalizado seráá el mayor.el mayor.

iv

ii

vv

σ=

�� Test de Baarda(Data Snooping):Test de Baarda(Data Snooping):

�� En el caso de existencia de mEn el caso de existencia de máás de un error en las observaciones, la s de un error en las observaciones, la estrategia a seguir es:estrategia a seguir es:

�� 1)Determinar una soluci1)Determinar una solucióón global utilizando todas las observacionesn global utilizando todas las observaciones

�� 2)Aplicar el Test de Hip2)Aplicar el Test de Hipóótesis a los residuos normalizadostesis a los residuos normalizados

�� 3)Eliminar la observaci3)Eliminar la observacióón sospechosa de tener errores segn sospechosa de tener errores segúún el test n el test anterioranterior

�� 4)Determinar de nuevo una soluci4)Determinar de nuevo una solucióón global, sin incluir la observacin global, sin incluir la observacióón n errerróónea. nea.