TEMA Nº 1

CONCEPTOS Y OPERACIONES

MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA EL CÁLCULO DE

PROBABILIDADES

1. Introducción

•RECOLECTAR

•RESUMIR

•CLASIFICAR

•ANALIZAR

•INTERPRETAR

DATOS

MATERIA DE ESTUDIO

TOMAR DECISIONESmétodos

ESTADÍSTICA = Ciencia proporciona

Conceptos BásicosConceptos BásicosDatos: Son los hechos/números que se reúnen, analizan y resumen para su presentación e interpretación.Elementos: entidades de las cuales se reúnen los datosVariable: Característica de interés de los elementosDatos Cualitativos: identificadores o nombres asignados a un atributo de cada elemento. Pueden ser numéricos o no numéricos (cuando se asignan claves numéricas)Datos Cuantitativos: indican cuanto o cuantos, siempre son numéricos.

Datos transversales: Se reúnen en el mismo o aproximadamente en el mismo punto en el tiempo.Datos de Serie Temporales: Se reúnen a lo largo de varios intervalosFuentes de Datos: •Fuentes existentes: dentro de la empresa , en empresas gubernamentales, empresas privadas, internet.•Estudios estadísticos:

◦ Experimentales: se identifica a la variable de interés y se manipulan las variables adicionales

◦ Observaconales: no se controlan variables ni se influye en ellas, la más conocida es la encuesta

Población: Conjunto de interés en determinado estudio

Muestra: Subconjunto de la población

1.1. División de la Estadística.-

Estadística

Descriptiva

Inferencial

•Analiza

•Describe

Predice

o Analiza, estudia y describe a la totalidad de los individuos de una población.

o Es el proceso por el cual se infieren características de una población a partir de una muestra.

ESTADÍSTICA

DESCRIPTIVA

ESTADÍSTICA

INFERENCIAL

2. Notaciones2. Notaciones

∈ = Pertenece

∃ = Existe= = Igual⋃ = UniónC = Incluido

∉ = No Pertenece

∄ = No Existe≠ = Diferente⋂ = IntersecciónƆ = Incluye

2.1. Símbolos Empleados

⋀ = y - = Diferencia

⇒ = Entonces

∕ = Tal que

∀ = Para Todo

⋁ = o

Δ = Dif. Simétrica

⇔ = Entonces

∣ = Divisor

ф = Infinito

2.2. Notaciones usuales para caracterizar conjuntos numéricos

p = Conjunto de números primos

Ej: 2,3,5,7,11… ∞“Son números que solo son divisibles

por 1 y por p mismo”

N = Conjunto de números naturalesEj: 1,2,3,4,…∞

“Son los enteros positivos”

Z = Conjunto de números enteros

Ej: - ∞, -2,-1, 0 , 1, 2, ….∞

“Son todos los números naturales y sus opuestos (negativos)”

Q = Conjunto de números racionales

Ej: -1/2, ½, 3/1, 0,25,… “Son los números que pueden

expresar como fracción”

Q’ = Conjunto de números irracionalesEj: ¶, √2,……..

“Son los números cuya expresión decimal consta de infinitas cifras”

R = Conjunto de números reales.

Ej: p, N, Z,Q, Q’

C = Conjunto de números complejosEj: a + bi,…

a y b = reales “Superconjunto de los reales”

3. OPERACIONES CON CONJUNTOS.-3. OPERACIONES CON CONJUNTOS.-

Conjunto significa “colección bien definida

de objetos”, a estos objetos se los llama “elementos”.

Si x es un elemento de un conjunto C,decimos que “ x pertenece a C”, y lo

anotamos “x Є C”.

3.1. Definición.-

3.1.1. 3.1.1. Notación .-Notación .-

i. Representar a los conjuntos con letras mayúsculas A, B, X , Y …

ii. Representar los elementos del conjunto con letras minúsculas a, b, x, y, ….

iii. Separar los elementos por comas y encerrándolos entre llaves.

A = a

3.1.2.Representación de 3.1.2.Representación de Conjuntos.-Conjuntos.-

a) Por extensión.- A = Potosí, Chuquisaca, Tarija, La

Paz, Santa Cruz, Beni, Pando, Cochabamba, Oruro

b) Por comprensión.-A = x/x departamentos de Bolivia

Ejemplo 1.-Ejemplo 1.-

1.- A es el conjunto de los números enteros, cuyo cuadrado es 1.

2.- B es el conjunto de los números naturales mayores que 2 y que no superen a 6.

3.- C es el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a -1.

Defina los siguientes conjuntos por

comprensión y extensión.

3.1.3. Conjuntos 3.1.3. Conjuntos especiales.-especiales.-

I.- Conjunto Vacío

ø = x/x ≠ x ø = …..

II.- Conjunto UnitarioA = x/x = a A = a

III.- Conjunto Universal.- ( U )

3.2. Diagramas de Venn.-

Definición

Si dados dos conjuntos A y B, todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B, se dice que:• El conjunto A está incluido en el conjunto B.• El conjunto A es un subconjunto del conjunto B.

3.3.Teoría de Conjuntos3.3.Teoría de Conjuntos

A C B significa que A C B significa que

x/x x/x ∈ A ⇒ x ∈ B∈ A ⇒ x ∈ B

INCLUSION DE CONJUNTOS

Se debe tener cuidado en no confundir pertenencia con inclusión:

La pertenencia vincula un elemento con un

conjunto.

La inclusión vincula dos conjuntos.

3.3.1. Propiedades de la 3.3.1. Propiedades de la inclusióninclusión

Todo conjunto está incluido en sí mismo

I. Propiedad Reflexiva

A C A A C A

II. Propiedad antisimétrica

Si un conjunto está incluido en otro y éste, a su vez,

está incluido en el primero, entonces dichos

conjuntos son iguales

Si A C B Si A C B ⋀⋀ B C A B C A ⇒ A = B⇒ A = B

III. Propiedad transitiva

Si un conjunto A está incluido en otro conjunto

B y éste, a su vez, está incluido en otro conjunto

C, entonces el conjunto A está incluido en el

conjunto C.

Si A C B Si A C B ⋀⋀ B C C B C C A C C⇒ A C C⇒

3.3.2. Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos son iguales cuando están

formados por los mismos elementos.

Reflexiva: Todo conjunto es igual a si mismo.

Simétrica: Si un conjunto A es igual a otro conjunto B, el conjunto B es igual al conjunto A.

La igualdad de conjuntos cumple las

propiedades:

Transitiva: Si un conjunto es igual a otro, y éste último es igual a un tercero, el primer conjunto es igual al tercer conjunto.

3.3.3. CONJUNTO DE PARTES3.3.3. CONJUNTO DE PARTES

Dado un conjunto S, el conjunto de partes de S, escrito P(S) , es el conjunto de todos los subconjuntos de S.

Por ejemplo, si S es el conjunto {a, b, c} entonces la lista completa de subconjuntos de S es como sigue:

{ } (conjunto vacío); {a}; {b}; {c};

{a, b}; {a, c}; {b, c};

{a, b, c};

y por lo tanto el conjunto de partes de S es:

P(S) = { }, {a}, {b}, {c},

{a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}

Ejemplos:

Hallar el conjunto de partes de A y B.

1.- A = {1,2,3}

2.- B = { a, b, c, d}

3.3.4. COMPLEMENTACIÓN DE 3.3.4. COMPLEMENTACIÓN DE CONJUNTOSCONJUNTOS

Sea A un conjunto y U el conjunto Universal. El complemento del conjunto A ( Ac ) es la diferencia

U – A.Entonces Ac = U – A

Ejemplo:Ejemplo:

Sea A = { Libros de la biblioteca que son de matemáticas }

U

Libros de la biblioteca que son de matemáticas

A

AACC = Libros de la = Libros de la biblioteca que no son de biblioteca que no son de

matemáticasmatemáticas

3.3.5. OPERACIONES ENTRE 3.3.5. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSCONJUNTOS

I. Unión Entre Conjuntos:La unión de A y B está definida como

el conjunto de todos los elementos que están en A, o están en B, o en ambos A y B. En símbolos,

A U B = = {x / x Є A v x Є B }

UNIÓN DE CONJUNTOSUNIÓN DE CONJUNTOS

A U B

A B

Ejemplo:Ejemplo:

Dados los conjuntos: S = {a, b, c,

d } y T = { f, b, d,

g }S U T = ?

II. INTERSECCIÓN DE II. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOSCONJUNTOS

La intersección de A y B está definida como el conjunto los elementos que son comunes a A y B. En símbolos,

A ∩ B = = { x / x ∈ A ʌ x ∈ B}

INTERSECCIÓN DE INTERSECCIÓN DE CONJUNTOSCONJUNTOS

A ∩ B

A B

III. CONJUNTOS DISJUNTOSIII. CONJUNTOS DISJUNTOS

Si dos conjuntos no tienen elementos

en común, se dice que son disjuntos. En

símbolos,

A y B son disjuntos si y solo si A ∩ B = ø

CONJUNTOS DISJUNTOSCONJUNTOS DISJUNTOS

C D

C ∩ D = ø

IV. DIFERENCIA DE IV. DIFERENCIA DE CONJUNTOSCONJUNTOS

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.La diferencia se denota por:

A - B = {x / x Є A ʌ x ∉ B}

DIFERENCIA DE CONJUNTOSDIFERENCIA DE CONJUNTOS

A - B

A B

V. DIFERENCIA SIMÉTRICAV. DIFERENCIA SIMÉTRICA

Se llama diferencia simétrica entre

dos conjuntos A y B, al conjunto formado por los elementos que

pertenecen al conjunto A o alconjunto B, pero no a ambos.

DIFERENCIA SIMÉTRICADIFERENCIA SIMÉTRICAU

Repaso Nº 2Repaso Nº 2

1. Dados los siguientes conjuntos:

A= { x/x Є N Λ 2< x ≤ 6 } B= { x/x Є Z Λ x² = 9 }

Sean interpretados por extensión y por el diagrama de Venn, en función a la Unión, Intersección y Diferencia de conjuntos.

2. Dado el conjunto:

A = { x/x días hábiles de la semana}

Expresar por extensión y por el conjunto de partes obtener los subconjuntos.

3. Hallar el complemento de A si:

A= {x/x meses pares del año}

U= {x/x meses del año}

Por extensión y por el diagrama de Venn.

4. Hallar la diferencia de los conjuntos A-B, B-A y luego la diferencia simétrica, representar el diagrama de Venn.

Aporte su propio ejemplo.

3.4. Leyes del algebra de 3.4. Leyes del algebra de conjuntosconjuntos

Propiedades de la Unión e Intersección

I. LEYES DE IDENTIDAD

A U ø = A A ∩ ø = ø

II. LEYES DE IDEMPOTENCIA

A U A = A A ∩ A = A

III. LEYES DE CONMUTATIVIDAD

A U B = B U A A ∩ B = B ∩ A

IV. LEYES DE ASOCIATIVIDAD

A U ( B U C ) = ( A U B ) U C

A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C

V. LEYES DE DISTRIBUTIVIDADA U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A

U C )

A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )

VI. LEYES DE ABSORCIÓNA U ( A ∩ B ) = A

A ∩ ( A U B ) = A

VII. LEYES DE COMPLEMENTARIDAD

A U AC = U A ∩ AC = ø

VIII. LEYES DE MORGAN

( A U B )C = AC ∩ BC

( A ∩ B )C = AC U BC

3.4.1. Intersección entre 3 3.4.1. Intersección entre 3 conjuntosconjuntos

A ∩ B A ∩ C B ∩ C A ∩ B ∩ C

AA BB

CC

EjercicioEjercicios:s:Dados los conjuntos:

A = {a, b, c, d, e}B = {b ,c , f, g}

C = {a, f, h, I, j, k}

Hallar:1) (A U B) ∩ C =2) A U ( B ∩ C ) =3) A – ( B U C ) =4) (A U C) – B =5) Si: U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,2,4,6,7,8} B = {1,3,4,5,7,9} C = {2,3,4}

Hallar: (A – BC ) ∩ C =

ProbabilidadesProbabilidades

Mayor posibilidad de

ocurrencia0 0.5

1.0

La ocurrencia del evento es tan

probable como improbable

Experimento: cualquier proceso que genere resultados bien definidos. En toda repetición del experimento, solo ocurrirá uno y solo uno de los resultados posiblesEl primer paso para analizar un experimento consiste en definir todos los resultados experimentales. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral

2.5. Producto Cartesiano2.5. Producto Cartesiano

 Consiste en armar todos los pares posibles  con un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B, obteniendo  el producto cartesiano de los dos conjuntos. Se escribe:      

A X B

Dados los conjuntos A y B :

A = { 1 , 2 }

B = { x , y , z }

DIAGRAMA DE FLECHAS

xx

11

yy

22

zz

DIAGRAMA DE ARBOL

x = ( 1, x )x = ( 1, x )

11 y = ( 1, y )y = ( 1, y )

z = ( 1, z )z = ( 1, z )

x = ( 2, x )x = ( 2, x )

22 y = ( 2, y )y = ( 2, y )

z = ( 2, z )z = ( 2, z )

TABLA

xx yy zz

11 ( 1, x )( 1, x ) ( 1, y )( 1, y ) ( 1, z )( 1, z )

22 ( 2, x )( 2, x ) ( 2, y )( 2, y ) ( 2, z )( 2, z )

GRÁFICO CARTESIANO

zz

yy

xx

11 2 2

EjemploEjemplo

Lanzar dos monedas. El resultado experimental se define en función del comportamiento de la cara superior de las monedasa)Realizar el diagrama de flechasb)Realizar el diagrama de árbolc)Realizar la tablad)Realizar el grafico cartesianoe)Determinar el espacio muestral

a)a)

CaraCara Cara Cara

CruzCruz Cruz Cruz

b)b)

CaraCara

CruzCruz

CruzCruz

CruzCruz

CaraCara

CaraCara

c)c)

CaraCara CruzCruz

CaraCara ( Cara, Cara ( Cara, Cara ))

( Cara, ( Cara, Cruz )Cruz )

CruzCruz (Cruz, (Cruz, Cara )Cara )

( Cruz, ( Cruz, Cruz )Cruz )

d)d)

Cruz

CaraCara

Cara CruzCara Cruz

e)e)

S = (Cara, Cara), (Cara, Cruz), (Cruz, Cara), (Cruz, Cruz)

DEFENSA TAREA 1DEFENSA TAREA 1Si: U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4} B = {2,4,6,8} C = {3,4,5,6}Hallar por extensión y diagrama de

Venn.

I. (A U B) ∩ (A U C)II. AC U BC U CC

III. (A U B)C = AC ∩ BC

4. 4. TÉCNICAS DE CONTEOTÉCNICAS DE CONTEO

Se denominan técnicas de conteo a: las permutaciones, combinaciones.

Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio de multiplicación y el de adición.

4.1.Principio de 4.1.Principio de MultiplicaciónMultiplicación

Si un experimento se puede describir como una sucesión de etapas, en las que hay n1 resultados posibles en la etapa 1 y n2 en la segunda, la cantidad total de resultados es:

N = n1 x n2

Ejemplo 1Ejemplo 1Una empresa constructora esta realizando un proyecto constituido por dos etapas sucesivas: la etapa 1(diseño) y la etapa 2 (construcción). Si bien cada etapa se programará y controlará tan cuidadosamente como sea posible, la dirección no puede predecir el tiempo exacto para terminarla. Un análisis de proyectos similares de construcción ha demostrado que los tiempos de terminación de la etapa de diseño son 2, 3 o 4 meses, y los de terminación para la etapa de construcción son 6, 7 u 8 meses

Como la necesidad de energía eléctrica es critica, la dirección ha establecido una meta de 10 meses para terminar todo el proyecto.a)Realizar el diagrama de árbolb)Determinar el espacio muestral y los tiempos probables para la terminación total del proyecto.

N = n1 x n2 x n3

Ejemplo 2 : Un producto se arma en tres etapas, para la primera etapa se tienen disponibles 5 líneas de armado, para la segunda 4 y para la tercera 6 líneas de armado.¿De cuantas maneras puede moverse el producto en el proceso de armado?

N = n1 x n2 x n3

Ejemplo 3: Una persona puede viajar de una ciudad A a otra ciudad B de 5 formas y de B a C de 6 formas. ¿De cuántas formas puede ir de A a C pasando por B?

4.2. Principio de 4.2. Principio de AdiciónAdición

Supongamos que un evento A se puede realizar de " n1 " maneras y otro evento B se puede realizar de " n2 " maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos ( A ∩ B = ø ), entonces:

N = n1 + n2

Ejemplo 1: Una persona puede viajar de A a B por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 5 líneas aéreas, 6 líneas terrestres. ¿De cuántas formas puede hacer el viaje?

3.3. Factorial de un Número( ENTERO POSITIVO)

Es el producto de todos los números naturales anteriores e iguales a él.

Se escribe n! , y se lee "n factorial".

Por ejemplo: 5! = 5·4·3·2·1 = 120

(Por definición el factorial de 0!=1)

5. Permutaciones5. PermutacionesConsiste en las diferentes formas de ordenar o agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: Influye el orden en que se colocan. Se toman todos los elementos disponibles. Serán permutaciones SIN repetición cuando todos los elementos disponibles son distintos. Serán permutaciones CON repetición si disponemos de elementos repetidos.

Ejemplo 1 : Determinar los diferentes arreglos o

permutaciones que se pueden hacer con las

letras a, b y c tomadas de dos en dos.Método 1: ab, ba, ac, ca, bc, cb

Número de arreglos = 6

Método 2: (Principio de multiplicación)

N = 3 x 2 = 6

3 2

Método 1: abc, acb, bac, bca,

cab, cba

Número de arreglos = 6

Método 2: (Principio de multiplicación)

N = 3 x 2 x 1 = 6

Ejemplo 2: Suponga que tenemos el siguiente

conjunto:A = a, b, c

Cuantos arreglos o permutaciones de 3 se pueden realizar con los elementos del conjunto A

3 2 1

4.1. Permutaciones Sin 4.1. Permutaciones Sin RepeticiónRepeticiónPueden ser:

I. Permutaciones de n elementos tomados de n en n.

II. Permutaciones de n elementos

tomados de r en r.III. Permutaciones Circulares.

I. Permutaciones de n I. Permutaciones de n elementos tomados de n en elementos tomados de n en nnSon permutaciones simples, de n

elementos distintos, todas las agrupaciones de esos n

elementos,dispuestos linealmente, sin

que ninguno falte o se repita. P

= n !nn

nn

Ejemplo 1: Un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el día. A fin de impedir a los operadores que sepan cuando inspeccionará, varía el orden de las visitas. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?.

Ejemplo 2: En una competencia automovilística intervienen 40 participantes. ¿De cuántas formas distintas se pueden adjudicar los lugares de largada a los 40 competidores de la competencia?

Ejemplo 3: De cuantas maneras ordenadas puede programar un director de televisión seis anuncios comerciales diferentes en los seis diferentes intermedios para comerciales durante la transmisión televisiva del primer tiempo de un partido de hockey?

Ejemplo 4: De cuantas maneras se pueden colocar 10 chicas en una fila, de manera que dos chicas en particular no queden juntas?

Ejemplo 5: De cuantas maneras se pueden colocar 12 niños en una fila, de manera que cuatro niños en particular queden juntos?

II. Permutaciones de n elementos tomados de r en rProporciona el número de arreglos

que se pueden realizar con un conjunto con n elementos, cuando en cada arreglo participan solo una parte de ellos, denotada por r, Tenemos:

n !

( n – r ) !r

n

P ==

Ejemplo 1: Se va a colorear un mapa de cuatro países, con colores diferentes. ¿De cuantas maneras se puede colorear el mapa si se cuenta con una caja de seis colores?

Resp. 360

Ejemplo 2: En una carrera de 400 metros

participan 10 atletas. ¿De cuantas formas

distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro ,

plata y bronce?

Resp. 720

Ejemplo 3: Un grupo está formado por 5

personas y desean formar una comisión integrada por presidente y secretario.

¿De cuántas maneras puede nombrarse esta comisión?

Resp: 20

Ejemplo 4: Encontrar el numero total de enteros positivos que se pueden formar utilizando los dígitos 1, 2, 3, 4 si ningún digito ha de repetirse cuando se forma un numero.

Resp. 64

III. Permutaciones CíclicasIII. Permutaciones Cíclicas

Son agrupaciones donde no hay primero ni último elemento, por hallarse todos en una línea cerrada. Entonces se considera fija la posición de un elemento, implicando que los n – 1 restantes podrán cambiar de lugar de (n – 1)! El número de permutaciones circulares será:PP

= (n – 1) != (n – 1) !nn

cc

Ejemplo 1: ¿De cuántas formas diferentes puede sentarse alrededor de una mesa circular un padre y sus 5 hijos?

Ejemplo 2: ¿De cuántas formas diferentes pudieron sentarse, en la última cena, alrededor de la mesa, Jesucristo y los 12 apóstoles?

5.2. Permutaciones con 5.2. Permutaciones con RepeticiónRepetición

Donde hay un primer grupo de n1 objetos iguales entre si; n2 objetos iguales entre si de un segundo tipo y así sucesivamente hasta nK objetos iguales entre si de un último tipo, entonces:

nn11,n,n22,…n,…nkk n !n !

nn n n11! n! n22!...n!...nkk!!

Donde: n1 + n2 +…..+ nk = n

PP

==

Ejemplo 1: ¿De cuántas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras?

Como entran todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de una permutación con repetición, donde

n1= 3 (tres círculos),

n2= 2 (dos cuadrados) ,

n3 = 1 (un triángulo),

n4= 1( un hexágono).Resp. 420

Ejemplo 2: ¿Cuántas palabras se pueden

hacer con las letras de la palabra DIVISIBILIDAD?

Resp. 8648640

Ejemplo 3: ¿Cuántas palabras distinguibles se pueden hacer con las letras

de la palabra MISSISSIPPI?

Resp. 34650

6. COMBINACIONES6. COMBINACIONES

Las combinaciones son aquellas formas de agrupar o seleccionar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:

NO influye el orden en que se colocan.

Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.

6.1. Combinación de los n 6.1. Combinación de los n elementos tomados de r a relementos tomados de r a r

CC = =n!n!rr

nnr! ( n – r ) !r! ( n – r ) !

Ejemplo: Determinar el número de combinaciones que se pueden realizar con las letras a, b, c, y d. a) Tomadas de 2 en 2. b) Tomadas de 3 en 3. c) Tomados de 4 en 4.

a) C42 = 4! / 2! (4 – 2)! = 6

ab, ac, ad, bc, bd, cd.b) C4

3 = 4! / 3! (4 – 3)! = 4abc, abd, acd, bcd. c) C4

4 = 4! / 4 ( 4 – 4)! = 1abcd

Diferencia entre Combinaciones Diferencia entre Combinaciones y Permutacionesy Permutaciones

Supongamos que tenemos 4 objetos que señalaremos como A, B, C, D. Dada una selección de tres objetos. ¿Cuantas combinaciones y permutaciones existen?

Abc Abd Bcd AcdABC BCA CBA CAB BAC ACBABD ADB BAD DAB BDA DBAACD ADC CAD DAC CDA DCA

BCD BDC CBD DBC CDB DCB

Ejemplo 1 : Se extraen dos cartas de una baraja de 52 cartas. ¿De cuántas maneras se puede hacerlo?

Ejemplo 2: Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. a) ¿De cuántas maneras puede el estudiante escoger las 8 preguntas?b) Si las tres primeras son obligatorias, ¿de cuántas maneras puede escoger las preguntas?

Ejemplo 3: El loto millonario emplea la selección aleatoria de 15 números de un grupo de 25 para determinar el ganador semanal. ¿Calcular la cantidad de maneras en que se pueden seleccionar 15 números de un grupo de 25?

FIN TEMA 1

7. EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.  Si no se permiten repeticiones:a) ¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse a partir de los dígitos 2,3,5,6,7,9?.

b) ¿Cuántos de estos números son menores de 400?.

c) ¿Cuántos son pares?d) ¿Cuántos son impares?e) ¿Cuántos son múltiplos de cinco?

2.   ¿Cuántos números se pueden formar con los dígitos

{1, 2, 3, 4, 5}. Suponiendo que no pueden repetirse

estos?.

3.   ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con los dígitos {0,1,2,3,4}, si no

pueden repetirse estos?.

4.   ¿De cuántas formas posibles pueden salir de un

aula los 25 alumnos que están en ella? (Se sobre entiende que salen uno por uno).

5.   En un salón de clase se quiere sentar a 6 jóvenes y 5

chicas en una sola fila, de manera que las chicas ocupen los lugares pares. ¿De cuántas

maneras se puede hacer?.

6.   Hay dos obras de 3 volúmenes cada una y otras dos

de dos volúmenes cada una. ¿Cuántas maneras pueden

colocarse los 10 libros en un estante, si deben quedar de tal

manera que no separen los volúmenes de la misma obra?.

7. Un estante de una librería tiene capacidad para 10 libros

de matemáticas que tiene pasta verde, 8 de física de

pasta roja y 7 de química de pasta azul. ¿De cuántas

maneras pueden colocarse los libros según los colores?

8. Dada una caja con los siguientes focos: 2 de 25 vatios, 3 de 50

vatios y 4 de 100 vatios: a) ¿De cuántas maneras pueden

escogerse 3 de ellos? b) ¿Cuántas de estas selecciones de tres

incluirán a los de 2 de 25 vatios?¿Cuántos no contendrán los de 25 vatios? c) ¿Cuántas selecciones de tres focos incluirán exactamente

uno de cada una de las potencias?

9.   ¿Cuántas cantidades diferentes de dinero pueden formarse con las monedas

siguientes, 1 de 10 centavos, 1 de 20 centavos, 1 de 0.50 centavos, 1 de 1 boliviano, 1

de 2 bolivianos y 1 de 5 bolivianos?

10.   En una biblioteca hay 8 libros de geometría, 14 de álgebra, 10 de física y 5 de

química. ¿ De cuántas maneras puede un estudiante seleccionar

cuatro libros, de manera que sea uno de cada curso

mencionado?

11.   Un club tiene 15 miembros, 10 hombres y 5

mujeres, ¿cuántos comités de 8 miembros se pueden formar:

Si cada uno de ellos debe contener por lo menos 3

mujeres.

12.  En una clínica trabajan 18 enfermeras. a) ¿Cuántas guardias diferentes de 3

enfermeras pueden formarse? b) ¿En cuántas guardias de las

formadas en a) estará una enfermera determinada?

13. En 10 tubos de prueba se cultivan tres tipos de bacterias, 3 tubos contienen bacterias del 1er tipo, 4 del 2do tipo y 3 del 3er tipo. De cuantas maneras

distintas pueden ponerse en un portatubos, teniendo en cuenta solamente el orden del tipo de

bacteria.

14.   Una firma comercial tiene 10 vendedores. ¿De cuantas formas puede asignarse los vendedores

en dos escritorios con cinco vendedores en cada escritorio?

¿Con siete en un escritorio y tres en el otro?

15.   ¿Cuántas palabras distintas, de siete letras, con o sin significado, pueden formarse con las letras de la palabra ARRULLA , sin que ninguna falte?

16.   ¿De cuántas maneras se pueden disponer alrededor de una mesa redonda cinco personas?

17. En un trozo de madera de forma circular, se dibujan 4 sectores circulares de igual área. Si cada sector se pintará de un color distinto, rojo, verde, azul o amarillo, ¿de cuántas maneras se pueden disponer esos colores?

18.   Pedro, María , Joaquín , Alberto , Mónica y Sara se tienen que sentar alrededor de una mesa redonda. ¿De cuántas maneras pueden disponerse, si siempre tienen que estar juntos Alberto y Sara?

19. Pedro, María , Joaquín , Alberto , Mónica y Sara se tienen que sentar alrededor de una mesa redonda. ¿De cuántas maneras pueden disponerse, si nunca tienen que estar juntos Alberto y Sara?

20. Una persona tiene 3 anillos de diferentes formas de cuantas maneras diferentes puede ponerse en 8 dedos.

a) Solo puede ponerse un anillo en cada dedo.

b) Los anillos son idénticos y solo se puede colocar un anillo en cada dedo.

c) Los anillos son idénticos y se puede colocar más de un anillo en cada dedo.

21. Si no se permiten repeticiones:a) ¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse a partir de los dígitos 2,3,5,6,7,9?.

b) ¿Cuántos de estos números son menores de 400?.

c) ¿Cuántos son pares?d) ¿Cuántos son impares?e) ¿Cuántos son múltiplos de cinco?

22. De cuantas maneras puede organizarse un grupo de 7 personas:

a) En una fila de 7 personas.b) En una mesa redonda.

23. De un colegio que tienen 500 alumnos y 70 docentes, se debe elegir una comisión docente estudiantil de 6 miembros, 3 docentes y 3 estudiantes. Tanto entre docentes como de estudiantes debe haber un presidente, un vice presidente, y un secretario. ¿ De cuantas maneras puede formarse la comisión docente estudiantil?

24. Cuantas señales diferentes, cada una consistente de 8 banderas colocadas en una línea vertical pueden formarse de un conjunto de 4 banderas rojas idénticas, 3 banderas blancas idénticas y una bandera azul.

25. De cuantas maneras puede arreglarse en un estante 4 libros de matemáticas, 3 de historia, 2 de sociología y 3 de química. De tal manera que todos los libros sobre la misma materia estén juntos.

26. Determinar todas las permutaciones de los cuatro

números 2,4,6,8, tomados 3 a la vez.

27. Si no se permiten repeticiones. Cuantos números

de cuatro cifras, se pueden formar a partir de los dígitos

2,3,5,6,7,9.

28. De cuantas maneras puede organizarse un grupo de 8 personas:

a) En fila.b) En una mesa redonda.

EJERCICIOS DE EJERCICIOS DE COMBINACIONESCOMBINACIONES

29. ¿De cuántas maneras puede seleccionarse una partida de 4 o más personas, si hay 10 personas disponibles?

30. Suponga que queremos formar comisiones de cuatro miembros de un grupo de 4 hombres R, S, T, U y 5 mujeres V, W, X, Y, Z. Si además se especifica que R y S no pueden estar en la misma comisión a menos que la comisión esté formada por los menos por una mujer. ¿Cuál es el número de comisiones que se puede formar?

31. ¿Cuántas comisiones integradas por un chico y una chica pueden formarse de 5 chicos y 8 chicas, si cierto chico rehúsa trabajar con dos chicas?

32. El asta de bandera de un barco tiene 3 posiciones en las que puede colocarse una bandera. Suponiendo que el barco lleva cuatro banderas (diferentes) para hacer señales.

a)¿Cuántas señales diferentes pueden hacerse con una bandera?(suponiendo que la misma bandera colocada en posiciones diferentes indica diferentes señales).

b) ¿Cuántas señales diferentes pueden hacerse con una bandera?

c) ¿Cuántas señales diferentes pueden hacerse con las banderas?

33. Una joven tiene 15 amigos.a) ¿De cuántas maneras puede

invitar a una cena a 6 de ellos?b) Si entre las 15 personas hay dos

matrimonios y cada pareja asisten juntas a cualquier reunión. ¿De cuántas maneras puede invitar a 6 amigos?

c) Si entre las 15 personas hay 2 que no pueden estar en la misma reunión. ¿De cuántas formas puede invitar a 6 amigos?

34. DADOS LOS CONJUNTOS A Y B :

A = { , }B = { , , }

Hallar el producto cartesiano, interpretado a través del

diagrama de flechas, arbolado, tablas y el gráfico cartesiano.

35. Hallar la intersección de los siguientes conjuntos, por extensión y

por el diagrama de Venn.

A = {Pedro, Pablo, Juan, Jesus, Mateo, Tomas, Santiago el menor }

B = {Matias, Simón, Judas, Santiago el mayor, Bartolome, Andres, Jesus}

36. Dados los conjuntos:

A = { 1,2 }B = {x, y, z}

Hallar el producto cartesiano,interpretado a través del diagrama

deflechas, arbolado, tablas y el

gráfico cartesiano.

37. Un matrimonio decide comprar una radio y una cocina. Si en el lugar donde harán la compra hay 4 tipos de radio y 2 clases de cocina, ¿de cuántas maneras distintas pueden realizar la compra de ambos objetos a la vez?

38. En la etapa final de fútbol profesional de primera, cuatro equipos : Bolivar, The Strongest, Oriente y Universitario disputan el primer y segundo lugar (campeón y subcampeón). ¿De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares?

39. Un repuesto de automóvil se vende en 6 tiendas en la Av. Hernando Siles o en 8 tiendas de la Av. Jaime Mendoza.¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto?

40. Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados?

41. Suponga que un día oscuro nacen en cierto hospital cuatro pares de mellizos, idénticos, dos pares de mellizas, idénticas, nueve niños y once niña. Se utiliza una tinta no indeleble para escribir sus nombres. El día siguiente la tinta desaparece ¿De cuántas maneras es posible mezclar a los niños?

42.   Un profesor ha diseñado para una prueba, 3 preguntas de conjuntos, 4 preguntas de funciones y 2 preguntas de

geometría. ¿De cuántas maneras distintas puede

confeccionar la prueba, si en ella deben ir solamente, una

pregunta de conjuntos, una de funciones y una de geometría?

43.   ¿Cuántas parejas distintas formadas por una mujer y un hombre, pueden hacerse con los jóvenes: Laura, Ana, Enrique, Pablo y Jorge?

44.   ¿Cuántas palabras distintas, con o sin significado, pueden formarse con las letras de la palabra FLORA , sin que ninguna letra falte o se repita?

45.   ¿Cuántos números enteros positivos de 4 cifras, pueden formarse con los dígitos: 2 , 4 , 7 y 8 , sin que ninguno falte o se repita?

46.   ¿Cuántos números enteros pares positivos de 4 cifras, pueden formarse con los dígitos:   1 , 1 , 7 y 8 , sin que ninguno falte?

47.   ¿Cuántos números enteros impares positivos de 4 cifras, pueden formarse con los dígitos:   2 , 4 , 7 y 8 , sin que ninguno falte o se repita?

48.   Una sala tiene 10 asientos, ¿de cuántas

maneras distintas, pueden distribuirse 10 alumnos en

esos 10 asientos, si cada uno de ellos es ocupado por un y

sólo un alumno?

49.   ¿Cuántas palabras distintas, de 3 letras, con o sin significado, pueden formarse con las letras de la palabra ANA , sin que ninguna falte?

50.   ¿De cuántas maneras se pueden disponer alrededor de una mesa redonda cinco personas?

51. En un trozo de madera de forma circular, se dibujan 4 sectores circulares de igual

área. Si cada sector se pintará de un color distinto, rojo,

verde, azul o amarillo, ¿de cuántas maneras se pueden

disponer esos colores?

52. De cuantas maneras puede organizarse un grupo de 7 personas:

a) En una fila de 7 personas.b) En una mesa redonda.

53. De un colegio que tienen 500 alumnos y 70 docentes, se debe

elegir una comisión docente estudiantil de 6 miembros, 3

docentes y 3 estudiantes. Tanto entre docentes como de

estudiantes debe haber un presidente, un vice presidente, y

un secretario. ¿ De cuantas maneras puede formarse la

comisión docente estudiantil?

54. Cuantas señales diferentes, cada una consistente de 8 banderas colocadas en una

línea vertical pueden formarse de un conjunto de 4 banderas

rojas idénticas, 3 banderas blancas idénticas y una

bandera azul.

55. De cuantas maneras puede arreglarse en un estante 4

libros de matemáticas, 3 de historia, 2 de sociología y 3 de química. De tal manera

que todos los libros sobre la misma materia estén juntos.

56. Determinar todas las permutaciones de los cuatro

números 2,4,6,8, tomados 3 a la vez.

57. Si no se permiten repeticiones. Cuantos números de cuatro cifras, se pueden formar a partir de los dígitos 2,3,5,6,7,9.

58. De cuantas maneras puede organizarse un grupo de 8

personas:a) En fila.

b) En una mesa redonda.

59. Un experimento consiste en hacer tres llamadas de venta. En

cada una habrá compra o no compra.

a) Trace un diagrama de arbol de este experimento

b) Identifique cada punto muestral ¿Cuántos puntos muestrales hay?c ) Cuantos puntos muestrales

habría si el experimento consistiera en cuatro llamadas de

venta?

60. Una empresa desea aumentar sus operaciones

construyendo dos fabricas en la parte occidental del país. Se

han identificado 8 lugares posibles y están siendo

evaluados. ¿Cuántas combinaciones de dos lugares

son posibles para las ocho localidades?

61. De cuantas maneras diferentes una seccion

sindical con 25 miembros puede elegir un presidente y

un vicepresidente?

62. Un fabricante tiene dificultades para obtener registros consistentes de resistencia a la tensión entre tres

maquinas localizadas en la planta de producción , el laboratorio de investigación

y el laboratorio de control de calidad, respectivamente. Al mismo tiempo, hay cuatro posibles técnicos –Tomas, José, Enrique y Carolina- quienes operan al menos una de las maquinas a prueba

regularmente. ¿Cuántos pares operador- maquina deben incluirse en un

experimento planeado en el que cada operador maneje todas las maquinas?

63. Un mecanismo de control requiere cinco chips de memoria idénticos. ¿De cuantas maneras puede

ensamblarse este mecanismo colocando los cinco chips en las cinco posiciones dentro

del controlador?

64. En un estuche de instrumentos ópticos hay seis lentes cóncavas, cuatro lentes convexas y tres prismas ¿De cuantas maneras se pueden seleccionar una de las lentes cóncavas, una de las lentes

convexas y uno de los prismas?

65. En un pequeño grupo de estudiantes de geología, cada uno de los cuatro alumnos debe redactar un informe

sobre una de ocho practicas de campo. ¿De cuantas maneras diferentes puede seleccionar cada uno de ellos una de las

practicas de campo si:a ) dos estudiantes no pueden seleccionar

la misma practica de campob) no se imponen restricciones a la

selección

66. Una caja de 12 baterías recargables contiene una defectuosa. ¿De cuantas

maneras un inspector puede seleccionar tres de las

baterías y a ) obtener la defectuosa

b ) no obtener la defectuosa?

67. Cuantos números de tres cifras distintos existen?

68. Cuantos números de tres cifras pueden formarse con

los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si no pueden repetirse estos?

69. Un entrevistador seleccionó al azar 4 de 10 personas

disponibles ¿Cuántos grupos diferentes de cuatro son

posibles?

70. Una caja con 24 latas contiene una que está contaminada. Tres latas han de ser elegidas al azar

para su prueba.a ) Cuantas combinaciones

diferentes de 3 latas se podrían seleccionar?

b ) Cual es la probabilidad de que la lata contaminada sea

seleccionada para la prueba?