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Fısica I. Curso 2010/11Departamento de Fısica Aplicada. ETSII de Bejar. Universidad de Salamanca

Profs. Alejandro Medina Domınguez y Jesus Ovejero Sanchez

Tema 1. Cinematica

Indice

1. Introduccion 3

2. Movimiento en una dimension 4

2.1. Velocidad media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. Velocidad instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3. Aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4. Ejemplos particulares: movimientos uniforme y uniformemente acelerado . . . . 7

3. Movimiento en dos y tres dimensiones 11

3.1. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2. Aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3. Componentes de la aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4. Ejemplos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4.1. Movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4.2. Movimiento parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Movimiento relativo 19

4.1. Velocidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2. Aceleracion relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5. Problemas 22

Tema 1. Cinematica 2


1. Introduccion

La Mecanica es una parte de la Fısica que tiene por objeto estudiar el estado de movimiento

de los cuerpos, buscar sus causas y establecer las leyes que rigen estos movimientos. Dependiendo

de la naturaleza del estudio, la Mecanica se divide en dos partes Cinematica y Dinamica. La

Cinematica estudia de forma generica el movimiento independientemente de las causas que lo

producen. Sin embargo, la Dinamica atiende tambien a las causas que lo provocan. Dentro de

la Dinamica, existe otra parte, de especial interes en Ingenierıa, denominada Estatica . Trata

de estudiar en que circunstancias los cuerpos estan en reposo, aunque esten sometidos a varias

fuerzas.

Los elementos basicos de la Cinematica son el espacio, el tiempo y el movil. La Cinematica

Clasica admite la existencia de un espacio y un tiempo absolutos y continuos. Este espacio

es independiente de los objetos materiales que contiene. Postula tambien la existencia de un

tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todo el Universo y que es el mismo para

todos los observadores, independientemente de su estado de movimiento. De este modo el tiempo

se puede representar como una variable real.

Aunque en este curso nosotros nos dedicaremos esencialmente al estudio de la Mecanica

Clasica, cabe decir que existen otros modos dentro de la Fısica de entender el espacio y el

tiempo. En Mecanica Relativista esos conceptos no son absolutos sino que estan relacionados

entre sı y con el observador y su estado de movimiento. Es la mecanica apropiada para el

estudio de problemas en que aparecen velocidades proximas a la de la luz. Existe otro tipo

de descripcion mecanica de la naturaleza apropiada para sistemas de dimensiones pequenas,

como atomos y nucleos. Se denomina Mecanica Cuantica. En ella la posicion y la velocidad de

una partıcula no se pueden determinar simultaneamente con precision arbitraria (Principio de

Incertidumbre).

Un cuerpo cualquiera puede considerarse como un punto material o como una partıcula

cuando sus dimensiones son despreciables frente a las dimensiones de sus desplazamientos.

Ası por ejemplo, la Tierra puede considerarse como un objeto puntual al estudiar su movimiento

respecto al sol, puesto que su diametro son aproximadamente 10,000 km y la distancia media

al sol son 1013 km. Es por lo tanto, un concepto relativo relacionado con el observador.

En Mecanica se considera que un cuerpo esta en movimiento cuando su posicion cambia en

el espacio con relacion a otros que consideramos fijos y que sirven de referencia. Pero tambien


puede suceder que no solo el cuerpo se mueva sino que tambien lo haga el sistema de referencia.

Por lo tanto, el concepto de movimiento siempre tiene un sentido relativo. El mejor modo de

establecer la relacion entre el cuerpo en estudio y su referencial es utilizando un sistema de

coordenadas. Para un punto material bastara determinar sus coordenadas, pero para un cuerpo

extenso habra que determinar las coordenadas de todos sus puntos.

Se dice que el movimiento del punto material es unidimensional si queda perfectamente

determinado por una unica coordenada, x = x(t). Esa ecuacion matematica describe la tra-

yectoria del cuerpo. A cada valor de la variable temporal, t, se le asigna unıvocamente una

posicion de la partıcula. Este tipo de movimiento se denomina a veces rectilıneo. Existen mu-

chos movimientos reales, que tienen lugar en el espacio tridimensional ordinario, que pueden

entenderse como unidimensionales, pues de algun modo solo una de las coordenadas de posicion

varıa apreciablemente en el tiempo. Ejemplos de esto son un movimiento de caıda libre o el de

un tren sobre unos raıles en lınea recta. En otras ocasiones es necesario estudiar la evolucion de

dos coordenadas para describir correctamente la evolucion de la partıcula. En este caso es como

si el movimiento tuviera lugar sobre una superficie plana (bidimensional). Ejemplos de estos

movimientos son el de una bola de billar sobre una mesa o el de un proyectil. En general, para

describir el movimiento de una partıcula en el espacio tridimensional se requiere una trayectoria

de la forma: x = x(t), y = y(t) y z = z(t). Expresado en forma vectorial, el vector de posicion

de la partıcula es una funcion del tiempo de la forma: ~r = ~r(t).

2. Movimiento en una dimension

2.1. Velocidad media

Consideremos una partıcula o punto material moviendose sobre una lınea recta representada

por la coordenada x. Supongamos que en el instante ti se encuentra en la posicion xi y en el tf

en la posicion xf .

Se define la velocidad media de la partıcula en ese intervalo de tiempo como:

v =xf − xitf − ti

≡ ∆x

∆t[v] = LT−1


∆x

∆t

x

tti tf

xi

xf

α

x(t)

La velocidad media es independiente de la trayectoria seguida por la partıcula, solo depende

del espacio recorrido y el tiempo transcurrido. Si una partıcula parte de un determinado punto y

vuelve a el despues de un tiempo, su velocidad media en ese intervalo es cero. Geometricamente,

la velocidad media representa la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final.

v =∆x

∆t= tanα.

2.2. Velocidad instantanea

La velocidad de la partıcula en un instante de tiempo cualquiera se denomina velocidad

instantanea. Es un concepto importante especialmente cuando la velocidad media en diferentes

intervalos de tiempo no es constante. Para determinarla debemos hacer el intervalo temporal

tan pequeno como sea posible de modo que esencialmente no tengan lugar cambios en el estado

de movimiento durante ese pequeno intervalo. Matematicamente:

v = lım∆t→0

v = lım∆t→0

∆x

∆t=dx

dt=⇒ v(t) =

dx(t)

dt.


x

t

xi

ti t +∆ti∆t

0

x(t)

La interpretacion geometrica se puede entender a partir de la figura. Cuando ∆t → 0, el

cociente, ∆x/∆t, representa la pendiente de la recta tangente a la curva, x(t), en el instante ti.

Una vez conocida la velocidad como funcion del tiempo, v = v(t), es posible determinar la

posicion de la partıcula en cualquier instante sin mas que utilizar el concepto de integral.

v =dx

dt−→ v dt = dx −→

∫ x

x0

dx =

∫ v

v0

v(t) dt

=⇒ x = x0 +

∫ t

t0

v(t) dt (1)

A partir de esto, el desplazamiento, x− x0, se puede interpretar geometricamente como el area

bajo la curva v = v(t).

2.3. Aceleracion

Cuando la velocidad de una partıcula permanece constante se dice que realiza un movimiento

uniforme, pero en general la velocidad puede variar con el tiempo. Supongamos una partıcula

que en el instante ti tiene velocidad vi y en el tf velocidad vf . Se define la aceleracion media

en ese intervalo como :

a =vf − vitf − ti

=∆v

∆t

De esa ecuacion se deduce que las dimensiones de esta nueva magnitud son, [a] = LT−2. En

algunos casos la aceleracion media es diferente en distintos intervalos temporales y conviene

entonces definir una aceleracion instantanea como lımite de la aceleracion media en un intervalo

temporal muy pequeno.

a = lım∆t→0

a = lım∆t→0

∆v

∆t=dv

dt=⇒ a(t) =

dv(t)

dt.


Si conocemos la aceleracion instantanea, a = a(t), podemos calcular la velocidad instantanea,

v = v(t), ası:

a(t) =dv

dt−→ dv = a dt −→

∫ v

v0

dv =

∫ t

t0

a dt =⇒ v(t) = v0 +

∫ t

t0

a(t) dt. (2)

La aceleracion, en general, se puede relacionar con la posicion del siguiente modo:

a(t) =dv

dt=

d

dt

(dx

dt

)=d2x

dt2=⇒ a(t) =

d2x

dt2.

Una relacion importante entre velocidad y aceleracion se obtiene ası:

a =dv

dt−→ dv = a dt −→ v dv = av dt = a

dx

��dt��dt =⇒ v dv = a dx∫ v

v0

v dv =

∫ x

x0

a dx =⇒ v2 = v20 + 2

∫ x

x0

a(x) dx (3)

2.4. Ejemplos particulares: movimientos uniforme y uniformementeacelerado

Dos casos analıticamente sencillos son el movimiento uniforme y el movimiento uniforme-

mente acelerado . El primero se produce cuando v ≡ v0 =cte. y el segundo cuando a ≡ a0 =cte.

En el caso particular v = v0 =cte., la integral (1) es trivial y resulta:

x = x0 + v0

∫ t

t0

dt = x0 + v0(t− t0),

que es la relacion que liga posicion con tiempo en un movimiento unidimensional uniforme.

Si la aceleracion es constante, a = a0 =cte. En este caso a 6= a(t) y a partir de (2),

v = v0 + a0

∫ t

t0

dt = v0 + a0(t− t0) =⇒ v(t) = v0 + a0(t− t0). (4)

Utilizando las ecuaciones (1) y (4) tambien se puede obtener para el caso de movimiento uni-

formemente acelerado:

x = x0 +

∫ t

t0

[v0 + a0(t− t0)] dt = x0 + v0(t− t0) +1

2a0(t− t0)2.

Por ultimo, a partir de (3) se obtiene:

v2 = v20 + 2a0(x− x0).

En la figura adjunta se resumen las interpretaciones geometricas de las ecuaciones que hemos

obtenido para el movimiento uniforme y uniformemente acelerado.


+ Movimiento uniforme:

a = 0

v ≡ v0 = cte.

x = x0 + v0(t− t0)

v

t

v= cte. a=0

x-x0

tt0

x

t0

x0

~ v

t

x

t

0

+ Movimiento uniformemente acelerado:

a ≡ a0 = cte.

v = v0 + a0(t− t0)

x = x0 + v0(t− t0) +a0

2(t− t0)2

v

t0

v0

~ a

t

~ v

x

tt0

x0

t

v

0

2.1 Ejemplo

Una partıcula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuacion, x(t) = 2t3 + 5t2 + 5

(S.I.). Determınense:


a) La velocidad y aceleracion instantaneas.

b) La posicion, velocidad y aceleracion en t = 2 s.

c) Velocidad y aceleracion medias entre t = 2 s y t = 3 s.

a)

x(t) = 2t3 + 5t2 + 5

v(t) =dx

dt= 6t2 + 10t

a(t) =dv

dt= 12t+ 10

b) En t = 2 s,

x = 2,23 + 5,22 + 5 = 41 m

v = 24 + 20 = 44 m/s

a = 34 m/s2

c) En el intervalo t = 2 s → 3 s,

a =vf − vitf − ti

=84− 44

1= 40 m/s2

v =xf − xitf − ti

=104− 41

1= 63 m/s

2.2 Ejemplo

La aceleracion de un cuerpo que se desplaza a lo largo del eje x viene dada en funcion de su

posicion por a(x) = 4x − 2 (S.I.). Suponiendo que v0 = 10 m/s cuando x = 0, obtengase la

velocidad en cualquier otra posicion.

a(t) =dv

dt−→ dv = a(t)dt −→ v dv = av dt = a

dx

��dt��dt

=⇒ v dv = a dx,

con lo que integrando:∫ v

v0

v dv =

∫ x

x0

a dx =⇒ v2 = v20 + 2

∫ x

x0

a(x) dx.

En este caso:

v2 = v20 + 2

∫ x

x0

(4x− 2) dx = v20 + 2(2x2 − 2x) =⇒ v(x) = [100 + 4x(x− 1)]1/2 .


2.3 Ejemplo

Caıda libre.

Es un hecho experimental que todo objeto en las proximidades de la superficie terrestre

adquiere una aceleracion aproximadamente g = 9,81 m/s2 cuando se deja en libertad (su-

pondremos que no hay rozamientos y que g no varıa con la latitud, altitud u otros factores).

Tomando como origen la superficie terrestre y coordenadas positivas, y, hacia arriba, la acele-

racion sera negativa, a = −g, y las ecuaciones de movimiento adecuadas las de un movimiento

uniformemente acelerado. Particularizadas a este caso tomaran la forma:

v(t) = v0 − g(t− t0)

y(t) = y0 + v0(t− t0)− 1

2g(t− t0)2

v2(y) = v20 − 2g(y − y0)

Un ejemplo de aplicacion de estas ecuaciones de movimiento podrıa ser el siguiente.

Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 98 m/s desde el techo

de un edificio de 100 m de altura. Obtenganse:

a) La maxima altura que alcanza sobre el suelo y el tiempo que tarda en llegar a ella.

b) La velocidad con que llega al suelo y el tiempo total transcurrido hasta que llega a el.

a)-b)

t0 = 0; v0 = 98m/s; y0 = 100m; a = −g

Altura maxima: v = 0 −→ v0 = g tmax −→ ymax = y0 + v0tmax − 12g t2max

tmax =v0

g= 10 s

ymax = 590m

c)-d) Al llegar al suelo y = 0:

0 = y0 + v0t−1

2gt2

resolviendo−−−−−−→

{t = −0,96 s (sin sentido fısico)

tt = 20,96 s

vt = v0 − g tt = −107,41m/s


3. Movimiento en dos y tres dimensiones

3.1. Velocidad

Supongamos ahora una partıcula moviendose en el espacio. Denotamos su posicion en cada

instante de tiempo por medio de un vector posicion ~r = ~r(t). En coordenadas cartesianas,

la ecuacion de la trayectoria vendra dada por: x = x(t), y = y(t) y z = z(t). En el caso de

movimiento en un plano, las dos primeras ecuaciones son suficientes para describir el movimiento

de la partıcula.

Si la posicion de la partıcula en el instante ti viene dada por ~ri y en el tf por ~rf , se define

su velocidad media en ese intervalo temporal como:

~v =~rf − ~ritf − ti

=∆~r

∆t(5)

r i

r f

ti

tf

∆r

z

x

y

r(t)

~v es un vector paralelo al desplazamiento ∆~r. Para definir la velocidad instantanea basta

tomar el lımite cuando el intervalo temporal tiende a cero.

~v = lım∆t→0

∆~r

∆t=d~r

dt(6)

En componentes tomara la forma:

~v =dx

dt~i+

dy

dt~j +

dz

dt~k = vx~i+ vy~j + vx ~k.

La velocidad instantanea sera un vector tangente a la trayectoria curvilınea, es decir, se puede

expresar: ~v =| ~v | ~ut, donde ~ut es un vector unitario tangente a la trayectoria.


3.2. Aceleracion

En un movimiento curvilıneo, la velocidad puede variar en general, tanto modulo como en

direccion o sentido. Se define la aceleracion media como el cambio de velocidad en un intervalo

temporal determinado:

~a =∆~v

∆t

y la aceleracion instantanea como:

~a = lım∆t→0

~a = lım∆t→0

∆~v

∆t=d~v

dt=dvxdt~i+

dvydt~j +

dvzdt~k

Es un vector que tiene la misma direccion que el cambio de la velocidad, pero en general no

es ni tangente ni perpendicular a la trayectoria. Pero sı es importante destacar, tal y como se

comprueba en la figura, que siempre esta dirigida hacia la concavidad de la curva (formalmente,

hacia la region que contiene el centro de curvatura) que representa la trayectoria de la partıcula,

porque esa es la direccion en que cambia la velocidad.

v(t)

v(t+∆t)

a

a a

vv

v

v

aa

La aceleracion instantanea tambien se puede expresar ası:

~a =d~v

dt=

d

dt

(d~r

dt

)=d2~r

dt2=

(d2x

dt2,d2y

dt2,d2z

dt2

).

3.1 Ejemplo

Una partıcula se desplaza en el espacio y su vector posicion, en cada instante de tiempo, toma

en el SI la siguiente forma:

~r(t) = (t2 − 2)~i+ cos t~j + e2t ~k

Obtenganse:


a) La velocidad en cualquier instante de tiempo, ~v(t).

b) La velocidad inicial de la partıcula y su velocidad en t = 1 s.

c) Su aceleracion, ~a(t).

d) Su aceleracion en el instante inicial y su modulo.

a)

~v(t) =d~r

dt= 2t~i− sen t~j + 2e2t ~k

b)

~v(0) = (0, 0, 2) ~v(1) = (2,− sen 1, 2e2)

c)

~a(t) =d~v

dt= 2~i− cos t~j + 4e2t ~k

b)

~a(0) = (2,−1, 4)

|~a| = (22 + 1 + 42)1/2 = 4,58

3.3. Componentes de la aceleracion

Consideremos una partıcula que describe una trayectoria curva. Supondremos por simplici-

dad que es plana, pero los resultados que obtendremos en esta seccion son validos en general.

Considerando que el vector aceleracion siempre esta dirigido hacia el lado concavo de la curva

siempre se puede descomponer en una componente tangencial a la trayectoria, ~at, y otra com-

ponente normal dirigida hacia el interior de la curva, ~an. Veremos en esa seccion que cada una

de estas componentes tiene un significado fısico claro.

a

ta

na

r (t)


* Aceleracion tangencial , ~at ! cambios del modulo de la velocidad, | ~v |

* Aceleracion normal o centrıpeta, ~an ! cambios en la direccion de ~v

Se puede demostrar (aunque no lo haremos aquı en detalle) que la aceleracion siempre se

puede descomponer ası:

~a =d~v

dt=

d

dt(v~ut) = ~ut

dv

dt+ v

d~utdt

= ~utdv

dt+v2

ρ~un (7)

donde ~ut es un vector unitario (de modulo unidad) tangente a la trayectoria de la partıcula, ~un

es un vector unitario normal a ella y ρ es el radio de curvatura de la trayectoria (es decir, el radio

de la circunferencia que mejor se aproxima a la curva en cierta region). De esa igualdad queda

claro que la componente tangencial tiene por modulo la derivada del modulo de la velocidad,

es decir, esta asociada al cambio del modulo de ~v. Y el segundo esta asociado a la variacion de

la direccion de la velocidad.

Otra forma de expresar la Ec. (7) es la siguiente:

~a = ~at + ~an

donde

~at =dv

dt~ut

~an =v2

ρ~un

En el caso particular de un movimiento rectilıneo, la direccion de la velocidad es constante

y entonces la componente normal es nula. En el caso de un movimiento uniforme es nula la

componente tangencial.

El modulo de la aceleracion en general se puede expresar como:

a = (a2t + a2

n)1/2 =

[(dv

dt

)2

+

(v2

ρ

)2]1/2

.

3.4. Ejemplos particulares

3.4.1. Movimiento circular

Consideremos ahora el caso particular de un movimiento plano con trayectoria circular. Si

el radio de la circunferencia es R, y el arco recorrido, s, abarca un angulo θ, s = Rθ.

~v = v~ut =ds

dt~ut −→ v =

ds

dt= R

dθ

dt


La funcion dθ/dt se denomina velocidad angular y se suele denotar como ω. Sus dimensiones y

unidades en el S.I. son:

[ω] = T−1; S.I. −→ rad

s

Con esta definicion: v = ωR. La velocidad angular tambien se puede definir como una magnitud

vectorial, asociandole una direccion y sentido. Por definicion se considera su direccion como

perpendicular al plano del movimiento y su sentido el dado por la regla de la mano derecha en

funcion del sentido del movimiento, tal y como muestra la figura.

z

x

y

R

ω

v

rγ

R = r sen γ −→ v = ωr sen γ; ~ω =dθ

dt~k =⇒ ~v = ~ω × ~r.

Esta relacion solo es valida para el movimiento circular, porque solo en el r y γ son constantes.

Existe un caso de movimiento circular especialmente sencillo. Es aquel en que la velocidad

angular permanece constante. Se denomina movimiento circular uniforme. Es un movimiento

periodico puesto que la partıcula vuelve a pasar cada cierto tiempo por el mismo punto. Para

este tipo de movimiento es util definir los siguientes conceptos.

- Periodo, T : tiempo que tarda la partıcula en regresar al mismo punto. Si la partıcula

realiza n revoluciones en un tiempo t, T = t/n. Sus dimensiones son [T ] = T .

- Frecuencia, ν: numero de revoluciones por unidad de tiempo, ν = 1/T . Sus dimensiones

son [ν] = T−1 y su unidad en el S.I. es s−1 que recibe el nombre de herzio (Hz).


Para este tipo de movimiento (ω ≡ ω0 = cte.) es sencillo obtener la posicion angular de la

partıcula a partir de la definicion de ω:

ω =dθ

dt−→

∫ θ

θ0

dθ =

∫ t

t0

ω0 dt = ω0

∫ t

t0

dt =⇒ θ(t) = θ0 + ω0(t− t0).

Si se toma la condicion inicial, θ0 = 0 en t0 = 0, resulta: θ = ω0t. Tras una vuelta completa a

la circunferencia:

t = T ; θ = 2π −→ 2π = ω0t −→ ω0 =2π

T= 2πν.

Consideremos ahora el caso en que la velocidad angular de la partıcula cambia con el tiempo.

Se define la aceleracion angular como:¡

~α =d~ω

dt.

Como el movimiento tiene lugar en un plano, la direccion de ~ω no varıa y se verifica la ecuacion

anterior tambien para los modulos de las magnitudes involucradas.

α =dω

dt=d2θ

dt2.

Si α es constante el movimiento se denomina circular uniformemente acelerado. En este caso,

α ≡ α0 = cte.:

∫ ω

ω0

dω =

∫ t

t0

α0 dt = α(t− t0) =⇒ ω(t) = ω0 + α0(t− t0).

Esta ecuacion es analoga a la correspondiente para el movimiento rectilıneo uniforme-

mente acelerado.

ω =dθ

dt=⇒ θ − θ0 =

∫ t

t0

ω dt =

∫ t

t0

[ω0 + α0(t− t0)] dt.

Resolviendo la integral resulta:

θ = θ0 + ω0(t− t0) +1

2α0(t− t0)2.


Todas estas ecuaciones son como en el movimiento lineal en una dimension, sin mas que hacer

las sustituciones:

x −→ θ

v −→ ω

a −→ α (8)

Veamos ahora como son las componentes de la aceleracion en el caso del movimiento circular:

at =dv

dt= R

dω

dt= R

d2θ

dt2= Rα

an =v2

R= ω2R

En el movimiento circular uniforme, at = 0 pero an 6= 0. En este caso ademas se puede

calcular la aceleracion de otro modo:

~v = ~ω × ~r −→ d~v

dt= ~a = ~ω × d~r

dt= ~ω × ~v,

porque d~ω/dt = 0. Entonces,

~a = ~ω × (~ω × ~r).

Pero, en general, para un movimiento circular no uniforme la derivada de la velocidad lineal

para obtener la aceleracion hay que realizarla del siguiente modo:

~a =d~v

dt=

d

dt(~ω × ~r) =

d~ω

dt× ~r + ~ω × d~r

dt= ~α× ~r + ~ω × ~v (9)

Esta ecuacion es valida para cualquier movimiento circular.

3.4.2. Movimiento parabolico

Uno de los casos particulares mas interesantes de movimiento uniformemente acelerado es

el estudio del movimiento de proyectiles. Es simplemente el caso de movimiento plano en que

la aceleracion es la debida a la fuerza gravitatoria. A diferencia del movimiento de caıda libre

en este caso consideramos que la velocidad inicial, ~v0, puede formar un cierto angulo con la

horizontal y ası el movimiento tiene dos componentes.

Igual que hicimos en el movimiento de caıda libre, despreciando las fuerzas de rozamiento

y las anomalıas gravitatorias, podemos considerar que la aceleracion gravitatoria es aproxima-

damente constante y se puede expresar como ~a = ~g = −g~j. Si el proyectil se lanza con una


velocidad inicial ~v0 que forma un angulo α con el eje x, su movimiento bidimensional es una

composicion de un movimiento uniforme en el eje horizontal (donde no hay ninguna aceleracion)

y un movimiento uniformemente acelerado en el eje vertical.

x

y

v (t)

v0

α

g

v=v 0x

v(t)

v0x

v (t)y

R

ym

Condiciones iniciales :

t0 = 0 → ~r0 = (0, 0); ~v0 = v0x~i+ v0y

~j = v0 cosα~i+ v0 senα~j.

Velocidad en cualquier instante de tiempo:

~v(t) = vx~i+ vy~j,

donde: {vx = v0x = v0 cosα = cte.

vy = v0y − gt = v0 senα− gt

Vector posicion en cualquier instante:

~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j,

donde: {x(t) = v0xt = v0 cosα t

y(t) = v0yt− 12gt2 = v0 senα t− 1

2gt2

- Tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la maxima altura, tm.

La condicion de maxima altura viene dada porque en ella vy = 0. Entonces v0y = gtm y

despejando tm: tm = v0 senα/g.


- Altura maxima, ym.

Basta sustituir tm en la ecuacion que da y = y(t).

ym = y(tm) = v0 senα

(v0 senα

g

)− 1

2g

(v0α

g

)2

=⇒ ym =1

2

v20 sen2 α

g

- Tiempo de vuelo, tv.

Se define como el tiempo que tarda el proyectil en volver a la altura inicial, y = 0.

0 = v0 senα t− 1

2gt2 =⇒ tv =

2v0 senα

g= 2tm

- Alcance, R.

Es la distancia horizontal total que recorre el proyectil, R = x(tv).

R = x(tv) = v0x2v0 senα

g=v2

0

g(2 senα cosα) =

v20

gsen 2α.

Esta funcion toma un valor maximo para α = 45o. Tengase en cuenta que en estos

razonamientos no se ha tenido en cuenta la curvatura de la Tierra por lo que solo son

validos para alcances no demasiado grandes.

Ecuacion de la trayectoria, y = y(x).

Eliminando t entre las ecuaciones x = x(t) e y = y(t) se obtiene:

y(x) = x tanα− g

2v20 cos2 α

x2

que es la ecuacion de una parabola invertida, de ahı que este tipo de movimiento reciba

el nombre de parabolico.

4. Movimiento relativo

El concepto de movimiento siempre es un concepto relativo, pues debe referirse a un sistema

de referencia particular, escogido por el observador. Como diferentes observadores pueden elegir

distintos sistemas de referencia, es importante estudiar que relacion hay entre las observaciones

de uno y otro.

Por ejemplo, la mayor parte de las observaciones de nuestra vida cotidiana estan referidas a

la Tierra, es decir, a un sistema de referencia que se mueve con ella (de forma muy compleja).


Sin embargo, los astrofısicos prefieren considerar como sistema de referencia, las denominadas

estrellas fijas (estrellas tan lejanas que su movimiento es inapreciable desde la Tierra) y en

fısica atomica el movimiento de los electrones se refiere al nucleo atomico. La posibilidad de

elegir un sistema de referencia absoluto preocupo durante mucho tiempo a fısicos y filosofos.

Y de hecho durante algunos siglos se supuso la existencia de un extrano sistema, llamado eter

que era una sustancia que llenaba el espacio vacıo y se podıa considerar como un sistema de

referencia absoluto. Hoy en dıa la busqueda de un sistema absoluto es innecesaria e irrelevante.

4.1. Velocidad relativa

Consideremos dos objetos puntuales A y B y un observador O que utiliza como sistema de

referencia unos ejes cartesianos. Las velocidades de A y B respecto a O seran:

~vA =d~rAdt

; ~vB =d~rBdt

La velocidad relativa de B respecto de A sera, ~rAB = d~rAB/dt, y la de B respecto de A:

~rBA = d~rBA/dt, donde ~rAB = ~rB − ~rA y ~rBA = ~rA − ~rB.

r A

z

x

y

A

B

r B

r AB

v A v B

O

Como ~rAB = −~rBA resulta que las velocidades relativas son vectores identicos pero con

sentidos opuestos: ~vAB = −~vBA.

~vAB =d~rABdt

=d~rBdt− d~rA

dt= ~vB − ~vA

~vBA = −~vAB = ~vA − ~vB

Luego la velocidad relativa es la diferencia vectorial de velocidades respecto al sistema O.


4.2. Aceleracion relativa

La aceleracion relativa se calcula derivando respecto al tiempo la velocidad relativa:

~aAB =d~vABdt

=d~vBdt− d~vA

dt=⇒ ~aAB = ~aB − ~aA, ~aBA = ~aA − ~aB

En el caso particular de que una de las dos partıculas se desplace con velocidad constante, por

ejemplo, si ~vB = 0, la aceleracion relativa es la de la otra partıcula, ~aAB = ~a. Y si las dos se

desplazan con velocidad constante su aceleracion relativa, evidentemente es cero.


5. Problemas

1. La velocidad de una partıcula que se mueve en lınea recta viene dada por v = 4t2−6t+ 2

(S.I.). Sabiendo que en t = 0, x0 = 3 m, calcula:

a) Su posicion en cualquier instante.

b) Su aceleracion instantanea.

c) Su aceleracion media entre t1 = 1 s y t2 = 2 s.

(Respuestas : a) x(t) = 3 +4

3t3 − 3t2 + 2t; b) a(t) = 8t− 6; c) a = 6 m/s2)

2. La variacion de la aceleracion de la gravedad con la altura viene dada por:

g = − GM0

(R0 + h)2

y cuando h = 0, g0 = 9,8 m/s2. Teniendo en cuenta esta expresion calcula la velocidad

inicial, v0, que habrıa que darle a un objeto para que lanzado desde la superficie terrestre

ascienda una altura vertical de 4000 km. (R0 = 6000 km).

3. La ecuacion que define la trayectoria de una partıcula en un plano XY viene dada por

~r = 5t~i+ (10√

3t− 5t2)~j. Determınense:

a) La ecuacion de su trayectoria, y = f(x).

b) Los vectores velocidad y aceleracion.

c) Los modulos de la aceleracion tangencial y normal en t = 1 s.

(Respuestas : a) y(x) = 2√

3x − 1

5x2. b) ~v = 5~i + 10(

√3 − t)~j; ~a = −10~j. c)

at = 8,2 m/s2; an = 5,7 m/s2)

4. Se dispara un canon con una inclinacion de 45◦

respecto a la horizontal, siendo la velocidad

inicial del proyectil 490 m/s. Calculense:

a) El alcance, la altura maxima y los tiempos correspondientes.

b) La posicion del proyectil y su velocidad al cabo de 2 s.

5. Una pelota rueda por un tejado que forma un angulo de 30◦

con la horizontal y al llegar a

su extremo tiene una velocidad de 10 m/s. La altura del edificio es de 60 m y la anchura

de la calle a la que vierte el tejado es de 30 m. Calcula:


a) Las ecuaciones de movimiento de la pelota y la ecuacion de su trayectoria.

b) ¿Llegara directamente al suelo o chocara antes con la pared opuesta?

c) Tiempo que tarda en llegar al suelo y velocidad en ese momento.

d) Posicion en que se encuentra cuando su velocidad forma un angulo de 45◦

con la

horizontal.

(Respuestas : a) ~a(t) = −9,8~j (S.I.); ~v(t) = (v0 cosα,−v0 senα−gt); ~r(t) = (v0t cosα, y0−v0t senα−1

2gt2); b) No choca con la pared; c) t = 3 s; v = 35,5 m/s; d) ~r = 3,5~i+2,8~j

(S.I.).)

6. Una barca que se dirige hacia el norte cruza un rıo muy ancho con una velocidad de 10

km/h con respecto al agua. La velocidad del agua del rıo es de 5 km/h hacia el este.

a) Determina la velocidad del bote respecto a un observador estacionario en tierra.

b) Si el bote desease ir directamente hacia el norte (con la misma velocidad), ¿en que di-

reccion debe dirigirse?

7. Un avion militar vuela horizontalmente a una velocidad de 360 km/h y a una altura de

1000 m.

a) Si quiere lanzar una bomba sobre un objetivo estatico en tierra, ¿a que distancia

horizontal de este debe hacerlo?

b) Si el objetivo es un camion que circula a 72 km/h en la misma trayectoria rectilınea

que el bombardero, ¿a que distancia debe lanzar la bomba, tanto si el camion se acerca

como si se aleja?

(Respuestas : a) x = 1429 m; b) x = 1714 si se acerca y x = 1143 si se aleja.)

8. Un cuerpo inicialmente en reposo se mueve en una trayectoria rectilınea con una acele-

racion a = me−nt, donde m y n con constantes. Calcula la velocidad maxima que puede

alcanzar el cuerpo y el espacio recorrido en un tiempo t.

9. a) Un disco gira a 33,3 rev/min. ¿Cual es su velocidad angular?

b) Un disco gira con aceleracion angular constante α = 2 rad/s2. Si parte del reposo,

¿Cuantas revoluciones dara en los 10 primeros segundos?

c) ¿Cual es la velocidad angular del disco del apartado anterior al cabo de 10 s?


(Respuestas : a) ω = 3,5 rad/s; b) θ = 15,9 rev; c) ω = 20 rad/s. )

10. El vector de posicion de una partıcula que se mueve en una trayectoria plana es ~r =

[5 cos(πt)− 1]~i+ (5 sen(πt) + 2]~j (S.I.).

a) Demuestrese que el movimiento es circular y uniforme.

b) Calcula el radio de la trayectoria.

c) Calcula la frecuencia del movimiento.

11. Las ecuaciones parametricas del movimiento de una partıcula son: x = 3 + 2t+ 4t2; y =

−1 + t + 2t2; z = 5 − 3t − 6t2 . Determinar: a) El tipo de movimiento descrito por la

partıcula. b) La ecuacion de la trayectoria. c) La velocidad media en el intervalo de tiempo

(1, 3). d) La ley horaria del movimiento, tomando como origen su posicion en t = 0 s.

(Respuestas : a) Movimiento rectilıneo uniformemente acelerado; b)x− 3

2= y + 1 =

z − 5

−3; c) (18, 9,−27) m/s; d)

√14 (2t2 + t))

12. Un punto material se mueve en el plano XY con las siguientes velocidades y aceleraciones:

vy = 8t (m/s) ; ax = 4t (m/s2) con t en segundos. Cuando t = 0 s, ~r = (0, 2) m, vx = 0

m/s. Hallar: a) La ecuacion cartesiana de la trayectoria. b) La rapidez de la partıcula

cuando la coordenada x alcanza el valor de 18 m.

13. Un trineo impulsado por motores-cohete inicia su movimiento desde el reposo con una

aceleracion a1 = 9x m/s2, debiendo obtener una velocidad de 80 m/s en el punto B de

la plataforma de lanzamiento de longitud D. Despues de haber dejado la plataforma de

lanzamiento en el punto B, el trineo empieza a desacelerarse con una a2 = −0, 2t m/s2,

hasta detener su movimiento en el punto C. Calcular: a) La longitud D necesaria para la

plataforma de lanzamiento. b) El tiempo requerido por el trineo para recorrer la distancia

de B a C. c) La longitud requerida L entre los puntos B y C.

(Respuestas : a) 26, 67 m; b) 28, 28 s; c) 1508, 49 m)


14. Una partıcula se mueve en el plano XY con las siguientes velocidades vx = 2/x m/s ,

vy = 2t + 4 m/s, y para t = 0 s la posicion de la partıcula es (0, 1) m. Calcular: a) La

ecuacion de la trayectoria. b) La velocidad y aceleracion para t = 1 s. c) La pendiente de

la trayectoria para t = 1 s. d) La aceleracion tangencial, aceleracion normal y radio de

curvatura para t = 1 s.

15. Se lanza una partıcula de masa m con un angulo de 45◦

respecto de la horizontal, desde un

punto situado a una altura de 2 m sobre el suelo. La partıcula cae al suelo a una distancia

de 18 m. Teniendo en cuenta que la aceleracion debida al viento es av =g

3(1, 1) (m/s2),

siendo g la aceleracion de la gravedad. Calcular: a) La velocidad inicial. b) La velocidad

con la que la partıcula llega al suelo. c) La altura maxima alcanzada por la partıcula.

(Respuestas : a) 7, 93 m/s; b) 14, 38 m/s ; α = −31, 87◦; c) 4, 41 m)

16. Un artillero dispara una pieza 10 s despues se ve en el cielo la nubecilla de la explosion que

se halla 30◦

sobre la horizontal y 2 s despues de verla, oye el estampido que el proyectil

produce al explosionar. Si la aceleracion del viento es av = − gt10

(m/s2) en direccion

horizontal y suponiendo la velocidad del sonido en el aire 340 m/s, calcula la velocidad

inicial del proyectil y el angulo de tiro.

17. La ecuacion del movimiento de una partıcula que se desplaza por una circunferencia

viene dada por: s = 1− t + 2t2 (S.I.). Calcular: a) La rapidez del movil y su aceleracion

tangencial, normal y total en el instante t = 2 s, sabiendo que an = 0, 2 m/s2 para t = 1

s. b) La aceleracion angular y la velocidad angular para t = 10 s.

(Respuestas : a) 7 m/s; at = 4 m/s2; an = 1, 09 m/s2; a = 4, 15 m/s2; b) 88, 89×10−3

rad/s2; 0, 87 rad/s)


18. Una partıcula se mueve sobre un cırculo de radio r = 2 m segun la ley φ = 3t2 − 2t,

donde φ esta expresado en radianes y t en segundos. Calcular: el angulo descrito, el arco

recorrido, las velocidades lineal y angular, y las aceleraciones tangencial, centrıpeta y

angular a los 4 s de iniciado el movimiento.

19. Una partıcula recorre la parabola y =x2

50dirigiendose hacia el punto O, como muestra la

figura. La rapidez de la partıcula es de la forma v = 10t (m/s). a) Si la partıcula tarda

3 s en llegar al punto A, calcular el vector velocidad y las componentes intrınsecas de

la aceleracion en A. b) Si la partıcula tarda 5 s en llegar al punto O, calcular el vector

velocidad y las componentes intrınsecas de la aceleracion en O.

(Respuestas : a) ~v = (−13,42,−26,83) m/s; 10 m/s2; 3,22 m/s2; b) ~v = (−50, 0)

m/s; 10 m/s2; 100 m/s2)

20. La pesa B esta conectada a una polea doble por uno de los cables inextensibles mostra-

dos en la figura.El movimiento de la polea es controlado por el cable C que tiene una

aceleracion constante de 23 cm/s2 y una velocidad inicial de 30 cm/s, ambas dirigidas a

la derecha. Determina: a) El numero de revoluciones ejecutadas por la polea en 2 s. b)

La velocidad y el cambio en la posicion de la pesa B despues de 2 s. c) La aceleracion del

punto D sobre el borde de la polea interior de t = 0 s.


21. El ensamble que se muestra esta compuesto por dos varillas y una placa rectangular

BCDE soldadas entre si. El ensamble gira alrededor del eje AB con velocidad angular

constante de 10 rad/s y que disminuye a razon de 20 rad/s2. Si la rotacion es en sentido

contrario al de las manecillas del reloj cuando se observa desde B, determina la velocidad

y aceleracion de C.

(Respuestas : ~vC = (0,−2,4,−1,8) m/s; ~aC = (18, 19,2,−15,6) m/s2)

22. La varilla acodada ABCD gira con velocidad angular constante 75 rad/s y que disminuye

a razon de 600 rad/s2 alrededor de una lınea que une los puntos A y D. Si en el instante

considerado la velocidad de la esquina C va hacia arriba, determina velocidad y aceleracion

para la esquina B.

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