TEMA 01LA FÍSICA Y LA MATEMÁTICA

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Prof. Ricardo Nitsche Corvalán

1.1.- LA FÍSICA - INTRODUCCIÓN

1.1.1.- Física (definición y breve historia).

La física es una ciencia natural que estudia las propiedades del espacio,La física es una ciencia natural que estudia las propiedades del espacio,La física es una ciencia natural que estudia las propiedades del espacio,La física es una ciencia natural que estudia las propiedades del espacio,

el tiempo, la materia y la energía, así como sus interacciones.el tiempo, la materia y la energía, así como sus interacciones.el tiempo, la materia y la energía, así como sus interacciones.el tiempo, la materia y la energía, así como sus interacciones.

La física se inició hace casi 2500 años atrás, como una filosofía del

mundo natural; los antiguos griegos agruparon en esos inicios ramas hoy tan

distintas como son la física, la química, la biología, la astronomía, la geografía y

la matemática. Para ese entonces la explicación del mundo mezclaba aspectos

que hoy podríamos catalogar de fantasía; pero algunos hechos eran tan visibles

que para ese entonces no se podían discutir. Por ejemplo: a) se hace necesario

aplicar una fuerza para que un cuerpo se mueva; b) todos los objetos caen a la

tierra, de modo que ella es el centro del universo conocido; c) las estrellas, el sol

la luna y los planetas recorren el cielo en círculos alrededor de la tierra.

Si bien estos hechos forman parte de la cotidianidad, hubo que esperar

casi veinte siglos para que algunas irregularidades también visibles, como que los

planetas no seguían círculos sino que avanzan y retroceden en el cielo tuvieran

una nueva explicación. El modelo heliocéntrico (sol centro del sistema) de Nicolás

Copérnico y Galileo Galilei señalando que las explicaciones debían ser

comprobadas a través de experimentos medibles, crearían una Revolución

Científica en el siglo XVI en la cual la física surge para convertirse en una ciencia

moderna independiente. Una ciencia que al estudiar al mundo se involucra con la

mayoría de las ciencias naturales y con la matemática. El método científico o

experimental (medir para poder explicar) fue aplicado luego por científicos como

Johannes Kepler, Blaise Pascal y Christian Huygens.

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Para el siglo XVII, un científico inglés, Sir Isaac Newton, reuniría muchas

de las ideas de sus predecesores y unificando las ideas del movimiento celeste y

las de los movimientos en la Tierra en lo que él llamó gravedad. Sus tres

principios del movimiento y su Ley de la gravitación universal, transformaron por

completo el mundo físico; y surgió la idea de que todos los fenómenos podían ser

vistos de una manera mecánica, como si el mundo se tratar de un gran reloj.

Para el siglo XVIII las ideas de Newton permitieron el desarrollo de otras

disciplinas, como la termodinámica, la óptica, la mecánica de fluidos y la

mecánica estadística, de manos de científicos como Daniel Bernoulli, Robert Boyle

y Robert Hooke, entre otros. El siglo XIX se producen avances fundamentales en la

electricidad y el magnetismo, principalmente de la mano de Charles-Augustin de

Coulomb, Luigi Galvani, Michael Faraday y Georg Simon Ohm, que culminaron

en el trabajo de James Clerk Maxwell de 1855, que logró la unificación de

ambas ramas creando una única: el electromagnetismo.

A finales del siglo XIX y principios del siglo XX al empezar a estudiar los

componentes de la materia (los átomos), la naturaleza de la luz y la radiación

científicos como Joseph John Thomson, Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr,

Ernest Rutherford, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger y Paul Adrien Maurice

Dirac llegaron a desarrollar la mecánica cuántica, y en la misma el azar, las

probabilidades y las incertidumbres derrumbaron el predecible reloj del mundo de

Newton. Por esas fechas la Teoría de la Relatividad de Albert Einstein para el

universo que modifica y sustituye a la Ley de gravitación de Newton, en ella

espacio y tiempo se unifican en uno sólo y la materia y la energía son dos caras

de la misma moneda. El gran reto de los científicos de hoy es tratar de unificar

ambas teorías (la mecánica cuántica y la Teoría de la Relatividad), ya que ambas

son contradictorias entre si.

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1.1.2.- El método científico.

Antes de discutir el método aplicado por la física, química y otras ciencias

naturales, haremos una distinción entre los tipos de ciencias; en primer lugar la

ciencia se divide en dos grandes grupos: las ciencias formales y las ciencias

empíricas; las primeras incluyen a la matemática y la lógica, no son ciencias en

si, ya que no explican el mundo; sin embargo son las herramientas del segundo

grupo. La ciencias empíricas por otro lado, estudian al mundo que nos rodea,

parten de lo particular y van a lo general; se dividen en dos grandes grupos;

primero, las ciencias naturales, que estudian al mundo externo al hombre;

ellas incluyen la física, química, geología, astronomía, biología, etcétera. El

segundo grupo de las ciencias empíricas son las llamadas ciencias

humanísticas o sociales, porque su objeto de estudio es el hombre, en sus

distintas facetas, incluye a la sociología, antropología, psiquiatría, etcétera. La

ventaja del grupo de las naturales contras las humanísticas es que tienen menos

problema de subjetividad.

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La física, seguida de la química, son quizás las ciencias naturales que

mayores logros han tenido; ¿cómo lo han logrado?, bueno simple, en primer

lugar el científico observa los hechos, por hecho entendemos todo lo que puede

ser observado; por ejemplo: se observa que las hojas son verde, que el sol sale

por el este y se oculta por el oeste, que al calentarse una barra de hierro su

volumen aumenta, etcétera. A partir de los hechos los científicos proponen

hipótesis, las hipótesis constituyen explicaciones tentativas de los hechos.

Definida una hipótesis, los científicos tienen que probarla, o mejor dicho

refutarla, para ello realizan estrictas pruebas, muy controladas, donde todos los

factores que pueden estar interfiriendo son medidos rigurosamente, se busca

relación entre los distintos factores hasta obtener unos resultados. Este proceso es

lo que conoce como experimentación, que en principio no es otra cosa que

una observación controlada. La experimentación solo puede tener dos resultados,

la primera posibilidad es que la hipótesis sea verdadera y la segunda posibilidad

es que los resultados indiquen que la hipótesis no es correcta, por tanto lo único

que queda es reformar la hipótesis.

En este nivel distintas pruebas pueden dar origen a lo que se conoce como

ley científica; en vez de trabajar con casos particulares creamos por así decirlo

una super-hipótesis, esta agrupa todas estas hipótesis individuales en algo más

grande y único, la Ley. Esta es la primera propiedad de las leyes, las leyes en

primer lugar agrupan y en segundo lugar las leyes permiten predecir. Por

supuesto toda ley debe ser sometida a la experimentación.

El último paso del método científico es la formulación de teorías; las

teorías constituyen macro explicaciones del mundo que nos rodean, se basan no

en una, sino en muchas leyes. Las teorías se encuentran por encima del mundo

natural y su gran importancia es que pueden plantear nuevos hechos, es por ello

que mucha de la física moderna es física teórica.

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1.2.- MATEMÁTICAS EN FÍSICA

1.2.1.- Cifras significativas.

Definimos como cifras significativas aquellas cantidades (números) que

pueden ser leidos en un instrumento al hacer una medición, más una cifra última

cifra que es aproximada.

Para poder tener claro cuantas cifras tiene una lectura lo primero que

debemos conocer es la apreciación del intrumento. La apreciación de un

instrumento viene dada por la espresión:

A = Ls − Lin

Siendo: A = apreciación, Ls = lectura superior, Li = lectura inferior y n =

número de divisiones entre ambas lecturas. Observemos la siguiente escala y

apliquemos la fórmula para determinar la apreciación del mismo:

.0

Para la figura anterior se tiene que la apreciación es:

A = 2 − 110

= 110

= 0,1unidades

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Conociendo la apreciación podemos determinar la lectura que se está

midiendo, en los siguientes ejemplos tenemos:

L1 = 3 + 0,2 + 0,05 = 3,25unidades

L2 = 0 + 0,6 + 0,06 = 0,66unidades

La primera cantidad tiene tres cifras significativas, la segunda sólo tiene

dos; la última cifra en cada caso fue estimada por el observador.

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Ejercicios propuestos 1.1. Dado los siguientes relojes, determinar laapreciación de las horas y los minutos en cada reloj.

Ejercicios propuestos 1.2. Dado los siguientes relojes, si la aguja marca lahora, cuál es la hora que marca cada reloj

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Ejercicios propuestos 1.3. Dado los siguientes relojes, si la aguja marca lominutos, cuántos minutos indica cada reloj

[1] d 442,30

[2] d 1,001

[3] d 0,0002

[4] d 1,205 $ 103

[5] d 3,18 $ 10−5

[6] d 0,02150

[7] d 888,301

[8] d 316

Ejercicios propuestos 1.4. Indicar para las siguientes cantidades cuantascifras significativas tiene cada una:

________________________

Nota: los ceros a la derecha del primer número distinto de cero no cuentan, los ceros a laizquierda del último número distinto de cero si cuentan porque pueden ser leidos.

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1.2.2.- Notación científica

La notación científica es una manera rápida de representar un número

utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar

fácilmente números muy grandes o muy pequeños.

Los números se escriben como un producto:

xxxx $ 11110000n

Donde: “x ”, un número entero o decimal mayor o igual que 1 y menor

que 10, que recibe el nombre de mantisa y “n ”, un número entero, que recibe el

nombre de exponente u orden de magnitud.

La notación científica fue concebida como un modelo de representación

de los números reales mediante coma flotante. La idea fue propuesta por

Leonardo Torres Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) y George Robert Stibitz

(1939). Cantidades físicas como la carga de un electrón o la masa de la tierra

son muy pequeñas o muy grandes que si se escribieran completas serían muy

engorrosas de trabajar; en notación científica podemos ver la comparación:

qe = 0,000 000 000 000 000 000 169coulombios = 1,69 $ 10−19C

m tierra = 5 973 600 000 000 000 000 000 000 kg = 5,9736 $ 1024kg

________________________

Nota: La mayoría de las calculadoras y muchos programas de computadora presentan resultadosmuy grandes y/o muy pequeños en notación científica; la base 10 se omite generalmente y seutiliza la letra E (mayúscula o minúscula) para indicar el exponente; por ejemplo: 1,562E29 =1,562·1029.

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Para expresar un número en notación científica, la cantidad se escribe

como un número decimal, cuya parte entera no puede ser mayor que 9, ni menor

que 1. El valor del exponente corresponde al número de posiciones en que es

rodada la coma decimal, positivo si se desplaza a la derecha, negativo en caso

contrario.

2153 d 2153 $ 100

d 125,3 $ 101

d 12,53 $ 102

d 1111, 222255553333 $ 111100003333 tiene 4 cifras significativas

0, 0083 d 0,0083 $ 100

d 0,083 $ 10−1

d 0,83 $ 10−2

d 8888, 3333 $ 11110000−3333 tiene dos cifras significativas

Ejemplo 1.1.

Ver pagina 9

Ejercicios propuestos 1.5. (exprese las cantidades del ejercicio 1.4 ennotación científica

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3, 25 $ 103 + 4,281 $ 103 − 1, 3622 $ 103 d (3, 25 + 4, 281 − 1,3622) $ 103

d 6,1732 $ 103

d 6666, 11117777 $ 111100003333

Si el exponente es distinto, se debe transformar todas las cantidades al demayor exponente

2, 3 $ 104 + 8,2 $ 103 + 9, 1 $ 102 d

d 2,3 $ 104 + 0,82 $ 104 + 0,091 $ 104

d (2,3 + 0,82 + 0, 091) $ 104

d 3,211 $ 104

d 3333, 2222 $ 111100004444

Ejemplo 1.2. Al sumar y restar cantidades en notación científica se debetener en cuenta que el exponente se el mismo. Se suman o restan lascantidades que tienen igual exponente.

________________________

Nota: Al sumar o restar cualquier cantidad, el resultado no puede tener más decimales que lacifra que tiene menos decimales. Esta regla es valida tanto para cuando se usa notación científicacomo cuando no se usa o requiere.

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[1] d 2,532 + 0, 002 − 88,33

[2] d 5,33 $ 102 + 142,3

[3] d 8,747 $ 10−2 − 0,00348

[4] d 1,012 $ 103 + 7,87 $ 102

Ejercicios propuestos 1.6. Sume o reste las siguientes cantidades y expreselos resultados en notación científica, respetando la norma para la suma decantidades

(2, 83 $ 102 ) $ (5, 487 $ 107 )

(4, 2445 $ 104 )d

d2,83 $ 5,487

4,2545$ 10 (2+7−4)

d 3,6498319... $ 105

d 3333, 66665555 $ 111100005555

Ejemplo 1.3. Al multiplicar o dividir cantidades en notación científica semultiplican o dividen las cantidades y se suman o restan los exponentes

(42,3) $ (8, 5) d 359,55 d 3, 6 $ 102

(425, 4)/(28, 2) d 15,0851... d 15,1 d 1, 51 $ 101

Ejemplo 1.4. Al multiplicar o dividir cantidades conviene expresar losresultados en notación científica para respetar la norma indicada en la notainferior

________________________

Nota: Al multiplicar o dividir cualquier cantidad, el resultado no puede tener más cifrassignificativa que la que tiene menos cifras significativas.. Esta regla es valida tanto para cuando seusa notación científica como cuando no se usa o requiere.

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[1] d (3, 532) $ (0, 0023)/(7, 37)

[2] d (7, 45 $ 105 ) $ (44, 8)

[3] d (1, 235 $ 10−2 )/(0, 00487)

[4] d (5, 202 $ 103 ) $ (4, 40 $ 102 )

[5] d (2, 34 $ 102 )/(8792,32)

[6] d (3, 5567 $ 10−3 )/(2, 67 $ 10−7 )

Ejercicios propuestos 1.7 multiplique o divida las siguientes cantidades yexprese los resultados en notación científica, respetando la norma para lamultiplicación de cantidades

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