Tecnología Mantenimiento Mecanico

Apuntes de Tecnología de Mecanismos

1. METROLOGÍA

2. ROZAMIENTO

3. ELEMENTOS DE MÁQUINAS

4. ENGRANAJES

5. MÁQUINAS HERRAMIENTAS

6. TRANSMISIÓN DEL MOVIMIENTO

7. MECANISMOS

8. VOLANTES Y REGULADORES

9. LUBRICACIÓN Y COJINETES

10. RECIPIENTES Y TUBOS

TECNOLOGÍA MECÁNICA

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METROLOGÍA

La metrología está conformada por una serie de operaciones de mediciones destinadas a obtener las dimensiones y realizar el trazado para la elaboración de piezas o elementos empleando el trabajo manual o mecánico y efectuar la verificación y control de sus medidas según exigencias del proyecto. Para ello se utiliza una serie de instrumentos o herramientas de medición y una metodología adecuada a las necesidades. Medición: consiste en obtener la cantidad de veces que una cierta magnitud unidad se encuentra contenida entre límites fijados. Estos límites no siempre son visibles o perfectamente determinados, como ser en el caso de medición de diámetros, profundidades, espesores, etc. en los cuales se deben tomar distancia entre dos planos paralelos o entre superficies cilíndricas o esféricas. Exactitud de las medidas obtenidas: las medidas obtenidas nunca son exactas, es decir, no se obtienen los valores reales, ya que la medida obtenida dependerá de la apreciación del instrumento o herramienta empleada (menor división del instrumento: m, dm, cm, mm, µ, etc.), de su precisión (desgaste, divisiones inexactas o irregulares), de las condiciones ambientales (influencia de la temperatura, etc.) y de la habilidad del operador que la efectúa (error de paralaje). La menor división del instrumento empleado dará el grado de apreciación de la medición efectuada cuando se mide directamente. Por ejemplo, con una cinta graduada con divisiones de 1 milímetro se obtendrán lecturas directas milimétricas. La precisión de la medida obtenida dependerá tanto de la calidad del instrumento, de la menor división del mismo, como de la habilidad del operador. Este último podrá apreciar a “ojo” si el tamaño de la menor división lo permitiera, cual es la medida más aproximada a la real. Por ejemplo, en el caso de que la menor división fuera el milímetro, podrá apreciar con las décimas de milímetros (Fig.1.1).

Error de medición (e): cuando se mide se introducen errores en la medición, siendo este error (e) igual a la diferencia entre el verdadero valor (m) y la medida realizada (mi) :

e = m – mi (1.1)

Existen dos tipos de errores, errores sistemáticos y errores accidentales. Los errores sistemáticos son causados por defecto del instrumento, del método empleado o por fallas del observador. Son difíciles de detectar, y por más mediciones que se hagan siempre estarán todas ellas afectadas del mismo error. Son difíciles de eliminar. Los errores accidentales son producidos por causas fortuitas y accidentales. Varían al azar, pudiendo producirse en un sentido o en otro (en más o en menos) y no tienen siempre el mismo valor absoluto. Son muy frecuentes y se presentan por ejemplo debido a la coincidencia entre índice y escala, a descuidos por parte del observador, etc. Por producirse al azar es posible disminuirlos, según la teoría de errores de Gauss, mediante la aplicación de la teoría de las probabilidades. Para ello se hacen nmediciones, m1, m2, m3, ...mn resultando el valor más probable:

nm

m i∑=(1.2)

siendo: xi = m - mi (1.3) donde es xi el error cometido de la medición efectuada respecto del valor más probable, que es igual en ambas direcciones, es decir +xi o -xi. Por lo tanto, por ser los errores cometidos en

1


3

ambas direcciones de igual valor absoluto pero de signos diferentes, se anularan mutuamente, resultando:

0

1

=∑=

n

xix

(1.4) Para evitar esta situación se toma la sumatoria de los cuadrados de los xi, se los divide por el número de mediciones n y se le extrae la raíz cuadrada, obteniéndose el error medio cuadrático:

nx

m ic

∑=∆2

(1.5)

Gauss da una función ϕ(x) llamada función error de Gauss que da la probabilidad de obtener un cierto error xi dentro de un cierto intervalo cuando se hace un número grande de medidas independientes; la gráfica de esta función (Fig.1.2), es la llamada campana de Gauss. La probabilidad de cometer errores pequeños es grande en tanto que la de cometer errores grandes es pequeña. Si la verdadera medida es m, el error verdadero de la media estará dado por la expresión:

∆m = m - m(1.6) El cual, en función del error medio cuadrático se puede demostrar que es:

( )11

22

−=

−∆

=∆ ∑nn

xn

mm ic

(1.7) Por lo tanto, para obtener la magnitud m, luego de efectuar n mediciones, de la (1.6) se obtiene, teniendo en cuenta el doble signo de la raíz cuadrada:

m = m ± ∆m (1.8) O sea: m - ∆m ≤ m ≤ m + ∆m(1.9) Es decir que el valor verdadero de la medición estará comprendido entre ambos extremos del intervalo, siendo este último menor, cuanto más mediciones se realicen. Para aplicar la teoría de Gauss es necesario que sea ∑xi = 0, lo que se cumple en la práctica cuando es ∑xi << ∑ xi .

Unidades: las unidades empleadas son las adoptadas actualmente por el S.I. en todo el mundo y en la Argentina por el SIMELA. La unidad de longitud es el metro (m); en mecánica se emplea el milímetro (mm) a fin de abarcar pequeñas y grandes medidas, utilizándose una única unidad. Los submúltiplos del milímetro son: décimas de milímetro (0,1mm), centésimas de milímetro (0,01mm) y milésimas de milímetro (0,001mm). Aún se utiliza por su gran difusión, la pulgada


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como unidad de medida (1"), siendo: 1"= 25,4mm. Los submúltiplos de la pulgada se toman como fracciones de la misma: 1/2" 1/4", 1/8", 1/16", 1/32", 1/64", etc. También se usa un sistema mixto dividiendo la pulgada en decimos, centésimos, milésimos y diezmilésimos de pulgada: 2".215 (dos pulgadas doscientos quince milésimas); .32" (treinta y dos centésimas de pulgada). Cuando se necesita máxima precisión y exactitud se utiliza el micrón (µ) como unidad, siendo el micrón la millonésima parte del metro: 1µ = 10-6m = 10-3mm. Para las medidas angulares se utiliza el grado sexagesimal y como submúltiplos de éste el minuto (´) y el segundo (´´). Otra unidad empleada en medidas angulares es el radián atendiendo a que el ángulo central del circulo en un giro completo mide 2π radianes. Influencia de la temperatura en la medición: debido a la dilatación que sufren los metales con la temperatura, cuando se necesita obtener medidas de gran precisión, hay que tener en cuenta la variación que sufren tanto los elementos a medir como los propios instrumentos de medición. Por tal motivo se corrigen los valores obtenidos a una temperatura base, utilizándose la conocida fórmula:

l = l0 ± l0δ ∆t = l0 ( 1 ± δ ∆t ) (1.10) En la (1.10) se utiliza el signo más (+) para las temperaturas mayores a la tomada como base y el signo menos (-) para las menores a ella. En la fórmula anterior es l0 la medida registrada a la temperatura base, l es la medida obtenida a la temperatura ambiente y ∆ t la diferencia entre la temperatura ambiente y la de base, siendo δ el coeficiente de dilatación del material (1/°C). En nuestro país se toma 20°C como temperatura base, en Francia 0°C, en Estados Unidos de Norteamérica 62°F (16,67°C). La influencia de la temperatura es importante cuando se mide con precisiones del centésimo de milímetro.

Si el coeficiente de dilatación del acero es δ = 0,000011. Cº1

, y si la medición a 20°C de unavarilla de este metal es de 1.000 mm y la temperatura ambiente es de 35°C, la longitud real a esta última temperatura será:

l = 1000mm [ 1+0,000011 Cº1

(35-20)] = 1000,165mm y afecta a la medida a 20°C en 165 milésimas de milímetro. Elementos de medición : son instrumentos, aparatos o herramientas que se utilizan para conocer las medidas de las piezas. La medición se puede efectuar en dos formas: 1) por lectura directa y 2) por comparación. 1) Por lectura directa: se obtiene mediante un instrumento o aparato calibrado la medida de la pieza, leyéndose en la escala el valor de ésta. Algunos de los aparatos más utilizados son las reglas milimetradas, calibres, micrómetros, goniómetros, regla de senos, etc. 2) Por comparación: se obtiene comparando la dimensión de una pieza con otra que se toma como patrón. Se utiliza para ello compases, comparadores, sondas, peines para roscas, etc. Se describirán a continuación los aparatos mencionados. Regla milimetrada: son barras de acero de sección rectangular, por lo general chaflanadas en una de sus caras sobre la cual se han grabado las divisiones en milímetros y en 0,5 milímetros o también en pulgadas subdivididas en 16, 32 o 64 partes. Son de longitud variable llegando en algunos casos hasta más de 1,5 m de longitud. Permite efectuar mediciones directas con grado de precisión del medio milímetro. También se utilizan para el trazado de rectas, en cuyo caso no están graduadas, o si lo están, ésta es de menor precisión, debiendo cumplir con la condición de ser perfectamente rectas. Se presentan también como metro articulado, cinta métrica y curvímetro.


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Calibre o Pié de Rey: este instrumento utiliza el método ideado por Vernier y Nonius, el cual consiste en utilizar (Fig.1.3) una regla fija, graduada por ejemplo en centímetros y en milímetros, y una regla móvil que puede deslizarse sobre la fija y que está dividida en un número de divisiones, por ejemplo diez (10), iguales, correspondiendo a estas 10 divisiones nueve (9) divisiones de la fija; por lo tanto, la apreciación del instrumento estará dada por la diferencia entre la menor división de la regla fija y la menor división de la regla móvil. Para obtener el orden de este grado de apreciación del instrumento se hacen las siguientes deducciones: si llamamos “n” al número de divisiones iguales en la regla fija y la móvil, “ l ” ala longitud de la menor división de la regla fija y “ l´ ” a la longitud de la menor división de la regla móvil, igualando longitudes de la regla fija y móvil, se tendrá:

n.l´ = (n – 1).l (1.11)

Efectuando operaciones matemáticas en la (1.11):

n.l´= n.l - l ⇒ l = n.l – n.l´ = n(l – l´)

y por último:

nlll =′−

(1.12) O sea que la apreciación de un instrumento que utiliza un “vernier” o “nonio” se obtiene dividiendo la menor división de la regla fija por el número de divisiones del vernier. La lectura L resulta de sumar la lectura a que precede al cero del nonio sobre la regla fija, la lectura b, división del nonio que coincide con una cualquiera de las divisiones de la regla fija:

L = a + b nl

(1.13) Por ejemplo si la menor división de la regla fija es 1mm y el nonio o vernier está dividido en 20 divisiones, la apreciación será: 1mm/20 = 0,05mm; si estuviera dividido en 25 divisiones ésta será: 1mm/25 = 0,04mm; si fueran 50 divisiones: 1mm/50 = 0,02mm. Si las divisiones de la regla fija estuvieran en pulgadas siendo la menor 1/16´´ y el número de divisiones del vernier fuera 8, la apreciación será: (1/16´´)/8 = 1/128´´; Si la pulgada es dividida en diez (10) partes y a su vez a cada una de las partes se la subdivide en 4, tendremos que la pulgada se ha dividido en cuarenta (40) divisiones, correspondiendo cada una a 1/40´´= 0,025´´ (veinticinco milésimas de pulgada).

Ejemplo de medición con calibre: el instrumento consta de dos mandíbulas, una solidaria a la regla fija y la otra solidaria al vernier. Se coloca el elemento a medir entre las mandíbulas (si fuera una medida exterior) presionando suavemente, y se procede a efectuar la lectura (Fig.1.4).


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a = 0 mm; b nl

= 3’=×

101mm

0,3mm ⇒ L =0mm + 0,3mm = 0,3mm.

Diferentes clases de calibres: existen distintos tipos de calibres que se utilizan para mediciones exteriores, para mediciones interiores y para mediciones de profundidad o altura. Estos tres tipos de calibres generalmente están incluidos en un solo instrumento como el que muestra la figura (Fig.1.5); con las mandíbulas A1 y A2 se obtiene la medida exterior (ejes, caras externas, etc.) y con las puntas a1 y a2 se obtiene la medida interior ( agujero, caras internas, etc.) de un objeto o pieza, siendo para el caso de la figura esta medida d; con la punta L se obtiene la medida de profundidad, altura, etc., la cual, según indica el calibre, es h. Las tres medidas indicadas por el instrumento son iguales, ya que la mandíbula A2, la punta a2 y el vástago están unidos a la regla móvil que se desplaza y es la que indica el valor de la medida para los tres casos. Se puede observar además que las unidades en las cuales se puede leer la medida son milímetros y pulgadas, según se utilice la escala inferior o superior de la regla fija y de la móvil o nonio, respectivamente. La figura (Fig.1.6) muestra distintas mediciones que se pueden realizar con el calibre. En (a) se efectúa la medición externa del espesor e de una pieza mediante las mandíbulas A1 y A2; en (b)se tiene la medición interior d de un agujero; en (c) con el vástago o cola del calibre se mide una profundidad h y en (d) se mide la distancia a entre los bordes de dos agujeros. Actualmente existen calibres donde la lectura se lee directamente en una pantalla que trae incorporado el aparato y que muestra la medida que se realiza.


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Tornillo micrométrico: es un tornillo que se desplaza axialmente longitudes pequeñas al girar el mismo dentro de una tuerca. Dichos desplazamientos pueden ser de ½ mm y de 1mm para giros completos en los milimétricos y por lo general de 0,025” en los de pulgadas. Se aplican en instrumentos de mediciones de gran precisión como son los micrómetros o pálmer, que se utilizan para medir longitudes y los esferómetros que se utilizan para medir radios de curvaturas y espesores. Micrómetro o pálmer: es un instrumento que consta, según se muestra en la figura (Fig.1.7), de un montante o cuerpo en forma de U o herradura, presentando en uno de sus extremos una pieza cilíndrica roscada interiormente, siendo el paso de esta rosca de ½ mm o de 1mm. Esta pieza presenta además en su superficie externa una graduación longitudinal sobre una de sus generatrices de ½ en ½ milímetro. Dentro de esta pieza enrosca un tornillo, que al girar una vuelta completa, introduce uno de sus extremos dentro del espacio vacío de la herradura, avanzando por vuelta ½ mm o 1mm de acuerdo al paso que posee. Solidario al tornillo por el otro extremo se encuentra un tambor que por cada giro cubre a la pieza cilíndrica graduada una longitud igual al paso. El extremo del tambor indica en su avance la longitud que se introduce el tornillo dentro de la herradura. Esta última tiene en su extremo opuesto un tope fijo, regulable, que cuando hace contacto con la punta del tornillo indica longitud cero. El tambor tiene 50 o 100 divisiones según su paso sea de ½ mm o de 1 mm respectivamente sobre su perímetro circunferencial en el extremo que avanza sobre el cilindro graduado. Por tal motivo, cada división corresponderá a 0,01mm de avance o retroceso, lo que da la apreciación del instrumento, según la (1.12): Para un paso de ½ mm y 50 divisiones en el tambor:

1 vuelta------------- 0,5mm

501

vuelta---------- x1 ⇒mmmmmmx 01,0

1001

505,0

1 ===

Para un paso de 1mm y 100 divisiones en el tambor:

1 vuelta------------1mm

1001

vuelta------------- x2 ⇒mmmmx 01,0

1001

2 ==

Este tambor es el nonio o vernier del instrumento. Para apreciaciones de 0,001mm, cuenta con otro vernier sobre el cilindro, que consiste en 10 (diez) divisiones según generatrices de éste, y que abarcan una longitud de 0,09mm, es decir que la apreciación será de 0,01mm/10 = 0,001mm. Para los micrómetros de sistema inglés el cilindro se halla graduado en pulgada, la cual se divide en 40 (cuarenta) partes generalmente correspondiendo cada una a 0,025”. Cada 4 (cuatro) divisiones se numera a partir de cero la graduación longitudinal, correspondiendo cada numeración a 0,1”. El tambor tiene 25 divisiones, siendo la apreciación 0,025”/25 = 0,001”. También presenta un vernier sobre el cilindro que le da una apreciación de 0,001”/10 = 0,0001”.


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Ejemplo de medición: se coloca la pieza a medir dentro del espacio de la herradura, apoyada sobre el tope fijo y se arrima la punta del tornillo mediante el manguito moleteado hasta hacer tope con la pieza, se ajusta con el embrague a fin de obtener la presión correcta y se lee de la siguiente manera: 1º- Sobre el cilindro graduado con exactitud de hasta ½ milímetro. 2º- En el nonio del tambor con exactitud de hasta centésima de milímetro.

3º- Sobre el vernier en el cilindro con exactitud de hasta el milésimo de milímetro. Ejemplo: en la figura (Fig.1.8) se observan los cilindros y tambores de dos micrómetros, estando el a en milímetros y el b en pulgadas, leyéndose en el a: 1º- en el cilindro graduado 4mm; 2º- en el nonio del tambor 29×0,01mm = 0,29mm; 3º- en el vernier del cilindro 3×0,01mm/10 = 0,003mm; por lo tanto la medida resulta de sumar las tres lecturas: L = 4mm + 0,29mm + 0,003mm = 4,293mm. En el b: 1º- 15×0,025” = 0,375”; 2º- 19×(0,025”/25) = 0,019”; 3º- 2×(0,001”/10) = 0,0002”; la medida resulta por lo tanto L = 0,375” + 0,019” + 0,0002” = 0,3942”. Los micrómetros poseen además una tuerca de bloqueo o de fijación (moleteada) que inmoviliza el tornillo micrométrico en la posición de la medición efectuada, pudiendo de esta forma retirarlo para efectuar la lectura. También de esta forma se puede utilizarlo como calibre comparador fijo. Los micrómetros vienen de distintos tamaños, según sea la capacidad máxima requerida, comenzando desde 0 a 25 milímetros y luego continuando de 25 mm en 25 mm hasta llegar a tamaños con capacidad de hasta 675 mm y aún más, en el sistema métrico. En el sistema inglés vienen de pulgada en pulgada. Los micrómetros mayores de 25mm o 1” se suministran generalmente con topes intercambiables de longitudes que varían en 25mm a fin de poder utilizarlos para efectuar mediciones de elementos de menores dimensiones. Además tienen juegos de varillas calibradas de longitudes que también varían en 25mm unas de otras que se utilizan para colocar en cero el instrumento. Es decir, son varillas patrones.


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Por ejemplo, si se desea efectuar la medición de una pieza que tiene más de 25mm y menos de 50mm y se cuenta con un calibre para medición máxima de 125mm (Fig.1.9), que tiene juego de topes intercambiables de 25mm y 75mm y cuatro varillas calibradas de 50mm, 75mm, 100mm y 125mm se procede de la siguiente manera: se coloca el tope de 75mm, se mide la varilla calibrada para 50mm sumándose al tope, resultando la longitud total de 125mm, con lo cual se pone en cero el instrumento; se quita ésta última y se coloca la pieza a medir, haciendo contacto con el micrómetro en los topes fijo y móvil se procede a efectuar la medición. Si ésta fuera de 30mm, se leerá en el limbo del nonio el valor 5mm y como la abertura mínima entre el tope móvil y el fijo es de 25mm el valor se

obtiene sumando a estos 25mm el valor leído en el nonio, resultando la medida de L = 25mm + 5mm = 30mm. Los topes fijos como móviles pueden presentar distintas formas e inclusive aditamentos para medir diámetros de alambres, elementos planos de material blando, rosca de tornillos, superficies cóncavas y convexas, etc. Por ejemplo, para medir espesores de cartón, papel, chapas, etc., poseen topes con palpadores de mayor diámetro de aproximadamente de 15mm. Los micrómetros para roscas tienen palpadores en forma de V (con ángulos de 55º y 60º) para los tipos Whitworth y Métricas. Además existe el sistema de palpadores con tres alambres, (Fig.1.10 y Fig.1.11) que utiliza un sistema de constantes para obtener las medidas de las roscas, estando las constantes a usar determinadas para cada aparato: roscas métricas (Internacional).

Diámetro medio = L – 1,5d; roscas Whitworth Diámetro medio = L – 1,45dsiendo L la lectura del aparato y d el diámetro del alambre. Para medición de superficies cóncavas y convexas se utilizan topes con forma esférica y/o plana, según el caso, para mayor exactitud. Existen micrómetros que tienen agregado un mecanismo contador en el nonio que indica en un cuadrante el valor de la medición con mayor precisión. Distintos tipos de micrómetros:

Micrómetro de profundidad: (Fig.1.12) consta de un manguito graduado en forma inversa al micrómetro común, ya que a medida que se introduce el tope móvil el nonio marca mayor profundidad. Tiene un apoyo en forma de T y además posee varillas calibradas que se pueden cambiar para medir mayores profundidades que la permitida por el nonio.


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Micrómetro para interiores: (Fig.1.13) consta de un manguito al cual se le pueden agregar varillas calibradas para medir distintas medidas interiores. El tornillo micrométrico tiene una longitud de 25mm pudiendo llegar con las varillas calibradas hasta 800mm y aún más. En pulgadas inglesas varía desde 1” hasta 32”. Para efectuar la medición se hace oscilar la punta de la varilla calibrada, manteniendo el tope del otro extremo del tambor en contacto con uno de los puntos límites de la medición, hacia ambos costados (hasta lograr la mayor medida) y hacia abajo y arriba (hasta lograr la menor medida) a fin de estar en el diámetro de la pieza.

Calibre con nonio micrométrico: se consigue mayor exactitud al adaptar a un micrómetro para interiores dos mandíbulas que permiten efectuar mediciones exteriores e interiores, fabricándose aparatos de estas características. Se debe tener cuidado de agregar a la medida interior realizada el espesor de las puntas. Las puntas tienen un espesor de 5mm cada una, o sea 10mm entre ambas, cantidad que debe agregarse, al medir interiores, a la lectura realizada sobre el tornillo y el nonio (Fig.1.14).

Existen equipos especiales para medidas de alta precisión como los bancos micrométricos que utilizan dispositivos especiales y microscopios que permiten efectuar medidas con precisiones de 0,001mm.

EsferómetroUtiliza un tornillo micrométrico y se emplea para medir espesores de láminas y

chapas y principalmente para medir radios esféricos. Este aparato fue creado por el Óptico Cauchoix para medir la curvatura que debían tener las lentes. Consta (Fig.1.15) de un trípode, cuyas patas se encuentran a la misma distancia unas de otras formando entre sí los vértices un triángulo equilátero y en cuyo centro se halla un orificio roscado de paso 1mm en el cual se introduce un tornillo el cual tiene solidario un disco metálico con 100 divisiones. En el trípode se encuentra montada fija una regla milimetrada en forma vertical que hace contacto tangencial con el disco, con cero en el centro de una escala doble. Cuando las tres patas fijas y la móvil (central del tornillo) se hallan en el mismo plano, el cero de la regla y del disco coinciden. Cuando el tornillo da una vuelta completa, el disco se desplaza una división de 1mm de la regla, siendo la apreciación del aparato de:

mmmmdiscodeldivisionesdenúmero

reglaladedivisiónmenorA 01,01001 ===

Ejemplos de utilización: 1) Medición del espesor de una pieza : se verifica el cero del aparato colocando el esferómetro sobre una superficie perfectamente plana (mármol) hasta que las puntas estén en el mismo plano, coincidiendo por lo tanto los ceros de la


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regla y del disco. Se desenrosca el tornillo, se coloca la pieza cuyo espesor se desea medir sobre el mármol debajo del tornillo y se vuelve a enroscar éste hasta que la punta haga contacto con la pieza. Una vez logrado ello se leen los milímetros en la regla y, en el disco, la división que coincide con la regla, da los centésimos de milímetros. 2) Medición del radio de una esfera: Se conoce la distancia “a” entre las patas del trípode que es iguales entre las tres y la distancia d de éstas al tornillo central. Primeramente se coloca en cero el instrumento igual que para medir espesores, corrigiendo según haya diferencia en más o en menos. Se apoya el esferómetro sobre la esfera cuidando que hagan contacto las tres patas del trípode, desenroscando previamente el tornillo (Fig.1.16), hasta que permita apoyar el trípode, procediendo luego a enroscarlo hasta que haga contacto con la esfera. Se lee en la regla

y disco la medida h y se aplica la fórmula:

hhaR

84 22 +=

(1.14) o también, aplicando la propiedad distributiva se tendrá:

28

2 hh

aR +=

(1.15)

Existen eferómetros de mayor precisión con paso del tornillo de 1/2mm y disco graduado dividido en 500 partes, siendo para este aparato la apreciación de:

mmdiscodeldivisionesdenúmero

reglaladedivisiónmenorA 001,0500

5,0 ===

Falsas escuadrasLas medidas angulares se efectúan utilizando falsas escuadras (universal) formadas por barras

de acero inoxidable con formas que las hacen adecuadas para colocarlas en posición conveniente y así poder medir o

controlar ángulos y además para

transportar medidas a una

pieza cualquiera.

Existen distintos tipos, siendo algunos los indicados en las figuras (Fig.1.17) y (Fig.1.18).

GoniómetrosFuncionan como una falsa escuadra pero poseen un "transportador" en el


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cual se puede leer directamente el ángulo. Uno de los más sencillos está constituido por un semicírculo graduado (transportador) y un brazo móvil que tiene un índice señalador de ángulo (Fig.1.19a). El brazo móvil puede girar teniendo como eje el centro del semicírculo. Están construidos de acero inoxidable. El goniómetro universal está formado por dos reglas (Fig1.19b), una de ellas provista de un limbo graduado y la otra de un vernier circular y de un anillo dentro del cual puede girar el limbo o disco graduado de la primera regla. Poseen un tornillo de fijación que permite inmovilizar las reglas en una posición determinada. Están construidas en acero inoxidable, teniendo la regla que posee el vernier una longitud de 200mm a 300mm generalmente. El limbo está graduado en ambas direcciones y pueden medirse ángulos según convenga a la derecha o izquierda. El limbo está graduado en 360º con lecturas de 0º a 90º, 90º a 0º, 0º a 90º y de 90º a 0º. El vernier tiene 12 divisiones que abarcan 23 grados del limbo, siendo por lo tanto la apreciación:

5

1206

12º1 ′=

′===

vernierdeldivisionesdenúmerolimbodeldivisiónmenorA

Por lo que cada división del vernier representa 5 minutos. El vernier presenta generalmente 12 divisiones a la izquierda y 12 divisiones a la derecha.

EscuadrasSon elementos de trazado y comprobación de

ángulos; existen distintos tipos según su aplicación: escuadra de 90º: se utiliza para comprobar piezas de formas paralelepípedas (Fig.1.20a); escuadra a 120º: sirve para controlar piezas hexagonales Fig.1.20b); escuadra sombrero: es una escuadra a 90º con una regla del mismo espesor en forma perpendicular a la rama corta (Fig.1.20c); escuadra en "T": es una escuadra con dos ángulos de 90º a cada lado de una de las reglas

(Fig.1.20-d); escuadra "L": es una escuadra a 90º (Fig.1.20- e); escuadra "L" con regla corrediza: también es una escuadra a 90º que permite desplazarse uno de los lados que forman el ángulo (Fig.1.20-f). Transportador Universal

Es un instrumento (Fig.1.21) compuesto, de gran precisión y adaptabilidad, que sirve para marcar, transportar y obtener ángulos, centros de piezas cilíndricas y alturas o profundidades. Consta de una regla milimetrada en la cual puede insertarse un disco con un limbo graduado en grados que tiene incorporado un vernier, formando un goniómetro que permite en conjunto con la regla efectuar las mediciones de ángulos; posee además una escuadra angular que con la regla permite la obtención de los

centros de piezas cilíndricas; por último, cuenta con otra escuadra angular que con la regla permite obtener ángulos de 45º y 90º . Ésta última y el círculo cuentan con niveles para la nivelación del instrumento al efectuar las mediciones. Recibe también el nombre de "Starret". Regla de senosA fin de facilitar la medición de ángulos, lo que se hace dificultoso en la técnica en algunos casos realizarlos con transportador o goniómetro, se utiliza la regla o barra de senos que permite


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medir un ángulo cualquiera utilizando resoluciones trigonométricas con error menor a 5 minutos. Se utiliza este instrumento para la construcción de útiles, herramientas, en trazados, para efectuar ajustes, comprobaciones y otras operaciones que requieran gran exactitud en la medición u obtención de piezas angulares. La regla de senos (Fig.22.1-a), está constituida por una barra de acero (F) de alta resistencia al desgaste, cuidadosamente rectificada, de gran robustez, con agujeros (o) en su cuerpo para hacerla más liviana. Sus dos extremos están rebajados y en cada uno de ellos se encuentra dispuesto, haciendo contacto con las superficies de los rebajes de la barra, un cilindro (d) de acero especial templado, cementado y rectificado. Por lo tanto la regla posee dos de estos cilindros los cuales tienen igual diámetro y longitud y hacen contacto con las superficies de rebajes por dos de sus generatrices a 90º, estando atornillados. Los centros de los cilindros se encuentran sobre una línea (A-B) exactamente paralela al eje de la barra y a sus superficies superior e inferior. La regla apoya sobre una mesa (m) de máquina herramienta o mármol de ajuste, por medio de la parte inferior de los cilindros siendo la precisión del paralelismo de las superficies de la regla y de la base de apoyo de ±0,001mm. La excentricidad de los cilindros no debe exceder de 0,00075mm por cada 25,4mm de diámetro (en pulgadas:0,00003" por cada pulgada de diámetro). Para efectuar la medición, la regla viene provista de un sistema de bloques calibrados patrones, denominados blocs, galgas, calzas o escantillones, que se encuentran construidos de material especial de óptima calidad (INVAR), templado, perfectamente rectificados, rasqueteados y lapidadas sus superficies, con dos caras opuestas paralelas y planas, siendo su precisión de fabricación función de sus dimensiones, que van desde 1/10000mm para los de 10mm hasta 1/1000mm para una galga de 100mm. Es tal el grado de perfección y calidad de estas galgas que presentan las características distintivas de adherirse unas a otras cuando se unen por sus caras y no separándose sin un esfuerzo considerable, pudiendo mantenérselas suspendidas como una barra sin que ellas se separen. La medición de un ángulo con la regla de senos se efectúa de la manera siguiente (Fig.1.22-b): se apoya sobre la base (mármol E) uno de los cilindros de la regla y debajo del otro se agregan las galgas de control, hasta una altura H para lograr el ángulo α deseado; teniendo en cuenta que la distancia entre los centros de los cilindros es una constante C, que puede ser de C = 100mm y C = 200mm o C = 5" y C = 10", si es H la altura de los bloques y α el ángulo que forman las superficies de la regla con la base, se tendrá:

αα sen.sen CHCH =⇒=

(1.16)


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siendo C la constante del aparato. Ejemplo: se desea obtener un ángulo de 26º16', por lo tanto se debe obtener con las galgas, para C = 100mm: H = C.sen α = 100mm × sen α 26º16' = 44,254956mm Es decir que con las galgas se debe lograr una altura de 44,254956mm. Las galgas o escantillones se fabrican desde 0,25mm hasta 100mm, pudiendo estar en centímetros, milímetros, pulgadas o múltiplos y submúltiplos de éstos. Para ángulos muy pequeños, el valor de H es tan reducido que no se pueden efectuar las combinaciones necesarias. En este caso se pueden colocar los bloques debajo de cada cilindro, lográndose la disposición que se indica en la figura (Fig.1.23):

a) H = H1- H2 ⇒ b) H = C.sen α ∴ c) sen α = CH

siendo α = arcsen α (1.17) Para lograr ángulos de mucha precisión se utilizan mesas de senos que permiten dar a la pieza la inclinación correcta. Estas mesas pueden ser simples apoyos de la regla de senos (platos) o tratarse de dispositivos especiales como mesas de senos circulares articuladas o mesas inclinables hemisféricas. ComparadoresComo su nombre lo indica se utilizan para comparar medidas, que deben encontrarse dentro de cierto intervalo y, que ya sea por desgaste u otras causas pudieron haber variado.

Los más comunes son los de reloj o dial (Fig.1.24), que consisten en un aparato de relojería que transforma el movimiento rectilíneo de los contactos o "palpadores" en un movimiento circular, el cual puede observarse en un cuadrante de reloj que se encuentra dividido en varias partes, siendo los más comunes los que se encuentran divididos en 100 partes, correspondiendo cada división a 0,01mm. El comparador se usa para el control de piezas con una mesa y soportes adecuados y con una barra o cremallera que permite el desplazamiento del comparador. La aguja del reloj puede desplazarse para ambos lados, según la medida sea menor o mayor que la que se considera nominal o correcta. Por este motivo vienen con un signo (+) y uno (-) para indicar para que lado se mueve la aguja. Tienen el disco graduado giratorio, lo que permite, luego de obtenida una medida, colocar en

cero la posición de la aguja, cualquiera sea la posición angular de ésta. Además tienen un contador de revoluciones que indica cuantas vueltas dio la aguja. Calibres de toleranciaTambién existen comparadores fijos llamados calibres de tolerancias o fijos, también denominados diferenciales, para el control de piezas que se fabrican en serie y que deben


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guardar una cierta medida dentro de las tolerancias permitidas. Estas piezas son construidas para ensamblar con otras o para reemplazar a las que se hallan gastadas, es decir que deben ser intercambiables en un 100%. Estos calibres son del tipo de "pasa" y "no pasa", es decir que permiten pasar, o que no pasen, piezas que tienen una cierta medida, dentro de las tolerancias permitidas. Algunos de estos calibres son los que a continuación se detallan: Calibres para pernos o ejes: el eje debe pasar en una de las mandíbulas y no pasar en la otra (Fig.1.25a). Calibres para agujeros cilíndricos: el calibre debe poder penetrar con uno de sus pernos calibrados en el agujero, y el otro no debe poder penetrar el mismo (Fig.1.25b). Calibres para espesores de superficies planas: para controlar superficies planas de igual forma que en los casos anteriores (Fig.1.26a).

Calibres para interiores de superficies planas: controlan el interior o espacio entre dos superficies planas (Fig.1.26b).

Calibres para agujeros cónicos y tronco cónicos: controlan interiores o agujeros cónicos (Fig.1.26-a) o tronco cónicos (Fig.1.26b). Calibres para roscas: son similares a los calibres para ejes y para agujeros cilíndricos, nada más que vienen con roscas pasa y no pasa, para cada tipo de rosca y para roscas interiores (Fig.1.28a) y para roscas exteriores (Fig.1.28b).

Estos calibres son construidos de material indeformable y con resistencia al desgaste, como son los aceros especiales, con sus partes, expuestas al rozamiento con las piezas a medir, cementadas a efectos de evitar su pronto desgaste. Tienen gran rigidez y las zonas de contacto son trabajadas y pulidas con gran precisión.

Calibres para radios: son calibres para verificar perfiles. Son de acero laminado duro, inoxidable y satinado contra óxidos. Están construidos de diferentes radios, tanto para superficies circulares internas (Fig.1.29a) como externas (Fig.1.29b).

Sondas o calibres de espesores: consisten en delgadas hojas de acero (Fig.1.30) que varían de espesor y sirven para medir ranuras estrechas,


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entalladuras o espacios entre superficies que no están en contacto pero sí muy cercanas. Están construidas generalmente de espesores de 5 a 50 centésimas de milímetros, o en pulgadas desde 0,002” a 0,025”. Forman un paquete que se despliega según la sonda que se desea utilizar. Cada hoja trae impreso el espesor que posee.

Peines o calibres para roscas: consiste en un juego de plantillas (Fig.1.31), denominadas también cuenta hilos, que tienen la forma de las distintas roscas, tanto para interiores como para exteriores. Se construyen para roscas Métricas (Internacional 60º), Whithworth (55º) y S.A.E.. En cada plantilla está impreso el valor del paso que corresponde. Ajustes y toleranciasCuando se desea fabricar una pieza cualquiera, se tiene el conocimiento del tamaño de la misma. Esta podrá ser un poco más grande o más chica, pero si cumple su finalidad y guarda ciertas características que la hacen aceptable, está resuelto el problema. Es decir que se tolera que dicha pieza no guarde medidas exactas a las previstas. Cuando se fabrican piezas en forma aisladas para un conjunto, se trata de darle a éstas las medidas convenientes a fin de que el conjunto pueda funcionar. Pero cuando se fabrican piezas en serie, donde por ejemplo se deben fabricar una gran cantidad de ejes de una vez por razones de economía y rapidez, y por otro lado deben fabricarse los bujes o cojinetes para esos ejes, tanto éstos como los bujes deberán cumplir ciertos requisitos a fin de que al asentar o ajustar unos con otros, puedan funcionar y prestar el servicio requerido, indistintamente del eje y buje que encajen. Estos requisitos se refieren muy especialmente a las medidas que deben tener o guardar cada pieza a fin de que cualquier eje pueda funcionar con cualquier buje indistintamente, es decir, que exista intercambiabilidad. Para que ello ocurra, como es imposible prácticamente lograr la medida “nominal” especificada o deseada prevista de antemano, se admiten pequeñas diferencias, estableciendo límites, dentro de los cuales se toleran dimensiones mayores o menores que las nominales, es decir, se adoptan medidas máximas y mínimas a éstas, debiendo la pieza construida encontrarse comprendida entre estos valores. Por lo tanto podemos establecer algunos conceptos para la fabricación de piezas en serie. Medida nominal (N) : es la medida básica o de partida en la ejecución de una pieza. Es decir la cota o línea de cero del dibujo, la que se desearía obtener. Medidas límites: son las medidas mayor y menor que la nominal toleradas o permitidas. Medida máxima (Max): es la medida límite mayor que la nominal. Medida mínima (Min): es la medida límite menor que la nominal. Tolerancia (T): es la diferencia entre la medida máxima y la medida mínima: T = Max-Min. (1.18) La técnica mecánica de precisión está basada justamente en la tolerancia, clasificándolas para cada clase de trabajo, a fin de poder asignar en cada caso la que corresponde según las condiciones de funcionamiento o la finalidad del trabajo. Supongamos un buje o cojinete al que llamamos agujero, y un perno o eje, los cuales se muestran en la figura (Fig.1.32), en la cual se indican las distintas medidas en las que se pueden observar los distintos conceptos enunciados anteriormente: Diferencia superior (DS): es la diferencia entre la medida máxima (Max) y la nominal (N): DS = Max - N (1.19) Diferencia inferior (DI): es la diferencia entre la medida mínima (Min) y la nominal (N):

DI = Min - N (1.20)


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Dimensión o medida real (MR): es la medida que tiene la pieza una vez terminada, debiendo ser:

Min ≤ MR ≤ Max (1.21) A fin de facilitar la intercambiabilidad de piezas, los países han establecido tablas de tolerancias, preparándose Sistemas de Límites y Ajustes, cuya aplicación se hizo internacional a partir de 1926 cuando I.S.A. (International Standard Association) dictó normas que fueron aceptadas paulatinamente en todo el mundo. En Argentina, IRAM estableció sobre la base de estas normas las que se utilizan actualmente en el país. En Alemania, las normas se denominan DIN. La unidad de medida utilizada para construir las piezas es el milímetro, en tanto que las tolerancias se expresan en fracciones de milímetros, o sea en décimas de milímetros, centésimas de milímetros y milésimas de milímetros o micrones, utilizada en los países que adoptaron el Sistema Internacional (SI). En los países de habla inglesa se utiliza aún la pulgada y la milésima de pulgada.

Distintas formas de acotar medidas En la figura (Fig.1.33) pueden observarse las distintas formas de acotar las medidas de agujeros y ejes. Antiguamente se colocaba únicamente la medida nominal. Actualmente se indican la nominal con los límites admisibles, anteponiéndose los signos más (+) o menos (-) según corresponda. También se colocan las dimensiones máxima y mínima o también utilizando la notación de los sistemas de ajustes. Ajustes: cuando se deben ejecutar un par de piezas que actuarán en relación de dependencia entre ambas, se dice que se deben ajustar entre sí. Generalmente el ajuste se realiza entre una pieza que debe penetrar en otra (macho) y una pieza que debe ser penetrada por la primera (hembra). Estas piezas reciben el nombre de eje (macho) y de agujero (hembra). Si estas piezas, que ajustan entre sí, entran fácilmente, sin interferencia entre ambas, o entran en forma apretada, con interferencia, se dice que presentan juego o aprieto respectivamente, ya sea tengan movimiento una respecto de otra o estén fijas.


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Existe una posición intermedia que se la denomina Deslizamiento que es cuando no posee interferencia ni juego (teóricamente) o posee juego mínimo. De la forma en que encajan las piezas unas con otras surgen las distintas formas de ajustes que reciben las siguientes denominaciones: Juego (J): es la diferencia entre los diámetros de agujero y eje. Existe juego cuando el diámetro del agujero es mayor que el diámetro del eje. Deslizamiento (Dz): cuando prácticamente no existe diferencia entre los diámetros del agujero y del eje. En estos casos siempre existe un pequeño juego. Aprieto (A): es la diferencia entre los diámetros del eje y agujero. Existe aprieto cuando el diámetro del eje es mayor que el del agujero. Juego máximo (Jmax): es la diferencia entre la medida máxima del diámetro del agujero y la mínima del diámetro del eje. Juego mínimo (Jmin): es la diferencia entre la medida mínima del diámetro del agujero y la máxima del diámetro del eje. Aprieto máximo (Amax): es la diferencia entre la medida máxima del diámetro del eje y la mínima del diámetro del agujero. Aprieto mínimo (Amin): es la diferencia entre la medida mínima del diámetro del eje y la máxima del diámetro del agujero. En la figura (Fig.1.34) se observan los distintos tipos de ajustes mencionados. La unión puede por lo tanto ser realizada de dos modos fundamentales: holgados (con juego) o apretado (sin juego), existiendo una posición intermedia llamada deslizamiento. Además existen grados intermedios de ajustes, que dependen del valor relativo de las tolerancias con respecto a las cotas reales de la pieza (márgenes de ajuste). Se pueden, por lo tanto, clasificar los ajustes en tres grupos principales: 1º- Libre u holgado (con juego, de giro, libre, etc.) 2º- De sujeción o apretado (calado, bloqueado, forzado, prensado) 3º- De deslizamiento (entrada suave, de centrado, etc.). Grados de ajustes: han sido normalizados por ISA distintos grados de ajustes, siendo éstos los siguientes: - Juego fuerte; juego ligero; juego libre; juego justo. - Deslizamiento: sin juego o con juego. - Aprieto; entrada suave: adherencia; arrastre; forzado; a presión. Precisión: es el grado de exactitud, respecto de una medida, con la cual se fabrica u obtiene una pieza o elemento. Grado de precisión: es la divergencia permitida entre la medida nominal y la medida real obtenida. Tolerancias fundamentales o calidades: en el sistema ISA se denomina calidad al grado de precisión con que se desea trabajar una pieza. La calidad se refiere a la tolerancia de las dimensiones de cada pieza en sí, y no al conjunto de piezas que deben encastrar entre sí. ISA distingue cuatro calidades de ajustes, según el grado de precisión con que debe ejecutarse el mismo, siendo éstos los siguientes: 1º- Calidad extra precisa: de alta precisión, está destinada a la fabricación de instrumentos de medición, de laboratorio o para piezas que necesitan un elevado grado de precisión. 2º- Calidad precisa o fina: es la más frecuentemente usada en la construcción de máquinas-herramientas, motores de combustión interna, bombas, compresores, etc. 3º- Calidad ordinaria, mediana o corriente: se adopta para mecanismos accionados a mano, árboles de transmisión, anillo de seguros, vástagos de llaves, etc. 4º- Calidad basta o gruesa: se adopta para mecanismos de funcionamiento más rudos y con el objeto de lograr intercambiabilidad, como pasadores, palancas de bombas manuales, algunas piezas de máquinas agrícolas, etc.


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Sistemas de ajustesCuando se trata de la fabricación de ejes y agujeros, los cuales deben girar con mayor o menor facilidad, o bien permanecer fijos respondiendo a un mayor o menor aprieto, se resuelve el problema con arreglo a dos sistemas de ajustes. Estos sistemas nacen del hecho de considerar cual de los dos elementos del par de piezas a fabricar puede asumir la característica de normal o básico, y cual de ellos deber permanecer como elemento variable o no normal. Estos sistemas se denominan de AGUJERO ÚNICO y de EJE ÚNICO, y tienen la característica de que el que se tome como base se construye de una medida uniforme (medida nominal contemplando la tolerancia correspondiente), siendo común para todos los asientos o ajustes de igual calidad. En tanto el otro se construye con dimensiones mayores o menores permitiendo la variación de la tolerancia de ajuste de modo de obtener el juego "J" o aprieto "A" correcto. En ambos sistemas la medida nominal "N" es el punto de origen para las diferencias (tolerancias), siendo la línea de cero. ISA hace corresponder una letra para cada zona de ajuste. Se estudiarán ambos sistemas y sus características. Sistema de agujero único (agujero base) Toma como elemento base el agujero, siendo común para todos los ejes que se fabriquen. El punto de origen o línea de cero en este sistema es la medida mínima del agujero, que coincide con la nominal (N) o sea que la diferencia inferior es 0:

DI = Min - N = 0 ⇒ Min = N (1.22) En las normas ISA la línea de cero corresponde a la letra H para agujero único. En la figura (Fig.1.35) se puede observar en este sistema las tolerancias que se toman para las distintas

calidades, con juego, deslizante y con aprieto. Se puede notar por lo tanto, que para el sistema de agujero único, la tolerancia del mismo se toma con signo positivo, es decir que puede la medida real ser mayor que la nominal N, pero nunca menor:

MR = N+0 (1.23)

Sistema de eje único (eje base)Toma como elemento base el eje siendo común para todos los agujeros de los bujes o cojinetes que se fabriquen. El punto de origen o línea de cero en este sistema es la medida máxima del eje, que coincide con la nominal, o sea que la diferencia superior es 0:

DS = Max - N = 0 ⇒ Max = N (1.24)


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En las normas ISA la línea de cero corresponde a la letra h para el sistema de eje único. En la figura (Fig.1.36) se puede observar en este sistema las tolerancias que se toman para las distintas calidades, con juego, deslizante y con aprieto. Se puede notar que para el eje único las tolerancias del mismo se toman con signo negativo, es decir que la medida real puede ser menor que la nominal pero nunca mayor:

MR = N0− (1.25)

En ambos sistemas, de agujero único y de eje único, la tolerancia de la pieza se ha determinado en el sentido de poder quitarle material. Las piezas construidas por cualquier fabricante cumpliendo con las condiciones exigidas en los sistemas de ajustes, son intercambiables entre sí. Actualmente en los planos, la medida de una pieza de máquina o elemento, suele indicarse por sus cotas límites (Fig.1.37). Se ha visto que el sistema de agujero único tiene una sola tolerancia en el agujero y el sistema de eje único tiene una sola tolerancia en el eje. Se dice que cuando la zona de tolerancia referida a la nominal es en una sola dirección de la línea de cero, la tolerancia está distribuida en forma unilateral, y cuando ella es repartida hacia uno y otro lado de la línea de cero, es bilateral. Para establecer los límites (tolerancias) que corresponden a cada calidad, existe un procedimiento dado por las normas ISA, basado en el valor de la unidad de precisión i, de acuerdo a la expresión:

NNi 001,045,0 3 += (1.26) estando i en micrones (µ) y N en milímetros. El término 0,001N se introduce por la influencia térmica, tomando la temperatura base igual a 20ºC. Con esta unidad de precisión se pueden obtener las tolerancias fundamentales. En el sistema de ajustes ISA, la amplitud del campo de tolerancia es definida por un número que determina la calidad de elaboración. Este número está comprendido entre 1 y 16, utilizándose los números 1 a 4 para ajustes extraprecisos (aparatos de medición); 5 a 11 para ajustes precisos, cubriendo los casos normales de acoplamientos mecánicos, comprendidos desde los más precisos a los más bastos; de 12 a 16 contemplan piezas que no son acoplables directamente luego de elaboradas mediante fresado, laminado, fusión y estampado. Además en el sistema ISA, la posición de la zona de ajuste respecto a la línea de cero, que da la característica del ajuste con relación al juego, aprieto o deslizamiento, queda definida por una letra, que es mayúscula para los agujeros y minúscula para los ejes. La letra H mayúscula

corresponde a los casos de "agujeros únicos", con tolerancia de cero a más (N+0 ). La letra h

minúscula corresponde a los casos de "ejes únicos", con tolerancia de cero a menos (N0− ). Por lo

tanto con H se indica la zona de tolerancia de agujeros cuyas medidas mínimas son iguales a la


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nominal (DI = 0), y con h se indica la zona de tolerancia de ejes cuyas medidas máximas son iguales a la medida nominal (DS = 0). Suponiendo que se acoplen todos los ejes con el agujero básico H, admitiendo una misma calidad en ambas piezas, las zonas de ajustes dadas por las letras correspondientes a los ejes darán los siguientes tipos de asiento: agujero H con ejes a, b, c, d, e, f, g, acoplamiento móvil o giratorio, con juego decreciente según el orden alfabético; agujero H con árbol h, acoplamiento deslizante; agujero H con eje j, acoplamiento forzado ligero; agujero H con eje k acoplamiento forzado medio; agujero H con ejes m,n, acoplamiento forzado duro; agujero H con ejes p, r, s, t , u, v, x, y, z, acoplamientos prensados con interferencia creciente según el orden alfabético.

Lo mismo se tiene al acoplar el eje básico h con todos los agujeros, obteniéndose los ajustes: eje h con agujeros A, B, C, D, F, G, acoplamiento móvil o giratorio con juego decreciente según el orden alfabético; eje h con agujero H, acoplamiento deslizante; eje h con agujero J, acoplamiento forzado ligero; eje h con agujero K, acoplamiento forzado medio; eje h con agujeros M, N, acoplamiento forzado duro; eje h con agujeros P, R, S, T, U, V, X, Y, Z, acoplamientos prensados con interferencia creciente según el orden alfabético. En la figura (Fig.1.38) se puede observar ambos sistemas graficados, lo que permite visualizar los tipos de ajustes que se pueden realizar, tanto de agujero único como de eje único. Para determinar las tolerancias correspondientes a las calidades dadas por la numeración 1 a 16, ISA fija el valor 10i como tolerancia fundamental de la calidad 6 (IT6), obteniéndose las

tolerancias sucesivas de la serie de números normales de razón 5 10 . Así las tolerancias fundamentales a partir de la calidad IT5 son las siguientes: IT5: 7i; IT6:10i; IT7: 16i; IT8: 25i; IT9: 40i; IT10: 64i; IT11: 100i; IT12: 160i; IT13: 250i; IT14: 400i; IT15: 630i; IT16: 1000i. El valor de i es el dado por la expresión (1.25). ISA establece en una tabla de calidades y diámetros nominales las tolerancias fundamentales para cada medida (Fig.1.39) de agujero único y eje único. Por lo tanto el sistema ISA establece para cada ajuste la zona de tolerancia mediante el diámetro nominal, la letra que da la clase de asiento o ajuste y el número que indica la calidad: 50∅H7; 40∅m6. ISA ha establecido además tablas de ajustes ISA, (ver Anexo I y Anexo II) separadas en dos grupos: agujero único y eje único, donde figuran medidas nominales de 1mm hasta 315mm en los grupos de calidades Perfecta (alta precisión), Precisa, Ordinaria y Basta, subdivididas a su vez en ajustes de calidades intermedias. Cuando se adopta un sistema, ya sea agujero único o eje único, corresponde un tipo de calidad ya sea del agujero o del eje respectivamente, determinando el tipo o clase de ajuste o asiento que se obtiene entre el agujero y el eje. Este ajuste puede indicarse combinando las notaciones de ambas tablas, quedando así perfectamente definido el tipo de ajuste. Por ejemplo, para designar un asiento se escribe primero el valor nominal seguido de la expresión que da el agujero y luego

el eje: 150 56

mH

, 150 H6-m5, 150 H6/m5 que es un acoplamiento forzado duro en el sistema de


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agujero único con diámetro nominal 150mm con las cotas siguientes: agujero: 15025

0+

; eje

1503315

++ . Si fuera 225 5

6h

M, 225 M6-h5, 225 M6/h5, corresponde a un acoplamiento forzado

duro en el sistema de eje único siendo las cotas para el eje 2250

20− y agujero 225837

−− .

Cuando no se dispone de tablas de tolerancias se puede llegar a determinar las mismas mediante la ley a que obedecen las diferencias más cercanas a la línea de cero de agujeros y ejes. Esta ley se expresa mediante:

D = Constante. N n (1.27)

Para agujer

oúnico,

se obtiene la diferencia

superior DS de acuerdo a las expresiones siguientes para asientos móviles (Fig.1.40): Para eje a: DS = 64 N0,5 (1.28) Para eje e: DS = 11 N0,41 (1.32) Para eje b: DS = 40 N0,48 (1.29) Para eje f : DS = 5,5 N0,41 (1.33) Para eje c: DS = 25 N0,40 (1.30) Para eje g: DS = 2,5 N0,34 (1.34) Para eje d: DS = 16 N0,44 (1.31) En estas expresiones N está en milímetros, resultando DS en micrones. Para ejes únicos se calcula la diferencia inferior de los asientos móviles de la misma manera y con las mismas relaciones, tomando la línea de cero ahora sobre el eje y calculando DI, según la figura (Fig.1.41):


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Para agujero A: DI = 64 N0,5 (1.35) Para agujero E: DI = 11 N0,41 (1.39) Para agujero B: DI = 40 N0,48 (1.36) Para agujero F: DI = 5,5 N0,41 (1.40) Para agujero C: DI = 25 N0,40 (1.37) Para agujero G: DI = 2,5 N0,34 (1.41) Para agujero D: DI = 16 N0,44 (1.38) Para los casos de asientos fijos (Fig.1.42) y (Fig.1.43), de las calidades 5, 6 y 7 se determinan, para el sistema agujero único la diferencia inferior DI, y para eje único se determina la diferencia superior DS.

Para eje k (agujero K): DI (DS) = 0,6 3 N (1.42)

Para eje m (agujero M): DI (DS) = 2,8 3 N (1.43) Para eje n (agujero N): DI (DS) = 5 N0,34 (1.44) Para eje p (agujero P): DI (DS) = 5,6 N0,41 (1.45)

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Apuntes de clases extractados de la siguiente bibliografía

TÍTULO AUTOR EDITORIAL - Aplicaciones de Tecnología Mecánica Felipe F. Freyre Alsina - Tecnología Mecánica P. A. Pezzano Alsina - Tecnología Mecánica C. E. Thomas Nigar - Mecánica de Taller E. Solsona Alsina - Tecnología de los Metales H. Appold y otros Reverté - Manual del Constructor de Máquinas H. Dubbel Labor - Máquinas, Cálculos de Taller A. L. Casillas Máquinas - Manual del Ingeniero Hütte Gustavo Gili - Manual del Ingeniero Mecánico de Marks Baumeister y Marks Uteha - Metrología C. González-R. Zeleny Mc Graw Hill


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ROZAMIENTO

El roce o rozamiento es la resistencia o fuerza que oponen los cuerpos en contacto a deslizarse o rodar unos sobre otros. Esta fuerza debida al rozamiento, es contraria al sentido del movimiento y produce como consecuencia una disminución de la velocidad de los móviles, comparados con otros cuyos desplazamientos se realizarían en condiciones ideales, sin rozamiento. Es necesario, además, transformar parte de la energía utilizada en mover el cuerpo en un trabajo que se emplea en vencer la resistencia al deslizamiento, y este trabajo pasa al medio exterior bajo la forma de una cantidad de calor equivalente, es el trabajo realizado contra la fuerza de rozamiento. El rozamiento se produce entre cuerpos cualquiera sea su estado, sólido-sólido, sólido-líquido, sólido-gas, líquido-líquido, líquido-gas, gas-gas. El rozamiento puede ser beneficioso o perjudicial. Cuando es de utilidad se trata de aumentarlo, como es el caso de los frenos, correas, etc. Cuando no es de utilidad, se trata de eliminarlo o por lo menos de disminuirlo, como es el caso de cojinetes y ejes, engranajes, etc.; para ello se utilizan diferentes medios, como ser superficies especiales, lubricación, etc. Según se produzca deslizamiento entre los cuerpos o uno ruede sobre el otro, se distinguen dos tipos de rozamiento: rozamiento de deslizamiento o de primera especie y rozamiento de rodadura o de segunda especie.

Rozamiento de primera especie o de deslizamiento

Se produce por deslizarse una superficie sobre otra. Se puede comprobar la existencia del rozamiento experimentalmente: se considera un plano inclinado, cuya altura máxima es h, según muestra la figura (Fig.2.1-1), y sobre el mismo un sólido que cae; este mismo sólido se lo deja caer en caída libre (Fig.2.1-2) desde la misma altura h que tiene el plano inclinado.La velocidad final v de un solido en función de su velocidad inicial, de su aceleración y del espacio recorrido está dado por:

aevv 220

2 +=(2.1) siendo, en la caída libre, la aceleración a igual a la de la gravedad g y el espacio e igual a la altura h; además la velocidad inicial es v0 = 0 por lo que resulta la (2.1): v2 = 2gh(2.2)

o también:

ghv 2= (2.3) En el plano inclinado es v0 = 0 y la aceleración a:

a = g senα (2.4) y el espacio e:

αsenhe =

(2.5) por lo que la (2.1) resulta:

ghhgvr 2

sen.sen22 ==

αα

(2.6) o también:

ghvr 2= (2.7)

2


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Es decir que tendrían que ser ambas velocidades iguales, o sea v = vr; pero se comprueba en la práctica que es vr < v y ello es debido a la fuerza de rozamiento que se opone al libre desplazamiento del cuerpo sobre el plano inclinado, de donde se deduce su existencia. Otra forma de deducir su existencia es suponer un cuerpo en reposo (Fig.2.2) sobre un plano horizontal.

Si se aplica paulatinamente una fuerza sobre el cuerpo, se observa que cuando alcanza la intensidad F recién comienza el mismo a moverse, rompiéndose en ese instante el estado de equilibrio. Si es Pla fuerza normal que el cuerpo ejerce sobre la superficie horizontal, se observa que ambas fuerzas están relacionadas por la siguiente

expresión: F = µ0 P = R (2.8) siendo µ0 un coeficiente denominado coeficiente de rozamiento estático, en reposo o de partida, y R la fuerza de rozamiento que la superficie ejerce sobre el cuerpo oponiéndose al avance del mismo. La (2.8) puede además escribirse como:

PF=0µ

(2.9) siendo en este caso µ0 la fuerza a aplicar horizontalmente para mover la unidad de peso o de fuerza normal ejercida sobre la horizontal por el sólido. Coulomb y Morin formularon leyes que rigen el rozamiento de deslizamiento, siendo estas las siguientes:

Primera ley: la resistencia producida por el roce por deslizamiento es proporcional a la fuerza normal que el cuerpo ejerce sobre la superficie. En la figura (Fig.2.3-a) se observa la suma de la fuerza F ejercida sobre el cuerpo más el peso propio P, lo que da la fuerza N normal a la superficie, a la que es proporcional la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento del cuerpo.

Segunda ley: el coeficiente rozamiento por deslizamiento depende de la naturaleza de las superficies en contacto, pero no de su extensión. En la figura (Fig.2.3-b) se observa una figura en la cual se disminuye su superficie de contacto retirándose dos porciones de los extremos que se colocan en su parte superior, por lo que el peso del mismo permanece igual, no variando la fuerza de rozamiento. Tercera ley: una vez comenzado el movimiento, el coeficiente de rozamiento es menor que el correspondiente al reposo y disminuye continuamente con el aumento de velocidad, denominándoselo en este caso como coeficiente de rozamiento dinámico, siendo: µ < µ0 (2.10) Esto es válido para superficies secas y no para superficies lubricadas ya que en este último caso aparece un rozamiento de viscosidad del fluido. Determinación experimental del coeficiente de rozamientoPara la determinación del coeficiente de rozamiento estático se puede proceder de las siguientes formas: a) Hacer deslizar un cuerpo (Fig.2.4) de peso conocido P, medir la fuerza F en el instante límite que comienza el movimiento y se hace el cociente entre F y P, obteniéndose µ0 según la (2.9):

PF=0µ


26

b) Considerando un cuerpo que se desliza por un plano inclinado, (Fig.2.5), el ángulo ϕ de inclinación del plano se puede variar de cero hasta un valor ϕ0 para el cual el sólido comienza a descender. La condición de equilibrio en el momento de iniciarse el movimiento es: T = R (2.11) siendo:

T = P senϕ0 (2.12)

R = µ0 N = µ0 P cosϕ0 (2.13) Por lo que la (2.11) resulta:

P senϕ0 = µ0 P cosϕ0 (2.14) haciendo pasajes de términos y simplificando se obtiene:

00

00 tg

cossen

ϕϕϕµ ==

(2.15) La (2.15) indica que la tangente trigonométrica del ángulo ϕ0, que el plano inclinado forma con la horizontal en el momento de iniciarse el movimiento es igual al coeficiente de rozamiento estático o en reposo. Angulo y cono de rozamientoSuponiendo la fuerza N que el cuerpo a (Fig.2.6) ejerce normalmente sobre la superficie en que se apoya y F la fuerza que rompe el equilibrio del cuerpo, haciendo que éste comience a moverse, y, que R' es la fuerza resultante de F y N, ésta forma con la vertical un ánguloϕ0 que es el ángulo de rozamiento y cumple la condición:

00tg µϕ ==NF

(2.16) siendo ϕ0 = arctg µ0 (2.17) O sea que la tangente del ángulo ϕ0 equivale al coeficiente de roce estático. Si se considera a E la equilibrante del sistema de fuerzas F y N, se observa que para producir el movimiento del sólido es necesario que E forme con la vertical el ángulo ϕ0; si la componente F es mayor que la necesaria para mover el

cuerpo, tanto R' como E se acercan hacia la horizontal. Es posible por lo tanto, imaginarse un cono llamado de rozamiento, cuyas generatrices forman un ángulo ϕ0 con la vertical. Si la equilibrante está orientada dentro del cono, es decir, si forma un ángulo menor que ϕ0, no es posible producir el desplazamiento del sólido, por cuanto la componente F no vence el frotamiento proporcional a la fuerza normal N. Ecuaciones del movimiento en el plano inclinado con rozamiento

Suponiendo que un cuerpo c cae por un plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal (Fig.2.7), actuando sobre el mismo, debidas al peso propio P = mg del cuerpo, las fuerzas:

T = P senα = mg senα (2.18) la que produce su desplazamiento hacia abajo.


27

R = µ N = µ P cosα = µ mg cosα (2.19) Siendo R la fuerza de rozamiento que se opone al avance del cuerpo, µ el coeficiente de rozamiento dinámico (del cuerpo en movimiento) menor que el rozamiento estático:

µ < µ0 (2.20) El cuerpo cae debido a que es: T > R (2.21) por lo tanto tiene una aceleración a, existiendo una fuerza resultante que hace que el cuerpo se deslice hacia abajo: T - R = m.a (2.22) Reemplazando T y R por sus valores dados por la (2.18) y (2.19) respectivamente en la (2.22), se tendrá: mg senα - µ mg cosα = m.a ⇒ mg(sen α -µ cos α ) = m.a; despejando a:

( )αµα cossen −= ga (2.23) Si para un tiempo t0 =0 es v = v0 y e = e0, para un tiempo t cualquiera, será:

v = v0 + gt (sen α -µ cos α ) (2.24) y

e = e0 + v0t +)cos(sen

21 2 αµα −gt

(2.25) Si el cuerpo asciende por el plano inclinado debido a la velocidad v0 que posee (Fig.2.8), se tiene:

- T - R = m.a (2.25)

-mg senα - µ mg cosα = m.a (2.26) De donde es. - ( mg senα + µ mg cosα )= m.a (2.27) Despejando a de la (2.27):

a = -g(senα + µ mg cosα ) (2.28)

Para t0 = 0 es v = v0 y e = e0 y se tendrá:

v = v0 - gt( senα + µ cosα ) (2.29) y

e = e0 + v0 t - 21

gt2 ( senα + µ cosα ) (2.30)

Trabajo contra la fuerza de rozamiento

Considerando el plano inclinado de la figura (Fig.2.9), se puede realizar un análisis de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, considerando las fuerzas


28

exteriores, el peso propio del cuerpo y la fuerza de rozamiento y el trabajo necesario para vencer esta última, que se opone al movimiento del mismo. Suponiendo que sobre el cuerpo de peso P= mg se ejerce una fuerza F = m.a para lograr su ascenso, se tendrá, según la sumatoria de las fuerzas que intervienen:

F-mg senϕ -R = m.a = m.v dxdv

(2.31)

Fdx - mg.senϕ dx – Rdx = m vdv (2.32)

Integrando entre x1 y x2 correspondiendo en cada punto para v, v1 y v2 respectivamente y haciendo pasaje de términos:

F(x2 – x1 ) = ½ (m v2- m21v )+ mg( x2 senϕ – x1 senϕ ) – R (x2 – x1 ) (2.33)

Si fuera F = 0, se tendrá:

½ m22v + m g h2 = ( ½ m

21v + mg h1 ) – R ( x2 – x1 ) (2.34)

Siendo el primer miembro la energía total en el punto 2 y el segundo miembro la energía total en el punto 1 menos la energía empleada en el trabajo para vencer la fuerza de rozamiento R.

Trabajo de rozamiento en gorrones

Los árboles y ejes descansan sobre cojinetes directamente, o más comúnmente por medio de gorrones, los cuales pueden ser frontales o intermedios (Fig.2.10). Entre el gorrón y el cojinete sin lubricación se produce un rozamiento, debido al contacto de ambas superficies laterales circulares, que es considerado de primera especie.Estos cojinetes reciben el nombre de cojinetes de deslizamiento o de fricción. En los de bolas o rodillos se produce un rozamiento de segunda especie o de rodadura,denominándoselo de antifricción.La distribución de la presión entre ambas superficies dependerá de la elasticidad de ambos metales y del huelgo

odiferencia entre los diámetros del gorrón y del cojinete. Cuando los cojinetes son nuevos, la presión se distribuye en forma uniforme debido a la adaptación perfecta existente entre ambas piezas. Si el gorrón es usado

(gastado) el radio r se transforma en el radio y variable para cada punto del mismo (por desgaste desparejo). Analizando la figura (Fig.2.11), y teniendo en cuenta que la carga se transmite en forma radial al gorrón, con una distribución radial de presiones, la cual tiene una componente horizontal que se anula con la simétrica, pero no así la componente vertical, que produce una presión media específica, siendo esta presión media específica la relación entre la carga P y la sección diametral del gorrón:


29

lrP

ldPp

..2.==

(2.35) Siendo d y r el diámetro y radio respectivamente del gorrón que apoya en una longitud l sobre el cojinete. La carga P ejercida sobre el gorrón produce una fuerza de resistencia por rozamiento R entre las superficies del eje y cojinete en contacto cuando el eje gira con una velocidad angular ω dentro del cojinete, siendo M el momento debido a esta fuerza. Analizando en la figura (2.12), para un gorrón desgastado de radio y, que está sometido a una carga vertical P que es transmitida al cojinete de longitud l, la presión específica p que se produce, el coeficiente de rozamiento µ y

considerando que la superficie diferencial dS es:

dS = r.l.dϕ (2.36) y siendo dN la fuerza normal a la superficie dS se tiene: dN = p.dS = p.r.l.dϕ (2.37) La fuerza de rozamiento que se opone al giro del eje es: dR = µ.dN = µ.p.r.l.dϕ (2.38) resultando el momento de rozamiento dM:

dM = y.dR (2.39) Integrando la (2.39), suponiendo µ constante:

ydlrpydRM ...... ϕµ∫ ∫== (2.40) Si el gorrón es nuevo es y = r = constante y la presión p en toda la superficie del mismo se mantiene constante, resultando por lo tanto la (2.40):

πµϕµπ

π ...... 22

2

2 lrpdlrpM == ∫− (2.41)

y como es por la (2.35) lrPp

..2=

resulta para el momento M:

PrlrPlrM .

2..

..2...2 πµπµ ==

(2.42) Se puede hacer:

21πµµ =

(2.43) Por lo que la (2.42) resulta:

M = µ1.r.P = 1,57µ.P.r (2.44) El coeficiente µ1 se lo denomina coeficiente de rozamiento del gorrón. La potencia NR consumida en el trabajo de rozamiento para la velocidad angular ω, siendo:

=

sradn

602πω

(2.45) es:


30

NR = Mω = µ1P.rω = µ1P.r 30nπ

(2.46) Para P en kg fuerza, ω en radianes/s, r en metro la potencia resulta en kgm/s y multiplicando

por skgmCV

/751

se la obtiene en CV. Si P está en Newton (N), ω en rad/s, r en metro la potencia está dada en J/s = vatios. Trabajo de rozamiento en pivotes o quicios

Cuando un eje recibe una carga axial P y la transmite a un apoyo, su extremidad recibe el nombre de pivote o quicio. Se presentan distintos tipos y estados de pivotes: a-pueden ser nuevos, sin desgaste, radio r constante; b-usados, con desgaste, radio y variable; c- macizos, único radio r y d- con agujero central, radios r1 y r2. El radio y en el caso de pivotes usados, podrá variar de 0 a r para pivotes macizos y de r1 a r2 para pivotes con agujero central. Para el caso a), considerando la superficie diferencial de la corona de radio y y espesor dy según muestra la figura (Fig.2.13-a) es:

dS = 2π y dy (2.47) La fuerza dP que se ejercerá sobre ella debido a la presión superficial específica p es:

dP = p.2π y dy (2.48) Integrando la (2.48) para P variando entre 0 y P y el radio y según lo ya establecidos precedentemente se tiene:

∫∫ == 2

1

..20

r

r

PdypydPP π

(2.49) La fuerza de rozamiento dR considerando la (2.48) y el coeficiente de rozamiento µ, el cual se conserva constante, se tendrá: dR = µ.dP = µ p.2π y dy (2.50) o integrando la (2.50):

∫∫ == 2

1

20

r

r

PydypdPR πµµ

(2.51) y el momento dMR debido a la fuerza de rozamiento dR es:

dMR = y.dR (2.52) o integrando la (2.52) para R variando entre 0 y R:

∫∫ == 2

1

20

r

r

R

R ydypydRM πµ(2.53)

Si el pivote es nuevo la presión p se mantiene constante a lo largo del radio, es decir desde 0 a r.Si el pivote es usado, la presión p varía con el radio y, debiendo conocerse la función de variación, pero se ha podido comprobar que el desgaste en la superficie de apoyo del pivote es uniforme para cada longitud del radio considerado. Además, este desgaste es proporcional a la


31

presión p y a la velocidad tangencial v. Experimentalmente se obtiene que muy aproximadamente el producto p.v se mantiene constante; es decir: p.v = constante (2.54) pero como es v = ω.y será p.ω.y = constante; como es ω = constante debe ser también p.y = constante. Aplicando este análisis a los casos a, b, c y d ya mencionados, podemos obtener las expresiones de la presión p y del momento MR debido a la fuerza de rozamiento dR.

1-Caso ac) Pivote nuevo macizo: para este caso y varía desde 0 a r ; p = constante. Integrando la (2.49) y (2.53) para las condiciones mencionadas se obtiene:

Para la (2.49) ∫ ==r

rpdyypP0

2.2 ππ(2.55)

Despejando la presión p de la (2.55) se llega finalmente a:

2rPp

π=

(2.56)

para la (2.53): 3

0

2

32..2 prdyypM

r

R µπµπ == ∫ (2.57) y reemplazando en la (2.57) p según la (2.56):

rPM R µ

32=

(2.58) 2-Caso bc) Pivote usado macizo: para este caso y varía desde 0 hasta r; además según lo visto anteriormente es p.y = constante. Integrando la (2.49) y la (2.53) para las condiciones mencionadas se obtiene:

Para la (2.49) pyrdypyP

rππ 22

0== ∫ (2.59)

Despejando la presión p de la (2.59) se obtiene para p la expresión:

ryPp

π21=

(2.60)

Para la (2.53) 2

02 rpyydypyM

r

R µπµπ == ∫ (2.61) y reemplazando en la (2.61) el valor de p dado por la (2.60):

rPM R µ21=

(2.62) Para estos caso de pivote macizo, si se observan las expresiones (2.56) y (2.60) se podrá notar que la presión en el pivote, a medida que r se acerca a cero, crece hasta valores muy grandes, y para cero se haría infinito, lo que puede notarse en el diagrama de presiones de la figura (Fig.2.13-b); si bien esta última situación no se da ya que las consideraciones hechas son aproximadas, las presiones que se producen son muy grandes, motivo por el cual se construyen los pivotes con un agujero central (fig.2.14), como se verá a continuación, a efectos de


32

eliminar las presiones en el centro. 3-Caso ad) Pivote nuevo con agujero central: para este caso es p constante atendiendo que rno varía al no haber desgaste; además se tienen los valores de los radios interno r1 y externo r2del agujero central. Integrando la (2.49) y (2.53) para las condiciones mencionadas:

Para (2.49) )(2 2

12

22

1

rrpdyypPr

r−== ∫ ππ

(2.63) Despejando p de la (2.63) en función de P:

)( 21

22 rrPp−

=π (2.64)

Para (2.53) ∫ −== 2

1

)(322 3

13

22r

rR rrpdyypM µπµπ(2.65)

Reemplazando en la (2.65) el valor de p dado por la (2.64) se obtiene:

21

22

31

32

32

rrrrPM R −

−= µ

(2.66) 4-Caso bd) Pivote usado con agujero central: para este caso es p.y = constante variando ydesde r1, radio interno del agujero central del pivote a r2 , radio externo del mismo. Integrando la (2.49) y (2.53) para estas condiciones:

Para la (2.49) )(22 12

2

1

rrypdyypPr

r−== ∫ ππ

(2.67) Despejando de la (2.67) el valor de p se obtiene:

)(2 12 rrPp

−=

π (2.68) Para (2.53):

)(2 2

12

22

1

2

1

rrpyydypyydRMr

r

r

rR −=== ∫∫ µπµπ(2.69)

Reemplazando en la (2.69) el valor de p dado por la (2.68) se obtiene:

)(21

12 rrPM R += µ(2.70)

La potencia para estos casos vistos se la obtiene multiplicando el momento contra la fuerza de rozamiento por la velocidad angular con que gira el pivote:

30nMMN RRR

πω ==(2.71)


33

Medición de potencias mediante frenos dinamométricos

Se utilizan para medir la potencia efectiva existente en los ejes de los motores de combustión interna, de vapor, eléctricos, etc. Los más usuales son el de Prony, el de Navier y el de Froude o de Thorneycroft. Los dos primeros son del tipo de absorción de la potencia del motor para realizar un trabajo que venza al realizado por la fuerza de rozamiento en tanto que el de Froude se utiliza la potencia del motor para realizar un trabajo. Freno de Prony: consta de dos zapatas a y a' (Fig.2.15) que abrazan al eje cuya potencia se quiere medir, recubiertas, en la zona de contacto, de material especial para realizar la fuerza necesaria en la fricción y para resistir las altas temperaturas y esfuerzos mecánicos a que son sometidas. Las dos zapatas están unidas por dos pernos roscados que cuentan con tuercas para

ajustarlas al eje y regular la presión que ejercen sobre el mismo. Cuando el eje gira según el sentido que indica la figura (Fig.2.15) con una velocidad angular ω, el brazo E tiende a tocar el tope C, por lo cual es necesario colocar el peso P para dejarlo en equilibrio entre los topes C y D.En estas condiciones el trabajo del motor se consume por el rozamiento en el freno, y debido al equilibrio puede determinarse la fuerza de roce con ayuda del peso P.Llamando R a la fuerza de rozamiento que

se produce sobre la zapata al girar el eje y arrastrarla, y tomando momentos con respecto al centro O, resulta:

R - P.l = 0 (2.72) De donde se puede obtener R:

rlPR .=

(2.73) y el momento de rozamiento MR es:

lPrrlPrRM R .... ===

(2.74) La potencia efectiva NR para la velocidad angular ω es:

60.2

30... lnPnrRMN RR

ππω ===(2.75)

estando NR en Watts para P en Newton, l en metros y n en rpm. Si estuviera P dado en kg fuerza, l en metros y n en rpm, la expresión (2.75) dividida por 75 CV/kgm resulta en CV:

60.75..2 lPnN R

π=(2.76)


34

Freno de Navier: el eje del motor está rodeado por una cinta que ejerce, debido al rozamiento, una fuerza que se opone al giro del eje (Fig.2.16). En un extremo de la cinta se coloca un dinamómetro el cual está sujeto al piso, colocándose en el otro extremo un peso tensor Q. En el

dinamómetro se lee la fuerza de tracción P que se ejerce en un extremo del cable, debido al peso Q y fuerza de rozamiento Rejercida por el eje sobre la cinta. Para el sentido de rotación de la figura, el tramo de mayor tensión es el de la derecha, pues además de soportar el esfuerzo Q de frenado, recibe también la fuerza que hace el tambor para arrastrar la cinta en su rotación, resultando por lo tanto con menor tensión el tramo de la izquierda. Por lo tanto, la diferencia de los esfuerzos en la cinta valdrá, tomando momento respecto al centro O del eje:

Q.r = R.r + P.r (2.77) Simplificando r y haciendo pasajes de términos se obtiene: Q = R + P ⇒ R = Q - P (2.78) y el momento de rozamiento será: MR = R.r = (Q - P).r (2.79)

y la potencia será:

NR = MR.ω = (Q -P)r 602 nπ

(2.80) en Watts para MR en Joule, Q y P en Newton y n en rpm.

Freno de Froude o Thorneycroft:La polea I, que está sobre el eje motor O1 y del cual se desea medir la potencia, gira a nrpm arrastrando mediante una correa al mecanismo formado por un sistema de poleas II, III y IV que giran sobre ejes O2, O3 y O4 respectivamente, estando los dos últimos sobre un bastidor, según muestra la figura (Fig.2.17), transmitiéndole un movimiento de

rotación en el sentido antihorario. Debido a ello se producen los esfuerzos S1 y S2 en la rama superior e inferior de la

correa respectivamente, siendo: S1 > S2

(2.81) ya que el tramo superior, que envuelve a la polea II se encuentra traccionado y el tramo inferior, que envuelve a la polea IV, está comprimido, debido al sentido de las fuerzas


35

de rozamiento en cada uno de ellos. Como resultado de los esfuerzos en la correa se produce una resultante 2S1 aplicada en O2 y una resultante 2S2 en O4. El bastidor tiende a girar alrededor de “O” pero es equilibrado por un momento M que se produce por el peso P de un sistema de pesas que se encuentra en el extremo de la palanca E. Si la distancia entre los centros II y III y III y IV es la misma e igual a a, tomando momentos respecto de O se tiene:

2S1 .a - 2S2.a - P.l = 0 (2.82)

Operando en la (2.82)

alPSS

.2.

21 =−(2.83)

En la polea I, tomando momento respecto a O1 se tiene:

S1.r = R.r + S2.r (2.84)

de la cual se obtiene:

R = S1 - S2 (2.85)

Por lo tanto, el momento de rotación debido a la fuerza de rozamiento R valdrá:

MR = ( S1 - S2 ).r (2.86)

y de la (2.83) y (2.86) se obtiene:

ralpM R .2.=

(2.87)

y la potencia efectiva para las n rpm es:

N = MR.ω = 602

.2. nralP π

= 60.. n

arlP π

(2.88)

Frenos de zapata

Están constituidos por una o más zapatas o mordazas de material especial para la fricción, que se comprimen, mediante el momento generado por la acción de una palanca, contra la superficie del tambor del freno, el cual está girando a una velocidad angularω, produciendo la acción de frenado por el rozamiento existente entre las superficies del tambor y de la zapata. La articulación de la palanca de accionamiento se encuentra unida a una parte fija o bancada de la máquina. Conociendo la potencia N se conoce el momento de rotación M :

N = M.ω ⇒ ωNM =

(2.89)

La fuerza tangencial T, debido al rozamiento, sobre la zapata valdrá:


36

rMT =

= rN.ω (2.90)

la fuerza de rozamiento R sobre el tambor, debido a la fuerza normal P, es:

R = µ.P (2.91)

Siendo además el momento M respecto de O:

M = T.r = R.r (2.92)

resultando: R = µ.P = T = rM

(2.93)

Se pueden presentar los siguientes casos:

Primer caso: El punto A de apoyo de la palanca está por debajo de la recta de acción de la fuerza de rozamiento T sobre la zapata (Fig.2.18).

Para determinar la fuerza K que se debe realizar sobre la palanca para producir el frenado, se toman los momentos de las fuerzas actuantes respecto de A:

K.l - P.b + T.a = 0(2.94)

K.l = P.b - T.a (2.95)

Reemplazando T por µ.P según la (2.93) en la (2.95) se obtiene:

K.l = P.b - µ.P.a ⇒

−=

babPlK

µµ 1...

(2.96)

Y despejando K de la (2.96):

−=

ba

lbPK

µµ 1..

(2.97)

Por la (2.90) y (2.92) la (2.97) se puede escribir:

−=

ba

lb

rNK

µω1

. (2.98)

Si se invierte el sentido de rotación se obtiene:

+=

ba

lb

rNK

µω1

. (2.99)


37

Segundo caso: El punto A de apoyo de la palanca está por encima de la recta de acción de la fuerza de rozamiento T sobre la zapata (Fig.2.19). Tomando momentos respecto de A de las fuerzas actuantes se obtiene:

K.l - P.b - T.a = 0 (2.100)

Reemplazando la fuerza T por su igual R = µ.P, en la (2.100) y operando se obtiene:

+=

ba

lbPK

µµ 1..

(2.101)

y por la (2.90) y la (2.92) la (2.101) se puede escribir:

+=

ba

rNK

µω1

. (2.102)

Invirtiendo el sentido de rotación se obtiene:

−=

ba

rNK

µω1

. (2.103)

Tercer caso: el punto A de apoyo de la palanca está en la recta de acción de la fuerza de rozamiento sobre la zapata T (Fig.2.20).

Para este caso es a = 0, por lo tanto, el momento de la fuerza T es nulo, por lo tanto, los momentos de K y P deben equilibrarse mutuamente, resultando:

K.l - P.b = 0 (2.104)

Despejando de la (2.104) la fuerza K se obtiene:

lbT

lbPK

µ== .

(2.105)

y por la (2.90) y (2.92) se puede escribir:

lb

rNK

.. µω=

(2.106)

Este valor de K es para cualquier sentido de rotación del tambor.

Rozamiento de segunda especie

Cuando rueda un cuerpo cilíndrico sin deslizamiento sobre una superficie plana horizontal (Fig.2.21), surge una resistencia debido a la compresibilidad de las superficies de contacto y a la deformación entre el cuerpo y el apoyo. Esta resistencia se llama rozamiento de segunda especie o de rodadura. Sus leyes se establecen de acuerdo con las experiencias realizadas por Coulomb.

Debido a la deformación entre las superficies en contacto las dos fuerzas paralelas P y F producen una reacción que vale:

R’ = P + F (2.107)


38

La cual está aplicada a la distancia f de la recta de acción del peso P y en el centro de la superficie deformada. Para determinar F consideraremos el equilibrio de momentos con respecto al centro O del cuerpo cilíndrico:

R’.f – F.r = 0 (2.108)

Reemplazando el valor de R’ dado por la (2.103):

F.r = R’.f = (P + F ).f (2.109)

Despejando de la (2.105) f:

FPrF

RrFf

+==

'.

'.

(2.110)

o también:

F = R’. rf

(2.111)

El rozamiento de rodadura está regido por las siguientes leyes:

Primera ley: la fuerza F con que se vence la resistencia de rozamiento es proporcional a la reacción R’, o sea, a la carga soportada por la superficie:

F ∝ R’ (2.112)

Segunda ley: la fuerza F varía con el valor de f, el cual depende de la deformación producida, o sea de la naturaleza de las superficies.

La magnitud f se denomina coeficiente de rozamiento de segunda especie o de rodadura. Sus valores, obtenidos de acuerdo con la experiencia se encuentran tabulados. El valor de f está en centímetros y es un brazo de palanca.

Si se considera el movimiento del cilindro por la acción de una fuerza F horizontal (Fig.2.22), el mismo se produce debido a la reacción:

R = -F (2.113)

llamada adherencia o rozamiento de primera especie, la cual, conjuntamente con F, forma un par motor, el cual equilibra el par resistente P.f. Por lo tanto, la ecuación de equilibrio de los momentos de las fuerzas P y F con respecto al punto m es:

P.f – F.a = 0(2.114)

De la (2.114) se obtiene:

f

aPF .=

(2.115) La (2.110) cumple también con las leyes enunciadas. Se debe establecer además una condición adicional para que se produzca rodadura y no deslizamiento. En efecto, si se tiene en cuenta el rozamiento de primera especie, la fuerza debida a éste es:


39

R = µ P(2.116) Si al ejercer la fuerza F, ésta es mayor que la del rozamiento de primera especie, es decir:

F > µ.P (2.117) el cilindro deslizará sin rodar. Para que ruede sin deslizar deberá ser :

F < µ.P (2.118) puesto que por la (2.115) y la (2.118) es:

F = afP.

< µ.P(2.119) de donde se obtienen las siguientes relaciones:

a) af

< µ b) f < µ.a c) µf

< a(2.120) Generalmente es f << µ, caso de los rodamientos de bolas o rodillos, utilizados cuando se quiere disminuir el rozamiento, o mejor dicho, la fuerza resistente debida a éste. Transporte sobre rodillosPara el desplazamiento de cuerpos pesados, el esfuerzo a ejercer al sustituir un rozamiento de primera especie por otro de segunda especie, es mucho menor. Si se considera una viga de peso P que se quiere transportar sobre un rodillo de peso G(Fig.2.23), siendo f ' el coeficiente de rozamiento por rodadura entre la viga y el rodillo y f el existente entre el rodillo y el piso, tomando momentos de las fuerzas actuantes respecto al punto x se tendrá:

Mx = F.a = R'.f + R''.f ' (2.121) Siendo:

R' = P + G (2.122) Y

R'' = P(2.123)

Remplazando en la (2.121) los valores de R' y R'' dados por las (2.122) y (2.123) respectivamente se tendrá:

F.a = ( P + G ).f + P.f '(2.124) Despejando F de la (2.124):


40

( )a

fPfGPF′++= ..

(2.125) Si en la (2.125) es G << P , f ≈ f ' y a = 2r la (2.125) se convierte en:

rfP

rfPF .

2.2 ==

(2.126) Siendo el momento Mx para este caso:

Mx = F.r (2.127) (2.127)

La potencia necesaria para producir el rodamiento, para N = Mx .ω siendo 602 nπω =

y n(rpm) es:

N = F.r.ω = 30. nfP π

(2.128) El momento debido al rozamiento de segunda especie, de acuerdo a la (2.128) resulta:

MR = P.f(2.129) Si se utilizaran más de un rodillo (Fig.2.24), y se considera que el peso P de la viga se distribuye de igual forma sobre cada uno de ellos, si son z rodillos, tendremos sobre cada uno de ellos un peso P/z; además, si cada uno de los rodillos pesa G, la fuerza que ejerce cada rodillo sobre el piso es P/z + G; si la fuerza F se aplica sobre la viga a la distancia a, la sumatoria de los momentos, según la (2.124) es

0. =−

++⋅⋅⋅+

++

++⋅⋅⋅+′+′ aFfG

zPfG

zPfG

zPf

zPf

zP

(2.130) De la (2.130) se obtiene:

afzGPfPF ).(. ++′

=

(2.131) Algunos de los valores medios de f son: - Fundición, acero sobre acero: f ≈ 0,05 cm. - Bolas o rodillos de acero templado sobre anillos de acero del mismo material


41

(cojinetes de rodamientos): f ≈ 0,005 a 0,001 cm. Trabajo absorbido por el rozamiento

Debido a la fuerza resistente producida por el rozamiento de primera especie se produce un trabajo dado por la siguiente expresión, teniendo en cuenta que es R la fuerza resistente, dS el camino recorrido por el cuerpo y α el ángulo queda la dirección de R(Fig.2.25):

dW = R.dS.cosα(2.132) Si además el movimiento tiene lugar con una velocidad v, la potencia NR empleada en un tiempo dt es:

αα cos..cos vRdtdSR

dtdWN R

R ===

(2.133) Siendo R.cosα la proyección de la fuerza resistente en la dirección del desplazamiento y v la velocidad instantánea del móvil. Por otra parte, si es P la resultante de las fuerzas normales al plano de deslizamiento, será : R cosα = µ P(2.134) y por lo tanto la (2.132) por la (2.134) resulta:

dWR = µ P dS(2.135) y la (2.133): NR = µ P v(2.136) El momento resistente para el rozamiento de segunda especie y la potencia consumida, según la (2.129) y (2.128) siendo ω la velocidad angular con que rueda el cuerpo, serán

respectivamente MR = P.f y NR = MR ω = MR 30nπ

para ω = 602 nπ

.Esfuerzos en órganos flexibles con rozamiento

Al enrollar un órgano flexible (cable, cadena, cuerda o cinta) en una polea o tambor, se produce una deformación en el elemento de tracción, lo cual motiva una resistencia, que se conoce con el nombre de rigidez de la cuerda.Sea por ejemplo un cable que se enrolla en una polea fija (Fig.2.26). Si se designa con P el esfuerzo motor y P1 el esfuerzo en el tramo que soporta la carga, o sea aquel que se mueve hacia la polea, se comprueba que el cable sufre una deformación debida al rozamiento entre los elementos o fibras del cable que producen una resistencia a la curvatura. Se supone que la amplitud de la deformación es igual a ξ


42

y además que existe un rozamiento entre el eje y cojinete de la polea. Analizando los esfuerzos que se producen, se observa: a) Rozamiento entre eje y cojinete: la fuerza R debida al rozamiento es igual a Pr ,resultante de P y P1, por el coeficiente de rozamiento µ1:

R = µ1.Pr(2.137) De la figura (Fig.2.26), para γ ≠ 180º por el teorema del coseno se tiene:

γcos.2 12

12 PPPPPr −+=

(2.138) Si se considera P1 ≈ P la (2.138) puede escribirse:

γcos22 21

21 PPPr −=

(2.139) Operando en la (2.139) se obtiene:

)cos1(2 21 γ−= PPr (2.140)

Por ser 1- cosγ = 2 sen2 2γ

la (2.140) se transforma en:

2sen4

2sen2.2 22

122

1γγ PPPr ==

(2.141) Extrayendo la raíz cuadrada de la (2.141) se obtiene:

Pr = 2P1 sen 2γ

(2.142) Por lo que el momento de rozamiento Mroz entre eje y cojinete será:

Mroz = Pr. µ1. r' = '

2sen2 1

21 rP µγ

(2.143)

Si es γ = 180º será sen1

2180 =

y por lo tanto es:


43

Mroz = 2P1µ1r' (2.144) b) Deformación (ξ) de la cuerda: debido al rozamiento interno de los elementos que componen la cuerda, ésta presenta resistencia a amoldarse o cambiar su situación, deformándose de tal manera que la misma influye en los esfuerzos para vencer el peso a levantar. Analizando la figura (Fig.2.27), en la cual el ángulo que forman lo dos extremos de la cuerda es γ = 180º, las fuerzas que actúan y sus momentos con respecto al eje O, tomando la sumatoria de estos últimos se tiene:

P ( r- ξ ) = P1 ( r + ξ ) + 2P1µ1r' (2.145) Despejando en la (2.145) P :

ξµξ

−′++

=r

rrPP 11

2

(2.146) La expresión :

ξµξ

−′++

rrr 12

(2.147) se la denomina coeficiente de pérdida de la polea y se la designa como εf siendo mayor que la unidad. o sea:

ξµξ

ε−++

=r

rrf

'2 1

> 1 (2.148) y su recíproco es el rendimiento ηf de la polea, menor que la unidad:

ff ε

η 1=< 1

(2.149) Los valores de εf se han establecido experimentalmente existiendo fórmulas empíricas para los distintos órganos de tracción. Para los cables y cadenas se adoptan valores de εf= 1,04 a 1,06, resultando rendimientos ηf =0,96 a 0,94. Resistencia al deslizamiento de una lámina sobre un tambor. Teorema de Prony

Cuando un órgano de tracción (cable, cinta o correa) perfectamente flexible abraza una polea o un tambor o cilindro en movimiento, como indica la figura (Fig.2.29), se constata una diferencia entre los esfuerzos S1 en el ramal conductor y S2 en el conducido debido a que se produce una resistencia al deslizamiento por el rozamiento entre el


44

órgano de tracción (correa) y las poleas. La polea motora tracciona la correa y ésta a su vez hace girar la polea conducida. La fuerza de tracción que ejerce la polea conductora I sobre la correa debido al rozamiento existente entre ambos, hace que esta última tienda a alargarse. El rozamiento

que se produce entre la polea conducida II y la correa, al arrastrar ésta a la primera, tiende a frenar el movimiento y traccionar hacia atrás la correa. Por esto el tramo superior está extendido y el inferior tiende a comprimirse debido al rozamiento, motivo por el cual existe una fuerza que empuja la correa desde la conductora I a la

conducida II, y también por el rozamiento existe una fuerza que la conducida ejerce sobre la correa empujándola hacia la conductora, verificándose que S1 > S2, estando el ramal superior (conductor) extendido y tirante, y el inferior o conducido.

Considerando una correa que envuelve una polea de radio r con un cierto ángulo α ,llamado ángulo de contacto, y un diferencial de ángulo dα al cual corresponde una longitud diferencial de arco de correa r.dα ysobre la cual actúa una fuerza normal dNproduciendo una fuerza de rozamiento µ.dN en la dirección tangencial. Si el tramo conductor es el de la derecha, los esfuerzos en los extremos de la longitud del diferencial de correa r.dα serán S y S + dS, normales a las secciones de la misma y que forman un

ángulo 2αd

con la tangente a la polea. En un momento determinado, considerando que la correa no desliza sobre la polea y la velocidad de rotación n se mantiene constante, las cuatro fuerzas mencionadas se encontrarán en equilibrio.

Considerando un sistema de ejes formado por la tangente (H) a la polea y la perpendicular (V) a la misma que pasa por el centro del arco r.dα y haciendo la sumatoria de las proyecciones de las fuerzas actuantes sobre este sistema de ejes, se obtiene:

∑H ≡ (S + dS). cos 2αd

= µ.dN + S.cos 2αd

(2.150) Operando, de la (2.150) se obtiene:


45

dS.cos 2αd

= µ.dN(2.151)

Si se considera que es 2αd

≅ 0 ⇒ cos 2αd

≅ 1 . Luego la (2.151) se puede escribir:

µdSdN =

(2.152)

∑V≡ (S + dS).sen 2αd

+ S.sen 2αd

= dN(2.153) Operando, de la (2.153) se obtiene:

2S.sen 2αd

+ dS.sen 2αd

= dN(2.154)

Por ser muy pequeño 2αd

, el seno del ángulo se puede suponer igual al ángulo en

radianes: sen 2αd

≅ 2αd

; además, por ser diferencial de segundo orden es dS.sen 2αd

≅

0. Reemplazando sen 2αd

por 2αd

y haciendo dS.sen 2αd

igual a cero en la (2.154) se obtiene: S.dα = dN(2.155) De la (2.152) y (2.155) resulta:

α

µdSdS .=

(2.156) Operando en la (2.156) obtenemos:

αµ d

SdS .=

(2.157) Integrando la (2.157) entre S1 y S2 el primer miembro y el segundo entre α y 0:

∫∫ =α

αµ0

.1

2

dS

dSS

S ⇒αµ.ln

2

1 =SS

(2.158)


46

Aplicando el antilogaritmo a la (2.158) se tiene la expresión:

αµeSS =

2

1

(2.159) o también:

αµeSS 21 =

(2.160) La (2.159) y (2.160) son las expresiones del Teorema de Prony, válido también para una sección de la correa no circular en la que el ángulo total de contacto sea α y el coeficiente de rozamiento entre correa y polea sea µ. Esta conclusión se obtiene del hecho de que el radio del tambor no interviene en las ecuaciones de equilibrio. S1 > S2

pues αµe ≥ 1 pues es µ > 0 y α > 0.La fuerza tangencial que debe transmitirse por rozamiento no debe ser mayor que la diferencia de esfuerzos S1 - S2 para impedir que la correa resbale sobre la polea. Por lo tanto la fuerza tangencial T a transmitir por la correa debe ser:

T = S1 - S2(2.161) Reemplazando en la (2.161) S1 y S2 por sus valores obtenidos de la (2.159) en función de µ y de α :

αµ

αµ

αµ eeS

eSST 1

11

1−=−=

(2.162) o también, en función de S2:

( )1222 −=−= αµαµ eSSeST(2.163) Conociendo T a partir de la potencia del motor, como los valores de µ y de α están tabulados en manuales especializados, se pueden obtener S1 y S2 despejándolos de la (2.162) y de la (2.163) respectivamente.

a) 1.

1 −= αµ

αµ

eeTS

y b) 12 −= αµe

TS

(164) Si se enrolla un número n de vueltas una cuerda en un tambor, el ángulo α resulta ser 2π n radianes. Cuando la velocidad de giro se hace grande, la correa tiende a separarse de la llanta, por lo que la ecuación de Prony lleva consigo un cierto error para velocidades muy altas. Frenos de cintasSe produce el frenado de un tambor o polea que está girando mediante una cinta de alta resistencia construida de un material especial para obtener un alto coeficiente de roce, la cual envuelve al tambor en movimiento, estando sujeta en ambos lados a una palanca la cual al ser accionada aplicando una fuerza en su extremo, comprime la cinta contra el


47

tambor frenándolo. Se pueden distinguir tres tipos de frenos de cinta: simple, diferencial y totalizador.

a) Freno simple (pivote en la recta de acción de S1 o S2)

En este tipo, un extremo e la cinta está sujeto al punto fijo de giro "A" de la palanca (Fig.231). De acuerdo al sentido de rotación se obtendrá a la derecha o a la izquierda el tramo de mayor tracción S1. Para el caso I es el de la derecha ya que se suma el esfuerzo de frenado más el arrastre del tambor, en tanto que el S2 se descarga por este arrastre. En el caso II sucede a la inversa. El tambor se comporta en forma análoga a la polea motriz del punto anterior. La fuerza K necesaria para el frenado se determina en la forma siguiente: se toman momentos respecto de A:

Caso I: K.l = S2.a ⇒ laSK .2=

(2.165)

Caso II: K.l= S1.a ⇒ laSK .1=

(2.166) Reemplazando en la (2.165) y en la (2.166) S2 y S1 por los valores dados por la (2.164b)y la (2.164a) respectivamente se obtienen:

11..

−= αµel

aTK

(2.167) y

1.

−= αµ

αµ

ee

laTK

(2.168) La (2.167) y la (2.168) nos dan la fuerza de frenado en función del esfuerzo tangencial, ángulo α al centro de enrollamiento y coeficiente de rozamiento µ.

b) Freno diferencial (con pivote entre S1 y S2)


48

La distribución y el sentido de los momentos (Fig.2.32) hace que la fuerza de frenado sea menor que la correspondiente al simple. Para ambos sentidos de rotación, (casos I y II), tomando momentos respecto al punto Ase obtiene: Caso I : -K.l + S2.b = S1.a(2.169) Despejando de la (2.169) K:

laSbSK .. 12 −

=

(2.170) Y reemplazando en la (2.170) S1 y S2 por sus valores dados por la (2.164a) y la (2.164b) respectivamente, en función de T, µ y α se obtiene:

1.−

−= αµ

αµ

eeab

lTK

(2.171) Caso II : -K.l + S1.b = S2.a(2.172) Despejando K de la (2.172):

laSbSK .. 21 −

=

(2.173) Y reemplazando en la (2.173) S1 y S2 por sus valores dados por la (2.164a) y (2.164b) respectivamente, en función de T, µ y α se obtiene:

1.

−−= αµ

αµ

eaeb

lTK

(2.174) Por ser por construcción a < b las fuerzas de frenado para ambos casos es diferente, siendo por lo tanto:


49

1.−

−αµ

αµ

eeab

lT

< 1.

−−

αµ

αµ

eaeb

lT

(2.175) c)Freno totalizador (pivotes fuera de S1 y S2)

Para este caso el momento aplicado es mayor, por lo que la fuerza de frenado es mayor que en los otros casos. Para ambos sentidos de rotación, (casos I y II), tomando momentos respecto al punto Ase obtiene: Caso I : -K.l + S2.b + S1.a = 0(2.176) Despejando K de la (2.176) se obtiene :

lbSaSK .. 21 +

=


1.

−+= αµ

αµ

ebea

lTK

(2.178) Caso II : -K.l + S1.b + S2.a = 0(2.179) Despejando K de la (2.179) se obtiene:

laSbSK .. 21 +

=



50

1.

−+= αµ

αµ

eaeb

lTK

(2.181)

Plano inclinado considerando el rozamiento

Analizando la figura 2.5 vista anteriormente, y considerando un plano inclinado un ánguloα sobre la horizontal y sobre éste un sólido sobre el que actúa solo su peso P; el mismo es solicitado hacia abajo por la fuerza componente paralela al plano inclinado T= P senα , dada por la expresión (2.12); la fuerza de rozamiento que se opone a la caída del mismo es R = µ N = µ P cosα , dada por la expresión (2.13), siendo µ = tg ϕ el coeficiente de rozamiento y ϕ el ángulo de rozamiento. En el equilibrio es: tgα = tgϕ(2.182) Si es α >ϕ es: tgα > tgϕ(2.183) y el cuerpo caerá hacia abajo pues es: T > R(2.184) Suponemos ahora aplicada una fuerza F sobre el centro de gravedad G formando un ángulo β con la paralela al plano inclinado. Se pueden presentar los siguientes casos según sea el valor del ángulo β:

1- Fuerza F1β necesaria para impedir que el cuerpo caiga (Fig.2.34). La resistencia que opone la fuerza de rozamiento R está orientada hacia arriba y su valor es:

R = µ.N (2.185) Además es: N=Pcosα - F1β senβ(2.186) siendo F1β senβ la componente vertical de F1β..

De la (2.185) y (2.186) resulta:

R =µ Pcosα -µ F1β senβ(2.187)

Además, la componente horizontal de la F1β es: F1βH = F1β cosβ (2.188)


51

Si el cuerpo está en equilibrio debe ser: ΣH= R + F1βH =0(2.189) Reemplazando en la (2.189) los valores de R y F1βH dados por las (2.187) y (2.188) respectivamente, se tendrá:

F1β cosβ +(µ Pcosα -µ F1β senβ) - P.senα = 0(2.190) De la (2.190) se puede despejar F1β:

βµβαµα

β sencoscossen

1 −−= PF

(2.191) El coeficiente de rozamiento es:

ϕϕϕµ

cossentg ==

(2.192) Reemplazando en la (2.191) el valor de µ en función del seno y coseno dada por la (2.192), y operando se obtiene:

)cos()sen(

1 ϕβϕα

β −−= PF

(2.193) Se pueden presentar distintos casos particulares: a) Si es β = -α, la fuerza es horizontal, paralela a la base del plano inclinado, resultando por lo tanto la (2.193), luego de reemplazar en ella β por -α:

)tg()cos()sen(

)cos()sen(

1 ϕαϕαϕα

ϕαϕα

β −=−−=

+−−= PPPF

(2.194) b) Si es β = 0, la fuerza es paralela al plano inclinado, resultando:

ϕϕα

β cos)sen(

1−= PF

(2.195) c) La fuerza mínima para impedir la caída del cuerpo se obtienen de derivar la (2.193) respecto del ángulo β e igualando a cero ésta derivada:


52

[ ] 0cos(

)sen().sen()cos()sen(

21 =

+−+−=

+−=

ϕβϕαϕβ

ϕβϕα

ββ PPd

ddF

(2.196) para ello debe ser nulo el numerador de la función derivada. Por lo tanto, como α -ϕ ≠0, será: β + ϕ = 0 ⇒ β = -ϕ, resultando por lo tanto:

F1β min=P.sen(α−ϕ)(2.197) 2- Fuerza F2β necesaria para efectuar el deslizamiento del cuerpo hacia arriba.

La fuerza R de rozamiento estará orientada hacia abajo, ya que trata de oponerse al avance del cuerpo, siendo su valor: R = µ(Pcosα - F2β sen β)(2.198) En el equilibrio se tendrá: ΣH ≡ F2β .cosβ -µ.P cosα + µ.F2β .senβ -P senα = 0(2.199)

Sacando factor común F2β de la (2.198) se obtiene: F2β (cosβ + µ senβ ) - P(senα + µ cosα ) = 0

(2.200) Despejando F2β de la (2.200):

βµβαµα

β sencoscossen

2 ++= PF

(2.201)

Reemplazando µ por su expresión en función del ángulo de rozamiento ϕϕϕ

cossentg =

en la (2.201) resulta:

)cos()sen(

2 ϕβϕα

β −+= PF

(2.202) Según sea el valor que adopte β se pueden presentar los siguientes casos particulares: a) Si es β = -α es F2β horizontal, paralela a la base del plano inclinado, por lo que la (2.202) resulta:

)tg(

)cos()sen(

2 ϕαϕαϕα

β +=−−

+= PPF

(2.203) b) Si es β =0, es F2β paralela al plano inclinado, resultando la (2.202):


53

ϕϕα

β cos)sen(

2+= PF

(2.204) c) La fuerza F2β mínima para elevar el cuerpo hacia arriba se la obtiene igualando a cero la derivada respecto de β de la (2.202):

[ ] 0)cos(

)sen()sen()cos()sen(

2 =−

+−=

−+=

ϕβϕαϕβ

ϕβϕα

ββPP

dd

ddF

(2.205) Para que sea cero la expresión debe ser cero el numerador: sen(β - ϕ).sen(α + ϕ) = 0(2.206) Como es α + ϕ ≠ 0 debe ser β - ϕ = 0 ⇒ β = ϕ. reemplazando en la (2.202) β por ϕse obtiene: F2β = P.sen(α + ϕ)(2.207)

3- Si ahora se considera que el cuerpo no desciende por su propio peso, o sea que resulta para este caso que es α < ϕ, ypor lo tanto es R > T (Fig.2.36) y se opone al descenso del mismo, se tiene:

R=µN=µ(P.cosα - F3β.senβ)(2.208) En el equilibrio se tendrá: ΣH≡ P.senα +F3β cosβ - µ.(P.cosα - F3β .senβ ) = 0 (2.209) Despejando de la (2.209) F3β y reemplazando µ por tgϕ =

ϕϕ

cossen

se obtiene:

)cos()sen(

sencossencos

3 ϕβαϕ

βµβααµ

β −−=

+−= PPF

(2.210) Se pueden presentar los siguientes casos particulares, según sea el valor de β:

a) Si es β =α , la fuerza F3β será paralela a la base del plano inclinado, resultando de la (2.210):


54

)tg(.)cos()sen(

3 αϕϕααϕ

β −=−−= PPF

(2.211) b) Si es F3β paralela al plano inclinado es β =0, por lo tanto de la (2.210) se obtiene:

ϕαϕ

β cos)sen(

3−= PF

(2.212) c) La fuerza necesaria F3β mínima para hacer descender el cuerpo se la obtiene de igualar a cero la derivada con respecto a β la (2.210):

[ ] 0)cos(

)sen()sen()cos()sen(

23 =

−−−=

−−=

ϕβαϕϕβ

ϕβαϕ

βββ PP

dd

ddF

(2.213) Para que la expresión (2.213) sea cero debe ser cero el numerador. Además, como es ϕ -α ≠ 0, debe ser β - ϕ = 0, o sea, β = ϕ , por lo que resulta la (2.210):

)sen(.)cos()sen(

3 αϕϕϕαϕ

β −=−−= PPF

(2.214) Tornillo de movimientoEs un mecanismo utilizado en muchos aparatos elevadores y transportadores (Fig.2.37a), constituido por un perno roscado que gira dentro de una tuerca y eleva o hace descender una carga utilizando el principio del plano inclinado. Se puede distinguir el paso h, el ánguloα de inclinación de la hélice y el radio medio rm de la misma. Suponiendo que sea Q a la carga que se encuentra aplicada en la dirección del eje del tornillo y sobre el extremo del mismo y la cual se desea elevar, y P el esfuerzo que se ejerce en el extremo de una palanca a una distancia a del eje del tornillo para hacerlo girar y elevar la carga. Se puede considerar que los filetes del tornillo corresponden a un plano inclinado un ángulo α sobre el cual se empuja la carga Q, que se encuentra a una distancia rm del eje del tornillo, con una fuerza Fh para que ascienda por el plano (Fig2.37b), correspondiendo al caso particular 2a de plano inclinado visto anteriormente; si es rm el radio medio de la hélice (semisuma de los radios del filete r1 y del cuerpo del vástago roscado r2), respecto del eje del tornillo se ejercerá un momento Fh.rm.Suponiendo el collar del asiento en el extremo del tornillo sin rozamiento, el momento Mm = P.a que se realiza con la fuerza P y la palanca a sobre el eje del tornillo debe ser igual al momento Mm = Fh.rm de la fuerza Fh con un brazo de palanca rm:

Mm = P.a = Fh.rm(2.215) El valor de Fh en función de la carga Q, según la (2.203), es:


55

Fh = Q.tg(α + ϕ)(2.216) Por lo tanto, la (2.215) resulta, reemplazando el valor de Fh por su valor dada por la (2.216):

Mm = Fh.rm = Q.rm.tg(α + ϕ)(2.217)

Que es el momento necesario para ascender la carga. Para bajar la carga, el momento necesario está dado por la (2.211) del caso 3a del plano inclinado:

Mm = Q.rm.tg(ϕ − α)(2.218) Si no existiera el rozamiento sería ϕ = 0, resultando la (2.217):

M0 = Q.rm.tgα(2.219)


56

Por lo tanto el rendimiento considerando el rozamiento se lo puede obtener del cociente entre la (2.219) y la (2.217):

)tg(tg0

ϕααη+

==mM

M

(2.220) Por ser, según desarrollo trigonométrico:

ϕαϕαϕα

tg.tg1tgtg)tg(

−+=+

(2.221) Reemplazando en la (2.217) la expresión tg(α + ϕ) dada por la (2.221), se obtiene:

ϕαϕα

tg.tg1tgtg

−+= QFh

(2.222) Pero de la figura (Fig.2.37b) resulta:

mrh

πα

2tg =

(2.223) Como además, por la (2.15) es tgϕ = µ, reemplazando en la (2.222) estas dos expresiones de tgα y tgϕ , será:

µππµ

µπ

µπ

hrrh

Q

rh

rh

QFm

m

m

mh −

+=

−

+=

22

21

2

(2.224) La expresión (2.224) da la fuerza necesaria para elevar la carga Q.

En la ecuación (2.218), que da la fuerza Fh necesaria para bajar la carga Q, el factor tg(ϕ- α) puede reemplazarse por la expresión trigonométrica:

ϕααϕαϕ

tg.tg1tgtg)tg(

+−=−

(2.225) Por lo que se obtiene finalmente, reemplazando además tgα dada por la (2.223) y µdada por la (2.15), la siguiente expresión:


57

µπµπ

µπ

πµ

ϕααϕ

hrhr

Q

rh

rh

QQFm

m

m

mh +

−=

+

−=

+−=

22

21

2tg.tg1

tgtg

(2.226) La (2.224) y la (2.226) relacionan los esfuerzos horizontales Fh con la carga Q que se debe elevar y las dimensiones rm del tornillo. El esfuerzo P a ejercer con la palanca a para subir la carga Q se obtiene de la (2.215), reemplazando Fh por el valor dado por la (2.224):

mm

mm r

hrrh

QaPMµπ

πµ−

+==

22

.

(2.227) Despejando P de la (2.227) se obtiene:

µππµhrrh

ar

QPm

mm

−+

=2

2

(2.228) Para bajar la carga, utilizando en la (2.215) el valor de Fh dado por la (2.226), se obtiene:

m

m

mm r

hrhrr

QaPMµπ

πµ+

−==

22

.

(2.229) Despejando P de la (2.229) se obtiene:

µππµ

hrhr

ar

QPm

mm

−−

=2

2

(2.230) Si en la (2.229) es Mm ≤ 0 la carga desciende por sí sola; es el caso donde es α > ϕ,siendo tornillos de pasos h grandes o de material de muy bajo coeficiente de fricción. Si es Mm > 0 el tornillo se dice que es autoasegurante o autoblocante, ya que la carga Q no baja por si misma, siendo α > ϕ pues es en la (2.230):

a) µ 2π rm ≥ h ⇒ b) µ ≥α

πtg

2=

mrh

∴c) ϕ > α(2.231)

---------------()---------------


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TÍTULO AUTOR EDITORIAL Mecánica Técnica y Mecanismos Lorenzo A. Facorro Ruiz Ediciones Melior Mecánica Técnica Timoshenko-Young Hachette Cálculo de Elementos de Máquinas Vallance - Doughtie Alsina Manual del Constructor de Máquinas H. Dubbel Labor Mecánica J. L. Meriam Reverté, S.A. Diseño de elementos de Máquinas Shigley Mc Graw Hill

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ELEMENTOS DE MÁQUINAS3


Los elementos de máquinas tales como roblones, chavetas, poleas, resortes, engranajes, etc. son partes constitutivas de distintos mecanismos, que cumplen distintas funciones en éste último, ya sea de unión entre las piezas, de soporte de órganos en movimiento, de transmisión del movimiento, etc. Por tal motivo están expuestos a solicitaciones de distinta índole, principalmente mecánicas, como esfuerzos, choques, rozamientos, deformaciones, etc. por lo que deben cumplir con distintos requisitos técnicos a los efectos de soportar estas exigencias y lograr el comportamiento lo más eficiente del mecanismo. Deben por lo tanto ser calculados de acuerdo a principios teóricos y experimentales de la mecánica. Los mismos deben tener suficiente resistencia y duración funcionando con el menor desgaste y reparación posibles y cumplir su finalidad con el costo mínimo de fabricación y mantenimiento. Pueden agruparse los mismos como elementos “activos”, que son aquellos que transmiten movimiento (poleas, ruedas dentadas, etc.) y “pasivos” los que tienen como misión soportar, sujetar o guiar los anteriores (roblones, cuñas, tornillos, etc.) En este capítulo analizaremos distintos elementos, a excepción de los engranajes que por su importancia, merecen un estudio aparte. Órganos de unión

Se deben distinguir dos tipos de uniones, las fijas o inamovibles, que para ser retiradas deben ser destruidas, no pudiéndose usarlas nuevamente, y las movibles, que pueden ser retiradas sin deterioro y usadas nuevamente.

Uniones fijas o inamovibles

Se tienen dos tipos de uniones fijas: 1) roblones y remaches, y 2) soldaduras.

Roblones y remaches

Se los utilizan generalmente para unir chapas, planchuelas, perfiles, etc. En el roblón pueden distinguirse las siguientes partes (Fig.3.1): el cuerpo o vástago de longitud l y diámetro d el cual se expande hasta un diámetro d1 luego del roblonado y que es el que se utiliza para el cálculo de la resistencia del roblón, la cabeza propia de diámetro D y altura K, generada con un radio R

en los de cabeza esférica, presentando en la unión con el vástago un radio r para evitar la concentración de tensiones en las aristas agudas, y la cabeza estampada o de cierre. En los roblones denominados de cabeza perdida y gota de sebo la cabeza corresponde a un tronco de cono de ángulo α. La cabeza propia está hecha de antemano en uno de los extremos del vástago, y la estampada se la realiza luego de introducido éste último en el agujero correspondiente practicado previamente en


60

las piezas a unir, constituyéndose así la unión. El material utilizado en la construcción de los roblones y remaches es generalmente hierro dulce, acero, cobre, aluminio, etc., según el tipo de material a unir y la resistencia deseada. La forma y tamaño del roblón dependen de las características de la unión, recibiendo distintas denominaciones según el tipo de cabeza propia que posea. Así, en las construcciones metálicas (puentes, torres, edificios, etc.) se tienen (a) roblones cabeza redonda, (b) roblones cabeza

perdida y (c) roblones cabeza gota de cebo (Fig.3.2) y en las construcciones mecánicas (calderas, máquinas, etc.), en las cuales el tamaño de los roblones por lo general no sobrepasan los 13 mm de diámetro d del vástago, se tienen (a) roblones cabeza redonda, (b) roblones cabeza perdida, (c) roblones cabeza troncocónica y (d) roblones cabeza chata (Fig.3.3). Las dimensiones de los roblones están dadas en milímetros o pulgadas. El largo del vástago depende del espesor a remachar, estando normalizado el mismo de acuerdo al tipo de cabeza. Generalmente este largo es igual al espesor de las chapas más 1,5d1.Para la ejecución del roblonado se practican previamente los agujeros ya sea a punzón o taladro y luego, calentando previamente el roblón se lo introduce a presión remachándose con una remachadora o estampadora el extremo del vástago,

estampando de esa forma la cabeza de cierre (Fig.3.4). Según el destino del roblonado o remachado se lo puede clasificar en: 1) Roblonado para calderas de vapor: debe resistir elevadas presiones y temperaturas y ofrecer al mismo tiempo hermeticidad. 2) Roblonados para recipientes herméticos y sometidos a grandes presiones: deben asegurar su

cierre hermético y la resistencia mecánica del mismo. 3) Roblonado para construcciones metálicas y mecánicas: deben resistir la acción de grandes cargas o momentos de fuerzas considerables. El Roblonado cuando se practica entre dos perfiles o chapas solapadas se denomina roblonado por recubrimiento o solape (Fig.3.5a) y cuando se utilizan chapas o planchuelas adicionales se denomina roblonado a cubrejuntas, pudiendo ser a simple (Fig.3.5b) o doble (Fig.3.5c) cubrejuntas.

Cálculo de los roblones

El cálculo se hace considerando la resistencia al corte simple que presenta la sección solicitada por el esfuerzo de cizalladura que realizan las piezas que se pretende unir al ser solicitadas por


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esfuerzos externos, en ese punto del roblón. Además se verifican las resistencias que presentan las superficies laterales del roblón y de la pieza al aplastamiento y al desgarramiento cuando están solicitadas por los mismos esfuerzos. Además es muy importante la resistencia al deslizamiento que presentan las chapas entre sí, ya que, principalmente en el roblonado para calderas, antes de que el vástago del roblón quede expuesto al esfuerzo de cortadura debe producirse primero el deslizamiento, el cual se debe a la contracción del vástago al enfriarse por lo que no rellena el agujero de las chapas totalmente. Esta resistencia al deslizamiento según Bach oscila entre 1100 y 1800 kg/cm2.

Resistencia del roblón al corte simpleSi actúa la fuerza P según indica la figura, sobre cada plancha de espesores S y S1 (pudiendo ser S = S1) cada una de ellas, la sección del roblón entre las dos chapas está sometida al corte. El área A de la sección que soporta este esfuerzo de corte está dada por la expresión:

4

21dA π

=(3.1)

siendo d1 el diámetro del roblón remachado. Si es τadm el esfuerzo unitario admisible al corte del material del roblón, el esfuerzo P que el roblón puede soportar es:

P = A.τadm (3.2) y por la (3.1), la (3.2) resulta:

admdP τ

π4

21=

(3.3) Por lo tanto, conociendo el esfuerzo unitario admisible al corte del material del roblón y el

esfuerzo máximo al que puede ser sometido, se lo pude dimensionar, es decir, conocer el diámetro que debe tener el mismo para soportar la carga a la que estará expuesto. Despejando de la (3.3) d1 se tiene:

adm

Pdτπ4

1 =(3.4)

El esfuerzo unitario al corte τ que podrá soportar el roblón deberá ser menor que el admisible a fin de asegurar su resistencia: τ < τadm (3.5) Si fueran z roblones, la fuerza que deberá soportar cada uno de ellos será:

admdzP τ

π4

21=

(3.6) y despejando d1 de la (3.6):

admzPdτπ

41 =

(3.7)


62

Además se debe tener en cuenta la sección de debilitamiento de la chapa a fin de calcular el ancho mínimo necesario de la misma, según muestra la Fig.3.7, causada por el agujereado que se le practicó para el roblonado. El área de la superficie de la pieza que ofrece resistencia a la rotura de la misma, teniendo en cuenta su espesor S o S1, tomándose el menor espesor por ser la condición más desfavorable, y su ancho (b – d1), ya que se descuenta del ancho total b el diámetro d1 del agujero, lo que debilita la pieza, es:

A’ = ( b – d1)S (3.8) Siendo A’ la sección debilitada de la pieza. Si es σadm la resistencia unitaria admisible a la tracción de la pieza, para la fuerza P actuando sobre cada plancha, se deberá cumplir la siguiente condición para que presenten la resistencia necesaria al mismo:

admSdbP σ≤

− )( 1 (3.9) Para un número z de roblones, la (3.9) se transforma en:

admSdzbP σ≤

− ).( 1 (3.10) Cuando se tiene más de un roblón de diámetro d1, si se denomina paso a la distancia entre centros de los agujeros en la pieza indicándoselo por t, si es S el espesor de la misma, se pueden distinguir dos secciones en las chapas a roblonar, una es la sección total A entre centros de agujeros para un ancho igual al paso t, y la otra es la sección debilitada A’ que surge de restar al paso t el diámetro d1.La sección total A para el paso t está dada por la expresión:

A = t.S (3.11) y la sección debilitada A’ dada por la expresión:

A’ = (t – d1).S (3.12)


63

Efectuando el cociente entre el área de la sección debilitada A’ y el total A se obtiene el rendimiento de la unión, denominado coeficiente de debilitamiento o módulo de resistencia,indicándoselo con la notación v :

tdt

StSdt

AtotalciónAdebilitadaciónv 11

.).(

secsec −

=−

=′

=(3.13)

Cuanto mayor es v el roblonado resulta de mejor calidad, siendo el valor de la fuerza transversal admisible por centímetro de ancho de la plancha, indicada como P1, para una tensión admisible σadm,, el dado por la expresión:

−

=cmkgS

tdtP admσ1

1(3.14)

En el roblonado se deben respetar ciertas dimensiones mínimas a los efectos de lograr la resistencia y comportamiento adecuado de las chapas y roblones, como son las distancias del agujero a los bordes, la cantidad z de roblones que se consideran por paso t, algunas de las cuales se indican en la figura (Fig.3.8):

A los efectos de facilitar los cálculos existen tablas, como las que presenta el Manual del Constructor de Máquinas de H. Dubbel, que dan los valores de P1 en función de v, del diámetro d1 y según la disposición del roblonado y el tipo de esfuerzos y condiciones a los cuales estará expuesta la pieza. Se distingue especialmente el roblonado para calderas atendiendo a la variación que presentan las dimensiones del vástago de los roblones al estar sometidos a solicitaciones por variaciones térmicas además de las mecánicas.

Cálculo de verificación al aplastamiento

El vástago del roblón presiona contra las paredes de las chapas deformándose o causando la deformación de éstas, ovalándose los agujeros hasta que se raja la pared y

se destruye la unión. La presión se supone se ejerce en forma uniforme

sobre la sección del plano diametral de la chapa (Fig.3.9) la que está dada por la

expresión:

A = d1.S(3.15)

Donde es A la sección de aplastamiento.


64

Si es σ la tensión unitaria de compresión a la que está sometido el roblón y la chapa, la fuerza Pque soportan está dada por la expresión:

P = σ.d1.S (3.16) Si fueran z roblones los que soportan el esfuerzo P :

P = zσ.d1.S (3.17) Si la tensión unitaria de compresión admisible fuera σadm debe cumplirse:

admSdzP σσ ≤=

.. 1 (3.18) Cálculo de verificación al desgarramiento

En este caso el roblón produce el desgarramiento de las chapas a lo largo de las superficies laterales A’ paralelas a las generatrices de los extremos del diámetro d1 del mismo(Fig.3.10):

A’ = S.l (3.19)

A = A’ = 2.S.l (3.20)

Si es τc el esfuerzo unitario al corte al cual está sometida la chapa, la fuerza Pserá:

P = 2.S.l.τc (3.21) Debiendo verificarse que sea:

τc ≤ τadm (3.22) Si las chapas estuvieran unidas por z roblones, el esfuerzo de corte sería:

admc zlSP ττ ≤=

...2 (3.23) Para el caso de más de una fila de roblones se debe considerar la sección debilitada de la chapa.

Roblonado a cubrejuntas

La metodología de cálculo es similar a lo visto para roblonado por solape. Se debe tener en cuenta que el roblón en la doble cubrejuntas, al ser solicitada las chapas por la fuerza P,presenta dos secciones que resisten el corte, soportando cada una la fuerza P/2, al igual que las cubrejuntas (Fig.3.11):


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Debido a las condiciones favorables de solicitación de la chapa en la primera fila de roblones se utilizan cubrejuntas desiguales, lo que además expone a la misma a menor peligro de rotura en los borde calafateados con respecto a la doble cubrejuntas iguales.

La Fig.3.12 indica el calafateado o retacado del borde de la chapa superior, lo que aumenta el rozamiento entre ambas, lo que como ya se mencionara, ofrece resistencia a la solicitación a la que se somete a las chapas. El calafateado también se puede realizar en la cabeza de los roblones.

Fórmulas de cálculo

de roblones

El cálculo de roblones se realiza por lo general con fórmulas semiempíricas que tienen en cuenta la gran experiencia existente al respecto y que han sido recopiladas en tablas o manuales lo que facilita la selección del roblonado a ejecutar y asegura su resultado. A continuación se transcribe las expresiones utilizadas para un caso de los mencionados anteriormente (Fig.3.13). Suponemos un recipiente hermético de diámetro D y longitud l sometido a una presión interior p. El diámetro de los roblones se determina en función del espesor de la chapa. El esfuerzo al que se someterán los roblones se contrarresta en parte por la resistencia al deslizamiento que existe entre las chapas por efecto del rozamiento. Las expresiones y valores utilizadas para este caso son: La fuerza P que solicita a la chapa, en función de la presión interna p, el diámetro D y la longitud l del recipiente es igual a:

P = p.D.l (3.24) τc = 950 kg/cm2 esfuerzo unitario de corte para doble sección de corte y considerando el rozamiento.

d1 = S5 -0,6 cm (3.25) t = 3,5d1 + 1,5 cm (3.26) S1 = 0,8S (3.27) e = 1,5 d1 (3.28) e1 = 0,5t (3.29) e2 = 0,9e (3.30)


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plD

PdtS

dnr ==

−=

.)(4

1

2πτ

σ(3.31)

Uniones soldadas

La soldadura constituye una unión fija entre dos o más piezas metálicas, por lo general de igual material, las cuales por medio de calor entregado a las mismas, y casi siempre a un material adicional de aporte, se funden y se combinan resultando una unión por cohesión en las denominadas soldaduras fuertes y por adhesión en las denominadas soldaduras blandas. Por lo tanto se tienen soldaduras con aporte y sin aporte de material, siendo las primeras las que se unen por simple fusión de cada uno de los materiales, o del material de aporte, y las segundas las que además de la fusión necesitan que se ejerza presión entre ellas para que se realice la unión. Las soldaduras fuertes se realizan mediante soldadura oxiacetilénica (soldadura autógena), soldadura eléctrica por arco voltaico, soldadura aluminotérmica y por resistencia eléctrica y presión. Las soldaduras blandas son las estañadas, donde el material aportado es de menor resistencia y dureza que los que se unen. Actualmente existen soldaduras plásticas que cada día son de mayor utilización tanto en la industria como en aplicaciones hogareñas. En este curso se estudiarán solo las denominadas soldaduras fuertes.

Soldadura oxiacetilénica

Esta soldadura se realiza utilizando el calor producido por la llama que se produce al entrar en combustión el acetileno (C2H2) cuando reacciona con el oxígeno que se le proporciona específicamente con esta finalidad. Para ello se utiliza un soplete soldador (Fig.3.15), al cual llegan acetileno y oxígeno por distintos conductos, existiendo válvulas en el soldador para dejar fluir ambos gases hacia una boquilla y tubo mezclador donde se combinan los mismos. La reacción que se produce en el soplete es la siguiente:

C2 H2 + O2 → 2 OC + H2 + calor (3.32)

2OC + H2 + 3/2 O2 → 2CO2 + H2O + calor (3.33)

En la figura (Fig.3.14) se puede observar el soplete soldador el cual presenta dos entradas, a una

de las cuales llega el acetileno (C2H2) auna presión normal de trabajo entre 0,3 y 0,6 kg/cm2 la cual no debe sobrepasar de 1,5 kg/cm2; por la otra entrada penetra el oxígeno a una presión de trabajo no mayor a los 4 kg/cm2. En la figura (Fig.3.15) se observa la boquilla inyectora del soplete, el oxigeno sale a gran velocidad de la

boquilla a presión, dilatándose y reduciendo su presión, aspirando al acetileno debido a la


67

depresión que se produce. Ambos gases continúan combinándose en el tubo mezclador y a la salida de la boquilla del soplete se produce la combustión, generándose el calor necesario para eleva lar temperatura hasta unos 3.200°C aproximadamente, fundiendo los metales a soldar y el de aporte según la reacción:

C2H2 + O2 → 2OC + H2 + calor (3.34)

2OC + H2 + 3/2 O2 → 2CO2 + H2O + calor (3.35) El acetileno se produce por lo general en los llamados generadores de acetileno (Fig.3.16 a), en los cuales, el carburo de cálcico (CaC2) se combina químicamente con el agua (H2O)produciendo acetileno (C2H2) según la siguiente reacción:

CaC2 + 2H2O → C2H2 + Ca(OH)2 + calor (3.36) El gas se produce en forma automática a medida que se consume en el soplete adonde es conducido por una manguera, luego de haber pasado previamente por un purificador químico, donde se le quita la humedad. Existen distintos tipos de generadores de acetileno, correspondiendo el de la figura al de caída de agua sobre el carburo pudiendo además ser de caída de carburo sobre el agua y de contacto en balde volcador.

El acetileno también puede almacenarse en tubos de acero (Fig.3.16 b) diluido en acetona, la que se encuentra empapando una masa porosa formada por amianto, tierra de diatomeas y carbón vegetal que se encuentra dentro de éstos, a los efectos de que no se descomponga el acetileno y evitar posibles explosiones que con una sobrepresión de 2 kg/cm2 podrían producirse. A la presión atmosférica un litro de acetona diluye aproximadamente 24 litros de acetileno. El acetileno se comprime dentro de los tubos a una presión que varía entre 15 a 20 kg/cm2, conteniendo aproximadamente 6000 litros a una presión absoluta de 19 kg/cm2

disueltos en 13 litros de acetona. El oxígeno se encuentra almacenado en tubos (Fig.3.17) a una presión que varía aproximadamente entre 125 kg/cm2 y 200 kg/cm2 pudiendo contener a ésta última presión unos 10000 litros de oxígeno.


68

A la salida de los tubos, tanto del acetileno como del oxígeno, se deben utilizar reductores de presión, denominados por lo general reguladores, ya que la presión dentro de éstos es muy superior a la de trabajo. En la figura (Fig.3.17) se puede observar un regulador instalado en un tubo de oxígeno además de un corte del mismo mostrando como está compuesto para lograr la reducción de la presión.

Zonas de temperaturas en la llama

del soplete

La llama que se produce en la boquilla (e) del soplete (Fig.3.18) presenta diferentes zonas según la temperatura que toman los gases quemados de acuerdo a la cantidad de oxígeno que se combina con el acetileno, pudiéndose notar las siguientes:

a) Zona fría de gases no quemados.

b) Cono luminoso de la llama. c) Zona de soldadura. d) Llama dispersa por acceso de

oxígeno del aire. Según la regulación que se realice en las válvulas del soplete se obtendrá una combustión neutra sin exceso en la llama de combustible o comburente, una llama con exceso de oxígeno o una llama con exceso de acetileno. La llama neutra, donde la proporción de combinación del oxígeno con el acetileno es de 1:1,1, se utiliza para

soldar acero, presentándose el caso que con exceso de oxígeno el núcleo se hace más pequeño y quema el material en tanto que, con exceso de acetileno el núcleo se agranda, el material se carbura y se producen sopladuras, siendo la soldadura defectuosa. Para soldar aleaciones de CuZn se utiliza generalmente un exceso de oxígeno y para soldar fundición gris se utiliza un exceso de acetileno. El material de aporte utilizado depende del tipo de material a soldar, utilizándose varillas de hierro dulce para soldar acero y de bronce para soldar fundición. Según el espesor de las piezas a soldar y de acuerdo a la temperatura que se quiere alcanzar, la boquilla debe suministrar un determinado caudal de acetileno en la unidad de tiempo, para lo que se utilizan diferentes tamaños de boquillas, las que por lo general son intercambiables en el soldador a los efectos de permitir con un mismo equipo realizar distintos tipos de soldaduras. En la siguiente tabla (Tabla I) se puede observar la relación existente entre los espesores a soldar, los consumos, presiones y tiempos de soldadura del oxígeno y acetileno:

Espesor de piezas a soldar

Presión de oxígeno

(atmósferas)

Consumo de acetileno por hora en litros

Consumo horario de oxígeno en

litros

Consumo de acetileno en

litros por mm de soldadura

Tiempos de soldadura en minutos por

mm


69

1 1 80 90 10 5 2 1 140 175 25 8 3 1 220 270 40 11

3 a 5 1,2 290 360 70 16 5 a 7 1,4 430 500 150 24 7 a 9 1,7 570 700 220 42

9 a 10 1,8 950 1.000 300 60 10 a 12 2 1.400 1.500 400 72 12 a 15 2,2 2.000 2.100 600 105 15 a 25 3 2.400 2.700 2.000 165

Tabla I Métodos de soldaduras: Existen diferentes métodos de soldadura según los casos que se presenten por la disposición de las piezas a soldar con respecto al soldador (Fig.3.19):

a) Soldadura en planta horizontal: es una de las formas más sencilla de soldar

puesto que el material de aporte se deposita, luego de fundido, por gravedad, facilitándose su combinación con el material de las piezas a soldar.

b) Soldadura horizontal sobre pared: adquiere un grado de dificultad ya que debido a que el material fundido tiende a escurrirse hacia abajo.

c) Soldadura vertical: presenta un grado de dificultad similar al anterior. d) Soldadura sobre cabeza: es la que presenta mayor dificultad debido a que el

metal fundido tiende a desprenderse por su propio peso.

También se distingue 1) la soldadura a izquierda, cuando la varilla del material de aporte se desplaza por delante de la llama, ambas en forma de zigzag, la que por efecto de soplado empuja el material fundido hacia adelante, utilizada para soldar materiales de hasta 3 mm de espesor, presentado los inconvenientes de pérdida de calor, enfriamiento rápido y textura con defectos y 2) la soldadura a derecha, para espesores de más de 3 mm, donde la varilla del material de aporte se desplaza siguiendo a la llama, ambas en forma circular, la cual calienta la zona de fusión, reteniendo el material fundido por efecto de soplado (Fig.3.20).


70

Para efectuar la soldadura se comienza primero por abrir la válvula del tubo de acetileno y luego la del tubo de oxígeno, en ambos casos muy lentamente. A continuación en el soplete se abre levemente la válvula que corresponde al oxígeno y a continuación la del acetileno iniciando la combustión con un mechero o chispero. Las piezas a soldar deben estar limpias y previamente calentadas. Al finalizar la soldadura se cierra en el soplete primero la válvula del acetileno y luego la del oxígeno. Se debe tener especial cuidado de no engrasar ni aceitar las roscas u otras partes del equipo ya que éstos arden muy fácilmente con el oxígeno. Además el soldador debe utilizar los elementos de protección, como ser antiparras, guantes de cuero y delantal, todos ellos confeccionados especialmente para esta operación. Soldadura eléctrica por arco voltaico

Se realiza por la fusión de las piezas a soldar y el material de aporte utilizando el calor que desarrolla el arco voltaico que se produce al circular una corriente eléctrica, a través del aire, entre los electrodos positivo y negativo, constituidos por la pieza a soldar que actúa de ánodo y la pinza con la varilla del material de aporte que es el cátodo, elevándose la temperatura hasta aproximadamente 3600°C. Para simplificar se denomina electrodo a la pinza con la varilla de aporte de material y pieza al material a soldar. Por lo general se utiliza corriente continua, con tensiones entre 50 V y 70 V para encender el arco siendo necesario para mantenerlo durante el trabajo tensiones de 20 V y 30 V, circulando corrientes entre 50 a 500 amperes. La corriente eléctrica se produce, ya sea en un transformador-rectificador conectado a la red eléctrica industrial o en un generador de corriente continua movido por un motor eléctrico o motor de combustión

interna (Fig.3.21). El electrodo, en la soldadura manual por arco eléctrico, está constituido por una varilla de acero o aleación, las que actualmente vienen todas revestidas o recubiertas con un material especial, como pueden ser el óxido de titanio (revestimiento de rutilo), el ferromanganeso (revestimiento ácido), el carbonato cálcico (revestimiento básico) o la celulosa (revestimiento orgánico). Al producirse la elevación de la temperatura, el revestimiento se funde y forma una envoltura gaseosa que impide la penetración del nitrógeno y del oxígeno del aire, que causarían, el primero la fragilidad del material y, el segundo, inclusiones de óxidos, que debilitan la soldadura. Además el revestimiento contiene elementos que suplen las materias eliminadas por la combustión, como por ejemplo el manganeso y el carbono. También, al ionizar el aire, estabiliza el arco

eléctrico. Forma escorias que cubren el cordón de soldadura, disminuyendo la velocidad de enfriamiento con lo que se reducen las tensiones en el material además


71

de absorber las impurezas del baño de fusión. Los electrodos están normalizados según Normas IRAM, DIN, SAE, etc., las que dan sus dimensiones y características (Fig.3.22), como ser el diámetro de las varillas, tanto del alma como del revestimiento, su longitud total l y su longitud l’ correspondiente a la zona donde es sujetada por la pinza y la cual no tiene revestimiento para permitir el contacto directo y con ello la circulación de la corriente eléctrica. Se utilizan distintos diámetros de electrodos para cada espesor de pieza a soldar, con una tensión y una intensidad de corriente adecuadas a los efectos de generar el calor necesario y suficiente que permitan la correcta fusión del electrodo y de la pieza. En la tabla II se dan distintos espesores de chapas con sus correspondientes diámetros de electrodos con revestimiento y las intensidades de corrientes. Espesor en mm de la Chapa

Diámetro en mm del electrodo

Intensidad de la corriente en A

Energía en kwh absorbida

Consumo en kg de electrodos

2 2 40 – 60 0,8 0,100 4 3 a 4 80 – 120 1,2 0,200 6 3 a 5 130 – 180 2 0,400 8 3 a 5 130 – 200 3 0,600

10 4 a 6 140 –210 4 0,800 12 4 a 6 150 – 220 5 1,000 14 4 a 6 160 – 230 6 1,200 16 4 a 6 170 – 240 7 1,400 18 4 a 6 175 – 250 8 1,600 20 4 a 6 175 – 260 9 1,800 22 4 a 6 180 – 260 10 2,100 24 4 a 6 185 – 260 11 2,400 26 4 a 8 190 – 260 12 2,700 30 4 a 8 200n – 260 14 3,300

Tabla II Proceso de soldadura

En el proceso de soldadura, al fundirse el metal por la elevada temperatura, el arco eléctrico produce en la pieza una pequeña depresión, llamada cráter. Al mismo tiempo, la extremidad del electrodo se funde por el calor del arco eléctrico y se desprende en forma de gotas, depositándose el metal en el cráter e incorporándose al metal base de la pieza. Para que se produzca una correcta soldadura el metal del electrodo y de la pieza deben mezclarse íntimamente, debiendo existir, como ya se

dijera anteriormente, una unión por cohesión. Es de fundamental importancia la penetración, o sea la profundidad o espesor del metal base que se funde por la acción del arco, ya que cuanto mayor sea ésta, mejor resultado se obtiene en la unión soldada. La penetración depende del tipo de electrodo y de la intensidad de la corriente empleada. Es necesario que el arco esté continuamente en contacto a lo largo de la línea


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de soldadura desplazándose en forma regular y en forma no muy rápida a los efectos de evitar partes porosas y de poca penetración. Es importante que el operario utilice los elementos de protección para la vista como para el resto del cuerpo, a los efectos de protegerlo de la intensa luz y de los rayos ultravioletas que se producen y pueden afectar el organismo, respetándose las reglas de seguridad existentes al respecto. La soldadura eléctrica por arco voltaico para casos que exigen mucha pureza también se puede realizar en: a) atmósfera protectora de gases inertes, (gases nobles como el helio y el argón) y dióxido de carbono especial, b) bajo capa protectora de polvo, donde se utiliza un polvo especial para soldar, con gases protectores y c) por escoria electrolítica,donde la escoria se calienta por resistencia elevando su temperatura por encima del punto de fusión del acero fundiendo éste; se utiliza para soldar piezas de grandes secciones como por ejemplo planchas de hasta 450 mm. Soldadura Aluminotérmica

Consiste en la fusión del metal de aporte el cual por su alta temperatura, al caer sobre las piezas del mismo metal las funde soldándolas. Se colocan las piezas a soldar, por ejemplo un riel que se quiere unir, dentro del molde de arena (Fig.3.24) y dentro del crisol de magnesita una mezcla finamente pulverizada de oxido de hierro y aluminio. Se agrega carbono en forma de polvo, y se enciende la mezcla con un fósforo especial llevándose la misma a unos 1000ºC iniciándose una reacción exotérmica, fundiéndose la misma llegando aproximadamente a

3000°C; el carbono se combina con el hierro del óxido de hierro al cual el aluminio le sustrajo el oxígeno obteniéndose, como metal de aporte, acero colado que por su mayor densidad va a la parte inferior del crisol cayendo dentro del molde a través del conducto o bebedero y funde las piezas que se desean soldar produciendo la unión de éstas. La reacción que se produce al combinarse el óxido de hierro con el aluminio es la siguiente:

Fe2O3 + 2Al = Al2O3 + 2Fe + 188 kcal ( 787 kJ) (3.37) La escoria líquida de Al2O3 que se forma al combinarse el oxígeno del óxido de hierro

con el aluminio sobrenada por encima del acero en el crisol. Las piezas a soldar se calientan previamente en el molde hasta unos 900°C. Una vez que se produce la soldadura de los rieles, el metal sobrante o “hongo” que sobresale de los rieles, según se indica en la figura (Fig.3.25), se quita mediante el uso de una “trancha” o cortafrío.

Soldadura por resistencia eléctrica y presión

Al hacer circular una corriente eléctrica a través de dos piezas, la zona de contacto entre ambas, al presentar mayor resistencia óhmica que el resto de las mismas, experimenta una elevación de temperatura debido al calor generado por el paso de la corriente. Esto


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hace que las partes en contacto se fundan, y al presionarlas una contra otra se unan, soldándose al enfriarse y solidificarse nuevamente. La cantidad de calor Q en joules (J) generado por la potencia eléctrica P en vatios (W) aplicada al establecer una diferencia de potencial E en voltios (V) que hace circular una corriente eléctrica en amperes (A) está dada por la expresión:

Q = P.t = E.I.t (J) (3.38) Además, si se tiene en cuenta que según la ley de Ohm es E = I.R o I = E/R la (3.38) resulta:

Q = I2.R.t (J) (3.39) o t

REQ .

2

=(J) (3.40)

Para obtenerla en calorías se debe tener en cuenta los siguientes factores de conversión: 9,8 J = 1 kgm; 1 cal = 0,427 kgm, de donde resulta 1 J = 0,24 cal. Por lo tanto, la (3.38) se puede escribir:

Q = 0,24.E.I.t (cal) (3.41) Y la (3.39) y (3.40) se pueden escribir:

Q = 0,24.I2.R.t (cal) (3.42) y t

REQ ..24,0

2

=(cal) (3.43)

La soldadura se realiza utilizando dos electrodos con los cuales se aplica una tensión eléctrica a las piezas haciendo circular una corriente la que produce el calentamiento de las partes en contacto y su fusión. Luego, con los mismos electrodos, se aplica una presión a ambas piezas con lo cual se logra que se suelden en las partes en contacto. Según sea el tipo de unión que se desee realizar, el contacto donde se produce la soldadura de las piezas puede ser puntual, lineal o con características especiales, utilizándose distintos tipos de electrodos para lograrlo y según como sea la soldadura que se realiza por este método se la clasifica como soldadura por puntos, soldadura decostura, soldadura al tope, soldadura con resaltos y soldadura con arco de chisporroteo o centelleo.


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Soldadura por puntos : consiste en la aplicación de una tensión a las piezas a soldar mediante dos electrodos (Fig.3.26-a), que por lo general son cilíndricos y enfriados interiormente por agua, con un diámetro D en el cuerpo del electrodo y un diámetro d en la punta de contacto del electrodo con las piezas (Fig.3.26-b), siendo éste, para acero dulce: Para materiales delgados: d = 0,25 + 2t (3.44)

Y para materiales gruesos: td .54,2= (3.45) Para la ejecución de la soldadura de dos piezas, las mismas se solapan una longitud L(Fig.3.26-c), dada por la expresión:

L = d +2e (3.46) Siendo e la distancia desde el extremo del diámetro del punto de soldadura hasta los

extremos de la pieza, dándose el e máximo para:

emax = d (3.47) Se utilizan tensiones del orden de los 2V a los 10V e intensidades de 3.000 A a 50.000 A, con la aplicación de fuerzas desde los 90 daN a los 900 daN. Soldadura por costura: está compuesta por una serie de soldaduras por puntos realizadas en forma continua por un electrodo circular que rueda sobre las piezas a unir al mismo tiempo que se aplica una tensión eléctrica y una fuerza mecánica (Fig.3.27).


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Las dimensiones que se deben aplicar para el solape y la distancia a los extremos de las piezas desde el extremo de la soldadura, son las mismas que para la soldadura por puntos. Los electrodos están constituidos por dos ruedas o rodillos de cobre de diámetros que varían, según el espesor del material a soldar, de 5 cm a 60 cm y aún más.

Soldadura con resaltos: cuando se deben soldar una cantidad de piezas fabricadas en serie, a los efectos de facilitar y hacer más veloz la ejecución del trabajo, se utilizan matrices con formas especiales, las que constituyen los electrodos, tomando formas especiales con resaltos, según sea la forma de las piezas a soldar. Una de estas formas se puede observar en la figura (Fig.3.28).

Soldadura al tope: se

denomina así a la soldadura por resistencia de dos barras que se unen enfrentadas por sus extremos (Fig.3.29), las cuales son sujetadas por los electrodos, los que son al mismo tiempo mordazas, y por las cuales circula una corriente debido a la diferencia de potencial V,calentándose por la mayor resistencia de las dos superficies en contacto, fundiéndose éstas y luego, desconectando la corriente, con una presión mecánica se unen ambas. Se usa en aceros con bajo contenido de carbono, para metales no ferrosos como el cobre, aluminio y aleaciones de cobre y zinc.

Soldadura por arco de chisporroteo: es similar a la soldadura al tope, con la diferencia que en este

caso se colocan las piezas en contacto ligero y se hace circular la corriente (Fig.3.30); luego se separan levemente una pequeña distancia para producir el chisporroteo del arco eléctrico que forma la corriente al seguir circulando a través del espacio entre ambas superficies con lo que aumenta la temperatura fundiéndose el metal de las superficies en contacto.


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Luego de obtenido el estado casi líquido del metal, se desconecta la corriente, se aplica una presión con lo que se obliga a despedir el mismo y se realiza la soldadura en el metal en estado pastoso que está detrás del fundido. Con esto se logra que la soldadura quede libre de impurezas, siendo apropiado para aceros con alto contenido de carbono. Cálculo de soldadura por fusión

Según sean las formas en que deban unirse dos o más piezas, los cordones de soldadura a realizar con el material aportado presentan distintos tipos. Se pueden observar en la figura (Fig.3.31) algunas de las formas adoptadas. Cuando se realiza una soldadura, se debe conocer previamente si la misma cumplirá con el fin propuesto, esto es que tenga la resistencia adecuada, pudiendo ser menor, igual o mayor que la resistencia propia del material de las piezas que se están uniendo. Por este motivo, es necesario realizar el cálculo de la sección del cordón de soldadura que se deberá ejecutar a los efectos de su dimensionamiento adecuado, teniendo en cuenta las características del metal a unir, las del electrodo a utilizar y las condiciones de trabajo a la que estará sometida la pieza. Además es necesario en otras ocasiones, conocer la resistencia de cordones de soldaduras ya existentes en elementos que serán sometidos a diferentes esfuerzos, motivo por el cual se debe verificar si soportarán los mismos.

Supongamos las piezas de espesores t y t1 según muestra la figura (Fig.3.32) las cuales se encuentran unidas por cordones angulares de soldaduras de espesores a y longitudes l1 como se indica. La longitud efectiva de la costura es l ya que por los efectos de borde se introducen por lo general defectos que debilitan la soldadura, motivo por el cual se descuentan los extremos en una longitud aproximadamente igual al espesor de la soldadura y no se los considera para el cálculo de la resistencia de la misma, guardando las siguientes proporciones:

a) amin

= 3mm; b) amax =

11 7,02

1 tt =; c) l = l1 –

2a (3.48) Donde es t1 el espesor de la pieza más delgada. Para el caso de unión de dos piezas a tope en V (Fig.3.33 a), el cálculo de


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la resistencia de la soldadura se hace considerando la sección de la misma correspondiente a la pieza de menor espesor y la longitud efectiva l del cordón soldadura se obtiene descontan- do a la longitud total l1 los extremos a iguales al espesor de la pieza más delgada. Para el caso que se coloque un refuerzo debajo de ambas piezas de mayor ancho que las mismas (Fig.3.33b), la longitud del cordón l1 se realiza de la misma longitud que éste ancho, motivo por el cual la longitud efectiva l del cordón es igual al ancho de las piezas. La resistencia de un cordón de soldadura a las solicitaciones a los cuales estará sometido dependerá de la resistencia unitaria admisible del material de aporte y de la sección que el cordón presente a estas solicitaciones. En todos los casos deberá verificarse que la resistencia unitaria a la cual esté sometido el cordón de la soldadura deberá ser menor que la resistencia unitaria admisible del material que constituya éste, es decir: a) σsold ≤ σsold.admisible y b) τsold ≤ τsold.admissible (3.49) Para el caso de varios cordones de soldaduras expuestos a una fuerza F, la sección resultante que soportará esta fuerza, será la sumatoria de las secciones que estén en

posición de resistir la misma. Para el caso de la figura (Fig.3.34), el cordón de soldadura sometido a la fuerza F es A =a.l resultando por lo tanto las tensiones unitarias de resistencia a la tracción o compresión y al corte respectivamente, las siguientes:

admisiblesoldsold laF

..σσ ≤=

(3.50) y


..ττ ≤=

(3.51) Para el caso de más de una sección se tendrá:


.).(σσ ≤=

∑(3.52) y


.).(ττ ≤=

∑(3.53) Si la unión soldada estuviera sometida a esfuerzos de flexión según indica la figura (Fig.3.35) se tiene que el momento flector que


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deberá resistir el cordón de soldadura es:

M = F.e (3.54) Pero considerando el esfuerzo unitario a la flexión σsold a una distancia c del eje neutro, el momento de inercia Isold de la sección de la soldadura que resiste el esfuerzo se tiene:

flexionlaaadmsoldsold

sold cIM

..σσ ≤=

(3.55) Del cociente entre el momento de inercia Isold y la fibra ν más alejada del eje neutro, se obtiene el momento resistente o módulo resistente de la sección W:

νsoldI

W =

(3.56) Resultando por lo tanto para el esfuerzo unitario a la flexión de la soldadura la expresión:

admisiblesoldsoldsold

sold WM

IM

IM

.. σ

ν

νσ ≤===

(3.57) Para la sección rectangular, por ser:

a) ν = 21

a y b) Isold = 12. 3al

(3.58) el módulo resistente resulta:

6. 2alWsold =

(3.59) En las uniones soldadas se deben considerar para el cálculo solo aquellos cordones o costuras que estén en posición de resistir el esfuerzo al que están sometidos. Un caso muy especial es el de los perfiles que presentan distintas posiciones de los cordones de soldadura. Se debe tener especial cuidado en las determinación de


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los momentos de inercia de las secciones de los cordones de soldadura a fin de obtener la sección resistente total. Supongamos un perfil I soldado a una plancha de acero de espesor “s” según muestra la figura (Fig.3.36). Sobre el mismo actúa una fuerza F a una distancia x, sometiendo a la pieza a un momento de flexión M siendo éste dado por la expresión:

M = F.x (3.60) Correspondiendo a este momento un esfuerzo cortante Q. La figura (Fig.3.37) representa la pieza soldada de la Fig.3.36 trasladada al plano en la cual se pueden observar las dimensiones de los cordones de soldadura que resistirán los esfuerzos a los cuales éstos estarán sometidos.

El momento resistente Wsold de los cordones de soldadura está referido al plano de unión considerando el espesor a de cada cordón abatido sobre este plano. Por lo general se toma el espesor a del cordón de soldadura en función de las dimensiones del perfil: a) amax = 0,7 t y b) a1max = 0,7 d(3.61) De acuerdo con la teoría de la resistencia de materiales del esfuerzo normal máximo, se deberá verificar para el máximo esfuerzo principal σsold, para los valores simultáneos del momento flector M y el esfuerzo cortante Q para un determinado estado de carga, la expresión:

( )22 4

21 τσσσ ++=sold

(3.62) La ecuación (3.62) debe verificarse ya sea para un esfuerzo cortante Q correspondiente a un momento flector máximo Mmáx :


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admisiblesoldsold

máx

sold

máxsold la

QWM

WM

.

22

).(4

21 σσ ≤

+

+=

∑(3.63) O para un momento flector M correspondiente al máximo esfuerzo transversal Qmáx:

admisiblesoldmáx

soldsoldsold la

QW

MW

M.

22

).(4

21 σσ ≤

+

+=

∑(3.64)

Además debe cumplirse que sea:

admisiblesoldmáx

sold laQ

.).(ττ ≤=

∑(3.65)

En este tipo de uniones con perfiles, ya sean [, I, L u otros similares, se supone que el esfuerzo de corte Q solo lo soportan las costuras que están en posición de resistir esfuerzos cortantes, siendo para este caso, según muestra la figura (Fig.3.37), solo las costuras h1 del alma. Si las costuras angulares de la soldadura se vieran además sometidas a esfuerzos longitudinales o normales N además del momento flector M (Fig.3.38), se manifestarán tensiones dadas por la expresión

admisiblesoldN laN

.).(σσ ≤=

∑(3.66) Y se deberá verificar también:

admisiblesoldsold

máxsold la

NWM

.).(σσ ≤+=

∑ (3.67) Todas aquellas costuras que debido a su difícil accesibilidad no puedan soldarse en forma correcta, deberán omitirse en el cálculo de la resistencia. Según las Normas DIN por defectos de ejecución y concentración de tensiones se deben disminuir las tensiones admisibles según se indica en el siguiente cuadro:

Tipos de Tensiones

Defectos de ejecución

Concentración de tensiones

Total

Tracción 15% 10% 25% Compresión 15% - 15% Flexión 15% 5% 20%


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Corte 15% 5% 20%

Cuando se tratan de soldaduras delicadas y que exigen un alto grado de perfección se comprueban las calidades de las mismas mediante ensayos especiales, siendo los más comunes las radiografías, ultrasonido y tintas penetrantes. Uniones Movibles (tornillos de fijación)

El tornillo es el elemento más empleado en estas clases de unión. Se trata de un perno o cilindro con resaltos en forma helicoidal que forma la rosca del tornillo, que le permite penetrar sujetando dos o más piezas, o con otro elemento adicional, la tuerca, la que también tiene una rosca interna de la misma característica que la del tornillo y en la cual se enrosca este último. Suponemos en la figura (Fig.3.39) el ángulo AOB = α y la longitud horizontal OB = 2π r de uno de sus lados. En el mismo plano el eje xx’ distante una distancia r del vértice O del ángulo. Si se enrolla el plano del ángulo alrededor del eje xx’ manteniendo constante la distancia r, el lado OB engendra una circunferencia de radio r normal a xx’ y el lado OA engendra una hélice con una inclinación α respecto de la horizontal, designándose a h como el paso de la hélice, y que es la distancia vertical entre dos puntos homólogos consecutivos de la hélice, y de acuerdo a la figura anterior su longitud es:

h = 2 π r tgα(3.68)

La hélice puede ser derecha o izquierda según sea el sentido en el cual se enrolla el plano del ángulo alrededor del eje xx’. Para este caso es de izquierda. AB es la altura h del triángulo AOB, y se definió como el paso, siendo este el avance completo que experimenta un punto de la hélice al dar una vuelta

completa. También puede considerarse la hélice como la trayectoria de un punto animado de un movimiento compuesto de traslación y rotación, correspondiendo la elevación h para una vuelta completa. Con el movimiento de rotación de tres o cuatro puntos dispuestos sobre dos cilindros

concéntricos, estando unidos entre sí estos puntos mediante rectas, se obtiene el tornillo, formando las aristas que generan los puntos unidos entre sí en la traslación, la rosca cuyo perfil será triangular, rectangular o de un perfil cualquiera, generalizando el procedimiento. En la figura (Fig.3.40) se observan una rosca (a)


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triangular y una (b) rectangular. Se observan además los ejes xx’ de los tornillos, sus diámetros interiores d1, correspondientes a sus núcleos y los diámetros exteriores dcorrespondientes a los filetes de las roscas. Tipos de roscasSegún el perfil generado las roscas se clasifican en dos grandes grupos: a) Roscas para tornillos de fijación, es decir para unir o sujetar una o más piezas. b) Roscas para tornillos de transmisión de movimiento, como pueden ser elevadores, prensas, etc. Del grupo a) las más comúnmente utilizadas son las roscas Whitworth, cuyas dimensiones están en pulgadas, y la Internacional, cuyas dimensiones están en milímetros. Rosca WhitworthSu perfil básico es un triángulo isósceles de ángulo en el vértice α = 55º (Fig.3.41). Las dos más comunes son : roscas regulares o sin juego en los vértices y roscas finas con juego en los vértices, siendo en estas últimas el paso menor que en las regulares. Se identifican en las roscas sus parámetros constructivos, los que generalmente están en función del paso h, siendo las principales las siguientes: - h: paso de la rosca en pulgadas. - t: altura del triángulo generador. - t1: profundidad del filete. Se redondea el vértice del triángulo generador en la base a los efectos de eliminar la concentración de tensiones en los cantos vivos. - z: número de filetes por pulgada inglesa. - r: radio de redondeo del fondo de la rosca en el vértice del triángulo generador. - d: diámetro exterior del tornillo.

- d1: diámetro interior del tornillo. - d2: diámetro medio de la rosca. - a: juego o huelgo existente entre el extremo del filete y el fondo de la rosca en la rosca Whitworth fina (no se muestra en la figura). En la rosca sin juego en los vértices teóricamente no existe huelgo, pero debido a problemas constructivos existe una tolerancia, por lo que siempre se tiene en este tipo de roscas un pequeño huelgo. Si se toma el número de filetes z por pulgada, el paso h será igual a:


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zh ''1=

(3.69) Luego se tendrá en función de h los medidas de los otros parámetros:

t = 0,96049h(3.70) t1 = 0,64033h(3.71) r = 0,13733h(3.72) a= 0,074h(3.73) d1 = d – 1,28h = d – 2t1(3.74)

d2 = 2211 tddd

−=+

(3.75) Rosca InternacionalEl perfil básico es un triángulo equilátero de ángulo en el vértice α = 60º (Fig.3.42). También en éstas se distinguen las de roscas corrientes de las de roscas finas. Sus parámetros característicos, al igual que en la rosca Whitworth, están en función del paso h, el cual está en milímetros, siendo los principales los siguientes: - h: paso de la rosca en milímetros. - t: altura del triángulo generador. - t1: profundidad del filete. Se redondea el vértice del triángulo generador en la base a los efectos de eliminar la concentración de tensiones en los cantos vivos. - z: número de filetes. En este caso el número está dado por la longitud de la rosca. - r: radio de redondeo del fondo de la rosca en el vértice del triángulo generador. - d: diámetro exterior del tornillo. - d1: diámetro interior del tornillo o del núcleo. - d2: diámetro medio de la rosca. -α : ángulo del vértice del triángulo generador. En función del paso h las medidas son: t = 0,866h(3.77) d2 = d – t1(3.78) d1= d – 2t1(3.79) t1= 0,6945h(3.80) r = 0,058h(3.81)


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Existen otros tipos de roscas además de las citadas, como las roscas trapeciales, en diente de sierra, redondas, cuadradas y para construcciones especiales (Sellers, A.C.M.E., Löwenherz, Buttres, etc.), estando la mayoría normalizadas según normas DIN, SAE, UNIM, IRAM, etc., según los países. Existen tablas con las distintas medidas de las roscas, con sus características principales y diferencias con las de otros tipos. Las roscas pueden además ser de filetes dobles, triples o de mayor número. En estos casos el avance es múltiplo del paso entre filetes consecutivos; por ejemplo en las roscas de filetes doble el avance es el doble del paso de las de un solo filete. Las roscas de sujeción son siempre de un solo filete, en tanto que las de movimiento pueden se de uno o varios filetes. El roscado, por lo general, es a la derecha.

Tipos de tornillos: Existen distintos tipos de tornillos de unión, según se puede observar en la figura (Fig.3.43): a- Prisionero de cabeza fresada, consta de un vástago roscado, cilíndrico, que se atornilla directamente sobre una de las piezas a unir presionando una contra la otra; b- Prisionero de cabeza hexagonal, donde la longitud roscada del tornillo es menor que la longitud roscada de la pieza inferior; c- Bulón,consta de un perno roscado, cabeza y tuerca de apriete hexagonal y arandela; d-Espárrago, que es un perno roscado en ambos extremos, pudiendo llevar tuercas en ambas puntas o ir, como es el caso de la figura, una de ellas roscada en la pieza y la otra con tuerca. La cabeza de los tornillos pueden tener diferentes formas, como se puede apreciar en la figura (Fig.3.44): (a) hexagonal, (b) cuadrada, (c) redonda, (d) cilíndrica, (e) cilíndrica con hexágono interior, (f) cónica, (g) gota de sebo, (h) alomada, (i) moleteada.


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Del mismo modo, también las tuercas pueden ser de diferentes formas, algunas de las cuales se muestran en la figura (Fig.3.45): (a) tuerca hexagonal, (b) tuerca cuadrada, (c) tuerca redonda con dos chaflanes para llave, (d) tuerca redonda con agujeros cruzados para llave de gancho, (e) tuerca redonda con ranuras fresadas para llave, (f) tuerca de caperuza para cierre estanco de botellas.

También el extremo de los tornillos de unión presentan distintas formas, algunas de las cuales se indican en la figura (Fig.3.46) con la designación de cada una de ellas: (a) chaflanado, (b) bombeado, (c) de espiga, (d) de espiga para pasador, (e) de espiga esférica, (f) de espiga troncocónica y (g) de espiga cilíndrica plana. Generalmente los tornillo, salvo los prisioneros de cabeza fresada, se utilizan con arandelas, (Fig.3.47), las que pueden ser planas (Fig.3.47 a) para uniformar la presión

sobre la pieza que se ajusta el tornillo, y con arandelas de presión (Fig.3.47b) para evitar que la tuerca se afloje por causa de los movimientos o vibraciones que puedan tener las piezas ajustadas. Roscas del grupo b: son las que se utilizan para la

transmisión del movimiento. Pueden por lo general ser de filetes rectangulares o cuadrados, dientes de sierra, trapeciales y de filetes redondos. Su cálculo se efectúa de manera similar a las de fijación, adquiriendo importancia especial el paso y el número de filetes para el avance del tornillo. En la figura (Fig.3.48) se pueden observar las roscas mencionadas, siendo sus dimensiones principales las que a continuación se detallan: a) Rosca cuadrada

h: paso 1) t = 0,55h 2) t1 = t + 0,254 mm 3) e = 0,5h 4) e1 = e + 0,08 a 0,02mm (según el número de filetes por pulgada) (3.82) 5) a = 0,05h

b)Rosca diente de sierra

h: paso a) t = 1,73205h b) t2 = 0,75h c) t1 = t2 + b d) e = 0,26384h e) b = 0,11777h f) r = 0,12427h

(3.83)


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c) Rosca trapecial

h: paso a) t = 1,866h b) t1 = 0,5h + a c) t2 = 0,5h + a – b d) e = 0,36603h e) a y b = varían según el paso

(3.84) d) Rosca redonda

h: paso a) t = 1,86603h b) t1 = 0,5 c) a = 0,05h d) r = 0,25597h(3.85)

Cálculo de la resistencia de un tornilloEl cálculo de la resistencia de un tornillo permite su dimensionado a los efectos de que ofrezca la resistencia necesaria a los esfuerzos al cual estará sometido. Una forma sencilla y rápida de realizarlo consiste en considerar, el giro del tornillo con una carga P que soporta la rosca, equivalente a elevar una carga igual por el plano inclinado de la hélice. Se parte de la hipótesis de que el esfuerzo máximo que experimenta el tornillo tanto en su núcleo como en sus filetes se deben a esfuerzos de tracción. Suponiendo el caso de un tornillo que sujeta dos piezas con una tuerca, la cual es

apretada por una llave a la cual se le aplica una fuerza P1 con un brazo de palanca a (Fig.3.49), según la expresión ya vista (2.215) el momento ejercido considerando la existencia del rozamiento es: Mm = P1.aEste momento hace que se ejerza una fuerza de cierre P de tracción sobre el tornillo.

Si se denomina M0 al momento ejercido por una fuerza P0 sin considerar el rozamiento, sobre el mismo brazo de palanca a, resulta:

M0 = P0.a(3.86) y el rendimiento según la (2.220), estaba dado por:


87

1

0

1

00

.

.PP

aPaP

MM

m

===η< 1

(3.87) De la (3.86) se obtiene: P0 = ηP1(3.88) La fuerza de cierre, según la expresión (2.228), será:

m

m

m rhhr

raPP

πµµπ

22.1

+−

=

(3.89) Donde es rm el radio medio del tornillo, h es el paso y µ el coeficiente de roce entre los filetes de la rosca del tornillo y de la tuerca. Si no existiera rozamiento, la fuerza de cierre P en función de P0, haciendo en la (3.89) µ = 0 resulta:

haPP π2

0=

(3.90) y reemplazando P1 por su valor dado por la (3.88) se obtiene:

haPP πη 2

1=

(3.91)

Conocida la fuerza P se puede dimensionar el tornillo. Sean df, dn y dm los diámetros del filete , del núcleo y medio del filete respectivamente, (Fig.3.50) del tornillo. Si es σt la resistencia o esfuerzo unitario a la tracción, se tiene que la fuerza que puede resistir el núcleo del tornillo está dada por la expresión:

tndP σ

π4

2

=

(3.92)

de donde es: tn

Pdσπ

4=

(3.93) Para obtener el diámetro del filete df , teniendo en cuenta que es aproximadamente:

65,02

2

≅f

n

dd

(3.94)

y aplicando en la (3.91) el artificio de multiplicar y dividir por 2fd se obtiene:


88

222

22

2

22

51,0465,0

44 ftftf

nt

f

f

ft

n ddddd

ddd

P σσπσπ

σπ

≅===

(3.95) De donde resulta:

tf

Pdσ2=

(3.96) Si además el tornillo está sometido a torsión, el valor de la resistencia unitaria σt’para este caso se toma: σt’= ¾σt(3.97) Por lo que el valor de P resulta:

P = 0,5. tfft dd σσ 22 375,043 =

(3.98) Si además debe el tornillo resistir esfuerzos dinámicos, como por ejemplo vibraciones, será la resistencia unitaria σt” aún menor, adoptándose el valor:

tt σσ ′=′′43


228,0 ft dP σ=

(3.100) Por lo tanto, para el tornillo sometido a esfuerzo de tracción, torsión y esfuerzos dinámicos es:

tf

Pdσ57,3=

(3.101) Tiene mucha importancia el sistema constructivo de la rosca, por ejemplo, para roscas hechas al torno, si se aplica para valores conocidos de σt según estado de carga II según Bach, por ejemplo para acero dulce y cargas variables y el valor de la tensión σt= 600 a 800 kg/cm2 , o para hierro forjado y cargas variables y σt = 600kg/cm2 es, según la (3.95):

P = 0,51.600.2fd = 300.

2fd

(3.102) Para roscas hechas con tarraja se toma, para df > 40 mm, σt = 540 kg/cm2, es:


89

P = 0,5.540.2fd = 270.

2fd

(3.103) Y para df < 40 mm, σt = 480 kg/cm2:

P = 0,5.480.2fd = 240.

2fd

(3.104)

Cálculo de la altura de la tuercaSe supone que el mayor esfuerzo que soportan los filetes de la tuerca es el de flexión. Según la teoría de la Resistencia de Materiales, considerando al filete de la tuerca como una ménsula, la fuerza P que actúa a

una distancia l,provocará un

momento flector M, el cual será soportado por

la sección resistente W. Si se analiza la figura (Fig.3.51) para rosca internacional, la cual se muestran las medidas de los filetes de la tuerca, se tiene que según la hipótesis de carga, la fuerza P está aplicada a una distancia l del diámetro del filete del tornillo igual a:

tl

167=

(3.105) El Módulo Resistente del filete de la rosca, W es, según la figura (Fig.3.52):

2

87

6..

= h

dzW fπ

(3.106) Siendo, en la (3.106): z: número de pasos del filete que comprenden la altura de la tuerca. z.π.df : base del rectángulo de la sección que resiste el esfuerzo P.

h87

: altura del rectángulo de la sección que resiste el esfuerzo P. Por lo tanto, el Momento Flector será:

M = P.l = W.σf(3.107) Reemplazando en la (3.107) los valores de l y de W dados por las (3.105) y (3.106) respectivamente se obtiene:


90

ff h

dztP σ

π 2

87

6..

167

=

(3.108) Pero de la figura (Fig.3.51) es:

t = h.cos 2α

= h.cos30º = h.0,866(3.109) Reemplazando en la (3.108) el valor de t dado por la (3.109) se obtiene:

ff h

dzPh σ

π 2

87

6..

..866,0.167

=

(3.110) Operando la (3.110), haciendo z.h = H altura de la tuerca, se obtiene:

ffdPH

σπ34,0=

(3.111) La (3.111) permite dimensionar la altura de la tuerca. Como al mismo tiempo el tornillo soporta esfuerzos de tracción dado por la expresión (3.92), reemplazando el valor de P dada por ésta última en la (3.111) se obtiene:

f

tf

ff

tf

dd

d

Hσσ

σπ

σπ

.735,034,0

4. 2

==

(3.112) Para un estado de carga variable (Bach II) y para σt =σf = 350 kg/cm2 (hierro dulce) la (3.112) se transforma en:

H = 0,735df ≅ 0,8df(3.113) Pero de la (3.94) resulta: dn = 0,8df(3.114) De donde se obtiene: H ≅ dn(3.115)

Cálculo de la altura de la cabeza del tornilloSe considera que por la tracción del tornillo se produce un esfuerzo de corte en la superficie cilíndrica de diámetro dn yaltura h1 (Fig.3.53). La cabeza se separaría del vástago según las generatrices ab y cd, siendo la superficie de corte igual a:


91

P = π.dn.h1.τc (3.116) Despejando en la (3.116) h1, obtenemos:

cndPh

τπ ..1 =

(3.117) Para el caso anterior ya visto para roscas torneadas, reemplazando en la (3.117) el valor de P dado por la (3.102) y operando se obtiene:

300.2fd = π.df.h1.τc

(3.118) Operando en la (3.118) obtenemos:

c

fdh

τπ .3001 =

(3.119) Si es τc = 135 kg/cm2, se obtiene para la altura de la cabeza del tornillo:

h1 = 0,7df(3.120) Muelles o resortesSon elementos de máquinas que sometidos a carga varían su forma entre límites más o menos amplios, siempre que estas cargas no los expongan a solicitaciones superiores a los límites de elasticidad del material con el cual están construidos, produciendo su destrucción. Según el tipo de muelle, la energía de la carga que soporta el mismo, se transforma total o parcialmente en trabajo de deformación y de rozamiento, o solo en energía de deformación del resorte, con lo que se evita total o parcialmente la fuerza de choque sobre los apoyos o se logra almacenar en él energía potencial. Se utilizan como uniones de máquinas a sus bases para disminuir sus trepidaciones, para almacenar energía para el accionamiento de dispositivos, para suspensión de diferentes partes de vehículos para absorción de impactos, etc.

Existen diferentes tipos de muelles, estando clasificados por su forma geométrica: muelles de hojas elásticas, de plato, helicoidales o de barras de torsión, etc., o por su


92

forma de trabajo: tracción, compresión, flexión, torsión. Pueden ser de sección rectangular, cuadrada, circular o de formas especiales. Almacenaje de energía por los resortes Si se designa, según se muestra en la figura (Fig.3.54), por f la desviación, o sea una medida de la traslación (Fig.3.54a), del giro (Fig.3.54b), o del alargamiento o acortamiento (Fig.3.54c) por flexión, torsión, tracción o compresión respectivamente del muelle, bajo la acción de una fuerza F, la característica de un muelle sin rozamiento, en el campo de las deformaciones elásticas (ley de Hooke) es una recta o una curva.. Es una recta si f crece proporcionalmente con F, como por ejemplo en los muelles espirales y de ballesta sin rozamiento. Si por el contrario, a medida que aumenta la deformación del muelle, éste se hace más rígido, entonces la línea característica se va inclinando cada vez más al ir aumentando la carga, o sea que se va curvando (amortiguación progresiva). En este caso, la pendiente de la tangente a la línea característica es una medida de la fuerza unitaria del muelle (Fig.3.55).

El valor del trabajo absorbido por el muelle de características rectilínea (recta 1 de la figura Fig.3.55) es:

2. fFT =

(3.121) Siendo la tangente del ángulo α1 que forman las direcciones de la fuerza F y la deformación f unaconstante:

c

fFtg ==1α

(3.122) El valor de tgα1 representa la dureza del muelle y se designa con la letra cmidiéndose en kg/cm o en N/cm.Para un muelle en general, de características rectilíneas o no, (curva 2 de la figura Fig.3.55) es:

dfdFtg =2α

(3.123) Para el muelle de características elásticas se puede escribir:

2.

2. 2fcfFT ==

(3.124) Estando T en kgcm oNm, correspondiente al área rayada del triángulo de la figura (Fig.3.55). Cálculo de muelles

Muelles de tracción y compresiónConsiderando un resorte de sección constante A y de longitud l, medidos en cm2 yen cm respectivamente. Si se designa con ±∆l = f el alargamiento o acortamiento del


93

resorte debido a la carga F que actúa en la dirección del eje del muelle (Fig.3.55 c). Si es σ la tensión de tracción o compresión y E el modulo de elasticidad del material (para el acero es E = 2,1.106 kg/cm2 = 205,8 Gpa) , ambos en kg/cm2 o N/m2, en el campo de las deformaciones elásticas se verifica que el alargamiento o acortamiento unitario es:

lf

ll

E=∆== σε

(3.125) De la (3.125), operando se obtiene la deformación en función de la tensión, del módulo de elasticidad y de la longitud del resorte:

Elf .σ=

(3.126) Si es: F = σ.A(3.127) Luego el trabajo total de deformación dado por la expresión (3.124) en la que se reemplazan los valores de F y f dados por las expresiones (3.126) y (3.126) respectivamente será:

lAE

T .2

2σ=

(3.128) Para su cálculo debe tenerse en cuenta que la máxima tensión de tracción o compresión que en los muelles tenga lugar no debe sobrepasar las tensiones admisibles; es decir que debe verificarse: a) σmax ≤ σ tracción admisible b) σmax ≤ σcompresión admisible (3.129) Además si el volumen del muelle es: V = A.l(3.130) Se tendrá que para los muelles trabajando a tracción y compresión, la energía absorbida en el proceso total de deformación, o sea el trabajo elástico, valdrá:

VE

T2max

21 σ

=

(3.131) Muelles de anillos elásticos: es un ejemplo de muelle que trabaja a la tracción y compresión (Fig.3.56). Consiste en una serie de anillos concéntricos de secciones cónicas unas interiores y otras exteriores, superpuestos unos sobre otros, con los de diámetro menor introducidos dentro de los de diámetro mayor. Los internos trabajan a la compresión y los externos a la tracción, existiendo además,


94

entre las superficies en contacto rozamiento. Las tensiones a las que están sometidos los anillos están dadas por las siguientes expresiones: a) Para los anillos externos

( )ϕβπσ

+=

tgAP

ee

(3.132) b) Para los anillos internos

( )ϕβπσ

+=

tgAP

ii

(3.133) La deformación de los anillos es:

( ) EP

Ar

Ar

tgtgzf

i

i

e

e

+

+=

ϕββπ (3.134) El volumen del resorte es: V = 2π (ne re Ae + ni ri Ai)(3.135) Siendo en la (3.132), (3.133) y (3.134) Ae y Ai las áreas de las secciones de cada anillo externo e interno respectivamente; re y ri los radios desde el centro de gravedad de cada uno de los anillos externo e interno respectivamente; ne el número de anillos externos y ni el número de anillos internos; z el número de superficies cónicas en contacto; β el ángulo que forma el eje del resorte con la cara cónica de un anillo; µ = tgϕ el coeficiente de rozamiento. Por lo general , para anillos de acero, es µ ≈ 0,16, debiendo verificarse β > ϕ.

Muelles de plato (de flexión)Los muelles de plato, también llamados Belleville, son arandelas de forma cónica, que cuando se cargan axialmente trabajan a la flexión (Fig.3.57). Se utilizan cuando hay que absorber grandes cargas y ser pequeño el espacio disponible para el recorrido del resorte. Varios de estos discos pueden superponerse simplemente

formando paquetes o combinarse para formar columnas (Fig.3.58). La tensión admisible que pueden soportar es un 75% de la tensión de bloque, siendo esta última la que comprime el plato hasta dejarlo horizontal (plano). Se pueden utilizar, con mucha aproximación, las ecuaciones para el cálculo a la flexión de una placa

anular, para los valores prácticos siguientes: 4º ≤ α ≤ 7º (3.136) siendo el valor óptimo: αopt = 6,5º (3.137)

06,003,0 ≤≤Ds

(3.138)


95

Si es Ds

< 0,03 existe el peligro de doblado y para Ds

> 0,06 no se puede aplicar el cálculo como placa anular. Los valores de la tensión admisible σ0 y de la deformación f del muelle están dados por expresiones que contienen factores obtenidos experimentalmente en función de la

relación Dd=ε

, siendo las mismas las siguientes:

120 ksP=σ

(3.139)

y para 2DR =

, es:

3

2

21..sRPkkf =

(3.140) El trabajo de deformación T absorbido por el resorte, para la tensión σ de trabajo a la cual está sometido el plato, está dado por la expresión:

2235,0 σsRkT =

(3.141) La máxima deformación experimentada por el plato al ser sometido a una carga que produce la tensión de σbloque es la altura h0 y está dada por la expresión siguiente:

sRk

h bloque2

10

..σ=

(3.142)

Los factores k1, k2 y k3 están diagramados para longitudes dadas en milímetros, según se muestra en la figura (Fig.3.59). Muelles de flexión de ballesta rectos


96

Son utilizados por los general en vehículos, denominados comúnmente elásticos,formando paquetes de hojas o ballesta, superpuestas unas encimas de las otras. Pueden ser de forma rectangular, trapecial o triangular. El triangular constituye un sólido de igual resistencia a la flexión de altura h constante, siendo el momento de inercia y su

sección resistente el de la sección empotrada. Se logra la flexión constante obteniendo de esta forma el máximo aprovechamiento del material. La línea elástica en este caso corresponde aproximadamente a un arco de círculo. Analizando la figura (Fig.3.60), si actúa la fuerza F en el extremo del muelle, a la distancia l, y siendo el momento de inercia de la sección empotrada el dado por la expresión:

12. 3hbJ =

(3.143) y su sección resistente:

6. 2hbW =

(3.144) El momento flector producido será:

bb hblFM σ..61. 2==

(3.145) Siendo la fuerza F :

blhbF σ6. 2

=

(3.146) Y la deformación:

JElFf.2

. 3

=

(3.147) Reemplazando en la (3.147) el valor de J dado por la (3.143) y el de F dado por la (3.146) resulta para f el valor:

bhElf σ.

2

=

(3.148) Haciendo σb = σbmax ≤ σbadm el trabajo que puede absorber el muelle triangular es:

== bhl

EfFT b

21

61.

21 2

maxσ

(3.149) Por ser el volumen del muelle:

lhbV ..

21=

(3.150) la (3.149) resulta:

V

ET b

2max

61 σ

=

(3.151)


97

Los muelles triangulares de una sola hoja resultarían muy anchos para su aplicación práctica, por lo que generalmente se lo divide en varias fajas longitudinales (Fig.3.61) las que superpuestas de a pares una sobre otras dan un muelle de ballesta triangular compuesto, obteniéndose así un sólido de igual resistencia a la flexión, el cual tiene igual resistencia y capacidad que el muelle triangular sencillo de ancho B = n.b,siendo n el número de hojas. Se supone que no hay rozamiento entre las hojas, condición que nunca se cumple en la práctica, por más lubricadas que estén las superficies. Son de aplicación las mismas expresiones, siendo el ancho de cálculo en este caso n.b.

Muelles de torsión Los resorte que trabajan a la torsión pueden ser resortes de barra recta y resortes helicoidales de secciones cuadradas, rectangulares o cilíndricas. a) Resorte a torsión de barra cilíndrica recta.: consiste en una barra que es sometida a un par de fuerzas perpendiculares a su eje que producen un momento torsor igual a:

Mt = F.r(3.152) Por la acción de este par las dos secciones paralelas perpendiculares al eje separadas una distancia l giran, desplazándose un ángulo ω en el radio r. Además la línea espiral originada por el giro de la periferia forma con la generatriz primitiva del cilindro el ángulo de deslizamiento γ.Si se analiza la figura (Fig.3.62) se puede observar que la deformación f queexperimenta la sección en la periferia, es decir, a la distancia r, está dada por el desplazamiento desde el punto A hasta el punto B, siendo:

f = arco A.B (3.153) Por otra parte es:

f = r.ω = r.ω ≅ l.γ(3.154) de donde:

lr ωγ .=

(3.155)

Designando con G el módulo de elasticidad a la torsión, cuyo valor para el acero es 8.105 kg/cm2, el deslizamiento será:

Gτγ =

(3.156) Reemplazando en la (3.154) el valor de γ dado por la (3.155), la deformación es:


98

Gllf .. τγ ==

(3.157) La expresión del momento torsor en función de la sección resistente y el esfuerzo unitario de corte es:

Mt = W.τ(3.158) Estando la sección resistente polar para la sección circular dada por:

16. 3dWp

π=

(3.159) Igualando los segundos miembros de las expresiones (3.152) y (3.158) que dan el momento torsor, reemplazando además en la (3.158) el valor de la sección resistente polar dada por la (3.159), se obtiene:

τπ

16..

3drF =

(3.160) De la (3.160) se obtiene:

rdF.16

. 3τπ=

(3.161) El trabajo de deformación, según la (3.124) es:

GldT

44.. 22 τπ=

(3.162) Como el volumen del cilindro es:

4.2 ldV π=

(3.163) El trabajo absorbido por la barra, con τ = τmax ≤ τadm según la (3.162) es:

VG

T 241 maxτ

=

(3.164)

b) Muelles helicoidales de sección circular:el resorte helicoidal está formado por el arrollamiento de un alambre o


99

varilla de sección uniforme, alrededor de un cilindro. El eje del alambre forma una hélice, manteniendo una distancia constante entre las espiras sucesivas. Si la distancia entre espiras es pequeña, se dice que es un resorte de espiras cerradas, yconsiderando la tensión a la que está expuesto el material del mismo, puede aplicarse la teoría de la torsión. Por lo tanto, considerando al resorte una sucesión de muelles de torsión unidos en el espacio (Fig.3.63a), de diámetro del alambre d,diámetro de una espira D y radio de la misma R y sometido a una fuerza F, para que exista equilibrio debe ser igualada esta fuerza externa por las fuerzas internas del material. Por ser la pendiente del muelle pequeña, se puede suponer sin cometer mucho error, que la fuerza F actúa perpendicular a la línea helicoidal (Fig.3.63b), y calculando por torsión con un radio R de la espira, siendo W la sección resistente polar dada por la (3.159), se tiene:

Mt = F.R = W. τ(3.165) Despejando τ de la (3.165) y reemplazando W según la (3.159) se tiene:

33 ..8

.16

dDF

dFR

ππτ ==

(3.166) Para obtener la desviación f se recurre a la figura (Fig.3.64) en la que se considera

un elemento diferencial dL del muelle, el cual es igual a: dL = R.dα(3.167) Siendo: R = OS (3.168) el radio de la espira del resorte. Bajo la acción del momento Mt el radio OA de la sección transversal de la barra girará el ángulo dθ hasta ocupar la posición OB describiendo el arco CD dado por la expresión: Arco CD = OC. dθ(3.169) El punto de aplicación de la fuerza Fdescenderá la distancia CE. Por tratarse de un elemento diferencial se puede suponer que el

arco CD se confunde con la secante CD, resultando:

arco OC.dθ = secante____CD (3.170)


CE = OC.dθ .cosβ = OC. .dθ OCR

(3.171) Operando en la (3.171) resulta:


100

CE = R. .dθ(3.172) Siendo CE la deformación del elemento diferencial dL del resorte y dθ el ángulo de torsión que corresponde al giro de la sección del elemento dL por efecto de la fuerza F.

A los efectos de obtener el valor de dθ en función del momento torsor Mt, de la longitud dL del elemento de resorte considerado, del diámetro d del alambre y del módulo G de elasticidad a la torsión del material, se observa en la figura (Fig.3.65) que es:

θγ dddLd

2. =


dLddd θγ

2=

(3.174) Siendo dγ la deformación que sufre a lo largo de su generatriz el elemento dL, queen función de el esfuerzo unitario de corte τ y el módulo G de elasticidad a la torsión es igual a:

Gd τγ =

(3.175) Igualando los segundos miembros de la (3.174) y de la (3.175) por tener iguales los primeros miembro, se obtiene:

dLdd

Gθτ

2=

(3.176) Despejando τ de la (3.176) es:

dLddG θτ

2=

(3.177) Por otra parte es:

WM t=τ

(3.178) Siendo W la sección resistente polar, de donde reemplazando su valor dado por la (3.159) en la (3.178), resulta:

3

16d

M t πτ =

(3.179) Reemplazando en la (3.179) el valor de τ dado por la (3.177) obtenemos:


101

3

162 d

MdLddG t πθ =

(3.180) Despejando de la (3.180) dθ se obtiene:

32

4dG

dLMd t

πθ =

(3.181) Pero en la (3.181) es:

32

4dI pπ=

(3.182) Donde es Ip el momento de inercia polar de la sección del alambre. Reemplazando en la (3.181) π.d4/32 por Ip se obtiene:

p

t

IGdLM

d..

=θ

(3.183) Reemplazando en la (3.183) el valor de Mt y de dL dados por las (3.165) y (3.167) respectivamente y en la (3.172) el valor de dθ dado por la (3.183), obtenemos:

p

t

IGdRFM

CE.

... 3 α=

(3.184) Como se dijo, CE es la deformación para la longitud dL del resorte. La deformación f para el largo total 2π.n del resorte, siendo n el número de espiras del resorte, se obtiene integrando CE para α variando desde 0 hasta 2π.n:

∫ ∫∫ ===n n

pp

nd

IGFRd

IGFRCEf

π ππαα

2

0

2

0

332

0 ..(3.185) Integrando la (3.185) se obtiene:

pIGnFRf

..2 3π=

(3.186) Y reemplazando Ip por su valor según la (3.182) se obtiene finalmente, para la deformación total f del resorte:


102

4

364Gd

nFRf =

(3.187) El trabajo de deformación absorbido por el resorte será:

GnRdfFT

42

4.

2. 22 τππ==

(3.188) Como el volumen V del resorte es:

nRdV ..24. 2

ππ=

(3.189) Además, como debe ser para la mayor solicitación a la que está expuesto el resorte:

τ = τmax ≤ τadm (3.190) La (3.188) resulta:

V

GT

2max

41 τ

=

(3.191) La (3.191) permite calcular el trabajo de deformación, no influyendo la curvatura de la barra.

Deben tenerse en cuenta la tensión cortante en los puntos de la sección más próxima al eje del muelle, la cual está dada por la expresión:

3max8

dDFk

πτ ′=

(3.192) El factor k’ depende de la relación D/d y puede obtenerse de diagramas similares al de la figura (Fig.3.66), los cuales se construyen con datos obtenidos experimentalmente.

Si se comparan los trabajos de deformación T de los distintos muelles, se observa que los de tracción y compresión tienen la facultad de absorber el mayor con

VE

T2max

21 σ

=, lo que permite un mayor aprovechamiento del material del muelle.


103

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TÍTULO AUTOR EDITORIAL - Manual del Constructor de Máquinas H. Dubbel Labor - Elementos de Máquinas Dr. Ing. O. Fratschner Gustavo Gili - Proyecto de Elementos de Máquinas M. F. Spotts Reverté - Manual del Ingeniero Hütte II A Academia Hütte Gustavo Gili - Cálculo de Elementos de Máquinas Vallance-Doughtie Alsina - Diseño de Máquinas Hall-Holowenco-Lau McGraw-Hill - Manual del Ingeniero Mecánico de Marks Baumeister y Marks Uteha - Diseño de Elementos de Máquinas Aguirre Esponda Trillas - Resistencia de Materiales Alvin Sloane Uteha - Diseño en Ingeniería Mecánica J. Shigley- Ch. Mischke McGraw-Hill - Elementos de Máquinas Pezzano-Klein El Ateneo - Elementos de Máquinas Dobrovolski y otros MIR - Montaje, Ajuste, Verificación de Elementos de Máquinas Schröck Reverté - Diseño de Elementos de Máquinas V.M. Faires Montaner y Simón S.A.

104

ENGRANAJES4


Generalidades: Los engranajes son, en general, cilindros con resaltos denominados dientes,conformando ruedas dentadas, las que permiten, cuando giran, transmitir el movimiento de rotación entre sus árboles o ejes colocados a una distancia relativamente reducida entre sí. Esta transmisión se realiza mediante la presión que ejercen los dientes de una de las ruedas, denominada motora sobre los dientes de la otra rueda, denominada conducida, cuando engranan entre ambas, estando durante el movimiento en contacto varios dientes sin choques ni interferencias que lo impidan o entorpezcan. Los engranajes cilíndricos pueden ser de dientes rectos, cuando éstos son paralelos al eje de giro del cilindro, o de dientes helicoidales, cuando son parte de una hélice que envuelve a dicho eje. En la figura (Fig.4.1) se pueden observar dos engranajes cilíndricos rectos que

engranan entre sí, z1 y z2 estando montados sobre los ejes I y II, siendo el primero estriado, lo que permite al engranaje z1 deslizarse a lo largo del mismo, ocupando otra posición. Distintos materiales se utilizan para la construcción de los engranajes pudiendo ser éstos fundición de hierro, acero, bronce, aluminio, materiales sintéticos, como el teflón, por ejemplo, etc. Debido al constante rozamiento entre las superficies en contacto, éstas están expuestas al desgaste, motivo por el cual son endurecidas mediante tratamientos térmicos de endurecimiento superficial como es el caso del cementado de los aceros. A los efectos de evitar el desgaste, el engrane está continuamente lubricado, lo que además lo refrigera, favoreciendo la transmisión del movimiento a elevada velocidad. Los engranajes son construidos mediante el fresado o tallado, de acuerdo a normas específicas. Para el cálculo de las dimensiones, resistencia y características se debe conocer previamente: a) distancia entre los ejes de las ruedas dentadas, b) número de vueltas por minuto de la rueda motora, c) relación de transmisión y d) fuerza tangencial que se debe transmitir. Clasificación de los engranajesSegún como los engranajes interactúen entre sí, se los puede clasificar como: a) Engranajes de acción directa: formados por dos o más ruedas que engranan entre sí, directamente una con otra, como es el caso de la figura (Fig.4.1).

b) Engranajes de acción indirecta: cuando accionan uno sobre otro a través de un vínculo intermedio o auxiliar, como es el caso de los engranajes a cadena que se muestra en la figura (Fig.4.2), donde z1 es la rueda conductora o motora, la cual se encuentra montada sobre un eje motor y transmite el movimiento a la rueda conducida z2 a través de la cadena. Caso de las bicicletas, donde la rueda de menor diámetro se denomina generalmente piñón. A su vez, los engranajes de acción directa, según

sean las posiciones de sus ejes, pueden presentar los siguientes casos: 1- sus ejes son paralelos; 2- sus ejes se cortan; 3- sus ejes se cruzan; 4-

engranajes de rueda y tornillo sinfín. 1- Ruedas de ejes paralelos : se presenta para ruedas cilíndricas que están montadas sobre ejes paralelos,


105

pudiendo presentarse distintos casos, según se muestran a continuación: En la (Fig.4.3) se tiene una rueda o piñón z1 que engrana con una cremallera z2, siendo esta última una rueda dentada de radio infinito, por lo tanto el número de dientes que tendrá es infinito, por lo que se utiliza una porción de la misma, de acuerdo al recorrido o desplazamiento que se quiera obtener. Los ejes sobre los cuales están montados ambos son paralelos. Para una velocidad angular n1 le corresponderá para la cremallera una velocidad v de desplazamiento. En la (Fig.4.4) se presentan dos engranajes montados sobre los ejes paralelos dispuestos a una

distancia L siendo ésta de igual medida a la suma de sus radios primitivos, de engrane exterior, pudiendo tener dientes rectos, helicoidales o en V.

En la (Fig.4.5) se observan dos ruedas de engrane interior, una de las cuales, la de menor diámetro que se encuentra dentro de la de mayor diámetro, tiene dentado exterior, en tanto que la exterior cuenta con dientes interiores. La distancia L entre los ejes es igual a la diferencia de sus radios primitivos.

En la figuras (Fig.4.6), (Fig.4.7) y (Fig.4.8) se puede observar engranajes de ejes paralelos, de dientes rectos, helicoidales y en V respectivamente.

2- Ruedas cuyos ejes se cortan: este caso se presenta en los engranajes cónicos, los que están construidos de tal modo que si sus ejes se prolongaran, ellos se encontrarán en un punto o vértice común. Sus dientes pueden ser rectos, en arco o en espiral, respondiendo en cada caso a determinadas condiciones de trabajo y trazado. En la figura (Fig.4.9) se observa un engranaje cónico de dientes rectos y en la figura (Fig.4.10) un engranaje cónico de dientes en espiral. El ángulo α que forman los ejes I y II de los engranajes z1 y z2

respectivamente, al cortarse puede ser: figura (Fig.4.11a) α = 90º, con lo que se obtiene un cambio en la transmisión del movimiento de rotación perpendicular al original; figura (Fig.4.11b) α < 90º el cambio se produce en ángulo agudo y figura (Fig.4.11c) α > 90º la dirección cambia en un ángulo obtuso.

3- Ruedas cuyos ejes se cruzan en el espacio: son engranajes cilíndricos de dientes helicoidales cuyos ejes se cruzan en el espacio, lo que permite lograr el cambio


106

de dirección de la transmisión del movimiento. Los ejes pueden cruzarse en forma oblicua (Fig.4.12), formando un ángulo α menor a 90º o en forma perpendicular (Fig.4.13), donde es αigual a 90º. Estos engranajes son de dientes helicoidales.

4- Engranajes de rueda y tornillo sinfín: se pueden presentar tres casos, según sea el perfil de los dientes y filete que presenta la rueda y el tornillo sinfín respectivamente, los cuales se indican esquemáticamente en la figura: en la (Fig.4.14a) se tiene ambos de perfiles cilíndricos, la (Fig.4.14b) muestra la rueda de perfil globoide y el tornillo sinfín cilíndrico, y en la (Fig.4.14c) tanto la rueda como el tornillo sinfín presentan perfiles globoides. La (Fig.4.14d) muestra como engranan una rueda de perfil globoide y un tornillo sinfín cilíndrico. Elementos de los engranajes cilíndricos de dientes rectos. NotaciónCuando dos engranajes engranan entre sí, el contacto que hacen los dientes de ambos se realiza

en la línea que marca el perímetro de la superficie de dos cilindros lisos ideales, pertenecientes a cada uno de ellos, que se transmiten por fricción el movimiento de rotación de sus ejes sin deslizar uno sobre otro, denominados cilindros primitivos, constituyendo la circunferencia de cada superficie, la circunferencia primitiva de los engranajes. Los distintos parámetros de un engranaje y el cálculo de los mismos están referidos a su circunferencia primitiva. Por lo general se denomina al engranaje de mayor diámetro rueda y al de menor diámetro piñón. A continuación se ilustra la terminología básica más usada de los distintos elementos que componen un engranaje, mostrándose en las figuras que siguen los mismos. En la figura (Fig.4.15) se indican las circunferencias primitivas del piñón y de la rueda, cuyos ejes O1 y O2 están separados la distancia L. En ella se observan además, los diámetros primitivos Dp de la rueda y dp del piñón y sus radios primitivos Rp y rp respectivamente; se indica con n1 el número de vueltas por minuto con que gira la rueda y

con n2 con la que gira el piñón, siendo z1 y z2 el número de dientes de cada uno de ellos respectivamente; v es la velocidad tangencial del punto de contacto de los dientes. En la figura (Fig.4.16) se muestran dos dientes de la rueda, en la que se notan: - Paso Circunferencial pc: es la distancia entre dos puntos homólogos de dos dientes consecutivos, medido sobre la circunferencia primitiva, siendo igual para la rueda y para el piñón, denominándose en este caso, ruedas homólogas, siendo por lo tanto:

21 zd

zD

p ppc

ππ==

(4.1) El paso circunferencial pc se lo obtiene dividiendo, en tantas partes como dientes tenga la


107

rueda o piñón, la circunferencia primitiva. - Paso Diametral en pulgadas (Diametral Pitch) pd : es el número de dientes que tiene un engranaje por cada pulgada del diámetro primitivo:

ppd d

zDzp 21 ==

(4.2) En la (4.1) pasando Dp y dp al denominador se obtiene:

d

pp

c pdz

Dz

p πππ ===21

(4.3) - Módulo o Paso Diametral M: siendo pc un número irracional por contener su determinación el número irracional π, lo serán también todas las dimensiones del engranaje que son función del paso circunferencial, por lo que para resolver este inconveniente se divide ambos miembros de la (4.1)

por π, obteniéndose el módulo M, el cual se toma como base de cálculo de los engranajes, resultando:

21 zd

zDpM ppc ===

π(4.4) Es decir que para que dos engranajes puedan engranar entre sí, sus módulos deben ser iguales. En la figura (Fig.4.17) se observa, para un engranaje cualquiera, con número de dientes z = 10y Dp = 60 mm, es el módulo M = 6 mm. - Circunferencia de fondo (interior) o de raíz, es la circunferencia cuyo diámetro es Di(Fig.4.16), y su radio es Ri (Fig.4.17) y corresponde al cilindro en el cual se encuentra arraigado el diente. - Circunferencia de cabeza o exterior, es la circunferencia descripta por la cabeza de los dientes, de diámetro De (Fig.4.16) y radio Re (Fig.4.17). - Circunferencia primitiva, es la circunferencia de contacto de los cilindros primitivos. - Altura de cabeza del diente o adendo: es la altura radial a del diente (Fig.4.17), medida entre la circunferencia primitiva y la circunferencia de cabeza o exterior. - Altura del pié del diente o dedendo: es la altura radial d del diente (Fig.4.17), medida entre la circunferencia primitiva y la circunferencia de raíz. - Altura del diente: es la suma h de la altura de cabeza y la del pié del diente (Fig.4.17):

h = a + d(4.5) - Espesor del diente: es el grueso e de un diente (Fig.4.17), medido sobre la circunferencia primitiva. Se lo toma generalmente como la mitad del paso circunferencial.

2cp

e =

(4.6) O reemplazando en la (4.6) el valor de pc dado por la (4.3):


108

dpe

2π=

(4.7) - Vacío o hueco del diente: es el hueco V entre dos dientes consecutivos, en el cual penetra el diente de la otra rueda que engrana con ésta. Teóricamente es igual al espesor, pero en la ejecución práctica de un engranaje, a los efectos de evitar el calentamiento por rozamiento y a las inexactitudes, tanto en la construcción como en el montaje, que siempre se tiene en forma no

deseable pero inevitable, es mayor ya que presenta un juego tangencial o lateral, siendo este juego restado del espesor y sumado al vacío del diente. - Juego radial o de fondo y Juego lateral o tangencial del diente: también llamados holguras del diente, son los espacios Jr y Jl respectivamente que quedan, el primero entre la cabeza del diente de una de las ruedas y la circunferencia de raíz de la otra a efectos de evitar la presión que pueda

producir el contacto entre ambos, y el segundo entre los perfiles de los dientes como ya se dijera en el punto anterior y además para permitir la deflexión de los mismos, permitir la lubricación y la dilatación térmica, cuando están engranando entre sí (Fig.4.18). Relaciones fundamentales de ruedas cilíndricas de dientes rectosAnalizando la figura ya vista (Fig.4.15), de la misma resulta que las velocidades angulares ω1 yω2 en radianes sobre segundo, en función de n1 y n2, están dadas por las expresiones:

a) ω1 = 2π.n1 y b) ω2 = 2π.n2(4.8) La relación de transmisión del movimiento, i, se define como el cociente entre las velocidades angulares ω1 de la rueda motora y ω2 de la rueda conducida:

2

1

2

1

2

1

22

nn

nni ===

ππ

ωω

(4.9) Por ser v1 = v2 = v y además, por ser v = R.ω, por la (4.8) se tiene:

60)

60) 2

21

1

ndvby

nDva pp ππ

==

(4.10) es:

606021 ndnD pp ππ

=

(4.11) De la (4.11), haciendo pasajes de términos, y por ser Dp = 2Rp y dp = 2rp, resulta:

p

p

p

p

Rr

Dd

nn

==2

1

(4.12) De la (4.4), haciendo pasajes de términos se obtiene:


109

1

2

zz

Rr

Dd

p

p

p

p ==

(4.13) Por lo tanto, de las expresiones (4.9), (4.12) y (4.13) se obtiene una expresión generalizada para la relación de transmisión:

1

2

2

1

2

1

zz

Rr

Dd

nni

p

p

p

p =====ωω

(4.14) De la (4.14) se pueden obtener los valores de cada parámetro en función del resto de los otros haciendo pasajes de términos, así se obtienen, por ejemplo

a) 1

22221 z

znRr

nDd

nnp

p

p

p ===o b) p

p

p

p

rR

zdD

znnzz 22

1

221 ===

(4.15) La distancia L entre ejes de los engranajes es:

pppp rR

dDL +=

+=

2(4.16) Además, de la (4.13) o (4.14) se obtiene, haciendo pasajes de términos:

2

1

zzrR pp =

(4.17) Por lo tanto, la (4.16) se puede escribir como:

+=+= 1

2

1

2

1

zzrr

zzrL ppp

(4.18) Si de la (4.18) se despeja rp:

a) 1

2

2

1 11nn

L

zz

Lrp

+=

+=

o b) 1

2

2

1 12

12

nn

L

zz

Ld p

+=

+=

(4.19) O también:

a) 2

1

1

2 11nn

L

zz

LRp

+=

+=

o b) 2

1

1

2 12

12

nn

L

zz

LDp

+=

+=

(4.20)


110

Forma de los dientesPara engranajes cilíndricos, por lo general el perfil de los dientes es de forma prismática cilíndrica. La forma de las caras anterior abcd y posterior a’b’c’d’(Fig.4.19), son simétricas respecto del radio que pasa por el punto medio del arco comprendido entre las curvas del diente ad y bc en la cara anterior y a’d’ y b’c’ en la cara posterior, tomado sobre la circunferencia primitiva de la rueda.

Engranajes homólogosDos o más ruedas dentadas son homólogas cuando ellas pueden engranar entre sí. Para ello deben tener igual paso circunferencial pc y por consiguiente, igual módulo M. En la figura (Fig.4.15) ambos engranajes son homólogos, siendo las dimensiones de los dientes iguales, variando únicamente los diámetros de raíz, primitivos y de cabeza y por lo tanto el número de dientes. Perfil del dienteEl trazado del perfil del diente es de suma importancia, ya que de ello dependerá que no existan choques o contactos bruscos entre los engranajes. A los efectos de evitar la arbitrariedad en la construcción del perfil del diente, ya que podrían existir un número muy grande de formas, lo cual resultaría antieconómico y muy poco práctico, se han establecido curvas sencillas de ejecutar técnicamente, como son las Curvas Cíclicas, las que generan perfiles de dientes: a) Cicloidales, que a su vez pueden ser: 1- Cicloide: curva engendrada por un punto de un círculo que rueda sin resbalar sobre una recta fija; 2- Epicicloide: curva engendrada por un punto de un círculo que rueda sin resbalar, apoyado exteriormente sobre una circunferencia de mayor diámetro quen está fija; 3- Hipocicloide: curva engendrada por un punto de un círculo que gira sin resbalar, apoyado interiormente sobre una circunferencia que está fija; 4- Pericicloide: curva engendrada por el punto de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre un círculo fijo interior a ella, ambos en un mismo plano; b) Evolvente de círculo, que es una curva engendrada por el punto de una recta que gira sin resbalar sobre una circunferencia que está fija. Si bien con las curvas cicloidales se obtienen perfiles más exactos, de menores rozamientos, desgaste y choques de los dientes, estas ventajas pueden existir únicamente cuando la distancia entre los centros de los engranajes se mantienen rigurosamente. Con la evolvente de círculo, el perfil obtenido es más simple y fácil de ejecutar, no exigiendo además mantener la distancia entre ejes invariable para que el engrane se realice en buenas condiciones. Actualmente el trazado del perfil de los dientes no es tan importante como antes, ya que son obtenidos mediante fresado o tallado.

Para el trazado práctico de la evolvente de círculo (Fig.4.20) se procede de la siguiente forma: se traza con radio cualquiera R y centro en O la circunferencia base, de la cual se toma un determinado arco. A partir de un punto inicial osobre este arco se efectúan divisiones con los puntos a, b, c yd a partir de los cuales se trazan los radios Oo, Oa, Ob, Oc y Od. Se trazan las rectas perpendiculares a estos radios: aA,bB, cC y dD. Haciendo centro sucesivamente en a, b, c y d,con radios ao, bA, cB y dC respectivamente, se trazan los arcos oA, AB, BC y CD, resultando con aproximación suficiente la curva oABCD la evolvente del círculo. Con esta curva se está en condiciones de trazar el perfil del diente a evolvente de círculo.

Trazado práctico del perfil del diente de evolvente de círculo


111

Para efectuar el dibujo de un engranaje, el cual no exige una gran exactitud, se procede de la siguiente manera (Fig.4.21): tomando el engranaje cuya circunferencia primitiva tiene radio Rp = OC y centro el punto O; se conocen las alturas a y d de la cabeza y del pié del diente respectivamente, lo que permite trazar las circunferencias de cabeza de radio Re y la de raíz de radio Ri. Se traza la recta Oy y la recta m-n perpendicular a la primera, la que es tangente a la circunferencia primitiva en el punto C. Por este punto se traza una recta tangente en el punto G a la circunferencia de radio OG, que es la circunferencia base o de

construcción para el perfil a evolvente de círculo, la cual recibe el nombre de recta de presiones y que forma un ángulo comprendido entre 15º y 25º con la m-n, el cual dependerá del número de dientes del engranaje. Haciendo centro en G, si se traza el arco ACB con radio GC limitado por la circunferencia de cabeza y la de base, el mismo resulta casi coincidente con la evolvente de círculo que correspondería al punto A que está sobre dicha circunferencia. Este arco ACB es parte del perfil del diente, el cual se completa trazando el radio OA. El perfil por debajo del punto A no es afectado, según la experiencia, por el engrane de las ruedas que engranarían con la del trazado, motivo por el cual se puede terminar redondeándolo a voluntad en el entalle para evitar la concentración de tensiones en el ángulo vivo, reforzando al mismo tiempo la base del diente. La línea de engrane es coincidente con la prolongación de la recta GC para los dientes de perfil a evolvente de círculo y además con la recta de acción de la dirección del empuje o presión que le ejerce el diente del otro engranaje que engrana con ella. Una vez que se obtuvo el perfil de uno de los flancos del diente, el otro se traza en forma simétrica. Determinando el punto C’, ya que se conoce el espesor e del diente sobre la circunferencia primitiva dado por la (4.6), con radio GC y centro en C’ se corta la circunferencia de construcción en el punto G’. Con centro en G’ y radio G’C’ se traza el arco A’C’B’ con lo que se construye el otro flanco del diente, de igual forma que el del lado opuesto. Se puede además trazar el eje de simetría del diente que pasa por el punto medio del arco CC’.Para construir todos los dientes se divide la circunferencia primitiva en el doble de partes como dientes tiene, o sea 2z partes, estando todos los centros de los arcos de evolvente (G, G’, etc.) sobre la circunferencia de base. Interferencia en los engranajes de evolvente


112

La evolvente no puede introducirse dentro de la circunferencia base de la cual es generada. Si el piñón gira en el sentido contrario a las agujas del reloj según se indica en la figura (Fig.4.22), el primer contacto entre los perfiles de los dientes se hace en e y el último punto de contacto en g,

donde la línea de presión es tangente a las circunferencias bases. Si el perfil del diente del piñón se extiende más allá de un arco de circunferencia trazado por ginterferirá en i, según se observa en la figura, con la parte radial de la rueda (de mayor diámetro), solamente evitable si se rebaja el flanco del diente del piñón. Esta interferencia limita la altura de la cabeza del diente, y a medida que el diámetro del

piñón se hace más chico, la longitud permitida de la cabeza del diente de la rueda se hace más pequeña. Para que dos engranajes engranen sin interferencia, el contacto entre sus dientes debe realizarse dentro de los límites g-e de la línea de presión. En la figura (Fig.4.23) se observa que para actuar sin interferencia, el punto más alejado del engranaje conducido A (rueda) debe pasar por el punto e,que pertenece al diámetro límite de la circunferencia de adendo del engrane, ya que si fuera mayor, el contacto se realizaría fuera de los límites g-e ya mencionados introduciéndose dentro de la circunferencia base. Analizada geométricamente la figura (Fig.4.23), el diámetro máximo exterior Ae, de la cabeza del diente o

adendo, del engranaje conducido A (rueda) está dado por la expresión:

Ae = R + a = ( ) ( )22 geAg + = ( ) ϕϕ 2222 cos senrRR ++ (4.21) Si se denomina zR y zr al número de dientes de la rueda y del piñón respectivamente, siendo pd el paso diametral dado por la (4.2), se obtiene:

a) d

R

pzR

2=

y b) d

r

pzr

2=

(4.22) Si además se pone en función del paso diametral y de un coeficiente m, el cual depende de las proporciones elegidas entre las dimensiones del diente y el paso diametral, el valor del adendo a, resulta:

dpma =

(4.23) El coeficiente m depende de la norma con que se dimensione el diente. Para engranes de profundidad completa en la norma americana, es m = 1; para dientes chatos es m = 0,8. Existen


113

tablas que dan las proporciones de los dientes en función del ángulo de presión, del paso diametral y del paso circular. Si en la expresión (4.21) se reemplazan R, r y a por sus valores dados por la (4.22) y (4.23) y operando se obtiene:

( )ϕ2

2 42

senmzmzzz R

Rrr+

=+

(4.24) Para un piñón de zr dientes y una cremallera zR = ∞ la (4.24) se reduce a:

ϕ2

2sen

mzr =

(4.25) Para una relación conocida de m y conociendo el ángulo de presión α, con las expresiones (4.24) y (4.25) se puede obtener el número mínimo de dientes zr del piñón que puede engranar con una rueda de zR dientes, sin interferencia entre ambos. Para el mismo piñón de zr dientes, solo podrán engranar con él ruedas de menor número de dientes que zR, ya que para ruedas de mayor cantidad de dientes habrá interferencia.

Línea de engraneLa línea de engrane es el lugar geométrico formado por todos los puntos de contacto de dos dientes durante el giro de las ruedas que engranan entre sí. Para que el contacto entre los dientes sea continuo y no existan choques, la longitud de la línea de engrane debe ser mayor que la longitud del arco correspondiente al paso circunferencial. La línea de engrane se encuentra limitada por las circunferencias exteriores. En la figura (Fig.4.24) se observa, además de distintos parámetros de los engranajes, la línea de engrane de un engranaje con dientes de perfil cicloidal, siendo ésta la formada por los arcos de curvas MON pertenecientes a los círculos generadores de radio r, y limitada por las

circunferencias de cabeza. Duración del engrane o relación de contactoLa duración del engrane es la relación existente entre el largo de la línea de engrane y el largo del arco del paso circunferencial. Para que exista siempre un diente engranando con otro, esta relación debe ser mayor que 1. Por lo general debe ser:

50,125,1 a

ncialcircunferepasodelLongitudengranedelínealadeLongitud =

Se procura hacer esta relación lo más elevada posible para repartir la carga que se transmitirá sobre el mayor número de dientes. Cuanto menor sea el número de dientes de una rueda, se debe tratar de lograr una mayor duración del engrane. Por ejemplo, para piñones de 15 dientes y cremalleras se adopta de 1,64 a 2,12.


114

Línea de engrane de dientes de perfiles a evolvente de círculoLa línea de engrane de perfiles a evolvente de círculo es una línea recta que coincide con la recta de presiones, según lo ya visto precedentemente, y que resulta tangente a las circunferencias de construcción de ambos engranajes, limitada por las circunferencias de cabeza. En la figura (Fig.4.25) se puede observar la línea de engrane formada por el segmento MON para dos engranajes limitado por las circunferencias de cabezas, coincidiendo estos límites, para este caso especial, con los puntos tangentes a la circunferencia de construcción.

Ángulo de presiónEl ángulo α (Fig.4.26) que forma la recta de presiones con la horizontal tangente a las circunferencias primitivas, se denomina ángulo de presión. Los valores de este ángulo están en función del número de dientes y se los ha obtenido de grado en grado, estando tabulados. Algunos de los valores del ángulo de presión, según el número de dientes son los siguientes: Nº de dientes Ángulo Nº de dientes Ángulo

8 25º 20 17º 30’ 10 22º 30’ 25 15º 15 20º 30 14º 30’ La relación que liga los distintos parámetros indicados en la figura (Fig.4.26), es decir a r, R, yα es la siguiente: r1 = R1 cosα

(4.26)

r2 = R2 cosα(4.27) Siendo r1 y r2 los radios de la circunferencias bases, R1 y R2 los radios de las circunferencias primitivas y α el ángulo de presión. Fuerzas sobre el dienteEn el engrane de dos engranajes cilíndricos (Fig.4.27), o engranaje y cremallera (Fig.4.28), si bien están en contacto por lo general dos o tres dientes, se considera que la fuerza ejercida por la rueda motora sobre la conducida se realiza a través de un solo diente. Esta fuerza Fn tiene la

dirección de la recta de presión, formando el ángulo α con la tangente a las circunferencias primitivas y está aplicada en el punto O de contacto de ambos dientes. La misma puede descomponerse por lo general en tres componentes, una fuerza tangencial Ft, que es la fuerza que produce el movimiento rotativo, una fuerza radial Fr y una fuerza axial Fa,soportadas ambas por los órganos de sujeción del engranaje, siendo la última de ellas nula en los engranajes rectos, como es el caso que se analiza.

Del sistema de fuerzas indicados en la figura (Fig.4.27), aplicado en el punto O, Fn es la resultante solo de Ft y Fr para dientes rectos, siendo normal a la tangente que pasa por el punto O de contacto de los dos dientes y tiene además la dirección de la recta de presión. La potencia transmitida tangencialmente al movimiento de giro por la rueda motora a la conducida es N, siendo n la velocidad de rotación en vueltas por minuto (rpm). Para el radio


115

primitivo R, la velocidad tangencial v del punto O de contacto de los dientes sobre el radio primitivo, según la (4.8) y la (4.10) resulta:

v = ω.R = 602 nRπ

(4.28) La potencia N en la dirección tangencial del movimiento es:

N = Ft .v = 602 nRFt π

(4.29) De la (4.29) se obtiene:

nRN

nRN

vNFt 55,9

260 ===π

(4.30) Por otra parte resulta, según la figura (F.4.27):

a) αcost

nF

F =y b) Fr = Ft tg α

(4.31) Por lo tanto, reemplazando en la (4.31) el valor de Ft dado por la (4.30) se obtiene:

a) αcos55,9

nRNFn =

y b)αtg

nRNFr 55,9=

(4.32) El momento de rotación será: M = Ft.R(4.33) Para N en vatios, v en m/s y R en metros resultan Ft, Fr y Fn en Newton y M en Newton-metro, estando sus valores dados por las expresiones anteriores. Para N en CV, R en centímetros y v en m/s resultan Ft, Fr y Fn en kg y M en Kgcm, y las expresiones anteriores se escriben:

a) 100.602 nRv π=

y b) 75.vPN =

(4.34) Reemplazando el valor de v dado por la (4.34a) en la (4.34b) resulta:

71620.. nRPN =

(4.35) Y el momento de rotación:

nNRPM 71620. ==

(4.36)


116

Siendo:

a) nN

RFt

71620=b) αcos

171620nN

RFn =

c) αtg

nN

RFr

71620=

(4.37)

Sistemas normalizados utilizados para la fabricación de engranajes (con perfiles a evolvente de círculo)

Todas las expresiones vistas son para dientes normales y de uso más generalizado. Sin embargo existen, aunque no varíen fundamentalmente el cálculo, otros sistemas desarrollados por diferentes firmas que presentan características especiales, ya sea para darle mayor resistencia al diente o lograr engranes en condiciones especiales. Debido a la gran cantidad de proporciones de dientes, y a los efectos de permitir la intercambiabilidad, se normalizaron los mismos en base a un número limitado de dientes. En los distintos países se han establecido sistemas normales para diferentes tipos de engranes, como por ejemplo la norma de la Asociación Americana de Fabricantes de Engranajes (AGMA) y Asociación Americana de Normas (ASA) en los Estados Unidos, la Comisión de Normalización Alemana (DIN), Comité de Normalización Francés (C.N.M.), especificaciones etc. Estos sistemas establecen las

relaciones entre la altura de la cabeza del diente, la altura del pié del diente, el ángulo de presión, el espesor del diente, etc. A continuación se verán los parámetros característicos de los principales sistemas, los cuales se indican en la figura (Fig.4.29) en forma genérica, dándose para cada caso particular del sistema que se mencione, el valor de cada uno de ellos, según corresponda. Sistema Brown - SharpePor lo general este sistema está asociado al uso del sistema métrico decimal, estableciendo la proporcionalidad del engranaje en función del módulo, estando tabulados hasta el módulo 20 al que le corresponde una altura del diente de 43,32 mm. Sus parámetros principales son: Ángulo de presión: α =15º (4.38) Espesor del diente: e = ½ pc= 1,57 M = V (vacío entre dientes) (4.35) No presenta juego lateral en el engrane por no admitirse el mismo en todos los dientes normalizados. Altura de la cabeza del diente: a = M(4.36) Altura del pié del diente: d = 7/6M = 1,166M (4.37) Esta altura es mayor que la de la cabeza para que exista juego entre esta última y el fondo del engranaje. Altura total del diente: h = a + d =2,166M(4.38) Diámetro primitivo: Dp = z.M(4.39) Diámetro exterior: De = Dp +2a = z.M + 2M = M(z + 2)(4.40)


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Diámetro interior: Di = Dp – 2d = Dp -2×1,1666M = Dp – 2,332M = M(z – 2,332) (4.41) El módulo se lo puede obtener en función del diámetro exterior y del número de dientes de la (4.40) por traspaso de términos:

Módulo: 2+=

zD

M e

(4.42) Juego radial: J = 0,166M(4.43) Además, de la (4.37) y de la (4.43) resulta que es: h – J = 2M(4.44) Sistema Fellows normalizadoEste sistema utiliza el mismo valor del ángulo de presión que el usado para el cálculo normal de engranajes, según las fórmulas vistas anteriormente, pero variando la altura del diente. Ángulo de presión: α = 14º30’ (4.45) Espesor del diente: e = ½ pc= 1,57 M = V (vacío entre dientes) (4.46) Altura de la cabeza del diente: a = M (4.47)Altura del pié del diente: d = 5/4M = 1,25M(4.48) Este sistema también presenta la altura del pié del diente mayor que la altura de la cabeza para que exista juego entre esta última y el fondo del engranaje. Altura total del diente: h = a + d = 2,25M(4.49) Diámetro primitivo: Dp = z.M(4.50) Diámetro exterior: De = Dp +2a = z.M + 2M = M(z + 2)(4.51) Diámetro interior: Di = Dp – 2d = Dp -2×1,25M = z.M – 2,5M = M(z – 2,5) (4.52) El módulo M se lo puede obtener de la (4.51) en función del diámetro exterior y el número de dientes, por traspaso de términos:

Módulo: 2+=

zD

M e

(4.53) Juego radial: J = 0,25M(4.54) Además de la (4.49) y de la (4.54) resulta ser: h – J = 2M(4.55) Sistema Stub de dientes acortados (sin puntas) Este sistema, que fue utilizado por primera vez por la firma Fellows Shaper Co., y se aplica para darle menor altura al diente que uno normal, con lo que se logra su mayor robustez, fortaleciéndolo mayormente en su raíz. Utiliza dos módulos, uno mayor Me y otro menor inmediatamente inferior Mh, en la construcción del engranaje; con el primero, el mayor, se construyen el paso, los diámetros, el espesor y número de dientes y con el segundo, el menor, solo se utiliza para determinar la altura de los dientes, resultando un módulo compuesto.


118

Módulos: Me/Mh(4.56) Ángulo de presión: α = 1,57Me(4.57) Espesor del diente: 1/2 pc = 1,57Me(4.58) Altura de la cabeza del diente: a = Mh(4.59) Altura del pié del diente: d = 1,20Mh(4.60) La altura del pié del diente mayor que la de cabeza permite el juego radial necesario para evitar el contacto del diente con el fondo del otro engranaje. Altura total del diente : h = a + d = 2,20Mh(4.61) Diámetro primitivo: Dp = z.Me(4.62) Diámetro exterior: De = Dp + 2a = z.Me + 2Mh(4.63) Diámetro interior: Di = Dp – 2d = Dp - 2×1,20Mh = zMe – 2,4Mh(4.64) Juego radial: J = 0,20Mh(4.65) Por la (4.61) y la (4.65) se tiene: h – J = 2Mh(4.66) Ruedas dentadas interiormente

Los engranajes internos tienen los dientes tallados con la cabeza orientada hacia el interior de la rueda, como puede observarse en la figura (Fig.4.30). La forma de los dientes es igual a la forma del vacío de un engranaje externo y la altura de la cabeza se mide hacia el centro de la circunferencia primitiva. El vacío del diente es igual al perfil de un diente externo. Los engranajes internos engranan solo con piñones, o sea con engranajes externos de menor diámetro. Debe tenerse cuidado con el largo del diente a los efectos de evitar la interferencia, motivo por el cual el número de dientes del piñón está limitado a una cantidad inferior a la del engranaje interno, debiendo en casos particulares proyectarse los dientes del engranaje con un trazado especial. Para el mismo número de dientes de la rueda y el piñón, la longitud de la línea de engrane es mayor que para un engrane externo, existiendo además un mayor número de dientes en contacto. Con un engrane interno se obtiene el mismo sentido de rotación para ambas ruedas, por lo que se elimina el engranaje loco utilizado en los externos para lograrlo. Debido a


119

que la rueda menor o piñón se encuentra dentro de la mayor de engrane interno, está limitada la relación de transmisión. En la figura (Fig.4.30a) se observa un engrane interno con su piñón y la descripción de las diferentes partes. La holgura de corte es utilizada para que pueda entrar y salir la herramienta y la rebaba en el maquinado del engranaje. En la figura (Fig.4.30b) se indican los distintos parámetros de un engranaje interno, cuyas expresiones analíticas se muestran a continuación: Altura de cabeza del diente: a = M(4.67) Altura de pié del diente: d = 1,166M(4.68) Altura total del diente: h = 2,166M(4.69) Diámetro primitivo: Dp = zM(4.70) Diámetro exterior: De = Dp –2a = zM – 2M = M(z – 2)(4.71) Diámetro interior: Di = Dp – 2d = zM - 2×1,166M = M(z – 2,166) (4.72) Juego radial: J = 0,166M(4.73)

Distancia entre ejes:( )pr

pp zzMdDL −=

−=

22(4.74) Siendo en la (4.74) dp y zp el diámetro primitivo y número de dientes del piñón con dientes exteriores. Los demás elementos de los engranajes interiores se determinan como en los engranajes dentados exteriormente. Cremallera

La cremallera, según se puede observar en la figura (Fig.4.31) es un engranaje de radio infinito, por lo que teóricamente tiene un número infinito de dientes, resultando recto el tramo que engrana con un engranaje común de radio finito, denominado generalmente piñón. Mientras el engranaje cilíndrico gira sobre su eje, la cremallera tiene un movimiento de traslación rectilíneo. Como a medida que crece el número de dientes de un engranaje, el trazado del perfil del diente a evolvente de círculo se vuelve más rectilíneo, en el límite, cuando el radio se hace infinito,

como es el caso de la cremallera, este perfil se hace recto. El ángulo de presión α puede tener una inclinación de 14,5º o 20º, pudiendo los dientes ser del sistema normal o cortos, utilizándose además para el sistema Fellows dos módulos, siendo el primero para obtener el diámetro primitivo y el espesor del diente, y el segundo para el largo del diente. El flanco del diente está inclinado un ángulo α respecto al eje de simetría del mismo. La cremallera y el engranaje cilíndrico que engrana entre sí deben tener el mismo módulo. Para una cremallera normal que engrana con un piñón de z dientes se tiene:


120

Diámetro primitivo: Dp = zM(4.75) Altura de cabeza del diente: a = M(4.76) Altura del pié del diente: d = 1,166M(4.77) Paso circunferencial: pc = πM(4.78)

Espesor del diente: e = 2cp

(4.79) Juego radial: Jr = 0,166M(4.80) Cálculo de la resistencia del diente (dimensionamiento)Es importante dimensionar correctamente el diente a los efectos de lograr la resistencia adecuada del mismo. A los efectos de calcular los esfuerzos a que están sometidos los dientes que están interactuando en un engrane, se deben tener en cuenta diversos factores como son principalmente la cantidad de dientes en contacto simultáneos, la variación de la carga en magnitud y dirección durante el tiempo en que están en contacto, a las cargas de choques de los dientes por imperfecciones constructivas, concentración de esfuerzos en la base del diente, desgaste del diente, la geometría propia del diente, etc. Es decir que el diente experimenta esfuerzos dinámicos y cargas de desgaste. En principio la resistencia del engranaje se calcula suponiendo al diente como si fuera una viga en voladizo, basado en la resistencia a la rotura del material sometido al esfuerzo que genera la potencia transmitida. Al respecto se aplican distintas hipótesis de cálculo, siendo alguna de ellas las siguientes: Primera hipótesis: considera que la fuerza a la cual está sometido el diente es tangencial, que la misma es resistida por un solo diente y está aplicada en la circunferencia exterior sobre la cabeza del diente. En realidad la fuerza Fn que actúa sobre el diente tiene la dirección de la recta de presión, estando la fuerza tangencial Ft dada por la expresión (4.31a): Ft = Fn cosα(4.31a) De la (4.31a) se obtiene:

αcost

nF

F =

(4.81) Por lo general la fuerza que actúa sobre un engranaje es resistida por dos y hasta tres dientes, lo

que compensa la utilización de la fuerza tangencial Ft menor que la Fn. La fuerza Ft, figura (Fig.4.32a) produce un momento flector dado por la expresión:

Mf = Ft.h (4.82) La sección resistente W en la base del diente

(Fig.4.32b) es:

6. 2ebW

′=

(4.83)


121

El momento flector Mf en función de la resistencia unitaria a la flexión σf del material y de la sección resistente W es:

Mf = W. σf(4.84) De las expresiones (4.82), (4.83) y (4.84) se obtiene:

ft

ebhF σ6..

2′=

(4.85) Los valores de e′, b y h se pueden poner en función del paso circunferencial, considerando la expresión (4.6) y que en la práctica es e< e′ se tendrá:

e

pc =2 < e′

(4.86) Por lo que la (4.86) puede escribirse de la siguiente forma: e′ = c.pc(4.87) Si se adopta c = 0,52 se tendrá:

a) e′ = 0,52pc de donde es b) e′2 = 0,272cp

(4.88) Así también el espesor b del diente puede escribirse: b = S.pc(4.89) En la (4.89) se toma S =2 para dientes en bruto; S = 2 a 3 para ruedas de transmisión común; Shasta 5 para transmitir fuerzas considerables. La altura h del diente se toma:

πcp

h 2,2=

(4.90) De la (4.1) se tiene:

a) zRpc

π2=⇒ b) π2

zpR c=

(4.91) Si se sustituyen los valores de e′2, b y h dados por las (4.88b), (4.89) y (4.90) respectivamente en la expresión (4.85) se obtiene:

fccc

t ppSp

F σπ

227,0..612,2. =

(4.92) Multiplicando ambos miembro de la (4.92) por la (4.91b) operando y despejando pc

3 , resulta:

f

t

f

tc zS

RFzS

RFp

σσ1007,973 ≈=

(4.93) Despejando pc de la (4.93) se tiene:


122

33 64,4100

f

t

f

tc zS

RFzS

RFpσσ

==

(4.94)

Como es el módulo, por la (4.4) πcp

M =, la (4.94) puede escribirse:

347,1

f

t

zSRFM

σ=

(4.95) Segunda hipótesis: para este caso también se supone que la relación de contacto es mayor que la unidad y por lo menos dos dientes participan de la transmisión de la fuerza o potencia. En este caso la carga se considera aplicada en la generatriz primitiva. Usando el mismo razonamiento anterior se tiene que el momento aplicado a la distancia d en función de la sección resistente y la resistencia unitaria a la flexión del material del diente es:

ftbedF σ

6

2′=

(4.96) De acuerdo a las proporciones del diente, según la (4.37) se tiene:

πcp

d67=

(4.97) Multiplicando ambos miembros de la (4.96) por la

expresión (4.91b) y reemplazando en la misma los valores de e′, b y d dadas por las expresiones (4.88b), (4.89) y (4.97) respectivamente, y operando, se obtiene:

f

tc zS

RFp

σ85,513 =

(4.98) Extrayendo la raíz cúbica de la (4.98) se obtiene el paso circunferencial en función de la fuerza que actúa tangencialmente sobre el diente sobre la generatriz primitiva, de las dimensiones de este último y de la resistencia del material con que está construido:

33 72,385,51f

t

f

tc zS

RFzS

RFpσσ

==

(4.99) En función del módulo M, la (4.99) resulta:

319,1f

t

zSRFMσ

=

(4.100) Fórmula de LewisLa expresión propuesta por Wilfred Lewis en 1892 supone que un solo par de dientes resiste la fuerza a transmitir, la


123

cual está aplicada en una arista del diente sobre la generatriz exterior del engranaje siguiendo la línea de presión, y dentro del diente se aplica sobre el eje de simetría de éste en el extremo superior del contorno de la viga en voladizo de igual resistencia de forma parabólica, cuya base tiene el mismo ancho que la base del diente, que es la que resiste la fuerza aplicada. Introduce un factor de forma, denominado y o Y que tiene en cuenta la geometría y proporciones del diente. Se considera, según muestra la figura (Fig.4.34), la fuerza Fn aplicada en el extremo superior Bde la viga de igual resistencia de forma parabólica, siendo esta última tangente en V y E a la base del diente. La fuerza Fn se puede descomponer en una fuerza radial Fr de compresión, que para este caso no es tenida en cuenta y en una fuerza tangencial Ft aplicada sobre el diente a la distancia h, designándose en este caso con dicha letra a la altura de la viga de igual resistencia; la fuerza Ft produce un momento flector Mf, máximo en los puntos V o E, el cual estará dado por la expresión:

Mf = Ft h = Wσf(4.101) Teniendo en cuenta la (4.83) que nos da la sección resistente W, la (4.101) se escribe:

ft

behF σ6

2′=

(4.102) Si se multiplica m. a m. La (4.102) por el paso circunferencial pc y se despeja Ft se obtiene:

cf

ct pb

hpeF σ

2

61 ′

=

(4.103) El factor de forma y de Lewis es:

cphey

6

2′=

(4.104) Por lo tanto la (4.103) quedará: Ft = ybσf pc(4.105) Para obtener en función del módulo M se dividen ambos miembros de la (4.105) por π y se obtiene el factor de forma Y:

πσ

πcft pybF

=

(4.106) Recordando que es, según la (4.4)

πcp

M =

(4.4) Y haciendo: Y = yπ(4.107) Reemplazando en la (4.106) estos valores, según la (4.4) y la (4.107) se obtiene:

Ft = Y bσf M(4.108)


124

Existen tablas, como la que se muestra a continuación, que dan el valor del factor de forma o de Lewis “y” para distintos valores del ángulo de presión y del tipo de diente.

Nº de dientes

14,5º Altura normal

20º Altura normal

20º Dientecorto

Nº de dientes


20º Altura normal

20º Dientecorto

Nº de dientes


20º Altura normal

20º Dientecorto

10 11 12 13 14

0,056 0,061 0,067 0,071 0,075

0,064 0,072 0,078 0,083 0,088

0,083 0,092 0,099 0,103 0,108

19 20 21 23 25

0,088 0,090 0,092 0,094 0,097

0,100 0,102 0,104 0,106 0,108

0,123 0,125 0,127 0,130 0,133

43 50 60 75 100

0,108 0,110 0,113 0,115 0,117

0,126 0,130 0,134 0,138 0,142

0,147 0,151 0,154 0,158 0,161

Nº de dientes


20º Altura normal

20º Dientecorto

Nº de dientes


20º Altura normal

20º Dientecorto

Nº de dientes


20º Altura normal

20º Dientecorto

15 16 17 18

0,078 0,081 0,084 0,086

0,092 0,094 0,096 0,098

0,111 0,115 0,117 0,120

27 30 34 38

0,099 0,101 0,104 0,106

0,111 0,114 0,118 0,122

0,136 0,139 0,142 0,145

150 300 Crem.

0,119 0,122 0,124

0,146 0,150 0,154

0,165 0,170 0,175

Fórmula de Lewis-BarthPor las imperfecciones constructivas y de montajes de los engranajes, y debido a las fuerzas inerciales de las masas que se encuentran en movimiento, existen fuerzas dinámicas que actúan sobre los dientes, y si bien las mismas, a medida que aumenta la calidad constructiva y de montaje de los engranajes van perdiendo importancia, siempre tienen influencia. Barth considera estos esfuerzos dinámicos debido los impactos por aceleraciones bruscas, deformaciones y separaciones de los engranajes y afecta la fórmula de Lewis por un factor que varía en función de la velocidad, resultando Fd = Ft.f(V), por lo que la fuerza actuante estará dada, según la velocidad de trabajo y la calidad de ejecución, por las siguientes expresiones: - Para tallado comercial y V≤ 610 m/min:

td FVF183

183 +=

(4.109) - Para tallado cuidadoso y 305m/min < V < 1220 m/min:

td FVF366

366 +=

(4.110) - Para tallado de precisión y V < 1220 m/min:

td FVF43

43 +=

(4.111) Fórmula de BuckinghamBuckingham también consideró las cargas dinámicas a las que estaban expuestos los engranajes, realizando estudios sobre la influencia de los distintos factores a los que estaban expuestos, según el tipo de servicio, error de tallado, deformación de los dientes bajo carga, las que originan fuerzas inerciales y de impacto sobre los dientes con efectos similares a los de una


125

carga variable superpuesta a una carga constante. Para tener en cuenta estos factores, adiciona a la fuerza constante Ft resultante de la potencia transmitida por el engranaje, un término adicional Fi, por lo que se obtiene la expresión de la fuerza máxima total instantánea Fd que se ejerce sobre el diente:

( )t

ttitd FCbV

FCbVFFFF++

++=+=

113,0113,0

(4.112) En la (4.112), Fd es la fuerza total aplicada sobre el diente, Ft es la fuerza tangencial necesaria para transmitir la potencia, Fi es la fuerza adicional variable que tiene en cuenta las fuerzas dinámicas y C es un coeficiente dinámico que se obtiene en función del módulo, del error permisible de tallado y de la forma del diente y su material de construcción, el cual se encuentra tabulado. Existen tablas que dan los máximos errores permitidos en el tallado de engranajes en función de sus pasos diametrales o módulo y según la clase de tallado del mismo de acuerdo a la velocidad de trabajo, las que se clasifican como: - Clase 1, engranajes industriales tallados con fresas de formas.

- Clase 2, engranajes tallados con gran cuidado. - Clase 3, engranajes tallados y rectificados muy exactamente. Para conocer el error permitido en función de la velocidad tangencial de la circunferencia primitiva se han construido gráficos, uno de los cuales puede observarse en la figura (Fig.4.35). Conociendo el error de tallado del diente, el cual se obtiene de tablas, se obtiene el valor de C, también de tablas, como las que se transcriben a continuación:

Máximo error permitido, en cm, en engranajes Paso diametral Módulo

Mm Clase 1

industrial Clase 2 exacto

Clase 3 preciso

12345

6 y más finos

25,2 12,7 8,5 6,35 5,08 4,25

0,012192 0,010160 0,008128 0,006604 0,005588 0,005080

0,006096 0,005080 0,004064 0,003302 0,002794 0,002540

0,003048 0,002540 0,002032 0,001778 0,001524 0,001270

Valores del factor dinámico C (kg/cm2)Errores en los engranjes (cm) Materiales de los

engranjes Forma

del diente

0,00127 0,00254 0,00508 0,00762 0,01016 0,01270

Fundición de hierro y fundición de hierro.......... Fundición de hierro y acero................................. Acero y acero........ Fundición de hierro y

141/2º

141/2º

141/2º

71,4

98,2

142,9

142,9

196,5

285,8

285,8

392,9 571,5

428,6

589,4 857,3

571,5

785,8 1143,0

714,4

982,0 1428,8


126

fundición de hierro.........

20º, altura total

74,1 148,2 296,5 444,7 592,9

741,2

Valores del factor dinámico C (kg/cm2) (Continuación) Errores en los engranjes (cm) Materiales de los

engranjes Forma

del diente

0,00127 0,00254 0,00508 0,00762 0,01016 0,0127

Acero y acero............... Fundición de hierro y fundición de hierro.......... Fundición de hierro y acero.................................

Acero y acero...................

20º, altura total 20º corto

20º corto 20º corto

148,2

76,8

105,4

153,6

296,5

153,6

210,7

307,2

592,9

307,2

421,5

614,4

889,4

460,8

632,2

921,6

1185,9

614,4

843,0

1228,8

1482,4

768,0

1053,7

1536,0

En función del tiempo de trabajo, la fuerza tangencial Ft será afectada de un factor de servicio, el cual, de acuerdo a la experiencia se encuentra en tablas como la siguiente:

Factores de servicio

Tipo de servicio Tipo de carga 8 a 10 horas por día 24 horas por día Intermitente 3 hs por día

Estable.................. Choque pequeño... Choque mediano... Choque severo......

1,00 0,80 0,65 0,55

0,80 0,65 0,55 0,50

1,25 1,00 0,80 0,65

Concentración de tensionesDebido a que, en el entalle de la unión de la raíz del diente con la llanta, existe concentración de

tensiones, que dependen del material del engranaje, del espesor del diente en la raíz, de la posición de la fuerza sobre el diente, del radio de entalle o acordamiento y del ángulo de presión, hace que la tensión real a la cual está sometido el material sea mayor que la que resulta de considerar las fuerzas estáticas y dinámicas. Si se considera que la fuerza Fn que soporta el diente se descompone, según se indica en la figura (Fig.4.36), en las fuerzas Ft y Fr tangencial y radial respectivamente, aparecerán en los puntos V y E tensiones debido tanto al momento flector que produce la fuerza Ft como a la compresión que produce la fuerza Fr, dependiendo el valor de estas tensiones del momento de inercia I de la sección e’b en la raíz del diente, de la compresión Fr/e’b y del


127

momento flector Mf, las cuales tendrán una forma similar a las que se muestran en la figura (Fig.4.37), correspondiendo

IM f

f =σ

(4.113) para la tensión unitaria a la flexión debida al momento flector Ft.h, y

beFr

c ′=σ

(4.114) la tensión unitaria a la compresión debida a la fuerza Fr.Para contrarrestar los efectos de éstas tensiones, se incrementa la fuerza Fd dada por la (4.112), con un coeficiente θ, de tal forma que el esfuerzo unitario de trabajo a la flexión σd resulte menor que el esfuerzo unitario a la fatiga alternativa σa:

ac

dd pyb

Fσ

θσ ≤=

(4.115) El coeficiente θ de concentración de tensiones está dado por las siguientes expresiones:

4,02,0

.22,0

′

′

+=he

reθ

para α = 14º30’ (4.116)

45,015,0

.18,0

′

′

+=he

reθ

para α = 20º (4.117) Cálculo por desgaste de un engranajeEl desgaste en un engranaje depende del material del mismo, de la forma del perfil del diente, del acabado superficial, de la lubricación y de la mayor o menor fuerza de roce entre las superficies de los dientes. Se producen cavidades por el escoriado del material por falla por fatiga y la acumulación de material debido al material blando arrastrado. Por lo tanto el esfuerzo límite por desgaste está determinado por el límite de fatiga del material, por la forma del perfil del diente y por la dureza relativa de las superficies en contacto. Cuando dos ruedas que engranan son de materiales diferentes, el más duro de ellos producirá un endurecimiento mecánico en el más blando, incrementando su límite de fatiga, que para los aceros parece aumentar en proporción directa con la dureza Brinell. El piñón debe ser siempre más duro, para permitir el endurecimiento mecánico de la rueda, para preservar el perfil de evolvente, para permitir el mayor desgaste abrasivo en el piñón, y para disminuir la posibilidad de engranamiento. Buckingham expresa el esfuerzo límite al desgaste por la ecuación:

+

+=

rprp

rfspw EEzz

zsenbdF 112

4,1ϕσ

(4.118)

superficial, zp número de dientes del piñón, zr número de dientes de la rueda, Ep módulo de elasticidad del material del piñón y Er módulo de elasticidad del material de la rueda.


128

En la tabla siguiente se dan valores de fatiga para algunos materiales de engranajes.

Límites de fatiga para materiales de engranajes Materiales Número

de dureza Brinell

Límite de fatiga

alternativa σfa (kg/cm2)

Límite de fatiga

superficial σfs (kg/cm2)

Fundición gris de hierro…………………….................. Semiacero........................................................................ Bronce fosforoso.............................................................

160 200 100

840 1260 1680

6300 6300 6300

Acero................................................................................

Para acero: ..................................................................... σfa = 17,5 × Número Brinell ......................................... Para número Brinell 400 ............................................... Y para mayores usar:....................................................... σfa =7000 ........................................................................

σfs = 28 × Número Brinell...............................................

700 ............................................................

150 200 240

250 280 300 320 350 360

400

450 500 550 600

2520 3500 4200

4340 4900 5250 5600 5950 6300

7000

3500 4900 6020

6300 7140 7700 8260 9100 9380

10500

11900 13300 14700 16100

Para evitar el pronto desgaste del material del engranaje, sin disminuir su elasticidad y tenacidad, a los efectos de que no presenten fragilidad cuando trabajan y no sufran desgastes prematuros, se realiza un tratamiento de endurecimiento superficial de los mismos, ya sea mediante el cementado u otro método, logrando una profundidad de penetración adecuado con lo que se obtiene una superficie de elevada resistencia al desgaste sin variar las otras propiedades del

material. En la figura (Fig.4.38) se observa la profundidad pp de penetración del cementado. Engranajes helicoidales. Características generalesLas ruedas cilíndricas con dientes helicoidales, las que se muestran en la figura (Fig.4.39a), tienen los dientes formando una hélice inclinada un ánguloα más o menos pronunciado, alrededor del eje de giro, siendo el perfil de los mismos originados por una curva evolvente helicoidal. En el engrane helicoidal, el contacto de los dientes es gradual, efectuándose en primer lugar en un punto, haciéndolo con los otros a medida que gira, hasta cubrir una diagonal sobre todo el ancho del diente. Este hecho reduce el ruido y las cargas dinámicas, lo que representa una mejora en el trabajo de engrane, ya que de este modo la presión transmitida resulta aplicada de manera continua y progresiva, permitiendo la transmisión de mayores potencias puesto que aumentan la fuerza y la velocidad transmitidas. Además es posible obtener piñones de menor número de dientes que en las ruedas de dientes rectos, lográndose una relación de transmisión más elevada.


129

Tienen el inconveniente de que la fuerza tangencial que transmiten se descompone en dos direcciones, una normal y otra axial, por lo tanto se produce mayores pérdidas por rozamiento en los cojinetes, sufriendo un desgaste más rápido en el flanco de los dientes, pues el contacto y resbalamiento es más prolongado. Este inconveniente se subsana adoptando doble fila de dientes y aún tres filas con hélices inclinadas el mismo ángulo, pero dispuestas en sentido contrario, constituyendo los engranajes doble helicoidal o chevron,según se mostrara en la figura (Fig.4.8) y se muestran

nuevamente en las figuras (Fig.4.39b) y (Fig.4.39c) respectivamente . De esta manera los empujes axiales se anulan entre sí. El valor del ángulo α de inclinación de los dientes respecto del plano frontal de las ruedas toma valores desde 10º variando el mismo según el uso del engranaje. Para ruedas que trabajan a gran velocidad es α = 45º. Los engranajes helicoidales se utilizan para altas velocidades, considerándose como tales cuando la velocidad tangencial supera los 25 m/s o el piñón gira a más de 3600 rpm, para la transmisión de grandes potencias. Además se utilizan estos tipos de engranajes cuando se necesita un funcionamiento silencioso.

ClasificaciónComo ya se indicara en las figuras (Fig.4.7), (Fig.4.8), (Fig.4.12) y (Fig.4.13), existen tres clases de engranajes cilíndricos helicoidales, los cuales se detallan nuevamente en la figura (Fig.4.40), engranajes a ejes paralelos (Fig.4.40a), a ejes oblicuos (Fig.4.40b) y a ejes perpendiculares (Fig.4.40c). Los dos últimos se denominan a ejes cruzados, y solo se utilizan

para la transmisión de pequeños esfuerzos.

Engranajes cilíndricos helicoidales a ejes paralelos. Empuje axialEstos son los engranajes helicoidales más comunes. En la figura (Fig.4.41) se observa la fuerza F que actúa sobre el plano de la circunferencia primitiva en el centro de la cara


130

del diente, siendo su línea de acción la línea de presión normal al diente inclinada el ángulo normal φn. La proyección de F sobre el plano de rotación ABB’A’ da el ángulo de presión φtransversal. La proyección de F sobre el plano ACC’A’ tangente al cilindro primitivo está inclinada el ángulo α y es la componente Fn de dicha fuerza sobre el mismo. La relación que existe entre φn y φ se la puede obtener del análisis de la figura de la siguiente forma:

ACAB

ACCDtg n ′

=′

=φ(4.119)

Pero es: AB = tgφ.AA’ (4.120) Y

αcosAAAC

′=′

(4.121) Reemplazando en la (4.119) los valores de AB y CA’ dadas por las (4.120) y (4.121) respectivamente se obtiene: tgφn = tgφ cosα(4.122) La fuerza F, en el funcionamiento produce una fuerza de rozamiento sobre el diente, cuyo valor está dado por la expresión: FRoz = Fµ1(4.123) Las componentes de la fuerza F son las fuerzas Ft tangencial, Fr radial y Fa axial. Del análisis de la figura (Fig.4.41), los valores de estas tres últimas fuerzas en función de la fuerza Fresultan:

Ft = Fcosφn cosα

(4.124) Fr = Fsenφn(4.125) Fa = Fcosφn senα(4.126) En los engranajes helicoidales es importante conocer el valor del empuje axial para calcular o seleccionar el cojinete axial. Como lo que generalmente se conoce es el valor de la fuerza tangencial Ft a transmitir deducida de la potencia necesaria demandada, el empuje axial se obtiene a partir del valor de la fuerza periférica tangencial Ft, de las dimensiones del engranaje y de la velocidad angular. En la figura (Fig.4.42) se observan las fuerzas que actúan sobre el diente, en el plano tangencial ACC’A’ tangente al cilindro primitivo y sobre el plano de rotación de la circunferencia primitiva siendo Fn la fuerza normal, Fa la fuerza axial que es resistida por los órganos de

sujeción del engranaje, y Ft la fuerza tangencial que es la que le imprime el movimiento de rotación, siendo sus expresiones en Newton (N) en función de la potencia, según lo visto, para Nen vatios, R en m y n en rpm:

N = Ft .v = 602 nRFt π

(4.127)


131


nRN

nRN

vNFt 55,9

260 ===π

(4.128) Resultando, de la figura (Fig.4.42):

αα cos155,9

cos RnNF

F tn ==

(4.129) Y además:

ααα

αα tg

RnNtgFsen

FsenFF t

tna 55,9

cos====

(4.130) O también, en kg, para N en CV, R en cm y n en rpm:

75.vF

N t=

(4.131) Por ser:

602 Rnv π=

(4.132) La (4.131) resulta:

71620.. nRF

N t=

(4.133) Resultando la fuerza tangencial Ft:

RnNFt

71620=

(4.134) Y las fuerzas normal Fn y axial Fa:

αcos171620

RnNFn =

(4.135)

αtgRn

NFa71620=

(4.136) Pasos de la hélice y del dienteSi se desarrolla la superficie cilíndrica primitiva de una rueda dentada helicoidal se tiene, según se indica en la figura (Fig.4.43): a) Paso circular de la hélice: es el desarrollo normal de la circunferencia primitiva, por lo tanto si el diámetro primitivo es D el paso circunferencial es.

Dpc π=′(4.137) b) Paso axial de la hélice: es la altura que alcanza la hélice paralelamente al eje de la rueda:


132

ααβ

tgp

ctgptgpp ccca

′=′=′=′

(4.138) c) Paso normal de la hélice: es la altura del triángulo formado por el desarrollo de la hélice y de la circunferencia primitiva, normal a la hélice:

αcoscn pp ′=′(4.139) d) Paso circunferencial del diente: si se considera una rueda formada por zdientes y diámetro primitivo D, el paso circunferencial pc del diente estará medido, según se indica en la figura (Fig.4.44), sobre el diámetro primitivo y valdrá:

zDpc

π=

(4.140)

e) Paso normal del diente: si se desarrolla la superficie cilíndrica primitiva y sobre ella se trazan tantas divisiones como número de dientes tiene la rueda, cada generatriz helicoidal correspondiente al eje de un diente, estará separada de la anterior una distancia pn denominada paso normal del diente, estando dado en función del paso circunferencial pc, según se puede observar en la figura (Fig.4.44), por la expresión:

pn = pc cos α =απ cos

zD

(4.141) f) Paso axial del diente: la distancia entre dos dientes consecutivos, tomada sobre el eje de la rueda constituye el paso axial pa del diente, el cual en función del paso circunferencial pc, es igual, de acuerdo a la figura (Fig.4.44) a:

pa = pc ctg α = ααπ

senzD cos

(4.142)

MódulosEn las ruedas helicoidales, al igual que en las de dientes rectos, es conveniente operar con el módulo. Para este tipo de engranajes existen dos módulos, el correspondiente al paso circunferencial pc y al paso normal pn, designados de igual forma que éstos:


133

a) Módulo circunferencial

zD

zDp

M cc ===

ππ

π(4.143) b) Módulo normal

αααππ

coscoscoszDM

ppM c

cnn ====

(4.144) Dimensiones del diente y de la ruedaPara dimensionar los dientes de un engranaje helicoidal se debe conocer la resistencia que el mismo debe tener para soportar las solicitaciones a las cuales estará expuesto. El cálculo de esta resistencia se hace empleando las fórmulas para engranajes cilíndricos de dientes rectos ya vistas, pero teniendo en cuenta que el número de dientes que se debe tomar no es el del número real que tendrá el engranaje helicoidal, si no el número virtual o formativo zv, el cual se define como el número de dientes que tendría un cilindro que tuviera un radio primitivo igual al radio de curvatura en un punto localizado en el extremo del eje menor de la elipse que se obtiene al tomar una sección del engranaje en el plano normal, que del análisis de la figura (Fig.4.45) resulta: El diámetro primitivo del engranaje helicoidal es D. Si se considera un plano A-A normal al eje del diente que corta a la rueda, la sección que se obtiene es una elipse, cuyo diámetro menor es D según muestra la figura (Fig.4.45) en el corte A-A. De la geometría analítica se conoce que el radio de curvatura r en el extremo del semieje menor de la elipse, indicado por el punto B, vale:

α2cos2Dr =

(4.145) La forma del diente situado en B será la de un diente engendrado por una superficie de un cilindro primitivo de radio r y el número de dientes de esta superficie se define como el número virtual o formativo de dientes zv, resultando:


134

αππ

2cos2

nnv p

Dp

rz ==

(4.146) De la (4.133) se tiene que es:

απ

cosz

pD

n

=

(4.147) Reemplazando este valor dado por la (4.147) en la (4.146) se tiene finalmente:

α3coszzv =

(4.148) Para el cálculo la resistencia mecánica de los dientes de un engranaje helicoidal, se utiliza el factor y para el número virtual zv de dientes. La altura de los dientes es igual a la de los engranajes cilíndricos de dientes rectos. Las dimensiones del diente, como se acaba de ver, se realizan de acuerdo con el módulo normal Mn, es decir perpendicular a su dirección. Ancho del diente: es igual a la diagonal A’B’ que cruza el ancho b del

engranaje según muestra la figura (Fig.4.46), formando el ángulo α con el eje de giro de la rueda, estando ambos relacionados por la expresión:

αα coscosbCAladoBA =

′′=′′

(4.149) Diámetro primitivo D: en la figura (Fig.4.47) se indica el diámetro primitivo D, que de acuerdo a la (4.143) estará dado por la expresión:

απ cosn

cc M

zzMzp

D ===

(150) Diámetro exterior De: es igual al diámetro primitivo más dos veces la altura de la cabeza del diente. Si la altura de la cabeza del diente se toma igual a Mn, será:

nnn

ncne MzMM

zMzMMDD

+=+=+=+= 2

cos2

cos22

αα(4.151) De la (4.151) se puede deducir que el módulo normal Mn vale:

2cos

+=

αzD

M en

(4.152)


135

Ángulo α de la hélice sobre el cilindro primitivo que da la inclinación del diente: el valor de este ángulo se puede obtener a partir de las expresiones ya vistas, como por ejemplo la (4.141) y la (4.144), de donde resulta:

c

n

c

n

MM

pp

==αcos

(4.153) De la (4.153) se obtiene:

c

n

c

n

MM

arcpp

arc coscos ==α

(4.154) Para el ángulo α se toman por lo general los valores 10º, 15º, 20º, 25º, 26º34’, 30º, 40º, 45º, 50º y 63º26’. Par de ruedas cilíndricas helicoidales de ejes paralelosLa figura (Fig.4.48) muestra dos ruedas cilíndricas helicoidales de ejes paralelos, siendo sus diámetros primitivos d y D para el engranaje menor y mayor respectivamente, engranando entre si ambos engranajes, presentando sus dientes igual ángulo α de inclinación pero en sentido

inverso. El paso circunferencial del diente de la rueda menor es:

dcd z

dp π=

(4.155) y por lo tanto su módulo:

dcd z

dM =

(4.156) Para la rueda mayor el paso circunferencial del diente es:

DcD z

Dp π=

(4.157) y su módulo:

DcD z

DM =

(4.158) Ambos pasos circunferenciales, y por lo tanto los módulos, son iguales, es decir:

a) pcd = pcD = pc b) Mcd = McD = Mc(4.159)

Para ruedas con igual número de dientes (zd = zD), el paso de la hélice en el cilindro primitivo es igual para ambos engranajes, en tanto que para ruedas con distintos números de dientes (zd ≠ zD)los pasos de las hélices son distintos.


136

Distancia entre centros de ejes: la distancia L entre los centros de los ejes paralelos de dos ruedas helicoidales engranadas entre si, según muestra la figura (Fig.4.48) está dado por la siguiente expresión:

2DdL +=

= r+R(4.160) De las expresiones (4.140), (4.143) y (4.159) se obtiene, tanto para la rueda menor como la mayor:

a) πc

dp

zd == zd Mc y b) π

cD

pzD =

= zD Mc(4.161) Y de las expresiones (4.141) y (4.144) se obtiene:

a) αcosn

cp

p =y b) αcos

nc

MM =

(4.162) Por lo tanto la (4.160) puede escribirse, reemplazando en ella los valores de d y D dados por la (4.161) y teniendo en cuenta además las (4.162):

( ) ( ) ( ) ( )Ddn

Ddc

Ddn

Ddc zz

Mzz

Mzz

pzz

pL +=+=+=+=

ααππ cos22cos22(4.163) La relación de transmisión se obtiene de igual forma que para los engranajes rectos. Engranajes cónicos con dientes rectos y ejes a 90ºLos engranajes cónicos, los cuales se han mostrado en las figuras (4.9) y (4.10), presentan la particularidad de que la prolongación de sus ejes se cortan entre sí, pudiendo hacerlo, según ya

se mostrara en la figura (Fig.4.11), con un ángulo α mayor, menor o igual a 90º. Estos engranajes reemplazan a los conos de fricción que transmiten el movimiento de rotación alrededor de sus ejes a otros conos por fricción, los cuales se muestran en la figura (Fig.4.49), constituyendo estos últimos los conos primitivos de los engranajes cónicos, sobre los cuales se realiza el contacto entre dos engranajes cónicos que engranan entre sí. Los dientes de estos engranajes pueden ser rectos o helicoidales, en este último caso en arco o en espiral. Se analizarán únicamente lo engranajes cónicos de dientes rectos, debiendo el estudiante recurrir a bibliografía

específica en caso de que sea de interés su conocimiento. Para lo engranajes cónicos de dientes rectos, sus dientes se disponen siguiendo las generatrices de los conos primitivos. La parte del diente que se halla fuera del cono primitivo se denomina cabeza y la que está en su interior raíz del mismo. Al engranaje de menor diámetro también se lo denomina piñón. En la figura (Fig.4.50) se muestran dos engranajes cónicos que están engranando entre sí, indicándose sus distintas partes, las cuales se describen a continuación. Las circunferencias primitivas son las circunferencias mayores de los conos


137

primitivos, siendo sus diámetros primitivos DR y DP . El módulo y el paso circunferencial se determinan por el número de dientes en relación con el diámetro primitivo. Las generatrices de los conos primitivos y las de cabezas y raíces de los dientes convergen al mismo punto O. Los dientes disminuyen progresivamente desde su parte exterior, lugar donde tienen su origen todas las medidas referidas al diente y a los diámetros principales, hacia el centro donde convergen los ejes y las líneas de los flancos del diente prolongadas. Además de las denominaciones conocidas de los parámetros de los engranajes rectos y que también se emplean en los cónicos, éstos debido a la conicidad que tienen y a la serie de ángulos que aparecen por este motivo, presentan otros con las siguientes denominaciones: ángulo primitivo γR de la rueda mayor; ángulo primitivo γP de la rueda menor; ángulo exterior βR o detorno de la rueda mayor; ángulo exterior βP o de torno de la rueda menor; ángulo de fondo φR de la rueda mayor; ángulo de fondo φP de la rueda menor; ángulo δ de cabeza del diente; ángulo εde raíz del diente; longitud b del diente; longitud L de la generatriz tomada desde el cono primitivo; distancia HR y HP desde la circunferencia mayor de cabeza al punto de convergencia de los ejes de la rueda mayor y menor respectivamente, utilizada para comprobación; ángulo complementario ψR de la rueda mayor; ángulo complementario ψP de la rueda menor. Para obtener los distintos parámetros de los engranajes cónicos se utilizan similares expresiones a las ya vistas para los engranajes cilíndricos, teniéndose en cuenta la influencia de los ángulos que determinan las dimensiones del diente. Así para un módulo M se tendrá: - Paso circunferencial p = Mπ(4.164) - Altura del diente h = 2,16M(4.165) - Altura de cabeza a = M(4.166) - Altura de raíz d = 1,16M(4.167) - Espesor del diente e = 1,57M(4.168) La longitud L de la generatriz del cono primitivo es la misma tanto para la rueda mayor como para la menor (piñón) ya que sus diámetros primitivos, sea cualquiera la relación en que estén al engranar, se encuentran a la misma distancia del centro donde convergen las prolongaciones de los ejes y los flancos de los dientes. Se pueden escribir las distintas expresiones, tanto para la rueda como para el piñón, que relacionan los parámetros de los engranajes unos en función de los otros, como son módulo, diámetros primitivos, números de dientes, etc. Engranaje mayor

- Diámetro exterior: DER = (2 sen γP + zR )M = DR + 2M cos γR(4.169)

- Módulo R

R

zDM =

(4.170) O también, teniendo en cuenta la (4.169):

( ) RP

ER

zsenDM

+=

γ2(4.171)

- Ángulo primitivo: tg γR = P

R

P

R

zz

DD

=

(4.172)


138

También por diferencia se obtiene: γR = 90º- γP(4.173)

- Ángulo de cabeza del diente: R

R

zsen

LMtg γ

δ2

==

(4.174) - Ángulo exterior: βR = γR + δ(4.175) - Ángulo de fondo: φR = γR + ε(4.176)

- Ángulo de raíz: δε tg

LMtg 16,116,1 ==

(4.177) - Ángulo complementario: ψR = 90º - γR(4.178) - Longitud de la generatriz del cono primitivo:

M

senz

senDL

R

R

R

R

γγ 22==

(4.179) - Distancia de la circunferencia primitiva al vértice del cono primitivo:

R

PR senMDH γ−=

2(4.180) Engranaje menor o piñón

- Diámetro exterior: DEP = (2 sen γR + zP )M = DP + 2M cos γP(4.181)

- Módulo P

P

zDM =

(4.182) O también, teniendo en cuenta la (4.181):

( ) PR

EP

zsenDM

+=

γ2(4.182)

- Ángulo primitivo: tg γP = R

P

R

P

zz

DD

=

(4.183) También por diferencia se obtiene: γP = 90º- γR(4.184) - Ángulo exterior: βP = γP + δ(4.185) - Ángulo de fondo: φP = γP - ε(4.186) - Ángulo complementario: ψP = 90º - γP(4.187) - Longitud de la generatriz del cono primitivo:

M

senz

senDL

P

P

P

P

γγ 22==

(4.188)


139

- Distancia de la circunferencia primitiva al vértice del cono primitivo:

P

RP senMDH γ−=

2(4.189) La longitud b del diente debe ser igual o menor que 1/3L o de 6M a 10M.

Dimensiones del dienteEn todos los cálculos de resistencia de los engranajes cónicos se utiliza el número virtual de dientes zv, siendo éste el número de dientes que tendría un engranaje cilíndrico de dientes rectos cuyo radio primitivo es igual al radio r del cono complementario, el cual se indica en la figura (Fig.4.50). La relación que liga al número real de dientes z del engranaje cónico con el número virtual de dientes zv del engranaje cilíndrico está dada por la expresión:

γcoszzv =

(4.190) Siendo en la (4.190) γ el ángulo del cono primitivo. Para dimensionar el diente se debe conocer la resistencia que debe presentar cuando es solicitado por la fuerza actuante Ft sobre él. Si bien se puede utilizar la expresión (4.105) dada por Lewis, debido a que el tamaño del diente al igual que la fuerza que actúa sobre el flanco varían a lo largo del diente, se la debe modificar para engranajes cónicos. La figura (Fig.4.51) representa la parte superior del diente y un elemento de longitud diferencial dl del mismo a la distancia l del vértice O del cono primitivo, sobre el cual se considera que actúa la fuerza dF de intensidad constante, siendo pl el paso circunferencial del engranaje a esta distancia. La expresión de Lewis para este elemento del diente de longitud dl sobre el cual actúa la fuerza dF y cuyo paso circunferencial es pl, para una tensión σt de trabajo, se puede escribir:

dF = σt pl y dl(4.191) El momento torsor respecto del eje del engranaje es: dF.r = σt pl y dl r(4.192) El espesor del diente, el paso circunferencial y el radio r en cualquier punto, son proporcionales a la distancia desde el vértice del cono primitivo, es

decir:

LlRr

LR

lr =⇒=

(4.193) y

Llp

pLp

lp c

lcl =⇒=

(4.194) Reemplazando en la (4.192) la expresión de r y de pl dadas por la (4.193) y (4.194) respectivamente se obtiene:


140

dlLlypRdly

Llp

LlRdF ct

ct

2

== σσ

(4.195) La expresión (4.195) se puede integrar para r variando de 0 a R y l variando entre L y L – b,obteniéndose:

+−=== ∫ − 2

22

2 31.

Lb

LbybpRdll

LypR

RFM ct

L

bLct

tt σσ

(4.196) Despejando de la (4.196) la fuerza Ft se obtiene:

+−= 2

2

31

Lb

LbypbF crt σ

(4.197) Como el valor de b como máximo alcanzan la longitud de 1/3L, el término b2/3L2 se hace igual a 1/27 que se puede despreciar sin introducir un error apreciable, por lo que la (4.197) se puede escribir:

−=

−=

LbLbY

LbLypbF tctt σσ

(4.198) Siendo pc el paso circunferencial en la extremidad mayor, M el módulo en a extremidad mayor, y e Y factor de forma correspondiente al número virtual zv de dientes, según se utilice para el cálculo pc o M respectivamente y Ft la fuerza tangencial equivalente en la extremidad mayor La generatriz L del cono primitivo, siendo RR el radio primitivo de la rueda mayor y RP el radio primitivo de la rueda menor (piñón), vale:

22PR RRL +=

(4.199) La tensión de trabajo σt se utiliza teniendo en cuenta la tensión admisible σadm afectada de los factores de velocidad ϕv y de servicio ϕs:

σt = ϕv. ϕs σadm(4.200) El factor de velocidad ϕv es el dado por los factores que afectan las fuerzas del segundo miembro de las expresiones ya vistas (4.109), (4.110) y (4.111) y el factor de servicio ϕs se lo obtiene de la tabla también ya vista en engranajes cilíndricos de dientes rectos. La velocidad que se utiliza para los cálculos y dimensionamiento es la velocidad de la extremidad mayor y los factores de forma y e Y se los obtiene de tablas de bibliografía especializada. Las cargas dinámicas y de desgaste se las obtienen con las mismas expresiones usadas para los engranajes cilíndricos pero tomando el número virtual zv de dientes y la velocidad de la circunferencia primitiva de la extremidad mayor, y la fuerza Ft como el esfuerzo tangencial equivalente a esta velocidad. Tornillo sinfin y rueda helicoidalCaracterísticas: Este mecanismo sirve para transmitir el movimiento entre ejes que forman en el espacio un ángulo cualquiera. El caso más común es cuando los ejes se cruzan en ángulo recto. Es utilizado cuando se exige una gran reducción de velocidad en un espacio limitado y una marcha silenciosa. En la figura (Fig.4.14) se han mostrado los distintos casos que se pueden presentar, según sea el tipo del perfil de los dientes, tanto de la rueda como el del tornillo sinfín, los que podían ser: a) tornillo sinfín y rueda helicoidal ambos de perfil cilíndrico, b) tornillo sinfín de perfil cilíndrico y rueda helicoidal perfil globoide (axoide), siendo éste el de uso más generalizado y c) tornillo sinfín y rueda helicoidal ambos de perfil globoide.


141

En la figura (4.52) se pueden observar los distintos elementos que conforman el par tornillo sinfín – rueda helicoidal, siendo éstos, según se indica en la figura, los siguientes:

- L: longitud del tornillo sinfín. - pt: paso axial entre filetes del tornillo. - a: altura de cabeza (adendo) del filete. - d: altura de raíz (dedendo) del filete. - h: altura total del filete. - α: ángulo de avance del tornillo. - di: diámetro interior o de raíz del tornillo. - dp: diámetro primitivo del tornillo.

- de: diámetro exterior del tornillo. - pcr: paso circunferencial de la rueda. - Di: diámetro interior de la rueda. - Dp: diámetro primitivo de la rueda. - Dt: diámetro de garganta de la rueda. - De: diámetro exterior de la rueda. - b : ancho axial de la rueda. - β : ángulo de la cara de la rueda. Relación de transmisiónPara un tornillo de un filete, cuando éste da una vuelta completa, un punto apoyado sobre el filete habrá avanzado paralelamente al eje del tornillo una distancia igual al paso axial Ph de la hélice, la que se muestra en la figura (Fig.4.53b) y que resulta igual al paso axial pt del filete,

que se muestra en la figura (Fig.4.53a) siendo este último la distancia que existe entre dos puntos consecutivos que ocupan igual posición en el filete, tomada en forma paralela al eje del tornillo, lo que se pude observar en la figura (Fig.4.53a). El paso axial pt del tornillo sin fin es igual al paso circunferencial pcR de la rueda que engrana con el tornillo. Para este caso, cuando el tornillo da una vuelta completa, la rueda se habrá desplazado un ángulo central correspondiente a un diente. Si el tornillo fuera de dos filetes, al dar una vuelta completa hará avanzar dos dientes a la rueda, si tuviera tres filetes, la rueda avanzará tres dientes y así sucesivamente. Es decir que para ztfiletes por paso de filete, el paso axial de la hélice, o avance del tornillo será: Ph = zt.pt = π dp tgα(4.201) Si se tiene una rueda de zR dientes, cuyo radio primitivo es R en m, que gira a nR vueltas por minuto, su velocidad tangencial vR en m/s será:

602 R

RnRv π

=

(4.202)


142

Esta rueda engrana con un tornillo sinfín de zt filetes, cuyo paso axial es pt en m, que gira a ntvueltas por minuto con una velocidad tangencial vt en m/s igual a:

60ttt

tnpz

v =(4.203)

Resultando: vR = vt (4.204) La relación de transmisión i está dada por la expresión:

)()sin(

ruedaladedientesdenúmerozfíndelfiletesdenúmeroz

nni

R

t

t

R ==

(4.205) Si se desarrolla el cilindro primitivo del tornillo según se muestra en la figura (Fig.4.53c), se obtiene un triángulo rectángulo formado por el desarrollo del diámetro primitivo, el desarrollo de la hélice y el paso de la hélice. Además la normal CD a AB es el paso normal Pn de la hélice del tornillo que se mide perpendicular al desarrollo de la hélice. Del análisis de la figura se obtiene:

- Módulo axial: πh

aP

M =

(4.206) - Paso normal: Pn = Ph cos α = π.dp sen α(4.207)

- Módulo normal: α

πsend

PM p

nn ==

(4.208)

- Longitud de la hélice: ααπ

senPd

AB hp ==cos

(4.209) Un tornillo sinfín puede tener más de un filete. Como se vió, para el paso axial pt y el número de filetes zt, la (4.201) daba el paso axial de la hélice, resultando que el paso normal es: Pn = zt.pn(4.210) En la figura (Fig.4.54) se representa un tornillo sinfín de dos filetes, donde el paso axial de la hélice es igual a dos veces el paso axial entre filetes:

zt = 2

(4.211)

Ph = 2 zt(4.212)


143

En la figura (Fig.4.55) se representa un tornillo sinfín de cuatro filetes o, como también se lo denomina comúnmente, de cuatro entradas . En el se observa el paso axial Ph de la hélice y el paso axial entre filetes,

siendo: Ph = 4pt(4.213) Fórmulas de cálculos de los elementos del tornillo sinfín y ruedaPara posibilitar el correcto engrane entre el tornillo sinfín y la rueda, sus parámetros y detalles constructivos deben poseer para cada uno determinadas características, como además éstos deben guardar ciertas relaciones entre ambos, las cuales se indican a continuación: - Diámetro primitivo de la rueda: Dp = zR.Mc(4.214)

- Paso circunferencial pcR de la rueda: t

R

pcR p

zD

p ==π

(4.215)

- Paso de la hélice de la rueda: απtg

DP p

hR

.=

(4.216)

- Diámetro de garganta de la rueda: Dt = Dp + 2Mn(4.217)

- Diámetro exterior de la rueda: te DrrD +

−=

2cos2 β

(4.218)

- Distancia entre ejes de rueda y tornillo sinfín: ( )pp dDL +=

21

(4.219) - Diámetro primitivo del tornillo sinfín: dp = de – 2Mn(4.220)

- Módulo circunferencial de la rueda: αcosn

R

pc

MzD

M ==

(4.221) Resistencia de los dientes: Debido a que los dientes de la rueda son más débiles por construcción que los filetes del tornillo sinfín, la resistencia del conjunto se basa en el cálculo de los dientes de la rueda, adecuándose la expresión de Lewis en forma similar a la vista


144

anteriormente para engranajes helicoidales. Pero como existe una línea de contacto entre los flancos de los filetes del tornillo sinfín y de los dientes de la rueda, hay una mayor fuerza de rozamiento que se debe vencer, por lo que las expresiones de la fuerza normal F que actúa, haciendo referencia a la figura (Fig.4.41) ya vista, y considerando el coeficiente de rozamiento µ entre las superficies en contacto toma la forma siguiente en función de sus componentes axiales y normales: - Fuerza de entrada en el tornillo sinfín:

Fe = F(cos ϕn senα + µ cos α) = tc

e

vN

(4.222) Donde es Ne la potencia de entrada y vtc la velocidad circunferencial del tornillo sinfín. - Fuerza de salida Fs que actúa sobre la rueda dentada es:

Fs = F(cos ϕn cos α - µ sen α) = R

s

vN

(4.223) Siendo Ns la potencia de salida y vR la velocidad circunferencial de la rueda dentada. Carga de desgaste FwLa carga de desgaste se puede obtener por la expresión propuesta por Buckingham:

Fw = Dp.bR.K’(4.224) Donde bR y Dp son el ancho de la cara y el diámetro primitivo de la rueda respectivamente, y K’ una constante, y que depende del tipo de material utilizado en la rueda y del ángulo de avance del tornillo sinfín; esta constante se encuentra tabulada para distintos tipos de materiales, como la que se muestra a continuación, para Fw en kg, DR y bR en cm y tornillo sinfín de acero endurecido:

Material de la rueda K’ Hierro fundido o semiacero Bronce al manganeso Bronce al fósforo Baquelita u otro material similar

3,5 5,6 7,0 8,8

RendimientoEl rendimiento η del mecanismo tornillo sinfín-rueda dentada se lo obtiene considerando la potencia de entrada y la potencia de salida:

( )( ) tcn

Rn

tce

Rs

vsenvsen

vNvN

αµαϕαµαϕ

ηcoscos

coscos+−

==

(4.225) Teniendo en cuenta que la velocidad circunferencial vtc del tornillo sinfín está dada por la expresión:

60tp

tc

ndv

π=

(4.226) Y que además es el paso circunferencial pcR de la rueda igual al paso axial pt del tornillo sinfín:


145

pcR = pt(4.227) Resultando por lo tanto, por la (4.204):

60.

60tttRp

RnpznD

v ==π

(4.228) Del cociente entre la (4.228) y la (4.226) se obtiene:

ααα

ππ cos.. sentg

dP

dpz

vv

p

h

p

tt

tc

R ====

(4.229) Reemplazando en la (4.225) el valor de vR/vtc dado por el último miembro de la (4.229), la expresión que da el rendimiento es:

( )( ) ααµαϕ

ααµαϕη

coscoscoscoscos

+−

=sen

sensen

n

n

(4.230) Operando y sustituyendo por sus funciones trigonométricas homónimas la (4.229) resulta finalmente:

αµϕαµϕ

ηctgtg

n

n

+−

=coscos

(4.231) El coeficiente de rozamiento µ depende de la velocidad de deslizamiento vs entre el tornillo sinfín y la rueda, la cual se obtiene mediante la siguiente expresión:

αcostc

sv

v =

(4.232) Existen tablas que dan el valor del coeficiente de rozamiento µ en función de la velocidad de deslizamiento. ------------()-------------- Apuntes de clases extractados de la siguiente bibliografía

TÍTULO AUTOR EDITORIAL - Manual de Engranajes Darle W.Dudley, C.E.C.S.A.- Manual del Constructor de Máquinas H. Dubbel Labor - Elementos de Máquinas Dr. Ing. O. Fratschner Gustavo Gili - Proyecto de Elementos de Máquinas M. F. Spotts Reverté - Manual del Ingeniero Hütte II A Academia Hütte Gustavo Gili - Cálculo de Elementos de Máquinas Vallance-Doughtie Alsina - Manual de Engranajes Darle W. Dudley C.E.C.S.A. - Diseño de Máquinas Hall-Holowenco-Lau McGraw-Hill - Manual del Ingeniero Mecánico de Marks Baumeister y Marks Uteha - Diseño de Elementos de Máquinas Aguirre Esponda Trillas - Diseño en Ingeniería Mecánica J. Shigley McGraw-Hill - Elementos de Máquinas Pezzano-Klein El Ateneo


146

- Mecánica de Taller E. Solsona Alsina - Elementos de Máquinas Dobrovolski y otros MIR - Diseño de Elementos de Máquinas V.M. Faires Montaner y Simón S.A.


147

MÁQUINAS HERRAMIENTAS

GENERALIDADES: Mediante la aplicación de potencias considerables, las máquinas herramientas realizan el trabajo específico de modificación de la forma de los cuerpos o piezas sobre las cuales actúan, mediante el corte o arranque del material de las mismas. Utilizan elementos especiales de gran resistencia llamados herramientas de corte, las cuales poseen filos cortantes en algunos de sus extremos, con los que se introducen en el material a cortar, arrancando trozos del mismo en formas de hojas, rizo, granillo, aguja, etc., el cual recibe el nombre de viruta. Según la cantidad de filos cortantes que posean, las herramientas pueden clasificarse como: a) Herramientas de corte de un solo ángulo de filo. b) Herramientas de corte con ángulos de filos múltiples. Son varios los factores de los cuales depende el comportamiento de las herramientas de corte, como ser el tipo de filo de corte, ángulo de corte, velocidad de movimiento de la pieza o de la herramienta, enfriamiento, etc. Pero en forma fundamental depende del material del que está construida la herramienta de corte. Fuerzas de corte en el mecanizado de metales

Herramientas de corte frontal: este tipo de herramientas es el utilizado por las máquinas limadoras, cepilladoras, mortajadoras y otras de formas de trabajo similares, donde el desplazamiento de la herramienta se realiza en forma rectilínea y paralelamente al plano de la pieza a trabajar, o viceversa, arrancando durante el desplazamiento en la carrera activa, una viruta de espesor e. La herramienta posee en el extremo activo una uña o borde cortante frontal, estando por el otro extremo firmemente sujeta para permitir el trabajo.

Si se observa la figura (Fig.5.1), la herramienta incide como una cuña sobre el material de la pieza sobre la cual trabaja, arrancando parte de él en forma de viruta. La herramienta consta de una cara anterior Oa y una cara posterior Ob, las cuales determinan el ángulo de filo α de la cuña de corte. La herramienta incide sobre el material formando con su cara posterior Ob y la línea de corte xx de la pieza el ángulo de incidencia β, el cual sumado al ángulo de filo α, forman el ángulo

de corte γ. Entre la cara anterior Oa y la perpendicular yy a la línea de corte xx se forma el ángulo de despojo ε.Al incidir la cuña formada por el filo de la herramienta, el material de la pieza trabajada es cortado, de tal forma que en el arranque de la viruta se producen sobre la herramienta los siguientes esfuerzos: 1- Esfuerzo de corte T, el cual utiliza la mayor parte de la potencia de la máquina herramienta. Es realizado en la dirección de la trayectoria del movimiento, siendo directamente proporcional a la resistencia a la rotura del material de la pieza que se trabaja, a la longitud de la arista de corte y al espesor de la viruta arrancada. 2- Esfuerzo de deformación Q,que actúa en forma perpendicular a la cara anterior Oa de la herramienta, dependiendo de la elasticidad del material a arrancar, siendo directamente proporcional a la longitud del filo cortante y al espesor de la viruta e inversamente proporcional al ángulo ε de despojo. 3- Esfuerzo de roce o resbalamiento S, que se produce por el rozamiento de la viruta sobre la cara anterior Oa de la herramienta , aumentando al aumentar Q y disminuyendo con la disminución del ángulo de incidencia ε.Q y S son componentes de fuerza R, la cual a su vez puede descomponerse en la fuerza vertical Ry y en la fuerza horizontal Rx, perpendicular y paralela respectivamente a la trayectoria de corte.

5


148

La fuerza principal de corte estará dada por la suma de las fuerzas:

P = T + Rx

(5.1) La fuerza Ry es resistida por la mordaza de la máquina que sujeta a la herramienta. Para el caso de herramientas de filos de corte lateral, según se muestra en la figura (Fig.5.2), el

movimiento principal de corte es también de traslación rectilínea, pero las fuerzas actúan sobre el plano oblicuo de corte. La fuerza Ryes normal al plano oblicuo de corte y tiene

dos componentes, una horizontal yR′ y una

vertical yR ′′ las que son contrarrestadas por los órganos de sujeción de la máquina. La fuerza principal de corte también está dada por la expresión (5.1). Avance de la herramienta y profundidad de penetración

Al ser arrancada la viruta metálica por la herramienta, ésta pasa sobre la cara anterior de la misma con una velocidad de corte o tangencial v según se observa en la figura (Fig.5.3). Si la herramienta avanza una cantidad a con una profundidad de penetración e,llamadas avance de la herramienta y profundidad de corte o grueso de pasada respectivamente, la sección q de viruta arrancada será:

q = e.a (5.2) Si a y e están en milímetro (mm), resulta q en milímetro cuadrado (mm2). Expresiones de la fuerza principal de corte para distintos materialesDe acuerdo a sus experiencias Taylor, para los casos de mortajado, cepillado, limado y torneado encontró que la fuerza principal de corte P, varían para distintos materiales según las siguientes expresiones:

P = 88.a3/4.e14/15 kg para fundición blanda (5.3) P = 138.a3/4.e14/15 kg para fundición dura (5.4) P = 200.a14/15.e kg para acero semiduro (5.5) Siendo a y e en la (5.3), (5.4) y (5.5) el avance de

la herramienta y la profundidad de corte en el material, respectivamente. Para el caso del torneado, según muestra la figura (Fig.5.4), la distribución de esfuerzos es similar a las halladas anteriormente, estando la fuerza principal de corte dada también por la expresión (5.1), siendo Ry el esfuerzo resultante en el plano de corte, Ry’ la resistencia a la penetración y Ry’’ la resistencia al avance de la herramienta. Ry debe ser anulada por los órganos de la máquina que sujetan la herramienta. La fuerza principal de corte P, es


149

tangencial a la circunferencia media de la superficie torneada y normal al plano de corte. El momento que debe vencer el mecanismo principal de corte resulta:

2. dPM =

(5.6) Velocidad de corteEs la velocidad del movimiento que provoca el desprendimiento de la viruta. Si el movimiento es rectilíneo, la velocidad de corte coincide con la velocidad de traslación de la herramienta, caso de la limadora, o de la pieza en el caso de la cepilladora. Si el movimiento es giratorio, la velocidad de corte coincide con la velocidad periférica de la pieza, como en el torneado, o de la herramienta, como en el fresado.

Cálculo de la velocidad de cortePara el movimiento rectilíneo, la velocidad v de corte se calcula teniendo en cuenta la longitud Lrecorrida y el tiempo t empleado, siendo:

tLv =

(5.3) Para L en metros (m) y t en minutos (min), v resulta en m/min. Para calcular la velocidad de corte v en el movimiento giratorio, se tiene en cuenta el número nde vueltas por minuto que da la pieza o herramienta y el diámetro medio dm de la pieza o herramienta considerada, o sea que la velocidad tangencial v estará dada por la expresión:

v = π dm n(5.4) Si está dm en mm resulta v en mm/min. Para obtener esta velocidad en m/min se divide por 1000 m/mm:

min1000mnd

v mπ=

(5.5) En la práctica se considera el diámetro medio coincidente con el diámetro exterior d, por lo que la (5.5) se puede escribir:

min1000mndv π=

(5.6) La velocidad de corte para los distintos materiales varía según distintos factores, que según Taylor, los más importantes serían: 1- Dureza del material que hay que trabajar, el cual es el factor predominante. Por ejemplo, para metal duro es v = 1 m/min y para metal blando v = 100 m/min. 2- Calidad del material de la herramienta, dependiendo de la duración de su filo por el desgaste que experimenta el mismo. Cuanto menos desgaste presentan, mayor puede ser la velocidad de corte. 3- Sección de la viruta, cuando aumenta ésta, disminuye la velocidad de corte debido a la mayor resistencia que opone. Para trabajos de desbaste, la velocidad de corte es mínima siendo máxima la sección de la viruta; para trabajos de acabado, la velocidad es máxima, siendo mínima la sección de la viruta. 4- Enfriamiento de la herramienta, ya que al refrigerarla se disminuye el desgaste, pudiendo aumentar la velocidad de corte. 5- Duración de la herramienta, ya que al aumentar la velocidad de corte disminuye la duración del filo. Se debe lograr la velocidad de máximo rendimiento teniendo en cuenta la cantidad de


150

afiladas de la herramienta con la producción del trabajo que realiza. Según Taylor, obtuvo experimentalmente para la velocidad de corte y la duración del filo de la herramienta, la relación:

v.tk = constante(5.7) Donde k es un coeficiente de vida hallado experimentalmente, siendo para los aceros corrientes al carbono k = 1/8 y para fundición gris corriente k = 1/12. Potencia necesaria para el corteSi la resistencia específica de corte o presión específica de corte del material es ks, la fuerza necesaria para realizar el corte de la viruta de sección q es:

P = q.ks = e.a.ks(5.8)

Estando P en N si están ks en N/m2 y q en m2, o P en kg si están ks en kg/mm2 y q en mm2. La presión específica ks se toma por lo general de 3 a 5 veces mayor que la resistencia unitaria a la rotura por tracción kz del material que se trabaja, debido a los distintos factores que intervienen en el corte del material. Por lo general se encuentra tabulado o graficado según datos prácticos. La potencia N necesaria para el corte, para la fuerza P y la velocidad v, está dada por la expresión:

N = P.v = q.ks.v = e.a.ks.v(5.9) Estando N en W si v está en m/s, o en kgm/min si v está en m/min. Para obtenerla en CV se aplica:

4500...

60.75. vkaevPN s==

(5.10) CEPILLADO, LIMADO y MORTAJADOEstas operaciones son destinadas principalmente a la obtención de superficies planas. La herramienta utilizada tiene un solo ángulo de filo la que en el movimiento de un avance y

retroceso, denominada generalmente una pasada, arranca una viruta de sección q.En el limado, la herramienta se mueve con traslación rectilínea de avance y retroceso, quedando fija la pieza a trabajar, en tanto que en el cepillado la pieza se desplaza en avance y retroceso rectilíneo, quedando fija la herramienta; en el mortajado, si bien la pieza está fija, la herramienta se desplaza en sentido rectilíneo de avance y retroceso vertical. Las herramientas o piezas en estos casos están animados de movimiento rectilíneo alternativo, un avance útil o activo, en el cual se arranca el marial en


151

forma de viruta, y uno de retroceso o retorno pasivo sin arranque de material. Estas máquinas herramientas pueden ser accionadas mecánicamente o en forma hidráulica.

Las figuras que se muestran representan a las máquinas herramientas mencionadas. La figura (Fig.5.5) corresponde a una limadora accionada mecánicamente, cuyas partes principales son: un cuerpo principal A o bancada con base de apoyo de fundición, sobre la que desliza el carro o cabezal B sobre guías con movimiento rectilíneo de avance y retroceso, en el cual se encuentra el porta herramienta C que sujeta la herramienta de corte, pudiendo este carro inclinarse y subir o bajar por medio de un tornillo sin fin, con el cual se regula la profundidad de corte en una carrera activa; el cabezal porta herramienta es basculante, de tal forma que en el retroceso no ejerce presión sobre la pieza. El movimiento que tiene

el cabezal puede regularse, según la longitud a limar. La mesa portapiezas D puede desplazarse hacia arriba o hacia abajo y transversalmente mediante dispositivos de tornillos sin fin E y F, los que permiten dar la profundidad y ancho total al trabajo de limado. La figura (Fig.5.6), muestra una cepilladora de dos montantes, pudiendo ser de un montante para el cepillado de piezas muy grandes que no pueden entrar entre dos montantes. Constan principalmente de una bancada A de fundición, sobre la que desliza sobre guías la mesa porta pieza B que se desplaza en forma rectilínea de avance y retroceso, un carro portaherramienta C,el cual puede regular su altura desplazándose verticalmente hacia arriba y hacia abajo sobre las

guías de los dos montantes D, los cuales están unidos por un Travesaño E; el carro contiene además una corredera de la herramienta F giratoria que le confiere el movimiento vertical a la herramienta bajándola para profundizar la pasada o elevándola para alejarla de la pieza; sobre ésta última se encuentra la placa del soporte de la herramienta G, que levantan la herramienta de la pieza durante la carrera de retroceso . Además cuenta con un eje de mando de avance H, una caja de cambio de movimiento I, un mecanismo de velocidades del avance J,una caja de cambio de velocidades K, un tope de carrera L y un punto de conexión eléctrica M. La mortajadora, que se muestra en la figura (Fig.5.7), consta de un bastidor compuesto de una bancada A y un montante B, sobre la primera se encuentra la mesa portapieza C giratoria, la cual tiene un movimiento de avance compuesto, dado por el carro longitudinal D que se mueve sobre las guías de la bancada, y por el carro transversal E que se mueve sobre guías en el carro longitudinal; sobre el segundo se


152

encuentra el carro porta herramienta F, el cual tiene el soporte de la herramienta G. También cuenta con un mecanismo de variación de la posición de la carrera H, un husillo de avance I,un mecanismo divisor J y la caja de velocidades del avance K.

En la figura (Fig.5.8a) se muestra, a modo de ilustración, el arranque de viruta de una pieza en un limado horizontal, indicándose la forma de sujeción de la herramienta de la limadora al cabezal, siendo en la misma A el tornillo de apriete, Bmanivela de desplazamiento vertical,C traba de ajuste, D suplemento, E tornillo de desplazamiento angular,F placa sujeta herramienta, Gherramienta, H pieza trabajada, Idesplazamiento del cabezal porta herramienta y H desplazamiento lateral de la pieza. En la figura

(Fig.5.8b) se muestra un limado vertical, donde K y L son movimientos de traslación rectilínea y vertical respectivamente, que lo realiza el cabezal porta herramienta, estando la placa sujeta herramienta F desplazada angularmente. Cálculo de la potencia necesaria o absorbidaDebido al movimiento de avance y retroceso rectilíneo para efectuar el corte, en los extremos de la carrera el cabezal porta herramienta o la mesa porta pieza se detiene cambiando de sentido el movimiento, siendo en esos puntos la velocidad de desplazamiento nula y variable en los puntos intermedios. Se toma un valor medio de la velocidad de trabajo, dependiendo el mismo del tipo de material a trabajar, de la herramienta utilizada, de su enfriamiento y de los esfuerzos que se generan debido a las masas desplazadas en el movimiento. A continuación se transcribe una tabla con velocidades de corte y de avances en el cepillado:

Velocidades de corte y avance en el cepillado Material a trabajar Material de

herramienta Velocidad de corte

m/min Avance en mm

Acero de construcción Acero al carbono Acero rápido

6 a 12 10 a 30

0,1 a 8 0,2 a 12

Acero moldeado Acero al carbono Acero rápido

5 a 10 10 a 25

0,1 a 8 0,2 a 12

Fundición de hierro Acero al carbono Acero rápido

5 a 10 10 a 20

0,1 a 8 0,2 a 12

Bronce, latón, etc. Acero al carbono Acero rápido

10 a 20 20 a 30

0,1 a 10 0,2 a 12

Metales ligeros Acero al carbono Acero rápido

10 a 25 25 a 50

0,1 a 10 0,2 a 12

Para elegir el motor adecuado que accionará la máquina herramienta, se debe calcular la potencia necesaria, teniendo en cuenta las resistencias que oponen en la carrera activa tanto el material a ser cortado, como los desplazamientos de las masas de las distintas partes de la máquina que soportan la herramienta o la pieza, y las fuerzas de rozamiento que se producen y que se deben vencer. Por este motivo deberá ser considerada una potencia N1 necesaria para realizar el trabajo de corte del material y una potencia N2 necesaria para vencer el trabajo que oponen las fuerzas de rozamiento, siendo la potencia total N dada por la siguiente expresión:


153

N = N1 + N2(5.11) La potencia N1 estará dada por la expresión (5.9) o (5.10) para la fuerza de corte P, la velocidad media de trabajo v, el espesor q de viruta cortada por pasada y la resistencia específica al corte ks del material de la pieza trabajada, en tanto que la potencia N2 se calcula considerándola fuerza de rozamiento, dada por desplazamiento del peso Q, del carro porta herramienta o de la mesa y pieza que soporta y el coeficiente de rozamiento µ, y la velocidad media de trabajo v,resultando:

N2 = Q.µ.v(5.12) La (5.12) estará en vatios (W) si Q está en Newton (N) y v en metro sobre segundo (m/s). Si Qestá en kilogramos (Kg), la (5.12) resulta en kilográmetros (kgm). Para este último caso y para ven m/min, para obtener N2 en Caballo Vapor se utiliza la expresión:

4500..

60.75..

2vQvQN µµ ==

(5.13) Por lo tanto, la potencia total N es, según la (5.9) y la (5.12):

N = P.v + Q.µ.v = ks.q.v + Q. .µ.v = v(ks.q + Q.µ)(5.14)

Estando N en vatios (W) si están P y Q en Newton (N), ks en N/m2, q en m2 y v en m/s. De la (5.10) y de la (5.13) resulta N en CV:

( )4500

..4500

..4500

.. QqkvvQvqkN ss µµ +

=+=

(5.15) Para un rendimiento mecánico η del mecanismo de transmisión, la potencia del motor de accionamiento, de la (5.14) será, en vatios:

( )η

µη

QqkvNN sm

.. +==

(5.16)

Y de la (5.15) se obtiene, en CV:

( )4500.

..η

ηη

QqkvNN sm

+==

(5.17) Como en las limadoras y mortajadoras las fuerzas de rozamiento no son significativas, la potencia N2 resulta muy pequeña frente a N1, por lo que es factible desestimarla, resultando la (5.16) en vatios:


154

ηηvqkNN s

m..1 ==

(5.18) Y la (5.17) en CV:

4500...

ηvqk

N sm =

(5.19) Cálculo del tiempo de máquinaEl tiempo de máquina empleado en el limado, cepillado o mortajado, dependerá, según se muestra en la figura (Fig.5.9), del espesor e de la pasada, del avance transversal a por pasada y de la velocidad media de corte vm, como así también de la carrera longitudinal s, del ancho b de la pieza y de la cantidad de pasadas m necesarias para completar la profundidad total h de corte.

Si es L la longitud total de la superficie de la pieza a trabajar, llamando n al número de carreras longitudinales dobles realizadas por minuto y n’ el número de carreras dobles de la mesa o carro porta herramienta para completar una pasada en el ancho b de la pieza, o pasada completa, se tendrá:

b = a.n’(5.20) De la (5.20) se obtiene:

abn ='

(5.21) Por otra parte, si es vm la velocidad media de trabajo, el número n de carreras longitudinales por minuto será :

sv

n m

2=

(5.22) Para dar las n’ pasadas completas, para cubrir el ancho b de la pieza, se empleará un tiempo tigual a:

nnt '=

(minutos) (5.23) De la (5.21), de la (5.22) y de la (5.23) se obtiene:

mvabst

...2=

(minutos) (5.24) La profundidad total es h, por lo tanto, la cantidad total m de pasadas completas n’ que se tienen que dar para completar el trabajo es:

ehm =

(5.25)


155

Por lo que resultará que el tiempo total T que se empleará en las m pasadas será:

mm veahbs

vambstmT

.....2

....2. ===

(minutos) (5.26) Si se llama c a la distancia que se desplaza la herramienta fuera de la pieza, tanto al comienzo como a la salida de la pieza según se muestra en la figura (Fig.5.9), la carrera longitudinal s en función del largo L de la pieza y de estas distancias c, se puede escribir:

S = L + 2c(5.27) Por lo tanto, reemplazando en la (5.26) el valor de s dado por la (5.27) se obtiene:

mveahbcLT

...).2.(2 +=

(minutos) (5.28) La velocidad media vm se obtiene a partir de los tiempos utilizados ta y tr en recorrer las carreras activa y pasiva respectivamente considerando la velocidad de corte v y la velocidad de retorno vr, obteniéndose las siguientes expresiones:

a) vsta =

b) rr v

st =

(5.29) Como la velocidad media vm es igual a:

ram tt

sv+

= .2

(5.30) Se tendrá, reemplazando los valores de ta y tr dadas por la (5.29) en la (5.30):

r

r

r

r

r

m vvvv

vvsvsv

s

vs

vs

sv+

=+

=+

=..2

...

22

(5.31) Determinación del esfuerzo de corte mediante gráficosExisten gráficos, como el de la figura (Fig.5.10), que resuelven las expresiones (5.3), (5.4) y (5.5) de Taylor ya vistas anteriormente, según el siguiente procedimiento:

1- Con el espesor de la pasada o de viruta e y el tipo de material se obtiene la ordenada y1,en el diagrama inferior.

2- Se obtiene la ordenada y2 según el avance a y el


156

tipo de material, en el diagrama superior. 3- Se adiciona a la ordenada y2 del diagrama superior la ordenada y1 obtenida en el

diagrama inferior, resultando: y1 + y2;4- Se traslada y1 + y2 sobre el eje de ordenadas a la izquierda en el diagrama superior y se

lee P sobre el mismo. P está dado en kg para e y a en milímetros. TORNEADOEl torneado, realizado con el torno, el cual se muestra en la figura (Fig.5.11), es una de las operaciones más útiles en el trabajo de materiales con máquinas herramientas, ya que el mismo sirve para realizar una gran cantidad de trabajo con herramientas por lo general de forma sencilla, siendo además, este tipo de máquinas, una de las más empleadas en talleres tanto industriales como de mantenimientos.

El torno está conformado,

principalmente, según se indica en la figura (Fig.5.11), por las siguientes partes: la bancada A que posee las patas de apoyo Z,soporta las otras partes del torno y tiene la guía U por la cual desliza el carro principal de bancada C, que desplaza a la herramienta en forma longitudinal, obteniéndose el avance a, estando sobre este último el carro de

desplazamiento transversal D, con el cual se le da el

desplazamiento transversal a la

herramienta y con ello la profundidad de pasada e, éste a su vez soporta el carro superior porta herramienta E en el cual se encuentra el porta herramienta F propiamente dicho. En uno de los extremos se encuentra el cabezal fijo B, el cual contiene en su interior el tren de engranajes y comandos para la variación de velocidades y tiene además el husillo principal o de trabajo que es un eje con un extremo roscado en voladizo, el cual gira imprimiéndole al plato de mordaza M y a la pieza sujeta por el mismo, el movimiento de rotación principal de corte. En el otro extremo opuesto al cabezal fijo se encuentra el cabezal móvil L que contiene en su interior la contrapunta O desplazable, que se utiliza para sujetar por uno de sus extremos las piezas largas que se trabajan o para sujetar una herramienta de taladrar o escariar, y se puede mover axialmente en la guía U. Se puede observar también en la figura las palancas de comando del movimiento de rotación N con los que se varía la velocidad de rotación de la pieza que se trabaja o se la detiene; el mecanismo de avance H, el cual le imprime a la barra de avance K, a la barra de cilindrar J y al tornillo de roscar o patrón I los movimientos de giro que hacen desplazar axialmente el carro principal de bancada Cpara realizar el avance, el cilindrado o el roscado respectivamente; la caja de movimiento transversal G del carro principal de bancada C, que permite a éste desplazarse transversalmente.


157

Generalidades

Los tornos más utilizados son los de bancada horizontal, en los cuales se imprime a la pieza, por lo general un sólido de revolución, un movimiento de rotación según su eje horizontal, constituyendo éste el movimiento principal de corte. Al mismo tiempo, la herramienta de corte, sujetada por el carro porta herramienta, efectúa un movimiento longitudinal y transversal, que constituyen el avance a y la penetración e respectivamente. En la figura (Fig.5.12a) se puede observar la operación de torneado cilíndrico, donde se muestra la herramienta y la viruta que el corte de ésta produce, al penetrar con una profundidad o espesor de corte e y un avance a en la pieza que se trabaja, la cual gira, sujeta por la mordaza del plato en un extremo y por el otro por la contrapunta del cabezal móvil, con una velocidad tangencial v. En la figura (Fig.5.12b) se muestra la cuña de superficie h formada por las superficies f y g, las que en su convergencia forman el filo i dela herramienta. La herramienta efectúa el corte de la viruta V cuya sección está dada por la penetración o espesor e y el avance a.El arranque de material puede ser realizado tanto exteriormente a la pieza como interiormente, desprendiéndose, como ya se viera, virutas de espesores que dependerán del tipo de material a trabajar, de la herramienta utilizada y de la velocidad de corte requerida. En el torno se pueden ejecutar una gran variedad de trabajos, siendo los principales los siguientes: a) obtención de superficies cilíndricas, tanto exteriores como interiores, b) obtención de superficies planas, mediante la operación denominada frenteado, en la cual la herramienta únicamente penetra en forma normal al eje de la pieza sin avanzar longitudinalmente, c) obtención de superficies esféricas, d) obtención de superficies cónicas, e) obtención de superficies de sólidos de revolución de perfiles variables, d) obtención de roscas de paso variables. Herramientas de corteLos materiales más usados en la construcción de herramientas de corte son el acero al carbono, acero rápido, que es una aleación con Wolframio (W), Cromo (Cr) y Vanadio (V), metales que le confieren mayor resistencia al calentamiento y al desgaste, acero extrarápido o metales duros, aleado con los metales ya mencionados más Molibdeno (Mo) y Cobalto (Co); aleaciones duras, como las denominadas estelitas, carburos metálicos, conocidos con su nombre comercial Widia, aleaciones no ferrosas, cerámicos, diamante. Según sea el tipo de material de la herramienta será su ángulo de filo de corte; las herramientas de acero al carbono y de acero rápido tienen los ángulos de filos de corte casi de un mismo valor ya que son de materiales similares, pero como las primeras tienen menor poder de absorción de calor, pierden el filo de corte con mayor rapidez. En general se exige en las herramientas un mínimo empleo de fuerza y una máxima velocidad de corte, lo cual se admite en trabajos que carezcan de vibraciones.


158

Los tipos y formas de herramientas varían de acuerdo al material a trabajar y al tipo de trabajo, existiendo herramientas de corte con distintos ángulos de filos frontales y laterales, utilizados para desbastar, afinar, tronzar, dar forma, taladrar, tallar engranajes, etc., estando normalizadas, según normas ISO, como más importantes, nueve formas distintas. En la figura (Fig.5.13) se muestran algunas de las formas de las herramientas ya mencionadas, correspondiendo: (a) herramienta de tronzar, (b) y (c) herramientas de forma, (d) herramienta de roscar.

Los ángulos que se deben considerar en el torneado no solo corresponden al filo y forma de la herramienta en sí, sino que además se deben tener en cuenta los ángulos de posición de la herramienta respecto de la pieza a trabajar. Así se pueden observar en la figura (Fig.5.14), en la herramienta el ángulo de filo α, mayor para materiales duros que para los blandos y el ángulo de punta θ, si es pequeño la herramienta se desafila rápidamente, y en el posicionamiento de la herramienta respecto de la pieza trabajada se tiene el ángulo deincidencia β, para evitar que la herramienta roce la pieza, el ángulo de despojo o de atque ε,cuanto mayor es más fácil es el arranque de viruta, estando limitado por el ángulo de filo, el ángulo de corte γ que es la suma de los ángulos de incidencia y de filo, y el ángulo deposicionamiento o colocación lateral δ el cual da el ancho de la viruta, cuando más grande, menor es el ancho de esta última. Los ángulos de la herramienta dependen por lo general del material de la misma y del tipo de material a trabajar, en tanto que los de posición dependen del tipo de trabajo a realizar. Al aumentar el ángulo de ataque ε, disminuye la fuerza de corte, resintiéndose el filo, por lo que es aconsejable hacer ε tanto más pequeño cuanto más duro sea el material a trabajar. También el ángulo de incidencia β debe ser pequeño, ya que un ángulo mayor de lo necesario, además de debilitar el filo, puede producir vibraciones. Cuanto menor es el ángulo de colocación lateral δ, más se ve favorecida la herramienta y su filo. El ángulo de filo α dependerá de los ángulos de ataque ε y de incidencia β.La posición de la herramienta es importante, ya que ello influye en el trabajo de cilindrado, tanto interno como externo. Pueden presentarse tres casos, según muestra la figura (Fig.5.15), 1- que el plano que pasa por el punto medio de la arista de corte pase también por el eje geométrico de la pieza y que además sea paralelo al plano de base sobre el cual apoya la herramienta (Fig.5.15a), 2- que la herramienta esté más baja que la correspondiente a la posición normal media, como se indica en la figura (Fig.5.15b), para la cual existe un aumento del ángulo de incidencia β y una disminución del ángulo de despojo ε, 3- que la herramienta esté por encima de la posición normal media (Fig.15.5c).


159

La herramienta en la posición A se utiliza para pasadas finas o de acabado, ya que para virutas de secciones grandes se produciría la flexión de la herramienta que podría a su vez anular el ángulo o hacerlo negativo, con lo cual solo se produciría el raspado de la pieza en lugar del corte.

La elevación exagerada de la herramienta sobre la posición normal media (Fig.15.5d) puede producir lo que se denomina clavada o interferencia, o aún producir la rotura de la herramienta. Las herramientas de corte, según se puede observar en la figura (Fig.5.16) tienen, por lo general la forma prismática recta (a) y (b) o curva (c) y (d), con corte a la izquierda (a) y (c), o con corte a la derecha (b) y (d), pudiendo observarse en (e) las partes principales de la misma, siendo A filo de corte secundario, B punta, C filo de corte principal, D superficie de incidencia principal, Ebase, F mango y G hombro. Pueden ser de un solo

material, o cuando el mismo es muy caro,

tener como se muestra en la figura (Fig.5.17) para abaratar costos, soldadas al mango, en (a) plaquitas de metal duro A, en (b)

plaquitas de material cerámico B, sujetas en soportes especiales, o como en (c) la parte cortante C de acero rápido. Las herramientas, según sea el tipo de trabajo al que estén sometidas en el torno, son sujetadas firmemente para evitar que se muevan o flexionen en el trabajo del corte del material, utilizándose diversos tipos de portaherramientas, algunos de los más utilizados se muestran en la figura (Fig.5.18), empleándose el (a) para cortes de poca fuerza, el (b), denominado puente de sujeción o también garra de sujeción, se utiliza para fijar la herramienta en caso de grandes


160

esfuerzos de cortes y el (c) es un portaherramienta cuádruple, ya que sujeta simultáneamente cuatro herramientas permitiendo cambiar rápidamente la herramienta con la cual se trabaja, rotando el portaherramienta. Velocidad de corteLa velocidad de corte v, como ya se mencionara, depende del tipo de material a tornear y de la herramienta de corte. Si le número de vueltas por minuto es n y el radio de la pieza está en milímetros, es:

10002 rnv π=

minm

(5.32) Las velocidades de corte v se encuentran tabuladas por lo general, según datos obtenidos de la experiencia, de acuerdo a la sección q (mm2) de viruta, del material a tornear, del material de la herramienta utilizada y del tipo de acabado de la superficie a tornear. Una de estas tablas se muestra a continuación

Valores medios de las velocidades de corte y avance en el torneado MATERIAL A TORNEAR

ACERO Resistencia

kg/mm2

LATON BRONCE TRABAJO Herra-

mienta de

40 60 80

Acero moldeado

Fundi- ción de hierro

Fundi- ciones

en coquilla

Fundi- ción

malea-ble

Acero de

herramienta Semi-

Duro Duro Blando Duro

DESBASTE CRM

12 25 200

10 20 150

815

100

10 15 90

818 65

68

12

12 20 70

813 40

24 40

450

20 30 300

18 25

400

12 18 200

ACABADO CRM

20 30 300

15 25 180

12 20

130

15 20 120

15 20 95

815 20

18 25 85

15 18 60

90 50

600

32 40 400

30 35

450

20 25 300

ROSCADO CRM

10 14 -

812 -

610 -

812 -

812 -

48-

10 15 -

46-

20 30 -

15 24

12 22 -

815 -

0,1 a 0,3 0,5 a 5,0 0,2 a 3,0

AVANCES CRM hasta 1,5 hasta 8 hasta 1,5 hasta 1,0

Las velocidades de corte y avance están en m/min, correspondiendo C: acero al carbono, R: acero rápido y M: metales duros.

Potencia absorbida en el trabajo de torneado Según lo visto anteriormente, la herramienta en el torno realiza un movimiento de penetración e y un movimiento de avance a, ambos en milímetros (mm) lo que hace que se arranque en el giro de la pieza una viruta de sección q en mm2 dada por la expresión (5.2) ya vista: q = a.e(5.33) Si la resistencia específica de corte del material es ks, en kg/mm2, la fuerza necesaria para realizarlo será:


161

P = ks.q = ks.a.e(5.34) Resultando P en kg.

Si, como se muestra en la figura (Fig.5.19), la pieza gira con una velocidad de rotación n en vueltas por minuto (rpm), y una velocidad tangencial v en m/min, la potencia empleada en CV para efectuar el corte es :

4500.

60.75. vPvPN ==

(5.35)

Si estuviera P en newton (N), v en m/s, la potencia N resultará en vatios (W) y estará dada por la expresión:

N = P.v(5.36) La potencia del motor de accionamiento, teniendo en cuenta el rendimiento mecánico η de la máquina será:

ηNNm =

(5.37) Si se reemplaza en las (3.35), el valor de P dado por la (3.34), se obtendrá:

4500...

60.75... veakveak

N ss ==(CV)

(5.38) De igual forma, si en la (5.35) estuviera ks en pascales (Pa), q en m2, resultaría P en newton (N), por lo que reemplazándolo en la (5.36) será:

N = ks. a.e.v (W) (5.39) En función del número de vueltas n, las expresiones (5.38) se puede escribir de la siguiente forma:

270000..2

60.4500...2 eakrneakrn

N ss ππ==

(CV) (5.40) De igual manera, la (5.39) resulta:

60..2 eakrn

N sπ=

(W) (5.41)

Cálculo del tiempo de máquinaSe debe considerar para el cálculo la velocidad de corte v en m/min con que se efectúa el

trabajo, el espesor de pasada e y el avance a por vuelta, ambos en milímetros, la longitud L de la pieza trabajada también en milímetros, según se muestra en la figura (Fig.5.20), el número de vueltas


162

por minuto n con que debe girar la pieza para obtener la velocidad de corte o tangencial v, y la profundidad total h en milímetros de material que se debe retirar en el torneado. Si se llama n’ el número de vueltas que debe girar la pieza para realizar una pasada en la longitud L, m al número total de pasadas para tornear la profundidad total h, T al tiempo empleado en minutos para completar una pasada en la longitud L y Tt al tiempo total en minutos para realizar las m pasadas, se puede realizar el siguiente razonamiento: Si avanza a mm por cada vuelta, la cantidad de vueltas para realizar una pasada en los Lmilímetros del largo de la pieza será:

aLn =′

(vueltas) (5.42) El tiempo que tarda para dar esta cantidad vueltas, si da n vueltas por minuto, será:

naLT.

=(minutos)

(5.43) Por otra parte, para lograr la profundidad total h, la cantidad de pasadas totales es:

ehm =

(5.44) Por lo tanto, si para dar una pasada en el largo L con una profundidad e se emplean T minutos, para dar las m pasadas se emplearán:

nqLh

naL

ehTmTt .

..

. ===(minutos)

(5.45) Existen tornos verticales con eje de rotación vertical, tornos de plato, para piezas cortas y gran diámetro, por lo general de eje horizontal, tornos revólver o de múltiples herramientas, las que actúan secuencialmente según el trabajo que deben realizar en la pieza , tornos semi-aunomáticos y automáticos que trabajan la pieza sin necesidad del operario para cada operación, tornos copiadores, operados por un servomecanismo, reproduciendo en la pieza los cortes que copian de una plantilla mediante un palpador o con control numérico de mecanizado computarizado.

Torneado cónicoPara lograr obtener piezas cónicas mediante el torneado pueden utilizarse diferentes procedimientos, siendo alguno de ellos los que continuación se describen. 1- Con herramientas de formaPermite ejecutar torneado cónico de piezas en serie que no son de gran tamaño y que no exigen gran precisión, realizándose con tornos de tamaño y robustez adecuadas. Es un caso particular de la aplicación más amplia de la obtención de piezas de diversas formas con herramientas de este tipo.

2- Mediante el desplazamiento de la contrapunta


163

La contrapunta, como ya se indicó precedentemente, es el apoyo móvil que puede deslizar sobre la bancada del torno, pudiendo además desplazarse lateralmente una determinada distancia, de acuerdo a la pieza que se esté por trabajar. Se presentan dos casos: a) Que el torneado cónico se efectúe sobre toda la longitud de la pieza, según se muestra en la figura (Fig.5.22). Suponiendo un cono de diámetro mayor Dy diámetro menor d, se debe desbastar en la pieza el material indicado con ABC sobre toda la superficie de la misma. Es aplicable cuando se trata de obtener pequeñas conicidades. Para realizarlo se debe descentrar el eje de la

contrapunta en una cantidad igual a:

2dDBCe −==

(5.46) La conicidad en este caso es:

LdDtgz

2−== α

(5.47) La conicidad en porcentaje es:

100.

2%

LdDz −=

(5.48) b) Que el torneado cónico afecte solamente una parte de la longitud de la pieza. Si de un cilindro de diámetro D y longitud L se desea obtener una pieza compuesta por dos cilindros de diámetros d’ y d’’ y longitudes l’ y l’’ respectivamente en sus extremos, y en su parte central un cono de longitud l y diámetro mayor D y menor d, según se indica en la figura (Fig.5.23). En primer lugar se tornea la pieza para obtener las partes cilíndricas y, una vez obtenidas éstas, para obtener el cono se debe desbastar la parte ABC como se indica en la figura mencionada precedentemente. Para ello se procede de la siguiente manera: se traza a partir del punto E la recta EF paralela a la generatriz AC del cono, con lo que se obtienen lo triángulos EGF y ABC,los cuales resultan semejantes por tener sus lados paralelos, por lo que se puede escribir la relación de proporcionalidad entre sus lados:


164

ABBC

GEGF =

(5.49) Siendo la excentricidad e, o distancia que se debe desplazar la contrapunta móvil del torno:

e = GF (5.50) Por otra parte es:

2dDBC −=

(5.51) Además de la figura es:

GE = L (5.52) y

AB = l (5.53) Reemplazando en la (5.49) los valores de GF, BC, GE y AB dados por la (5.50), (5.51), (5.52) y (5.53) respectivamente, se obtiene:

ldD

l

dD

Le

22 −=

−

=

(5.54) Pero es:

αtg

ldD

ABCB =−=

2(5.55) Por lo tanto, reemplazando en la (5.54) el valor del tercer miembro dado por la (5.55) resulta:

αtg

Le =

(5.56) O sea, el valor de e es, despejando de la (5.56):

e = L.tgα(5.57) Las dimensiones de la pieza deben ser obtenidas en la operación de cilindrado, anterior al torneado cónico, ya que en esta última operación varía la longitud debido a la inclinación que sufre la pieza para ser trabajada.


165

3- Inclinación del carrito portaherramientaConociendo el valor del ángulo en el vértice del cono que se desea mecanizar, se inclina el carrito portaherramienta la mitad del valor de éste ángulo y se tiene así la dirección de trabajo

necesario. Esta tarea se ve facilitada si el limbo se encuentra graduado

angularmente. En la figura (Fig.5.24) se muestra el trabajo de torneado con la inclinación del carrito portaherramienta. El cálculo de la inclinación a dar al carro se efectúa obteniendo la tangente del ángulo según se muestra en la figura, donde resulta:

ldD

l

dD

ABBCtg

22 −=

−

==α

(5.58)

TALADRADO o AGUJEREADOEl taladrado consiste en la ejecución de un agujero o cavidad cilíndrica en el material a trabajar. La operación la realiza una máquina herramienta denominada taladradora o agujereadora, la que emplea una herramienta llamada broca o mecha. Existen distintos tipos de agujereadoras como las portátiles, son las que se adecuan a trabajos por lo general en lugares fijos, cuando no son piezas transportables, las sensitivas o de palanca, que utilizan la fuerza del operario sobre una palanca y que siente la resistencia opuesta por el material de la pieza al realizar el trabajo, de accionamiento mecánico o hidráulico, de mando ocontrol numérico de maquinado computarizado.En la figura (Fig.5.25) puede observarse una taladradora sensitiva llamada de columna o pedestal,siendo sus partes principales: la base o pedestal A, el cual sirve de apoyo o sustentación de la máquina, bastidor o columna B, que soporta el mecanismo de transmisión del movimiento y sujeción de la herramienta y dentro del cual se encuentra la cremallera H, con la que se logra el desplazamiento vertical de la mesa soporte de pieza F, en la que se coloca la pieza a taladrar, lo cual se realiza mediante el movimiento de rotación y avance de la mecha o broca I, la que está sujeta por el husillo o porta mecha D, quien recibe el

movimiento de giro y la potencia para el corte del material del motor G a través del mecanismo de transmisión C, y el movimiento de avance vertical por el mecanismo de palanca y cremallera E.


166

La mecha o broca es una herramienta que consta de dos filos cortantes, a la cual se le imprime, como ya se mencionara, un movimiento de rotación que constituye el movimiento principal de corte y un movimiento rectilíneo de avance en la dirección longitudinal del agujereado. Hay distintos tipos de brocas, algunas de la cuales se muestran en la figura (Fig.5.26) siendo (a) mecha lengua de aspid, (b) mecha de forma, (c) mecha de aplanar y (d) mecha helicoidal. La última de las brocas mencionadas es justamente una de las herramientas más comúnmente utilizadas en el trabajo de agujereado. El material, en el proceso del corte, a medida que se va desprendiendo, adquiere la forma de una espiral cilíndrica, escurriéndose hacia el exterior a través de dos canales helicoidales cortados en la propia herramienta. En la figura (Fig.5.27) se muestran los principales detalles constructivos de una broca o mecha helicoidal, siendo en la figura (Fig.5.27a) a tenón, b cola, vástago o mango, c cuerpo, d punta, e borde cortante, f guía helicoidal cilíndrica, g acanaladura para salida de la viruta, 1 superficie de despojo lateral, 2cara anterior de despojo, 3 cara posterior de despojo, D diámetro de la broca, α ángulo de la hélice de salida de viruta, ϕ ángulo de punta, λ ángulo de inclinación del núcleo, donde el núcleo es la recta de intersección de los conos que forman la punta de la mecha; en la figura (Fig.5.27b) la posición de la mecha muestra la disposición del borde cortante e de la punta de la herramienta; en la figura (Fig.5.27c) se indican: ángulo α de inclinación de la hélice, ánguloβde filo, ánguloδ de incidencia, ángulo ϕ de la punta, k espesor del núcleo y borde cortante e; la figura (Fig.5.27d) muestra un vástago de sujeción cónico, el cual evita que la broca resbale al ser presionada; en la figura (Fig.5.27e) se ve un vástago de sujeción cilíndrico con tenón y la figura (Fig.5.27f) muestra un vástago de sujeción cilíndrico común. El trabajo de taladrado, además de ser una operación final o de terminación es además un trabajo previo a otras operaciones de mecanizado, como por ejemplo de roscado, alesado o escariado, torneado interior, brochado, etc. Inclusive, taladradoras con suficiente velocidad y precisión pueden realizar roscado y alesado como operación final. Fuerza principal de corte


167

Según se muestra en la figura (Fig.5.28), la broca B para arrancar las virutas V del material T necesita dos movimientos simultáneos, uno el movimiento de avance o penetración a y el otro el movimiento de rotación b, que es el que corresponde al movimiento principal de corte, siendo P la fuerza de penetración y Mr el momento de rotación. Por lo general, como en el caso de la figura (Fig.5.28) la herramienta presenta dos bordes cortantes. Si se analiza la vista superior de la figura (Fig.5.29), y en la misma es a el avance por vuelta de la herramienta, la cual tiene un diámetro d, cada uno de los bordes cortantes cortará una viruta de sección, dada por la expresión:

4.

22dadaq ==

(5.59)

Si es k2 la componente vertical de la resistencia específica de corte del material trabajado, la fuerza

resistente R que se produce será:

R = q.k2 (5.60) La fuerza axial de penetración, o fuerza de corte P/2 es la componente vertical de R, siendo su valor:

2.

2ϕsenRP =

(5.61) De la (5.60) y (5.61) se obtiene:

2222.

2 22ϕϕ senkdasenkqP ==

(5.62) Y operando matemáticamente en la (5.62), se obtiene:

221.. 2

ϕsendkaP =(5.63)

Si se adopta para el ángulo de punta ϕ el valor de 120º, resulta ϕ/2 = 60º, y como es sen60º =0,866, la (5.63) se puede escribir: P = 0,433 ak2.d(5.64) En la (5.64), para a y d en metros y k2 en N/m2, P estará en N (Newton). Si están a y d en milímetros y k2 en kg/mm2, P estará en kg fuerza.


168

Para la determinación del valor a.k2 se puede utilizar el gráfico de Coudrón, el que se muestra en la figura (Fig.5.30a), el cual da dicho valor en función del avance a y del tipo de material a trabajar. Luego, la fuerza P se puede obtener, conociendo el valor del diámetro d de la herramienta, aplicando la expresión dada por la (5.64).

Momento de rotaciónEl movimiento principal de corte lo tiene la mecha o broca en su rotación alrededor de su eje, el cual lo obtiene del mecanismo principal correspondiente de la taladradora. Si se analiza la vista inferior de la figura (Fig.5.29), se observa que, si es F la fuerza horizontal de corte, la que se supone aplicada en el centro de cada uno de los filos a una distancia del centro de rotación igual a d/4, el momento de rotación Mr que debe ejercer el mecanismo principal para vencer la resistencia horizontal al corte presentada por el material, siendo k1 la componente horizontal de la resistencia específica de corte de éste último, estará dada por la siguiente expresión:

24.2 dFdFM r ==

(5.65) Para la sección q de viruta considerada dada por la (5.59), la fuerza F para efectuar el corte del material es:

422. 111

dakdakqkF ===

(5.66) Resultando por lo tanto, el momento de rotación para el corte, según las (5.65) y (5.66), el siguiente:

8442

2

11dakddakM r ==

(5.67) Para k1 en N/m2 y a y d en metros, Mr resulta en Nm o Joule; para k1 en kg/mm2 y a y d en milímetros, Mr resulta en kgmm. El producto ak1 se lo puede obtener de gráficos, como el de Coudrón que se muestra en la figura (Fig.5.30b), el cual da dicho valor en función del avance a y del tipo de material a trabajar. Luego, conociendo el valor de ak1, se pueden obtener la fuerza F y el momento Mr para un valor determinado d del diámetro de la herramienta, aplicando las expresiones dadas por las (5.66) y (5.67) respectivamente.


169

Velocidad tangencial de corteLa velocidad v de corte es tangencial al movimiento de rotación de la broca. Varía desde cero en el centro o punta de la herramienta, hasta un máximo en la periferia del filo. Esta velocidad depende del tipo de material de la mecha y del material a trabajar, estando tabulada para distintos casos según valores obtenidos de la experiencia, en tablas como la que se da como ejemplo a continuación:

Valores medios de la velocidad de corte para mechas de acero rápido Material trabajado Kz

kg/mm2

vm/min

amm/vuelta

Fundición....................................... Fundición de cilindros................... Acero dulce.................................... Acero duro..................................... Acero muy duro............................. Bronce, latón y cobre..................... Aluminio, electrón, duraluminio....

12 a 22 22 a 28 35 a 65 65 a 90

90 a 120 23 a 50 14 a 26

35 a 25 22 a 15 38 a 25 25 a 14 18 a 14 60 a 25

250 a 80

d/50 15d/1000

d/100 d/100 d/100 d/100

15d/1000

Una vez determinada la velocidad v de corte en m/min, se determina la velocidad angular ω(radianes/s) o n (rpm), que la taladradora debe suministrar a la herramienta de diámetro d en milímetros para efectuar el corte, resultando las expresiones:

10002.10002

2.1000..60 ndnddv ππω ===

(5.68) De la (5.68) se obtiene, despejando n:

dvn

π1000=

(5.69) Potencia desarrollada en el corteLa potencia N que se debe suministrar a la herramienta para efectuar el corte del material, teniendo en cuenta el momento de rotación Mr y la velocidad angular ω o la velocidad de rotación n, es:

602. nMMN rrπω ==

(5.70) Teniendo en cuenta la (5.67), si Mr está en Nm, la (5.70) estará en vatios (W); si en cambio Mrestuviera en kgmm, la (5.70) estará en kgmm/s. Si se deseara tener la (5.70) en CV, se la deberá dividir por 75.1000, obteniéndose la expresión siguiente:

716200.

1000.75.60..2. nMnMN rr ==

π

(5.71) La potencia N dada por la (5.70) y por la (5.71) corresponde solo a la necesaria para vencer la resistencia del material al efectuar el corte del mismo, por lo que para dimensionar la potencia Nm del motor que accionará la máquina herramienta se debe además tener en cuenta el rendimiento mecánico η de la maquinaria que interviene en la transmisión del movimiento y de la potencia, obteniéndose por lo tanto la expresión:

ηNN m =

(5.72)


170

Cálculo del tiempo de máquinaA los efectos del cálculo es necesario conocer previamente la profundidad L del agujereado, o carrera de la mecha, la que se da generalmente en milímetros, el avance a en milímetros de la herramienta por cada vuelta que ella gira y el número de vueltas n por minuto que da la herramienta; en función de estos parámetros se puede calcular el tiempo de máquina T empleado para realizar el agujereado en la longitud L.De acuerdo a lo mencionado precedentemente, la herramienta habrá penetrado en un minuto la profundidad dada por la expresión:

Penetración en un minuto = a.n (5.73)

Por lo tanto, en un tiempo de T minutos penetrará una profundidad total L, por lo que se puede escribir:

L = a.n.T

(5.74) De la (5.74) se puede despejar T, por lo que resulta

naLT.

=

(5.75) Escariado o alesado: Como los agujeros realizados en el trabajo de taladrado, y especialmente cuando se utiliza una broca helicoidal con solo dos filos de corte, no resultan perfectamente cilíndricos ni uniformes, y presentan además una superficie que no del todo lisa, es necesario, cuando el mismo requiere una terminación dentro de ciertos valores y grado de precisión, completar la operación mediante el trabajo de escariado o el de alesado, para lo cual se pueden utilizar la propia taladradora o también tornos,

además de las propias máquinas herramientas específicas para dicho trabajo, denominadas alesadoras o mandriladoras. Ambas operaciones, de escariado y el alesado, son similares, consistiendo la diferencia en que en el alesado se quita menor cantidad de material que en el escariado, siendo un verdadero torneado interior. Generalmente el trabajo de alesado se realiza además para lograr un agujero de mayor diámetro de gran precisión. El escariado se realiza con una herramienta llamada escariador, la cual presenta distintas formas según sea el trabajo para el cual se lo utilice, mostrándose en la figura (Fig.5.32) a modo de ejemplo, dos tipos diferentes de ellos; los escariadores son herramientas de filos múltiples de cortes y que están construidas dentro de tolerancias exigidas según el grado de precisión requerido, en tanto que para el alesado se pueden utilizar distintos tipos de herramientas, como por ejemplo herramientas de torno, que cumplan con el objetivo buscado.


171

FRESADOEl fresado es una de las operaciones más utilizadas en los talleres e industrias debido a la multiplicidad de trabajos que con él se pueden realizar, y además a la precisión que se logra en éstos. Entre otras, se pueden obtener piezas de superficies planas y curvas, ranuradas, dentadas, estriadas, roscadas, etc., algunas de la cuales se muestran en la figura (Fig.5.33).

Según la posición del husillo, las máquinas fresadoras pueden ser horizontales o verticales, existiendo las denominadas universales que permiten la inclinación del carro porta pieza hasta 45º; también existen fresadoras especiales, que son utilizadas cuando se construyen piezas en serie, las que pueden realizar, entre otras operaciones, el tallado de engranajes, hélices, tornillos, fresas, escariadores, etc. En la figura (Fig.5.34) se muestra una fresadora horizontal, siendo sus partes principales, el cuerpo o bastidor a, en el cual se aloja el mecanismo de accionamiento del árbol

porta fresa d, el cual es accionado por el volante k y las palancas m, la base b, donde se apoya toda la máquina y se la fija al suelo, el brazo superior c, que soporta al árbol porta fresa, la mesa de consola móvil e, la cual se eleva o desciende por medio de un tornillo sinfín accionado por la manivela h, soportando al carro tranversal f el cual se desplaza en la dirección del eje del árbol porta fresa, en ambos sentidos, con el accionamiento del volante i y la palanca n, la mesa de fresar g, la cual puede desplazarse en forma perpendicular al eje del árbol porta fresa mediante el accionamiento del volante j y la palanca p, sobre la cual se encuentra la pieza a fresar. Generalidades


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La fresa es una herramienta de ángulos de filos múltiples, dispuestos simétricamente alrededor de un eje. Es de corte intermitente ya que el corte del material se efectúa cuando actúa un diente sobre la pieza, la cual disminuye cuando mayor cantidad de dientes tiene la fresa, pero nunca puede eliminarse. Existen distintos tipos de fresas, algunas de las cuales se muestran en la figura (Fig.5.35), correspondiendo (a) a una fresa cilíndrica con filo en su periferia, utilizada para desbaste y afinado en las máquinas fresadoras horizontales, (b) es una sierra circular utilizada para efectuar ranuras estrechas y cortar piezas, (c) corresponde a una fresa de disco de dientes rectos, se usan para fresar ranuras planas, (d) es una fresa frontal angular utilizada para el mecanizado de guías en ángulo, (e) y (f) son fresas de vástago frontales de pequeños diámetros utilizadas para frentear agujeros, cantos y pequeñas superficies, y (g) fresa frontal cilíndrica con dientes con filos cortantes en la periferia y en una de las caras frontales, utilizadas para trabajar superficies planas y rebajes en ángulo recto. Las fresas están construidas de acero al carbono, acero rápido, acero extra rápido, carburos metálicos, materiales cerámicos, aleaciones no ferrosas y materiales especiales, siendo su comportamiento similar a las herramientas del torno. En el trabajo de fresado, el movimiento principal de corte está a cargo de la herramienta. Consiste en la rotación con movimiento uniforme de la fresa, de tal modo que sus filos cortantes adquieren una velocidad tangencial periférica adecuada para el corte del material de la pieza que se trabaja y el de la herramienta empleada para efectuar el corte. El desplazamiento de alimentación de la mesa de fresar, y por lo tanto el de la pieza, depende del movimiento principal. Cada uno de los dientes de la herramienta corta, por lo general, una viruta en forma de

cuña, según se muestra en la figura (Fig.5.36). Por lo tanto, el espesor de la viruta pasa de un valor mínimo de cero en O a un valor máximo en AB, que dependerá del movimiento de alimentación a, del diámetro D de la fresa utilizada y de la profundidad e de corte. Esta característica del trabajo de fresado la distingue en forma absoluta de la forma de corte de las otras máquinas herramientas ya vistas, donde la sección de viruta era constante. Por esta forma de trabajo, cada uno de los dientes o ángulos de filos de la fresa, está sometido a esfuerzos variables que van desde un mínimo a un máximo, descendiendo hasta cero cuando el diente de la herramienta deja de actuar sobre el material de la pieza que se está mecanizando. Por sus características particulares, las máquinas fresadoras

se adaptan especialmente para los trabajos de precisión aunque también se emplean para realizar operaciones de desbastado.

Tipos de fresas y dimensiones principalesEl avance del carro porta pieza (movimiento longitudinal) puede ser, según se muestra en la figura (Fig.5.37a) de


173

distinto sentido o según la figura (Fig.5.37b) de igual sentido al del movimiento principal de corte n (movimiento de rotación de la fresa), los que se denominan respectivamente: fresado corriente en contra dirección o contra avance y fresado paralelo o a favor del avance.

En el fresado llamado refrentado se utilizan fresas circulares con

dientes con filos periféricos u y filos frontales i, según muestra la figura (Fig.5.38), dispuestos en la periferia y en la cara frontal respectivamente; el eje de giro X de la fresa es en este caso normal a la superficie de la pieza trabajada. En este caso, los filos periféricos de los dientes cortan el material, en tanto que los dispuestos frontalmente trabajan alisando la superficie horizontal que se forma. La viruta, en este caso, no es en forma de cuña, sino que presenta una sección transversal en forma de paralelogramo de espesor e y ancho b, siendo el avance por diente a el dado por la expresión (5.77), resultando la carga sobre los dientes uniforme. Todas las fresas presentan elementos comunes, siendo algunos de los principales, mostrados en la figura ( Fig.5.39a), el diámetro exterior D de la fresa, el diámetro interior d, donde encaja el árbol porta fresa, el ancho b de la fresa; en la figura (Fig.5.39b) el ángulo de filo α, el ángulo de incidencia β, el ángulo de ataque δ. La figura (Fig.5c) muestra una fresa circular de filos helicoidales, la cual presenta los mismos elementos que la fresa circular de dientes rectos. Resistencia al corte y momento torsor

El trabajo de corte en el fresado, según lo indicado en la figura (Fig.5.37), es realizado por una fuerza periférica P tangencial a la fresa, la cual debe vencer la resistencia ofrecida por el material sobre el diente. Además aparece una fuerza S radial, soportada por el árbol porta fresa. Como resultante de P y de S actúa la fuerza R sobre el árbol porta fresa, provocando un esfuerzo de flexión compuesta. Si la fresa de la figura realiza el corte del material, siendo d el

diámetro de la fresa, a el avance por diente de la fresa, b el ancho del corte, e espesor o profundidad de corte, tomadas todas en milímetros, y además es va la velocidad de avance en mm/min de la mesa porta pieza, lo que se puede toma como un movimiento relativo de la fresa, v la velocidad de corte de la fresa en m/min, n el número de vueltas por minuto de la fresa (rpm) y z el número de dientes de la fresa, se obtiene que el volumen Vol en mm3/min de metal cortado por un diente estará dado por la expresión: Vol = e.b.va(5.76)


174

La velocidad de avance va, en algunos casos se toma como el avance z.a en mm/vuelta, por lo que resultará, en función del número de vueltas n:

=

minmin... mmvvueltasn

vueltammaz a

(5.77) Si la resistencia específica de corte del material trabajado es ks, la fuerza F necesaria para efectuar el corte del material es: F = ks.q = ks.e.b(5.78) Por lo tanto, teniendo en cuenta la velocidad de avance va, el trabajo de corte por unidad de

tiempo Tr, o potencia de corte, requerido resulta: Tr = F.va = ks.e.b.va(5.79) Como el trabajo de corte lo realiza la fuerza P, que actúa con la velocidad tangencial v,desarrollando una potencia N dada por la expresión:

N = P.v(5.80) Por lo tanto, como la (5.80) debe ser igual a la (5.79):

N = Tr(5.81) Por lo tanto, por la (5.79) y la (5.80) la (5.81) se puede escribir:

P.v = ks.e.b.va(5.82) Operando matemáticamente en la (5.82) se obtiene:

vvbek

P as ...=

(5.83) por otra parte, el momento torsor al cual se somete la fresa de radio r = d/2 es:

2. dPrPM r ==

(5.84) O por la (5.83):

vvdbek

M asr .2

....=

(5.85) Potencia absorbida

La potencia necesaria para efectuar el trabajo de corte está dada por la (5.80) y por la (5.82). Teniendo en cuenta la velocidad de rotación n en vuelta/min y el avance va en mm/vuelta, según la (5.77), la (5.82) se puede escribir como:


175

N = P.v = ks.e.b.va = ks.e.b .z.a.n(5.86) Las dimensiones de las expresiones anteriores corresponderán al sistema utilizado, debiendo poner especial cuidado en utilizar los factores de conversión correctos para pasar de un sistema a otro. Como la expresión (5.86), para ks en kg/mm2, y según las dimensiones ya mencionados de los otros factores, estará dada en kgmm/min, para obtenerla en vatios (W), se deben introducir los factores de transformación, resultando la siguiente expresión:

( ) ( )

= −

min......min

60110.8,9 2

3 vueltanvuelta

mmazmmbmmemmkgk

smmm

kgNN s

(5.87) Operando matemáticamente la (5.87), se obtiene:

N = 1,63.10-4.ks.e.b.z.a.n (W) (5.88) Y para obtenerla en CV, la expresión resultante es la siguiente:

( ) ( )

=

mmm

CVskgms

mmkgkvueltan

vueltammazmmbmme

Ns

1000.175.min

60

.min

.... 2

(5.89) Operando matemáticamente la (5.89), obtenemos:

4500000..... sknazbe

N =(CV)

(5.90) Las expresiones (5.88) y (5.90) dan la potencia para cortar el material únicamente, motivo por el cual se las debe afectar del rendimiento total de la máquina ηT para calcular la potencia del motor que la accionará, debiéndose tener en cuenta los rendimientos propios de la transmisión por los rozamientos existentes en la misma, resultando finalmente la expresión:

Tm

NNη

=

(5.91) Velocidad de rotación de la fresa

La velocidad de rotación n de la fresa debe ser la correspondiente a la velocidad de corte v del material trabajado y al material de la fresa, para lo cual la fresadora tiene dispuesto un sistema de transmisión que varía la velocidad de acuerdo a la necesidad de cada caso. Las velocidades de rotación y de corte ya fueron introducidas en la (5.77) y (5.80) respectivamente, correspondiendo la primera a la velocidad angular ω en rad/s de la fresa y la segunda a la velocidad tangencial en m/s de la misma, estando relacionadas por las siguientes expresiones:

rdv .

2. ωω ==

(5.92) y


176

602 nπω =

(5.93) De la (5.92) y (5.93) se puede escribir:

60602 dnrnv ππ ==

(5.94) Operando la (5.94), se puede escribir:

dvn

π60=

(5.95) Existen distintas tablas que dan los valores de ks, v y va, según el material a trabajar y del tipo de material con el cual está construida la fresa, una de las cuales se da a continuación a modo de ejemplo.

Avances y velocidades de corte de fresas comunes de acero rápido VELOCIDAD DE CORTE

(m/min) MATERIAL

Desgrosado v Acabado v

VELOCIDAD DE AVANCE Va (mm/min)

Cobre y aluminio............................. Bronce común................................. Bronce endurecido.......................... Acero dulce........Kz = 40-50kg/mm2

Acero..................Kz = 60 kg/mm2

Acero mediano...Kz = 70 kg/mm2

Acero duro..........Kz = 80 kg/mm2

Acero muy duro..Kz= 90 kg/mm2

Acero muy duro..Kz= 100 kg/mm2

Fundición común............................ Fundición dura................................

60 – 80 25 – 28 20 – 25 16 – 20 15 – 18 12 – 16 10 –15 9 – 13 8 – 12

12 – 15 17 - 20

80 – 100 35 – 40 30 – 35 25 – 30 22 – 25 18 – 22 16 – 18 14 – 16 13 – 15 18 –20 12 -15

80 – 120 80 45 60 40 30 25 22 20 45 18

Cálculo del tiempo de máquina

Para determinar el tiempo de mecanizado, cuando se realiza la operación de fresado, se debe conocer el número z de dientes de la fresa, su velocidad de rotación n y su velocidad tangencial v que constituye el movimiento principal de corte como también el movimiento de avance o alimentación va del carro portapieza. Por otra parte también será necesario contar con los datos de la longitud L a fresar de la pieza, el espesor total h que se debe rebajar la pieza y la cantidad total de pasadas m para lograr la misma, el espesor por pasada e y el avance por diente a.Si están L, h y e en milímetros, n en vueltas por minuto (rpm), va en mm/vuelta, se tiene:


177

Profundidad total de pasada: ehm =

(5.96)

Tiempo empleado en una pasada: nazL

vLTa ..

==(min)

(5.97) Tiempo total empleado en hacer las m pasadas:

nazLm

vLmTmTa

t ... ===

(min) (5.98) AMOLADOEl amolado consiste en quitar el material de una pieza mediante una herramienta de filos múltiples denominada piedra o disco, constituido por material abrasivo que gira sobre un eje a una velocidad adecuadas, pudiendo tener además la pieza un movimiento lineal o de rotación, o combinados. El amolado o esmerilado se emplea para el afilado de herramientas que se utilizan en el corte

de metales; para desgrosar, desbarbar y pulir distintas piezas obtenidas por moldeo u otro método, quitándoles la re baba o el material en exceso, obteniendo un mejor acabado de la misma; para rectificar distintas superficies obtenidas con otras máquinas herramientas, logrando dimensiones más precisas; para rectificación de piezas templadas, cuando las mismas sufrieron deformaciones por haber sido expuestas a altas temperaturas, ya sea por tratamientos térmicos o recalentamientos. El amolado se realiza con máquinas herramientas, las que según sea el trabajo que realizan reciben diferentes denominaciones, como por ejemplo las amoladoras comunes,que pueden ser portátiles o fijas, utilizadas por lo general en todos los talleres para afilado y desgrosado, las cortadoras a disco sensitivas,que se utilizan para cortar metales o el

desbarbado de piezas, y las rectificadoras, que pueden ser para rectificación plana, cilíndrica o cónica, externa o interna, de roscas, sinfines, engranajes, etc. En la figura (Fig.5.41) se muestra una rectificadora cilíndrica, indicándose sus partes principales siendo éstas: piedra o disco de rectificar A, la cual tiene el movimiento de giro 1, con una velocidad de rotación n; pieza que se rectifica B, que gira según 2 con una velocidad de rotación np; carro con motor C, que le confiere el giro y desplaza a la piedra en la dirección 3 según el radio de la pieza; cabezal del eje de sujeción y de giro de la pieza D, con motor y caja de velocidades que hace girar la pieza a la velocidad np; contrapunta de sujeción de la pieza E, que sujeta la pieza para mantenerla firme en su posición de trabajo; mesa inferior F, soporte de la pieza desplazable hidráulicamente en forma lineal según la dirección 4, sobre guías; mesa superior G, desplazable angularmente en la dirección 5, para dar la inclinación a la pieza para el fresado cónico; tope de la mesa H, para ajustar la posición y carrera de la mesa; caja de control I, para el movimiento de la pieza; manivela de desplazamiento radial J, que desplaza hacia la pieza el carro porta disco y disco de rectificar; manivela de comprobación de desplazamiento y ajuste de la mesa K; bastidor L, con el accionamiento hidráulico de la mesa.


178

GeneralidadesEl amolado se caracteriza por el arranque de virutas muy pequeñas mediante herramientas constituidas, en algunos casos, con substancias minerales naturales como el esmeril, cuarzo,corindón, areniscas, etc., y en otros casos, lo más común actualmente, constituidas por materiales artificiales como carborundum o carburo de silicio (CSi), Alundum (Al2O3), diamante negro o carburo de boro (CB4), y diamantes de baja calidad. Las herramientas más comunes tienen forma de disco, siendo su forma de trabajo muy similar al de las fresas, siendo como ésta, según ya se mencionara, una herramienta de filos de corte múltiples, solo que en este caso los mismos están constituidos por pequeños granos muy agudos, que no se tallan especialmente como en el caso de los dientes de la fresa en número relativamente pequeño, sino que su cantidad es muy grande y se hallan distribuidos sobre la superficie de la muela.

Las operaciones más comunes realizadas con estas herramientas, según ya se mencionara precedentemente, son las indicadas en la figura (Fig.5.42), correspondiendo (a) afilado de una herramienta o útil de torno, (b) afilado de una fresa, (c) desbarbado de una palanca, (d) rectificado cilíndrico de un árbol o eje, (e) rectificado interior de una pieza cilíndrica, (f) rectificado plano de una pieza rectangular. Existe una operación, denominada pulimentado a polea, la que utiliza una rueda constituida por discos de género, siendo los extremos de cuero para facilitar su formación. Esta rueda se monta directamente sobre en el extremo del eje de los motores, constituyendo una polea que gira a alta velocidad, por lo que a causa de la fuerza centrífuga los discos se ponen rígidos y como la polea se cementa o encola con polvos abrasivos o pasta especial para pulir, secándose en hornos, se puede con ella efectuar pulidos gruesos y finos. Características del amoladoEn algunos casos las muelas, además de girar, se desplazan con respecto a la superficie trabajada la cual permanece fija, en otros la muela gira en la misma posición y se desplaza la pieza, existiendo además casos en que ambas se desplazan. Las ruedas de amolar son sólidos de revolución conformadas por innumerables granos de material abrasivo unidos por un aglomerante o aglutinante especial y apropiado para cada tipo de trabajo, cuyo poder de retención de dichos granos constituyen la dureza de la muela. Haciendo variar la proporción y composición de estos aglomerantes se obtienen las durezas de las ruedas de amolar las que se clasifican en grados. Por lo tanto, la dureza de una rueda de amolar no depende del tipo de abrasivo que la constituye, sino del aglomerante utilizado para unir los granos del abrasivo. Grados de dureza: se ha normalizado universalmente la designación por letras mayúsculas, los distintos grados de dureza de las muelas, según se indica en la tabla que está a continuación:

Designación de la dureza de las muelas de rectificar Muy blandas: EFG Blandas: HIJK

Semi-duras: PQRS Duras: TUVW


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Medias: LMNO Muy duras: XYZ

El material aglomerante puede ser V: vitrificado (cerámico o vidrio), son resistentes al agua y pueden realizarse trabajos húmedos, soportan bien la temperatura; S: silicato (silicato de sodio), de iguales características que el anterior; R: goma (goma vulcanizada), al calentarse se vuelven pegajosos; B: resina (resina sintética o bakelita), resiste bien la alta temperatura; E: goma laca (productos elásticos), comportamiento similar a la goma; O: oxicloruro (magnesita), es sensible a la humedad, solo son apropiadas para esmerilado en seco. El grado de dureza se elige de acuerdo al desgaste de los granos, debiendo soltarse del aglomerante y dejar lugar a nuevos afilados, por lo que se deben utilizar por lo general muelas blandas para materiales duros y muelas duras para materiales blandos. Empleo de los abrasivos: como se dijo, existen distintos tipos de abrasivos. Cada uno de ellos se emplean para el amolado de distintos tipos de materiales y trabajos. El óxido de aluminio, obtenido de la bauxita, se utiliza para trabajar materiales de alta resistencia a la tracción, tales como aceros y sus aleaciones, hierro maleable, etc. Carburo de Silicio, recomendado para el corte de materiales de baja resistencia a la tracción como hierro fundido, bronce, aluminio, cobre, carburo de tungsteno, materiales no metálicos, etc. Otro tipo de abrasivo de gran resistencia es el diamante, para amolado de materiales duros, confiriendo a las muelas con aglomerante metálico la propiedad de no calentarse durante el afilado de herramientas de metal duro como el carburo metálico.

Tamaño del grano: la cantidad de material arrancado depende del tamaño del grano del abrasivo que conforma la muela. El tamaño de los granos se clasifica empleando tamices que presentan distintas medidas de mallas, a través de las cuales se hacen pasar los granos. Cuanto más cerrada es la malla, más pequeño es el tamaño de grano que puede pasar por ella. Se ha estandarizado el tamaño según el número de orificios o aberturas que tiene la malla por pulgada, según muestra la figura (Fig.5.43), la cual corresponde a una malla de 32 orificios por pulgada, correspondiendo a un grano 32, siendo su tamaño en pulgadas y milímetros 1/32 = 0,03125’’ = 0,79375 mm. La tabla precedente indica la clasificación del tamaño del grano según el número N de orificios de la malla por pulgada y su uso para los distintos tipos de trabajos que se pueden realizar con la muela. El tamaño del grano influye en el rendimiento del trabajo de rectificado y sobre la calidad superficial de la pieza trabajada, de tal forma que con un granulado grueso se obtiene un gran rendimiento pero superficies ásperas y con un granulado fino el rendimiento es pequeño pero las superficies son lisas, por lo tanto, el tamaño del grano de las muelas de desbaste deberá ser mayor que en las de acabado.


180

Estructura de las muelas: está dada por la distribución de los granos abrasivos y el aglomerante que los retiene y el tamaño de los espacios abiertos, comúnmente llamados poros,

entre éstos. La estructura podrá ser cerrada ocompacta, mediana y abierta o porosa. Se tiene así que en una estructura cerrada o compacta los poros son menos abiertos que en las estructuras mediana y en éstos que en las abiertas. Con la variación de la estructura se logra que las partículas o virutas arrancadas no queden adheridas a la muela, que el refrigerante pueda ingresar a la zona de contacto entre la rueda y la pieza trabajada e inclusive variar la profundidad de corte. Cuando mayor son los poros el grosor de la viruta que es arrancada puede ser mayor ya que no se tapa o atora la rueda. En la figura (Fig.5.44) se muestra, a modo de ejemplo una estructura con la distribución del aglomerante, de los granos abrasivos y de los poros, y en la figura (Fig.5.45), la forma de

como efectúa el corte el grano de la muela al girar ésta y la pieza que se trabaja a n y n1 vueltas por minuto respectivamente, siendo m la partícula o

viruta arrancada por el grano abrasivo g, a el aglomerante que lo retiene y p la abertura o poro que permite se desprenda la viruta arrancada y que define el tipo de estructura de la muela. Por lo general, la estructura cerrada se utiliza para trabajar materiales muy duros, teniendo un mejor acabado superficial, la mediana para materiales tenaces o cuando la muela debe abarcar superficies amplias y por último, la abierta para trabajar materiales blandos o plásticos. La estructura de las muelas se designan con números romanos, según se indica a continuación:

Cerrada o compacta Media Abierta o porosa I, II, III IV, V, VI VII, VIII, IX

RectificadoUna de las principales operaciones que se efectúa con el amolado es el rectificado, que es una operación de acabado superficial con un elevado grado de precisión, el cual consiste en un amolado fino con avances perfectamente uniformes, el cual se realiza con máquinas rectificadoras, según lo ya visto anteriormente. El rectificado puede ser realizado en el exterior o interior de piezas cilíndricas o cónicas, o en superficies planas. Con la operación de rectificado se pueden corregir imperfecciones de piezas sometidas a tratamientos térmicos, las cuales debido al calentamiento han sufrido deformaciones, como es por ejemplo, el caso de las tapas de cilindros de los motores de explosión y de combustión interna, en las cuales se realiza un rectificado plano. También se pueden corregir deformaciones causadas por el desgaste, logrando medidas homogéneas en las piezas que se trabajan, como por ejemplo en la rectificación de los cilindros de automóviles, mediante un rectificado cilíndrico interior. Con el rectificado también se da a las piezas su acabado definitivo, llevándolas a sus medidas correspondientes entre los límites establecidos. El rectificado es aplicable a distintos tipos de materiales, tanto metálicos como no metálicos, como el acero y el vidrio, por ejemplo. Es muy importante la velocidad vrelativa entre la muela y la pieza, dependiendo éstas del material a rectificar y del aglomerante utilizado, así como también del tipo y tamaño del abrasivo. En función del


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diámetro d en mm de la muela y de su número de vueltas n por minuto, la velocidad tangencial o de corte v de la muela en m/s es:

60.1000ndv π=

(5.99) Existen tablas que dan la velocidad de las muelas en función de su dureza y tipo, una de las cuales para el rectificado cilíndrico, se transcribe a continuación:

Velocidades periféricas de las muelas en m/s Aglomerante vitrificado y al

silicato Aglomerante de resina sintética y

goma Dureza Dureza

Tipo de muela

Blanda Media Dura Blanda Media Dura De disco......................................... De anillos, de taza, cónicas, bicónicas........................................ De disco, para tronzado................. De disco especial para tronzado.....

25

23 --

30

25 --

33

28 --

33

25 --

40

30 50 -

60

40 60

60 a 80

En el rectificado cilíndrico se utilizan muelas cilíndricas, girando tanto la muela como la pieza trabajada, pudiendo desplazarse longitudinalmente tanto una como la otra, según se puede observar en la figura (Fig.5.46) distintos tipos de rectificados, en (a) y (c) cilíndrico externo, (b) cónico externo y (d) cilíndrico interno. Rectificación plana

Una de las operaciones más utilizadas y por lo tanto importante, es el rectificado de superficies planas que han sufrido deformaciones, como se comentara anteriormente, utilizándose para ello tanto muelas cilíndricas como de formas especiales, algunas de las cuales se muestran en la figura (Fig.5.47) denominadas (a) rueda de copa recta, (b) de copa cónica y (c) rueda de platillo. Las muelas tienen dimensiones características , normalizadas, las cuales vienen especificadas por los fabricantes y según un código que las identifica. Las velocidades utilizadas también en este caso dependen del tipo de material a rectificar y el tipo de muela. En la figura (Fig.5.47) es D el diámetro exterior de la muela, W ancho de la superficie abrasiva, X espesor del abrasivo, T alto total de la muela, E grueso de la

piedra, H encastre para el montaje de la muela en el eje, α ángulo de inclinación de la superficie abrasiva de la muela.


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El rectificado plano, según la posición que tome la muela con respecto a la pieza que se trabaja, puede ser tangencial o frontal, lo que se indica en la figura (Fig.5.48a) y (Fig.5.48b) respectivamente, dependiendo del tipo de muela utilizada. Al girar la muela se produce el movimiento de corte a, al mismo tiempo, el mecanismo hidráulico produce el avance b de la mesa porta pieza y por lo tanto de la pieza, siendo c la penetración o avance en profundidad en tanto que d corresponde al movimiento transversal de la muela, o también de la pieza, para cubrir su ancho. En la figura (Fig.5.49) se indican ambos tipos de rectificado plano, los cuales se realizan de la forma siguiente: 1- En el rectificado tangencial el eje de la muela es paralelo a la superficie de la pieza que se trabaja. La muela gira sobre su eje a una determinada velocidad mientras la pieza se desplaza con movimiento rectilíneo, lo que se muestra en la figura (Fig.5.49a). La superficie de la muela que trabaja es pequeña, por lo que la producción es reducida. Se utiliza para el esmerilado de listones. 2- En el rectificado frontal el eje de la muela es perpendicular a la superficie trabajada. La muela gira alrededor de su eje, trasladándose la pieza con movimiento rectilíneo, dando lugar al esmerilado en cruz , según se observa en la figura (Fig.5.49b). Como hay una gran superficie de contacto de la muela con la pieza, la producción es grande.

3- En este caso también se trata de un rectificado frontal, pero el eje de la muela tiene una leve inclinación respecto de la perpendicular al plano de la pieza trabajada, siendo los movimientos similares al del punto 2, dando lugar al esmerilado radial, según muestra la figura (Fig.5.48c). Con esta forma de trabajar, la muela trabaja con un solo canto, evitando la convexidad (abombamiento) que puede producirse con el esmerilado en cruz. Velocidad periférica de la pieza que se trabajaEs de fundamental importancia esta velocidad en relación con la velocidad periférica de la muela para la correcta ejecución del trabajo. Estas velocidades son diferentes para cada tipo de operación donde la pieza tiene movimiento. Por lo general, cuando se trata de desgrosado o desbastado, se aconseja emplear bajas velocidades periféricas de la pieza, en cambio se deben utilizar grandes avances laterales y profundidades de corte. Las velocidades periféricas de las piezas trabajadas se expresan en metros sobre minuto. La expresión que da la velocidad periférica vp en m/min de la pieza, en función de su diámetro dp dado en mm y de su número de vueltas np por minuto está dado por la expresión:

p

pp d

vn

π1000

=

(5.100) Se encuentran tabulados valores de estas velocidades para los distintos materiales y tipos de trabajos a los que están sujetos y a las distinta muelas utilizadas. A continuación se transcribe una de las tablas mencionadas, en la cual se han colocado en


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las distintas columnas el tipo de material de la pieza que se trabaja, tipo de mecanizado a realizar, velocidad y dureza y tamaño del grano para el esmerilado exterior como interior:

VELOCIDAD PERIFÉRICA DE LA PIEZA EN m/min Esmerilado cilíndrico exterior Esmerilado cilíndrico interior

Material

Mecanizado Vel. periférica Grano/Dureza Vel. periférica Grano/Dureza Acero blando Desbastado

Afinado 12 a 15 9 a 12

46 L a M “

16 a 21 -

45 a 50 J a O

Acero templado Desbastado Afinado

14 a 16 9 a 12

46 K “

-18 a 23

46 K a 60 H

Fundición gris Desbastado Afinado

12 a 15 9 a 12

46 K “

-18 a 23

40 a 46 K a M

Latón Desbastado Afinado

18 a 20 14 a 16

36 K a 46 J “

-25 a 30

36 K a 46 J

Aluminio Desbastado Afinado

40 a 50 28 a 35

30 K a 40 J “

-32 a 35

30 H

Avance longitudinal por giro de la pieza y espesor o profundidad de corteSi por cada giro de la pieza la muela se desplaza longitudinalmente una distancia a, la cual corresponde a una fracción de su ancho b, según se indica en la figura, se tendrá:

Desgrosado------------------------ ba

21=

ab

54

Acabados-------------------------- ba

101=

ab

41

Existen tablas que dan para los distintos materiales, tipos de muelas y trabajos a realizar el avance a en

función del ancho b de la muela. Una de estas tablas es la que a continuación se transcribe:

AVANCE LATERAL POR REVOLUCIÓN DE LA PIEZA, EN FRACCIONES DEL ANCHO bDE LA MUELA

Esmerilado cilíndrico exterior Esmerilado cilíndrico interior Material Desbastado Afinado Desbastado Afinado

Acero 2/3 a ¾ ¼ a 1/3 ½ a ¾ 1/5 a ¼Fundición gris ¾ a 5/6

1/3 a ½ 2/3 a ¾ ¼ a 1/3

Para el espesor o profundidad e de pasada, según el tipo de material que se trabajará, se toman valores radiales, que también se encuentran tabulados, en tablas como la siguiente:

MATERIAL DESGROSADO (mm) ACABADO (mm) Acero templado 0,02 a 0,03 0,005 a 0,01 Acero normalizado 0,03 a 0,06 0,005 a 0,02 Fundición 0,08 a 0,16 0,02 a 0,05 Latón y Aluminio 0,125 a 0,25 0,02 a 0,1 Potencia necesaria:La potencia N necesaria en kgm/s para el corte estará en función de la fuerza tangencial o de corte P en kg, que realiza la muela y de su velocidad periférica de corte v en m/s. Esta potencia es igual a la necesaria para imprimir a la pieza trabajada una velocidad periférica vp en m/min, donde el material ofrece una fuerza resistente Fen función de la sección del material arrancado que estará dado por el avance a en


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mm/vuelta de la muela, del espesor o profundidad de corte e en mm y de la presión específica de corte ks en kg/mm2, resultando por lo tanto: N = P.v = 60. vp.e.a.ks(5.101) Para obtenerla en CV se la divide por 75 kgm/CV, resultando:

75.vPN =

(5.102) Para obtener la (5.102) en vatios se tiene: N = 9,8 P.v(5.103) De la (5.102) y (5.103) se obtiene: 1CV = 735 W (5.104)

La presión específica ks se la obtiene de gráficos como los de la figura (Fig.5.51), en función del espesor o profundidad de corte e y de las velocidades tangenciales o de corte v, siendo la figura (Fig.5.51a) para rectificar piezas de acero y la figura (Fig.5.51b) para rectificar piezas de fundición: Tiempo de rectificado cilíndricoAnalizando la figura (Fig.5.50), se tiene en este caso que la pieza gira, con una velocidad de rotación np vueltas por minuto, entre dos puntas, siendo además s la longitud que se debe esmerilar de la pieza, por lo que, o la mesa que la soporta o la muela, se desplaza longitudinalmente la longitud total 2s en milímetros, en un movimiento alternativo de ida y vuelta, realizando el trabajo de esmerilado en cada pasada simple. La muela gira con la velocidad de rotación n en vueltas por minuto y puede acercarse a la pieza en forma micrométrica. El avance lateral de la pieza por cada giro que realiza es a, siendo el espesor de una pasada e, llegando con m pasadas a una profundidad total h, estando todas estas medidas en milímetros. Si es t en minutos, el tiempo empleado en realizar una pasada doble, es decir de ida y vuelta, se tendrá:

2s = np.a.t(5.105)


185

El número de pasadas m para llegar a la profundidad h, es:

ehm =

(5.106) El tiempo T en minutos, empleado para realizar estas m pasadas es:

eanhstmT

p ....2. ==

(5.107) Si el esmerilado se realizara en la carrera de ida únicamente, el tiempo T para realizar el trabajo será:

eanhsT

p ...=

(5.108) No se consideran los tiempos pasivos, los que deberán tenerse en cuenta en cada caso según las características de las piezas a trabajar, agregándose al tiempo obtenido anteriormente. Tiempo de rectificado plano

Según lo visto en rectificado plano, el mismo puede ser tangencial o frontal. El rectificado cilíndrico utiliza una muela cilíndrica que gira a n vueltas por minuto, la que se muestra en la figura (Fig.5.52). Para cubrir el largo s y el ancho b a esmerilar, la muela o la pieza debe estar animada con un movimiento transversal de avance y retroceso perpendicular al movimiento de

corte principal de la muela, el cual tiene una velocidad vm y de un movimiento lateral al final de cada doble pasada, al final de la cual se ha logrado una profundidad de penetración o espesor de pasada e. Para cubrir el ancho total b de la pieza se necesitan m’ pasadas. Tanto s, b y e están dados en milímetros, estando vm en m/min. En la figura (Fig.5.53) se muestra un rectificado plano frontal, en el cual la muela, la cual gira a nvueltas por minuto, cubre totalmente la pieza, motivo por el cual la pieza solo cuenta con un movimiento de avance longitudinal de velocidad vp, no siendo necesario un movimiento lateral perpendicular al movimiento de corte principal de la muela. En el rectificado plano tangencial, para realizar las m pasadas que permitan obtener en el ancho total


186

b de la pieza, la profundidad total h en milímetros, se emplea un tiempo total T en minutos. Si el tiempo empleado en un doble recorrido 2s es t’ minutos, y para realizar las m’ pasadas es t, se puede escribir:

tsv p ′

= .2(5.109)

Despejando t’ de la (5.109) se obtiene:

pvst .2=′

(5.110) Por otra parte se tiene que es:

abm =′

(5.111) Para realizar las m’ pasadas, el tiempo t empleado será:

avbstmt

p ...2. =′′=

(5.112) Las m pasadas para lograr la profundidad h, está dada por la expresión:

ehm =

(5.113) Y para terminar el trabajo con las m pasadas, se tendrá:

eavhbstmT

p .....2. ==

(5.114) Para el caso que no se necesite desplazamiento lateral, será m’= 1, y el tiempo total que se empleará es:

evhstmT

p ...2. =′=

(5.115) La sujeción de las piezas a la mesa portapiezas debe realizarse con cuidado, a los efectos de evitar todo movimiento que introduzcan defectos en el rectificado. Se utilizan montajes especiales para sujetar las piezas, y en las que tienen un trabajo previo se pueden emplear platos magnéticos, debiendo posteriormente desimantarse las piezas de acero y de fundición de hierro sujetadas por este último medio. BROCHADO

GeneralidadesEl brochado es una operación que permite modificar el perfil interno o externo de una pieza, por lo que se pueden presentar dos tipos de brochado, el interno y el externo. La máquina utilizada en el brochado se denomina brochadora, las que pueden ser a su vez


187

horizontales o verticales, según que la posición de la herramienta, la que se llama brocha, sea horizontal o vertical respectivamente. La brocha, está constituida por una espiga o barra que consta de una cantidad de filos distribuidos a lo largo de la misma,

que conforman el perfil que se desea obtener en el maquinado. La figura (Fig.5.54) muestra el esquema de una brochadora horizontal para brochado interno, en la cual se indican sus partes principales. El carro de arrastre

tracciona hidráulicamente a la brocha haciéndola pasar por el agujero previamente hecho en la pieza, y con los filos cortantes de la espiga realiza el corte del material obteniéndose la forma deseada. Para el caso del brochado interno, que es el caso más corriente, la herramienta consiste en una barra o espiga que posee resaltos o anillos con filos, en forma de dientes cortantes, dispuestos en orden geométrico ascendente a lo largo del eje longitudinal de la barra. La medida diametral de estos anillos o dientes cortantes, se obtiene en base a una progresión aritmética, incrementando radialmente la altura de los dientes. La operación se realiza haciendo pasar la herramienta en forma forzada a través de un agujero previamente practicado en la pieza. El brochado se presta a la ejecución de trabajos de acabados muy finos, los cuales se consiguen porque en la serie de dientes

que poseen las herramientas, el orden ocupado por éstos es generalmente, según se indica en la figura (Fig.5.55) el siguiente: dientes de desbastar, de acabado y de calibrado o alesado. En razón de las características señaladas de la herramienta, solicitada ésta ya sea por tracción o compresión, se logra retirar gradualmente el material

de la pared del agujero, el cual ha sido practicado previamente en la pieza, y según sea la forma o perfil de la brocha, obtener agujeros cuadrados, hexagonales, circulares, acanalados, elípticos, estriados, etc. Además, dando junto con la tracción axial un movimiento de rotación a la herramienta, ésta puede generar en le corte, hélices de paso constante, constituyendo el brochado helicoidal. Los trabajos de brochado son varios, algunos de los cuales se muestra en la figura (Fig.5.56), correspondiendo el a, b, c y d a brochado interior y los e, f, y g a brochado exterior.

Cuando se exige el empleo de herramientas de gran longitud, se utiliza el brochado por tracción, estando por lo general, el


188

conjunto en forma horizontal, como se indicó en la figura (Fig.5.54); en recorridos cortos se prefiere la acción por compresión y la máquina con disposición vertical. En la figura (Fig.5.57) se muestra el proceso de brochado exterior, donde la brocha a se mueve en la guía c, presionada hacia abajo por la fuerza F, efectuando en la pieza b, la cual se halla soportada por la mesa m, el corte del material con la forma que posee la herramienta. El accionamiento de la herramienta puede ser mecánico o hidráulico, dándose actualmente preferencia a la última forma. Las brochadoras, por sus altos costos, son utilizadas por lo general, para la fabricación en serie de piezas, no siendo una máquina de uso común en los talleres de mantenimiento.

Características del corte y de las herramientas cortantes

En la figura (Fig.5.58) se muestra una brochadora para interior. Los dientes de la brochadora trabajan radialmente cortando la viruta a lo largo de la superficie a trabajar. Una exigencia del trabajo de brochado es que los dientes o anillos cortantes de la herramienta se verifique un aumento

diametral progresivo, siguiendo la serie aritmética, cuya diferencia la constituye el incremento radial e. De acuerdo a esto, las diversas alturas de los dientes cortantes se ordenan en la siguiente forma: h; h+ e; h+ 2e; h+ 3e;....h+ ( z – 1)e(5.116) Siendo z en la (5.116), el número de dientes o anillos cortantes de la brocha. El primer diente o anillo cortante de altura h, debido al agujero previo realizado, cortará solo una viruta de espesor e, el segundo cortará una viruta de espesor h + e, es decir de idéntico

espesor, y así sucesivamente. Si, según se indica en la figura (Fig.5.59) se llama paso p a la distancia entre dos dientes consecutivos de la brocha y l a la longitud activa de la misma, es decir, la que trabaja realmente, el número zde dientes de la brocha se determina de la siguiente relación:

l = (z – 1).p (5.117) Despejando z de la (5.117), se obtiene:


189

1+=plz

(5.118) También es importante el número de dientes n que trabajan en la longitud L de la pieza a mecanizar, la cual se indica en la figura (Fig.5.59), siendo, en este caso

1+=

pLn

(5.119) El número de dientes en función de l está tabulado, en tablas como la que se muestra a continuación:

Número de dientes de la brocha en situación de trabajo min................ l en mm max..............

9

9

18

18

32

32

50

50

75

75

105

105

145

145

190

190

250

z.........................................

11/2 21/2 31/2 41/2 51/2 61/2 71/2 81/2 91/2

El valor del incremento radial e de corte depende del tipo de material a trabajar y del tipo de material que constituye la herramienta. Se encuentran tabulados distintos valores obtenidos de la experiencia, en tablas como la que se transcribe a continuación:

Valor máximo de e en mm según el tipo de brocha Material a trabajar Redonda Estriada acanalada Para chaveteros

Acero de Kz = 110 kg/mm2..... Acero de Kz = 80 kg/mm2....... Acero de Kz = 55 kg/mm2....... Acero muy dulce.....................Fundición dura........................ Fundición blanda.................... Bronce duro............................ Bronce dulce........................... Latón....................................... Aluminio (aleaciones duras)...

0,032 0,040 0,050 0,063

“0,080

“0,100

“0,125

0,040 0,05

0,063 0,080

“0,100

“0,125

“0,180

0,050 0,063 0,080 0,100

“0,125

“0,160

“0,200

Solicitaciones de la brocha por tracción. Cálculo del esfuerzo exigido por el corte

La máquina brochadora deberá proveer una potencia N para poder ejercer la fuerza axial P con que se debe traccionar o comprimir la brocha para realizar el corte, que a su vez dependerá de la resistencia específica de corte ks del material que se trabaja, de la sección q de viruta arrancada y del número de dientes n que actúan en el corte, debiendo al mismo tiempo dimensionarse el núcleo de la brocha para que resista esta fuerza sin romperse. La sección de viruta dependerá de la longitud a del perímetro de filo y del espesor o incremento radial e. Por lo expuesto se puede escribir:

q = e.a.n (5.120) Resultando por lo tanto: P = ks.q = ks.e.a.n(5.121)


190

La resistencia específica de corte ks, que dependerá del material que se trabaja, se obtiene de la experiencia, volcándose los valores en tablas como la que se muestra a continuación:

Resistencia específica en el brochado Material a trabajar ks kg/mm2 Material a trabajar ks kg/mm2

Acero 90-115 kg/mm2........................ Acero 70-90 kg/mm2........................ Acero 50-70 kg/mm2........................ Acero 50 kg/mm2........................ Acero extra dulce ..............................

500 400 315 250 200

Fundición dura................................ Fundición semidura........................ Bronce duro.................................... Fundición dulce – Bronce............... Latón – Cobre................................. Aluminio duro................................

160 125 125 100 80 63

Además, al producirse el corte, se ejerce un esfuerzo periférico sobre el diente de la brocha, el cual es llamado esfuerzo periférico sobre el diente K y que está dado en kg/mm, cuyos valores depende del material que se trabaja y de la forma de la brocha, estando tabulados:

Valores del esfuerzo periférico sobre el diente KBrocha Acero - Fundición dura

kg/mm Fundición – bronce –

latón kg/mm

Aleación de aluminio kg/mm

Redonda............................Estriada.............................Acanalada.........................Plana.................................

12,5 16 20 25

10 16

12,5 20

810

12,5 16

El núcleo de la brocha solicitado a la tracción, se verifica considerando el coeficiente de trabajo a la tracción. Su diámetro d0 está determinado por el diámetro inicial d del agujero en la pieza, resultando, para la altura h de los dientes de la brocha: d0 = d – 2h(5.122) Si el coeficiente de trabajo es kz, resultando éste de considerar aplicado a la resistencia unitaria de corte del material Kz un coeficiente de seguridad κ, de tal modo que es:

κz

zKk =

(5.123) La fuerza Pmax que soportará el núcleo de la brocha, será:

zkdP4

20

maxπ

=

(5.124) De la (5.124) se puede obtener el diámetro del núcleo:


191

zkPd

π4

0 =

(5.125) Si la brocha actúa a la compresión, el núcleo de la espiga de la brocha debe verificar al pandeo, por lo que el largo l0 del tramo sometido a la compresión, en función del diámetro d0 o del lado b para el núcleo rectangular, es: Brocha circular: l0 = 18,5 d0(5.126) Brocha rectangular: l0 = 21,5 b(5.127) Potencia desarrollada en el brochadoLa brocha se desplaza con una velocidad de corte v en m/min, la que no debe ser elevada a fin de no exponer a la herramienta a esfuerzos excesivos, ya que el tiempo empleado en el trabajo es corto. En la tabla siguiente se indican velocidades empleadas para distintos materiales:

Material a trabajar Resistencia a la rotura Kzkg/mm2

Velocidad v de corte

Fundición.........................................Fundición maleable......................... Acero dulce..................................... Acero duro.......................................Acero muy duro...............................Bronce, latón, cobre........................

12 – 22 22 – 28 35 – 65 65 – 90

90 – 120 28 - 50

1,2 24

3 – 3,5 2,5 3

La velocidad en la carrera de retorno o pasiva es muy superior a la velocidad de corte en la carrera activa. La potencia N necesaria para efectuar la fuerza P con que se tracciona la brocha a una velocidad de corte v está dada por la expresión siguiente: N = P.v = q.ks.v (5.128) Para P en Newton, v en m/min, q en mm2 y ks en kg/mm2, la potencia N en vatios (W) será:

vkqvPN s ...163,060. ==

(5.129) Para obtener N en CV, estando P en kg, se tiene la expresión:

vkqvPN s ..10.22,275.60. 4−==

(5.130) Si se tiene en cuenta el rendimiento η del mecanismo que mueve la brocha, la potencia Nm del motor de accionamiento de toda la máquina herramienta será:


192

ηNNm =

(5.131) Tiempo de máquinaEl tiempo t en minutos, empleado para realizar el corte en la carrera activa, la cual tiene una velocidad v en m/min, siendo la longitud c del recorrido de la brocha igual a la longitud L de la pieza más la longitud l de la parte dentada de la brocha, ambas en metros, se obtiene de las siguientes relaciones: c = L + l(5.132) Por lo tanto, el tiempo t será:

vlL

vct +==

(5.133)

------------()-------------- Apuntes de clases extractados de la siguiente bibliografía

TÍTULO AUTOR EDITORIAL - Aplicaciones de Tecnología Mecánica Felipe. F. Freyre Alsina - Manual del Constructor de Máquinas H. Dubbel Labor - Tecnología Mecánica I y II Pascual Pezzano Alsina - Alrededor de las Máquinas Herramientas Heinrich Gerling Reverté - Manual del Ingeniero Hütte II A Academia Hütte Gustavo Gili - Tecnología Mecánica I y II C. E. Thomas Nigar S.R.L. - Manual del Ingeniero Mecánico de Marks Baumeister y Marks Uteha - Mecánica de Taller E. Solsona Alsina - Máquinas Herramientas Modernas I y II Mario Rossi Científico Médica - Máquinas. Cálculos de Taller A. L. Casillas Máquinas - Tecnología de los Metales Happold-Feiler-Schmidt Reverté


193

TRANSMISIÓN DEL MOVIMIENTO

GENERALIDADES: La transmisión del movimiento desde un mecanismo o elemento de máquina a otro se puede realizar en forma directa, como por ejemplo el caso de un engranaje montado sobre el eje de un motor y que engrana con otro engranaje al que le transmite el movimiento de rotación del eje, o a través de vínculos intermedios que transmiten el movimiento que tiene el elemento motor al elementos conducido. Este vínculo intermedio puede ser sólido o fluido, en el primer caso podrá ser rígido, como la biela de un mecanismo, o flexible como una correa plana o trapezoidal, y en el segundo caso puede ser líquido, presentándose este caso en los mecanismos hidráulicos. Los vínculos intermedios puede ser correas planas o trapezoidales, cadenas, engranajes, tornillo sin fin y rueda helicoidal, bielas, manivelas, aceites, etc. En un principio, la transmisión del movimiento se realizó utilizando poleas y correas planas, ya sea para accionamiento individual o a partir de un eje principal para un grupo de poleas. Posteriormente, la correa plana fue desplazada por la correa trapezoidal y por los engranajes, casi en su totalidad. La correa trapezoidal, además de presentar la ventaja de la transmisión elástica, suave y silenciosa, al poder existir varias correas en una misma polea, confiere mayor seguridad y continuidad al movimiento, ya que si una de ellas se corta, el movimiento no se detiene. Actualmente, para la transmisión del movimiento ha cobrado auge la utilización de engranajes y tornillo sin fin con rueda helicoidal. En muchos casos, en los cuales no es conveniente ni práctico detener el funcionamiento del motor para cambiar el movimiento del mecanismo o elemento, se utilizan embragues, los que pueden acoplar o desacoplar durante el giro los diferentes órganos de máquinas en movimiento, permitiendo realizar los cambios necesarios. Para mayor información sobre embragues el estudiante tendrá que consultar bibliografía especializada ya que no es objeto de estudio de este curso. Eje motor y eje receptor en la transmisión del movimiento por poleas y correasCuando el eje de una máquina motriz gira a una velocidad de rotación n, una polea que se encuentra solidaria, enchavetada, atornillada o soldada, al mismo, también gira a la misma velocidad de rotación n, y como ya se sabe, la velocidad tangencial v en la periferia de la polea dependerá del radio de la misma. Esta polea puede transmitir, por fricción o a través de una correa, su movimiento a otra polea que esté montada sobre el eje de otro mecanismo receptor del movimiento, el cual según sea la relación de transmisión, podrá adquirir menor, igual o mayor velocidad de rotación que el primero. La polea que transmite el movimiento se denomina motora o conductora, en tanto que la que recibe el movimiento recibe el nombre de conducida. Según muestra la figura (Fig.6.1), la polea motora tiene un radio R , gira a una velocidad

angular ω y sobre la periferia de la misma actúa constantemente una fuerza tangencial P que produce un momento motor M que torsiona el eje Este momento motor está dado por la expresión:

Mm = P.R (6.1)

La potencia que desarrolla el motor que acciona la polea motora es:

N = Mm.ω(6.2)

6


194

Además, como el punto de aplicación de la fuerza P se mueve con una velocidad tangencial periférica v, la potencia desarrollada tangencialmente por la polea es:

N = P.v(6.3) La (6.2) y la (6.3) son expresiones que permiten conocer, a partir del momento motor Mm y de la velocidad angular ω, o de la fuerza P y de la velocidad tangencial v, que debe realizar la polea motora, la potencia N en el eje que debe entregarle el motor, o viceversa. Por ser, según ya se viera en capítulos anteriores, para un número n de vueltas por minuto:

v = ω.R = 60...2 Rnπ

(6.4) Resulta, de la (6.3) y de la (6.4):

N = P.v = P.ω.R = P. 60...2 Rnπ

= 55,9.. nRP

(6.5) Si P está en Newton, R está en m, ω en rad/s y v en m/s, en la (6.5), N resulta en Vatios (W). Si P está en kg, R está en cm, ω. en rad/s y v en m/s, en la (6.5), para obtener N en CV, se aplica la siguiente expresión:

71620..

100.75.60....2 nrPnRPN == π

(6.6) O también:

RnNP.

71620=

(6.7) El eje receptor, sobre el cual se ejercerá la fuerza P, a través del vínculo utilizado, estará sometido a un momento rotor:

''.' RPM r =(6.8) Siendo por lo tanto la potencia N’ transmitida, para una velocidad angular ω’ en rad/s y n’

vueltas por minuto, y una velocidad tangencial periférica v’ en m/s:

N’ = P’.v’ ='rM .ω’.R’ = 60

''...2 Rnπ

(6.9) Existiendo las mismas consideraciones para las dimensiones de cada parámetro que interviene en dicha expresión. Determinación de la relación de transmisión

Según lo ya visto, para que pudieran engranar dos engranajes entre sí, según muestra la figura (Fig.6.2), debían tener igual módulo, de donde se obtenía para la relación de transmisión i las expresiones siguientes, en función de sus velocidades angulares, diámetros primitivos y número de dientes:

2

1

2

1

1

2

1

2

zz

DD

nni ====

ωω


195

(6.10) Para tornillo sin fin y rueda helicoidal, la relación de transmisión para zs filetes del tornillo y zRdientes de la rueda era:

ruedaladedientesdenúmerofintornillodelfiletesdenúmero

zz

iR

s sin==

(6.11) Para el accionamiento de poleas con correas, la relación de transmisión i, de acuerdo a la figura (Fig.6.3) es:

conductorapoleaangularvelocidadconducidapoleaangularvelocidadi ==

1

2

ωω

(6.12) Pero se tiene que es:

602 1

1nπ

ω =

(6.13) y

602 2

2nπ

ω =

(6.14) Efectuando el cociente entre la (6.14) y la (6.13), se obtiene:

1

2

1

2

nn

=ωω

(6.15) Las velocidades tangenciales periféricas en cada polea están dadas por las siguientes expresiones:

6011

1nDv π

=

(6.16)

6022

2nDv π

=

(6.17) Como las dos poleas están unidas por un mismo vínculo indeformable, como es la correa, sus velocidades periféricas deben ser iguales: v1 = v2(6.18) Por lo tanto se pueden igualar la (6.16) y la (6.17):

6011nDπ

6022nDπ

=



196

2

1

1

2

DD

nn

=

(6.20) Teniendo en cuenta la (6.12), la (6.15) y la (6.20), se obtiene para la relación de transmisión de las poleas I y II de la figura (Fig.6.3), la siguiente expresión:

2

1

1

2

1

2

DD

nni ===

ωω

(6.21)

Accionamientos individuales y por grupos mediante correas

Los accionamientos individuales se realizan por lo general mediante correas planas o trapezoidales, en los casos que la polea motora que se encuentra enchavetada en el eje del motor, eléctrico o térmico, transmite a otra máquina, por ejemplo un compresor, como el que se muestra en la figura (Fig.6.4), para cuyo caso, la relación de transmisión se puede obtener de la expresión (6.21), de la cual resulta la expresión:

n1.d1 = n2.d2

(6.22) De la (6.22) se obtiene la velocidad de rotación que adquiere la polea motora, en función de la velocidad de rotación n1 y de los diámetros d1de la polea motora y d2 de la polea conducida:

2

112 d

dnn =

(6.23) Una vez obtenida esta velocidad de rotación se pueden obtener los otros parámetros, como la velocidad tangencial v y angula ω.Si el movimiento de rotación del motor eléctrico o térmico se transmite a un juego de poleas de una transmisión principal y estas a su vez lo transmiten a través de correas a otros ejes secundarios con poleas que accionan máquinas individuales y en series, se obtendrán trenes cinemáticos de poleas según muestra la figura (Fig.6.5), en el cual, teniendo en cuenta la velocidad de rotación n1 y el diámetro d1 de la polea solidaria al motor eléctrico que mueve los trenes y los diámetros y las relaciones de transmisión de las restantes, considerando las que son poleas motoras y poleas conducidas, se podrán obtener, por aplicación de la (6.21) las velocidades de rotación de cada polea para cada tren cinemático, realizando las siguientes operaciones: - Polea motora de diámetro d1 y velocidad de rotación n1 y polea conducida de diámetro d2 yvelocidad de rotación n2:

n1.d1 = n2.d2(6.24) Operando en la (6.24), el valor de n2 resulta:

2

212 d

dnn =

(6.25)


197

- Polea motora de diámetro d3 y velocidad de rotación n2 y polea conducida de diámetro d4 yvelocidad de rotación n3:


4

323 d

dnn =

(6.27) - Polea motora de diámetro d5 y velocidad de rotación n3 y polea conducida de diámetro d7 yvelocidad de rotación n4:


7

534 d

dnn =

(6.29)

Mediante el reemplazo sucesivo de los valores de n2 y n3 dados por la (6.25) y la (6.27) respectivamente en la (6.29) se obtiene el valor de n4:


198

742

53114 ..

..dddddd

nn =

(6.28) - Polea motora de diámetro d6 y velocidad de rotación n3 y polea conducida de diámetro d8 yvelocidad de rotación n5:


8

635 d

dnn =

(6.30) Reemplazando en la (6.30) el valor de n3 se obtiene:

842

63115 ..

..dddddd

nn =

(6.31) La (6.28) y la (6.31) dan las velocidades de rotación n4 y n5 de las poleas d7 y d8 que están al final de los trenes cinemáticos, mediante el producto entre la velocidad de rotación inicial de la primera polea motora y el cociente que tiene por numerador el producto de las poleas motoras y por denominador el producto de las conducidas. Se puede observar que sobre el mismo eje en el que se encuentra solidaria una polea conducida que recibe el movimiento de rotación de una polea conductora, se encuentra otra polea que hace de conductora para una nueva polea que se encuentra en otro eje. Este sistema de varios ejes y poleas se suele emplear también cuando se desea obtener una reducción de velocidad grande. Las correas cruzadas, indicadas con T en la figura (Fig.6.5), que se indican en la figura, se utilizan para lograr cambiar el sentido de rotación del eje, se encuentran realizando un bucle,por lo que transmiten la rotación en sentido contrario al del eje, denominándose por tal motivo correas de la contramarcha. Para ello se utilizan las denominadas poleas locas, indicadas con L en la figura (Fig.6.5), es decir poleas que al girar no arrastran el eje sino que giran sobre él, de tal forma que no transmiten movimiento, por lo que para el cambio de marcha se pasa cada correa, la de la marcha directa y la de la contramarcha, según sea el caso del movimiento que se desee obtener, una a la polea loca y la otra a la polea motriz. La figura (Fig.6.5a) muestra el tren de poleas en vista frontal y la figura (Fig.6.5b) lo muestra en vista lateral, pudiendo entre ambos apreciarse las posiciones de la poleas motoras y conducidas y las correas, tanto las de transmisión directa como las de las contramarchas. Accionamiento mediante correas trapezoidales

Estas correas se utilizan generalmente cuando las distancias entre los ejes de las poleas es reducida. Su sección es trapezoidal, por lo que son designadas con este nombre o también llamadas correas en V. El trapecio es isósceles, es decir de lados simétricos, los cuales concurren a un punto, formando un ángulo β menor que 60º. Las poleas tienen gargantas de forma trapezoidal, de tal forma que las correas pueden introducirse dentro de las mismas produciéndose un efecto de cuña, lo que hace que aparezcan fuerzas simétricas laterales perpendiculares a las caras laterales de la correa, lo que le da mayor adherencia, pudiendo transmitirse grandes potencias sin resbalamientos. En caso de transmisión de


199

grandes potencias se utilizan poleas de varias gargantas, de tal forma que actúan varias correas a la vez para la transmisión. El ángulo β entre las caras varía por lo general entre 32º y 40º. Fuerzas actuantes sobre la correa (plana y trapezoidal)

Poleas planas: La figura (Fig.6.7) representa una polea de radio r que gira con una velocidad angular ω de rad/s, siendo n su velocidad de rotación en rpm, arrastrando una correa trapezoidal con una velocidad tangencial v en m/s, la que experimenta en sus extremos las fuerzas de tracción F1 en el ramal tenso y F2 en el ramal flojo. Si se analizan las solicitaciones a las que está siendo sometido un elemento dl de la correa, se pueden observar las siguientes fuerzas que actúan sobre el mismo: - Fuerzas de tracción F sobre el ramal flojo y F+dF sobre el ramal tenso. - Fuerza de reacción dP de la polea sobre la correa. - Fuerza centrífuga dC debido a la velocidad tangencial de la correa. - Fuerza de rozamiento µdP sobre los flancos de la correa. Las características de la correa y de la polea son: - γ peso específico del material de la correa es en g/cm3.- b1 ancho superior de la correa en cm.

- b2 ancho inferior de la correa en cm. - t espesor de la correa en cm. - r radio de la polea en cm. - g aceleración de la gravedad en cm/s2.De las dimensiones de la correa se tiene, según la figura (Fig.6.8a), para una correa plana de ancho b,o según la figura (Fig.6.8b), para una correa trapezoidal de ancho medio igual a:

221 bbb +

=

(6.32) el volumen del elemento dl es:

dV = b.t.dl = b.t.r.dϕ (6.33)

La masa del elemento es:

gdrtbM ϕγ ....=

(6.34) La fuerza centrífuga es: dC = d(M.a)(6.35)

Siendo en la (6.35) a la aceleración centrífuga, dada por la expresión:

rva

2

=

(6.36) Planteando las ecuaciones para un estado de equilibrio de la polea y correa en movimiento se obtiene:


200

∑Y ≡ dP + dC – Fsen 2ϕd

- (F+dF) sen 2ϕd

= 0 (6.37)

∑X ≡ (F+dF)cos 2ϕd

- Fcos 2ϕd

- µdP = 0 (6.38) De la ecuación (6.38) se obtiene para dP:

µ

ϕ dFd

dP.

2cos

=(6.39)

La fuerza centrífuga dC que actúa sobre la masa dM del elemento diferencial de longitud dl es:

dC = a.dM(6.40) Pero es:

rva

2

=

(6.41) Por otra parte, la masa diferencial dM en función del volumen del elemento diferencial dl y de su peso específico γ es:

gdrtbdM ϕγ ....=

(6.42) Por lo tanto, de la (6.40), (6.41) y (6.42) es:

rv

gdrtbdFdC c

2..... ϕγϕ ==

(6.43) Donde es Fc la fuerza centrífuga para un elemento de correa correspondiente al ángulo unitario, estando dado por la expresión:

rv

grtb

ddCFc

2...γϕ

==

(6.44) Si en la expresión (6.37) se reemplazan dP y dC por sus valores dados por la (6.39) y el segundo miembro de la (6.43) respectivamente, y además se multiplican ambos miembros de la misma por µ, se obtiene:

( ) 02

22

cos. =++− ϕµϕµϕ dFdsendFFddF c

(6.45) Operando matemáticamente la (6.45) se obtiene:

0.2

22

cos =+−− ϕµϕµµϕ dFddFsenFddF c

(6.46) Si en la (6.46) se considera que es:


201

a) 0

2≅

ϕd⇒

12

cos =ϕdy b) 22

ϕϕ ddsen ≅

(6.47)

Y por otra parte, se desprecia 2ϕddF

por tratarse de un diferencial de segundo orden, por lo tanto, la (6.46) queda reducida a:

dF - µ.F.dϕ + µ.Fc.dϕ = 0(6.48) De la (6.48) se obtiene:

ϕµ d

FFdF

c

.=−

(6.49) Integrando la expresión (6.49), el primer miembro entre los límites F1 y F2 y el segundo miembro entre los límites 0 y ϕ:

∫∫ =−

ϕϕµ

0

1

2

dFF

dFF

Fc

(6.50) Operando se obtiene:

a) ϕµ=

−−

c

c

FFFF

2

1ln ⇒ b)

ϕµeFFFF

c

c =−−

2

1

(6.51) La (6.51b) también se puede escribir como:

( ) ϕµ

ϕµ

eeFFFF c

1121

−−=−

(6.52) En la (6.52) es F1 la fuerza sobre la correa en el ramal tenso y F2 la fuerza sobre el ramal flojo. Poleas trapezoidales: Para correas trapezoidales se debe tener en cuenta el efecto cuña, es decir el ángulo formado por las caras laterales de la correa que forman entre sí el ángulo β y de las fuerzas dP/2 que actúan sobre las mismas, según se muestra en la figura (Fig.6.9), siendo las condiciones de equilibrio las siguientes:

∑Y ≡ dPsen 2β

+ dC - Fsen 2ϕd

- (F+dF)sen 2ϕd

= 0(6.53)

∑X ≡ (F+dF)cos 2ϕd

- Fcos 2ϕd

- 2dPµ

- 2dPµ

= 0(6.54) Las expresiones (6.53) y (6.54) contienen el ánguloβ y la resultante de las fuerzas dP/2, es decir dPsenβ/2. Realizando

en las expresiones (6.53) y (6.54) las mismas operaciones que las efectuadas en las (6.37) y (6.38) y haciendo las mismas consideraciones por las cuales se obtenían las expresiones (6.47), se obtendrá:


202

F.dϕ - 2β

µsendF

- Fc dϕ = 0(6.55) De la (6.55) se obtiene:

2βϕµ

sen

dFF

dF

c

=−

(6.56) Integrando la (6.56), el primer miembro entre F1 y F2 y el segundo entre 0 y ϕ , se obtiene:

2/

2

1 βϕµ

sen

c

c eFFFF

=−−

(6.57) Y finalmente:

2/

2/

1211)(

βϕµ

βϕµ

sen

sen

c

e

eFFFF −−=−

(6.58) Tanto en la expresión (6.52) como en la (6.58), la fuerza T transmitida por la correa es:

T = F1 – F2(6.59) Según como ya se viera en la expresión (2.161) al estudiar el teorema de Prony. Potencia transmitida por las correas

La potencia que transmita la correa estará en función de la fuerza T que realice la misma y de su velocidad tangencial v de desplazamiento, respondiendo a la expresión (6.3) ya vista anteriormente, por lo tanto, será:

( ) ( ) EvFFvFFvTN c .... 121 −=−==(6.60)

Siendo en la (6.60) ϕµ

ϕµ

eeE 1−=

para correas planas y 2/

2/ 1

βϕµ

βϕµ

sen

sen

e

eE −=

para correas trapezoidales.

Área de la sección transversal de la correa (dimensionamiento)

A los efectos de dimensionar la sección de la correa para que resista los esfuerzos a los que estará sometida, se debe considerar la resistencia unitaria a la tracción σt de la misma, la que depende del material del cual está construida la correa, de la fuerza centrífuga que actúa sobre ella, del ángulo con el cual la correa abraza a la polea y de la relación t/d, siendo t el espesor de la correa y d el diámetro de la polea. Si se considera que la sección de la correa, ya sea plana o trapezoidal, según muestra la figura (Fig.6.10a) o la (Fig.6.10b), es igual a:


203

A = b.t (6.61) Si la fuerza máxima a la cual está solicitada es la F1, se tendrá:

tbF

t .1=σ

(6.62) Por lo tanto, la sección de la correa será:

t

Ftbσ

1. =

(6.63) Por otra parte, si en la expresión (6.60) que da la potencia N transmitida por la correa, se reemplaza la fuerza centrífuga Fc dada por el tercer miembro de la expresión (6.44), se obtiene:

Evg

vtbFN .2

1

−= γ

(6.64) Si en la (6.64) se saca fuera del paréntesis, como factor común, b.t, y el paréntesis, con la expresión resultante dentro del mismo, se lo pasa al primer miembro, se obtiene:

Egv

Ntb

t

1.2

−

=γσ

(6.65)

Fuerza normal sobre los flancos de las correas trapezoidales

Las fuerzas F1 y F2 que actúan sobre la correa, según se observa en la figura (Fig.6.7), originan sobre ésta una fuerza resultante P debido a las fuerzas de reacción P/2 que ejerce, en forma normal a los flancos de la correa, la polea sobre la cual está montada la primera, según se muestra en la figura (Fig.6.11), resultando por lo tanto:

P = F1 + F2(6.66) La fuerza normal sobre los flancos de la correa es:

22 βsen

PPn =

(6.67) Por lo tanto, el esfuerzo de tracción por rozamiento FRsobre los flancos de la correa, para el coeficiente de rozamiento µ, considerando la (6.67) vale:

222

22β

µβ

µµsen

Psen

PPF nR ===

6.68) Se denomina por lo general rozamiento equivalente µe a la expresión:


204

2β

µµsen

e =

(6.69) Por lo tanto, la expresión (6.68) se puede escribir de la forma siguiente:

FR = µe.P (6.70) Ángulo abrazado por la correa y largo de la misma

El ángulo con que abraza la correa a las poleas dependerá de los diámetros de estas últimas y de la distancia a la que se encuentran entre sí sus centros. Si los diámetros de ambas

poleas son iguales, según se muestra en la figura (Fig.6.12), el ángulo con que abraza la correa a cada polea es 180º. Si los diámetros no son iguales, según se muestra en la figura (Fig.6.13), los ángulos abrazados por la correa son diferentes, siendo el ángulo α1menor a 180º en la polea menor y el ángulo α2 mayor a 180º en la polea mayor.

Si se analiza la figura (Fig.6.13), se tiene que el ángulo α1 con el cual la correa abraza a la polea menor es igual a 180º-δ y el ánguloα2 con el cual abraza a la polea mayor es 180º-δ , siendo δel ángulo que forma el radio de cada polea que pasa por el último o primer punto de contacto que tiene la correa al dejar o entrar a la polea respectivamente, con el eje vertical de la polea, resultando por lo tanto: α1 = 180º - 2δ(6.71)

α2 = 180º + 2δ(6.72) Por otra parte, de la figura (Fig.6.13) se tiene que es:

Ldd

L

dd

sen2

2 12

12−

=

−

=δ

(6.73) El largo total l de la correa es:

δα

πα

π cos2º360º360

22

11 Lddl ++=

(6.74) Si las poleas son de igual diámetro, la (6.74) se convierte en:

l = π d + 2 L(6.75)


205

La distancia L entre centros de poleas se adopta según las necesidades, siendo recomendables las siguientes:

)(2 21max ddL += (6.76)

mmddL 50

221

min ++

=

(6.77) Fuerza tangencial corregida en correas trapezoidales

Partiendo de las condiciones de diseño, una vez obtenida la fuerza que debe transmitir la correa, se debe tener en cuenta la influencia del ángulo de contacto o de adherencia y de la clase de servicio a la que estará sometida la correa, debiendo ser afectada la fuerza calculada por un Factor de corrección por ángulo de contacto C1 y por un Factor de corrección por tipo de servicio C2.Por tal motivo, obtenida la fuerza T según la expresión (6.60), la fuerza tangencial corregida Tcserá:

Tc = C1.C2.T (6.78) Donde C1 y C2 se encuentran tabulados, según se muestra más adelante, el primero en función de la (6.63) y el segundo en función del tipo de servicio. El número z de correas trapezoidales que se utilizan en esta transmisión, estará justamente en función de la fuerza de transmisión Tc, de la sección S de cada correa y del esfuerzo unitario de tracción σt , resultando: Tc = z.S.σt (6.79) Conocida la fuerza Tc, se obtiene:

t

c

ST

zσ.

=(6.80)

Los valores de σt se toman de la siguiente manera: 0,15 kg/mm2 ≤ σt ≤ 0,20 kg/mm2 para v< 10 m/s; 0,13 kg/mm2≤ σt ≤ 0,15 kg/mm2 para v<25 m/s.

Factor ángulo de contacto C1

Ldd

212 − Ángulo de

Contacto αFactor C1

Ldd

212 − Ángulo de

Contacto αFactor C1

0,00 0,16 0,33 0,50 0,67 0,84 1,00

180º 170º 160º 150º 140º 130º 120º

1,10 1,07 1,03 0,99 0,94 0,88 0,81

1,17 1,34 1,50 1,67 1,84 2,00

110º 100º 90º 80º 70º 60º

0,74 0,66 0,58 0,49 0,40 0,31

Factor tipo de servicio C2Tipo de accionamiento

Factor C2

Máquinas impulsadas

Motor eléctrico Motor a combustión

Ventiladores, transmisiones, etc. (cargas constantes)........ Máq. Textiles, agitadoras; máq. de carpintería, balancines (cargas variables)............................................. Compresores, laminadoras, guinches, cepilladoras,

1,2

1,3

1,5

1,625


206

rompedoras (cargas muy variables)................................... 1,5 1,875

Velocidad de la correa

La velocidad tangencial v en m/s de la correa está en función del número n de vueltas por minuto con que gira la polea, resultando:

60.ndv π=

(6.81) La velocidad v dependerá del tipo de correa, del material del cual está compuesto, de la clase de trabajo que realiza la máquina impulsada, correspondiendo a mayor velocidad mayor potencia. Pero la velocidad está limitada por la fuerza centrífuga que tiende a separar la correa de la polea, por lo que se recomienda para el diseño de las mismas usar velocidades comprendidas entre 10 m/s< v< 25 m/s para correas planas y velocidades entre 7,5 m/s < v< 35 m/s, aunque en algunos equipos especiales, como por ejemplo en vehículos para la nieve y otros recreativos cuentan con correas diseñadas para operar a más de 75 m/s. Tipo de correas

Correas planas: estas correas, las primeras en existir desde la revolución industrial, han sido reemplazadas en muchas aplicaciones por la correas trapezoidales, aunque todavía se usan debido a su gran flexibilidad en poleas de pequeño diámetro y cuando se necesitan altas velocidades con potencias no muy elevadas, dependiendo la fuerza de tracción que transmiten, de la tensión que se les dé con la separación entre sí de las poleas, presentando mayor tendencia a resbalar que la correas en V. El material de construcción de una correa debe reunir algunos requisitos, como alta resistencia, durabilidad, gran flexibilidad y alto coeficiente de fricción, resistente a las condiciones ambientales de trabajo y de bajo costo. Por lo general se construyen de cuero, lona de algodón, caucho reforzado con cuerdas de algodón y material sintético como el hule o el nylon. Son capaces de transmitir hasta 3 kW por mm de ancho operando a velocidades de hasta 200m/s. Correas trapezoidales: están construidas por lo general de caucho y fibras de algodón o sintéticas, se clasifican según la sección, de acuerdo a su resistencia y velocidad tangencial de funcionamiento, encontrándose tabuladas, según sus dimensiones, por lo general de acuerdo al fabricante de las mismas, en tablas como la que se transcribe a continuación:

Dimensiones Fuerza tangencial de cada correa en kg

Tipo

t b Sección (mm2) v<10m/s v<25m/s X 10 6 45 9,3 6,7 A 12,7 7,9 82 20,5 14B 15,9 10,3 124 29 20C 22,2 14,3 248 48 33D 31,8 16,7 435 90 66E 38,1 22,2 676 131 87

Los valores de t y b de la tabla son los correspondientes a las dimensiones indicadas en la figura (Fig.6.10) vista anteriormente. Por lo general, los fabricantes de correas trapezoidales editan manuales de uso y selección de correas, los cuales contienen indicaciones prácticas de la elección del tipo, tamaño, potencia que transmiten, largo y cantidad de correas a utilizar para un determinado servicio.


207

Poleas para correas planas y trapezoidales

Si bien las poleas para correas planas son de geometría sencilla, deben asegurar que las correas no salgan de las mismas. Ello se logra, según se muestra en la figura (Fig6.14), con un perfil convexo de la superficie periférica de las poleas, o colocando pestañas laterales, siendo las primeras las

más usadas. En la figura mencionada, es a la convexidad dada a la polea y p las pestañas laterales colocadas en la misma. Se construyen de fundición de hierro, acero, madera, etc. Las poleas para correas trapezoidales se construyen por lo general de fundición de hierro, de placas de acero o aluminio estampado, y de materiales plásticos o sintéticos. En la figura (Fig.6.15) se muestran las dimensiones características, donde es Dp el diámetro primitivo o efectivo y De el diámetro exterior, siendo: De = Dp + 2d(6.82) El ancho o espesor A de la llanta de la polea depende del número de correas z, dada por la siguiente expresión:

A= (z – 1) h + 2g(6.83) La profundidad de la acanaladura o garganta de la llanta de la polea donde se alojará la correa, debe ser tal que permita que esta última encastre perfectamente, sin llegar a tocar el fondo de la garganta ya que esto anula el efecto de cuña que se ejerce sobre la correa. Por este motivo las paredes de la garganta o acanaladura de la polea están inclinadas formando un ángulo β igual a los de la correa. El ancho máximo a de la garganta está limitado justamente para lograr que la correa que se inserta en la acanaladura trabaje apoyando totalmente sus flancos contra los flancos de la garganta de la polea, para obtener la mayor superficie de contacto posible, lo que favorece el efecto cuña y el rozamiento. Se distinguen poleas de ranuras normales y poleas de ranuras profundas, siendo estas últimas para mandos cruzados u otros casos donde las correas entran en la garganta con un determinado ángulo respecto del plano normal al eje de la polea. Accionamiento mediante ruedas de fricción

A) Accionamiento por ruedas cilíndricas de ejes paralelos y contacto periférico: según lo visto para el contacto de dos cilindros lisos, que conformaban los cilindros primitivos de los engranajes, los cuales se muestran nuevamente en la figura (Fig.6.16), se obtuvieron las siguientes expresiones: Por ser:


208

11

111 602. rnrv π

ω ==(6.84)

y

22

222 602. rnrv π

ω ==(6.85)

Como es: v1 = v2 (6.86)

Por lo tanto, igualando la (6.84) y (6.85) y operando, se tendrá:

2

112 r

rnn =

(6.87) B) Accionamiento por ruedas cilíndricas con ejes cruzados a 90º (rueda y plato de fricción)

De igual forma que el caso anterior, se tiene según la figura (Fig.6.17):

11

1 602 rnv π

=(6.88)

22

2 602 rnv π

=

(6.89) Por ser: v1 = v2(6.90) Pero como es: r2 = x

(6.91) Reemplazando el valor de r2 por x, según la (6.91), en la (6.89) e igualando con la (6.88) se obtiene:

xrnn 1

12 =

(6.92) Variando x se varía n2.

C) Accionamiento mediante ruedas de fricción con contacto frontal

En este caso los ejes son paralelos, tomándose la velocidad tangencial v en la circunferencia de contacto, según muestra la figura (Fig.6.18), resultando por lo tanto:

xnrnv60

260

2 21

1 ππ==



209

xrnn 1

12 =(6.94)

Donde x es la distancia desde el borde de la circunferencia conductora al centro de la circunferencia conducida. D) Accionamiento por ruedas de fricción cónicas

En este caso, la velocidad se toma sobre la circunferencia media de ambos conos, según se indica en la figura (Fig.6.19), resultando:

v1 = v2(6.95) Por lo que es:

22

11

602

602 rnrn ππ

=


2

112 r

rnn =

(6.97)

Transmisión del movimiento mediante cono de fricción y rueda cilíndrica

Con este sistema se tiene la posibilidad de variar la velocidad de la rueda cilíndrica trasladándola a lo largo de la generatriz del cono, ya que para cada posición de éste se tendrá una relación de transmisión distinta, según la relación de los radios de la rueda y del cono, lo que estará además en función de la distancia x de la circunferencia media de la rueda al vértice del cono, como se muestra en la figura (Fig.6.20).

Si es r1 el radio del cono en el punto de contacto del radio r2 de la rueda cilíndrica, n1 la velocidad de rotación del cono y n2 la velocidad de rotación de la rueda cilíndrica, se tendrá de acuerdo a la relación de transmisión:

2

1

1

2

rr

nn

=

(6.98) Se tiene además, de la figura (Fig.6.20): r1 = x.senβ(6.99) Por lo tanto, de la (6.98) y (6.99) se obtiene:

21

2

112

.r

senxnrrnn β==

(6.100) Variando la distancia x se obtienen distintas velocidades.


210

Cambio de marcha con rueda de fricción

El sentido de giro de las ruedas cilíndricas 1 y 2, de radios de contactos r1 y r2 respectivamente, depende del sentido de giro de la rueda 3, de radio r3, la que se puede desplazar en dirección del eje xx pudiendo hacer contacto con la rueda 1 o con la rueda 2, por lo que el eje xx tendrá distinto sentido de giro según con cual de las ruedas esté en contacto durante el giro,

estando determinada la velocidad para cada caso por la expresión (6.92), resultando por lo tanto, según la figura (Fig.6.21):

a) 1

331 r

rnn =

b) 2

332 r

rnn =

(6.101)

Para r1 = r2 es n1 = n2 pero de distintos sentidos de giro. Accionamiento mediante ruedas dentadas

Según lo visto anteriormente al estudiar los engranajes, estos presentan ciertas características, según las cuales solo pueden engranar entre sí los que tengan igual módulo, por lo que la relación que da el número de vueltas n1 de uno de ellos en

función del número de vueltas n2 de la del otro depende de sus números de dientes z1 y z2respectivamente, por lo que resulta: n1.z1 = n2.z2 (6.102) De donde se obtiene:

2

112 z

znn =

(6.103) Si se tuviera un tren de engranajes, según indica la figura (Fig.6.23), se puede obtener una

expresión de la velocidad de rotación n4 de la última de ellas en función del la velocidad de rotación n1 de la primera y de la relación del número de dientes de las mismas, según se indica a continuación: Del engrane de las ruedas z1(conductora) y z2 (conducida),

se tiene:

n1.z1 = n2.z2 ⇒ 2

112 z

znn =

(6.104) La rueda z3 se halla montada sobre el mismo eje de la rueda z2, teniendo por lo tanto la misma velocidad de rotación n2 y se comporta como conductora al engranar con la rueda z4 que es la conducida, por lo que se establece la relación siguiente entre ellas:


211

n2 .z3 = n3.z4 ⇒ 4

323 z

znn =

(6.105) Reemplazando en la (6.105) el valor de n2 dado por la (6.104) se obtiene:

42

3113 .

.zzzz

nn =

(6.106) De la misma manera ocurre entre la rueda conductora z5 y la rueda conducida z6, obteniéndose:

n3 .z5 = n4.z6 ⇒ 6

534 z

znn =

(6.107) Reemplazando el valor de n3 dado por la (6.106) en la (6.107), se obtiene:

642

53114 ..

..zzzzzz

nn =

(6.108) Es decir que para la obtención de la velocidad de rotación nn del último engranaje del tren, conociendo la velocidad de rotación n1 del primer engranaje conductor y del número de dientes zi de cada engranaje del tren, se cumple la siguiente relación:

conducidaszproductosconductorazproducto

nni

in 1=

(6.109) Accionamiento mediante tornillo sinfín y rueda helicoidal

La relación de transmisión que se obtiene mediante el uso del engrane de un tornillo sin fin y un engranaje helicoidal es elevada, por lo que se pueden producir reducciones de velocidades importantes con solo dos elementos en contacto y en un pequeño espacio. De acuerdo a la figura (Fig.6.24) y según la expresión (4.205) ya vista al estudiar el tema de engranajes, siendo respectivamente nr y zr la velocidad de rotación y el número de dientes de la rueda helicoidal y nt y zt la velocidad de rotación y número de filetes, respectivamente del tornillo sin fin, se puede obtener la siguiente relación:

zt.nt = zr.nr

(6.110) De la (6.110) se obtiene:

r

ttr z

znn =

(6.111) Variación de la velocidad en la máquinas herramientas

La variación de la velocidad en las máquinas herramientas puede lograrse utilizando distintos dispositivos mecánicos, hidráulicos o neumáticos, pudiendo estar éstos a su vez, combinados.


212

Los mecánicos son los más generalizados, estando constituidos por poleas y correas, ruedas de fricción, engranajes o ruedas dentadas, acoplamientos por uñas, etc., de los cuales se analizarán los principales. Mediante poleas y ruedas dentadas

Según sea la combinación de acoplamiento de un sistema de poleas y engranajes se pueden obtener

velocidades distintas en el husillo o eje de la

máquina herramienta, el cual lo transmite

a la pieza o a la herramienta. La figura (Fig.6.25) muestra un sistema de poleas de diámetros d1, d2, d3 y d4 y un juego de engranajes con una cantidad de dientes de z1, z2, z3 y z4 cada uno. Las poleas de la figura (Fig.6.25 a), que se encuentran solidarias a un mismo eje j conjuntamente con el engranaje z1,reciben el movimiento a través de una correa C desde la polea d que gira a una velocidad n y se encuentra solidaria al motor eléctrico M, y lo transmiten al engranaje z4, con el que están solidarias solo por la chaveta p, de tal forma que en el eje e de este último engranaje se obtiene la velocidad de rotación nx, que según sea la polea que reciba el movimiento desde d, podrá tomar los valores, según se indica en la misma figura, n1, n2, n3 y n4.Si se retira la chaveta p y se hacen engranar las ruedas dentadas z1 y z4 con las z2 y z3respectivamente, según muestra la figura (Fig.6.25b), se obtiene la relación de transmisión siguiente:

42

31

.

.zzzz

J =

(6.112) Por lo tanto, las velocidades de rotación que se obtienen en el eje e, considerando las velocidades iniciales n1, n2, n3 y n4 y la relación de transmisión J, estará dada por las siguientes expresiones:

n5 = n1.J ; n6 = n2.J ; n7 = n3.J ; n8 = n4.J(6.113)

Si al sistema anterior se le agregan dos engranajes más, según muestra la figura (Fig.6.26), se obtendrán, según engranen z1 yz2 o z3 y z4, las relaciones de transmisión J1 yJ2 respectivamente, dadas por las expresiones:

62

511 .

.zzzz

J =

(6.114) y


213

64

532 .

.zzzz

J =(6.115)

Obteniéndose en el eje e, a partir de las velocidades de rotación iniciales n1, n2, n3 y n4 y las relaciones de transmisión J1 y J2, las velocidades de rotación:

n5 = n1.J1; n6 = n2. J1; n7 = n3. J1 ; n8 = n4. J1(6.116)

n9 = n1. J2 ; n10 = n2. J2 ; n11 = n3. J2 ; n12 = n4. J2(6.117) Caja de velocidades a acoplamiento

En este sistema, el cual se muestra en la figura (Fig.6.27), las ruedas dentadas que engranan entre sí son las z1z2, z3z4 y z5z6, realizándose la transmisión del movimiento de las mismas a través de los ejes que se hallen acoplados entre sí. El acoplamiento o desacoplamiento de los ejes en los cuales se encuentran girando los engranajes se realizan en los puntos a, b, c y d, según sea la posición de las palancas p y s.Según sea el acoplamiento que se realiza se obtienen las distintas relaciones de transmisión. En la figura mencionada se puede observar que cuando se acoplan los ejes en los puntos c y b yse desacoplan en los puntos a y d, la relación de transmisión es la siguiente:

632

5411 ..

..zzzzzz

J =

(6.118) Para la velocidad de rotación de entrada n en el eje k se obtiene, en el eje de salida e la velocidad de rotación n1, dada por la expresión: n1 = n.J1(6.119) Si los acoples se realizan entre los puntos a y b yse desacoplan en los puntos c y d, la relación de transmisión es:

6

52 z

zJ =

(6.120) y la velocidad de rotación n2 es: n2 = n.J2(6.121) Si el acoplamiento tiene lugar en los puntos c yd y el desacople en los puntos a y b, la relación de transmisión es:

2

13 z

zJ =

(6.122) y la velocidad de rotación n3 es:

n3 = n.J3 (6.123) Cuando el acoplamiento se realiza en los puntos a y d y el desacople en los puntos b y c, la relación de transmisión es:


214

4

34 z

zJ =

(6.124) y la velocidad de rotación n4 es: n4 = n.J4(6.125) Caja Norton

Consiste, según muestra la figura (Fig.6.28), en un tren de engranajes Z1, Z2, Z3..Zi,...Zn,montados sobre un eje, el cual recibe el movimiento de rotación a través de un engranaje desplazable Z a lo largo de un eje paralelo al anterior, el cual engrana con el tren a través una rueda dentada intermedia ZI , la cual se desplaza en forma conjunta con Z y es posicionado en las distintas Zi del tren con la palanca P. El movimiento lo produce la polea motora M la que gira con una velocidad de rotación n, obteniéndose en el eje conducido, según sea la rueda dentada que engrana, una velocidad de rotación ni, que dependerá de la relación de transmisión ii existente en el conjunto Z-Zi. Por lo tanto se pueden escribir las relaciones siguientes:

nn zznn

zz

nni =⇒== 1

11

(6.126)

12

1

22

−−

=⇒==nn zznn

zz

nni

(6.127)

23

2

33

−−

=⇒==nn zznn

zz

nn

i

(6.128) ....................................................

ii

i

ii z

znnzz

nn

i =⇒==

(6.129) .....................................................

11 zznn

zz

nn

i nn

n =⇒==

(6.130)


215

Por lo general, las velocidades de rotación de los distintos engranajes del tren se obtienen aplicando una metodología determinada, a los efectos de que entre ellas exista una relación que permita obtener una a partir de otra. Por ejemplo, una forma de relacionarlas es mediante una serie geométrica de razón ϕ, la cual se obtiene de hacer:

1

1

1

1

−− =⇒= n nnn

nn

nn

ϕϕ

(6.131) Por lo tanto, la cantidad de dientes de las ruedas será:

1

1

1

1

−− =⇒= n nnn

zz

zz

ϕϕ

(6.132) La serie geométrica obtenida para el número de dientes de los engranajes no es perfecta, ya que el número de dientes de éstos no puede ser fraccionario. Por lo general se aconseja:

311 ≤

zz

(6.133)

Fileteado o roscado en el torno

El fileteado o roscado para un tornillo, ya sea de sujeción o de movimiento, se lo obtiene mediante el movimiento de rotación de la pieza en la cual se efectúa el roscado, y del movimiento de avance rectilíneo de la herramienta que realiza el trabajo.


216

El avance de la herramienta está en relación con el giro de la pieza, según sea el paso de la rosca o filete que se desee obtener. Para lograr que esta relación sea la adecuada, debe obtenerse entre los elementos que producen ambos movimientos la relación de transmisión correcta. En la figura (Fig.6.29), se muestra un esquema de la disposición de los mecanismos con los que se logra dar un movimiento de rotación a la pieza F y el movimiento de traslación rectilíneo al carro porta herramienta L, y por lo tanto a la herramienta H sujetada por el mismo, los cuales son: 1- Tren de poleas o husillo d1, d2, d3 y d4, y engranajes zi y z’i, que dan el movimiento de rotación al eje principal E del torno donde se encuentra el mandril o morza M que sujeta la pieza F, en la cual se ejecutará la rosca de paso p.2- El engranaje de transmisión z0, que se encuentra montado en el eje principal E, en el extremo opuesto al mandril M, que pertenece a la cadena cinemática de rotación del tornillo patrón T de paso c, a la que le transmite el movimiento de rotación del eje principal. 3- Conjunto de engranajes za, zb y z’0 para la inversión de la marcha. El engranaje z’0, colocado en el eje inversor I, tiene el mismo número de dientes que z0, y por lo tanto girará su misma velocidad. Este conjunto permite que el eje inversor gire en igual o distinto sentido que el eje principal. 4- Los engranajes z1, zx y z2, que están montados sobre una pieza llamada lira, guitarra o cabeza de caballo, estando z1 montado sobre el eje inversor I, o en su defecto, en un eje auxiliar colocado más abajo, debiendo tener z1 para este último caso igual número de dientes que la z’0para conservar la misma velocidad de rotación que el husillo. El engranaje z2 montado sobre el eje del tornillo patrón T a quién le comunica el movimiento de rotación. El engranaje zx es de acoplamiento entre z1 y z2, pudiendo ser más de uno si es necesario. El número de dientes de los engranajes de la lira son variables a los efectos de obtener la relación de transmisión necesaria que exige el paso p a construir en la pieza, pudiendo además formar hasta tres planos paralelos. 5- El tornillo patrón T, que tiene un roscado o fileteado de paso c y, que al girar una vuelta completa, hace desplazar longitudinalmente el carro porta herramienta L una distancia p,arrancando la herramienta H en este desplazamiento, una viruta en forma de hélice de paso p de la pieza trabajada F, conformando la rosca. Los engranajes z0 y z’0 tienen igual sentido de rotación si engranan z0-za-z’0; si en cambio engranan z0-zb-za-z’0 tienen distinto sentido de rotación.

Cálculo de los engranajes para roscar

El engranaje z’0 tiene el mismo número de vueltas que el z0, y por lo tanto que el husillo o eje principal E. Transmite al engranaje z1, por estar en su mismo eje, este mismo número de vueltas. Si sobre el tornillo patrón se coloca un engranaje z2 el que se vincula al z1 con el zx, se tiene que por cada vuelta del z1 el z2 dará z1/z2 vueltas, constituyendo la relación de transmisión entre el husillo y el tornillo patrón, por lo que el tornillo patrón girará z1/z2.Si el paso del tornillo patrón es c, y al girar una vuelta completa la pieza también gira una vuelta completa, la herramienta avanzará el mismo paso c del tornillo patrón. Si la pieza gira una vuelta completa, pero debido a la relación de transmisión, el tornillo patrón gira solo z1/z2 y, por lo tanto, el carro porta herramienta solo se desplazará (z1/z2).c, por lo que la herramienta se desplazará igual distancia, arrancando una viruta en forma de hélice de paso p, constituyendo el paso de la rosca. Por lo tanto se tiene:

c

zzp .

2

1=

(6.134) resultando p en la misma unidad de c. La (6.134) se puede escribir de la forma siguiente:


217

2

1

zz

cp =

(6.135) La (6.135) se puede escribir como:

patróntornilloelenconducidaruedaladedientesdenúmeroinversorejeelenconductoraruedaladedientesdenúmero

patróntornillodelpasoconstruiraroscaladepaso =

El sistema de medida empleado para obtener el paso del filete o rosca puede ser el SI o el inglés, lo que determinará los tipos de engranajes a utilizar en la cadena cinemática. Además el perfil del filete se obtiene con el perfil dado a la herramienta de corte y puede ser triangular, cuadrada, trapecial, redonda, etc. Las roscas del sistema SI se caracterizan por el valor en milímetros dado al paso. En las de paso inglés, éste se expresa por lo general con el número de filetes o pasos comprendidos en una pulgada de longitud o en número de filetes por pulgada. La relación de transmisión necesaria para el roscado se la puede obtener combinando en la lira: a) dos engranajes, en un plano; b) cuatro engranajes, en dos planos paralelos y c) seis engranajes, en tres planos paralelos. A continuación se indican cada una de las disposiciones mencionadas. a) Caso de dos engranajes en un solo plano: se cuenta con un engranaje de z1 dientes en el eje inversor que gira a n1 vueltas por minuto, igual a la del husillo y de la pieza, y un engranaje de z2 dientes en el eje del tornillo patrón, que gira a una velocidad de n2 vueltas por minuto, según

se muestra en la figura (Fig.6.30a). Por lo tanto se tendrá, de acuerdo a la relación de transmisión:

2

1

1

2

zz

nn

cp ==

(6.136) La figura (Fig.6.30b) muestra los mismos engranajes z1 y z2 engranando a través de otro intermedio zx, el que es utilizado para hacer posible el contacto entre los dos primeros, ya que su distancia entre ejes es invariable, y además para permitir el giro en sentido inverso, pero el mismo no modifica la relación de transmisión. b) Caso de roscado a cuatro ruedas dispuestas en dos planos paralelos: se utiliza esta disposición cuando no se puede obtener el paso deseado de la rosca con un solo par de ruedas. En este caso, mostrado en la figura (Fig.6.31), se disponen de cuatro engranajes, montados sobre dos planos

paralelos, cuya relación de transmisión está dado por la expresión siguiente:

42

31

1

2

.

.zzzz

nn

cp ==

(6.137) En esta disposición también se utiliza el engranaje zx,el cual no se muestra en la figura, ya que el mismo no modifica la relación de transmisión.


218

c) Caso de roscado a seis ruedas dispuestas en tres planos paralelos: este es un caso poco común, y es utilizado también cuando no es posible obtener los pasos de roscas deseados con los otros dos casos anteriores. Los engranajes se disponen como se indica en la figura

(Fig.6.32). La relación de transmisión está dada por la expresión siguiente:

642

321

1

2

..

..zzzzzz

nn

cp ==

(6.138) Tampoco se ha mostrado el engranaje intermedio zx, el cual puede ser utilizado.

Las disposiciones que se mostraron permite obtener los pasos de roscas tanto en el sistema SI como en el sistema inglés, según sea el paso c del tornillo patrón. Para el caso en el que se tenga que construir una rosca en un sistema determinado, y teniendo el tornillo patrón el paso c en el otro sistema, por ser 127 el primer múltiplo entero de la pulgada en unidades métricas, ya que es:

25,4 x 5 = 127 (6.139) interviene siempre un engranaje de 127 dientes, el cual es uno de los engranajes principales del juego, a los efectos de poder obtener la reducción necesaria. Dispositivos hidráulicos para la transmisión del movimiento

Para la transmisión del movimiento utilizando dispositivos hidráulicos se necesita contar con el fluido hidráulico el cual debe poseer las propiedades adecuadas, siendo por lo general un aceite vegetal o mineral; estos dispositivos deben contar como mínimo con los siguientes elementos: una bomba para impulsar el fluido hidráulico, con el caudal y presión necesarios a través del circuito, estando este último constituido por las tuberías a través de las cuales circula el fluido, el motor, que es el órgano que recibe la energía del fluido y la transforma en movimiento rectilíneo o circular uniforme, válvulas de inversión para lograr un movimiento alternativo, válvulas de regulación y de seguridad y otros órganos auxiliares. El Principio de Pascal en el cual se basa el funcionamiento de los sistemas hidráulicos, dice: la presión aplicada a un fluido encerrado en un recipiente se transmite sin disminución a cada punto del fluido y de las paredes del recipiente ejerciéndose en forma perpendicular a la superficie sobre la que actúa. Bombas: existen distintos tipos de bombas, pudiendo ser de caudal constante o de caudal variable según el flujo de fluido que impulsen; según la constitución pueden ser de engranajes, de paletas, de tornillos, centrífugas, de émbolos, etc. Se efectuará el estudio sobre un circuito con una bomba a engranajes gemelos de caudal constante, debiendo el estudiante interesado en los otros casos, remitirse a la bibliografía especializada sobre el tema. En la figura (Fig.6.33) se observa un dispositivo compuesto por dos cilindros que contienen fluido hidráulico, con sus respectivos émbolos, ambos de diferentes diámetros y áreas (A1 y A2)y conectados entre sí por una cañería de sección a, por la cual circula el fluido. Sobre la superficie externa del émbolo de área A1 se ejerce una fuerza P1, generándose una presión p, la cual al actuar sobre la superficie interna del émbolo de área A2 produce la fuerza P2cumpliéndose la siguiente relación:


219

1

212

2

2

1

1

AAPP

AP

APp =⇒==

(6. 140)

Siendo:

4

21

1DA π

=(6.141) y 4

22

2DA π

=(6.142)

Por otra parte, el caudal Q que circula por el cilindro de área A1 depende de ésta y de la velocidad v1 con que se desplaza el émbolo y por lo tanto el fluido, y está dado por la expresión:

11vAQ = =1

21

4vDπ

(6. 143) A través del tubo de sección a el caudal es el mismo Q, debiendo aumentar la velocidad para compensar la disminución de la sección, obteniéndose una velocidad v2, estando el caudal dado por la expresión:

2.vaQ = =2

2

4vdπ

(6. 145) En el émbolo de sección A2, el fluido tiene una velocidad v3, siendo el caudal:

32vAQ = =3

22

4vDπ

(6.146 ) De las expresiones anteriores se obtiene:

aAvv 1

12 =

(6.147) y

2

113 A

Avv =

(6.148 ) De la (6.140), (6.142) y (6.143) se obtiene:

pDP

4

21

1π

=(6.

149) La potencia N está dada por la expresión:

N = P1.v1(6.150) Por la (6.149) la (6.150) se puede escribir:


220

1

21 .

4vpDN π

=

(6.151) Por ser el caudal:

1

2

.4

vdQ π=

(6.152) Es: N = Q.p(6.153) Si se tiene en cuenta el rendimiento total de la bomba, ηt el cual varía entre 0,75 y 0,8 se tiene la potencia efectiva del motor que impulsará la bomba:

Nef = ηt.Q.p(6.154) Se pude observar, que al ser la presión p y el caudal Q igual en las tres secciones la potencia se transmitiría a través del fluido con igual intensidad, pero se debe considerar la disminución de ésta por la resistencia que opone el rozamiento del propio fluido y de los órganos en movimiento. Por tal motivo se debe tener en cuenta esta disminución al calcular la potencia de la bomba. En la figura (Fig.6.34) se observa un circuito hidráulico el cual funciona de la siguiente manera: la bomba de engranajes PI de caudal constante, aspira el aceite (fluido hidráulico) del depósito

pasando previamente por el filtro F, y lo impulsa a través del tubo A, de la válvula de regulación VR y del distribuidor B.Según sea la posición de la válvula del distribuidor B, el aceite podrá circular por el tubo C o por el tubo D,ingresando a la cámara L o H del cilindro, lo que puede imprimir al émbolo E, y por lo tanto al vástago K solidario al mismo, un movimiento hacia la derecha o hacia la izquierda, respectivamente. Para el caso de la figura, el fluido aspirado por la bomba PI que lo impulsa a través del tubo A con una presión p1 constante, presionando la válvula de regulación VR, la que tiene el objeto de provocar una caída de presión ∆p en el distribuidor B y en el tubo

C, pasándose de la presión p1 de la bomba a la presión p2 en el cilindro. El émbolo de la válvula de descarga VS es obligado por la vena fluida a vencer la resistencia tarada del resorte a una presión ∆p, con lo que deja pasar parte del aceite al depósito a través de la tubería J, por lo que la presión p1 de la bomba se mantiene constante. El caudal principal del fluido, a la presión p2,ingresa a la cámara L del cilindro, moviendo el émbolo E hacia la derecha, venciendo la resistencia R, desplazando al fluido de la cámara H del cilindro por el tubo D, a través del distribuidor B, y de la válvula de contrapresión VC que determina la presión p3 con la cual el fluido regresa a través del tubo G hacia el depósito de aceite. El caudal de una bomba de engranajes está dada por la expresión:

Q = 2.π. Dp.m.b.n m3/min (6.155) o también, siendo Dp=z.m


221

Q = 2.π. z.m2.b.n. m3/min (6.156) Siendo en las expresiones anteriores: Dp: diámetro primitivo en m. m: módulo de los engranajes, en m. b: ancho de los dientes de los engranajes en m. n: vueltas por minuto de los engranajes. z: número de dientes de cada engranaje. Se tiene que tener en cuenta el rendimiento volumétrico ηv de la bomba, el que varía entre 0,75 a 0,90, resultando por lo tanto: Qef = ηv.Q m3/min (6.157) La potencia de una bomba de engranajes, para la fuerza en Newton y la velocidad en m/s está dada por la expresión:

vPN .= (W) (6.158 )

Por lo tanto, considerando la (6.154) y la (6.155 ), la potencia para la bomba de engranajes, se puede escribir como:

60.....2 1 tp pnbmD

Nefηπ

== 30

..... 1 tp pnbmD ηπ

(W) (6.159) O por la (6.156):

30......

60.....2 1

21

2tt pnbmzpnbmzNef ηπηπ

==(W)

(6.160) La presión p1 de la bomba del circuito de la figura (6.34), conociendo la potencia Nef del motor eléctrico de accionamiento, el caudal Q necesario de fluido que debe circular y las dimensiones de la bomba se puede obtener de la (6.160):

tnbmzNefp

ηπ .....30

21 =(Pa) (6.161)

La presión p2 es: p2 = p1 - ∆ p (Pa) (6.162) y la presión p3, en función de la resistencia R que se opone al avance del vástago es:

323 a

Rpp −=(Pa) (6.163)

Siendo a3 el área útil de la cara del émbolo, la cual se obtiene restando al área total del émbolo la del vástago. El caudal Q1 que circula por el tubo A, cuya sección es a1, siendo v1 la velocidad del mismo es:

Q1 = a1.v1 (m3/s) (6.164)


222

El caudal que circula con una velocidad v2 por el tubo B, de sección a2 es:

Q2 = a2.v2 (m3/s) (6.165) El caudal Qd que circulará por el tubo G de descarga será:

Qd = Q1 -Q2 = a1.v1 - a2.v2(6.166)

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TÍTULO AUTOR EDITORIAL - Aplicaciones de Tecnología Mecánica Felipe. F. Freyre Alsina - Manual del Constructor de Máquinas H. Dubbel Labor - Tecnología Mecánica I y II Pascual Pezzano Alsina - Manual del Ingeniero Hütte II A Academia Hütte Gustavo Gili - Tecnología Mecánica I y II C. E. Thomas Nigar S.R.L. - Manual del Ingeniero Mecánico de Marks Baumeister y Marks Uteha - Máquinas Herramientas Modernas I y II Mario Rossi Científico Médica - Máquinas. Cálculos de Taller A. L. Casillas Máquinas - Manual de correas múltiples en V GOOD YEAR - Mecanismos Hidráulicos J. Faisandier C.E.C.S.A. - Mecánica Técnica y Mecanismos L.A. Facorro Ruiz Melior


223

MECANISMOS

Generalidades

Los mecanismos están constituidos por un conjunto de órganos mecánicos vinculados entre sí en forma directa o a través de un fluido, de tal forma que les permiten efectuar una determinada acción, ya sea para transmitir un movimiento, transformarlo, aplicar una fuerza, etc., según la necesidad del caso. Clasificación

La clasificación de los mecanismo puede realizarse teniendo en cuenta las funciones que cumplen, como por ejemplo, : 1- Transformación de un movimiento rectilíneo en otro rectilíneo con modificación de la dirección o velocidad, como es el caso de los aparejos, poleas, palancas, etc. 2- Cambio de un movimiento rectilíneo alternativo en un movimiento circular, siendo alguno de éstos los conjuntos de biela-manivela, balancines, tornillos, etc. 3- Transformación de un movimiento circular en un movimiento rectilíneo alternativo, como el que se obtiene con las levas, excéntricas, etc. 4- Cambio de un movimiento circular en otro también circular pero de distintas características, como el obtenido por los engranajes, ruedas de fricción, etc. También se los puede clasificar teniendo en cuenta la forma en que pueden transmitir el movimiento: a) Por contacto directo, como en el caso de los engranajes, ruedas de fricción, chavetas, etc. b) Mediante contacto indirecto, a través de un medio flexible vinculante, lo que se da en las poleas y correas, cuerdas, aparejos, etc. c) Mediante contacto indirecto a través de un medio rígido, como es el caso de la biela-manivela, excéntricas, balancines, juntas, levas, etc. d) Mediante un medio fluido, como se obtiene con los mecanismos hidráulicos y neumáticos. En esta unidad se estudiarán únicamente algunos de los clasificados en el punto c. Balancines

Son mecanismos articulados cuya manivela o manubrio une una biela con un punto fijo de la máquina. Con ellos se pueden transformar movimientos rectilíneos en otros circulares, o viceversa. A continuación se describirán alguno de ellos. Balancín de movimiento circular

Este mecanismo está compuesto, según muestra la figura (Fig.7.1), por el triángulo rígido, conformado

por las barras AB, BC y CA, que se encuentra articulado mediante la biela AB en los puntos A yB con las dos manivelas paralelas O1A y O2B, las cuales están a su vez articuladas en los apoyos fijos O1 y O2, alrededor de los cuales rotan con velocidades angulares ωA y ωB iguales. Al girar, los puntos A, B y C describen trayectorias circulares, siendo las posiciones de la biela siempre

7


224

paralelas a O1O2 y la inclinación de los lados del triángulo siempre las misma, describiendo el punto C una circunferencia de radio igual a la de los puntos A y B, teniendo además una velocidad angular ωC, igual a la de éstos.El radio de giro por lo tanto es: r = O1A = O2B(7.1) Siendo por otra parte: ωA = ωB = ωC(7.2) Las velocidades tangenciales de los puntos A, B y C estarán dadas por las expresiones:

a) vA = ωA.r, b) vB = ωB .r c) vC = ωC.r(7.3) Siendo además: vA = vB = vC(7.4) Balancín de movimiento rectilíneo (triángulo de Roberts)

Es un triángulo rígido ABC, el cual se articula a las manivelas O1A y O2B, las cuales describen un movimiento circular alrededor de los puntos O1 y O2 respectivamente, según se muestra en la figura (Fig.7.2). El punto C del triángulo describe un movimiento rectilíneo dentro de ciertos límites y proporciones que deben guardar la altura b del mismo, su base a, la distancia h entre los apoyos y la longitud r de las manivelas AO1 y BO2. Las proporciones adoptadas son:

a) 584,0=

hr

b) 593,0=

ha

c) 112,1=

hb

(7.5) Paralelogramo articulado

El paralelogramo ABO1O2, el cual se muestra en la figura (Fig.7.3), se encuentra articulado en todos los vértices, girando las manivelas O1A y O2Balrededor de los puntos O1 y O2 de los apoyos, respectivamente, siendo la biela AB siempre paralela a O1O2. Con este mecanismo se puede transmitir el movimiento circular de una rueda a otra, siendo las velocidades angulares ωA y ωB ylas velocidades tangenciales vA y vB iguales para

ambas ruedas. Por lo tanto, se puede escribir, siendo el radio de giro r:

r = O1A = O2B(7.6)

a) ωA = ωB b) vA = vB c) vA = ωA.r d) vA = ωB.r (7.7)


225

Pantógrafo

El pantógrafo, según se muestra en la figura (Fig.7.4), también se trata de un paralelogramo articulado ABCD,, el cual tiene dos de sus lados prolongados, de tal forma que por el extremo de uno de ellos, en este caso en el lado DAO, se lo fija en el punto O,alrededor del cual puede rotar. Por el tipo de movimiento que presenta, y de acuerdo a las dimensiones del paralelogramo, recorriendo una figura con el punto M, y colocando un lápiz en el punto N se puede reproducir, ampliada dicha figura, por la semejanza existente entre los triángulos OAM y ODN, y según la relación de los segmentos OD, OA, OM y ON, como se muestra a continuación.

OAOD

es constante por pertenecer a un mismo lado del paralelogramo.

==

OAOD

OMON

constante (7.8)

Siendo OAOD

la relación de ampliación. Balancín de Watt

También denominado balancín de lemniscata, y que fuera empleado por James Watt en su máquina a vapor. Transforma un movimiento rectilíneo en un movimiento circular. Según muestra la figura (Fig.7.5), el punto Mdescribe una curva denominada lemniscata, que se caracteriza por tener una larga inflexión, lo cual permite considerar el tramo RS de la misma como una recta. Los puntos A y B efectúan una trayectoria circular, los arcos AA’ y BB’ respectivamente, mientras que el punto M realiza un movimiento rectilíneo alternativo. Uniendo el

punto M al émbolo de un cilindro que tiene movimiento rectilíneo alternativo, se convierte dicho movimiento en uno circular. Si se llama s a la carrera del émbolo en el recorrido rectilíneo RS, será, aproximadamente:

s ≅ 2r.senϕ(7.9) Donde el radio de giro es: r = O1A = O2B(7.10) Siendo O1A y O2B las manivelas, AB la biela y ϕ el ángulo de oscilación de las manivelas. Para aprovechar la parte recta de la lemniscata se aconseja tomar la siguiente proporción:

a) 23 sr ≥

b) sAB

74

≥c) ϕ ≤ 19º30’

(7.11)


226

Mecanismo de biela manivela en máquinas de émbolos

El mecanismo biela manivela es ampliamente utilizado, principalmente en las máquinas de émbolos, tanto en motores de vapor (poco utilizados hoy en día), de explosión y de combustión interna, como en compresores. Este mecanismo, el cual se muestra en la figura (Fig.7.6), transforma un movimiento rectilíneo alternativo en un movimiento circular, de tal modo que una fuerza que se ejerce en un extremo de la biela es transmitida a la manivela, la que a su vez la entrega a un eje imprimiéndole un movimiento de rotación, el cual es utilizado para mover otros mecanismos, como engranajes, poleas, etc.

Existen distintos tipos de mecanismos de biela manivela, pero nos remitiremos únicamente al denominado mecanismo de biela manivela centrado común, pudiendo el estudiante recurrir a la bibliografía especializada para ver los otros casos. Este mecanismo, refiriéndonos a la figura (Fig.7.6), actúa de la siguiente manera: la manivela OA, de longitud r, gira alrededor del

centro O impulsada por la biela KA, cuya longitud es l. El punto K describe una trayectoria rectilínea en tanto que el punto A describe una trayectoria circular. Al punto A se lo denomina botón de la manivela, y al punto K botón de la cruceta. Interesa conocer en este mecanismo distintos parámetros, como son, principalmente, el espacio x recorrido por el botón K de la cruceta, su velocidad u y su aceleración c, la velocidad tangencial v del botón A de la manivela, las relaciones de las fuerzas que obran sobre la cruceta K, la biela l y la manivela r y las fuerzas de inercia que actúan en la masa total del movimiento alternativo. Espacio recorrido por el botón de la cruceta

El recorrido x que realiza el botón Kde la cruceta, en función de los segmentos determinados por la posición que el mismo ocupa en su traslación rectilínea de avance a lo largo del eje horizontal B1OB’ y de la proyección y traslado de la biela KA sobre este mismo eje, se lo obtiene de la siguiente manera:

x = BA’= BN + NA’ (7.12)

Pero es: BN = r – r cosα = r ( 1- cosα )(7.13) Por otra parte es: NA’= l – l cosβ = l ( 1 - cosβ )(7.14) Reemplazando en la (7.12) los valores de BN y NA’ dados por las expresiones (7.13) y (7.14) respectivamente, se tiene: x = r ( 1- cosα ) + l ( 1-cosβ )(7.15)


227

Con el fin de unificar la dependencia angular del recorrido x en función del ánguloα como única variable, se considera el lado común AN de los triángulos KAN y AON, el cual, en función de los ángulos α yβ, vale: AN = r senα = l senβ(7.16) De la (7.16) se obtiene:

lsenrsen αβ =

(7.17) Pero se tiene por trigonometría: cos2β = 1-sen2β(7.18) Resultando de la (7.18):

cosαβ 2

2

2

1 senlr

−=

(7.19) Reemplazando el valor de cosβ dado por la (7.19) en la (7.15), se obtiene:

x = r ( 1- cosα ) + l

−− α2

2

2

11 senlr

(7.20) Para el recorrido rectilíneo de retroceso del botón K de la cruceta, luego de un análisis similar, se obtiene la expresión:

x = r ( 1- cosα ) - l

−− α2

2

2

11 senlr

(7.21) Unificando al (7.20) y la (7.21), finalmente se obtiene:

x = r ( 1- cosα ) ± l

−− α2

2

2

11 senlr

(7.22)

Si la expresión

21

22

2

2

11

−=− αα sen

lrsen

lr

se la desarrolla aplicando el binomio de Newton, despreciando luego los términos a partir del tercero por no ser significativos por

resultar muy pequeños, ya que para una relación 51=

lr

y senα =1 resulta una fracción menor a

0002,05000

1≈

, se obtiene:


228

221

2

2111

−≅

− αα sen

lrsen

lr

(7.23) Reemplazando el valor hallado de la (7.23) en la (7.22), esta última queda como:

x = r ( 1- cosα ) ±α2

2

2sen

lr

= r ( 1- cosα ±α2

2sen

lr

)(7.24) La (7.24) es la expresión reducida del desplazamiento del botón K de la cruceta. Generalmente el valor de la relación que existe entre las longitudes r de la manivela y l de la biela se la designa como:

lr=λ

(7.25) Por lo que la expresión (7.24), teniendo en cuanta la (7.25), se la puede escribir como:

x = r ( 1- cosα ±αλ 2

21 sen

)(7.26) Velocidad del émbolo o del botón K de la cruceta

Si se deriva la expresión (7.24), que da el desplazamiento x en su forma reducida, con respecto al tiempo se obtiene la velocidad u del botón K de la cruceta:

dtdsen

lr

dtdsenru

dtdx αααα 2

2

2

±==

(7.27) Por ser la velocidad angular ω:

dtdαω =

(7.28) Reemplazando la derivada por su valor ω dado por la (7.28) en la (7.27), y sacando factor común resulta:

u = rω ( senα ±α2

2sen

lr

)(7.29) Pero como la velocidad tangencial del botón de la manivela es: r.ω = v(7.30) Se obtiene, reemplazando la (7.30) en la (7.29):

u = v ( senα ±α2

2sen

lr

)(7.31)


229

Valores máximos y mínimos de la velocidad u

Los valores mínimos de la velocidad u de la cruceta se los tiene en los puntos muertos superior e inferior donde la misma se hace cero, es decir para α = 0º y α = 180º, es: u = 0(7.32) En ambos puntos la velocidad y el desplazamiento cambian de sentido. Para obtener los valores máximos de la velocidad u se deriva la expresión (7.31) respecto del ángulo α:

ααα

2coscoslr

ddu ±=

(7.33) Se obtiene la segunda derivada a los efectos de verificar si se trata de un máximo. Igualando a cero la (7.33) para conocer el punto que da el valor máximo, se obtiene:

cosα ± lr

cos2α = 0(7.34) A los efectos de facilitar la resolución de la expresión (7.34) se efectúan transformaciones trigonométrica, resultando:

cos2α ± rl

2 cosα - 21

= 0(7.35) Resolviendo la anterior, se tiene: Para el desplazamiento desde el PMS al PMI, es decir considerando el signo más en la (7.35):

cosα 0 = 21

164 2

2

++−r

lr

l

(7.36) Y para el retroceso, es decir del PMI al PMS, considerando el signo menos en la (7.35):

cosα 0 = 21

164 2

2

+−r

lr

l

(7.37) Las expresiones (7.36) y (7.37) solo aceptan el valor con el signo más para la raíz ya que se debe cumplir: cosα 0 ≤ 1(7.38)

Según sean los valores de r y l resultará el valor de α 0. Para el valor 51=

lr

se obtienen los siguientes valores de α 0 para el avance y retroceso del botón K de la cruceta: Para el avance, según la (7.36) cosα 0 = 0,1861 ⇒ α 0 = 79º16’ (7.39)


230

Para el retroceso, según la (7.37) cosα 0 = -0,1861 ⇒ α 0 = 100º44’ (7.40) Velocidad tangencial v del botón de la manivela

La manivela r rota alrededor del eje O con una velocidad angular ω por acción de la biela l, que le transmite el movimiento del botón K de la cruceta que se desplaza a la velocidad u. El botón A de la manivela, según se muestra en la figura (Fig.7.7), tiene una velocidad tangencial v, la cual dependerá de la longitud r de la manivela y de su velocidad angular ω. Por lo tanto resulta:

v = ω.r(7.41) Siendo ω, para n vueltas por minuto:

ω = 602 rnπ

(7.42) Por lo que la (7.41), reemplazando el valor de ω dado por la (7.42), queda:

v = 602 nrπ

(7.43) La velocidad u dada por la (7.31), resultará por lo tanto:

u = 602 nrπ

( senα ± lr

21

sen2α )(7.44) Aceleración c del botón K de la cruceta o del émbolo

Siendo variable la velocidad u del botón de la cruceta o del émbolo, se puede obtener su aceleración derivando la velocidad u, dada por la expresión (7.29), respecto del tiempo, según se indica a continuación:

dtdu

= c = r.ω ( cosα. dtdα

± lr

cos2α dtdα

)(7.45)

Como es: ω = dtdα

(7.46) Se puede sacar como factor común de la (7.45), obteniéndose:

c = r.ω 2 ( cosα ± lr

cos2α )(7.47)

Pero es: 2

22

rv=ω

(7.48) La (7.47), teniendo en cuenta la (7.48), se puede escribir:

c = rv 2

( cosα ± lr

cos2α )(7.49)


231

Valores máximos y mínimos de la aceleración c

La aceleración es máxima cuando el movimiento cambia de sentido, es decir en los PMS y PMI, donde la velocidad u del botón K de la cruceta se hace cero, es decir, para u = 0, α =0º y α =180º la aceleración c es máxima. La aceleración c se hace mínima, es decir, igual a cero, para u máxima, ya que a partir de ahí ccambia de sentido oponiéndose al movimiento, comenzando u a disminuir. Para la relación ya

considerada anteriormente 51=

lr

, el valor mínimo de la aceleración se da para α = 79º16’ y α= 100º44’. Para una relación distinta a 1/5 entre r y l, c se hace cero para valores de α distintos a los indicados. Relaciones de las fuerzas que obran sobre el vástago, cruceta, biela y manivela

En la figura (Fig.7.8) se muestran las fuerzas que actúan sobre el botón de la cruceta K y que se transmiten, a través de la biela l, al botón A de la manivela, y de ésta al eje O.La fuerza P, la que se supone constante y aplicada en el botón K de la cruceta, se descompone en dos fuerzas, una fuerza N en la dirección normal a la superficie de apoyo, y la otra fuerza Sen la dirección del eje de la biela. La primera N, perpendicular a la trayectoria de deslizamiento, tiene por valor, en función de P:

N = P. tgβ(7.50) La segunda S, a lo largo de la biela, también en función de P, vale:

βcosPS =

(7.51) La fuerza S se transmite al botón A de la manivela donde se descompone en una fuerza T tangente a la trayectoria, y otra fuerza R de dirección radial hacia el centro O, siendo sus valores, según se indica en la figura:

T = S.sen ( α + β )(7.52)

Reemplazando S por su valor, según la expresión (7.51) en la (7.52), se obtiene:

T = βcosP

sen( α + β )(7.53) De igual forma se tiene para R:

R = S.cos ( α + β )(7.54) Reemplazando en la (7.54) el valor de S dado por la (7.51), se tiene:


232

R = βcosP

cos( α + β )(7.55) Se presentan algunos casos particulares en el comportamiento de las fuerzas. 1- Para α + β = 90º, en la (7.53) y en la (7.55) se tiene el máximo valor de T y el menor de R:

a) T = S = βcosP

y b) R = 0(7.56) 2- Para α = 90º, es:

a) senβ = lr

= λ y b) cosβ = 2

2

1lr

−=

21 λ−(7.57) Además resulta:

a) S = βcosP

= 21 λ−

P

y b) N = =βtgP.111

.

2

2

−=

−λ

λλ PP

(7.58) Siendo ambos valores de S y N máximos pues es β máximo y por lo tanto cosβ mínimo. Por otra parte, reemplazando en la (7.53) y en la (7.55) los valores de senβ y cosβ dados por la (7.57), se obtiene:

a) T = S.cosβ =P y b) R = S.senβ = P.tgβ(7.59)

Fuerza de inercia que actúa en la masa total del movimiento rectilíneo alternativo

Si la masa del émbolo con sus aros, vástago, cruceta y una parte de la biela se la supone concentrada en la cruceta, siendo esta masa igual a:

M = gG

(7.60) Y si la aceleración c de esta masa considerada, está dada por la expresión (7.49) vista anteriormente, la fuerza de inercia que actúa será:

F = gG

.c = gG

rv 2

( cosα ± lr

cos2α )(7.61) Esta fuerza actúa oponiéndose en el período de la aceleración a la fuerza que produce el vapor o combustible, y sumándose en el período de deceleración de la misma. Teniendo en cuenta F y la diferencia de presiones entre ambas caras del émbolo puede calcularse P.

Guía de Evans


233

Con este mecanismo se logra transformar un movimiento rectilíneo en otro movimiento rectilíneo de dirección perpendicular al primero. El mecanismo consta, según se muestra en la figura (Fig.7.9), de una manivela OC que puede girar alrededor del punto O, y de una biela AB,articulada a la manivela OC en su punto medio C. Para el movimiento de traslación del punto Ale corresponde otro en la dirección perpendicular para el punto B.Como las velocidades de A y B tienen la dirección de los ejes que recorren, trazando las normales a estos ejes para cada posición, se obtiene en la intersección de ambos el centro

instantáneo de rotación, según se indica en la figura (Fig.7.9) para las dos posiciones, en los puntos I e I’. Si es ω la velocidad angular instantánea con que gira la manivela OC, se tiene, para las velocidades lineales de los puntos A y B:

vA = ω . AI (7.62) y

vB = ω . BI(7.63) Si se divide miembro a miembro la (7.62) por la (7.63), se tendrá:

BIAI

BIAI

vv

B

A ==..

ωω

(7.64) Pero como es: a) AI = OB y b) BI = OA(7.65)

Reemplazando los valores de AI y BI dados por la (7.65) en la expresión (7.64), se obtiene:

OAOB

vv

B

A =

(7.66) Es decir que las velocidades de los puntos A y B se hallan en relación inversa de su distancia al centro O.

Juntas

Se denominan juntas a los mecanismos destinados a transmitir el movimiento entre dos ejes próximos, teniendo la propiedad de permitir que el conjunto mecánico funcione correctamente aunque no exista una alineación perfecta entre ambos ejes. Según el tipo de desalineación existente existen distintos tipos de juntas, limitándonos a describir dos de las más comunes, como son la junta de Oldham y la junta de Cardan. Para conocer otros tipos de juntas el estudiante deberá remitirse a la bibliografía especializada, indicándose algunos títulos al final de la unidad.


234

Junta de Oldham

Este tipo de junta, la cual se muestra en la figura (Fig.7.10), permite el acople de árboles cuyos ejes están desalineados transversalmente, cuando esta desalineación es pequeña. Es decir que ambos ejes son paralelos entre sí, existiendo una excentricidad entre ambos ejes. En la figura (Fig.7.10a), se pueden observar los dos discos extremos A y B, en los cuales se han practicado las ranuras diametrales a y b respectivamente, dentro de las cuales se introducen los resaltos o nervaduras diametrales a’ y b’ del disco intermedio C, lo cual permite que los ejes se acomoden según su real posición y se acoplen, lográndose la transmisión del giro. La figura (Fig.7.10b)muestra la excentricidad e entre los ejes x y x’, permitiendo la junta la transmisión del movimiento de giro de un eje al otro, resultando las velocidades angulares respectivas ω yω’ del eje motor y del eje receptor iguales por ser rígidos los discos y los ángulos de giro descriptos por los mismos iguales, si bien el centro O’ de este último describe un movimiento circular de radio e alrededor del centro O del primero. Por lo tanto se puede escribir:

ω = ω’ (7.67) Junta de Cardan

Con la junta de Cardan, la que se muestra en la figura (Fig.7.11), se logra transmitir el giro de un árbol motor a otro árbol receptor aunque exista una desviación angular entre sus ejes. Esta formada, como indica la figura (Fig.7.11a), por dos horquillas A y B que se fijan a los extremos de cada uno de los ejes que están formando entre sí un ángulo δ mayor a 135º, las cuales se vinculan con una cruz rígida C mediante cojinetes que permiten la rotación de las horquillas A y B respectivamente, alrededor de los ejes aa’ y bb’ formados por los brazos de la cruz. En la figura (Fig.7.11b) se muestra el ángulo δ y su suplemento, el ángulo α, debiendo ser este último menor o igual a 45º.

Si bien el número de vueltas es el mismo para cada eje, mientras en el árbol motor la velocidad angular ω se mantiene constante, en el árbol receptor la velocidad angular ω’ varía periódicamente entre un máximo y un mínimo, en función del ángulo α., lo que se puede demostrar haciendo el siguiente análisis:

Si el eje x describe en su movimiento de rotación un ángulo ϕ y el eje x’ un ángulo ϕ 1,formando entre ellos el ángulo α, analizando la figura (Fig.7.11b), según la trigonometría esférica se tiene: tgϕ = tgϕ 1 cosα(7.68)


235

Las velocidades angulares ω yω1 son proporcionales respectivamente a los ángulos ϕ y ϕ 1 x yx’, por lo que se puede escribir:

11 ωω

ϕϕ =

dd

(7.69) Si se deriva la (7.68) respecto de ϕ y ϕ 1 se obtiene:

αϕ

ϕϕ

ϕ coscoscos 1

21

2

dd =

(7.70) Haciendo pasaje de términos en la expresión (7.70) se obtiene:

αϕϕ

ϕϕ cos

coscos

12

2

1

=dd

(7.71) Pero además se tiene que es:

1

2

12 1

cos1 ϕ

ϕtg+=

(7.72)

Reemplazando los valores dados por la expresión (7.72) en la (7.71), se obtiene:

=1ϕ

ϕdd

cos2ϕ ( 1 + tg2ϕ 1)cosα(7.73)

Por otra parte es: a) tgϕ 1 = αϕ

costg

⇒ b) tg2ϕ 1 = αϕ

2

2

costg

(7.74) Reemplazando este valor en la expresión (7.73), teniendo en cuenta la (7.69) y efectuando operaciones matemáticas y reemplazos correspondientes, se obtiene:

αϕα

ωω

221

cos1cos

sen−=

(7.75) La expresión (7.75) nos permite analizar las relaciones entre las velocidades angulares de ambos ejes, para distintos valores del ángulo ϕ:

Si es ϕ = 0º ⇒ cosϕ = 1, se obtiene el máximo valor para la relación (7.75), siendo:

ω 1max = αω

cos(7.76) Si es ϕ = 0º y ϕ = 270º ⇒ cos2ϕ = 0, se obtiene el valor mínimo para la relación (7.75):


236

ω 1mín = ω. cosα(7.77) Levas

Las levas son mecanismos utilizados para transformar un movimiento giratorio en un movimiento rectilíneo alternativo. Según sea el perfil de la leva se obtienen distintos tipos de movimientos.

En la figura (Fig.7.12a) se muestra una leva de placa La , la cual al girar con una velocidad angular ωamueve la pieza empujada Ea a una velocidad va en forma perpendicular a su eje, en tanto que la leva circular Lb de la figura (Fig.7.12b), rotando con una velocidad angular ωb mueve la pieza empujada Eb a una velocidad vb en forma paralela a su eje. Las superficies de las levas reciben un tratamiento térmico especial, cementándolas especialmente para

endurecerlas y evitar su desgaste prematuro. A continuación se describirán las características constructivas de los perfiles de algunas levas. Leva de disco y rueda de contacto

A medida que gira la leva, la rueda de contacto o pieza empujada se eleva con un movimiento determinado por el perfil de la leva. A los efectos de realizar el análisis del movimiento se estudia la superficie primitiva que describe el centro de la rueda de contacto, según muestra la figura (Fig.7.13), al rodar sobre la superficie de trabajo de la leva. El círculo base primitivo tiene por radio a r0. Cuando la leva rota el ángulo θ 0, se produce la elevación L. El eje de simetría de la pieza empujada o rueda de contacto está desplazado respecto del eje de la leva la distancia z0. La elevación x se produce durante una rotación θ medida desde el radio al comienzo de la elevación al radio r del centro de la rueda de contacto. Si la rotación θ se produce durante el tiempo t, y si es ω la velocidad angular de la leva, resulta:

θ = ω.t (7.78) Si es ω constante, será:

a) dθ = ω.dt ⇒ b) dtd θω =

(7.79) De la figura (Fig.7.13) se obtiene, aplicando Pitágoras:

20

20

20 zyr +=

(7.80) o también:

20

20

20 yrz −=

(7.81) Además:


237

( ) 20

20

2 zxyr ++= (7.82) La (7.82) se puede escribir, desarrollando el cuadrado del binomio y reemplazando el valor de

20z por su valor dado por la (7.81):

2

02

02 2 xxyrr ++= (7.83)

De acuerdo al perfil de las levas, según las ecuaciones que dan la elevación x de la pieza empujada, ésta puede ser parabólica, armónica o cicloidal. La ecuación (7.82), si se tiene la expresión adecuada de x, da la superficie primitiva de la leva. Las ecuaciones que dan el desplazamiento, velocidad y aceleración con los tipos de perfiles de levas mencionados, se dan a continuación:

Leva parabólica o de aceleración constante

Desplazamiento x Velocidad Aceleración

Para 5,0

0

≤θθ

:20

2

2θθLx = 2

0

4θωθL

dtdx =

20

2

2

2 4θ

ωLdt

xd =

Para 5,0

0

≥θθ

:

−−=

2

0

121θθLx

−=

00

14θθ

θωL

dtdx

20

2

2

2 4θωL

dtxd

−=

Leva armónica cosenoidal

Desplazamiento Velocidad Aceleración

−=

0

cos12 θ

πθLx002 θθπ

θωπ senL

dtdx =

020

22

2

2

cos2 θ

θπθ

ωπ Ldt

xd =

Leva cicloidal

Desplazamiento Velocidad Aceleración

−=

00

221

θθπ

θθπ

πsenLx

−=

00

2cos1θ

θπθωL

dtdx

020

2

2

2 22θ

θπθ

ωπ senLdt

xd =


238

En la figura (Fig.7.14) se muestran las curvas representativas del (a) desplazamiento, (b) velocidad y (c) aceleración, en función de θ y θ0 para los tres tipos de levas, parabólica, cicloidal y armónica. Como las fuerzas de inercia inducidas en las masas movidas por la leva son proporcionales a la aceleración de la pieza empujada, se debe utilizar aquella leva que produzca la menor aceleración máxima compatible con un movimiento con cambios graduables de aceleración. Analizando la gráfica de las aceleraciones, se observa que con las levas de perfiles parabólicos se obtienen los menores valores máximos de aceleración, pero presentan cambios muy bruscos de valores al principio, mitad y final de la elevación. Con las de perfiles armónicos se obtienen cambios graduables en el valor de la aceleración, salvo al principio y al final de la elevación. Con las levas de perfiles cicloidales, si bien los valores de aceleración obtenidos son mayores que con las otras, los mismos son de cambios graduables, menos bruscos. La fuerza ejercida por la leva está dirigida generalmente en forma normal a su superficie, y no en la dirección del movimiento de la pieza empujada. El ángulo formado por estas dos direcciones se lo conoce como ángulo de presión ϕ. Debido a la existencia de este ángulo existe una fuerza lateral ejercida por la pieza empujada sobre sus guías. Por este motivo se recomienda que ϕ no supere los 30º. De todos modos, su valor admisible está dado por la velocidad necesaria de funcionamiento y el peso de las partes en movimiento. Presenta gran dificultad la construcción de una leva maestra con dimensiones exactas, el que se realiza por lo general mediante el fresado con una herramienta de igual diámetro que la rueda de contacto, dándose valores grado por grado a la distancia r desde el centro de la leva al centro de la rueda de con tacto de la pieza empujada, con el acabado a mano de la leva. Levas de placa de arco circular con rueda de contacto

El perfil de este tipo de levas se construye utilizando arcos de circunferencias, con distintos centros y radios. En la figura (Fig.7.15) se muestra el esquema de una de estas levas y la obtención de su perfil. Está compuesto por tres arcos de circunferencias: el arco CK0 tiene un radio r0 y el centro en O; el arco K0K2 tiene su centro en A1 y radio r + r0, y el arco K2K4 tiene centro en A2 y radio rn. Cuando la leva gira un ángulo β se produce el desplazamiento máximo L de la pieza empujada.


239

El estudio se realiza considerando la leva fija mientras que la pieza empujada, toma distintas posiciones angulares alrededor de un centro de rotación O a través de la rueda de contacto. Durante el contacto de la rueda con el arco CK0 no hay elevación de la pieza empujada, ya que pertenece a la circunferencia de radio r0 y por lo tanto, el centro B2 de la rueda se halla en su posición más baja. Cuando la rueda de contacto se posiciona en algún punto del arco K0K2,como los radios A1K2 y rf son constantes, la distancia l entre los centros A1 y B2 se mantiene constante, siendo además el radio r, distancia entre O y A1, también constante. Cuando la leva gira y empuja a la rueda de contacto, se puede asimilar el movimiento, en cualquier punto del arco K0K2, al del mecanismo de biela manivela de la figura (7.15b), siendo el desplazamiento del centro B2 de la rueda igual al del botón B2 de la cruceta, según se indica en la misma. En la figura (Fig.7.15b), suponiendo el centro de coordenada O, el desplazamiento x’ que experimenta el botón B2 de la cruceta desde el extremo superior del avance hacia el centro O,cuando las posiciones angulares de la biela l y de la manivela r con respecto a OB2 son ϕ y θrespectivamente, es igual a:

x’ = l + r – [- r cos(180º-θ ) + l cosϕ ](7.84) Por ser cos( 180º-θ ) = - cosθ, la (7.84) se puede escribir:

x’ = l + r – r cosθ - l cosϕ(7.85) Elevación x de la pieza empujada

La elevación x del centro B2 de la pieza empujada para cualquier posición angular θ , se obtiene restando a la distancia total OB2 entre centros de la leva y rueda de contacto, la suma r0 + rf de sus radios, que es la altura de la pieza empujada en su posición más baja. Por lo tanto se tendrá:

x = r + l – x’ – ( r0 + rf )(7.86) Reemplazando el valor de x’ dado por la (7.85), se obtiene:


240

x = r cosθ + l cosϕ - ( r0 + rf )(7.87) Si se deriva la función de x dada por la (7.87) respecto del tiempo, se obtiene la velocidad con que se desplaza el botón B2 de la cruceta:

u = dtdsenl

dtdsenr

dtdx ϕϕθθ +=

(7.88) La velocidad angular de la manivela es:

dtdθω =

(7.89) Además de la figura (Fig.7.15) se deduce que es:

a) l senϕ = r senθ ⇒ b)θϕ sen

lrsen =

(7.90) De la (7.90) se obtiene:

= θϕ sen

lrsenarc

(7.91) Derivando ϕ respecto de θ se obtiene:

ϕθ

θ

θ

θϕ

coscos

1

cos

22

2 lr

senlr

lr

dd =

−

=

(7.92) Por otra parte, si a dϕ /dt se lo multiplica y divide por dθ, y reemplazando dθ /dt por su valor ωdado por la (7.89), se puede escribir:

ϕθω

ϕ

θω

θϕθϕ

coscos

cos

cos

lrl

r

dd

dtd

dtd ===

(7.93) Si se sustituye el valor de dϕ /dt dado por la (7.93) en la (7.88) y sacando factor común rω, se obtiene finalmente, para el valor de u:

( )ϕθθω tgsenrdtdxu cos+==

(7.94) Para obtener la aceleración c del botón B2 de la cruceta se deriva la función de u dada por la (7.94) respecto del tiempo, obteniéndose:


241

−+=== ϕθωϕϕθθωω tgsen

dtdr

dtxd

dtdvc 2

2

2

seccoscos

(7.95) Reemplazando en la (7.95) el valor de dϕ /dt dado por la (7.93) y sacando factor común rω, se obtiene:

−+= ϕθ

ϕθθω tgsen

lrrc 3

22

coscoscos

(7.96) Se pueden obtener otras relaciones útiles aplicando el teorema del coseno al triángulo OA1A2,como por ejemplo:

( ) β ′−+=−+= cos2 12

122

02

21 rrrrrrrAA n(7.97) Donde es r1 la altura vertical OA2 y el ángulo β’ es el ángulo OA1A2.Por otra parte, de la figura (Fig.7.15) también se pueden obtener las siguientes relaciones:

a) r1 + rn = L + r0 b) tgγ = krg−1 c) a = ( rf + rn ) senγ d) b = r1 + ( rf + rn ) senγ

(7.98) Para la posición (b) de la leva y rueda de contacto, se presenta la relación de ángulos:

a) ϕ = γ - ε b) θ = ε + β’(7.99) Y además: a) k = r sen( β -90º ) y b) g = r cos( β - 90º ) (7.100) Para la posición c) es: θ = ε(7.101) Para las posiciones en las cuales la rueda hace contacto con el arco K2K4, el radio r1, distancia entre O y A2, coincide con la manivela y la distancia l coincide con la biela, del mecanismo biela manivela de la figura (Fig.7.15c). Todas las ecuaciones para esta posición son similares a las dadas por las expresiones (7.85), (7.94) y (7.95), conteniendo r1, l1 y r1/l1 en lugar de r, l y r/l.La pieza empujada opone una fuerza resistente en dirección de OB2, teniendo la fuerza motriz, que realiza la leva sobre la pieza empujada, la dirección A1B2 siendo en este caso el ángulo ϕque forma OB2A1 , el ángulo de presión. Leva de arco circular con pieza empujada en forma de placa (seta)

El perfil de esta leva se construye también con arcos de círculos, según se muestra en la figura (Fig.7.16), siendo éstos, el arco K0K2 con centro en A1 y el arco K2K4 con centro en A2. La figura (Fig.7.16a) muestra el contacto en el punto K1 para una posición angular ψ y una elevación x de la pieza empujada desde la posición más baja, dada por la expresión:


242

x = r – r cosψ = r (1 - cosψ ) (7.101) Para obtener la velocidad u de la pieza empujada, se deriva x dada por la (7.101) respecto del tiempo:

u =( )

dtdsenr

dtdx ψψ−−=

(7.102) Pero como es:

dtdψω =

(7.103) Resulta, reemplazando dψ /dt por ω según la (7.103) en la (7.102) y operando, se obtiene:

ψω senr

dtdxu ==

(7.104) Para hallar la aceleración c de la pieza empujada se deriva u dada por la expresión (7.104) con respecto al tiempo, y teniendo en cuenta además la (7.103), se obtiene:

ψωψψω coscos 2

2

2

rdtdr

dtxdc ===

(7.105) En la posición indicada en la figura (Fig.7.16b), cuando la pieza empujada en el descenso hace contacto en K3, el desplazamiento x1 de la misma desde su posición más elevada, para un recorrido angular ψ1 de la leva, será: x1 = r1 – r cosψ1 = r1(1 - cosψ1 )(7.106) Derivando x1 dada por la (7.106) respecto del tiempo, y teniendo en cuenta la (7.103), se obtiene para la velocidad u:

u =11

111 ψω

ψψ senr

dtdsenr

dtdx ==

(7.107) Para la aceleración c, de la misma manera, derivando u dada por la (7.107) respecto del tiempo, y teniendo en cuenta la (7.103), se llega a la expresión:

c =1

21

1112

2

coscos ψωψ

ψω rdt

drdt

xd ==

(7.108) Leva de lados rectos con pieza empujada con rueda de contacto

Se trata, según se muestra en la figura (Fig.7.17), de una leva cuyos lados K0K2y K6K8 son rectos. El arco K2K4 es un círculo con centro en A2, aplicándose a la elevación, velocidad y aceleración producidos en el desplazamiento de la pieza empujada en los puntos en contacto


243

en esta zona de la leva, las expresiones vistas anteriormente. Para el tramo K0K2, según los triángulos OK0M y O1K1M, la elevación x está dada por la expresión:

x = r0 secα1 – r0+rf secα1 – rf (7.109) Sacando factor común en la (7.109): x = ( r0 + rf )( secα1 –1) (7.110) Donde es α1 la posición angular de la leva respecto del radio OK0 al comienzo de la elevación. Derivando x dada por (7.110) con respecto al tiempo, para hallar la velocidad u, y teniendo en cuenta que es:

dtd 1α

ω =

(7.111) Se obtiene:

( )1

10

cosααω tgrr

dtdxu f+

==

(7.112) La aceleración c, surge de derivar la expresión (7.112) que da la velocidad, respecto del tiempo y de considerar la (7.111):

( )( )11

21

30

22

2

secsec αααω tgrrdt

xdc f ++==

(7.113) Reemplazando las funciones trigonométricas por otras funciones que dan los mismos valores, se obtiene:

( )( )12

1

02

2

2

21cos

αα

ωtg

rrdt

xdc f ++

==

(7.114) De la figura se obtienen además las siguientes relaciones:

a) r0 + L = r1 + rn ; b) r0 = rn + r1 cosβ ; c) L = r ( 1- cosβ )(7.115) En el comienzo de la elevación, en el punto K0 el ángulo es cero, o sea:

α1 = 0(7.116) Cuando finaliza el contacto en la zona recta de la leva, en el punto K2, el ángulo es:

0

11 rr

senrtgf +

=β

α

(7.117) Desde el punto K2 hasta el punto K6, el movimiento es igual al ya analizado en leva de arco circular con rueda de contacto, y se rige por las relaciones vistas en dicho caso.


244

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TÍTULO AUTOR EDITORIAL - Manual del Constructor de Máquinas H. Dubbel Labor - Elementos de Máquinas Dr. Ing. O. Fratschner Gustavo Gili - Proyecto de Elementos de Máquinas M. F. Spotts Reverté - Manual del Ingeniero Hütte II A Academia Hütte Gustavo Gili - Manual del Ingeniero Mecánico Baumeister y Marks Uteha - Mecanismos J. Stiles Beggs H.A.S.A. - Resistencia de Materiales Alvin Sloane Uteha - Diseño en Ingeniería Mecánica J. Shigley McGraw-Hill - Elementos de Máquinas Pezzano-Klein El Ateneo - elementos de Mecanismos Doughtie Jones C.E.C.S.A. - Mecánica Técnica y Mecanismos L.A. Facorro Ruiz Melior - Fundamentals of Mechanical Design M. Phelan McGraw-Hill - Mecanismos S.N. Kozehvnikov Gustavo Gili


245

VOLANTES Y REGULADORES

Generalidades

Son máquinas o dispositivos que se utilizan para mantener una determinada relación entre el movimiento de rotación del eje de una máquina con la potencia que la misma entrega, si bien con funciones distintas y diferenciadas entre sí. Los volantes tienen por finalidad, en virtud de su masa e inercia, uniformar dentro de ciertos límites, las velocidades en los ejes de las máquinas motrices expuestas a variaciones debido al trabajo motor variable que le es entregado y al momento resistente de la carga. Así por ejemplo, en una máquina de émbolo alternativa el par motor es variable, y si bien se puede lograr con mayor cantidad de cilindros una mayor uniformidad, lo mismo sigue siendo irregular y presenta la velocidad del eje oscilaciones que el volante tiene la misión de limitar hasta un grado determinado. El regulador, en cambio, trabaja respondiendo a la variación del trabajo resistente, actuando sobre los órganos de distribución o admisión del vapor o combustible, aumentando su suministro cuando el trabajo resistente aumenta y, diminuyéndolo si éste disminuye. Si bien existen distintos principios de trabajo para los reguladores, nos referiremos únicamente a los que trabajan según el principio de las masas rotantes y mantienen uniforme el número de revoluciones del motor cuando varía su potencia. Volantes

Energía almacenada por el volante: Si se considera una máquina a vapor o de combustión interna monocilíndrica, provista de un mecanismo de biela manivela, cuyo esquema se indica en la figura (Fig.8.1), según lo estudiado anteriormente, la fuerza tangencial T que le imprimía el movimiento de rotación a la manivela, estaba dada por la expresión:

T = βcosP

sen( α + β )(8.1) Como T depende de los ángulos α y β, yestos se modifican continuamente, Tmodifica su intensidad a medida que el botón A de la manivela realiza una vuelta completa. Por tal motivo, su momento de rotación, dado por la expresión: Mm = T.r

(8.2) también oscilará, pudiendo representarse estas oscilaciones en un diagrama de ejes coordenados como se muestra en la figura (Fig.8.2), con los esfuerzos tangenciales en el eje de ordenadas y

en el eje de abscisas del desarrollo de la circunferencia descripta por el botón Ade la manivela. La superficie comprendida entre la curva de los esfuerzos tangenciales OABCDEO, y la línea de abscisas e, corresponde al trabajo transmitido o motor Wmrealizado por la manivela en una revolución alrededor del eje O. Este trabajo es posible conocerlo a través del diagrama que realiza un aparato llamado

8


246

indicador, el cual se confecciona con los esfuerzos sobre el émbolo y el recorrido del mismo, motivo por el cual también se lo denomina trabajo indicado, pudiendo escribirse:

== ∫ deTW

r

m .2

0

π

área OABCDEO (8.3) Si se supone que el trabajo resistente Wr, el cual se opone al trabajo Wm desarrollado por el motor, es producido por un esfuerzo resistente medio Tr, se lo podrá representar como una superficie rectangular OEFGO de base 2π r sobre el eje de abscisas e, y altura Tr sobre el eje de ordenadas, por lo que se puede escribir: Wr = Tr.2π r = area OEFGO(8.4) Estos trabajos deben ser iguales, ya que el trabajo que debe entregar el motor debe ser el necesario para vencer el resistente: Wm = Wr(8.5) Por lo tanto, ambas superficies también deberán ser iguales, por lo que se puede escribir:

Área OABCDEO = Área OEFGO(8.6) Es decir que se puede obtener el valor de Tr igualando el segundo miembro de la (8.4) con el primer miembro de la (8.6) y haciendo pasajes de términos, resultando:

rOABCDEOáreaTr π2

=

(8.7) Obtenido el valor de Tr se lo traza sobre los mismos ejes coordenados del diagrama del trabajo indicado, con lo que se tiene el área del trabajo resistente en la misma escala. Analizando las distintas zonas de los diagramas, en el recorrido e = 2π r del botón de la manivela, que dan los trabajos Wm y Wr se observa en la figura (Fig.8.2), que es: 1- Para la zona GO11’ es Wr > Wm

; 2- Para la zona 1’122’ es Wm > Wr; 3- Para la zona 2’2B3’3 es Wr > Wm; 4- Para la zona 3’3C44’ es Wm > Wr; 5- Para 4’4DEF es Wr > Wm. Es decir que la máquina acelera en 2 y 4 y desacelera en 1, 3 y 5. Durante el recorrido en el cual es Wm > Wr, el excedente de energía lo almacena el volante que se encuentra enclavado en el eje, y lo entrega cuando es Wr > Wm.

El almacenamiento de la energía que entrega el motor lo realiza, según se mencionara, debido a la inercia que posee la gran masa rotante del volante, y que fijamente unido al eje de la manivela de la máquina, como se observa en la figura (Fig.8.3) en la cual se muestra esquemáticamente un motor monocilíndrico con su volante, gira a la misma velocidad nque éste. Durante la carrera resistente, el volante entrega la energía almacenada, lo que produce una reducción de la velocidad del eje de

la máquina. Cuando ingresa el vapor o se produce la combustión o explosión, es decir cuando el


247

motor entrega potencia, o cuando no se realiza trabajo, la velocidad del eje aumenta. Se producen por este motivo, dos velocidades extremas, una ωmax máxima y una ωmin mínima. Se tendrá por lo tanto que el máximo trabajo transmitido o resistente, será igual al aumento o disminución de la energía de la masa del volante, lo que produce una variación de la energía cinética del mismo. Si es I el momento de inercia del volante, la variación de la energía ∆W queexperimenta el volante, en función de las velocidades máximas y mínima, será:

( )2min

2max2

1 ωω −=∆ IW

(8.8) Si la velocidad angular media es:

2minmax ωω

ω+

=

(8.9) Desarrollando la diferencia de cuadrados, la (8.8) se puede escribir:

( )( )minmaxminmax21 ωωωω −+=∆W

(8.10) Teniendo en cuenta la (8.9), la (8.10) resulta:

( )minmax ωωω −=∆ IW(8.11) La expresión (8.11) da la energía almacenada por el volante. Grado de irregularidad o coeficiente de fluctuación δ

El grado de irregularidad δ se lo obtiene dividiendo la diferencia entre la velocidad angular máxima y la velocidad angular mínima por la velocidad angular media, siendo por lo tanto:

ωωω

δ minmax −=

(8.12) El grado de irregularidad δ da valores que indican la amplitud con que varía la velocidad angular respecto a la velocidad angular media. Cuanto mayor es este coeficiente, más irregular es el funcionamiento de la máquina. Para cada tipo de máquina, según su prestación, se adopta un coeficiente de fluctuación, siendo éste de suma importancia para el dimensionamiento del volante. Según Dubbel, se tienen los siguientes valores:

Hélices de buques (por medio de motores).................................1 : 20 Máquinas de corte, bombas.........................................................1 : 25 Mecanismos de transmisión de talleres.......................................1 : 35 Telares, máquinas de fábricas papeleras......................................1 : 40 Molinos de moliendas..................................................................1 : 50 Máquinas de hilar para números de hilos bajos...........................1 : 60 Máquinas de hilar para números de hilos altos............................1 : 100 Generadores de corriente continua para alumbrado.....1 : 100 a 1 : 120 Generadores de corriente alterna para conexión en paralelo en redes de turbinas......................................................................1 : 300

De la expresión (8.12) se obtiene:


248

δ .ω = ωmax - ωmin(8.13) Reemplazando el valor deωmax - ωmin dado por la (8.13) en la (8.11), se tiene la expresión:

∆W = I ω2 δ(8.14) La expresión (8.14) se utiliza para el cálculo del volante, pudiéndose observar en la misma que cuanto mayor es el momento de inercia I, para una variación determinada del trabajo ∆W, menor es el grado de irregularidad δ, obteniéndose un funcionamiento más uniforme, ya que ωmax - ωmin se hace pequeño. Dimensionamiento del volante

Una vez fijado el grado de irregularidad δ según el tipo de máquina para el cual se dimensionará el volante, se debe calcular el momento de inercia I del mismo. Este momento de inercia Idependerá de su forma constructiva, es decir si será un cilindro macizo o con llanta, radios y cubo. Para todos los casos se debe tener en cuenta el diámetro o radio de inercia o de giro, es decir aquel en el cual se considera concentrada la masa. Considerando un volante cuya masa se halla concentrada en la llanta, figura (Fig.8.4), su momento de inercia es:

I = m.R 2

(8.15) En la (8.15) es R el radio medio de la llanta del volante y m la masa del volante, la que en función de su peso es:

gGm =

(8.16) Por lo tanto, la (8.15), según la (8.16) se puede escribir:

2RgGI =

(8.17) Si se reemplaza en la expresión (8.14) el valor de I dado por la (8.17), se obtiene:

δω 22RgGW =∆

(8.18) Por ser la velocidad tangencial: ω.R = v(8.19) Por lo que la (8.18), en función de la velocidad tangencial v, de acuerdo a la (8.19), resulta:


249

δ2vgGW =∆

(8.20) De la (8.20) se obtiene el peso del volante:

δ..

2vgWG ∆=

(8.21) Una vez obtenido el peso G del volante, como éste es igual a su peso específico γ por su volumen V, el cual está dado por la expresión: V = π.R2.e(8.22) Por lo que resulta para el peso G:

a) G = γ.V = γ.π.R2.e o también b) eRVG .. 2π

γ==

(8.23) Las expresiones dadas por la (8.21) y (8.23) permiten dimensionar el volante conociendo ∆W apartir del diagrama de los esfuerzos tangenciales, adoptando ya sea R o e, según las condiciones de fabricación de la máquina. Para su dimensionamiento, sin recurrir al diagrama de los esfuerzos tangenciales, en forma aproximada, se puede considerar a ∆W como una fracción k del trabajo motor Wm efectuado en una vuelta, el cual se puede obtener en función de la potencia N del motor y del número n de vueltas por minuto de su eje. El procedimiento es el siguiente:

a) 60.nW

N me =

⇒ b) nN

W em

60=

(8.24) Como es ∆W una fracción k de Wm, y teniendo en cuenta la (8.24b), se puede escribir:

∆W = k.Wm = nN

k e60

(8.25) El factor k depende de las características del motor, del número de cilindros, grados de admisión, etc. Las expresiones (8.20) y (8.25) tienen iguales sus primeros miembros, por lo tanto se pueden igualar sus segundo y tercer miembros respectivamente:

a) nN

kvgG e602 =δ

⇒ b) 2

.60nvNgkG e

δ=

(8.26) La velocidad tangencial v en función de n se puede escribir como:

v = ω.r = ω 2D

=2π n 2D

= π.n.D(8.27) Reemplazando el valor de v dado por la (8.27) en la (8.26), se obtiene:


250

232

.60.Dn

NgkG e

πδ=

(8.28) Haciendo:

K = 2

.60.π

gk

(8.29) La (8.28) se puede escribir como:

23DnNKG e

δ=

(8.30)

La expresión (8.30) juntamente con la (8.23) permite dimensionar el volante. El valor de K se halla tabulado en función del tipo de motor, ciclos, tiempos, número de cilindros, etc. Dubbel da la expresión:

3

2

nNKGD e

sδ=

kgm2

(8.31) en la cual es D el diámetro de inercia. GD2 recibe el nombre de factor de inercia.Algunos de los valores medios de K dados por Dubbel son los siguientes: máquina a vapor de una sola manivela K =2,5.106; motores ciclo Otto cuatro tiempos, de 4 cilindros K =1,12 a1,76.106, de 6 cilindros K =0,72.106; motores ciclo Diesel cuatro tiempos, simple efecto, 4 cilindros K =2,7.106, de 6 cilindros K =1,6.106.Obtenido K, Ne, n y δ s se obtiene GD2. Por lo general, el 90% de GD2 se encuentra en la llanta o corona del volante, estando el 10% restante distribuidos entre los rayos y cubo. Para la corona, Dubbel da el siguiente valor del factor de inercia: GD2 = 2 G ( Re

2 + r 2 )(8.32) Siendo en la (8.32) Re el radio exterior de la corona y r su radio interior. Dubbel aconseja para volantes de fundición velocidades tangenciales v ≤ 30 a 35 m/s; para mayores velocidades aconseja volantes de acero. Reguladores de velocidad. Regulador pendular cónico o regulador de Watt

Como ya se mencionara, el regulador de velocidad es un mecanismo que actúa sobre los dispositivos de distribución o de admisión del motor, cuando el trabajo resistente que debe vencer el mismo aumenta o disminuye, haciendo variar el suministro de vapor o combustible de tal modo que la velocidad de rotación de la máquina permanezca constante dentro de los límites impuestos. Según el tipo constructivo, se distinguen los reguladores de manguito o pendulares cónicos, y los reguladores axiales o reguladores


251

planos. En la figura (8.5) se muestra el esquema de un regulador pendular cónico o regulador de Watt, el cual posee un eje vertical OO’ que recibe el movimiento de rotación desde el eje del motor a través de un sistema de engranajes, teniendo por lo tanto la misma velocidad que éste o proporcional a la misma. Los brazos OA y OA’, de igual longitud entre sí, en cuyos extremos se encuentran las masas esféricas metálicas m, están articulados en O al eje OO’ por lo que giran con su misma velocidad angular. Los brazos mencionados se hallan unidos al manguito E por medio de las barras BR y B’R’ mediante articulaciones que le permiten elevarse o descender, según la fuerza centrífuga que actúa sobre las masas aumente o disminuya, respectivamente. Estas barras, en su movimiento arrastran al manguito E, estando este último unido a la palanca articulada NPD, que tiene su punto de apoyo en P, la cual al ser arrastrada por el manguito transmite el movimiento al vástago DJ que cierra, disminuye o amplia en la válvula V, el paso del vapor a la máquina, con lo cual la máquina se detiene, disminuye su número de vueltas o la aumenta. Cálculo del desplazamiento vertical h del manguito

Si se analizan las fuerzas que actúan sobre las masas cuando giran con una velocidad angular ωsegún se indica en el diagrama de la figura (Fig.8.6), al variar dicha velocidad variará también la altura hdel manguito. Una vez hallada la posición de equilibrio para una determinada velocidad, existe un equilibrio dinámico de las fuerzas que actúan, siendo éstas el peso propio G de las masas esféricas m y la fuerza centrífuga Fc, dada por la expresión:

Fc = m.ω2.r(8.33)

Pero es: gGm =

(8.34) Por lo tanto, reemplazando en la (8.33) el valor de m dado por la (8.34), se obtiene:

rgGFc .2ω=

(8.35) Tomando los momentos de estas fuerzas respecto del centro O, e igualando los mismos por estar en equilibrio dinámico el sistema:

a) Fc.h = G.r o por la (8.35) ⇒ b)rGhr

gG ...2 =ω

(8.36) Operando matemáticamente en la (8.36), se obtiene:

2ωgh =

(8.37) Pero es:


252

a) 90030

222 nn πωπω =⇒=

; b) g = 9,806 m/s2

(8.38) Por la (8.38) la (8.37) resulta:

2

2,894n

h =

(8.39) De la expresión (8.39) se puede notar que h es independiente del peso de las esferas, dependiendo únicamente de la velocidad angular ω o de rotación n. Además se observa de la misma, que para pequeños cambios de n se obtienen variaciones apreciables de h para bajas velocidades, en tanto que para altas velocidades un gran cambio de éstas se traduce solo en pequeñas variaciones de h, o sea que disminuye la sensibilidad al aumentar el número de vueltas por minuto. Se puede, a modo de ejemplo, confeccionar un cuadro para distintos valores de n y los correspondientes de h, obtenidos de aplicar la (8.39):

n 20 50 100 150 200 300 400 Vueltas por minuto h 2,24 0,36 0,09 0,04 0,022 0,01 0,005 metros

Regulador de Watt sobrecargado

Con este regulador se logra una mayor sensibilidad. Se introduce un peso adicional que es soportado por las esferas, según se muestra en la figura (Fig.8.7) . Por lo tanto, además de la fuerza centrífuga Fc y del peso G de las masas, interviene el peso adicional P, el cual es soportado por partes iguales por cada una de las esferas, es decir, cada una soporta P/2. Por lo tanto, en el equilibrio dinámico, la suma de los momentos respecto al punto O de las fuerzas actuantes, resultan:

hrgGrPG ...

22ω=

+

(8.40) Despejando h de la (8.40), y teniendo en cuenta la (8.38), se obtiene:

22

2,8942

12nG

PgG

PGh

+=

+=

ω(8.41)

Como en la (8.41) es GP

21+

> 1, con este regulador se logra un mayor incremento de h,aumentando la sensibilidad del mismo.


253

Regulador de Porter

Es una modificación del regulador de Watt. Las masas esféricas, de peso G cada una, se encuentran en las articulaciones A y C, con una masa central de peso P de sobrecarga, según se indica en la figura (Fig.8.8a). La fuerza centrífuga Fc, debido al movimiento de las masas, las que giran con una velocidad angular ω, tiene la misma forma que la expresión (8.35). Las fuerzas actuantes generan momentos respecto al centro de rotación O, pudiendo realizarse para el estado de equilibrio dinámico del sistema, el siguiente análisis: En la figura (Fig.8.8b) se construyó el diagrama del cuerpo libre, siendo F la fuerza actuante sobre cada uno de los brazos articulados del regulador, las que equilibran al peso P de la sobrecarga, según se muestra en la figura (Fig.8.8c), resultando ser:

αcos2PF =

(8.42) Por otra parte, la expresión que relaciona el radio r y la altura h con la longitud l del brazo superior es:

a) r = l.senα y b) h = l.cosα(8.43) En el equilibrio, las fuerzas Fc, F y G aplicadas en C dan una resultante R, en la dirección OC.

Trazando una recta normal n-n a OC, según muestra la figura (Fig.8.8d), proyectando Fc, F y Gsobre la misma y efectuando las sumatorias de las fuerzas proyectadas, teniendo en cuenta los valores de Fc y l dados por la (8.33) y la (8.43a) respectivamente:

F.cos( 90º - 2α ) + G.cos(90º - α ) -αω senl

gG .2

cosα = 0(8.44) Reemplazando en la (8.44) los valores de F y de l.cosα dados por la (8.42) y (8.43b) respectivamente, siendo cos(90º - 2 α ) = sen 2α, se obtiene:


254

0...2cos2

2 =+ αωαα

senhGsenP

(8.45) Haciendo en la (8.45) sen 2α = 2 senα cosα :

02cos2

2 =−+ αωααα

senhgGsenGsenP

(8.46) Simplificando, dividiendo por senα ambos miembros y haciendo pasajes de términos en la (8.46), resulta:

a) GPh

gG +=2ω

⇒ b) 2ωg

GGPh +=

(8.47) La (8.47), sacando factor común G y teniendo en cuenta los valores de ω y g dados por la (8.38), resulta finalmente:

2

2,8941nG

Ph

+=

(8.48)

Por ser

+

GP1

>

+

GP

21

> 1 se obtiene una mayor sensibilidad para este regulador. De la expresión (8.35) se puede obtener el valor de ω :

a) rGgFc

.

.2 =ω⇒ b) G

grFc=ω

(8.49) Como de la (8.38a) ya vista, se obtiene:

ω

π30=n

(8.50) Reemplazando ω por su valor dado por la (8.49b) en la (8.50), esta última resulta:

GrFg

Gg

rF

n cc 13030ππ

==

(8.51)

Como es g ≈ π , se pueden simplificar en la (8.51), quedando finalmente:

GrF

n c 130≅

(8.52) La expresión (8.52) da el valor que debe tener la velocidad de rotación para un determinado peso de las masas que rotan y de la fuerza centrífuga.


255

Grado de irregularidad δ

Al igual que en el Volante, también en el regulador de velocidad el grado de irregularidad δ da la relación con la velocidad angular media ω que tiene la amplitud, establecida por las velocidades angulares máxima ωmax como límite superior, y mínima ωmin como límite inferior, dentro de la cual oscila la velocidad del mismo. El grado de irregularidad δ caracteriza a cada regulador de velocidad. Se tiene, por lo tanto:

nnn minmaxminmax −

=−

=ω

ωωδ

(8.53) Siendo en la (8.52):

a) 2minmax ωω

ω+

=y b) 2

minmax nnn

+=

(8.54) El grado de irregularidad es factor preponderante en el buen funcionamiento de un regulador. Si δ es muy pequeño, existen oscilaciones muy prolongadas con la variación de la carga, a veces sin llegar a la posición de equilibrio. Si es δ muy grande, el tiempo en alcanzar la posición de equilibrio es muy elevado. De acuerdo a Tolle, el grado de irregularidad óptimo puede conocerse mediante la fórmula:

3 2.

2TgSr=δ

(8.55) Analizando los valores de Sr y T en la (8.55): Sr es la carrera reducida del manguito, siendo igual a:

trabajodeCapacidadrecorridossusdecuadradoelscentrífugopesoslostodosdeSumatoriaSr

×=

(8.56) Donde es P la suma de todos los pesos centrífugos, es decir que se encuentran rotando, e al recorrido de los mismos y A a la capacidad de trabajo. Por lo tanto, la (8.56) se puede escribir como:

AeP

Sr∑=

2.

(8.57) Así también, la capacidad de trabajo A está dada por la expresión:

a) dA = E.ds ⇒ b) ∫=s

dsEA0

.

(8.58)


256

E.ds es el trabajo elemental que realiza la fuerza E; s es el recorrido del manguito. La fuerza Evaría con cada posición del manguito y es denominada energía del regulador a pesar de ser una fuerza, y está aplicada, según se muestra en la figura (Fig.8.9a), en forma axial y hacia abajo, y equilibra a las fuerzas centrífugas. Conociendo las variaciones de E y de Fc con las posiciones sy r del manguito y de las masas en rotación respectivamente, se puede representar gráficamente la capacidad de trabajo A, como se indica en las figuras (Fig.8.9b) y (8.9c). En los casos que se equilibran E y Fc, los trabajos elementales en un deslizamiento ds del manguito y una variación dr de la posición de las masas deben ser iguales, por lo que teniendo en cuenta la (8.58) se puede escribir:

a) dA = E.ds = Fc.dr ⇒ b) ∫ ∫== drFdsEA c ..(8.59) T es el tiempo en segundos, que tarda la máquina marchando en vacío con admisión máxima, para adquirir, partiendo del reposo, la velocidad de régimen normal, y se lo obtiene considerando la potencia N del motor, la masa M del volante y la velocidad circunferencial v del baricentro de la corona del volante. Si se tiene la potencia N en CV, la masa M en kg.s2/m y v en m/s, siendo ½ L la potencia media utilizada para la puesta en marcha del motor, en Kgm/s, será:

a) TLvM .

21.

21 2 =

⇒ b) LvMT

2.=

(8.60) Por ser: L = 75N(8.61) Reemplazando en la (8.60) el valor de L dada por la (8.61), se obtiene:

NvMT

75. 2

=

(8.62) Reemplazando los valores de Sr y de T en la (8.55), se obtiene:

3 2

2

2

1

...

.752

∫∑= r

r c drFvMg

ePNδ

(8.63) Grado de insensibilidad ε


257

Debido a las resistencias que oponen el rozamiento propio y el mecanismo de maniobra del regulador, el manguito del regulador permanece en reposo si la variación de la velocidad instantánea de rotación del eje a un nuevo valor n es tal, que la fuerza

centrífuga Fc correspondiente a la misma, no es suficiente para vencerlas. Es decir que para que el manguito se mueva, deberá ejercerse una fuerza centrífuga superior o inferior a Fc en un ∆Fc, ya sea que aumente o disminuya la velocidad de rotación del eje respectivamente, o en su defecto, hasta no llegar a la misma, el manguito permanecerá en reposo. En la figura (Fig.8.10) se observa que aumentando Fc en ∆Fc se obtiene: Fc’’ = Fc + ∆Fc(8.64)

Disminuyendo a Fc un ∆Fc, se obtiene:

Fc’ = Fc -∆Fc (8.65) A la fuerza centrífuga Fc’’ le corresponde una velocidad de rotación n’’ y a Fc’ le corresponde la velocidad n’.Es decir, que en tanto no se alcancen las velocidades n’’ y n’ el manguito no se desplazará de su posición anterior. Por lo tanto, existe un intervalo ∆n en la variación de la velocidad de rotación del eje, dentro del cual el regulador no cambia de posición, no produciéndose el deslizamiento del manguito, siendo el mismo: ∆n = n’’- n’(8.66) El cociente entre el intervalo ∆n durante el cual el regulador permanece insensible a las variaciones de velocidades, y la velocidad instantánea n a la cual tendría que producirse el movimiento del manguito, se denomina grado de insensibilidad ε del regulador, por lo que se puede escribir:

ωωε ∆=∆=

′−′′=

nn

nnn

(8.67) Por ser Fc = f(n2), se puede escribir:

c

c

c

cc

FF

FFF ∆

=−

='''

ε

(8.68) El grado de insensibilidad es el grado de respuesta del regulador a una variación de su velocidad para una posición dada. Energía E del regulador

La si bien E es una fuerza , es denominada energía del regulador, siendo la equilibrante de las fuerzas centrífugas Fc que se producen a la velocidad de rotación de las masas del regulador. Está ocasionada en su mayor parte por la carga elástica de los resortes del


258

manguito, pudiendo obtenérsela por peso del manguito o por cálculo. Por lo tanto E es proporcional a Fc, y también lo serán los incrementos ∆E y ∆Fc de ambas, las que se indican en la figura (Fig.8.11), por lo que se puede escribir:

a) cc FE

FE

∆∆=

⇒ b) EE

FF

c

c ∆=∆

(8.69) Pero, teniendo en cuenta la expresión (8.68b), de la (8.69) se deduce:

a) EE∆=ε

⇒ b) ∆E = ε.E(8.70)

Como por la (8.67) se tiene el valor de ε igual al cociente de ∆ω y ω, la (8.70b) resulta:

EE

ωω∆=∆

(8.71) ∆E es la fuerza que mueve el manguito o hace deslizar el manguito, por lo que deberá ser lo más grande que sea posible, pero el grado de sensibilidad ε debe ser tan pequeño como sea posible, por lo que deberá ser E grande, según se deduce de la (8.70b). ∆E seemplea para vencer las resistencias W de los órganos que comandan el manguito y las fuerzas R de rozamiento del regulador, siendo:

∆E = W + R(8.72) Teniendo en cuenta la (8.70a), reemplazando el valor de ∆E dado por la (8.72), resulta:

ERW +=ε

(8.73) W es la fuerza útil para mover los mecanismos del regulador, por lo que las fuerzas Rde rozamiento deben ser lo más pequeñas posibles, utilizándose los elementos que ofrezcan menores coeficientes de rozamiento entre las partes que deben deslizar entre sí, en los reguladores de acción directa. Pero se tiene que cuando ε es pequeña, W también es pequeña, motivo por el cual se intercala un servomotor cuando esta última no alcanza para accionar los mecanismos del regulador, resultando un regulador de acción indirecta, el que se describirá más adelante. Una vez determinado el grado de insensibilidad ε, se define como grado de irregularidad total δT del regulador, a la suma del grado de irregularidad δ y al grado de insensibilidad ε :

δT = δ + ε (8.74) (8.74) Estabilidad y estaticidad

Equilibrio de Fuerzas en el regulador:En el estudio de un regulador debe tenerse


259

en cuenta el comportamiento del mismo cuando aumenta o disminuye n, y por lo tanto Fc. Observando en la figura (Fig.8.12), las distintas posiciones de las masas esféricas m,y de las fuerzas actuantes debido al peso G de las mismas, del peso P del manguito y al rozamiento R de los órganos deslizantes, se tiene que la fuerza centrífuga que equilibra dinámicamente las fuerzas centrípetas resultantes de la de la acción de las fuerzas G, P yR, es la suma de las fuerzas centrífugas parciales que equilibran cada una de las fuerzas mencionadas, y por lo tanto se tendrá: Fcg = fuerza centrífuga que equilibra G; Fcp = fuerza centrífuga que equilibra P; Fce = fuerza centrífuga que equilibra R.Curvas C: Para estudiar la influencia de las fuerzas centrípetas originadas por G, P y R,sobre el funcionamiento del regulador, se toman ejes coordenados coincidentes la ordenada y con el eje del regulador y la abscisa x normal al mismo. Para cada posición de las masas esféricas y el manguito, es posible trazar una curva para cada una de las fuerzas centrífugas Fcg, Fcp y Fce , uniendo los puntos de intersección de las normales a Ox con las normales a Oy, correspondientes a cada uno de los valores de Fcg, Fcp y Fce

sobre el eje Oy y a cada valor de ri sobre el eje Ox. En la figura (Fig.8.12) se observan estas curvas, Cp, Cg yCe, constituyendo una familia de curvas, denominadas curvas características del regulador o curvas C.La curva C que se observa en la misma figura, es la curva característica de la fuerza centrífuga total Fc, la que resulta de la sumatoria de las curvas

parciales Cp, Cg y Ce.En la figura (Fig.8.13a) se muestran tres posiciones de las masas esféricas, cuyas distancia de sus centros al eje de rotación, sobre el eje de abscisas, son r1, r2 y r3, a las que les corresponden las fuerzas centrífugas F1c, F2c y F3c, respectivamente sobre el eje de ordenadas, lo que permite construir la curva C que pasa por los puntos de intersección de ambas coordenadas. La figura (8.13b) muestra la curva C obtenida para el regulador entre las dos posiciones extremas de mínima y máxima velocidad de rotación de las masas cilíndricas m. Por el origen O se ha trazado un radio vector que corta a la curva C en los puntos Q1 y Q2, yforma con el eje de abscisas Or el ángulo ϕ. Por lo tanto, se tiene de la figura:

rC

rC

rCtg ===

2

2

1

1ϕ

(8.75) Por ser C la representación gráfica de Fc, por la (8.33) y la (8.75), se puede escribir:


260

a) C = Fc = m.r.ω 2 ⇒ b) tgϕ =2.ωm

rF

rC c ==

(8.76) Por lo tanto, en la expresión (8.52), reemplazando Fc/r por su valor tgϕ, resulta:

ϕϕ tgG

tgG

n 30130 =≈

(8.77) Como el peso G es una constante, en la (8.77) se hace:

K

G=30

(8.78)

Por lo que la (8.77), reemplazando 30/G por su valor K, resulta finalmente:

( )21

ϕϕ tgKtgKn == (8.79) Es decir que la velocidad angular de un regulador de velocidad depende del ángulo ϕque forma el radio vector trazado desde O a un punto de la curva C y el eje Or.Analizando las distintas posibilidades que presentan estas curvas, se observa: 1- Si el ángulo ϕ permanece constante para cualquier punto de la curva C, la velocidad

angular ω, o el número n de vueltas por minuto, será también constante cualquiera sea la carga o par resistente; la curva Ctiene la forma, para este caso, de una recta que pasa por O,según se indica en la figura (Fig.8.14). Es decir que para cualquier posición del manguito la velocidad angular es la misma, siendo la regulación astática, o también isócrona o isodrómica, por lo que el equilibrio solo se logra para un valor determinado de ésta. Para otros valores, la regulación es

inestable, ya que al experimentar la velocidad de rotación del eje del motor un pequeño aumento, el manguito se eleva hasta la posición más alta, descendiendo hasta su posición más baja cuando disminuye la misma, por lo que no se logra en ningún caso, la posición de equilibrio, siendo el regulador del sistema todo o nada. Este tipo de regulador es inservible para máquinas motrices, ya que no se obtiene una regulación

gradual de la velocidad. 2- Para que un regulador pueda cumplir su cometido y obtener una regulación gradual, es preciso que a cada posición del manguito le corresponda una velocidad de rotación ndistinta. Es decir, a medida que se separan las masas centrífugas m, aumenta el radio r de rotación de su baricentro, aumentando a su vez la fuerza centrífuga Fc. También el ángulo ϕaumenta progresivamente, según se indica en la


261

figura (Fig.8.15), y por lo tanto su tangente, siendo la regulación estática. El funcionamiento del regulador es estable en cualquier posición del manguito, existiendo una regulación gradual que disminuye la alimentación del motor cuando su velocidad aumenta y aumentando la alimentación cuando la velocidad disminuye. De la figura (Fig.8.15), se observa que la condición de estabilidad del regulador se cumple para la siguientes relaciones:

a) r2 > r1; b) ϕ2 > ϕ1, c) tgϕ2 > tgϕ1(8.80)

3- En la figura (Fig.8.16), se muestra una curva Cconvexa, en la que se puede observar, que cuando aumenta el radio r por efecto de la velocidad de rotación del motor, el ángulo ϕ disminuye, y por lo tanto disminuye su tangente. Por lo tanto, a medida que el manguito se desplaza a su posición más baja, la velocidad de rotación n aumenta y r disminuye, lo que corresponde a un regulador inestable, inservible para una regulación gradual. De la figura (Fig.8.16), se observa:

a) r2 > r1; b) ϕ 1 > ϕ2; c) tgϕ 1 > tgϕ2 (8.81)

4- En la figura (Fig.8.17) las curvas C corresponden a un regulador, que para una cierta posición del manguito, se comporta en forma estable para una porción de la curva, y para otra, en forma inestable. El punto Qa, punto de tangencia, es un punto astático; en las dos posiciones infinitamente próximas correspondientes a este punto, la velocidad angular ω es constante cualquiera sea el par resistente.

Antes de Qa en la curva superior, el regulador es inestable, siendo: a) r2 > r1; b) ϕ 1 > ϕ2; c) tgϕ 1 > tgϕ2(8.82) Después del punto Qa, es estable, siendo:

a) r2 > r1; b) ϕ 1 < ϕ2; c) tgϕ1< tgϕ2(8.83) En la curva inferior, antes del punto Qa, el regulador es estable, siendo:

a) r2 > r1; b) ϕ 1 < ϕ2; c) tgϕ1< tgϕ2(8.84) Después del punto Qa es inestable, siendo: a) r2 > r1; b) ϕ 1 > ϕ2; c) tgϕ 1 > tgϕ2(8.82)


262

5- Si la curva C presenta un punto de inflexión en Qa, como muestra la figura (Fig.8.18), el regulador, si es estable, seguirá siendo estable luego de dicho punto, y si es inestable, seguirá siendo inestable. Para la condición de inestabilidad, en la curva superior, en cualquier posición del manguito es: a) r2 > r1; b) ϕ 1 > ϕ2; c) tgϕ 1 > tgϕ2(8.83) En la curva inferior, para la condición de estabilidad, es para cualquier posición del

manguito:

a) r2 > r1; b) ϕ 1 < ϕ2; c) tgϕ1< tgϕ2 (8.84) En los reguladores de acción directa estudiados, debido a las masas, palancas, válvulas y resortes que actúan, las fuerzas que se deben realizar son grandes, por lo que se tiene un regulador voluminoso. Además el grado de insensibilidad debe ser pequeño para lograr una rápida respuesta ante cualquier variación de la velocidad. Pero por la gran inercia de este regulador, existe el peligro de penduleo, el cual es un fenómeno que aparece cuando la válvula de admisión sobrepasa en ambos sentidos, la posición asignada, oscilando alrededor de ella entre dos posiciones extremas, no llegando al equilibrio, resultando por lo tanto que un regulador de acción directa y pequeño grado de insensibilidad es inestable. Y si para contrarrestar esta situación se le aumenta el grado de insensibilidad, se afecta la precisión del regulador. Estabilidad del regulador: Con el fin de lograr estabilidad en este regulador, se utiliza

un amortiguador, el que se indica en la figura (Fig.8.19), estando compuesto por un cilindro que contiene aceite u otro fluido de viscosidad elevada, el cual opone resistencia al movimiento de un émbolo que se desplaza dentro del mismo. La válvula V regula la abertura del orificio que deja escurrir el aceite fuera del cilindro, con lo que se logra una mayor o menor velocidad de escurrimiento, y por lo tanto en el desplazamiento del émbolo. La resistencia del aceite al desplazamiento

del pistón crece en relación directa con la velocidad de este último, por lo que si la magnitud del trabajo resistente varía apreciablemente, el amortiguador hace que el manguito se mueva lentamente, absorbiendo las pequeñas perturbaciones eventuales que puedan producirse, sin que intervenga el mecanismo de admisión de vapor. Regulador de acción indirecta: A los efectos de evitar el inconveniente que se presentaban con los reguladores de acción directa, se han desarrollado reguladores denominados de acción indirecta, como ya se mencionara precedentemente, los cuales a los efectos de amplificar la acción del regulador, actúan sobre un elemento intermedio, por lo general un servomotor hidráulico, siendo este último el que actúa sobre el mecanismo de admisión, cuando percibe la variación de la velocidad de rotación que indica el regulador. A continuación, en el esquema de la figura (Fig.8.20), se indica como está constituido y como funciona un regulador de acción indirecta.


263

El regulador centrífugo a varía la posición del manguito d levantándolo si aumenta la velocidad de rotación del motor (disminución de la carga). Mientras el punto de apoyo f1 de la palanca e1

esté fijo, el punto f3 se levantará y con él, el pistón pde la válvula i de distribución del aceite que envía a presión la bomba b penetrando por el conducto n ypuede retornar por el conducto m al depósito de aceite t. En estas condiciones el aceite que ingresa por n a la válvula i, pasará por el conducto h1 al cilindro s del servomotor, actuando sobre la cara superior del pistón k, el cual desplaza el vástago zcerrando parcialmente, con el obturador o, la válvula de regulación del vapor l disminuyendo el caudal de la cañería de llegada de vapor j-u. El aceite que se encuentra en la parte inferior c del cilindro s retorna por h2 y sale por m' al depósito t de la bomba. Como se suministra menos vapor, la potencia disminuye

adecuándose a la carga, el número de revoluciones que aumentaba desciende nuevamente a su valor normal, pero como el manguito d del regulador de velocidad también desciende, se volvería a abrir la válvula l, pero como el punto f2 ha descendido, la nueva posición del manguito d se ha ajustado a la nueva situación, f3 descenderá y el pistón p obturará nuevamente el conducto h1, y luego de unas pocas oscilaciones amortiguadoras, queda el sistema en una nueva posición de equilibrio. Si la velocidad de rotación disminuye por el aumento de la cupla resistente, el proceso se repite pero en sentido contrario. Se puede notar que el esfuerzo de apertura de la válvula de ingreso de vapor lo hace la bomba b de aceite. Se puede variar la posición de f1 mediante un tornillo g fijando una nueva velocidad de la máquina, ya sea manualmente o desde el tablero incorporando un motor eléctrico al tornillo g.

Regulador axial de fuerza centrífuga

El regulador axial de fuerza centrífuga, cuyo esquema simplificado se muestra en la figura (Fig.8.21), es un regulador plano, constituido por un plato giratorio, el cual rota, en equilibrio

dinámico, a la velocidad angular ω alrededor del eje O’, según se indica en la figura (Fig.8.21a); una masa esférica M, que se encuentra en el extremo de la varilla C,la cual está articulada en O,pudiendo rotar alrededor de este eje, el cual es paralelo al eje principal O’ de rotación; un resorte R, cuya tensión se puede regular, se encuentra anclado en N y sujeta por el

otro extremo a la varilla C, sobre la cual ejerce la tracción S. A la varilla C se encuentra fijado un vástago Z perpendicular a la misma, el cual se puede desplazar por la ranura J cuando se desplaza la varilla C.Si la velocidad angular ω aumenta, también aumentará la fuerza centrífuga Fc, la que está dada por la expresión:

22 ... ωω r

gGrMFc ==

(8.85) Esta fuerza hace desplazar a la masa M, venciendo la tensión S del resorte R. El vástago Z, el que se indica en la figura (Fig.8.21b), se desplaza actuando sobre el mecanismo L, el que a su


264

vez actúa sobre los órganos de admisión, disminuyendo la potencia del motor, con lo cual vuelve a disminuir la velocidad angular ω, disminuyendo al mismo tiempo la fuerza centrífuga Fc hasta que su momento respecto a O es equilibrado por el correspondiente a la tensión S del resorte R según la expresión:

bSar

gG ... 2 =ω

(8.86)

con lo que se logra la regulación automática.

------------()-------------- Apuntes de clases extractados de la siguiente bibliografía

TÍTULO AUTOR EDITORIAL - Manual del Constructor de Máquinas H. Dubbel Labor - Elementos de Máquinas Dr. Ing. O. Fratschner Gustavo Gili - Proyecto de Elementos de Máquinas M. F. Spotts Reverté - Manual del Ingeniero Hütte II A Academia Hütte Gustavo Gili - Cálculo de Elementos de Máquinas Vallance-Doughtie Alsina - Diseño de Máquinas Hall-Holowenco-Lau McGraw-Hill - Manual del Ingeniero Mecánico de Marks Baumeister y Marks Uteha - Diseño en Ingeniería Mecánica J. Shigley McGraw-Hill - Elementos de Máquinas Pezzano-Klein El Ateneo - Mecánica Técnica y Mecanismos L.A. Facorro Ruiz Melior - Fundamentals of Mechanical Design M. Phelan McGraw-Hill - Máquinas Motrices Generadores de Energía Electrica Ramírez Vázquez CEAC - Teoría de los Motores Térmicos Mario Ninci Teuco


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LUBRICACIÓN Y COJINETES

Generalidades

Cuando un elemento de máquina está soportado por un segundo elemento, y hay un movimiento relativo entre ellos, de tal forma que las superficies en contacto deslizan una sobre la otra, el conjunto constituye un cojinete. Pero comúnmente se ha dado en llamar cojinete al elemento que soporta o sobre el cual se mueve el otro elemento, el cual puede ser un gorrón, un collar de empuje, zapatas, etc. Tipos de cojinetes

Los cojinetes se clasifican por lo general, según el tipo de rozamiento que experimentan y por el tipo de carga que soportan. Según el tipo de rozamiento se distinguen los cojinetes de fricción o de deslizamiento, y los cojinetes de antifricción o de rodadura. Entre los primeros se cuentan los cojinetes de casquillo completo o buje y los de casquillo partido. Entre los segundos los de bolas o rodillos. Para

mayor ilustración, en la figura (Fig.9.1) se muestran estos dos tipos de cojinetes. Según la carga que soportan, se tiene: 1- Cojinetes radiales, que soportan cargas radiales transmitidas por ejes horizontales rotantes o gorrones; 2- Cojinetes axiales o de empuje, que soportan cargas axiales transmitidas por ejes verticales rotantes o pivotes; 3- Cojinetes de guías,que soportan cargas de distintos tipos, guiando los elementos móviles con trayectoria rectilínea, como son los patines de deslizamiento, colizas, etc. En la figura (Fig.9.2) se muestran los distintos tipos mencionados

Lubricación de cojinetes

Desde el momento que existe un movimiento relativo entre las superficies de contacto, una cierta cantidad de energía será utilizado en vencer la fuerza debido al rozamiento, y si las superficies se tocan entre sí, existirá elevación de temperatura y un desgaste rápido y pronunciado de éstas, con peligro de deformación, arrastre de material, avería, etc. A fin de reducir el rozamiento, disminuir el desgaste y evitar averías, se coloca entre ambas superficies una substancia formando un colchón o película que las mantenga separadas, y que al mismo tiempo tenga muy bajo índice de rozamiento. Esta substancia recibe el nombre de lubricante, siendo por lo general líquido o pastoso. De esta manera se reemplaza el rozamiento

9


266

entre sólido-sólido por otro entre sólido-líquido o pastoso. En estas condiciones, se dice que los cojinetes trabajan lubricados. Tipos de lubricantes

Lubricante es toda substancia que forma una película entre las superficies rozantes de sólidos, impidiendo en cierto grado el contacto directo de éstas entre sí. Los lubricantes pueden ser líquidos, sólidos y gaseosos. Entre los líquidos se cuenta el agua, los aceites lubricantes, etc. Como lubricantes sólidos se tiene la grasa (pastoso), el grafito, disulfuro de molibdeno, etc. Los lubricantes gaseosos como el aire, trabajan a presión y en muchos casos en compartimentos estancos. Viscosidad

Es una de las propiedades más importantes de un fluido, siendo la resistencia que presenta el mismo a fluir. Un fluido de baja viscosidad, en la mismas condiciones de presión y temperatura, fluirá más fácilmente que otro de mayor viscosidad. Se la define como el frotamiento interno entre las moléculas del fluido cuando deslizan una sobre otras. Cuanto mayor es este movimiento relativo, tanto mayor es la resistencia interna que ofrece el lubricante. Por causa de la viscosidad es necesario ejercer una fuerza para obligar a una capa líquida, en un movimiento laminar, a deslizar sobre otra, o para obligar a una superficie a deslizar sobre otra cuando hay una o capa líquida entre ambas. La fuerza necesaria para deslizar una superficie o capa líquida sobre otra, es una medida del frotamiento interno del fluido o de su resistencia al cizallamiento. Determinación de la viscosidad. Viscosidad dinámica o absoluta

Isaac Newton estudió el comportamiento de un fluido lubricante contenido entre dos cilindros concéntricos, según muestra la figura (Fig.9.3), cuyos radios R1 y R2 tenían una diferencia L muy pequeña entre sí, es decir:

L = R2 – R1(9.1) Siendo L el espesor de la película lubricante. El área A de la superficie del cilindro interior es:

A = 2.π.R1.h(9.2) Donde es h la altura del cilindro y R1 su radio. Si por efecto de la fuerza F, correspondiente al peso de la pesa indicada en la figura (Fig.9.3), el cilindro interior gira a una velocidad angular ω, su velocidad tangencial v es:

v = ω.R1 (9.3)

Además, como la fuerza es aplicada tangencialmente al tambor, cuyo radio es R1, igual al del cilindro interior, según se indica, aparecerá un momento, dado por la expresión:

M = F. R1(9.4) Al comienzo el movimiento es acelerado, luego se equilibran los momentos originados por la fuerza F y la fuerza resistente del lubricante, haciéndose ω constante.


267

Analizando un pequeño arco entre los dos cilindros, de tal forma que se puede considerar como recto el tramo de arco considerado, según muestra la figura (Fig.9.4), manteniéndose inmóvil el cilindro exterior y el interior con un movimiento uniforme, por ser ω constante, se observa lo siguiente:

1- El líquido en contacto con la pared del cilindro móvil tiene igual velocidad tangencial v que ésta. 2- El líquido en contacto con la pared fija está en reposo, es decir, v =0.3- En las capas intermedias el líquido aumenta su velocidad uniformemente, siendo por lo tanto el flujo laminar. 4- Si es A el área de la placa móvil y es F la fuerza

que actúa sobre la misma, el esfuerzo de corte unitario entre las partículas del fluido es:

AF=τ

(9.5) En un instante dado, una porción del fluido ocupa la posición abcd indicada en la figura (9.4); un instante posterior ocupará la posición abc’d’, y así sucesivamente, es decir que la deformación unitaria por cizalladura del líquido aumenta constantemente. Newton determinó que el esfuerzo cortante τf es directamente proporcional a la derivada respecto al tiempo de la deformación unitaria por cizalladura, o sea a la velocidad v de la placa, e inversamente proporcional al espesor L de la película fluida, o sea:

Lv

AF

∝

(9.6) La proporcionalidad dada por la (9.6) se transforma en igualdad introduciendo una constante de proporcionalidad µ, a la que se denominó coeficiente de viscosidad dinámica o absoluta, o directamente viscosidad, o sea:

a) Lv

AF µ=

⇒ b) LvAF .µ=

⇒ c) AvLF

LvAF

..==µ

(9.7) Si se considera la variación diferencial de la velocidad entre dos capas de fluido separadas un dy, se tiene:

dydvAF .µ=

(9.8) Siendo dy perpendicular al flujo. Si en la expresión (9.7c) está dado A en cm2, v en cm/s, F en dina y L en cm, la dimensión de µresulta:

22

.

.

.cm

sdina

cms

cmcmdina ==µ

(9.9) A la expresión dada por la (9.9) se la denomina poise. Por lo tanto se tiene que es:

a) 1 poise = 2

.cm

sdina y b) 1 centipoise (cp) = 10-2 poise

(9.10)


268

Viscosímetro de Mac Michel: La viscosidad absoluta o dinámica µ se la puede obtener con el viscosímetro de MacMichel, cuyo esquema se representa en la figura (Fig.9.5), el cual se basa en los cilindros concéntricos utilizados por Newton. El mismo consta de dos cilindros, uno interior y otro exterior, introduciéndose en el espacio existente entre ambos el líquido cuya viscosidad se desea obtener. El cilindro interno de radio R1 se encuentra frenado por un muelle o resorte M calibrado, en tanto que el cilindro externo de radio R2gira. La aguja I indica en una escala graduada un valor proporcional a la viscosidad del líquido. También se puede obtener mediante una expresión, la cual se obtiene de la manera siguiente: Si se multiplican ambos miembros de la expresión (9.8) por R1, y teniendo en cuenta la (9.4) que da el momento M se obtiene:

11 .. RLvAMRF µ==

(9.11) La expresión (9.11) es válida solo para L<< R1, lo que ocurre cuando es L ≤ 0,01R1.Si en la (9.11) se reemplaza L, A y ω por sus valores dados por la (9.1), (9.2) y (9.3) respectivamente, se obtiene:

1

12

11

...2. R

RRRhRM−

=ω

πµ

(9.12) Despejando µ de la (9.12), finalmente se obtiene:

( )31

12

...2.

RhRRM

ωπµ −

=

(9.13) La expresión (9.13) se utiliza en el viscosímetro de MacMichel para obtener la viscosidad absoluta o dinámica. Ya que obtener las condiciones exigidas con este instrumento para lograr medidas precisas de la viscosidad, por variación de la velocidad, vibraciones, etc., es muy dificultoso, y debido a la necesidad de contar con los valores de la viscosidad de los fluidos con rapidez y precisión, se han estudiado la aplicación de las leyes de la mecánica de los fluidos, para lograr construir instrumentos que permitan en algunos casos, y dentro de ciertos límites, obtenerla. Ley de Stokes

Cuando un fluido viscoso se mueve alrededor de una cuerpo con movimiento estacionario, o cuando ésta se desplaza en el interior de un fluido viscoso en reposo, se ejerce sobre el cuerpo debido a la viscosidad, una fuerza resistente Fs. Para analizar las fuerzas que actúan y facilitar el cálculo se adopta un cuerpo de forma esférica, pero los resultados son aplicables a un cuerpo de cualquier forma. Stokes encontró que esta fuerza resistente Fs está dada por la expresión:

Fs = 6π.µ.v (9.14) La expresión (9.14) constituye la ley de Stokes. Si se introduce una esfera dentro del fluido, la cual se indica en la figura (Fig.9.6), y se la deja caer partiendo del reposo, es decir con velocidad inicial nula:


269

v = 0(9.15)

La resistencia debida a la fuerza de la viscosidad es nula al principio. Además sobre la esfera actúan la fuerza del peso propio P hacia abajo, y el empuje E que recibe la esfera, de abajo hacia arriba, igual al peso del volumen desalojado. Si es ρe la densidad del material de la esfera y ρf la densidad del fluido, se tiene:

Peso de la esfera: grgmP ee ..

34. 3 ρπ==

(9.16)

Empuje: grE f ..

34 3 ρπ=

(9.17) La resultante de estas dos fuerzas opuestas es FR, la que resulta de restar a la (9.16) la (9.17):

( )feR grEPF ρρπ −=−= ..34 3

(9.18) Del segundo principio de Newton se obtiene la aceleración ae de la esfera:

a) FR = me .ae ⇒ b) e

Re m

Fa =

(9.19) Como la masa de la esfera es:

ee rm ρπ ..

34 3=

(9.20) Dividiendo la (9.18) por la (9.20) se obtiene, según la (9.19b):

gae

fee ρ

ρρ −=

(9.21) Como resultado de esta aceleración, la esfera adquiere una velocidad ve dirigida hacia abajo, existiendo una resistencia Fs del fluido sobre la esfera que se opone a su caída. A medida que aumenta la velocidad de la esfera, aumenta también la resistencia en proporción directa, por lo que se alcanzará al cabo de un tiempo una velocidad tal, que la fuerza FR dirigida hacia abajo, dada por la (9.18), y la resistencia Fs, dada por la (9.14), serán iguales, moviéndose la esfera a partir de ese instante con velocidad constante, llamada velocidad límite. Por lo tanto, se puede escribir:

a) FR = Fs ⇒ b)( ) efe vrgr ...6..

34 3 µπρρπ =−

(9.22) La relación (9.22b) se cumple siempre que la velocidad no sea tan grande que se origine un régimen turbulento en el fluido. Si esto ocurre, la resistencia que opone el fluido es mucho mayor que la dada por la ley de Stokes. De la expresión (9.22b) se obtiene, por pasajes de términos, el valor de µ:


270

( )feevgr ρρµ −= .

92 2

(9.23) La velocidad v de la esfera se la puede obtener dividiendo el camino l recorrido por la esfera por el tiempo empleado en hacerlo, es decir:

tlve =

(9.24) Por lo tanto, reemplazando el valor de ve dado por la (9.24) en la (9.23) se obtiene:

a)

( )fe

tlgr ρρµ −= .

92 2

⇒ b) ( )t

lgr

fe ..92 2

ρρµ −=

(9.25) En la (9.25) se toma como constante k a:

lgrk .

92 2

=

(9.26) Por lo tanto, la (9.25) resulta, reemplazando k dado por la (9.26):

µ = k ( ρe - ρ f ).t(9.27) Viscosímetro de caída de bola: La expresión (9.27) es la utilizada en el viscosímetro de caída de bola, el cual se muestra en la figura (Fig.9.7), consistente en un tubo que contiene el líquido cuya viscosidad se quiere medir, inmerso en baño maría de temperatura constante, donde conociendo r, ρe, ρ f, l y g,dejando caer la esfera o bola dentro del líquido incognita y midiendo el tiempo t de caída, se puede determinar la viscosidad absoluta en centipoises. Pero la (9.27) solo es aplicable a un fluido contenido en un tubo de dimensiones infinitas, de tal

forma que la bola al caer no esté expuesta a las condiciones de borde causadas por las paredes del tubo, que introducen errores apreciables. Para evitar este inconveniente y obtener un instrumento de utilidad práctica, se calibra el instrumento mediante un fluido de viscosidad conocida, obteniéndose la constante total K del aparato, resultando: µ = K ( ρe - ρ f ).t(9.28) Se utiliza una esfera de pequeño diámetro en relación al diámetro del tubo de caída. Solo se recomienda el uso de este instrumento para viscosidades iguales o mayores a 1000 centipoises, ya que para valores menores el tiempo de caída es muy corto, con lo que se introducirían errores apreciables. Ley de Hagen - Poiseuille

En el estudio de la lubricación, es importante conocer como se comporta el flujo de un líquido viscoso a través de un tubo capilar. La ley de Hagen - Poiseulle es el resultado del estudio realizado sobre el flujo de un líquido viscoso a través de un tubo capilar, y permite medir en forma sencilla la viscosidad absoluta y acceder al concepto de la viscosidad cinemática.


271

También permite calcular la pérdida de presión en los conductos hidráulicos y de alimentación para una velocidad determinada. Tomando un tubo capilar de longitud l y radio R, el cual se muestra en la figura (Fig.9.8), siendo l mucho mayor que R, por lo que se pueden despreciar las pérdidas provocadas por el líquido a la entrada y a la salida del tubo. Además el peso del líquido dentro del capilar es muy pequeño, de tal manera que no influye sobre las fuerzas de cizallamiento que se oponen al movimiento. Es decir que el movimiento del líquido solo lo produce la diferencia de presión entre los dos extremos del tubo. Además, la velocidad de desplazamiento del líquido es constante, no existiendo ninguna aceleración. Si se considera un elemento cilíndrico de lubricante de radio r que se mueve debido a la

diferencia de presiones:

∆ p = p1 – p2(9.29) Para la capa de líquido, que se encuentra a la distancia r, la velocidad es v. El gradiente de velocidad entre dos capas de lubricante que se encuentran a la distancia dr una de otra, según se muestra en la figura (Fig.9.8b), es:

Grad = drdv

(9.30) En el centro del tubo, según se observa en la figura (Fig.9.9), la velocidad del líquido viscoso es máxima, siendo nula en la pared debido a la resistencia por rozamiento que opone la rugosidad de la misma. Es decir, que a medida que aumenta r disminuye v, resultando por lo tanto el gradiente negativo:

drdv

< 0(9.31) El área An de la superficie normal al eje del elemento cilíndrico de fluido, de radio r, sobre el cual actúan las presiones p1 y p2 está dado por la expresión:

An = π.r2

(9.32) La fuerza Fe resultante de las presiones que se ejercen sobre el área dada por la (9.32) es:

Fe = ∆p.An = ( p1 – p2 ).π.r2

(9.33) Por otra parte, el área Ac de la superficie cilíndrica de longitud l y radio r, del elemento de fluido es: Ac = 2π.r.l(9.34) La fuerza que ejerce la viscosidad sobre el área de la superficie cilíndrica dada por la (9.34), estará dada por la expresión (9.8), pero teniendo en cuenta, según la (9.30), que por ser negativo, el gradiente será - dv/dr. Por lo tanto se tendrá:


272

a)

−=

drdvAF ..µµ

⇒ b) drdvAF .µµ −=

(9.35) Por la (9.34), la (9.35b) resulta:

drdvlrF ..2. πµµ −=

(9.36) Por no existir aceleración, el sistema de fuerzas que actúan, debidas a las presiones y a la viscosidad del líquido, está en equilibrio, es decir: Fe = Fµ(9.37) Por lo tanto, se pueden igualar el tercer miembro de la (9.33) con el segundo miembro de la expresión (9.36), obteniendo:

( )

drdvlrrpp ...2... 2

21 πµπ −=−

(9.38) Despejando dv de la (9.38), se obtiene:

drr

lppdv ..2

21

µ−

=−

(9.39) Integrando la (9.39) para obtener v:

a) ∫ ∫∫

−=

−=− drr

lppdrr

lppdv .

.2.

.22121

µµ ⇒ b) Cr

lppv +

−=− 221 .

.4µ(9.40) C es la constante de integración, la cual es posible conocer aplicando las condiciones conocidas del flujo, ya que se sabe que para r = R es v = 0; luego, aplicándolo en la (9.40b):

a) CR

lpp

+−

= 221 ..4

0µ ⇒ b)

221 ..4

RlppC

µ−

−=

(9.41) Reemplazando en la (9.40) el valor de C dado por la (9.41b), se obtiene:

a)

−−+

−=− 211221 .

.4.

.4R

lppr

lppv

µµ ⇒ b)( )2221

.4rR

lppv −

−=

µ(9.42) La expresión (9.42b) es una función parabólica. Para r = 0 es v = máximo, resultando la (9.42b), aplicando esta condición:

221

max ..4

Rlppv

µ−

=

(9.43) El caudal Q de líquido que circula se lo puede obtener sabiendo que el mismo es igual a la velocidad del fluido por el área de la sección que atraviesa, es decir:

dQ = v.dA (9.44)


273

El diferencial de área dA, el cual se muestra en la figura (Fig.9.10), está dado por la expresión:

dA = 2.π.r.dr (9.45) Reemplazando en la (9.44) el valor de v dado por la (9.42b) y el valor de dA dado por la (9.45), se obtiene:

( ) drrrR

lppdQ ..2..4

2221 πµ

−−

=

(9.46) Integrando al (9.46), el primer miembro entre Q y 0, y el segundo miembro entre 0 y R:

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ −−

=−−

=Q R R

drrrRl

ppdrrrRlppdQ

0 0 0

22212221 ..4

2..2.

.4 µπ

πµ

(9.47) Resolviendo la (9.47), se obtiene:

( )21

4

.8. pp

lRQ −=µ

π

(9.48) O también, despejando de la (9.48) el coeficiente de viscosidad µ, su valor será:

( )lQ

ppR..8

. 214 −

=πµ

(9.49) La expresión (9.49) es la ley de Hagen – Poiseuille para el flujo de un líquido viscoso en un tubo capilar, y permite conocer la viscosidad absoluta o dinámica cuando se conoce la diferencia constante de presiones a la entrada y salida del tubo, su radio y longitud y el caudal que circula. Viscosidad cinemática

Según lo visto anteriormente, un tubo capilar permite obtener la viscosidad absoluta de un líquido. Debido a que es difícil obtener un aparato que realmente cumpla con todos los requisitos mecánicos, para lograr que un fluido adquiera velocidad y desplazamiento uniforme, la obtención de medidas con precisión de la viscosidad absoluta en forma directa es dificultosa. Por tal motivo, y por el hecho de poder obtener un flujo laminar dentro de un tubo capilar, por el cual circula un fluido con velocidad moderada, ha hecho posible el diseño de instrumentos más baratos y más fácil de operar, con los que se pueden obtener la viscosidad absoluta en forma indirecta, midiendo el tiempo que emplea una cierta cantidad de fluido en atravesar por un conducto cilíndrico calibrado. Utilizando la caída libre de un líquido a través de un tubo capilar, se obtiene las condiciones de la diferencia de presiones constantes a la entrada y salida del mismo, siendo de aplicación al mismo la expresión (9.49). Además, la altura del líquido para obtener la fuerza necesaria para que se produzca su movimiento, depende de su densidad. La diferencia de presiones ∆p = p1 – p2 puede ser sustituida por la altura media efectiva h de caída del líquido, conociendo su densidad ρ y la aceleración g de la gravedad, por lo que se puede escribir: ∆p = p1 – p2 = ρ.g.h(9.50)


274

Reemplazando en la (9.49) el valor de ∆p dado por la (9.50), se obtiene:

a) lQhgR

..8.... 4 ρπµ =

⇒ b) lQhgR

..8... 4π

ρµ =

(9.51) El segundo miembro de la (9.51b) se denomina viscosidad cinemática, y se la designa con el símbolo ν, siendo por lo tanto, la viscosidad cinemática de un fluido igual a su viscosidad absoluta µ dividida su densidad ρ. Por lo tanto, se puede escribir:

a) lQhgR

..8... 4πν =

⇒ b) ρµν =

⇒ c) ρνµ .=(9.52) La viscosidad cinemática ν se mide en stokes, utilizándose generalmente el centistokes, es decir su centésima parte, por resultar la primera una unidad muy grande. De la expresión (9.52b) se puede obtener como está compuesta esta unidad, reemplazando en la misma las unidades de la viscosidad µ absoluta y de la densidad ρ por las unidades básicas que las componen, por lo que se obtiene:

scm

cmgr

cms

scmgr

2

3

22

.

===ρµν

(9.53) Se tiene entonces que es:

a) 1 stokes=1 scm 2

y b) 1 centistokes = 10-2 stokes (9.54) La viscosidad cinemática es la más utilizada, existiendo distintos aparatos que dan su medida, denominándose generalmente la viscosidad, según el aparato con la cual se la obtiene. Viscosidad Saybolt

El viscosímetro Saybolt, cuyo esquema se muestra en la figura (Fig.9.11), es uno de los aparatos más utilizados, principalmente en los Estados Unidos de Norteamérica, para obtener la

viscosidad de un líquido, la cual se obtiene midiendo el tiempo en segundos que tarda en escurrir, a través de un orificio calibrado, 60 cm3 del mismo, a una temperatura determinada, que por lo general está entre 100 ºF (37,8ºC) y 210ºF (98,9ºC). El equipo se completa con la resitencia de calentamiento, los termómetros y el agitador. Existen dos tipos de viscosidades Saybolt, la Universal (seg. SU) y la Furol (seg.SF), utilizándose la primera para líquidos livianos, y la segunda para líquidos pesados, donde los tiempos de caída sean superiores a 250 segundos Saybolt Universal. Los equipos utilizados para ambos casos, difieren únicamente en los diámetros de los orificios calibrados de escurrimiento, siendo para Saybolt Universal ∅1,765mm ± 0,01524 mm y para Saybolt Furol ∅3,15mm ± 0,02719 mm. La longitud l del tubo


275

de salida con el orificio calibrado es de 12,2682 mm ± 0,1016 mm. El ensayo se realiza, previa colocación del tapón de corcho para impedir que caiga el líquido, introduciendo este último en el recipiente del líquido, hasta que rebose el mismo. Se calienta el baño a la temperatura de medición y retirando el tapón, se lo deja caer en el matraz aforado, tomándose el tiempo con un cronómetro, hasta que el líquido llegue al enrase. El tiempo así obtenido es la viscosidad en segundos Saybolt del líquido ensayado. Las viscosidades Saybolt en segundos, por debajo de los 200 segundos comienza a presentar una gran diferencia con la viscosidad cinemática, no debiéndose utilizar el aparato para obtener las viscosidades cinemáticas cuando el tiempo en segundos Saybolt es igual o menor a 40 segundos. Viscosidad Redwood

En Inglaterra se utiliza la viscosidad Redwood, que se obtiene de la misma manera que la Saybolt, difiriendo en el volumen que escurre, el cual es de 50 cm3, diferenciándose también dos tipos, según el diámetro del orificio de escurrimiento, el Redwood Nº1, con orificio de salida de ∅ 1,62 mm y Redwood Nº2, con orificio de salida de ∅ 3,80 mm, obteniéndose la viscosidad en segundos Redwood. Viscosidad Engler

La viscosidad Engler se utiliza en el continente europeo, y consiste en el cociente entre el tiempo en segundos que tarda en derramarse 200 cm3 del líquido cuya viscosidad se desea conocer, y el tiempo en segundos que tarda en derramarse 200 cm3 de agua, todo, por lo general, a 20 ºC de temperatura, pudiendo en los caso de líquidos muy viscosos utilizar temperaturas de 50 ºC y hasta 100 ºC. El aparato, el cual se denomina viscosímetro Engler, consta, según muestra la figura (Fig.9.12), de dos recipientes, entre los que se vierte el aceite o el agua que constituirá el baño de calentamiento, y en el recipiente interior el líquido cuya viscosidad se desea medir; un tubo de salida de longitud l de 20 mm con orificios calibrados a la entrada de ∅ 2,4 mm y a la salida de ∅ 2,8 mm, y un tapón de madera para impedir la caída del líquido hasta que no se

obtengan las condiciones del ensayo; un matraz aforado para 200 cm3. El equipo se completa con los termómetros, agitador y sistema de calentamiento. Una vez obtenidas las condiciones de ensayo, se retira el tapón y se toma con un cronómetro el tiempo de caída del líquido, dividiéndose por el tiempo de caída del agua, cuyo valor constituye la constante del aparato, variando entre 51 y 52 segundos a 20 ºC, obteniéndose un número que da la viscosidad en grados Engler (ºE). Conversión a los distintos sistemas

Herschel ha demostrado que la viscosidad cinemática puede representarse por la ecuación:

tBtA −= .ν

(9.55) Donde A y B son constantes obtenidas experimentalmente y t el tiempo en segundos. Las constantes A y B para las viscosidades Saybolt, Redwood y Engler, se dan en la siguiente tabla:

Viscosidad A B


276

Saybolt Universal 0,22 180 Redwood 0,26 171 Engler 0,147 374

. La ecuación dada por la (9.55) es lo bastante precisa para trabajos en la práctica. Una vez obtenida la viscosidad cinemática, conociendo la densidad del líquido se puede conocer la viscosidad absoluta aplicando la (9.52). Viscosímetro Ostwald modificado

En la actualidad, el viscosímetro que utiliza el principio del tubo capilar, más empleado para obtener la viscosidad cinemática, por su gran exactitud, es el viscosímetro de Ostwald modificado, empleado universalmente como patrón de medida. En la figura (Fig.9.13) se muestra en forma esquemática este viscosímetro, funcionando de la siguiente forma: Se carga el líquido por el tubo 1, se lleva a la temperatura constante el aparato mediante un baño líquido, se aspira el líquido cargado hasta el tubo 2 hasta que el bulbo B se encuentre totalmente lleno y se lo deja caer, siendo el valor de la viscosidad el tiempo empleado en segundos por el menisco para descender entre las dos líneas grabadas de referencia en ambos extremos, superior e inferior, del bulbo B. El aparato debe ser previamente calibrado con un fluido normalizado. Otro viscosímetro que utiliza el principio de tubo capilar es el de

nivel suspendido, ideado por Ubelohde y modificado por Fitz Simons, el cual, en caso de ser de interés, el estudiante puede consultar la bibliografía especializada que se menciona al final del capítulo.

Clasificación de los aceites lubricantes

Debido a la importancia de obtener una buena lubricación, principalmente en los automotores, los aceites lubricantes, en un principio se clasificaron según el uso, en ligeros, medios, pesados y muy pesados. Pero esta clasificación causaba confusión, lo que traía aparejado la inadecuada lubricación del equipo o motor. Por tal motivo, la Asociación de Ingenieros de Automotores de los Estados Unidos, adoptó un sistema mediante el cual los aceites se clasificaban de acuerdo a sus viscosidades, asignándoles un número SAE. Esta clasificación fue adoptada mundialmente, siendo actualizada continuamente, transcribiéndose a continuación una tabla que muestra algunos valores de viscosidades.

Viscosidad cinemática a 18ºC Viscosidad cinemática a 100ºC Lubricante Número SAE Min Max cSt cSt

Min Max cSt cSt

Aceite para motor 5 W (winter) 10 W 20 W 20 30 40 50

Aceites para transmisión

75 80

--------- 1300 1300 1600 2600 10500

3250 3250 21700

3,8

4,1 5,6 5,6 9,3 9,3 12,5 12,5 16,3 16,3 22,0


277

90 140 250

14,24 25 25 43 43 -----

Influencia de la temperatura en la viscosidad

La viscosidad de un fluido disminuye con el aumento de la temperatura, como por ejemplo los lubricantes elaborados a partir de los hidrocarburos, presentan un brusca disminución de la viscosidad al aumentar la temperatura. Es importante que el lubricante conserve su viscosidad dentro de ciertos límites, ya que si la misma disminuye demasiado se pueden producir desgastes prematuros y excesivos, incluso el deterioro de la pieza lubricada. Por tal motivo es importante conocer la variación de la viscosidad con la temperatura. La Sociedad Norteamericana de Ensayos de Materiales (ASTM), desarrolló un método empírico para obtener la variación de la viscosidad de los aceites lubricantes hidrocarbonados con la temperatura, relacionándolas mediante gráficos o cartas, construidos con una ecuación logarítmica, como la que se muestra a continuación: log10 log ( ν + 0,8 ) = n log10T + C(9.56)

Esta ecuación da una línea recta y concuerda muy bien con los resultados de ensayos. En la (9.56) es ν la viscosidad cinemática en centistokes, T la temperatura absoluta en grados Rankine, n y C constantes para el aceite en cuestión. En al figura (Fig.9.14a) se muestra, solo en forma ilustrativa, una de las cartas de la ASTM para la viscosidad en segundos Saybolt Universal, en tanto que la figura (Fig.9.14b) correspondería a un gráfico de la misma relación viscosidad-temperatura con los mismos datos, pero en coordenadas cartesianas. Con las cartas de la ASTM indicada en la figura (Fig.9.14a) se puede conocer como varía la viscosidad para distintas temperaturas, permitiendo conocer la viscosidad de un aceite a cualquier temperatura si se conoce sus viscosidades a dos temperaturas determinadas. Índice de viscosidad: Una manera muy usada para conocer la variación de la viscosidad con la temperatura de un aceite lubricante, es utilizando el Índice de Viscosidad VI. El índice de viscosidad VI, establecido por Dean y Davis, da la aptitud de un lubricante para mantener su fluidez o viscosidad dentro de un intervalo de temperatura. El mismo surgió de haber asignado a un lubricante que tenía muy poca disminución de su viscosidad con el aumento de la temperatura el índice cien, es decir VI = 100, y a otro lubricante que presentaba una gran disminución de su viscosidad con el aumento de la temperatura, el índice cero, o sea VI = 0. Este índice de viscosidad VI está dado por la expresión:


278

100% ×−−=

HLULVI

(9.57) En la (9.57) se tiene que es:

- U : viscosidad de la muestra de lubricante a 40 ºC - L viscosidad a 40 ºC de un aceite con VI = 0, y de la misma

viscosidad que la muestra a 100 ºC - H es la viscosidad a 40 ºC de un aceite con VI = 100 y de la

misma viscosidad que la muestra a 100 ºC. La ecuación (9.57) está representada gráficamente en la figura (Fig.9.15), donde la línea

superior representa un aceite de VI = 0, y la inferior un aceite de VI = 100. El aceite cuyo VI se desea conocer está representado por la línea de trazos. Es decir, que el índice de viscosidad da una medida de la aproximación del aceite incógnita al de índice de viscosidad 100. Dean y Davis encontraron dos series de aceites, una de índice de viscosidad 100 y la otra de índice de viscosidad 0, y ambas de la misma viscosidad a 210 ºF, los que aparecen en la Tablas de índices de viscosidad ASTM (D567). Actualmente, con el agregado de aditivos a

los aceites lubricantes hidrocarbonados, y con la aparición de los lubricantes sintéticos, se obtienen VI superiores a 100. Para la elección de un lubricante, es necesario conocer, además de la temperatura, a que velocidades y presiones estará expuesto, utilizándose los que presenten resistencia adecuadas a estos factores. Se debe tratar de utilizar sistemas sencillos y efectivos de lubricación. Se debe, sobre todo, seguir los consejos del fabricante, consultando los casos especiales cuando sea necesario. Determinación del coeficiente de rozamiento en cojinetes de deslizamiento lubricados

Se analizará la lubricación hidrodinámica de los cojinetes, teniendo en cuenta que la película lubricante formada por el movimiento de las superficies puede ser, o totalmente fluida, si la película es lo suficientemente gruesa para mantener totalmente separadas las superficies en movimiento, o semifluida o de película delgada, cuando ésta última no tiene el espesor suficiente para mantener completamente separadas las superficies en movimiento, existiendo en este caso, algún contacto entre las superficies. Cuando el lubricante es introducido a presión entre las superficies, la lubricación se denomina hidrostática, obteniéndose en este caso siempre una película gruesa. Para el caso de película fluida, puede emplearse cualquier lubricante ya que el mismo solo se utiliza para separar las superficies. En cambio, en el de película delgada, el lubricante debe tener la propiedad de reducir el desgaste y la fricción del metal de las superficies en contacto y cuando se encuentran en movimiento.

Según lo visto anteriormente, en el flujo de un fluido, debido a su viscosidad existe un rozamiento interno entre las capas del mismo, siendo F la fuerza necesaria para provocar su desplazamiento. Si en la expresión (9.8) se considera que la distancia de separación entre dos capas


279

es de, siendo dv la diferencia de velocidad entre ellas, para una superficie S, se puede escribir:

dedvSF ..µ=

(9.58) Siendo la superficie S igual a: S = π.d.l(9.59) Si se analiza el cojinete de fricción de la figura (Fig.9.16), la fuerza normal P que soporta la película de lubricante, debido al rozamiento existente entre capa y capa de fluido al deslizar unas sobre otras, produce la fuerza de rozamiento R. Si se denomina f al coeficiente de rozamiento, la expresión que da R, es: R = f.P (9.60) De la figura (Fig.9b), la superficie S’ sobre la que actúa la fuerza P es:

S’ = l.d(9.61) La presión p producida en la superficie S’ por P, es:

a) dlP

SPp

.=

′=

⇒ b) P = p.l.d(9.62) Por lo tanto, de la (9.60) y de la (9.62b), resulta:

R = f.p.l.d(9.63) De la (9.59) se obtiene:

ldS .=

π(9.64) Por la (9.64), la (9.63) se puede escribir:

πSpfR ..=

(9.65) La fuerza R obtenida a partir del rozamiento es la misma que la obtenida a partir de la viscosidad, por lo que se tiene:

a) F = R ⇒ b) πµ Spf

dedvS .. =

⇒ c) dv

pdef πµ=.

(9.66) Integrando al (9.66c):

a) ∫∫ =

vedv

pdef

00

πµ⇒ b)

vp

ef πµ=.⇒ c) e

vp

f 1.πµ=

(9.67) Como es:

60..

60..2. dnrnrv ππω ===

(9.68)


280

Reemplazando en la (9.67c) el valor de v dado por la (9.68), se tiene:

pn

ed

edn

pf µπππµ

60.1

60... 2

==

(9.69) Haciendo en la (9.69):

edK

60.2

1π=

(9.70) Se obtiene:

pnKf µ

1=

(9.71) En la (9.71) es f el coeficiente de rozamiento en cojinetes lubricados y K1 una constante característica de cada cojinete.

Si ahora se considera un gorrón, figura (Fig.9.17), girando centrado dentro de un cojinete de deslizamiento, siendo D el diámetro interno del cojinete y d el diámetro del gorrón, el juego existente entre ambos es:

c = D – d(9.72) Si además, por estar centrado el gorrón, la película de aceite de la

lubricación es:

2ce =

(9.73) Reemplazando el valor de e dado por la (9.73) en la (9.69), se tiene:

pn

dcc

dpnf µπµπ 1

602

602 22

==

(9.74) Siendo en la (9.74) p la presión media sobre el área proyectada l.d, y c/d la luz o juego relativo del cojinete, dado en cm por cm del diámetro.

Ensayos realizados en pequeños gorrones, determinaron que el coeficiente de rozamiento puede hallarse mediante la ecuación empírica:

211105,332 K

cd

pnf += µ

(9.75) Siendo K2 una constante o factor de corrección que está dado en función del


281

cociente del largo l del gorrón sobre el diámetro d del gorrón:

=

dlK φ2

(9.76) El valor de K2 puede ser obtenido de gráficos, como el de la figura (Fig.9.18), que fueron construidos experimentalmente.

Debido a la carga P que soporta el gorrón, la presión p que se ejerce sobre la película del aceite lubricante hace que éste escape por los borde del cojinete, según se indica en la figura (Fig.9.19), obteniéndose un diagrama de presiones como el indicado en la figura (Fig.9.19b), es decir, máxima en el centro y mínima en

los extremos. Formación de la película lubricante con el movimiento

Se debe tratar de mantener entre gorrón y cojinete una película de separación completa de aceite. Suponiendo un gorrón y su cojinete como el que se muestra en la figura (Fig.9.20), donde el juego entre ambos está exagerado para mejor interpretación. Se mantiene todo el espacio entre gorrón y cojinete lleno de aceite, existiendo una carga vertical P que aprieta el gorrón contra el cojinete. Si el gorrón está detenido, se asienta abajo y hace contacto con el cojinete en a, como se indica en la figura (Fig.9.20a). Cuando comienza a girar, rueda hacia la parte izquierda del cojinete, trasladando el punto de contacto y estableciendo un juego mínimo en b con el aceite que es arrastrado e introducido entre el gorrón y el cojinete, según muestra la figura (Fig.9.20b); existe entonces, una delgada película de aceite en forma de cuña, que comienza a formarse al girar el eje que eleva al gorrón y tiende a autocentrarlo, separando las superficies en contacto, sustituyendo el rozamiento fluido al de metal con metal. El gorrón se desliza y comienza a girar, arrastrando más aceite entre las superficies, aumentando el grosor de la película que lo levanta aún más. A medida que la velocidad de rotación aumenta, el aceite arrastrado bajo el gorrón genera una presión que lo fuerza hacia arriba y a la derecha, hasta que se alcanza la posición de equilibrio. En esta situación, se logra la posición de mínimo juego de

funcionamiento en el punto c indicado en la figura (Fig.9.20c), dependiendo su posición exacta del juego real c, de la velocidad de rotación ω, de la viscosidad µ del aceite y de la carga P sobre el gorrón. El aumento de la carga hará que el gorrón se asiente más sobre el cojinete. Una disminución de la velocidad o viscosidad produce el mismo efecto. Después que el gorrón


282

alcanzó la posición de equilibrio, el aceite que se mueve en la parte izquierda, genera una presión que alcanza un máximo en x, a cierta distancia a la izquierda del punto del mínimo juego c, y luego decrece a lo largo de la parte derecha del cojinete, alcanzando un mínimo en la zona m.Cuando el suministro de aceite es insuficiente para llenar el juego entre el gorrón y el cojinete totalmente, el lubricante es transportado hacia la parte superior por adherencia, produciéndose el estado indicado en la figura (Fig.9.21). Si el suministro de aceite no alcanza el valor mínimo necesario, deja de formarse la cuña de aceite debajo del gorrón y la película de aceite se rompe, con lo cual no es posible que tenga una lubricación fluida, siendo el gorrón y el cojinete lubricados por una película parcial. En esta situación se producen contactos entre las superficies del gorrón y del cojinete, con la elevación de la temperatura y desgastes, lo que puede ocasionar la avería de las piezas.

Módulo del cojinete

La presión máxima en un cojinete de carga radial alcanza un valor doble al de la presión media sobre el área proyectada del cojinete, o sea el diámetro por su longitud, pudiendo obtenerse la misma por aplicación de la teoría hidrodinámica de la lubricación, desarrollada por Reynolds a partir de los resultados obtenidos por Tower en sus experiencias de lubricación de cojinetes. Se partirá de la ecuación que da esta presión en función de la velocidad tangencial v del gorrón, de la viscosidad µ del lubricante, del diámetro d del cojinete y del juego c entre gorrón y cojinete. El estudiante, si fuera de su interés conocer el desarrollo para la deducción de la misma, deberá recurrir a la bibliografía especializada que se indica al final del capitulo.

k

cdvp ′= 22

6µ

(9.77) En la (9.77) k’ es un factor que depende de la característica constructiva del cojinete y de la relación entre el largo y el diámetro del gorrón. Si el gorrón gira a n vueltas por minuto, se puede sustituir v por su valor en función de n:

v = π.n.d(9.78) Reemplazando en la (9.77) el valor de v dado por la (9.78) resulta:

a) k

cndp ′= 2

2

26 πµ

⇒ b) 2

2

31cd

pn

kπµ

=

′(9.79) Siendo en la (9.79):

pn

cdk µ2

3

=

(9.80)

La (9.80) es el Número de Sommerfeld, denominándose a µ.n/p, en el punto de rotura, módulo del cojinete. Curva del coeficiente de rozamiento en función del módulo

El factor µn/p aparece ya en el análisis del coeficiente de rozamiento f de cojinetes lubricados, interviniendo en


283

la expresión (9.74), donde se observa la dependencia, en un modo general, del coeficiente f del factor µn/p, cuyo empleo resulta conveniente como medida aproximada de las condiciones de lubricación que existen en el cojinete. La representación gráfica de f en función de µn/p,indicada en la figura (Fig.9.22), permite obtener las condiciones de rozamiento en las cuales trabaja un cojinete lubricado, en la que se observa en la zona hasta A se tiene una película muy delgada, trabajando los cojinetes casi con rozamiento seco, dependiendo el coeficiente de rozamiento de las condiciones de las superficies y de las características del lubricante utilizado. Esta condición también se da en el arranque de los motores que no cuentan con presión de lubricación previa al mismo. Desde A hasta C la película aún es delgada, teniéndose una lubricación mixta o semifluida, pudiendo ocurrir el rozamiento seco en zonas localizadas donde no alcanza la acción de la película, existiendo una capa protectora de pocas moléculas que si bien pueden evitar que las superficies se averíen, no evitan su pronunciado y prematuro desgaste. La lubricación mixta se produce en los casos que las condiciones de trabajo causan la rotura parcial de la película de aceite, como por ejemplo cuando la carga que debe soportar es elevada, cuando la velocidad de rotación es baja, la viscosidad es muy baja o cuando hay insuficiencia en el suministro de lubricante. A partir del punto B la película de aceite se hace más gruesa, siendo el punto C donde comienza la lubricación total o fluida, indicando este punto el espesor mínimo de película para obtener un rozamiento fluido. De C a D la película lubricante es gruesa y el rozamiento es totalmente fluido. Para evitar peligros de averías, ya que en puntos cercanos al C, por disminución en la velocidad de rotación o por incremento de la carga, pueden producirse rozamientos secos con calentamientos y desgastes perjudiciales, debe trabajarse con valores de µn/p de por lo menos tres veces el valor de C, y en aquellos casos que la carga está sujeta a grandes fluctuaciones y fuertes impactos, pueden ser necesarios valores de hasta 15C.

Espesor mínimo de la película de aceite

Si la lubricación es fluida, el espesor mínimo de la película de aceite es suficiente para que no se produzca el contacto entre las crestas de las superficies del gorrón y del cojinete. Existen diferentes factores en un cojinete, de los que depende el espesor mínimo de la película lubricante, como son el diámetro del gorrón y cojinete, rugosidad de las superficies en contacto, fuerza soportada por el eje, velocidad de rotación del eje. Es muy importante el acabado de la superficie, tanto del gorrón como del cojinete, ya que ello determina el espesor de la película de aceite. Cuanto más rugosa es la superficie, más gruesa debe ser la película, lo que trae implicado aumento en los coeficientes de rozamiento fluidos, pérdidas de potencia y calentamientos más elevados. A fin de evitar o disminuir en la medida de lo posible calentamientos o deterioros de las superficies de los gorrones, que son endurecidos superficialmente para que no sufran un rápido desgaste, las superficies de los cojinetes son construyen de material especial, llamados de antifricción, denominados metal blanco, metal rosado, bronces, y otras denominaciones acordes con la composición de la aleación utilizada. Para estos cojinetes, y de acuerdo a la experiencia, puede indicarse los siguientes espesores para la película de aceite:

Metal antifricción Cojinetes usados en Espesor de la película lubricante

Metal blanco Motores de baja revoluciones ≥ 0,019 mm Bronce, acabado fino Aviones y automóviles ≥ 0,0025 mm Metal rosado (Babbitt) Turbogeneradores De 0,075 mm a 0,125 mm

Obtención de la película mínima de aceite a gorrón cargado

La figura (Fig.9.23) indica las condiciones de funcionamiento de un cojinete de diámetro D con centro en O, y gorrón de diámetro d con centro en G, que gira a n vueltas por minuto, habiendo partido este último de la posición de reposo con centro en G’, estando además solicitado por una


284

fuerza radial P. Como el gorrón no se encuentra perfectamente centrado con el cojinete, la excentricidad entre ambos ejes es e. El espesor mínimo h de la película de aceite dependerá de la posición del centro G del eje, el que a su vez depende de la presión p sobre la superficie proyectada del gorrón, de la relación del juego radial o luz c/2 entre gorrón y cojinete, de la viscosidad µ del aceite lubricante, de la velocidad de rotación n y del ángulo β formado entre el eje de la carga y el comienzo de la cuña de aceite, el cual corresponde a la posición donde la presión de aceite es máxima. El ángulo β, si no existiera ninguna ranura de lubricación antes, puede tomarse igual a 60º a partir del eje de carga, cuando el cojinete es de 360º.

De acuerdo a la teoría hidrodinámica de la lubricación pelicular, el centro del eje se mueve siguiendo un arco semicircular de diámetro c/2. La relación existente entre la excentricidad e del eje del gorrón y el juego radial c/2 entre el gorrón y el cojinete se denomina relación de excentricidad y se la designa Ce, o sea:

a)

ϕcos

2

==ceCe

⇒ b) 2. eCc

e =

(9.81) Por otra parte, el espesor h de la película lubricante, según la figura (Fig.9.23), es:

edDedDh −

−=−−=222

(9.82) Pero como es:

22cdD =−

(9.83) Reemplazando en la (9.82) el valor de c/2 dado por la (9.83), y teniendo en cuenta la (9.81b), se obtiene:

a) ( )eCcech −=−= 1

22 ⇒ b) chCe

21−=

(9.84)

Para resolver la expresión (9.84a) que da el espesor h de la película de aceite, se debe recurrir a datos experimentales que den los valores de Ce. Existen diagramas obtenidos de experiencias, que dan este valor, para distintos valores del ángulo β como el se muestra en la figura (9.24a), los que están en función de parámetros que tienen en cuenta las fugas laterales de aceite que


285

reducen la presión media entre las superficies del cojinete y del gorrón; la relación l/d entre la longitud del cojinete y el diámetro del gorrón; del número de Sommerfeld (µn/p)(d/c)2, y defactores como el coeficiente de carga de fugas laterales CL, el cual se obtiene en función de l/dde diagramas confeccionadas experimentalmente.

Deformación del gorrón y juego

Cuando el eje de una máquina recibe una carga, éste flexiona de tal forma que los extremos del gorrón, debido a la deformación, pueden rozar con la superficie del cojinete. Para evitar esto se debe dejar el juego necesario entre gorrón y cojinete. En la figura (Fig.9.25a) se indica con Cmel juego necesario para evitar este rozamiento. En la figura (Fig.9.25b) se muestra un eje apoyado como una viga simple, de diámetro D, siendo d el diámetro de su gorrón, c la distancia entre los apoyos y L longitud del cojinete, con un módulo de elasticidad E del material del mismo. Si sobre el eje actúa una fuerza F a una distancia a de uno de sus apoyos, y la presión sobre el área proyectada es p, para el cálculo del juego necesario Cm, teniendo en cuenta la deformación del eje y del gorrón, se utiliza la expresión semiempírica:

( )aac

DELdp

dL

ELpCm .2

...4,3.55,2 4

23

−+

=

(9.85) En el segundo miembro de la (9.85), el primer término corresponde a la deformación del gorrón en tanto que el segundo término corresponde a la deformación del eje. Si ahora el eje presenta dos apoyos, uno en el extremo, cojinete 1, con diámetro d1 del gorrón y longitud L1 del cojinete, y otro apoyo intermedio, cojinete 2, con diámetro d2 del gorrón y longitud L2 del cojinete, como indica la figura (Fig.9.25c), estando la fuerza F aplicada en la parte en voladizo, a una distancia b del cojinete 2, se tendrá que el juego necesario es posible calcularlo con la expresión:

Cojinete 1:

24

2111

3

1

1111 .

..4,3

.55,2 c

DELdp

dL

ELp

C m +

=

(9.86)

Cojinete 2:

+

+

=

bcbc

DELdp

dL

ELp

C m.

..

8,6.

55,22

4

222.2

3

2

2222

(9.87)


286

En las expresiones (9.86) y (9.87) Cm está en centímetros para p y E en kg/cm2 y los demás parámetros en centímetros. Para los cálculos que resultan engorrosos, como regla práctica para determinar Cm se puede tomar, por cada milímetro del diámetro del gorrón, 0,001 mm como valor de deformación, valor que puede disminuirse a la mitad para cojinetes antifricción de metales blandos y aumentarse al doble para bronces. Presión crítica de funcionamiento

Se denomina presión crítica de funcionamiento a aquella a la cual rompe la película de aceite, presentándose entonces una lubricación imperfecta y rozando entonces la superficies metálicas del gorrón y cojinete. La presión crítica dependerá en cada caso de los materiales usados en los cojinetes, y sobre todo del grado de pulimento de las superficies en contacto. No se cuenta con ninguna expresión que de valores confiables para la presión crítica. Para la lubricación pelicular, Tatarinoff da, para la carga de funcionamiento seguro, la expresión empírica:

( )

+

=

dL

dL

chdnF

1.10.1805..

2

6

4µ

(9.88) Si el espesor h de la película es c/4 y el área A proyectada del cojinete es L.d, la presión permisible se la puede obtener dividiendo la carga F dada por la (9.88) por el área proyectada A,resultando:

dLL

cdn

AFp

+

== 2

710.2,45.µ

(9.89) La presión unitaria permitida con lubricación imperfecta depende de la intensidad del uso, del efecto del desgaste sobre el buen funcionamiento de la máquina y del costo de las reparaciones. Calor de rozamiento en los cojinetes

Debido al rozamiento existe una potencia necesaria para vencer las fuerzas resistentes que aparecen por esta causa. Esta potencia se transforma en calor, el cual debe ser disipado a los efectos de evitar el calentamiento excesivo del cojinete, el cual haría disminuir la viscosidad del

aceite lubricante, aumentando su fluidez y por lo tanto su escurrimiento del cojinete, por lo que disminuirían los efectos de la lubricación con los peligros de la avería de las superficies en movimiento. Por otra parte, se vería afectado además, el material del cojinete, ya que por su bajo punto de fusión, se ablandaría y deformaría, si bien la temperatura del cojinete es menor que la del aceite. Las temperaturas de trabajo por lo

general no deben superar lo 80 ºC, aunque actualmente, debido a la mejora de las propiedades lubricantes y de los materiales, se llegan a mayores temperaturas. Por lo tanto, el calor excesivo debe ser eliminado de los cojinetes, para lo cual, para su diseño y dimensionamiento debe conocerse la temperatura que tomará el mismo. Analizando la figura (Fig.9.26), para el gorrón girando a n vueltas por minuto, el calor H generado en la unidad de


287

tiempo por la fuerza resistente R de rozamiento para una velocidad tangencial v del gorrón, será:

H = R..v(9.90) Para el coeficiente de rozamiento f del cojinete y la carga P que actúa sobre el gorrón, R resulta: R = f.P(9.91) Como P es igual a la presión media p que actúa sobre el área proyectada l.d del gorrón, es:

P = p.l.d(9.92) Por lo tanto, reemplazando en la (9.90) el valor de R dado por la (9.91), y en el valor que resulte, el valor de P dada por la (9.92), se obtiene:

a) H = f.P.v ⇒ b) H = f.p.l.d.v(9.93) Como v se puede conocer midiendo la velocidad de rotación n, estando esta última dada por la (9.68), por lo que reemplazando en la (9.93a) el valor de v en función de n:

60.. dnPfH π=

(9.94) H resulta en vatios para P en Newton y v en m/s. Como se dijo, se debe evacuar el exceso de calor perjudicial para el funcionamiento del cojinete, por lo que su diseño deberá contemplar esta situación. La capacidad de evacuación del calor del cojinete depende de la diferencia de

temperaturas,

entre la que

alcanza el cojinet

e, tc yla que alcanz

a el medio circundante ta, de la forma de la superficie de disipación, de la masa de los elementos adyacentes y del flujo de aire alrededor del cojinete. Existen gráficas, como la de la figura (Fig.9.27), que dan la temperatura de la película lubricante en función de la temperatura del cojinete. Según la teoría de transferencia de calor, el calor


288

H disipado en la unidad de tiemp, puede obtenerse de la expresión:

H = C.A.( tc – ta ) (9.95) Siendo en la (9.95), C el coeficiente de la capacidad de disipación de calor en la unidad de tiempo, por unidad de área y por ºC de diferencia de temperatura, A es el área de la superficie disipante o de la caja del cojinete incluido su pedestal y parte del tanque de aceite, tctemperatura del cojinete y ta temperatura del aire circundante. H resulta en Watts para C en Joule/m2s.ºK, A en m2 tc y ta en ºK. El coeficiente C, según ensayos realizados por G.B. Karelitz en cojinetes aceitados por anillos, vale 11,6 Joule/m2 ºK.s, o 0,0001184 kgm/cm2 ºC.s para cojinetes situados en aire calmo; para cojinetes con velocidad de aire de 2,5m/s, C vale 32,5 Joule/m2 ºK.s, o 0,000332 kgm/cm2 ºC.s. Para el área A proyectada del gorrón, O. Lasche realizó ensayos de elevación de la temperatura con el factor C.( tc – ta ), cuyos resultados fueron graficados, obteniendo curvas similares a la de la figura (Fig.9.28), las que relacionan la elevación de la temperatura en la superficie del cojinete con el calor disipado en kgm por segundo y por cm2 de área proyectada. Rodamientos o cojinetes antifricción

Los rodamientos o cojinetes antifricción, son cojinetes que utilizan bolas o rodillos que giran, moviéndose dentro de un compartimiento formado por dos cilindros o pistas, de tal forma que se sustituye el rozamiento de fricción entre dos superficies planas, por el rozamiento de rodadura entre una superficie plana y una cilíndrica o esférica. Se puede hacer un análisis comparativo entre ventajas y desventajas entre los cojinetes de fricción y los rodamientos, pudiéndose mencionar las siguientes: a) un rodamiento presenta escasa resistencia al arranque o comienzo del movimiento, no aumentando significativamente en su estado de funcionamiento, en tanto que en los de fricción el par de arranque es mucho mayor que el de operación, b) los rodamientos son fáciles de lubricar, con grasa en los cojinetes sellados o sistemas simples de lubricación, c) los rodamientos ocupan menor espacio axial, para un determinado diámetro del eje, pero ocupan mayor espacio radial que un cojinete de fricción, d) los rodamientos pueden soportar cargas radiales y axiales combinadas, en tanto que los cojinetes de fricción solo pueden soportar cargas radiales o axiales, debiéndose usar uno para cada caso, e) se detecta por el ruido el comienzo de una la falla en un rodamiento, en tanto que un cojinete de fricción falla repentinamente y sin aviso previo, f) un rodamiento puede usarse en cualquier posición en el espacio y se intercambian más fácilmente que uno de fricción, g) un rodamiento es mucho más ruidoso que un cojinete de fricción, h) las partículas extrañas perjudican menos a un cojinete de fricción que a un rodamiento, i) los cojinetes de fricción tienen mayor capacidad para soportar sobrecargas e impactos, j) los rodamientos son afectados muy poco por las pequeñas desviaciones transversales del eje, no así los cojinetes de fricción, k) los rodamientos debido a la fatiga tienen vida limitada, en tanto que los cojinetes de fricción, si están bien lubricados pueden durar indefinidamente, l) los rodamientos son de costo inicial más alto que los cojinetes de fricción. Los anillos y bolas o rodillos de los rodamientos se construyen de acero al cromo endurecido hasta el grado Rockwell C58-65, mejorado con aleaciones que le dan características particulares, según la firma fabricante. Los separadores, tapas y sellos se fabrican de acero, bronce o de latones especiales. Para altas temperaturas, por ejemplo 800 ºC, se utilizan materiales cerámicos como la alúmina, óxido de zirconio, carburo de titanio, etc. en lugar del acero para las bolas, rodillos y anillos. Clasificación

Según el tipo de carga que soportan se tienen rodamientos radiales y rodamientos axiales; por el tipo de elementos rodantes utilizados: rodamientos de bolas, de rodillos cilíndricos, de agujas, de rodillos cónicos, a rótula u oscilantes; por la cantidad de hileras de bolas o rodillos: de simple


289

hilera, de doble hilera, de triple hilera. Además, si son rodamientos autoalineantes, blindados, si tienen separadores, etc. En la figura (Fig.9.29) se muestran una serie de rodamientos, los cuales son únicamente indicativos, ya que no se agota la clases de cojinetes antifricción que existen en el mercado, cada uno atendiendo a las exigencias y condiciones específicas de cada servicio para los que son requeridos. Los cojinetes de bolas pueden soportar cargas combinadas y pequeñas desalineaciones del eje , los de doble hilera de bolas soportan mayor carga axial o radial, pudiéndose utilizar dos de una hilera con el mismo efecto, los de bola axial o de empuje solo soportan cargas axiales pero en combinación con otros pueden soportar grandes cargas radiales y axiales. Los cojinetes de rodillos cilíndricos o rectos pueden soportar mayor carga radial que los de bola del mismo tamaño, debido a su mayor superficie de contacto, no pudiendo soportar cargas axiales. Los cojinetes de rodillos cónicos combinan la ventaja de los cojinetes de bolas y de rodillos rectos, pudiendo soportar cargas radiales y axiales combinadas.

En la figura (Fig.9.30), se puede observar un rodamiento a bolas con la designación de sus partes componentes. En el agujero (diámetro interior) del anillo interior se introduce a presión el

eje del mecanismo, girando el conjunto de anillo interior y eje sobre las bolas o esferas, las que a su vez lo hacen sobre la pista del anillo exterior, estando este último fijado a presión en la caja de alojamiento o encastre del cojinete. Los separadores se utilizan para impedir el contacto de las bolas y absorción de sacudidas producidas por los cambios de velocidades de las mismas. También puede girar el anillo exterior sobre las bolas, permaneciendo fijo el anillo interior, según el diseño y elemento giratorio

del mecanismo. Rozamiento de rodadura

Recordando lo visto en el capítulo 2, cuando se tenía una esfera o rodillo sobre un plano, los cuales se encontraban sometidos a una carga P y a una fuerza F, según se muestra en la figura (Fig.9.31), se tenia sobre el sistema las reacciones F de la fuerza horizontal y P reacción de la fuerza vertical. Si para el momento inminente del movimiento, es decir para el equilibrio, se toman momentos respecto del centro O, se tiene:


290

F.r.cosθ = P.r.senθ (9.96) Pero es: f = r.senθ (9.97) Reemplazando en la (9.96) el valor de r.senθ dado por la (9.97), y haciendo pasajes de términos, se obtiene:

θcosPFf =

(9.98) En la (9.98) P es la carga que soporta el rodillo o bola de radio r, y f es el coeficiente de rozamiento de rodadura. Esfuerzo debido al contacto entre bolas o rodillos y pistas

De acuerdo a la teoría de contacto de sólidos elásticos, donde se supone que no se exceda el límite de proporcionalidad de elasticidad del material, y las superficies de los cuerpos son perfectamente lisas, según datos de ensayos estáticos realizados por Stribeck, la fuerza normal entre bolas y planos y rodillos y planos, pueden tomarse de las siguientes expresiones:

Para bola y plano, figura (Fig.9.32a):

Fc = k.d 2

(9.99) Para rodillo y plano, figura (Fig.9.32b):

Fc = k.l.d(9.100) Siendo Fc la resistencia de la bola o rodillo, d diámetro de la bola o rodillo, l el largo del rodillo y k la resistencia unitaria admisible a la compresión del material del elemento rodante.

Si es P la carga radial en kg sobre el rodamiento, según indica la figura (Fig.9.33), el esfuerzo Fc sobre la bola o rodillo más cargado, para k en kg/cm2 y un número z de bolas o rodillos del rodamiento, es:

a) P

zFc

37,4=⇒ b) 37,4

.zFP c=

(9.101) Tomando en la (9.101b) 4,37 ≅ 5, se puede escribir: Para bolas, según la (9.99):

5.. 2dzkP =

(9.102) Para rodillos, según la (9.100):


291

5... dlzkP =

(9.103) Para bolas de acero al cromo con carga de rotura de 3500 a 3700 , produciéndose grietas desde los 550 a 700 kg/cm2, se adopta k = 100 kg/cm2 para rodamientos de trabajo intermitente, y k =200 kg/cm2 para rodamientos de trabajo continuo.

Distribución de la carga en rodamientos radiales

Debido a la amplitud de utilización de los cojinetes de antifricción o rodamientos, se han establecido una serie de fórmulas prácticas que consideran distintas solicitaciones de los rodamientos, teniendo en cuenta la distribución de las cargas tanto en cojinetes radiales como axiales, o combinados. Se darán algunas de estas expresiones como ejemplo de lo mencionado. a) Para rodamientos de bolas o rodillos con contacto radial y carga radial P actuando sobre el rodamiento, como el de la figura (Fig.9.33), para conocer la carga máxima Fc max que soporta cada bola o rodillo, se puede aplicar la fórmula práctica dada por Stribeck:

zPFc 5max =

(9.104) b) Rodamientos con contactos formando un ángulo α y cargado con una fuerza F inclinada un ángulo β respecto del plano vertical, según muestra la figura (9.34):

Si es: Fa = P.tgα(9.105) Se carga un solo elemento con la fuerza máxima Fc max:

αcosmaxPFc =

(9.106) Cuando es: Fa = 1,25P.tgα(9.107)

La bola o rodillo más expuesto debe resistir una carga:

αcos.37,4

zPFc =

(9.108) Si β aumenta hasta 90º, la carga se reparte cada vez más uniformemente entre todos los elementos rodantes, y para β = 90º, es para cada bola o rodillo:

αsenzF

F ac .

=(9.109)

c) Si el rodamiento es de doble hilera como se indica en la figura (Fig.9.35), la carga del elemento rodante más comprometido es:


292

αcos..237,4max z

PFc =(9.108)

Distribución de la carga en rodamientos axiales

Cuando un rodamiento axial de bolas, como el que se muestra en la figura (Fig.9.36), está soportando una carga Fa, se tiene:

a) Para carga centrada:

αsenzF

F ac .

=

(9.109) Si fuera además α = 90º, es:

zF

F ac =

(9.110) b) Para carga descentrada, pero α = 90º:

Para e = 0,6.rm la carga máxima Fc max la soporta una sola bola:

zF

F ac 36,2max =

(9.111) Para e = 0,8.rm es:

zF

F ac 6,3max =

(9.112) Si es e = rm una sola bola soporta toda la carga, siendo: Fc = Fa(9.113) c) Rodamiento de doble efecto: para este tipo de rodamiento, el cual se muestra en la figura (Fig.9.37), se tiene que para e > 0,6rm, se carga la hilera de bolas opuestas. Si es e = 2rm, en una

hilera carga el 80% de las bolas con una carga máxima:

zF

F ac 8,4max1 =

(9.114) En la otra hilera, el 20% de las bolas soporta:

zF

F ac 6,0max2 =

(9.115) Si fuera e = ∞, el rodamiento soporta solo un momento puro en un plano axial, la mitad de las bolas en cada hilera están cargadas con la fuerza máxima:


293

zrMF

mc 2

137,4max =

(9.116) Siendo, en la (9.116), M el momento estático y z e número de bolas en una hilera. Capacidad de carga y vida de un rodamiento

Los esfuerzos a los que se ven sometidos los rodamientos al funcionar a altas velocidades, soportando cargas combinadas en forma cíclica, rozamientos, impactos, temperaturas, etc., hacen que se generen fallas por fatiga superficial de los elementos en contacto. Por tal motivo, a los efectos de establecer parámetros que permitan conocer el comportamiento que tendrá un rodamiento, su velocidad, duración y resistencia dentro de los límites impuestos por la tecnología aplicada, se han definido, basados sobre todo en resultados experimentales, distintos conceptos estadísticos que hay que tener en cuenta cuando se elija un cojinete de este tipo. Así, para establecer la resistencia del mismo se han definido los conceptos de cargas soportadas por el rodamiento, como la capacidad de carga estática, la capacidad de carga dinámica y la carga equivalente, en tanto que para determinar su duración se define el concepto de vida del rodamiento. Capacidad de carga estática

La capacidad de carga estática es la carga radial que soporta el rodamiento cuando está en reposo. Esta carga, si bien pequeña en muchos casos, puede traducirse en deformaciones permanentes de sus elementos. Está dada por la expresión: Para cojinetes de bolas: C 0 = f0. i. z. d 2 cosα(9.117) Para cojinetes de rodillos: C 0 = f0 .i. z. d. l cosα(9.118) Siendo en la (9.117) y (9.118), C0: la capacidad de carga estática, que puede estar dada en N o kg; f0: factor que depende del cojinete, de su resistencia a la deformación, en N/m2 o kg/mm2; i:número de hileras de bolas o rodillos; α : ángulo de contacto comprendido entre la línea de acción de la carga sobre la bola y un plano perpendicular al eje del cojinete; z: número de bolas o rodillos por hilera; d: diámetro de las bolas o rodillos; l: longitud del rodillo. El factor f0 se encuentra en tablas como la que se muestra a continuación:

f0Tipo de cojinete Kg, mm Libra, pulgada

Cojinete de bolas autoalineantes Cojinetes de bolas con surcos de contacto radial y angular

0,34

1,25

484

1780

Carga estática equivalente

Para cojinetes sometidos a cargas estáticas radiales Fr y axiales Fa combinadas, la carga estática equivalente P0 está dada por la expresión: P0 = X0Fr + Y0Fa(9.119) Y


294

P0 = Fr(9.120) Se toma como carga estática equivalente P0 la que resulta mayor de aplicar la (9.119) y (9.120). X0 e Y0 son factores de cargas radial y axial respectivamente, dependiendo sus valores del ángulo α,estando también tabulados, según se indica a continuación en un extracto de una tabla:

Cojinete de una hileras

Cojinete de dos hileras Tipo de cojinete α

X0 Y0 X0 Y0

Cojinete de bolas de contacto radial Cojinete de bolas de contacto angular

““

20º 25º 30º

0,6 0,5 0,5 0,5

0,5 0,42 0,38 0,33

0,6 111

0,5 0,84 0,76 0,66

Capacidad de carga dinámica

La capacidad de carga dinámica C es la carga radial, o axial, constante que puede soportar un cojinete radial, o axial o de empuje, durante 1.000.000 (un millón) de vueltas o revoluciones, antes de que aparezcan los primeros indicios de fatiga. En estos casos la carga estática no tiene mayor influencia, pues se reparte uniformemente en todos los elementos ( bolas o rodillos) al estar el rodamiento girando. La capacidad de carga dinámica C para cojinetes de bolas para un millón de vueltas, está dado por la expresión:

C = 0,082.fc ( i.cosα )0,7z2/3d1,8

(9.121) En la (9.121) fc es un factor que depende principalmente del material empleado, estando en N/m2 o en kg/mm2, d el diámetro en mm de las bolas, i el número de hileras de bolas y z el número de bolas, resultando C en N o kg. Para bolas que no superen los 25,4 mm de diámetro. Para bolas de diámetros mayores a 25 mm, el exponente de d es 1,4. Carga dinámica equivalente

La carga dinámica equivalente Pd, para cojinetes de bolas de contacto radial y angular, tiene en cuenta cuando el cojinete está sometido a cargas radial Fr y axial Fa combinadas, considerando los factores de carga radial X y axial Y, los cuales dependen del ángulo α, y un factor V de rotación de pista, igual a 1 para la rotación del anillo interior y el exterior fijo con relación a la carga, e igual a 1,2 para la rotación del anillo exterior, siendo el interior estacionario con relación a la carga. Para rodamientos autoalineantes es V=1 para ambos casos. Por lo tanto Pdresulta el mayor valor de las siguientes expresiones:

Pd = XVFr + YFa(9.122) Y

Pd = VFr(9.123) A los efectos de tener en cuenta los choques y fuerzas de impacto a los que estará sometido el rodamiento se tiene en cuenta un factor de servicio Ks, por lo que la (9.122) y (9.123) resultan:

a) Pd = Ks (XVFr + YFa ) y b) Pd = KsVFr(9.124)


295

Los valores de X, Y y Ks están tabulados, dándose a continuación, a modo de ejemplo, un extracto de las mismas:

Tipo de cojinete α X1 Y1 X2 Y2

Cojinetes de bolas de contacto radial Cojinetes de bolas de contacto angular, ángulo pequeño Cojinetes de bolas de contacto angular, ángulo grande Cojinetes de doble hilera y duplex

<15º

>15º

1

1

11

0

1,25

0,75 0,75

0,5

0,45

0,4 0,63

1,4

1,2

0,75 1,25

Factores de servicio KsTipos de servicio Rodamiento de bolas Rodamiento de rodillos

Carga estática y uniforme Carga con choques ligeros Carga con choques moderados Carga con choques fuertes Carga con choques muy fuertes

11,5 2

2,5 3

11

1,3 1,7 2

Vida de un rodamiento

Se llama vida de un rodamiento, designado con L, al periodo de servicio del cojinete, limitado por la fatiga. Se mide en número de vueltas o por el número de horas de servicio. Según los resultados obtenidos de la experiencia, L es inversamente proporcional a la carga F que soporta el rodamiento, siendo:

a) 31

1

31

2

2

1

L

LFF

=

⇒ b) === 31

31

2231

11 ... LFLFLF constante (9.125) Estos resultados permitieron establecer experimentalmente la siguiente relación entre la vida Lndel rodamiento, la carga dinámica C que soportaba y la carga dinámica equivalente Pd:

b

dn P

CL

=

(9.126) Donde Ln está en millones de vueltas (Mr), siendo b = 3 para rodamiento a bolas radiales y axiales, y b = 10/3 para rodamientos radiales y axiales a rodillos. Es común expresar la vida de un rodamiento en horas Lh, por lo que la (9.126) se la puede escribir:

nPC

nLL

b

dh .60

10.6010 66

=×=

(9.127) Factor de vida

Si en la expresión (9.126) se hace b = 3 se tiene:


296

a)

3

=

dn P

CL⇒ b)

3n

d

LPC =

⇒ c) 3

nd LPC =(9.128)

Al factor 3

nL de la expresión (9.128c) se denomina factor de vida fn , es decir:

3nn Lf =

(9.129) La (9.129) es aplicable en rodamientos con velocidades variables. Para velocidades constantes, el factor de vida fn se puede tomar en horas de trabajo, resultando:

3hh Lf =

(9.130) Estos valores se encuentran tabulados, dependiendo del fabricante. Factor de seguridad

Generalmente, cuando no son conocidas las condiciones de carga o de trabajo del rodamiento, se utiliza un factor de seguridad a fin de cubrir los imponderables. Si se denomina S0 al factor de seguridad, siendo C0 la capacidad de carga estática, P0 la carga estática equivalente se puede escribir: C0 = S0.P0(9.131) La capacidad de carga estática y dinámica pueden combinarse, obteniéndose:

a) 000 PSPf

CC dn=

⇒ b) CC

PPf

S dn 0

00 =

⇒ c) dn P

PCCSf 0

00=

(9.132) Estos valores están tabulados y se adoptan de acuerdo a la experiencia. Es importante la lubricación de los rodamientos, ya que existe rozamiento entre los elementos rodantes, pistas y separadores, la fricción de estos elementos con el lubricante durante el movimiento y la deformación de los elementos en contacto. Un lubricante apropiado debe formar una película entre las superficies en contacto, proteger el elemento de la corrosión, evacuar el calor generado y proteger la entrada de elementos extraños. Pueden emplearse aceites y grasas para lubricar, usándose estas últimas para temperaturas inferiores a 90 ºC y velocidades bajas, caso contrario se debe usar un aceite acorde a las exigencias del trabajo. La construcción de los rodamientos se han estandarizado a los efectos de facilitar la intercambiabilidad de los mismos, estableciéndose series para los diámetros exteriores y el ancho, dejando a criterio del fabricante los parámetros restantes.

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TÍTULO AUTOR EDITORIAL - Manual del Constructor de Máquinas H. Dubbel Labor - Elementos de Máquinas Dr. Ing. O. Fratschner Gustavo Gili - Proyecto de Elementos de Máquinas M. F. Spotts Reverté


297

- Manual del Ingeniero Hütte II A Academia Hütte Gustavo Gili - Cálculo de Elementos de Máquinas Vallance-Doughtie Alsina - Diseño de Máquinas Hall-Holowenco-Lau McGraw-Hill - Manual del Ingeniero Mecánico de Marks Baumeister y Marks Uteha - Diseño en Ingeniería Mecánica J. Shigley McGraw-Hill - Fundamentals of Mechanical Design M. Phelan McGraw-Hill - Teoría y Práctica de la Lubricación Dudley D. Fuller Interciencias - Diseño de elementos de Máquinas Aguirre Esponda Trillas - Catalogo técnico de Rodamientos SNR - Manual de Rodamientos SKF - Manual de Mantenimiento Industrial Morrow C.E.C.S.A.

298

RECIPIENTES Y TUBOS10


Generalidades

La importancia que tienen los recipientes como contenedores de distintos productos de las más variadas características, ya sean pequeños o de grandes dimensiones y los tubos o cañerías utilizadas para su transporte, las presiones, temperaturas y ataques a los que son expuestos, la diversidad de materiales utilizados en su construcción, han conducido a diversos métodos de cálculos para el diseño de los mismos. A continuación se analizarán y desarrollarán algunos de los métodos utilizados para este fin. Tipos de recipientes

Existen distintos tipos de recipientes, los cuales, según sea la utilización que se les dará, presentan distintas características, pudiendo ser clasificados según sus formas geométricas como: a) Cilíndricos, verticales u horizontales, abiertos o cerrados, b) Esféricos, c) Paralelepípedos rectangulares, d) Formas especiales. En la figura (Fig.10.1) se muestran esquemáticamente las formas mencionadas. Los cilindros abiertos en un extremo, tanto verticales como horizontales, se utilizan para almacenar materiales sólidos en polvo o granillosos, cereales, fibras, líquidos no volátiles y no tóxicos. Los cilíndricos cerrados en ambos extremos, verticales u horizontales, se utilizan para depósitos o para transporte de fluidos, almacenamiento de gases, líquidos volátiles o tóxicos; además para distintas operaciones en la industria, como por ejemplo tanques de vacío, calderas de vapor, digestores, etc. Los esféricos son utilizados para almacenamiento de gas o cuando se necesita gran resistencia a la presión. Los recipientes de formas especiales son utilizados según lo exigen las necesidades de espacio, resistencia o estéticas, cuando se desea obtener alguna propiedad particular, como la de bajar el centro de gravedad, concentrar las cargas, etc. Los tubos o cañerías son utilizados generalmente para la conducción de fluidos, debiendo reunir determinados requisitos, como ser diámetros adecuados, rugosidad de las paredes, resistencia a la presión, etc. Factores de diseño de un cilindro: Tanto los recipientes como los tubos pueden estar expuestos además de las temperaturas y presiones internas y externas, al ataque del elemento que contienen. Por lo tanto, en el diseño de un recipiente o una tubería debe tenerse en cuenta, tanto los esfuerzos mecánicos a los que es solicitado, como a los efectos del elemento contenido o transportado sobre el material constitutivo de las paredes, como ser corrosión, abrasión, incrustaciones, etc., utilizándose el material más conveniente, pudiendo ser de mampostería, chapas de hierro o acero, material sintético, vidrio, acero inoxidable, cobre, aluminio, etc. Espesor de la Pared de un cilindro: Los recipientes pueden ser además de paredes delgadas o de paredes gruesas, considerándose de pared delgada, según la ASME, cuando el cociente entre el espesor t de la pared y el diámetro interior di del recipiente es igual o menor a 0,10. Otros autores adoptan para este cociente y ser considerados de pared delgada, valores menores o iguales a 0,05 o 0,07. Por lo tanto se puede escribir:


299

Recipiente de pared delgada: 10,0≤

idt

(10.1) Tensiones en las paredes de un recipiente: En la figura (10.2a) se observa un recipiente cilíndrico de longitud L, diámetros interno di y externo d0 y espesor t de la pared. Si este

recipiente está sometido a una presión interna pi yexterna p0, sus paredes soportarán esfuerzos los cuales pueden ser reducidos a un sistema de tres tensiones normales entre sí, según muestra la figura (Fig.10.2b), donde se ha magnificado un elemento A de la pared del cilindro, siendo éstas la tensión axial σa , la tensión tangencialσt, llamada también tensión circunferencial o de sunchado yla tensión radial σr.Para cilindros de paredes gruesas se consideran actuando las tres tensiones. Para cilindros de paredes delgadas se considera que actúan solo dos de ellas, la tensión tangencial σt y la tensión

axial σa, ya que la tensión radial σr se considera despreciable. El estudio de los recipientes se realiza por lo tanto, sobre dos tipos principales, los cilindros de paredes delgadas y los cilindros de paredes gruesas, pudiendo éstos estar sometidos tanto a presiones internas pi o externas p0, o ambas a la vez. Recipientes sometidos a presión exterior: Los recipientes que se consideran sometidos a presión exterior p0 únicamente, como por ejemplo cilindros en los cuales se ha realizado el vacío, están expuestos a fallar a menores presiones que los sometidos a presiones internas únicamente, dependiendo su grado de estabilidad de la relación t/d0 entre el espesor t de la pared y el diámetro externo d0 del cilindro, de la relación L/d0 entre su longitud L y su diámetro d0 y del módulo de elasticidad E del material, siendo importante la relación que deben guardar entre sí estos parámetros para determinar la resistencia del recipiente. Los recipientes sometidos a presión externa, están expuestos a abolladuras, siendo mucho más resistente los recipientes cortos que los largos, ya que los fondos o extremos tienden a darle rigidez. Por este motivo, a los cilindros sometidos a presión externa, se los refuerza mediante anillos interiores o exteriores uniformemente espaciados, subdividiendo la longitud total, con lo que se logra darle mayor rigidez y resistencia. En un cilindro sometido a presión exterior, la presión a la cual colapsa el recipiente, es decir a la cual se abolla, se denomina presión crítica pc, y para su cálculo se utilizan fórmulas experimentales, las que fueron obtenidas por Lorentz, Southwell, Von Mises, y otros, siendo una de ellas como la que da la siguiente expresión:

21

00

25

0

45,0

.6,2

−

=

dt

dL

dtE

pc

(10.2) En la (10.2), pc resulta en kg/cm2 si está d0, L y t en cm, y el módulo elástico del material E en kg/cm2, siendo L la distancia entre refuerzos. La presión crítica pc a la cual ocurre la abolladura es función de t/d0 y del módulo de elasticidad E del material del cilindro para la longitud crítica Lc, que es la longitud mínima del recipiente para la cual la resistencia de las paredes a la presión externa es independiente de la longitud del cilindro o tubo. Si la longitud de la pared entre extremos o refuerzos es mayor que la crítica, la


300

presión crítica de colapso es función, además de t/d0 y E, de L/d0. La expresión que da Southwell para la longitud crítica Lc es:

( )

−=

td

dLc0

04 2114,1 µ

(10.3)

Para µ = 0.3 es: td

dLc0

0.11,1=

(10.4) Determinación de la tensión normal de tracción sobre la pared de un cilindro de pared delgada con presión interior

Como se mencionara precedentemente, se supone para estos cilindros la tensión radial σrdespreciable. Sea el cilindro de la figura (Fig.10.3a), con un diámetro interno di y espesor t,cumpliéndose para estos parámetros la expresión (10.1). Si el cilindro está sometido a la presión interna p, la misma se distribuye, de acuerdo al principio de Pascal, axialmente sobre el fondo del recipiente y radialmente sobre toda su pared cilíndrica, según se indica en las figuras (Fig.10.3b) y (Fig.10.3e) respectivamente. Debido a la presión p el material de la pared soporta tensiones, las cuales son constantes en todo su espesor. Para la pared cilíndrica, la componente horizontal de la presión pcosθ, que se indica en la figura (Fig.10.3f), perpendicular al plano diametral AB indicado en la figura (10.3e), actúa sobre la superficie cilíndrica de área dA,generando la fuerza dF sobre la misma, resultando: dF = p.dA.cosθ(10.4) Integrando la (10.4) se obtiene la fuerza F perpendicular al plano diametral AB, que actúa sobre el medio cilindro y tiende a romperlo a lo largo de dicho plano:

∫ ∫== θcos..dApdFF(10.5) Pero, de la figura (Fig.10.3a) es: dA = L.dS (10.6) Pero es: dS = ri.dθ(10.7) Por lo tantos, reemplazando en la (10.6) el valor de dS dado por la (10.7) se obtiene:

dA = L.ri.dθ(10.8)


301

Reemplazando el valor de dA dado por la (10.8) en la (10.5), integrando para F variando entre 0 y F, y θ variando entre -π /2 y π /2, se obtiene:

iii

FdLprLpdrLpdFF ....2.cos...2

20

==== ∫∫ −

π

π θθ

(10.9) Por otra parte, el área resistente A1 es:

A1 = 2t.L (10.10) Si es σt la resistencia unitaria normal de tracción del material, la fuerza resistente Fr total de las paredes del cilindro, según la figura (Fig.10.3d), es:

Fr = 2t.Lσt(10.11) En el equilibrio, debe ser: a) Fr = F ⇒ b) p.L.di = 2t.Lσt(10.12) Haciendo pasajes de términos en la (10.12), se obtiene:

a) tdp i

t 2.

=σ⇒ b) i

t

dt

pσ2

=

(10.13) Cuando en el cilindro existe una costura o junta, debe tenerse en cuenta la eficiencia e de la soldadura o roblonado, por lo que la (10.13a) resultará:

tedp i

t ..2.

=σ

(10.14) La presión p actúa, según se indica en la figura (Fig.10.3b), en forma normal a la superficie de la pared del extremo o tapa del recipiente, cuyo área A’ es:

4.

'2idA π

=

(10.15) La fuerza F’ que actúa sobre esta pared es entonces:

4.

'2idpF π

=

(10.16) El área de la superficie de la tapa del recipiente que resiste la fuerza F’ es A1’, la cual se indica en la figura (Fig.10.3c), y vale: A1’ = π.di.t(10.17)


302

Por lo tanto, si es σa la resistencia unitaria del material de la tapa, la fuerza Fa que resiste a F’ es:

Fa = π.di.t. σa(10.18) En el equilibrio, es:

a) F’ = Fa ⇒ b)ai

i tddp σππ

...4. 2

=

(10.19) Simplificando y haciendo pasaje de términos en la (10.19b), resulta:

a) tdp i

a 4.

=σo b) i

a

dt

pσ.4

=

(10.20) Considerando la eficiencia e de la soldadura, la (10.20a) es:

tedp i

a ..4.

=σ

(10.21) Esfera de pared delgada con presión interior

En este caso solo actuará la tensión tangencial σt al estar sometida la esfera a la presión interior p. En la figura (Fig.10.4) se representa la esfera de pared delgada de espesor t y radio interno di.

Si se considera la presión p actuando sobre el área diferencial dA:

dA = 2π.r.dr (10.22) Se genera la fuerza dF que tiende a romper la esfera, a lo largo del plano diametral, en dos mitades, siendo: dF = p.dA = p.2π.r.dr (10.23)

Integrando la (10.23), para F que varía entre 0 y F, y r entre 0 y ri, se obtiene:

22

00 2.2...2. i

irFrprpdrrpdFF i πππ ==== ∫∫ = 4

. 2idpπ

(10.24) El área A’ de la sección de la pared de la esfera que resiste esta fuerza es:

A’ = π.di.t(10.25) La fuerza resistente Fr que se opone a F, resulta del producto de la tensión unitaria σt de la resistencia del material de la esfera por el área A’ dada por la (10.25), por lo tanto es:


303

Fr = π.di.t.σt(10.26) En el equilibrio es:

a) F = Fr ⇒ b)ti

i tddpσπ

π...

4. 2

=

(10.27) Simplificando y haciendo pasajes de términos en la (10.27b), se obtiene:

tdp i

t .4.

=σ

(10.28) Si se considera la eficiencia e de la soldadura, la (10.28) resulta:

etdp i

t ..4.

=σ

(10.29) Se puede observar que la tensión tangencial σt producida por la presión p en la pared del recipiente esférico es la mitad de la que produce la misma presión en las paredes de un recipiente cilíndrico, motivo por el cual, los recipientes esféricos se utilizan cuando se deben soportar grandes presiones. Cilindros de paredes gruesas

Para 10,0≥

idt

se trata como cilindro de pared gruesa, y en ellos ya no se considera que las tensiones son constantes a través del espesor de la misma, sino que dependen de su distancia al eje del cilindro, según se indica en la figura (Fig.10.5a), siendo máximas en el radio interior y

mínimas en el exterior, para presiones internas mayores que las externas. Son utilizadas en la técnica de las altas presiones. En la figura (Fig.10.5b) se muestra un cilindro de pared

gruesa y en él un elemento limitado por los planos axiales mm’l’l y nn’k’k, por las superficies cilíndricas mmkl y m’n’k’l’, y por los planos transversales mnm’n’ y kll’k’, el cual se ha ampliado en la figura (Fig.10.5c). Dicho elemento está sometido a tensiones normales a las superficies, no existiendo tensiones cortantes. Para el estudio de la distribución de tensiones se han desarrollado diversas teorías, de las cuales, las más empleadas, se analizarán a continuación. Ecuaciones de Lamé. Determinación de las tensiones axiales, radiales y tangenciales en cilindros de paredes gruesas sometidos a presión interna y externa


304

Si en el esquema del cilindro de la figura (Fig.10.6), de diámetro interno di y diámetro externo d0, de espesor de pared t y de longitud L, sobre el que actúa la presión interna pi y la presión externa p0, se considera una sección del cilindro normal a su eje, alejada de los extremos a lo efectos de eliminar las condiciones de borde. Si en dicha sección se supone un anillo de radio ry espesor dr, según se indica en la figura (Fig.10.6), y con la hipótesis de que la tensión axial σaque soporta el material es uniforme a través del espesor de la pared, y además se producen las tensiones radial σr y tangencial σt, siendo µ la relación o módulo de Poisson de deformación transversal, y E el módulo de elasticidad por tracción, se pueden obtener las relaciones que dan

el valor de las tensiones en función de los parámetros mencionados. El valor de la tensión axial, para las fuerzas Fi y Fe, que se generan debido a las presiones pi y p0 internas y externas respectivamente, es:

AFF ei

a−

=σ

(10.30) Las áreas Ai y Ae sobre las que

actúan pi y p0 respectivamente, son:

a) 4. 2

ii

dA π=

y b) 4. 2

0dAeπ

=

(10.31) Resultando las fuerzas:

a) i

ii pdF

4. 2π

=y b)

0

20

4. pdFe

π=

(10.32) El área A sobre el que actúa Fi - Fe es:

a) A = Ae – Ai ⇒ b) 4.

4. 22

0 iddA ππ−=

(10.33) Reemplazando en la (10.30) los valores de Fi y de Fe dados por la (10.32), y el valor de A dado por la (10.33b), se obtiene para σa:

220

200

2

220

0

20

2

..

4.

4.

4.

4.

i

ii

i

ii

a dddpdp

dd

pdpd

−−

=−

−=

ππ

ππ

σ

(10.34) Para determinar σ t y σ r se considera una pequeña porción del material de la pared, de longitud axial unitaria, de espesor radial dr y de ancho circunferencial r.dθ, según se indica en la figura (Fig.10.7). Este elemento se mantiene en equilibrio bajo la acción de las tensiones σa, σ t y σ r,experimentando, debido a las mismas, una deformación total ∆a en la dirección axial (alargamiento), que de acuerdo a la teoría de deformaciones está dada por la expresión siguiente:


305

( )E

a tra σµσµσ .. −+=∆

(10.35) Para un material dado, tensionado dentro del límite elástico, sometido a una determinada presión, las cantidades ∆a, σa, µ y E se mantienen constantes. De la expresión (10.35) se obtiene, realizando pasajes de términos:

c

aE atr =

−∆=−

µσ

σσ.

(constante) (10.36) La (10.36) también se puede escribir:

a) c

aEart =

∆−=−

µσ

σσ.

⇒ b) σ t - σ r = c(10.37) Si en la figura (10.6) se considera como un cilindro de pared delgada, al cilindro formado de radio r, espesor dr y largo L, actuando σ r como presión interna sobre la superficie 2r.L y σ r +dσ r como presión externa sobre la superficie 2(r + dr).L, siendo la resistencia del material de las paredes σ t que actúa sobre la superficie 2dr.L, por lo que según las expresiones (10.8) y

(10.9), y de acuerdo a la figura (Fig.10.8), se puede escribir:

F1 = 2.r.L.σ r(10.38)

F2 = 2 (r + dr).L.( σ r + dσ r)(10.39)

F3 = 2.dr.L. σ t(10.40)

Realizando la sumatoria de las fuerzas se tiene:

F1 – F2 = F3 (10.41) Reemplazando en la (10.41) los valores de F1, F2 y F3 se obtiene:

2.r.L.σ r - 2 (r + dr).L.( σ r + dσ r) = 2.dr.L.σ t(10.42) Sacando paréntesis, simplificando y agrupando en la (10.42) resulta:

-σ r dr - rdσ r – dr.dσ r = dr.σ t(10.43) Despreciando los diferenciales de segundo orden dr.dσ r y haciendo pasajes de términos:

drr r

rtσ

σσ.

−−=

(10.44) Reemplazando en la (10.36b) el valor de σ t dado por la (10.44):


306

a) c

drdr

rr

r =−−− σσ

σ.

⇒ b) 2

.2c

drdr

r

r

+=−

σ

σ

(10.45) Integrando la expresión (10.45b), se obtiene:

12ln

2ln Crc

r +−=

+σ

(10.46) En la (10.46) es C1 la constante de integración. Haciendo:

b = antilog. C1(10.47) Aplicando antilogaritmo a la expresión (10.46), teniendo en cuenta la (10.47), resulta:

a) 22 rbc

r =+σ⇒ b) 22

crb

r −=σ

(10.48) Si en la (10.48) se hace:

a) ac =

2 ⇒ b) c = 2a(10.49) Reemplazando el valor de c/2 dado por la (10.49) en la (10.48b) se obtiene:

2rbar +−=σ

(10.50) Reemplazando en la (10.37b) el valor de σr dado por la (10.50), siendo por la (10.49a) c = 2a,se obtiene el valor de σt:

2rbat +=σ

(10.51) Para hallar las constantes a y b de la (10.50) y (10.51), se consideran los valores que adopta la tensión radial σ r sobre los límites de las paredes del cilindro:

Si es: a) 2id

r =es b) σ r = pi; Si es: c) 2

0dr =

es d) σ r = p0(10.52) Reemplazando los valores de r y de σ r dados por la (10.52) en la (10.50) se obtiene:


307

a)

adbpi

i −

= 2

2 y b)

adbp −

= 20

0

2(10.53) Si se resta miembro a miembro la (10.53a) y la (10.53b) se obtiene:

20

2

220

20

2

220

20

20 .4

..4.444

ddddb

dddbdb

db

dbpp

i

i

i

i

ii

−=

−=−=−

(10.54) Si en la (10.54) se despeja b:

( )( )22

0

20

20

4..

i

ii

ddddppb

−−

=

(10.55) Si se reemplaza el valor de b dado por la (10.55) en la (10.53b) y se efectúan las operaciones matemáticas correspondientes, el valor de a resulta:

220

200

2 ..

i

iia dd

dpdpa−−

== σ

(10.56) Si ahora se reemplazan los valores de b y a dados por la (10.55) y (10.56) respectivamente, en las expresiones (10.50) y (10.51) y se efectúan las operaciones matemáticas correspondientes, se obtiene, finalmente:

( )( ) 222

0

20

20

220

200

2

.....

dddddpp

dddpdp

i

ii

i

iir −

−+

−−

−=σ

(10.57) y

( )( ) 222

0

20

20

220

200

2

.....

dddddpp

dddpdp

i

ii

i

iit −

−+

−−

=σ

(10.58) Las expresiones (10.34), (10.57) y (10.58) son las ecuaciones de Lamé, aplicables dentro de la zona de comportamiento elástico del material. Representación gráfica de σr y σt

En la figura (Fig.10.9) se representan gráficamente las tensiones σr y σt dadas por las expresiones (10.57) y (10.58), a los efectos de poder analizar el comportamiento de las mismas con la variación de r. Para σr,representada por la curva de la figura (Fig.10.9a), se observa:


308

Para r = 0 ⇒ σr → ∞ (10.59) Para r → ∞ ⇒ σr → - a (10.60)

Siendo además: σr = 0 para abr =

(10.61) Para σt representada por la curva de la figura (Fig.10.9b) se observa: Para r = 0 ⇒ σt → ∞(10.62) Para r → ∞ ⇒ σt → a(10.63) Además se puede observar que σt no se anula para ningún valor de r, ya que si se hiciera en la (10.51) σt = 0, resultaría r2 < 0, siendo indeterminado. También se puede deducir de la expresión (10.37b):

- Para 2id

r =es σ r = pi resultando por lo tanto σt = c + pi

- Para 20d

r =es σ r = p0 resultando para este caso σt = c + p0

Ecuaciones de Lamé para presión interna

Uno de los casos más comunes es el de un cilindro sometido a presión interna únicamente, o sea que no existe presión exterior, siendo por lo tanto p0 = 0, por lo que las expresiones (10.57) y (10.58) se reducen a:

( )

−

+−=

−+

−−= 22

0

20

2

2

2

2220

20

2

220

2 .4.4.

....

i

ii

i

ii

i

iir dd

drrdp

dddddp

dddp

σ

(10.64)

( )

−+

=−

+−

= 220

20

2

2

2

2220

20

2

220

2 .4.4.

....

i

ii

i

ii

i

iit dd

drrdp

dddddp

dddp

σ

(10.65) Analizando las expresiones (10.64) y (10.65) se observa que ambas tensiones aumentan a medida que disminuye el radio. Por lo tanto las máximas tensiones están en la superficie interior de la pared del cilindro, donde es r = di/2; si se reemplaza este valor en las ecuaciones anteriores, se obtienen:

a) σ r = pi y b)22

0

220

i

iit dd

ddp−+

=σ

(10.66)


309

Cuando se conocen las presiones internas y las tensiones admisibles de trabajo del material del cilindro, el problema consiste en determinar el espesor t de la pared. Haciendo, según la figura (Fig.10.10):

d0 = di + 2t(10.67) Sustituyendo en la (10.66) d0 por el valor dado por la (10.67) y operando

matemáticamente, se obtiene:

−

−+

= 12 it

iti

ppd

tσσ

(10.68) La (10.68) da el valor del espesor de la pared del cilindro, basada en la teoría de la máxima tensión normal en las paredes, aplicable a materiales elásticos. La teoría de la resistencia de materiales da, para la máxima tensión tangencial principal, la expresión:

2maxrt σσ

σ−

=

(10.69) Considerandoσ r negativo por ser de compresión, es decir:

σ r = - pi(10.70) La máxima tensión tangencia principal en la pared del cilindro, se halla sustituyendo los valores de σ t y de σ r dados por la expresión (10.66), en la ecuación (10.69), teniendo en cuenta la (10.70):

220

20

max.

i

i

dddp

−=σ

(10.71) Además, como la teoría de la máxima tensión tangencial postula que la tensión tangencial en el límite, es decir en el momento de la falla, vale la mitad de la tensión máxima de tracción equivalente en la pared del cilindro, es:

22

0

20

max.2

i

it dd

dp−

=σ

(10.72) Por lo tanto, el espesor t de la pared del cilindro resulta:

−

−= 1

22

2 it

ii

ppd

tσ

(10.73)


310

La ecuación (10.73) es aplicable a materiales dúctiles, pero que no tiene en cuenta el efecto de deformación transversal. Ecuaciones de Clavarino para cilindros cerrados

Si se tiene en cuenta los efectos de las deformaciones transversales del material de la pared del recipiente, correspondientes a cada una de las tensiones en el mismo, éstas influirán unas sobre otras afectando la capacidad de carga del material, obteniéndose las tensiones axiales, radiales y tangenciales equivalentes, de acuerdo a la teoría de la máxima deformación:

traa σµσµσσ .. −+=′(10.74)

tarr σµσµσσ .. ++=′(10.75)

ratt σµσµσσ .. +−=′(10.76) Si el elemento de la pared del cilindro, indicado en las figuras (10.6) y (10.7), sometido ahora a estas tensiones equivalentes dadas por las expresiones (10.74), (10.75) y (10.76), se le aplica un análisis similar al de las ecuaciones de Lame visto anteriormente, y reemplazando en las mismas los valores de σa, σr y σt dados por las expresiones (10.34), (10.55) y (10.56) respectivamente, se obtiene:

a)

+−

+−+=′

22.rba

rbaaa µµσ

⇒ b) ( )µσ 21−=′ aa

(10.77)

a)

++++−=′

22 ..rbaa

rbar µµσ

⇒ b) ( ) ( )

2

121r

barµµσ +

−−=′

(10.78)

a)

+−+−+=′

22 .

rbaa

rbat µµσ

⇒ b)( ) ( )

2

121r

batµµσ +

−−=′

(10.79) Siendo µ el módulo de Poisson y a y b los mismos parámetros ya obtenidos anteriormente según las expresiones (10.55) y (10.56). El espesor t de la pared se obtiene reemplazando d0 por di + 2t, resultando:

( )( )

−

+−′−+′

= 1.1.21

2 it

iti

ppd

tµσµσ

(10.80) En la (10.80) es σ’t la tensión de trabajo admisible a la tracción. Estas ecuaciones se conocen con el nombre de ecuaciones de Clavarino para cilindros cerrados, y son aplicables a cilindros con extremos o fondos que hacen aparecer tensiones axiales en la pared.- Ecuaciones de Birnie para cilindros abiertos

En este caso no es posible la existencia de tensiones axiales directas, y un análisis similar al utilizado en las ecuaciones de Clavarino, aplicando la teoría de la máxima deformación, efectuando los reemplazos deσr y σt por sus valores dados por las expresiones (10.34), (10.57) y


311

(10.58) en las expresiones (10.74), (10.75) y (10.76), considerando σa = 0, conduce a las siguientes ecuaciones para las tensiones equivalentes:

a) σ’a = µ.σr - µ.σt ⇒ b)

−−+−=′

22.rba

rbaa µσ

= -2µ.a(10.81)

a) σ’r = σ r + µ.σt ⇒ b)( ) ( )µµµσ ++−−=

+++−=′ 11. 222 r

barba

rbar

(10.82)

a) σ’t =σt + µ.σr ⇒ b)( ) ( )µµµσ ++−=

+−++=′ 11. 222 r

barba

rbat

(10.83) El espesor t de la pared del cilindro resulta de reemplazar d0 por di + 2t, obteniéndose:

( )( )

−

+−′−+′

= 1.1.1

2 it

iti

ppd

tµσµσ

(10.84) La expresión (10.84) es solo aplicable a cilindros en los cuales no existen tensiones axiales directas. Ecuación de Barlow

Barlow analiza las tensiones que soporta un cilindro sometido a presión interior únicamente, haciendo:

di = d0 –2t(10.85) En la expresión (10.85) es t el espesor de la pared, según se indicara en la figura (Fig.10.10). Aplica la ecuación de Lamé dada en la (10.58) para el máximo valor, es decir para d = di:

220

220

maxi

iit dd

ddp−+

=σ

(10.86) Reemplazando en la (10.86) el valor de di dado por la (10.85), y elevando al cuadrado, se obtiene:

( )( )2

0

20

20

max .4.4.42

ttdtdtdpi

t −+−

=σ

(10.87) Si el espesor t de la pared es pequeño comparado con el radio interno di del cilindro, es decir que es:

t << di(10.88) Si se cumple la (10.88), se puede despreciar t en la expresión (10.87), la cual se puede escribir:


312

iiii

t ptdp

tdpdt

tddp

−=−=2.

.4..4

.4.2 0

0

0

0

20

maxσ

(10.89) Si además la presión interna pi a la que está expuesto el cilindro, es pequeña y mucho menor que σt, es decir: pi << σt(10.90) Se puede despreciar pi en la (10.89), la cual se podrá escribir:

td

pit 20=σ

(10.91) La (10.91) es la ecuación de Barlow, similar a la expresión (10.13a) para cilindros de pared delgada, en la que el diámetro externo d0 reemplaza al diámetro interno di, por lo que se tiene un cilindro de delgada sobredimensionado. La expresión de Barlow se utiliza generalmente en en el cálculo de cañerías de conducción de gas y de petróleo. Los materiales también se ven afectados por las altas temperaturas, existiendo tablas que dan las tensiones en función de las temperaturas a la que están expuestos los cilindros. Cambio de diámetro en los cilindros debido a la presión

Debido a la presión interna existente en un cilindro, éste varía su diámetro y aún cuando los cambios son relativamente pequeños, existen casos tales como en los ajustes forzados de presión o contracción donde deben conocerse, por su importancia, esta variación. En la figura (Fig.10.11) se muestra esquemáticamente un cilindro de diámetro interno di y diámetro externo d0,expuesto a una presión interna pi y en él, a una distancia r del centro, un elemento que soporta una tensión tangencial unitaria σt. La deformación unitaria ∆d que experimenta, según la teoría de la deformación, un cilindro de diámetro d, siendo E el módulo de elasticidad del material, está dada

por la expresión:

dE

d tσ=∆

(10.92) Utilizando el valor de la tensión tangencial equivalente dada por la ecuación de Birnie según la expresión (10.83), con la cual se obtiene con la misma valores mayores para σ’t que con las ecuaciones de Lamé y Clavarino, y considerando que es p0 = 0, por lo que se da el valor máximo de σt y la máxima deformación ∆d para r = di /2, la (10.92) se puede escribir:

( ) ( )( )

+

−+

=

−

++

−−

=∆ µµµ22

0

220

220

2

20

2

220

2 ....1..1

i

iii

ii

ii

i

iiii dd

ddEdp

dddddp

dddp

Ed

d

(10.93) Si el cilindro está sometido a una presión externa p0 únicamente, se tendrá una disminución del diámetro del cilindro, que será máxima para el diámetro exterior d0, resultando por lo tanto:


313

−

−+

=∆ µ220

22000

0.

i

i

dddd

Edp

d

(10.94) Cilindros zunchados o compuestos

Cuando deben resistirse grandes presiones internas en un recipiente cilíndrico, es conveniente construir el mismo de dos o más cilindros superpuestos coaxiales, con los exteriores montados por contracción sobre los interiores, según se muestra en el esquema de la figura (Fig.10.12),

donde el cilindro interno tiene diámetro interno di y diámetro externo ds, y el cilindro externo tiene diámetro interno dh y diámetro externo d0,siendo:

dh < ds(10.95) Para el montaje se ha expandido por calentamiento el cilindro exterior y el interior se ha enfriado para contraerlo, insertando luego los mismos, uno dentro del otro, resultando el diámetro de contacto dc una vez uniformada la temperatura. Esto comprime al cilindro interior

antes de aplicarse la presión interna, por lo que al ser aplicada esta última, la tensión resultante en la pared del recipiente es mucho menor que la que se hubiera producido en un único cilindro. El cilindro externo resulta traccionado por la expansión del cilindro interno. Considerando el cilindro abierto en los extremos, ya indicado en la figura (Fig.10.12), de manera que no se generen tensiones axiales, la mayor tensión que actúa es la tensión tangencial o circunferencial, que es la que se debe tener en cuenta en el proyecto. El valor de esta tensión circunferencial para cualquier valor de r, de acuerdo con la ecuación de Birnie dada por la expresión (10.83), reemplazando en la misma los valores de a y b dadas por las expresiones(10.55) y (10.56), resulta:

( ) ( ) ( )( )22

02

20

20

220

200

2

4..

1..

1i

ii

i

iit ddr

ddppdd

dpdp−

−++

−−

−=′ µµσ

(10.96) Si el cilindro está sometido a presión interior únicamente, será:

( ) ( ) ( )220

2

20

2

220

2

4..

1.

1i

ii

i

iit ddr

ddpdd

dp−

++−

−=′ µµσ

(10.97) Suponiendo que no existe ninguna presión interior ni exterior, y solo se manifiestan las tensiones debidas a la contracción y expansión de los cilindro. Se puede considerar que el cilindro interior de la figura (Fig.10.12) está sometido a presión exterior causada por la contracción del cilindro exterior, y el cilindro exterior está sometido a una presión interior causada por la dilatación del cilindro interior. Si se analiza el cilindro interior, y se llama pc a la presión entre cilindros, y haciendo en la ecuación (10.95) pi = 0, p0 = pc y d0 = dc, se tendrán las tensiones siguientes:


314

a) Tensión circunferencial σti en la superficie interior del cilindro interno, según se indica en la figura (Fig.10.13), siendo r= di /2:

22

2.2

ic

ccit dd

dp−

−=σ

(10.98) b) Tensión circunferencial σtc en la superficie exterior del cilindro interno, según se indica en la figura (Fig.10.13), siendo r = dc /2:

−

−+

−= µσ 22

22

ic

icctc dd

ddp

(10.99) Si ahora se analiza el cilindro exterior, siendo p0 = 0, pi = pc y di = dc, las tensiones serán las siguientes: c) Tensión circunferencial σtc en la superficie interior del cilindro externo, según se indica en la

figura (Fig.10.14), siendo r = dc /2:

+

−+

= µσ 220

220

c

cctc dd

ddp

0.100) d) Tensión circunferencial en la superficie exterior del cilindro externo, según se indica en la figura (Fig.10.14), siendo r = d0 /2:

22

0

2

0.2

c

cct dd

dp−

=σ(10.101)

Las tensiones obtenidas según las expresiones (10.98), (10.99), (10.100) y (10.101), son producidas únicamente por el zunchado. Si se aplica una presión interior, se deberá calcular la tensión que produce la misma aplicando la expresión (10.96), para los valores correspondientes de pi y r. La suma de ambas tensiones dan la tensión tangencial o circunferencial que deberá soportar el material de las paredes del cilindro. Si se grafican las variaciones de las tensiones tangenciales producidas por el zunchado se obtiene la curva A. Graficando las tensiones producidas por la

presión interna se obtiene la curva B, correspondiendo la curva C a la suma de las dos anteriores. Se puede observar en la misma que si bien σtc tiene igual valor absoluto, cambia de sentido en dc.

Presión radial entre cilindros

La presión radial entre cilindros en su superficie de contacto, depende del módulo de elasticidad de los materiales y de la diferencia entre el diámetro exterior dh del cilindro interno y del diámetro interior di del cilindro externo antes del zunchado por contracción. Según la figura (10.12), las deformaciones de los diámetros de los dos cilindros, debidas a la presión sobre su superficie de contacto, estará dada por la expresión:

a) ∆ ds = ds – dc y b) ∆ dh = dc – dh(10.102)


315

Si se suman miembro a miembro la (10.102a) y la (10.102b), se obtiene:

∆ ds + ∆ dh = ds - dh = B(10.103) En la (10.103) es B el juego de contracción. Los valores de ∆ ds y ∆ dh en función de la presión pc pueden ser obtenidos aplicando la expresión (10.93) cuando actúa como presión interna del cilindro externo y la expresión (10.94) cuando actúa como cilindro externo, por lo tanto se puede escribir para B:

+

−+

+

−

−+

= hi

h

h

hcs

is

is

s

sc

dddd

Edp

dddd

Edp

B µµ 220

220

22

22 ..

(10.104) Como la contracción debida al zunchado es solo de centésimas de milímetros, se puede reemplazar sin error apreciable ds y dh por dc en la (10.104), obteniendo:

( ) ( )

+−

−+

+−

+=

h

h

s

s

ch

c

ics

icc

c EEddEdd

ddEdd

pdB µµ

220

220

22

22

(10.105) La (10.105) permite, conociendo el juego de zunchado B, calcular la presión pc, o viceversa. Generalmente ambos cilindros son del mismo material, por lo que es Eh = Es y µh = µ s, por lo que la expresión (10.105), reemplazando en la misma Eh y Es por E y µh y µ s por µ , se obtiene finalmente:

( )( )( )22

022

220

32

cic

icc

ddddddd

EpB

−−−

=

(10.106) Extremos de recipientes

El estudio de los extremos de recipientes, es complejo, debiendo realizarse el análisis de tensiones que aparecen tanto en el cilindro como en el extremo y que resultan elevadas y complicadas, por la abrupta discontinuidad de la forma, no siendo muchas de las ecuaciones desarrolladas, plenamente verificadas por hechos experimentales. Los extremos pueden ser en general, planos o cóncavos. Las fórmulas generalmente usadas se basan en trabajos de Bach y Grashof. Por lo general existen recomendaciones sobre fórmulas de cálculos para fondos de recipientes. La norma para calderas de la ASME, contempla la construcción de fondos con tapas planas mediante la fórmula:

f

pKdtσ

..=

(10.107) En la (10.107) es t: espesor de la tapa; d: diámetro exterior del recipiente; p: presión interior; σf:

tensión de tracción y K: coeficiente que depende del tipo de construcción, el cual adopta los siguientes valores: a) Para placas o tapas remachadas o abulonadas rígidamente a las bridas, según muestra la figura (Fig.10.16):


316

K = 0,162 (10.108) b) Para placas o fondos colados integralmente, figura (Fig.10.17), cuando el

diámetro d es menor de 60 cm y la relación dt

< 0,05: K = 0,162 (10.109)

c) Para fondos unidos al cilindro por juntas de recubrimiento, según se indica en la figura (Fig.10.18),

y para rmin < 3t:

K = 0,30 (10.110) d-e) Para fondos soldados a tope a caños o cilindros o forjados integralmente, como los de la figura (Fig.10.19), y para rmin = 3tf, siendo tf el espesor de la tapa paralela al eje del cilindro:

K = 0,25(10.111)

f) Para fondos dentro del cilindro soldados por fusión, según muestra la figura (Fig.10.20), respondiendo a las exigencias del tipo de soldadura, como por ejemplo soldadura a tope de simple o doble cordón, por recubrimiento, etc.: K = 0.50 (10.112)

g-h) Para tapas abulonadas que

tienden a bombearse, para una fuerza total W en los bulones y H la fuerza total debida a la presión del fluido sobre la superficie de contacto, según muestra la figura (Fig.10.21),:

dHhW

K g

.04,1

30,0 +=(10.113)

Extremos circulares y elípticos planos

Grashof, Bach y Timoshenko presentan ecuaciones para fondos planos, circulare y elípticos, similares a la dada por la (10.107), basadas en la teoría del máximo alargamiento, en las que aparecen los radios r en lugar de los diámetros d y el factor K toma valores según el tipo de material, dando para los circulares, según se muestra en la figura (Fig.10.22), las siguientes

expresiones:

Grashof: admh

pRtσ6

5.=

(10.114)


317

Bach: admh

pCRtσ

..=(10.115)

En la (10.113) es C = 0,75 para acero dulce y C = 1,2 para fundición.

Timoshenko: admh

pRtσ

25,1.=

(10.116)

Si es µ = 0,3 es: ( )µ

σ+= 3

83.

admh

pRt

(10.117) Con las fórmulas de Timoshenko se obtienen valores de los espesores mayores que con los anteriores. Para extremos planos elípticos, indicado en la figura (Fig.10.23), se puede utilizar la expresión:

( ) admh ba

pbaKtσ22

22 ...+

=

(10.118) Siendo en la (10.118): 2a el diámetro sobre eje mayor y 2b el diámetro sobre el eje menor. K es un factor que depende del tipo de soporte por

soldadura, siendo para simple cordón exterior, K = 2 para acero y K =2,25 para fundición, y para soporte de doble cordón en todo el perímetro K = 1,33 para acero y K = 1,5 para fundición. Fondos bombeados

Los fondos bombeados o cóncavos, de algunos de los cuales sus esquemas se muestran en la figura (10.24), pueden soportan mayores presiones que los planos. Su cálculo se efectúa, para fondos semiesféricos, según las normas para calderas de la ASME con la expresión:

u

Rptσ.2

..33,8=

(10.119) Donde es en la (10.117) t el espesor de la pared del fondo, p la presión interna, R el radio interior del recipiente y σu la tensión de rotura del material. La (10.119) es la misma ecuación (10.28) empleada en el cálculo de paredes de esferas, en la que se introdujo un factor de seguridad que tiene en cuenta la concentración de tensiones en la curva de unión de la brida y el casquete esférico.


318

Para los fondos elípticos y torisféricos, la ASME propone la expresión:

mDpttσ.4

.=

(10.120) En la (10.120) es t es espesor mínimo del fondo, p la presión resultante interna, D diámetro del

cilindro y m un factor de forma m = 2 a 2,34 para 25,0≈

Dh

, donde es h la profundidad o altura del fondo hasta el extremo de la cubierta cilíndrica. El radio de transición r entre el cuerpo cilíndrico y el fondo debe ser como mínimo igual a 3t. Además, el radio de curvatura del fondo bombeado no debes ser mayor que el diámetro del cuerpo cilíndrico. Para el fondo del recipiente sometido a presión exterior, la presión de trabajo que resiste es el 60 % de la que resiste para presión exterior, es decir que los espesores de los fondos para estos casos de be ser 12/3 de los correspondientes para presión interna.

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TÍTULO AUTOR EDITORIAL - Manual del Constructor de Máquinas H. Dubbel Labor - Manual del Ingeniero Químico J.H. Perry UTHEA - Cálculo de Elementos de Máquinas Vallance-Doughtie Alsina - Diseño en Ingeniería Mecánica J. Shigley-Ch.Mischke McGraw-Hill - Proyecto y Construcción de recipientes a presión C. Ruiz Rubio Urmo, S.A. - Cálculo de Recipientes (apuntes) M. M. Sales Fac. de Ing. Química (UNL) - Diseño de Elementos de Máquinas V.M. Faires Montaner y Simón S.A.

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