Técnicas de Conteo
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TÉCNICAS DE CONTEO Emily Tobar [email protected] Resumen.- Las técnicas e conteo son !tili"aas #ara eterminar el n$mero e #osibles res!ltaos e !n e%#erimento concreto o el n$mero e elementos en !n con&!nto en #artic!lar' est(s técnicas también son conocias como an(lisis combinatorio. I.PRINCIPIOS FUNDAMENTALES Sin !n evento #!ee reali"arse e n 1 maneras i)erentes' y si!n se*!no evento se #!ee reali"ar e n 2 maneras i)erentes y si e)ect!ano es#!és !n tercer evento este #!ee reali"arse e n 3 manerasi)erentes' y as+s!cesivamente' entonces el n$mero e maneras en la ,!e los eventos #!een reali"arse en el mismo oren es el #ro!cto e n 1 ∙n 2 ∙ n 3 … II. NOTACIÓN FACTORIAL El #ro!cto e los enteros #ositivos ese - hasta n incl!sive se em#lea con bastante )rec!encia en matem(ticas y a,!+ lo enotamos #or el s+mbolo es#ecial n! n ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ⋯ ∙ ( n− 2 ) ( n − 1 ) n Conviene también e)inir 0 ! = 1 . II. PERMUTACIONES /na orenaci0n e !n con&!nto e n ob&etos en !n oren ao se llama !na #erm!taci0n e los ob&etos' cabe recalcar ,!e estos ob&etos est(n tomaos toos a la ve". /na orenaci0n e !n n$meror e ichos ob&etos' r ≤n ' en !n oren ao se llama !na #erm!taci0n r o !na #erm!taci0n e los n ob&etos tomaos a la ve". P ( n , r ) Teorema 1: P ( n ,r) = n ( n− 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − r+1 ) ∙ ( n − r) ! = n ! ( n − r) ! 1' P ( n ,n ) = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯3 ∙ 2 ∙ 1 = n ! III. PERMUTACIONES CON REPETICIONES Teorema 2: El n$mero e #erm!taciones e n ob&etos e los c!ales n 1 son i*!ales' n 2 son i*!ales' 2'nr son i*!ales' es n ! n 1 ! n 2 ! ⋯ n r ! IV.PRUEAS ORDENADAS (a) Pruebas con sustitución. En este caso caa bola esco*ia se re*resa a la !r tomar la si*!iente. n ∙ n ∙ n ⋯ n ⏞ = n r (b) Pruebas con sustitución. La bolano se ev!elve a las !rnas antes e esco*er la si*!iente. P ( n ,r ) = n ( n− 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − r+1 ) = n ! ( n− r) ! V. COMINACIONES Si toos tenemos n ob&etos. /na combinaci0n e estos n ob&etos tomaos r a la ve"' es !n s!bcon&!nto e r elementos. /na combinaci0n r es' !na selecci0n e r o e n ob&etos one el oren no se tiene en c!enta. Ta!"a 1 Com!#na$#ones Permu%a$#ones a!$ abc'acb'bac'bca'cab'cba PROCESOS ESTOCÁSTICOS Página 1
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Las técnicas de conteo son utilizadas para determinar el número de posibles resultados de un experimento concreto o el número de elementos en un conjunto en particular, estás técnicas también son conocidas como análisis combinatorio.
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TCNICAS DE CONTEO
Emily [email protected]
PROCESOS ESTOCSTICOSPgina 2Resumen.- Las tcnicas de conteo son utilizadas para determinar el nmero de posibles resultados de un experimento concreto o el nmero de elementos en un conjunto en particular, ests tcnicas tambin son conocidas como anlisis combinatorio.
I.PRINCIPIOS FUNDAMENTALESSin un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si un segundo evento se puede realizar de n2 maneras diferentes y si efectuando despus un tercer evento este puede realizarse de n3 maneras diferentes, y as sucesivamente, entonces el nmero de maneras en la que los eventos pueden realizarse en el mismo orden es el producto de
II. NOTACIN FACTORIALEl producto de los enteros positivos desde 1 hasta n inclusive se emplea con bastante frecuencia en matemticas y aqu lo denotamos por el smbolo especial n!:
Conviene tambin definir .
II. PERMUTACIONESUna ordenacin de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama una permutacin de los objetos, cabe recalcar que estos objetos estn tomados todos a la vez. Una ordenacin de un nmero r de dichos objetos, , en un orden dado se llama una permutacin r o una permutacin de los n objetos tomados a la vez.
Teorema 1:
Y,
III. PERMUTACIONES CON REPETICIONESTeorema 2: El nmero de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son iguales, n2son iguales, , nr son iguales, es
IV.PRUEBAS ORDENADAS(a) Pruebas con sustitucin. En este caso cada bola escogida se regresa a la urna antes de tomar la siguiente.
(b) Pruebas con sustitucin. La bola no se devuelve a las urnas antes de escoger la siguiente.
V. COMBINACIONESSi todos tenemos n objetos. Una combinacin de estos n objetos tomados r a la vez, es un subconjunto de r elementos. Una combinacin r es, una seleccin de r o de n objetos donde el orden no se tiene en cuenta.
Tabla 1CombinacionesPermutaciones
abcabc,acb,bac,bca,cab,cba
abdabd,adb,bad,bda,dab,dba
acdacd,adc,cad,cda,dac,dca
bcdbcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb
Teorema 3:
VI. PARTICIONES OREDENADASSuponiendo que una urna A contiene siete bolas numeradas de 1 a 7. Calculemos el nmero de maneras como podemos sacar, primero 2 bolas de la urna, despus 3 bolas y finalmente 2. Es decir, se quiere calcular el nmero de particiones ordenadas.
Teorema 4: Sea A compuesto de n elementos y sean enteros positivos con . Entonces existen
Particiones ordenadas diferentes de A de la forma donde consta de elementos, consta de elementos y consta de elementos.
VII. DIAGRAMA DE ARBOLEs el dibujo que se usa para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder en un nmero finito de maneras.
Figura 1: Ejemplo de diagrama de rbolVIII. CONCLUSIONESLas tcnicas de conteo facilitan la visualizacin y la resolucin de problemas sencillos. Presentan diferentes mtodos de solucin de modo que es posible escoger el ms conveniente segn el experimento a realizar.
BIBLIOGRAFA[1] Lipschutz, S. (1998). Probabilidad. Mxico: McGraw-Hill.
