TECNICAS DE CONTEO

•Enzo Sandoval Pisfil 20 N

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION• Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso

de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de ello. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.

N1 x N2 x ..........x  Nr  maneras o formas

• En la universidad se encuentra un sistema de limpieza en la cual tiene 2 en la pabellón “A” ,3 en el pabellón “B” , 4 en pabellón “C” . Determine el número de maneras en las que se puede turnar

• SOLUCION:

2*3*4= 24

• Un artículo manufacturado debe pasar por tres controles. En cada uno de ellos se inspecciona una característica particular del artículo y se le marca de conformidad. En el primer control hay tres mediciones posibles, mientras que en cada uno de los dos últimos controles hay cuatromediciones posibles

• Por lo tanto, hay:

3 * 4 * 4 = 48 maneras de marcar el articulo.

PRINCIPIO DE ADICIÓN

PERMUTACION

• nPr= n! n= objetos (n-r)! r= muestraEs un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación; cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación. Es importante resaltar que el orden es una característica importante en la permutación, cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos.

Ejemplo

• El final de ciclo existen 4 becas para estudiantes

¿De cuantas maneras pueden quedar becado y subvecados a estas personas ?

4P2= 4! (4-2)!

4P2 =12

Permutaciones circulares

Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

Ejemplo

Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos.

• PC7= (7 − 1)! = 6! = 6 * 5 *4 * 3 *2 * 1 = 720

PERMUTACIÓN LINEAL CON ELEMENTOS REPETIDOS

• Frecuentemente queremos encontrar el número de permutaciones de objetos donde algunos son similares. La fórmula general para esto, es la siguiente:

TEOREMA: el número de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son similares de alguna manera, n2 son similares de otra manera, …. , nr son similares aún de otra manera, es

Ejemplo :¿De cuántas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras?

Como entran todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de una permutación con repetición, donde n1 = 3 (tres círculos), n2 = 2 (dos cuadrados), n3 = 1 (un triángulo), n4 = 1 (un rombo), luego:

COMBINACIONES

• Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:NO influye el orden en que se colocan.Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.Se representa como :

• nCr = n! (n-r)! r!

• n: objetos diferentes• r: muestra

Ejemplo • Los finalistas de un corcurso de becas son 4

estudiantes ¿ En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

TIPOS Combinación sin repetición: Se definen como las distintas agrupaciones formadas con p

elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

Combinación con repetición: se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

VARIACIONES

• Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:

• No entran todos los elementos.• Sí importa el orden. • No se repiten los elementos.•

• También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:

• Las variaciones se denotan por

Ejemplo

• Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.

• Solucion de 2 formas