Tautologías. Equivalencias lógicas. Implicaciones lógicas.

Una proposición que siempre es verdadera se llama tautología.

Un ejemplo muy importante es:pp.

Esta tautología se le conoce como el principio del medio excluido.

La proposición p p es otro ejemplo de tautología.Para las tautologías reservaremos la letra t. La negación de una tautología es llamada una contradicción.Una contradicción es una proposición que siempre es falsa. (¿por qué?)

Un ejemplo muy importante es:pp.

Esta proposición nos dice que una proposición no puede ser falsa y verdadera al mismo tiempo.Para las contradicciones reservaremos la letra c.

Hay dos tipos de tautologías particularmente importantes en Lógica Matemática:a) Las que tienen la forma de una bicondicional yb) Las que tienen la forma de una condicional.

A las primeras les llamamos equivalencias lógicas mientras que a las de la segunda forma les llamamos implicaciones lógicas.

La importancia de estas tautologías es que son las reglas que nos permiten transformar, deducir u obtener información a partir de lo (supuestamente) dado por cierto.

EJEMPLOS DE EQUIVALENCIAS LÓGICASPara indicar que una bicondicional es una implicación lógica, en lugar de usar “”, usaremos “”.

1. p (p) Ley de la doble negación.

2. Leyes conmutativas de la disyunción, de la conjunción, de la bicondicional.

3. Leyes asociativas de la disyunción, de la conjunción,

1

de la bicondicional.

4.

Leyes distributivas

5. Leyes de idempotencia

6. Leyes de identidad

7.

Leyes de De Morgan.

8. Ley de la contrapositiva9.

Leyes de la implicación

10.

11.

12. : Ley de la equivalencia

13. (p q) (p q) c Ley de la reducción al absurdo

14. (p q) (p q)

15. (p c) p Ley del absurdo

Típicamente el uso que se le da a las equivalencias lógicas es que en una proposición compuesta P si reconocemos un lado de una equivalencia lógica podemos sustituirlo por el otro. Esto tiene la ventaja de que no se cambia el valor de verdad de P y, si se usa adecuadamente, se puede obtener una proposición más sencilla.

Por ejemplo:

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Si tenemos P = “(pc)(pq)” , entonces podemos construir P’= “(p)(pq)” y después P’’= “(p)( pq)”, y luego P’’= “((p) p) q” para obtener finalmente P’’= “(p p) q”. Observe que los paréntesis se usan sólo para agrupar las proposiciones y se pueden desaparecer cuando la proposición que obtengamos sea la misma.Pregunta: ¿Cuáles fueron las leyes usadas y en qué orden en el ejemplo anterior?

EJEMPLOS DE IMPLICACIONES LÓGICAS

1. p (p q) q Modus ponens2. Adición3. (p q) p Simplificación4. (p q) q q Modus tollens

5. 5. (p q) p q Silogismo disyuntivo

6. 6. p q (p q)

7. (p q) (q r) (p r) Transitividad de o

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silogismo hipotético

8. (p q) (p r) (q r) (p q) (p r) (q r)(p q) (q r) (p r)

9. (p q) (r s) (p r) (q s)(p q) (r s) (p r) (q s)

Dilemas constructivos

10. (p q) (r s) ( q s) ( p r)

(p q) (r s) ( q s) ( p r)

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