Tautologia Contradiccion y Contingencia
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Tautología, Contradicción y Contingencia
Tautología
• Proposición compuesta que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables
• Al tener siempre un resultado verdadero se consideran leyes y se usan para hacer demostraciones de teoremas o para inferir resultados de proposiciones desconocidas
'pp
p p’
1 0 1
0 1 1
'pp
Tautologías comunesnombre Tautología
1 Adición
2 Simplificación
3 Absurdo
4 Modus Ponens
5 Modus Tollens
6 Transitividad de la bicondicional
7 Transitividad de la condicional
8 Extensión de la condicional
9 Dilemas constructivos
qpp
pqp '0 pp
qqpp '' pqqp
rprqqp
rprqqp
rprqqp
sqrpqp
sqrpqp
sqrpsrqp
sqrpsrqp
• P Q, se lee, si P entonces Q• Para probar que las proposiciones anteriores
son tautologías, se debe de cambiar el símbolo por y evaluar la proposición de la forma normal
• Ejemplo: '' pqqp
p q p’ q’
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 1 0 1
qp 'qqp '' pqqp
Contradicción
• Se dice que una proposición es una contradicción o absurdo si al evaluarla el resultado es falso para todos los valores de verdad de sus variables
p p’
1 0 0
0 1 0
'pp
• La contradicción se usa en la demostración de teoremas, ya que si en ésta se obtiene que p es verdadera y también que p’ es verdadera y se sabe que esto es una contradicción, se puede concluir que el teorema es falso
Contingencia
• Proposición compuesta cuyos valores dan como resultado unos y ceros
• Prácticamente cualquier proposición que se invente sería una contingencia
Inferencia Lógica
• Los argumentos basados en tautologías se consideran lógicamente correctos, la forma en que dichos argumentos se relacionan entre sí se conocen como reglas de inferencia.
• Éstas permiten relacionar dos o mas proposiciones para obtener una tercera que es válida en una demostración
• Considere el siguiente argumento– Si es un gato, entonces come carne– Si come carne, entonces es un felino
Si es un gato, entonces es un felino
p: es un gatoq: come carner: es un felino
rprq
qp
• Considere el siguiente argumento– Bajan los impuestos– Si bajan los impuestos, entonces el ingreso se eleva
El ingreso se eleva
p: Bajan los impuestosq: El ingreso se eleva
qqp
p
psqsp
pssq
sqqsp
''''
''
Dónde p es , q es, y r es
qsp ' sq ' ps '
Reglas de inferencia
qpp
pqp
qp
qp
'
rprq
qp
qpq
p
qqp
p
''p
q
qp
10. Adición
11. Simplificación
12. Silogismodisyuntivo
13. Silogismohipotético
14. Conjunción
15. Modus ponen
15. Modus tollens
Equivalencia lógica
• Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes si coinciden sus resultados para los mismos valores de verdad y se indica
qp
qp
p q p’ q’
0 0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 0 0 0
1 1 0 0 1 1 1 1 1
qp pq '' pq pqqp qp
Equivalentes Equivalentes
'' pqqp qppqqp
Proposiciones equivalentes
pp ''
pqqp pqqp pqqp
rqprqp
rqprqp
rpqprqp
rpqprqp
ppp
ppp
'''
'''
qpqp
qpqp
'' pqqp
17 Doble negación
18 Leyes conmutativas
19 Leyes asociativas
20 Leyes distributivas
21 Leyes de idempotencia
22 Leyes de Morgan
23 Contrapositiva
''
''
qpqpqp
pqqpqp
pqqpqp
Proposiciones equivalentes
0' pp
qqqp
pp
pp
p
p
pp
1
1'
00
11
0
'qpqp
rqprpqp
rqprqrp
qpqp
qpqp
qpqp
qpqp
''
'
''
'24 Variantes de la condicional
25 Variantes de la bicondicional
26 Contradicción
27 Leyes de identidad
28 Disyunción exclusiva
Ejercicio
• Demostrar que las proposiciones siguientes son lógicamente equivalentes, usando tautologías y/o equivalencias
rqprqrp
Ejercicio
rqqprppprqp
• Demostrar que las proposiciones siguientes son lógicamente equivalentes, usando tautologías y/o equivalencias
Argumentos válidos y no válidos
• Considere lo siguiente:Las aves son ovíparas. El gorrión es ave. Por lo tanto; el gorrión
es ovíparo
p1: Las aves son ovíparas
p2:El gorrión es ave
q: El gorrión es ovíparoqpp 21
Como p1 =1, p2 =1, q=1, entonces se trata de un argumento válido ya que:
1
11
111
111
Caso en el que el argumento es válido y tanto las hipótesis y la conclusión son verdaderas
• Considere lo siguiente:Las mujeres son jóvenes. Miss universo es mujer. Por lo tanto;
Miss universo es joven
p1: Las mujeres son jóvenes
p2:Miss universo es mujer
q: Miss universo es jovenqpp 21
Tenemos que p1 =0, p2 =1, q=1, Y se trata de un argumento válido ya que:
1
10
110
110
Caso en el que el argumento es válido cuando todas o algunas de las hipótesis son falsas, y la conclusión es verdadera
• Considere lo siguiente:Los alemanes son de raza negra. George Bush es de raza negra.
Por lo tanto George Bush es alemán
p1: Los alemanes son de raza negra
p2:George Bush es de raza negra
q: George Bush es alemanqpp 21
Aunque p1 =0, p2 =0, q=0, se trata de un argumento válido ya que:
1
00
000
000
Caso en el que el argumento es válido y las hipótesis y la conclusión son falsas
• Considere lo siguiente:c2=a2+b2. c2=a2+b2 se aplica en triángulos rectángulos. Por lo
tanto, es la segunda ley de Newton
p1: c2=a2+b2
p2: c2=a2+b2 se aplica en triángulos rectángulos
q: es la segunda ley de Newton qpp 21
Podemos observar que p1 =1, p2 =1, q=0Y se trata de un se trata de un argumentoNO válido ya que:
0
01
011
011
Un argumento no se considera válido si está integrado por hipótesis verdaderas y conclusión falsa
• La forma más fácil de determinar si un argumento es válido es por la tabla de verdad
• Si se trata de una tautología el argumento es válido, en caso contrario el argumento es inválido