TAUTOLOGÍA .

Matemática y Lógica

Ing. Julio Núñez Cheng

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Sesión Nº 12

TAUTOLOGÍA

Es toda proposición simple o compuesta, cuyo valor de verdad es

siempre verdadero.

Ejemplo: La tabla se representa:

[ ( ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q ] →→→→ ∼∼∼∼p

p q ( ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ) [ ( ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q ] →→→→ ~p V V V F V F V F F F V F F V V F V V F F V V V V

CONTRADICCIÓN: Es toda proposición que resulta siempre falsa, para

todas las combinaciones de sus valores de verdad de sus

componentes.

Ejemplo: Hallar la tabla de verdad

[ ( p ∧∧∧∧ q ) ∨∨∨∨ q ] ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q

CONTINGENCIA: Cuando la proposición compuesta contiene al menos

uno verdadero o al menos uno falso.

COMBINACIONES DE PROPOSICIONES: Cuando se tienen dos

proposiciones, se pueden obtener cuatro combinaciones posibles

(22) y cuando se tienen tres proposiciones, se obtiene ocho

combinaciones (23) y así sucesivamente, tal como se muestra:

p q ( p ∧∧∧∧ q ) [ ( p ∧∧∧∧ q ) ∨∨∨∨ q ] ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q V V V V F F V F F F F V F V F V F F F F F F F V



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Nº PROPOSICIONES COMBINACIONES 2 22 = 4 3 23 = 8 4 24 = 16 5 25 = 32 6 26 = 64

El exponente representa el número de proposiciones

Para el caso de tres proposiciones, se tiene:

PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES: Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se

denota: p q

Ejemplo: Sea p q, y su tabla de verdad:

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

Ahora bien, si analizamos la proposición ~ p ∨∨∨∨ q, su tabla de verdad resulta:

p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F



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p q ~ p ∨∨∨∨ q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

Como vemos, luego de realizar las tablas de valor veritativo encontramos que ambas proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, su tabla de verdad es una tautología y en este caso particular lo simbolizamos:

(p q) (~ p ∨∨∨∨ q)

Formulamos la siguiente pregunta:

¿Cuándo dos expresiones son lógicamente equivalentes?

Las afirmaciones que son lógicamente equivalentes, pueden sustituirse unas con otras sin afectar sus valores de verdad.

Puesto que las equivalencias lógicas son tautologías, pueden transformarse en esquemas y utilizarse como tales.

Consideremos dos afirmaciones:

� La sesión de clase está bien escrita y bien documentada. � La sesión de clase está bien documentada y bien escrita.

Las dos oraciones anteriores son lógicamente equivalentes.

� p: La sesión de clase está bien escrita. � q: La sesión de clase está bien documentada.

( ) ( )p q q p∧ ⇔ ∧

Consideremos dos afirmaciones:

� No es verdad que pedro esté bien informado y sea honrado. � Pedro o no está bien informado o no es honrado.



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Las dos oraciones anteriores son lógicamente equivalentes.

� p: Pedro está bien informado. � q: Pedro es honrado.

Se puede expresar como:

( ) ( )p q p q¬ ∧ ⇔ ¬ ∨¬

Leyes del Álgebra Proposicional.

Como se mencionó anteriormente, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas no importa la combinación de los valores veritativos de sus componentes, son tautologías o leyes lógicas. En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber:

Doble Negación

~ (~ p) ⇔⇔⇔⇔ p (se lee "no, no p, equivale a p")

Idempotencia

(p ∧∧∧∧ p) ⇔⇔⇔⇔ p

(p ∨∨∨∨ p) ⇔⇔⇔⇔ p

Conmutatividad

a) De la disyunción: (p ∨∨∨∨ q) ⇔⇔⇔⇔ (q ∨∨∨∨ p)

b) De la conjunción: (p ∧∧∧∧ q) ⇔⇔⇔⇔ (q ∧∧∧∧ p)

Asociatividad

a) De la disyunción: [(p ∨∨∨∨ q) ∨∨∨∨ r] ⇔⇔⇔⇔ [p ∨∨∨∨ (q ∨∨∨∨ r)]

b) De la conjunción: [(p ∧∧∧∧ q) ∧∧∧∧ r] ⇔⇔⇔⇔ [p ∧∧∧∧ (q ∧∧∧∧ r)]

Distributividad:

De la conjunción respecto de la disyunción:

Usar las tablas de verdad y

comprobar las tautologías



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[ ] [ ]( ) ( ) (p q r p q p r∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨

De la disyunción respecto de la conjunción:

[ ] [ ]( ) ( ) (p q r p q p r∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧

Leyes de De Morgan:

"La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones"

� ~ (p ∨∨∨∨ q) ⇔⇔⇔⇔ (~ p ∧∧∧∧ ~ q)

"La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones"

� ~ ( p ∧∧∧∧ q ) ⇔⇔⇔⇔ ( ~ p ∨∨∨∨ ~ q )

Ley del Tercio excluido.

� ( )p p V∨¬ ⇔

Ley de Contradicción.

� ( )p p F∧¬ ⇔

“Las equivalencias lógicas se utilizan en la simplificación de proposiciones

compuestas”.

IMPLICACIÓN: Es toda condicional que resulta siempre tautológica.

Ejemplo: Halla la tabla de verdad de: [(∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q] ⇒⇒⇒⇒ ∼∼∼∼p

p q ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ( ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q ⇒⇒⇒⇒ ∼∼∼∼p V V V F V F V F F F V F F V V F V V F F V V V V

Si: p →→→→ q es una tautología, se dice que p implica lógicamente a q y

se escribe: p ⇒⇒⇒⇒ q



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Como se puede observar su tabla de verdad es una tautología, por lo que

podemos afirmar que:

[(∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q] IMPLICA A ∼∼∼∼p

Es decir su tabla de verdad es tautológica.

Las implicaciones lógicas son razonamientos tautológicos.

AUTOEVALUACION

01. p ⇒⇒⇒⇒ (p ∨∨∨∨ q) LEY DE ADICIÓN

02. (p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ p LEY DE SIMPLIFICACIÓN

03. [(p →→→→ q) ∧∧∧∧ p] ⇒⇒⇒⇒ q LEY DEL MODUS PONENS

04. [ ( p →→→→ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q ] ⇒⇒⇒⇒ ∼∼∼∼p LEY DEL MODUS TOLLENS

05. [ ( p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼p ] ⇒⇒⇒⇒ q SILOGISMO DISYUNTIVO

06. [(p →→→→ q) ∧∧∧∧ (q→→→→r)] ⇒⇒⇒⇒ (p →→→→ r) LEY DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO

En general si: P implica a Q entonces su valor de verdad es

una tautología

Utilizar las tablas de verdad y comprobar estas tautologías



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AUTOEVALUCIÓN

A .Hallar la Tabla de Verdad de las proposiciones compuestas:

1) (p q) ∨∨∨∨ ∼∼∼∼ (p ∧∧∧∧ q)

2) ∼∼∼∼ (p ∧∧∧∧ q) (p ∨∨∨∨ q)

3) [p →→→→ ∼∼∼∼ (p ∨∨∨∨ q)]

4) (p ∧∧∧∧ ∼∼∼∼ q) →→→→ r

5) (p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ ∼∼∼∼ q

B) Transformar las siguientes proposiciones en condicionales:

� Todos los hombres son mortales y los peces son acuáticos.

� Sócrates fue un filósofo griego y Pelé un jugador de fútbol.

� El sol es el centro del sistema planetario solar y la luna es un satélite de la

tierra.

C) Transformar las siguientes proposiciones en bicondicionales: � Si 14 es número par, entonces es múltiplo de 2.

� O bien nueve es un cuadrado perfecto o bien es un número par.

� Si 9 + 8 = 17 , entonces 8 < 17

� O Lima es la capital del Perú o Roma está en Francia.

D) Transformar las siguientes proposiciones en disyuntivas exclusivas:

� Si Andrés se gradúa de Ingeniero, entonces estudiará Doctorado en Francia.

� Todos los hombres son mortales y los peces son acuáticos.

� El sol es el centro del sistema planetario solar y la luna es un satélite de la

tierra.

� Un número es par, si y sólo si es divisible entre 2.

� Si 14 es número par, entonces es múltiplo de 2.

Fin de la Sesión

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