TASAS RELACIONADAS

Se les llama así a los problemas en que intervienen intensidades de cambio, con respecto al tiempo, de variables relacionadas. Por ejemplo, cuando se llena una cisterna cilíndrica con agua su altura h y consecuentemente su volumen V aumenta con el tiempo o sea son

funciones del tiempo. Estas variables están relacionadas por la ecuación: V=π r2h donde r es el radio de la cisterna.

La razón de cambio con respecto al tiempo indica cuán rápido varía una magnitud.

Una razón de cambio negativa índica que la variable en consideración está disminuyendo y si es positiva indica que está aumentando.

Pasos para resolver un problema de tasas de cambio.

PASOS:

1. Definir las variables con información conocida y la variable cuya tasa ha de

determinarse. Si es posible, haga una figura de la situación que se plantea (si no se

da la figura)

2. Determinar una ecuación que relacione a las variables conocidas con la variable cuya

tasa ha de calcularse.

3. Derivar implícitamente, con respecto al tiempo, en la educación del numeral dos.

4. Sustituir en la ecuación obtenida en el paso tres todos los valores conocidos y despeje

la cantidad a determinar.

Ejercicio 1: El diámetro y la altura de un cilindro circular recto son, en un cierto instante

y respectivamente. Si el diámetro aumenta a razón de ¿Qué alteración de la altura mantendrá constante el volumen?

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Paso 1:

h: altura del cilindro

D: diámetro del cilindro

V: volumen del cilindro

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Ejercicio 2: Un auto A viaja hacia el oeste, a 50 mi/h y el auto B hacia el norte a 60 mi/h. Los dos se dirigen al cruce de dos carreteras. ¿A qué velocidad se acercan entre sí, cuando A está a 0.3 millas y B a 0.4 millas del cruce?

Solución:

Paso 1: Definición de variables

Sean: x= distancia de A a C

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y= distancia de B a C

z= distancia de A a B

Entonces

Ejercicio 3: Una artesa con las medidas mostradas en la figura posee extremos en forma de triángulos isósceles. Si se le echa agua a razón de 2 p3/min. ¿Cómo está subiendo el nivel cuando hay 1 pie de profundidad?

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Ejercicio 4: Una cámara de TV sigue desde el suelo el despegue vertical de un cohete, que

se produce de acuerdo ala ecuación de posición y=50 t 2 , donde y está dado en pies y t en segundos. La cámara está a 2000 pies del lugar de despegue. Hallar la razón de cambio del ángulo de elevación de la cámara 10 segundos después del despegue.Solución:

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Ejercicios de razones relacionadas (Para primera evaluación colectiva)

1) El radio de un círculo crece 2 cm. por minuto. Determine la razón de cambio del área

cuando . R/

2) Una cometa a sobre el suelo se mueve horizontalmente con una velocidad de

. ¿Con qué velocidad cambia el ángulo formado por el hilo y la horizontal, cuando se han soltado de hilo?

3) Sobre un montón cónico cae arena a razón de cúbicos por minuto. El diámetro de la base del cono es aproximadamente tres veces su altura. ¿A qué ritmo está cambiando

la altura del montón cuando su altura es 15 pies? R/ 4) Si una bola de nieve se derrite de tal forma que su área superficial disminuye con una tasa

de . Calcule la tasa con que se reduce el diámetro en el momento en que mide.

5) Un reflector en el piso ilumina una pared de un edificio a . de distancia. Si un hombre de de altura camina del reflector hacia el edificio a una velocidad de ¿Con qué velocidad disminuye la altura de su sombra en el edificio cuando está a de la

pared? R/

6) La altura de un triángulo aumenta con una velocidad de , mientras que su área lo

hace a una velocidad de . Calcule con qué velocidad aumenta la base del triángulo cuando su altura es y el área es .

7) Un hombre camina por hora hacia la base de una torre que tiene de altura. ¿Con qué rapidez se acerca a la cima de la torre cuando su distancia de la base es ?

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8) Un corredor entrena en una pista circular de de radio, a una velocidad constante de

. Su amigo está parado a del centro de la pista. ¿Con qué velocidad cambia

la distancia entre ambos cuando se encuentran a 200 metros? R/

9) Una placa circular de metal se dilata por el calor, de manera que su radio aumenta con

una rapidez de . ¿Con qué rapidez aumenta el área cuando el radio es de

10) Uno de los extremos de una escalera de se apoya contra una pared vertical levantada en un piso horizontal. Suponga que se empuja el pie de la escalera alejándola

de la pared a razón de , determine:

a) ¿Con qué velocidad baja la extremidad superior de la escalera cuando su pie dista de la pared?

b) ¿Cuándo se moverán con la misma velocidad las dos extremidades de la escalera?

c) ¿Cuándo baja la extremidad superior de la escalera a razón de ?

11) El radio de la base de cierto cono aumenta a razón de y la altura disminuye a razón

de ¿Cómo varía el área total del cono cuando el radio mide y la altura mide ?

12) El gas de un globo esférico se escapa a razón de . En el instante en que el radio es calcule:

a) ¿Con qué rapidez disminuye el radio? R/

b) ¿Con qué rapidez disminuye el área de la superficie? R/

13) El volumen de un cubo está creciendo a razón de . ¿Qué tan rápido está creciendo la superficie lateral en el momento en que la arista del cubo mide ?

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