Tarea1 Mate
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Transcript of Tarea1 Mate
Dada la transformación de coordenadas
x=12(u2−v2)
y=uv
z=z
a) Hallar los vectores tangentes
Para construir los vectores tangentes se tiene que construir el vector r
r=x i+ y j+z k
Substituyendo se tiene
r=12(u2−v2) i+uv j+ z k
Los vectores tangentes son
∂ r∂u
;∂ r∂ v
;∂ r∂ z
Obteniendo la parcial de cada término se tiene lo siguiente:
∂ r∂u
=12
(2u ) dudu
i+v j=u i+v j
∂ r∂ v
=−12
(2v ) dvdv
i+v j=−v i+u j
∂ r∂ z
= k
b) Construir los factores de escala
Los factores de escala se construyen como sigue:
|∂r∂u|=√u2+v2
h1=√u2+v2
|∂r∂ v |=√v2+u2
h2=√v2+u2
|∂ r∂ z|=√1
h3=1
c) Los vectores unitarios y mostrar que son normales
e1=1h1
∂ r∂u
= 1
√u2+v2(u i+v j)
e2=1h2
∂ r∂ v
= 1
√v2+u2(−v i+u j)
e3=1h3
∂ r∂ z
=1 k
Demostrar que son normales
Se tienen que cumplir las siguientes condiciones:
e1∙ e2=0
e1∙ e2=
u i
√u2+v2∗−v i
√v2+u2+
v j
√u2+v2∗u j
√v2+u2
e1∙ e2=−uv
√u2+v2+ uv
√u2+v2=0
e1∙ e3=0
e1 ∙ e3=u i
√u2+v2∗0+ v j
√u2+v2∗0+ k∗0=0
e2∙ e3=0
e2∙ e3=−v i
√v2+u2∗0+ u j
√v2+u2∗0+ k∗0=0
Por lo tanto ya que todos los productos escalares son cero el sistema es normal.
d) Construir el d s2
d s2=h12du12+h22du22+h32d u32
d s2=√u2+v22du2+√v2+u22dv2+12dz2
d s2=(u¿¿2+v2)du2+(v2+u2 )dv2+dz2 ¿
e
e) Construir gij
gij=[u2+v2 0 00 v2+u2 00 0 1]
f) Construir el cuadrado de la velocidad
dsdt
2
=(u¿¿2+v2) dudt
2
+(v2+u2 ) dvdt
2
+ dzdt
2
¿
v2=(u¿¿2+v2) u2+(v2+u2 ) v2+ z2 ¿
Dado el sistema de cizalladura mostrado obtener:
1) Encontrar la transformación de coordenadas
Existen las siguientes relaciones:
OC=X
OD=Y
OA=BP=U
OB=AP=V
Consideremos el triangulo formado por OEC
Se tienen de aquí las siguientes relaciones geométricas
cos α=OCOE
OE= OCcos α
OE=OA+AE
OA=OE−AE
Obtengamos AE por medio del siguiente triangulo formado por PAE
Por la ley de senos se tiene:
AEsen β
= APsen (90+α )
sen (90+α )=cosα
AEsen β
= APcosα
AE= sen β∗APcos α
Substituyendo el valor de AE y OE
OA= OCcos α
− sen β∗APcos α
De acuerdo a las relaciones que establecimos en un principio se tiene:
U= Xcos α
−V∗sen βcosα
Ahora partiremos del triángulo formado por ODF
Se tienen de aquí las siguientes relaciones geométricas
cos β=ODOF
OF= ODcos β
OF=OB+BF
OB=OF−BF
Obtengamos BF por medio del siguiente triangulo formado por BFP
BFsen α
= BPsen 90+β
Donde sen90+β=cos β
BFsen α
= BPCOSβ
BF=BPsenαCOSβ
Substituyendo los valores de BF y OF se tiene lo siguiente
OB= ODcos β
−BPsenαCOSβ
Por las relaciones establecidas al principio se tiene que:
V= Ycos β
−U∗sen αCOSβ
La transformación de coordenadas para el sistema queda como sigue:
U= Xcos α
−V∗sen βcosα
V= Ycos β
−U∗sen αCOSβ
Ahora substituyendo U en V y viceversa se tiene:
U= Xcos α(1−tanα∗tan β)
− Y∗tan βcos α(1−tanα∗tan β )
V= Ycos β (1−tanα∗tan β)
− X∗tanαcos β (1−tanα∗tan β )
La transformación de coordenadas inversa es
X=U∗cosα+V∗sen β
Y=V∗cos β+U∗senα
a) Hallar los vectores tangentes
El vector r es
r=x i+ y j
r=(U∗cosα+V∗sen β ) i+(V∗cos β+U∗senα ) j
Los vectores tangentes son:
∂ r∂u
;∂ r∂ v
∂ r∂u
=cosα i+senα j
∂ r∂ v
=sen β i+cos β j
b) Hallar los factores de escala
h1=|∂ r∂u|=√(cos α )2+( senα )2=1
h2=|∂ r∂ v|=√ (sen β )2+(cos β )2=1
e1=1h1
∂ r∂u
=cosα i+senα j
e2=1h2
∂ r∂ v
=sen β i+cos β j
El producto ortogonal de e1⋅ e2
e1⋅ e2= (cosα∗sen β ) i+(senα∗cos β) j ≠0
d) Obtener d s2
d s2=h12du12+h22du22
d s2=du2+dv2
e) Construir gij
gij=[1 0
0 1]gij
f) Construir el cuadrado de la velocidad
dsdt
2
=dudt
2
+ dvdt
2
v2=u2+v2
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
Sección de Estudios de Posgrado e Investigación
ESIME Zacatenco
MATEMATICAS
Profesor:
Dr. Alcantara Montes Samuel
Alumno:
Piña Romero Adrián Renato
Tarea No. 1