9ª tarea de Habilidades Numéricas

Resolución de proporciones

En esta tarea aprenderemos a distinguir cuando dos cantidades varían en proporción directa o en proporción inversa y a escribirlas.

Para entenderlo mejor veamos un ejemplo;

Supongamos que vas a la tienda a comprar refrescos, pides que te vendan 3 refrescos y te cobran $ 24, si compras dos refrescos más obviamente pagarás más, si devuelves un refresco te cobrarán menos, eso en pocas palabras es una proporción directa, y se distingue muy fácilmente pues entre más crezca una variable la otra crece y entre más disminuya una variable la otra disminuye en la misma proporción, es decir una cantidad cambia al cambiar la otra.

Lo primero que haremos es aprender a escribir una proporción, se acomodan en dos filas teniendo cuidado que en la primera escribamos lo que conocemos y en la segunda fila lo que buscamos, también debemos acomodar cada cosa en su columna correspondiente, escribamos un ejemplo.

A) Si compramos 3 refrescos y nos cobran 24 pesos, ¿Cuánto pagaremos por 7 refrescos?

Refrescos Dinero

Como vemos si aumenta el número de refrescos debe de aumentar el dinero a pagar, podemos decir que es una proporción directa y se resuelve con una regla de tres simple directa.

3 refrescos 24pesos

7 refrescos X pesos

Se puede escribir de esta manera

Se lee 3 refrescos cuestan 24 pesos

Se lee 7 refrescos cuánto cuestan

pesosX

pesos

ref

ref 24

7

3 =Para poder ayudarnos a distinguir la proporción y ver si aumentan ambas o disminuyen ambas utilizaremos unas flechas en rojo que se acomodan como el ejemplo, aumentan refrescos de 3 a 7 aumenta el dinero de 24 a X

pesosX

pesos

ref

ref 24

7

3 =

pesosX

pesos

ref

ref 24

7

3 =

horas

hora

kmX

km

5.2

13 =

Regla de tres simple directa.

Para resolver problemas de regla de tres simple es necesario darle el arreglo que hemos estudiado antes, después del planteamiento del problema, como se muestra a continuación, tomemos el ejemplo A).

En una regla de tres se multiplican los valores que conocemos siempre el de abajo por el de arriba como muestran la flecha Roja y se divide por el que falta como marca la flecha verde.

ref

pesosrefX

3

247 ×=

Podemos eliminar refrescos y nos queda pesos, enseguida multiplicamos 7 por 24 y el resultado lo dividimos entre 3

3

168pesosX = pesosX 56= Como ves es muy simple, si ya tenemos el arreglo

B) Una persona camina 3 km en 1 hora, cuantos kilómetros caminará en 2.5 horas

Lo escribimos en forma de proporción

Como podemos ver si aumenta el número de horas caminando de 1 a 2.5 debe aumentar el número de kilómetros recorridos, por tanto es proporción directa y se resuelve con una regla de tres directa. Colocamos las flechas

En una regla de tres se multiplican los valores que conocemos siempre el de arriba por el de abajo como muestran la flecha Roja y se divide por el que falta como marca la flecha verde.

Hagamos unos ejercicios, escribamos el planteamiento, coloquemos las flechas, el tipo de proporción y el resultado

1) Si el kilogramo de aluminio cuesta $700, ¿cuánto pagaremos al comprar 32 kilogramos?

2) Un atleta recorre 1.5 km en 5 minutos, ¿Cuánto tardará en recorrer 12 km?

3 km 1 hora

X km 2.5 horas

horas

hora

kmX

km

5.2

13 =

hora

horaskmX

1

5.23 ×= 1

5.7 kmX =

kmX 5.7=

3) Cuando las legiones del ejército romano debían desplazarse hacia algún punto del Imperio —para imponer el orden o defender las fronteras— recorrían unos 35 km por día. Hay que tener en cuenta que casi todos los hombres viajaban a pie y cargando sus armas. ¿Cuántos días les tomaba a estos legionarios recorrer una distancia de 1050 km

4) Por tres horas de trabajo Alberto ha cobrado 600pesos ¿Cuánto cobrará por 8 horas?

5) 300gramos de queso cuestan 15.50 pesos ¿Cuántos gramos podré comprar con 200 pesos?

Ahora veamos cómo distinguir una proporción inversa, con un ejemplo nos será más fácil de visualizar.

La proporción inversa

“Si 3 albañiles se tardan 8 días en construir un cuarto¿Cuántos días se tardaran 12 albañiles?”

“Si voy en mi auto a 70 Km/h, tardo 40 minutos en llegar a mi casa,¿Cuánto tardaría si me voy a 30 Km/h?”

Usaremos la regla de 3 simple y el método de las flechas para reconocer cuando una proporción es directa o inversa y la forma en que estos problemas se resuelven.Veamos un ejemplo.

C) Tres albañiles levantan una barda en 2 días, ¿Cuánto tiempo tardarán Cinco albañiles?

Lo primero que haremos es plantear el problema como ya sabemos.

Podemos ver que si aumentamos el número de albañiles de 3 a 5 se tardarán menos tiempo en levantar la barda, se comporta al revés de las proporciones que habíamos estudiado, por tanto se escribe también al revés, si observas las flechas se colocan invertidas, pues mientras una aumenta los albañiles la otra disminuye los días

Lo acomodaríamos como sabemos

3 Albañiles 2 días

5 Albañiles X días

Podemos notar fácilmente que si voy con MENOS velocidad me voy a tardar MÁS en llegar a mi casa

Podemos notar fácilmente que MAS albañiles se tardarían MENOS tiempo en construir el cuarto

díasX

dias

albañiles

albañiles 2

5

3 =

Error grande no es proporción directa

Pero estaríamos cometiendo un gran error, pues diríamos que entre más albañiles se tardarían más tiempo y eso es incorrecto, debemos escribirlo al revés como se muestra a continuación.

Hagamos otro ejemplo.

D) Un automóvil se mueve a una velocidad de 108 km /h y tarda en recorrer una cierta distancia 20 minutos ¿Cuánto tardará en recorrer la misma distancia si viaja a 36 km/h?

Planteamos el problema.

Al escribir la proporción debemos colocarla invertida.

Escribimos la proporción

días

diasX

albañiles

albañiles

25

3 =

36 km/h 20 minutos

108 km/h X minutos

Como podemos ver si aumenta la velocidad de 36 a 108 se tardará menos tiempo o sea menos de 20 minutos, es una proporción inversa por tanto colocamos las flechas al revés

min20

min

/108

/36 X

hkm

hkm =Tenemos que colocar los minutos invertidos pues es una proporción inversa

albañiles

diasalbañilesX

5

23 ×=

diasX 2.1=

días

diasX

albañiles

albañiles

25

3 =

min20

min

/108

/36 X

hkm

hkm =

hkm

hkmX

/108

min20/63 ×= 108

min6720=X

min6.6=X

E) Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar cierta cantidad de arena ¿Cuántos viajes necesitará hacer para transportar la misma arena un camión que carga 5 toneladas?

Primero planteamos el problema.

Al escribir la proporción debemos colocarla invertida.

Resolvamos algunos ejercicios solo escribamos el planteamiento, coloquemos las flechas y el tipo de proporción

6) Tres obreros descargan un camión en 2 horas ¿Cuánto tardarán 2 obreros?

7) Un camión a 60 km/h tarda 40 minutos en hacer un recorrido ¿Cuánto tardará un coche a 180 km/h?

8) En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días ¿Para cuantos días habrá provisiones si llegan 35 niños?

Resolvamos los siguientes ejemplos, primero para acostumbrarnos al procedimiento.

9) 10)

11) 12)

3 toneladas 15 viajes

5 toneladas X viajes

Como podemos ver si aumentan las toneladas por camión de 3 a 5 se realizarán menos viajes o sea menos de 15 viajes, es una proporción inversa por tanto colocamos las flechas al revés

viajes

viajesX

toneladas

toneladas

155

3 =Tenemos que colocar los viajes invertidos pues es una proporción inversa

min

min10

80

30

Xkm

km =

horasX

horas

km

km 2

200

50 =

pesosX

pesos

gramos

gramos 50

80

400 =

horas

horasX

hkm

hkm

6/900

/300 =

toneladas

viajestoneladasX

5

153 ×= 5

45viajesX = viajesX 9=

13) 14)

Ahora resolvamos verdaderos ejercicios.

15) Si el kilogramo de aluminio cuesta $700, ¿cuánto pagaremos al comprar 32 kilogramos?

16) Tres obreros descargan un camión en 2 horas ¿Cuánto tardarán 2 obreros

17) Cuando las legiones del ejército romano debían desplazarse hacia algún punto del Imperio —para imponer el orden o defender las fronteras— recorrían unos 35 km por día. Hay que tener en cuenta que casi todos los hombres viajaban a pie y cargando sus armas. ¿Cuántos días les tomaba a estos legionarios recorrer una distancia de 1050 km

18) Si el kilogramo de cobre cuesta 3800 pesos ¿Cuánto costarán 350 gramos? (1kilogramos = 1000gramos)

19) 300gramos de queso cuestan $15.50 ¿Cuántos gramos podré comprar con $200?

20) Si el kilogramo de aguacate cuesta 30 pesos, ¿cuánto costarán 400 gramos? (1kilogramos = 1000gramos)

21) 22) Un camión a 60 km/h tarda 40 minutos en hacer un recorrido ¿Cuánto tardará un coche a 180 km/h?

22) Un atleta recorre 1.5 km en 5 minutos, ¿Cuánto recorrerá en un cuarto de hora?

23) En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días ¿Para cuantos días habrá provisiones si llegan 35 niños?

24) Cinco obreros hacen un trabajo en 8 horas ¿Cuánto tardarán 4 obreros?

25) Un atleta recorre 300m en 40 segundos ¿Cuánto recorrerá en 2 minutos?

26) Tres carpinteros hacen un mueble en 6 días, ¿Cuánto tiempo tardarán 2 carpinteros en hacer el mismo muebla?

27) Cinco pintores pintan una casa en 4 días ¿Cuántos pintores pintarán la misma casa en 10 días?

28) Un automóvil se mueve a 50 km/h, realiza un recorrido en 2 horas, ¿Cuánto tardará un automóvil que se mueve a 100 km/h?

29) Un carro recorre 120 km en dos horas ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas si se mueve con la misma rapidez?

30) El kilogramo de tomate cuesta 15 pesos, ¿Cuánto pagaré si compro 350 gramos?

horas

horasX

obreros

obreros

810

3 = horas

horasX

hkm

hkm

20/50

/10 =

13) 14)

Ahora resolvamos verdaderos ejercicios.

15) Si el kilogramo de aluminio cuesta $700, ¿cuánto pagaremos al comprar 32 kilogramos?

16) Tres obreros descargan un camión en 2 horas ¿Cuánto tardarán 2 obreros

17) Cuando las legiones del ejército romano debían desplazarse hacia algún punto del Imperio —para imponer el orden o defender las fronteras— recorrían unos 35 km por día. Hay que tener en cuenta que casi todos los hombres viajaban a pie y cargando sus armas. ¿Cuántos días les tomaba a estos legionarios recorrer una distancia de 1050 km

18) Si el kilogramo de cobre cuesta 3800 pesos ¿Cuánto costarán 350 gramos? (1kilogramos = 1000gramos)

19) 300gramos de queso cuestan $15.50 ¿Cuántos gramos podré comprar con $200?

20) Si el kilogramo de aguacate cuesta 30 pesos, ¿cuánto costarán 400 gramos? (1kilogramos = 1000gramos)

21) 22) Un camión a 60 km/h tarda 40 minutos en hacer un recorrido ¿Cuánto tardará un coche a 180 km/h?

22) Un atleta recorre 1.5 km en 5 minutos, ¿Cuánto recorrerá en un cuarto de hora?

23) En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días ¿Para cuantos días habrá provisiones si llegan 35 niños?

24) Cinco obreros hacen un trabajo en 8 horas ¿Cuánto tardarán 4 obreros?

25) Un atleta recorre 300m en 40 segundos ¿Cuánto recorrerá en 2 minutos?

26) Tres carpinteros hacen un mueble en 6 días, ¿Cuánto tiempo tardarán 2 carpinteros en hacer el mismo muebla?

27) Cinco pintores pintan una casa en 4 días ¿Cuántos pintores pintarán la misma casa en 10 días?

28) Un automóvil se mueve a 50 km/h, realiza un recorrido en 2 horas, ¿Cuánto tardará un automóvil que se mueve a 100 km/h?

29) Un carro recorre 120 km en dos horas ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas si se mueve con la misma rapidez?

30) El kilogramo de tomate cuesta 15 pesos, ¿Cuánto pagaré si compro 350 gramos?

horas

horasX

obreros

obreros

810

3 = horas

horasX

hkm

hkm

20/50

/10 =