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TAREA 1: COMPORTAMIENTO DEL SUELO

MEMORANDO GEOTCNICO Y SOLUCIN DE EJERCICIOS Lina Fernanda Llanos Lpez, Marzo 5 de 2013 Los siguientes ejercicios fueron desarrollados sobre la base de la teora de la resistencia al corte del suelo y del criterio de falla de Mohr Coulomb. En ellas se define la envolvente de falla o de Mohr como la lnea cuya ecuacin se presenta a continuacin: Donde se define el esfuerzo cortante () en funcin de la cohesin del suelo, del esfuerzo normal () y del ngulo de friccin interna del suelo. En todos los ejercicios la cohesin (c) fue tomada como cero, debido a que se trataba de suelos granulares. Haciendo uso del crculo de Mohr se calcularon la magnitud y orientacin de los esfuerzos principales, 1 y 3, la magnitud de los esfuerzos en un plano dado, los crculos de Mohr inicial y final a partir de los datos obtenidos en ensayos de corte directo y otros ensayos de resistencia al corte. La solucin de la mayora de problemas planteados se realiz haciendo uso del concepto del POLO, punto del crculo de Mohr a partir del cual es posible conocer el estado de esfuerzos normal y cortante en cualquier plano de inters. Este POLO se construy a partir de un estado de esfuerzos conocido y la orientacin de los esfuerzos dados. En aquellos casos en los que los datos de entrada correspondan a una condicin de falla, se dibujaba la envolvente de Mohr a partir del ngulo de friccin interna () del suelo y se ubicada sobre la envolvente la condicin de esfuerzos dados. En estos casos el crculo de Mohr fue encontrado trazando una perpendicular a la envolvente de Mohr desde el punto de falla dado, hasta que se interceptar con el eje de las abcisas. Una vez construido el crculo fue posible ubicar el POLO. En algunos casos el valor del ngulo de friccin fue asumido considerando la relacin que existe entre la densidad relativa (Dr) de la muestra y dicho parmetro de resistencia. Crculos de Mohr en trminos de los parmetros efectivos y totales fueron dibujados considerando lo siguiente: Esfuerzo vertical total -----------> Esfuerzo vertical efectivo -------> Presin de poros -----------------> Esfuerzo horizontal efectivo -----> Donde el peso unitario del suelo () fue especificado o calculado a partir de las relaciones de peso volumen dadas (como e, Gs, s, w, entre otras). Para el clculo de los esfuerzos efectivos horizontales (necesarios para conocer la condicin inicial de una muestra de suelo

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antes de la falla) se asumi y/o estim el valor de Ko (coeficiente de empuje en reposo) a partir de la siguiente relacin: Los detalles del desarrollo de cada ejercicio podrn ser encontrados en el respectivo numeral.

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1. Una arena suelta tiene los siguientes esfuerzos en un punto:

a) Dibuje el crculo de Mohr Para dibujar de Mohr se deben localizar los puntos: P1(100, -200) y P2 (1100,200). La unin de estos dos puntos define el dimetro del crculo de Mohr.

B

B (psf)

(psf) 3 1

= =

Lnea paralela a BB

POLO = ESFUERZOS PLANO HORIZONTAL (576.7,-538)

ESFUERZOS PLANO VERTICAL (576.7,-538)

C

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b) Ubique el polo con sus respectivas coordenadas Para ubicar el POLO es necesario trazar una paralela a BB (lnea magenta en la figura de arriba) desde el punto P2(1100,200), es decir a 55 con respecto a la horizontal, porque el plano ubicado en esa direccin es el plano sobre el que acta dicha pareja de esfuerzos. De la figura se obtiene que las coordenadas del POLO son (576.7,-538). c) Cul es la orientacin y magnitud de los esfuerzos principales? La magnitud de los esfuerzos principales se obtienen directamente del crculo de Mohr, y corresponden a los valores en los que el crculo intercepta el eje de abcisas. En este caso: 1 = 1138.6 psf -----> Esfuerzo principal mayor 3= 61.5 psf ----> Esfuerzo principal menor Las direcciones de estos esfuerzos se determinar trazando dos lneas desde el POLO hasta que se intercepten con el eje de las abcisas en los valores para 1 y 3. As, se obtiene que: d) Cules son los esfuerzos sobre los planos horizontal y vertical? Para conocer los esfuerzos que que actan en los planos horizontal y vertical se debe trazar una paralela a cada uno de esos planos desde el polo. Los esfuerzos que actan sobre dichos planos corresponden al intercepto de la paralela trazada desde el polo y el crculo de Mohr. A partir de la figura de la pgina 1 se obtienen los siguientes valores: Esfuerzos que actan en el plano vertical -----> (,) = (576.7,538) Esfuerzos que actan en el plano horizontal -----> (,) = (576.7,-538) (definidos, en este caso, por el POLO)

3 = 61.5 psf 1 = 1138.6 psf

= 46 = 44

y =576.7 psf

=90 x =576.7 psf =-538 psf

=538 psf

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e) Podra ser este un estado razonable de esfuerzos? Explique su respuesta. La condicin de esfuerzos encontrados en el punto corresponde a una condicin isotrpica, en la que los esfuerzos en todas las direcciones son iguales (como la que aparece en el ejercico 5). En este caso el estado de esfuerzos es un punto en la grfica de t vs s, pues el radio del crculo de Mohr en este caso sera cero. Este no es un estado de esfuerzos razonable o comn en la mecnica de suelos, y por la condicin a la que est sometida la muestra de suelo creera que se da en aquellos casos en los que los incrementos de esfuerzo efectivo horizontal (h) se da como consecuencia de las fuerzas geolgicas a grandes profundidades. En este tipo de casos el suelo est sometido a esfuerzos de confinamiento iguales aplicados en todas las direcciones pero no se da la falla. Desde el punto de vista geolgico la falla en el suelo slo se da cuando los esfuerzos 1 y 3 son diferentes y los tipos de fallamiento son de tipo inverso, normal o de rumbo. 2. Una arena saturada suelta tiene una relacin de vacos de 1.25 y una gravedad especfica de 2.76. Para un punto a 18 ft de profundidad, bajo un terreno horizontal: 2.1. Crculos de esfuerzos en parmetros efectivos y totales

* Clculo del peso unitario saturado de la arena Primero se procede a calcular el sat de la arena con los datos de e y Gs dados. El diagrama de fases para las condiciones del suelo dado es:

De la gravedad especficase puede calcular el s (peso unitario de las partculas slidas), as: ------> Sabemos que el w = 9.81 KN/m3. Entonces:

----> De este valor se puede obtener el Ws (peso de las partculas slidas) si supones que Vs es 1 m3 (volumen de los slidos), as: ---->

AGUA SLIDOS

Ww Ws WT

Vw Vs VT

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De la relacin de vacos, e, se sabe que: ---> Como Vs = 1 m3 , entonces el Vv = e = 1.25 m3 (volumen de vacos)

Como el suelo es saturado entonces el Vw = Vv = 1.25 m3. ---------------------> A partir del volumen del agua, Vw , es posible calcular el Ww as: ---->

--------------> Entonces, como los datos de WT y VT es posible calcular el sat: * Clculo de los esfuerzos efectivos y totales Los esfuerzos total y efectivo en un punto a 18 ft de profundidad seran:

VT = Vs + Vw = 1 + 1.25 = 2.25 m3

WT = Ws + Ww = 27.08 + 12.26 = 39.34 KN

Superficie sat = 17.5 KN

H = 18 ft = 5.54 m

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a) Esfuerzo vertical total ----> b) Esfuerzo vertical efectivo -----> c) Esfuerzo horizontal efectivo -----> Para efectos de este clculo se considerar que el suelo est en una condicin de reposo (pues no hay nada que lo est empujando, condicin pasiva, y el suelo tampoco est empujando, condicin activa): Entonces --------> Donde es el ngulo de friccin interna del material que se puede calcular a partir de la compacidad de la arena saturada. Este ngulo ser asumido de acuerdo con la relacin que existe entre l y la densidad relativa de las arenas. De acuerdo con la siguiente tabla el ngulo de friccin interna para un suelo arenoso suelto puede escoger entre 28 30 (Lambe, 1969). Para efectos de este ejercicio ser de 30 y la cohesin, c, ser cero porque se trata de un suelo granular. De esta manera ------> Tabla. Relacin en arenas entre la compacidad relativa con el ngulo de friccin interna. As el esfuerzo efectivo horizontal a 18 ft de altura sera correspondera a la mitad del esfuerzo efectivo vertical en ese punto:

El valor del esfuerzo efectivo total horizontal se calcul considerando que: h = h + u = h + w * H = 21.3 + (9.81 * 5.54) = 75.65 KPa

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* Crculos de esfuerzos efectivos y totales Con los valores de c, , h y v calculados y/o asumidos en el numeral anterior, se procede a graficar el crculo de esfuerzos en parmetros efectivos.

2.2. Cul es la magnitud de los esfuerzos efectivos y totales sobre un plano medido 35 con la horizontal, en el sentido contrario a las manecillas del reloj? * Primero: Se localiza el POLO en cada crculo (efectivo y total). Se traza desde

3 y '3 lneas paralelas al plano vertical porque en ese plano estn actuando los esfuerzos horizontales efectivo y total .

'3 '1 3 1 = (Kpa)

(Kpa) Efectivos Totales

U = 54.35

=35 1 , '1

3 , '3

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* Segundo: A partir del POLO se traza una lnea a 35 con respecto a la horizontal, y el punto en el que est lnea intercepte el crculo de Mohr corresponde a los esfuerzos normal y cortante que actan sobre un plano a 35 con respecto a la horizontal.

De la figura anterior se obtienen que los esfuerzos que acta sobre un plano inclinado 35 con respecto a la horizontal son:

(KPa)

(KPa)

Efectivos Totales

3 1 3 1 POLO

= POLO

(35, 35) (35, 35) = 2 = 2

EFECTIVOS (35, 35) = (35.59,10.03) KPa TOTALES (35, 35) = (89.97,10.03) KPa

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3. Una muestra de arena densa fue probada en un ensayo de corte directo con un esfuerzo normal de 3000 psf. El ngulo de friccin interna fue de 40: 3.1. Dibuje los crculos de Mohr inicial y final. Para esto se estimar los esfuerzos efectivos vertical y horizontal y el esfuerzo cortante en la falla a partir de las siguientes expresiones: Con n = 3000 psf = 'v y = 40 se obtiene: (Coeficiente de empuje en reposo) As se obtiene que: Esfuerzos efectivos iniciales ------> Para construir el crculo de Mohr final se calcula el valor del esfuerzo cortante en la falla (ff) a partir del esfuerzo normal aplicado y del ngulo de friccin interna de la siguiente manera: Donde la cohesin, c, es cero porque el suelo es una arena densa - material granular cuyo comportamiento es meramente friccionante. As entonces: Esfuerzos en la falla -------> 3.2. Ubique el polo con sus respectivas coordenadas, para ambos crculos. Para dibujar el POLO en el crculo inicial y final o de falla se procede de la siguiente manera: CRCULO INICIAL: Se traza una paralela al plano vertical desde el punto ('h,0) = (1071,0) porque este esfuerzo est actuando sobre el plano vertical. El punto en el que esta paralela intercepta el crculo de Mohr es el POLO. Las coordenadas de este punto, obtenidas de la figura que se presenta abajo, son (1071,0). CRCULO FINAL O DE FALLA: Se traza una lnea paralela al plano horizontal desde el punto de falla cuyas coordenadas son (ff ,ff ) = (3000,2517.3). La paralela se toma con respecto a la horizontal porque los esfuerzos en la falla actan sobre un plano horizontal definido en el

'3 = `h = 1071 psf ----> P1 : (1071,0) '1 = `V = 3000 psf ----> P2 : (3000,0)

ff = 3000 psf y ff = 2517.3psf ----> P3 : (3000,2517.3) Al graficar este punto de la envolvente de falla, se traza una perpendicular a la envolvente desde este punto. El intercepto de dicha lnea con el eje de las abcisas corresponde al radio del crculo de Mohr en la falla.

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ensayo de corte de directo. El punto en el que est lnea paralela intercepta el crculo de Mohr corresponde al POLO y sus coordenadas para este caso son (7224,2517.3). 3.3. Muestre las orientaciones de los esfuerzos principales inicial y final. Las orientaciones de los planos sobre los que actan los esfuerzos principales se determinando trazando dos lneas desde el POLO de cada crculo hasta encontrar el intercepto con el eje de las abcisas en '3 y '1. Los valores para la condicin inicial y final se obtuvieron de la figura de abajo:

(psf)

(psf) h v 3 1

= =

POLO final (7224,2517.3)

POLO inicial (1071,0)

(ff, ff) = (3000,2517.3)

c

Orientacin del plano sobre el que acta 1

=

Orientacin del plano sobre el que acta 3

1 (final) = 8397.8

Inicial Falla (final)

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En el estado inicial los esfuerzos actan de la siguiente manera: En este caso los esfuerzos principales 1 y 3 actan sobre el plano horizontal y vertical, respectivamente. En la condicin final o de falla los esfuerzos principales actan as: 4. Una muestra de arena densa fall en un plano de 35 con respecto a la horizontal (medido en el sentido de las manecillas del reloj), bajo un esfuerzo normal de 2000 psf. El ngulo de friccin interno de la arena fue 37. a) Dibuje el crculo de Mohr Para dibujar el crculo de Mohr se dibuja primero la envolvente de falla desde el origen (dado que la cohesin para la arena es cero) y con un ngulo de 37 con respecto a la horizontal. Posteriormente, se localiza el punto de falla cuyas coordenadas se calculan de la siguiente manera: Tomando ff = N = 2000 psf y = 37 se obtiene que:

Con las coordenadas del punto de falla (ff, ff) = (2000,1507.11) se define el radio del crculo de Mohr al trazar desde este punto una perpendicular a la envolvente que intercepte el eje de las abcisas. b) Ubique el polo con sus respectivas coordenadas El POLO se localiza trazando una lnea paralela al plano de falla desde el punto falla (ff, ff) = (2000,1507.11) hasta que se intercepte el crculo de Mohr. El plano de falla en este caso est a 35 con respecto a la horizontal (medido en el sentido de las manecillas del reloj). De la figura de abajo se obtiene que las coordenadas del POLO son (4940.3,-551.7).

v = 1 = 3000 psf h = 3 = 1071 psf

1 final= 8397.8 psf '3final = 1825.6 psf = 65 = 25

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c) Cul es la magnitud y orientacin de los esfuerzos principales? La magnitud de los esfuerzos principales es: 1 = 5022.7 psf ----> Esfuerzo principal mayor 3 = 1248.5 psf ----> Esfuerzo principal menor Estos esfuerzos actan de la siguiente manera:

3final =1248.5 psf

= 8 1 final= 5022.7 psf = 82 (psf)

(psf) 3 1 c

1 = 5022.7

3 = 1248.5

POLO (4940.3,-551.7)

Paralela al plano de falla (35 desde la horizontal

Orientacin de 1

Orientacin de 3

= =

=

Envolvente de Mohr

(ff , ff) = (2000,1507.11)

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5. Una muestra saturada es cortada de la siguiente manera: * Primero se aplica un esfuerzo normal isotrpico de 350 KPa en todas las direcciones (similar al inicio de un ensayo triaxial). Se permite el drenaje cuando este esfuerzo est siendo aplicado. * Luego se aplica un esfuerzo cortante en los planos horizontal y vertical, mientras el esfuerzo normal permanece constante (suponga que es posible este tipo de prueba). El drenaje se permite durante el corte. Los esfuerzos cortantes de falla son 186 KPa. * Las condiciones de esfuerzos iniciales y finales se muestran a continuacin: a) Cul es la orientacin de los planos de falla? Para saber cul es la orientacin de los planos de falla se procedi de la siguiente manera: - CRCULO DE MOHR: Se localizaron las dos parejas de esfuerzos finales (350,186) y (350, -186). El intercepto de la lnea que une estos dos puntos con el eje de las abcisas define el radio del crculo de Mohr. De esa manera se construye el crculo de Mohr correspondiente al estado final de esfuerzos. - ENVOLVENTE DE FALLA: Seguidamente se traz la envolvente de Mohr desde el origen (cohesin, c = 0, por ser una arena) y tangente al crculo de Mohr construido. As, se obtuvo que el ngulo de friccin interna de la muestra de suelo es 32. - ESFUERZOS EN LA FALLA: Posteriormente se traz una perpendicular a la envolvente de falla desde centro del crculo de Mohr, para conocer el valor de los esfuerzos sobre el plano de falla. - ORIENTACIN DE LOS PLANOS DE FALLA: Al trazar una lnea desde el punto de falla encontrado en el punto anterior, se obtuvo la orientacin de los planos de falla.

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b) Cules son los esfuerzos sobre el plano de falla? De la siguiente figura se obtiene que los esfuerzos sobre el plano de falla son (251.2,157.6). Adems, se obtiene que los esfuerzos principales en el momento de la falla corresponden 1 = 536 KPa y 3 = 164 KPa. 3 = 164 KPa

(350,186)

Envolvente de falla

3 = c (KPa) 1

(KPa)

(350,186)

3 = 536 KPa

= =

(ff,ff) = (251.2,157.6)

3 = 164 KPa

PLANO DE FALLA

1 = 536 KPa