trabajo de investigacion

trabajo de investigacionMatemtica Avanzada

Profesor:Ing. Castro Vidal RalAlumno:Portuguez Hilares Nhilton Alexander062936k

1. FUNCION TRIGONOMETRICA E INVERSA COMPLEJALas funciones trigonomtricas complejas deben ser tambin una generalizacin de las funciones reales correspondientes (seno y cosen). Sin embargo, nos encontramos con el problema de que las propiedades geomtricas del plano real y en particular la definicin de ngulo no se pueden extender intuitivamente al caso complejo. La generalizacin adecuada de las funciones seno y coseno se har, en este caso, a partir de las frmulas de Euler:

Conxreal.1. Sumando las dos expresiones anteriores obtenemos: 2. De aqu tenemoscosx=eix+eix/2.3. De la misma manera, pero restando las expresiones anteriores, obtenemos:De aqu tenemossenx=eixeix/2i.Estas dos expresiones simblicas que hemos visto para las funciones realescosxy senxs que se pueden generalizar a los complejos (ya que precisamente utilizan funciones complejas en la definicin).

Algunas propiedades importantes: Lafrmula dEulerse cumple tambin en los complejos:

conzC.

La frmula se cumple tambin en los complejos.

2. FUNCIN HIPERBOLICA INVERSA:

Sabiendo que la funcin logartmica es la inversa de la exponencial, y a la vista de las definiciones de las funciones trigonomtricas e hiperblicas, es fcil definir sus correspondientes funciones inversas. . Sin embargo, ya que se obtiene a partir de la frmula de Euler, en el mbito de los nmeros complejos no sucede el mismo. Por esta razn todas las funciones circulares e hiperblicas son dependientes de la funcin exponencial compleja.

1. INVESTIGAR APLICACIONES DE LA FUNCIONES ANALITICAS VINCULADAS A LAS EDP DE LAPLACE ,UTILIZAR EL CAMPO GRADIENTE PARA ESTABLECER: POTENCIAL COMPLEJO, FLUIDO IDEAL, FLUJO DE CALOR Y POTENCIAL ELECTROSTATICO

POTENCIAL COMPLEJO:

Para estos casos simples precedentes, y se encontraron resolviendo la ecuacin armnica, o por integracin simple de los valores conocidos de la velocidad. En general, la mejor forma de determinar y , es utilizando la teora de variable compleja y las transformaciones conformes.

Para ello el plano fsico (x, y) en el cual habamos representamos y , como familias ortogonales, lo transformamos en un plano base complejo: z = x + i y , z es ahora, un punto de este plano, si ahora definimos una funcin genrica del plano complejo, que llamamos potencial complejo como:

F puede describirse como una funcin de z, donde la parte real de F es, y la parte imaginaria .

En el espacio complejo as definido de F, las funciones y forman como vimos una red ortogonal. Es posible ahora pasar del plano z = x + iy de referencia a otro a travs de una transformacin, pero tal que conserve la naturaleza ortogonal de y . la transformacin entre estos planos referenciales puede quedar definida por una funcin:

Por ejemplo cuando transformamos un globo terrqueo en un mapa plano a travs de una transformacin Mercator, los paralelos y meridianos son ortogonales entre s tanto en la representacin esfrica como plana, lo mismo que se conserva para cada punto homnimo los valores de latitud y longitud, sin embargo las superficies de ambas representaciones del planeta Tierra se deforman y en particular ms hacia los polos y menos hacia el ecuador.

Estas apropiadas transformaciones que mantienen la naturaleza del potencial complejo original, se denominan Transformaciones Conformes. Escogiendo funciones apropiadas del tipo podemos obtener modelos de flujo en torno a formas complicadas si se conoce el patrn de flujo F(z) para una forma simple a travs de la descripcin del plano una vez obtenido .

Por ejemplo un cilindro circular en rotacin embestido por una corriente presenta un fenmeno de sustentacin positiva conocido como Efecto Magnus, la transformacin conforme de Joukowsky, nos permite obtener formas complicadas con aspecto de perfiles de gota arqueados y de cola afilada que presentan sustentacin, estas formas reciben el nombre de su descubridor Perfiles Joukowsky.

A diferencia de la transformacin Mercator, la transformacin Joukowsky de forma ms en las posiciones prximas al origen y menos hacia los extremos de los ejes, por tanto una circunferencia se deformar en un perfil, pero lejos del centro, las lneas de corriente casi no se deformarn es decir se mantienen las condiciones de la corriente lejos de la forma o en infinito.

En estos perfiles aerodinmicos las curvas superior e inferior que convergen en la cola afilada presentan la particularidad de tener tangentes coincidentes (o ngulo de salida de perfil de 0), a veces esta descripcin geomtrica se llama punto cuspidal. En general estos puntos llevan implcita una discontinuidad del flujo de escurrimiento que proviene de la regin superior e inferior del perfil, pero Joukowsky demostr que siempre existe una configuracin de escurrimiento para la cual el aire abandona la cola sin discontinuidad, y es la adaptacin del valor de la circulacin transformada.

Si el valor de la circulacin de base en el cilindro con efecto Magnus se ajusta a un valor especfico, la discontinuidad no se manifiesta despus de la transformacin. Este valor de circulacin ptima solamente ser funcin de la velocidad del flujo horizontal en infinito, y en los perfiles reales la velocidad de infinito ajusta automticamente la circulacin.

Para visualizar fsicamente el efecto Magnus, al cilindro circular se lo hace rotar sobre su eje y luego se hace embestir la corriente horizontal (o mover horizontalmente el cilindro), as generamos la circulacin fsica apoyados en la viscosidad, para los perfiles aerodinmicos reales la discontinuidad inicial de los escurrimientos sobre la parte superior e inferior del perfil antes de lograr la igualacin de los flujos, produce la estela parsita y en acuerdo con el teorema Kelvin Helzmoltz , la circulacin inversa compensadora en torno al perfil, (ya que si la circulacin era nula, ahora la sumatoria de la vorticidad de estela ms la circulacin tambin deber ser nula) as a diferencia de la sustentacin por efecto Magnus en un cilindro, el perfil no necesita rotar para generar sustentacin.

La profundizacin de estos aspectos nos llevara de pleno al terreno de las bases de la aerodinmica terica subsnica, cosa que nos apartara del propsito de estas notas, pero el alumno

Interesado puede profundizar estos interesantes temas con la bibliografa de referencia

FLUIDO IDEAL Es incompresible, su volumen no cambia al moverse. La densidad es constante para todos los elementos de fluido y para todos los tiempos.

La fuerza sobre un elemento de superficie , dentro del fluido es , donde p(x, y, z, t) es una funcin escalar denominada presin.Implicaciones de la condicin de incompresibilidad

El flujo (volumen por unidad de tiempo) a travs de un elemento de superficie es:

El flujo neto a travs de una superficie cerrada S que rodea un volumen V ser cero en el caso de un fluido incompresible

Como esto debe cumplirse para todos los elementos de fluido en todos los puntos del fluido.

Fuerzas sobre un elemento de fluido: Ecuaciones de EulerLa fuerza sobre una superficie cerrada S que rodea un volumen de fluido era (tercera propiedad del fluido ideal).

Entonces, si es continuo la fuerza neta por unidad de volumen debida a la presin ser .

Si sobre el fluido acta la fuerza de la gravedad (fuerza de volumen), la fuerza total sobre una partcula de fluido de volumen ser

Esta fuerza ser igual a la masa de la partcula de fluido (que se conserva) por su aceleracin

Las ecuaciones del movimiento del fluido ideal (denominadas ecuaciones de Euler) sera

Tenemos una ecuacin vectorial (o tres ecuaciones escalares) y una ecuacin escalar, las incgnitas son u, v,w, p.

FLUJO DE CALOR Y FLUJO POTENCIAL:Las condiciones necesarias que vamos a tomar en este caso son que el flujo considerado sea:

a.- Incompresible, = Cte, o bien si es un gas por ejemplo aire, el nmero de Mach M< 0.3, es decir la suposicin de flujo incompresible, cosa que es vlida para aerodinmica subsnica.

b.- Permanente, para todo el campo de flujo en estudio. De esto se desprende que, como la ecuacin diferencial de la continuidad era:

a partir de las condiciones a y b, deducimos entonces que:

c.- Irrotacional,

d.- Anlisis 2D o sea bidimensional. La restriccin a dos dimensiones, asegura un anlisis matemtico fcil de manejar, aunque el potencial de velocidad se puede definir para cualquier flujo irrotacional, incluso en 3D, el trmino se asocia en general a flujo incompresible irrotacional en dos dimensiones. Ejemplo: el flujo en torno a un cilindro infinito por una corriente que lo embiste puede ser estudiado con anlisis 2D, para el anlisis del flujo en torno a una esfera se requiere anlisis 3D.

2.2 Definicin de Potencial de Velocidades.

Aplicando las condiciones c y d junto con la definicin de rotacional, y llamando u y v a las componentes de la velocidad de la partcula en movimiento 2D:

Si para este campo de velocidades, podemos encontrar una funcin escalar que haga cumplir la condicin anterior, debera ser:

Es decir el campo de velocidades se puede tomar:

Esta condicin se cumple si es una funcin continua y derivable con continuidad. A tal campo escalar se lo llama Potencial del campo vectorial de velocidades inicial si es que existe, o Funcin Potencial,.

La aplicacin de la ecuacin diferencial de la continuidad dar:

lo que indica tambin que el campo escalar o Funcin Potencial es una funcin armnica, (recordamos que una funcin armnica es aquella que satisface para un campo escalar la ecuacin de Laplace ).

2.3 La Funcin Corriente.En flujo incompresible permanente, no pude fluir materia a travs de las lneas de corriente ya que por definicin las velocidades de las partculas son tangentes a ellas, o sea que se cumple con:

para toda trayectoria diferencial ds sobre la lnea de corriente, de la cual se deducen las ecuaciones de las lneas de corriente en este caso bi-dimensional segn vimos en el Mdulo 1, que para el caso 2D es:

Adems por lo indicado por la Ecuacin de Continuidad, entre dos lneas de corriente dadas circular un caudal nico. En la Fig 2.3.1 hemos representado dos lneas de corriente en flujo bi-dimensional, y dos curvas arbitrarias entre los puntos 1 y 2, es fcil ver que el caudal que atraviesa estas zonas entre las posiciones 1 y 2 es igual para ambas curvas, y su valor lo llamamos q12 =2 - 1, los valores de 2 y 1 son arbitrarios siempre que 2 - 1 = q12 es decir 2 y 1 son valores funcionales arbitrarios siempre que la diferencia sea el valor del caudal entre ambas lneas de corriente. En general a se la llama funcin corriente.

Cabe acotar que cada una de las curvas dibujadas, puede imaginarse como la directriz de una superficie cilndrica de generatrices paralelas al eje z, por lo cual la regin limitada entre las dos superficies , da lugar a un volumen cilndrico paralelo al eje z, como el flujo es incompresible, y por la ecuacin de continuidad, el caudal que pasa por la superficie 1-2 izquierda es igual al que pasa por la superficie 1-2 derecha o sea q12i = q12d, en lo cual hemos llamado q al caudal msico por unidad de profundidad z.

Con la anterior definicin no hay duda de que a las lneas de corriente las podemos caracterizar por funciones (x , y)= C y por tanto:

Como por la definicin de lnea de corriente bi-dimensional era a su vez:

Comparando ambos resultados,

Haciendo referencia a la figura, para el caudal a travs de cada porcin diferencial de la curva 1- 2, el pasaje a velocidad u por dy, aumenta el caudal, mientras que la componente v que pasa por dx lo disminuye, estos se puede observar en la vieta de la figura tendremos entonces:

Siendo 2 - 1 = q12 un valor constante, resulta evidente que 2 y 1 tambin lo son individualmente, y como estamos trabajando con flujo bi-dimensional y ambas funciones representan lneas de corriente, podemos deducir que siempre las funciones de corriente tendrn la forma (x,y) = C.

Otra forma ms matemtica de demostrar esto es a partir de la definicin de lnea de corriente bi dimensional podemos escribir: pero como se ve en la vieta de la figura 2.2.1 u es una funcin solamente de y , anlogamente v lo es nicamente de x por lo que podemos escribir a partir de:

Ya que la diferencia de las integrales anteriores ser una funcin de las variables combinadas x e y.

Ejemplo:Supongamos el caso particular de la distribucin para el campo de velocidades siguiente:

A su vez, por la condicin de irratotacionalidad, aplicado a este caso,

de donde deducimos por esta ltima condicin que es tambin una funcin armnica, ya que cumple con la ecuacin de Lapalace: .

2.4 Relacin entre el Potencial de Velocidad y la Funcin de Corriente.

Como de acuerdo a las definiciones anteriores resulta:

Estas dos ltimas expresiones se conocen como identidades de Cauchy Riemann . Como para ambas funciones segn vimos se cumple que

Con lo cual vemos que las tangentes son ortogonales ya que en el punto comn A las coordenadas de los puntos = c , y = k son idnticas y los segundos miembros de las ecuaciones anteriores son uno recproco del otro y con signo opuesto. O sea las lneas equipotencial y de corriente para un punto se cortan ortogonalmente, como A es arbitrario, concluimos que la totalidad de las lneas de ambas familias conforma una red ortogonal.

2.4 Propiedades de los flujos potenciales.Podemos definir las siguientes:

a.- Las familias = c , y = k son curvas ortogonales.b.- las ecuaciones:

Dan lugar a:

O sea que las funciones potencial y corriente deben satisfacer las condiciones de armonicidad, por tanto deben ser continuas, y derivables con continuidad.

c.- Como vimos, la ecuacin diferencial de la cantidad de movimiento, da lugar a la ecuacin de Bernuolli para lnea de corriente, es decir los lugares, = c la cumplen, y por ello es posible conociendo la malla o familia de = c determinar el campo de presiones.

d.- Como vimos la aplicacin del primer principio a un volumen de control que contenga un tubo de corriente, conduce a la ecuacin de Bernuolli, o sea que si se satisface para flujo potencial la ecuacin de cantidad de movimiento, tambin se satisface la de energa

e.- El segundo principio en ausencia de friccin y por tanto procesos irreversibles de trasmisin del calor, no agrega restricciones.

f.- Adems de ser armnicas las funciones de corriente y potencial de velocidades de un flujo potencial no deben violar las condiciones de pared si hay un obstculo. La condicin de obstculo es que sobre la superficie lmite, las velocidades normales deben ser nulas ya que el obstculo en si debe ser tomado como una lnea de corriente lmite al ser baado por una corriente, y no puede pasar flujo a travs de ella, no obstante no hay restriccin a la velocidad tangencial an sobre la pared ya que el flujo ideal no se adhiere a la pared, y aqu no se presenta el fenmeno de capa lmite.

Tome en cuenta que los flujos potenciales son una idealizacin matemtica cuyo rango de aplicacin con poco error, es la obtencin de los campos de velocidades y presiones en las proximidades de los objetos pero no en regiones tan prximas como el entorno de las capas lmites reales donde el error sera apreciable. Llamando con el subndice b a los puntos sobre un obstculo slido ser entonces

y a gran distancia del obstculo:

En las proximidades del obstculo, el campo de velocidades viene dado por: