8/18/2019 Tarea álgebra superior

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(q) Si  ab  ≡  0 (mód  m), entonces a  ≡ 0 (mód  m) y  b  ≡  0 (mód  m);(r) Si  a  ≡ 0 (mód  m) y  b  ≡ 0 (mód  m), entonces ab  ≡ 0 (mód  m);(s) Si (a, m) = (b, m), entonces a  ≡  b  (mód  m).

7. Diga para cuáles enteros positivos m  se cumplen las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta.

(a)   13 ≡ 5 (mód  m)(b)   10 ≡ 9 (mód  m)(c)   −7 ≡  6 (mód  m)

(d)   100 ≡ −5 (mód  m)8. (a) Supongamos que en este momento son las  10  de la mañana; ¿qué hora será dentro de  2500  horas? ¿quéhora fue hace 2500 horas?

(b) Si son las 6  de la noche; ¿qué hora fue hace 50  horas?(c) Si hoy es jueves; ¿qué d́ıa será dentro de 129 dı́as?(d) Si hoy es viernes; ¿qué d́ıa fue hace 1976 d́ıas?

9. Sea n  un entero positivo. Pruebe que

1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) ≡ 0 ( mód  n)

si y sólo si n  es impar.10. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de enteros forman un conjunto completo de representantes módulo 11?

(a)   {0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512}(b)   {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21}(c)   {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22}(d)   {0, 1, 2, 22, 23, ..., 29}(e)   {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

11. Encuentre un conjunto completo de representantes módulo 7  cuyos elementos son todos(a) impares;(b) pares;(c) primos.

¿Existe un conjunto completo de representantes módulo 7  cuyos elementos son todos cuadrados perfectos?12. Use el teorema de Fermat para encontrar el residuo cuando

(a)   29202 es dividido por 13;(b)   7171 es dividido por 17;(c)   31000000 es dividido por 19;(d)

  99

999999 es dividido por 23

.13. Use el teorema de Wilson para encontrar el residuo cuando

(a)   30! es dividido por 31;(b)   88! es dividido por 89;(c)   21! es dividido por 23;(d)   64! es dividido por 67;(e)   31!22!  es dividido por  11;

(f)   65!51!  es dividido por  17.14. Diga si las siguientes ecuaciones tienen solución, y si śı tienen solución dé todas las soluciones incongruentes

según el módulo:(a)   2x ≡  5 (mód 7);(b)   14x − 2 ≡  x  + 3 (mód 7);(c)   4x + 1 ≡ 1 − 5x (mód 3);

(d)   −9x + 2 ≡ 3x − 2 (mód 4);(e)   (2n + 1)x ≡ −7 (mód 9);(f)   (3n − 2)x + 5n ≡  0 (mód 9n − 9);

(g)   3x ≡  6 (mód 9);(h)   8x ≡  14 (mód 24);(i)   57x ≡ 208 (mód 4);(j)   3x + 1 ≡ 15x − 4 (mód 20);

(k)   362x ≡ 236 (mód 24);(l)   12345x ≡ 111 (mód 6);

(m)   980x ≡ 1500 (mód 1600);2

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(n)   128x ≡ 833 (mód 1001);(ñ)   6789783x ≡  2474010 (mód 28927591).

15. Construir congruencias lineales  ax  ≡  b  (mód 20) con ninguna solución, con 5  soluciones incongruentes módulo20 y con 13  soluciones incongruentes módulo 20.

16. (a) ¿Para qué valores  0  ≤  c <  30  la congruencia  12x  ≡  c  (mód 30)  tiene solución?. En el caso en el que hayasolución, ¿cuántas soluciones incongruentes módulo 30  tiene?

(b) ¿Para qué valores  0  ≤  c <  1001   la congruencia  154x  ≡  c (mód 1001)   tiene solución?. En el caso en el que

haya solución, ¿cuántas soluciones incongruentes módulo 1001 tiene?17. Un astrónomo sabe que un satélite orbita la Tierra en un perı́odo que es un múltiplo exacto de una hora y quees menor que un d́ıa. Si el astrónomo observa que el satélite completa 11  órbitas en un intervalo de tiempo quecomienza cuando un reloj (de  24  horas) marca las 0  horas de un dı́a dado y termina cuando el reloj marca las  17horas de otro d́ıa. ¿Cuánto dura el peŕıodo de órbita del satélite?

18. Demuestre que para cualesquiera  a, b  ∈  Z, si  p  es primo y  p     a, entonces la congruencia  ax  ≡  b  (mód  p)  tienesolución y todas las soluciones son congruentes módulo p.

19. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de congruencias.

(a)

  x ≡  4 (mód 6)x ≡  13 (mód 15)

  (b)

  x ≡  10 (mód 60)x ≡  80 (mód 350)

(c)   x ≡  2 (mód 910)

x ≡  93 (mód 1001)   (d)

2x ≡ 0 (mód 3)

3x ≡ 2 (mód 5)5x ≡ 4 (mód 7)

(e)

x ≡ 5 (mód 6)x ≡ 3 (mód 10)x ≡ 8 (mód 15)

(f )

x ≡ 2 (mód 9)x ≡ 8 (mód 15)x ≡ 10 (mód 25)

(g)

3x ≡ 2 (mód 4)4x ≡ 1 (mód 5)6x ≡ 3 (mód 9)

(h)

5x ≡ 3 (mód 7)2x ≡ 4 (mód 8)3x ≡ 6 (mód 9)

(h)

x ≡ 2 (mód 6)x ≡ 4 (mód 8)

x ≡ 2 (mód 14)x ≡ 14 (mód 15)

(i)

x ≡  7 (mód 9)x ≡  2 (mód 10)

x ≡  3 (mód 12)x ≡  6 (mód 15)

( j)

3x − 1 ≡  3 (mód 9)x + 1 ≡  0 (mód 6)2x ≡ 5x + 1 (mód 2)

(k)

2x ≡  1 (mód 7)x ≡  1 (mód 5)2x − 3 ≡  29 − 2x (mód 6)x + 3 ≡ 5x − 3 (mód 2)

20. Si mi ≥  1, para 1  ≤  i  ≤  k , demuestre que

x ≡  y  ( mód [m1, . . . , mk])   ⇐⇒

x ≡  y   ( mód  m1)x ≡  y   ( mód  m2)

......

x ≡  y   ( mód  mk).

21. Cuando los participantes de un desfile se alinearon de  4  en  4  sobraba una persona. Cuando se alinearon de 5  en5 sobraron dos y cuando se alinearon de 7  en  7  sobraron 3. ¿Cuántos participantes pudo haber habido?

22. La producción diaria de huevos en una granja es inferior a  75. Cierto d́ıa el recolector informa que la cantidad dehuevos recogida es tal que contada de tes en tres sobran  2, contados de cinco en cinco sobran  4  y contando desiete en siete sobran 5. El capataz dice que no es posible, ¿quién tiene razón?

23. Los hombres de cierto ej́ercito no pod́ıan ser divididos en grupos de 2, 3, 4, . . . , o 12, pues en cada caso sobraba unhombre; sin embargo, śı era posible dividirlos en  13  sin que sobrara ningún hombre. ¿Cuál es el menor númeroposible de hombres en el ejército?

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24. Una banda de  17   ladrones roba un gran saco de billetes. Tratan de repartir los billetes equitativamente, perosobran 3  billetes. Dos de los ladrones empiezan a pelear por el sobrante hasta que uno dispara al otro. El dinerose redistribuye, pero esta vez sobran 10 billetes. De nuevo empieza la pelea y otro ladrón resulta muerto. Cuandoel dinero se redistribuye, no sobra nada. ¿Cuál es la menor cantidad posible de billetes que los ladrones robaron?

25. Diga qué hora indica en este momento un reloj de manecillas si:(a) dentro de 29  horas marcaŕıa las 11  horas y (b) dentro de 100  horas marcaŕıa las 2  y 

(c) hace 50  horas marcaba las 6.26. Construya la tabla de la suma y el producto para Z2, Z3, Z4, Z5, Z8 y  Z10. ¿En cada caso encuentre los elementosinvertibles y los divisores de cero?

27. Usando las tablas de la suma y del producto en Z10, encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuacionesen Z10.(a)   x + 7 = 3;(b)   2x = 4;(c)   5x = 2;(d)   3x + 5 = 4.(e)   x2 = 6;(f)   x2 = 0.

28. Encuentre, si es posible, el inverso multiplicativo de(a)   7 en  Z13;

(b)   7 en  Z11;(c)   53 en  Z111;(d)   299 en  Z901;(e)   51 en  Z187;(f)   41 en  Z300.

29. Resolver las siguientes ecuaciones.(a)   7x = 10 en  Z13;(b)   3x + 2 = 15  en  Z13;(c)   299x + 20 = 17 en  Z901.

30. Sea m > 3  un número compuesto. Demuestre que un elemento  a  de  Zm  es divisor de cero si y sólo si (a, m) >  1.31. Sea  m  un número entero con  m >  0. Demuestre que un elemento de  Zm  es divisor de cero si y sólo si no tiene

inverso multiplicativo.32. Demostrar que Zm  es dominio entero si y sólo si Zm  es campo.

33. Demostrar que si para alguna ecuación  ax  =   b  en  Zm  tiene más de una solución, esto es, existen  x0, x1   ∈  Zm,x0  = x1, que son solución de la ecuación, entonces m  es compuesto.

34. Sea m  un número entero con m > 0. Para a, b ∈  Zm, definimos la operación •  como sigue:

a • b = máx(a, b).

Explique por qué la operación •  no está bien definida.35. Sea m  un número entero con m > 0, y sea a  ∈  Zm. Decimos que a  es  par  en  Zm  si  a  es un número entero par.

(a) Encuentre enteros  a  y  b  tales que  a  =   b  en  Z9  donde  a  es un entero par pero  b  no lo es. Concluya que elconcepto de paridad no está bien definido.

(b) Si  m  es par, muestre que el concepto de paridad está bien definido en Zm.

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