Tarea Algebra III

lgebra IIIEcuacin de clase

JUAN CARLOS GIRN ROJASescuela de matemtica

o(G) = aAZ(G)

[G : N(a)] + o(Z(G))

Donde A es un conjunto en G formado por todos los representantes declase.

Conceptos Importantes

Obs: Al cardinal del conjunto B lo denotaremos como #(B)

Definicin a, b G, entonces b se dice que es un conjugado de a en G siexiste un elemento g G tal que b = g1ag.

Escribiremos a b y nos referiremos a esta relacin como conjugacin.

Lema La conjugacin es una relacin de equivalencia sobre G.1)a a2)a b implica b a3)a b y c b implica a c

Demostracin propuesta1)e G | a = e1ae a a.2) Si a b x G | b = x1ax donde xbx1 = a y = x1 G |y1by = a b a.3) Si a b y b c x, y G | b = x1ax y c = y1by dondec = y1x1axy c = (xy)1a(xy) v = xy G | c = v1av a c.

Para a G, sea C(a) = {y G | a y}. C(a), la clase de esquivalenciade a en G respecto de , se llama usualmente clase de conjugados de a en G,

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escuela de matemtica

consiste en el conjunto de todos los distintos elementos de la forma x1axcuando x toma valores en G, esto es;

C(a) = {y G | a y} = {x1ax | x G}

Las clases de equivalencia constituye una particin de G, en el sentidosiguiente : son no vacas, disjuntas de a pares, y su unin es G.

Definicin Si a G, entonces N(a), el normalizador de a en G, es el con-junto N(a) = {x G | xa = ax}

N(a) consiste precisamente de aquellos elementos de G que conmutancon a.

Lema N(a) es un subgrupo de G.

Demostracin propuesta

Si x, y N(a) xa = ax y ya = ay, de donde (xy)a = x(ya) = x(ay) =(xa)y = (ax)y xya = axy, luego xy N(a).

Si x N(a) xa = ax, de donde x1a = x1ae = x1(ax)x1 =x1(xa)x1 = ax1 x1a = ax1, luego x1 N(a), con lo cual hemosdemostrado que N(a) es un subgrupo de G.

Teorema Si G es un grupo finito, entonces:

#(C(a)) = iN(a)(G) = [G : N(a)] =o(G)

o(N(a))

En otras palabras, el nmero de elementos conjugados de a en G es elndice del normalizador de a en G

Demostracin propuesta

Sea {N(a)x | x G} el conjunto de clases laterales a derecha yC(a) = {x

1ax | x G} definamos una aplicacin.

: {N(a)x | x G} C(a) = {x1ax | x G}N(a)x 7 (N(a)x) = x

1ax

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esta bien definida

N(a)x = N(a)y N(a)xy1 = N(a)

xy1 N(a) xy1a = axy1

y1ay = x1ax

(N(a)y) = (N(a)x)

es inyectiva

(N(a)y) = (N(a)x) x1ax = y1ay

axy1 = xy1a

xy1 N(a) N(a)xy

1 = N(a) N(a)x = N(a)y

es sobreyectiva

u C(a), v {N(a)x | x G} | u = (v)

u C(a) u = x1ax | x G

basta tomar v = N(a)x | x G u = x1ax = (N(a)x)

u = (N(a)x)

u = (v)

Estableciendo una biyeccin entre {N(a)x | x G} y C(a) = {x1ax |x G} esto implica que tienen el mismo cardinal, esto es:

#({N(a)x | x G}) = #(C(a))

De donde, si G es finito.

iN(a)(G) = [G : N(a)] =o(G)

o(N(a))= #({N(a)x | x G}) = #(C(a))

Corolario Sea G un grupo finito.

o(G) = aA

o(G)

o(N(a))

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Demostracin propuesta:

Usando el teorema, el corolario se deduce de inmediato. A la ecuacinen este corolario se le suele llamar ecuacin de clase de G.

G =aA

C(a) o(G) = aA

#(C(a)) = aA

o(G)

o(N(a))


Sublema a Z(G) si y slo si N(a) = G. Si G es finito, a Z(G) si yslo si o(N(a)) = o(G).


i)()N(a) G N(a) G.

()x G y a Z(G) xa = ax, x G x N(a), de dondeG N(a), por lo tanto N(a) = G.

ii)() De lo anterior a Z(G) si slo si N(a) = G o(N(a)) = o(G).

()o(N(a)) = o(G), y como N(a) G N(a) = G.

Mostraremos un resultado y con los resultados anteriores vamos a mos-trar de una nueva manera la llamada ecuacin de clase.

Si G es finito, a Z(G) si slo si N(a) = G

o(N(a)) = o(G) iN(a)(G) = [G : N(a)] =o(G)

o(N(a))= 1

Esto es, si a pertenece al centro de G, entonces el indice del normalizadorde a en G es 1, ahora reformulemos la ecuacin de clase.

o(G) = aA

[G : N(a)] = aAZ(G)

[G : N(a)] + aZ(G)

[G : N(a)]

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Donde

aZ(G)

[G : N(a)] = aZ(G)

1

Esto es, la cantidad de elementos del centro, luego

aZ(G)

[G : N(a)] = o(Z(G))

Ahora mostremos de una nueva manera la ecuacin de clase:

ECUACIN DE CLASE

o(G) = aAZ(G)

[G : N(a)] + o(Z(G))


Ejemplo Demostrar que si G no es abeliano y tiene orden p3 ( p es unnmero primo), entonces Z(G) es de orden p.


Puesto que Z(G) G y Z(G) 6= G, por el teorema de lagrange tenemosque o(Z(G)) = 1, p o p2, tenemos tres casos posibles, veamos:

i) Supongamos que o(Z(G)) = 1, como [G : N(a)] =o(G)

o(N(a))= p33a de

la ecuacin de clase tenemos que

aAZ(G)

[G : N(a)] o(G) o(Z(G)) = p3

aAZ(G)

p33a 6= o

De donde:

o(Z(G)) | p3 aAZ(G)

p33a o(Z(G)) 6= 1()

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ii) Supongamos que

o(Z(G)) = p2 o( GZ(G)

) = p

o( GZ(G)

) es primo G

Z(G)es cclico

G es abeliano

Lo cual () por la hiptesis.

Probaremos tambien este hecho, si GZ(G)

es cclico G es abeliano,donde Z(G) es el centro del grupo G

Por hiptesis GZ(G)

es cclico g G | u GZ(G)

, tenemos que

u = Z(G)gk para algun k Z.

Sean x, y G x Z(G)x y y Z(G)y dado que x = xe dondee Z(G) del mismo modo para y (e es el elemento identidad de G).

Luego r, s Z | x = z1gr y y = z2gs donde z1, z2 Z(G), tenemosque xy = z1grz2gs = yz, porque grgs = gr+s = gs+r = gsgr y que z1, z2conmutan con cualquier elemento de G ya que pertenecen al centro de G,de donde G es abeliano.

iii) La unica opcin posible es que o(Z(G)) = p.

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Habiamos obtenido como resultado:

T(x) =m

i=1

(n

j=1

jaij)wi =m

i=1

(n

j=1

aijj)wi =m

i=1

iwj = y

De aqu observamos quen

j=1

aijj = i

Hasta aqu hemos logrado demostrar que toda tranformacin lineal entreespacios vectoriales V y W con bases BV = {v1, v2, , vn} yBW = {w1,w2, ,wm} respectivamente puede ser expresada como

T(x) =m

i=1

(n

j=1

aijj)wi = y

De donde

a111 + a122 + + a1jj + + a1nn = 1 n

j=1

a1jj = 1

a211 + a222 + + a2jj + + a2nn = 2 n

j=1

a2jj = 2

entonces para cada i tenemos que:

ai11 + ai22 + + aijj + + ainn = i n

j=1

aijj = i

Pero manejar de esta forma la expresin resulta complicado y engorroso,para esto recurrimos a un ordenamiento llamado matriz.

Recordemos que un vector x V puede ser expresado como combina-cin lineal de los vectores de la base, tambien y W en este caso:

x = 1v1 + 2v2 + + 1v1 =n

j=1

jvj

y = 1w1 + 2w2 + + 1wm =n

i=1

iwi

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Ahora dada una base podemos expresar al vecto x como vector colum-na respecto a dicha base, de la misma manera y como sigue:

xBV =

12

...j...

n

888 888yBW =

12

...i...

m

Hay que notar que los valores que toma el vector columan depende de labase que usemos:

Si reordenamos nuestra expresin como el producto de dos matrices,tendriamos:

a11 a12 a1j a1na21 a22 a2j a2n

......

......

ai1 ai2 aij ain...

......

...

am1 am2 amj amn

12

...j...

n

=

12

... j...

n

Tambien tedriamos que:

a111 + a122 + + a1jj + + a1nn = 1 n

j=1

a1jj = 1

a211 + a222 + + a2jj + + a2nn = 2 n

j=1

a2jj = 2

entonces para cada i tenemos que:

ai11 + ai22 + + aijj + + ainn = i n

j=1

aijj = i

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De esta igualdad podemos concluir que a toda transformacin lineal sela puede caracterizar por una matriz, de la siguiente manera:

T(xBV) = AxBV = yBW , donde A = (aij)mn

Esto nos permite trabajar con matrices, como si de transformacioneslineales se trataran.

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