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Universidad de los Andes Departamento de Ingeniería Industrial Probabilidad y EstadísticaI (IIND2106) Profesor Coordinador: Mario Castillo Profesores: Hernando Mutis, Gonzalo Torres Instructores: Astrid Bernal, Carlos Castellanos, María Alejandra López, Julián Reyes y John Ríos. Primer Semestre 2014

TAREA5

Normas para la presentación de la Tarea

• La tarea debe realizarse en parejas de cualquier sección.

• La presente tarea puede realizarla a computador o a mano. Debe tener en cuenta que la presentación del informe debe ser de la misma calidad, ya que ésta va a ser tenida en cuenta a la hora de calificar.

• El informe debe ser presentado en hojas blancas, numeradas, impresión por ambos lados y en la parte superior de cada hoja se debe especificar el nombre y código de cada estudiante.

• La primera hoja de su taller debe contener el formato que se presenta en la siguiente página. Las tareas que no tengan este formato tendrán una penalización de cero punto cinco (0.5) sobre la nota de la tarea.

• Será responsabilidad de los integrantes del grupo verificar el contenido de la tarea antes de la entrega. Luego de entregado el documento, no se recibirán adiciones por motivos de problemas de impresión en fórmulas o ecuaciones. Porlotanto, si va a realizar su informe a computador, insértelas ecuaciones con el editor de ecuaciones 3.0 de Microsoft Word (ruta: insertar/objeto/Microsoft editor de ecuaciones3.0).

• Debe respetar el horario y el lugar de entrega de las tareas. Después de la fecha y hora límite, se darán quince (15) minutos adicionales para la entrega de la tarea, pero ésta se calificará sobre cuatro (4). Las tareas entregadas después de este plazo no serán recibidas y su calificación será de cero (0).

• Por ningún motivo la tarea será recibida por correo electrónico.

• El incumplimiento de alguna de las anteriores instrucciones tendrá un impacto negativo en la nota de la tarea.

• Cualquier sospecha de fraude será tratada de acuerdo con el reglamento de la Universidad.

Forma de entrega

• El informe de la tarea debe ser colgado en el link habilitado en Sicua Plus, antes de la fecha límite de entrega. Por lo tanto, si usted realizó su tarea a mano, debe escanear el documento y subirlo al link correspondiente.

• Adicionalmente, debe dejar el documento físico en los casilleros de Ingeniería Industrial, en el séptimo piso del ML, frente al ascensor, antes de la fecha límite de entrega.

Fecha de entrega La fecha límite de entrega es el viernes 09 de Mayo de 2014, antes de las 2:00 p.m.

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Integrante 1: Código: Sección: Integrante 2: Código: Sección:

Numeral Puntaje

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a. /5 b. /5 c. /2 d. /3

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a. /2 b. /6 c. /6 d. /3 e. /3

3 a. /4 b. /8 c. /8

4

a. /5 b. /5 c. /5 d. /5 e. /5 f. /5

5 /15

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PUNTO 1 – (15pts.)

La gerencia de Revenue Management de una importante aerolínea comercial del país está realizando un análisis sobre un nuevo vuelo que se lanzó al mercado hace2 meses. Este nuevo vuelo se ofrece una vez al día y tiene capacidad de transportar 200 pasajeros. El gerente de demanda está interesado en conocer cuál es la proporción dereservas canceladas, para lo cual le pide a dos especialistas de demanda (Juan y Natalia) que estimen este parámetro. Juan realizó un análisis de demanda y estimó que la proporción de reservas que son canceladas para un vuelo es del 15%. Mientras que Natalia, en un análisis similar estimó que la proporción de reservas que son canceladas para un vuelo es del 8%. Dada la diferencia entre los resultados de los dos especialistas, el gerente de demanda decide tomar una muestra aleatoria de 60 reservas y rechazará la afirmación de Juan si menos del 10% de las reservas cancela su vuelo. La afirmación de Juan es tomada como la hipótesis nula. Con base en la información anterior, resuelva los siguientes literales:

a. (5 pts.) ¿Cuál es la probabilidad de que el gerente rechace la afirmación de Juan siendo ésta la afirmación correcta?

b. (5pts) ¿Cuál es la probabilidad de que el gerente no rechace la afirmación de Juan siendo la afirmación de Natalia la correcta?

c. (2 pts.) ¿Cuál es la probabilidad de que el gerente rechace la afirmación de Juan siendo la afirmación de Natalia la correcta?

d. (3 pts.) Al tomar la muestra aleatoria de 60 reservas, el gerente observó que 8 pasajeros cancelaron la reserva. ¿A cuál de los dos especialistas debería creerle el gerente? Justifique su respuesta.

PUNTO 2 – (20 pts.)

Cierta compañía dedicada a la producción de automóviles está evaluando un nuevo sistema de frenado, el cual será instalado en una nueva marca de carro que se lanzará al mercado próximamente. La compañía busca asegurar que la distancia media en la que se detendrá esta nueva marca bajo condiciones controladas de velocidad será inferior a 60 metros.

Para probar esto, el ingeniero encargado de fabricar este nuevo sistema de frenado definió que la distancia en la que se detendrá un automóvil es una variable aleatoria normal con desviación estándar de 5 metros. Adicional a esto, el ingeniero encargado tomó una muestra aleatoria de 200 automóviles para tomar las distancias de frenado, bajo

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condiciones controladas de velocidad, para identificar si el sistema cumple con las especificaciones requeridas.

El ingeniero está considerando dos criterios de rechazo para evaluar este nuevo sistema y poder concluir si es el adecuado para esta nueva marca de carro:

Criterio 1: Rechazar Ho si 𝑋� ≤ 59.5 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 Criterio 2: Rechazar Ho si 𝑋� ≤ 59 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

Con base en la información anterior, responda los siguientes literales:

a. (2 pts.) especifique la hipótesis nula, alterna, el mejor estimador para el parámetro, y el estadístico de prueba a usar.

b. (6 pts.) Calcule el Error Tipo I, el Error Tipo II y la Potencia para la prueba planteada en el criterio 1. Asuma H1: 𝜇 = 58.5

c. (6 pts.) Calcule el Error Tipo I, el Error Tipo II y la Potencia para la prueba planteada en el criterio 2. Asuma H1: 𝜇 = 58.5

d. (3 pts.) Si el máximo Error Tipo I permitido es de 0.1, ¿cuál prueba debería escoger el ingeniero encargado?

e. (3 pts.) El ingeniero encargado tomó la muestra aleatoria de 200 carros y encontró que el promedio de la distancia de frenado de estos es de 59.2 metros. Según esto, ¿se podría asegurar que el nuevo sistema es adecuado para este tipo de carro que se lanzará?

PUNTO 3– (20 pts.)

En el laboratorio de cierta empresa se encuentran analizando el costo de producir un determinado compuesto químico con dos materiales diferentes, A y B. De información histórica, se ha observado que las cantidades, en gramos, que se utilizan para producir el compuesto con los materiales A y B, se pueden representar por medio de las variables aleatorias Normales X y Y, respectivamente, ambas con medias desconocidas y varianzas desconocidas pero iguales.

Adicionalmente, se sabe que el costo por gramo de los materiales es de 6 dólares para el material A y 8 dólares para el B. El director de la planta afirma que producir una unidad de compuesto químico cuesta 33 dólares. Para probar esto, se tomó una muestra aleatoria, de la cual se obtuvieron los siguientes resultados:

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Material A Material B Media 2.5 2.2

Desviación Estándar 0.2 0.31

Tamaño Muestra 12 18

Con base en esta información y considerando un nivel de significancia del 5%, resuelva los siguientes literales:

a. (4 pts.) Plantee la hipótesis nula y alterna para probar la afirmación del director.

b. (8 pts.) Identifique el estimador adecuado para el parámetro a evaluar. A partir de éste, construya el estadístico de prueba y especifique su distribución y parámetros. Adicionalmente indique la región crítica y el/los puntos(s) crítico(s). ¿Qué puede concluir sobre la afirmación del director? Justifique su respuesta.

El director de la planta estimó que la varianza de las cantidades, en gramos, de los materiales A y B son 𝜎𝐴2 = 0.05 y 𝜎𝐵2 = 0.10 respectivamente. Dado esto, él afirma que producir el compuesto con el material A es menos costoso que con el material B. Utilice un nivel de significancia del 5%.

c. (8 pts.) Plantee una prueba de hipótesis que le permita evaluar la afirmación del director. Para esto especifique la prueba de hipótesis nula y alterna, estadístico de prueba, región de rechazo y concluya.

Punto4 – (30 pts.) La compañía NJ dedicada a la comercialización de productos alimenticios cuenta con dos sucursales en la ciudad de Bogotá. De información histórica, se ha determinado que las ventas mensuales, en miles de dólares, de las sucursales de la compañía se pueden representar por medio de una variable X para la sucursal 1 y una variable aleatoria Y para la sucursal 2. Las variables aleatorias X y Y siguen una distribución Normal con media 𝜇𝑋 y 𝜇𝑌 y varianza 𝜎𝑋2 y 𝜎𝑌2 respectivamente. Con el fin de estimar el riesgo de sus inversiones, la junta directiva de la compañía ha tomado una muestra aleatoria de las ventas en las dos sucursales, obteniendo los siguientes resultados:

Sucursal 1 Sucursal 2 Media 3.7 3.3

Desviación 1.2 1.5 Tamaño 13 18

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Con base en esta información, resuelva los siguientes literales:

a. (5 pts.) Hasta el momento se asume que la sucursal 1 tiene una media de ventas de 3.9 miles de dólares. Plantee una prueba de hipótesis que le permita evaluar esta afirmación. Para esto especifique la prueba de hipótesis nula y alterna, estadístico de prueba, región de rechazo y concluya. Use un nivel de significancia del 1%.

b. (5 pts.) La junta directiva afirmó en su último comité que la desviación estándar de la sucursal 2 es inferior a 1.6 miles de dólares. Plantee una prueba de hipótesis que le permita evaluar esta afirmación. Para esto especifique la prueba de hipótesis nula y alterna, estadístico de prueba, región de rechazo y concluya. Use un nivel de significancia del 10%.

c. (5 pts.) La junta directiva asegura que la media de ventas de la sucursal 1 es mayor a la media de ventas de la sucursal 2 en 0.2 miles de millones. Plantee una prueba de hipótesis que le permita evaluar esta afirmación. Para esto especifique la prueba de hipótesis nula y alterna, estadístico de prueba, región de rechazo y concluya. Use un nivel de significancia del 5% y asuma varianzas iguales.

d. (5 pts.) La junta directiva esta interesada en conocer si existe diferencia en la

varianza delas ventas generadas por las dos sucursales�𝜎22

𝜎12� �. Plantee una

prueba de hipótesis que le permita evaluar esta afirmación. Para esto especifique la prueba de hipótesis nula y alterna, estadístico de prueba, región de rechazo y concluya. Use un nivel de significancia del 5%.

La compañía NJ ha llevado un registro histórico mes a mes para analizar cuál de las dos sucursales ha generado mayores ventas. La junta directiva está interesada en realizar un análisis sobre la proporción de meses en los que una sucursal genera más ventas. Para esto tomó una muestra aleatoria de 15 meses obteniendo que en 10 meses la sucursal 1 generó un mayor volumen de ventas que la sucursal 2.

e. (5 pts.) La junta especificó que el 60% de las veces la sucursal que genera mayores ingresos es la sucursal 1. Plantee una prueba de hipótesis que le permita evaluar esta afirmación. Para esto especifique la prueba de hipótesis nula y alterna, estadístico de prueba, región de rechazo y concluya. Use un nivel de significancia del 10%.

f. (5 pts.) Plantee una prueba de hipótesis que le permita evaluar si la proporción de meses que la sucursal 1 genera mayores ventas que en la sucursal 2 en los últimos 15 meses, es mayor que en los 30 meses anteriores a estos 15 meses. Se sabe que en los 30 meses anteriores la sucursal 1 generó mayores ventas que la

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sucursal 2 en 20 de ellos. Para esto especifique la prueba de hipótesis nula y alterna, estadístico de prueba, región de rechazo y concluya. Use un nivel de significancia del 10%.

Punto5 – (15 pts.) Un grupo de estudiantes de la universidad de los Andes ha decidido realizar un estudio sobre el tiempo de llegada de clientes a la taquilla de Transmilenio en horas pico. Para realizar este estudio, los estudiantes recolectaron una muestra aleatoria de 480 observaciones y se obtuvo que el tiempo promedio de llegada entre clientes es 20 segundos. Los resultados se encuentran en la tabla que se presenta a continuación.

Límite Inferior

Límite Superior Observaciones

0 10.23 190 10.23 13.26 44 13.26 20.46 73 20.46 28.45 55 28.45 36.46 32 36.46 44.35 21 44.35 56.74 22 56.74 68.25 11 68.25 80.43 4 80.43 inf(+) 3

Los estudiantes quieren contrastar la hipótesis de que el tiempo de llegada entre clientes a la taquilla de Transmilenio se distribuye de forma exponencial. Para ayudar a los estudiantes con el estudio, se debe construir una prueba de bondad de ajuste con el objetivo de contrastar la hipótesis de que el tiempo entre llegada de clientes se distribuye exponencial. ¿Qué puede concluir? Especifique la prueba de hipótesis, la región de rechazo y el estadístico de prueba. Utilice un nivel de significancia del 5%.