Tarea 4 (Circuitos I)
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Abstracto— En corriente continua, la potencia que absorbe
cualquier receptor es el producto de la tensión a la que se ve
sometido por la intensidad que lo recorre. Pero en corriente
alterna varía la tensión, por lo que también varía la intensidad, lo
que, como es lógico, origina también una variación en la potencia.
Además, en estos circuitos, la presencia de bobinas y
condensadores, hace que la energía sea absorbida y suministrada
varias veces, lo que también da lugar a variaciones en la potencia.
I. INTRODUCCIÓN
n la teoría de Circuitos Eléctricos, éstos tipos de Potencias
son de gran importancia para el estudio detallado de cierto
tipo de circuitos, y sobre todo para poder diferenciar cómo se
comporta cada una de éstas potencias ya sea en un circuito con
corriente alterna o un circuito con corriente continua.
II. POTENCIA INSTANTÁNEA
A continuación, una gráfica de
Fig. 1 Diagrama de la Potencia Instantánea.
A. Definición:
La potencia eléctrica instantánea en un circuito AC está
dada por P=V*I donde V e I son los voltajes y corrientes
instantáneos. También se considera como la potencia en
cualquier instante de tiempo.
Es la proporción de energía absorbida por un elemento.*
B. Explicación:
Reiterando la definición anterior, se dice que la Potencia
Instantánea se calcula con la siguiente fórmula:
*Definición tomada de: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Th%C3%A9venin
P = V*I
Puesto que:
entonces la potencia instantánea en cualquier momento t se
puede expresar como:
Y usando la identidad trigonométrica
la potencia viene a ser:
Como dato, también podemos acotar que, promediando esta
potencia sobre un ciclo completo nos resulta la Potencia
Media, de la cual hablaremos más adelante.
Resumiendo un poco, a continuación se muestran las
fórmulas para hallar la P.I. en los diferentes tipos de circuitos:
P = v*i
Potencia Instantánea, Potencia Promedio,
Potencia Compleja y Valores Eficaces Andrés D. Santander, Estudiante de la FIE – ESPOCH
Cód. 325
E
2
III. POTENCIA PROMEDIO
Fig. 2 El valor promedio de P de una función periódica p(t) es el mismo sobre
cualquier periodo T.
A. Introducción:
Cuando se habla de un valor promedio de la potencia
instantánea, debe definirse con toda claridad el intervalo
durante el que se lleva a cabo el proceso de promedio.
B. Explicación:
La potencia de interés en los circuitos AC, es normalmente
la potencia media. Como la expresión para la potencia
instantánea
Está continuamente variando con el tiempo, el promedio
deberá obtenerse por integración. Promediando la función
sinusoidal sobre un periodo T, nos dará la potencia media. El
promedio del segundo término en la expresión de la potencia
de arriba es cero, puesto que es una función impar del tiempo
t. El promedio del primer término está dado por:
Puesto que los voltajes y corrientes rms están dados por:
la potencia media se puede expresar como
Pavg = VI cosφ
En conclusión, la potencia promedio es igual a un medio
del producto de la amplitud máxima del voltaje, por la
amplitud máxima de la corriente y el coseno de la diferencia
de los ángulos fase de la corriente y el voltaje; el sentido de la
diferencia es intrascendente.
C. Integral de la Potencia Promedio
El cálculo del valor de la potencia media de un voltaje
sinusoidal, implica la integral
El periodo T de la sinusoide se relaciona con la
frecuencia angular ω y el ángulo θ por:
Usando estas relaciones, la integral de arriba se puede
reformular de la forma:
La cual se puede mostrar usando la identidad
trigonométrica:
la cual reduce la integral al valor de ½, puesto que el
segundo término de la derecha de la ecuación, tiene sobre
un periodo completo una integral de cero.
IV. POTENCIA COMPLEJA
La potencia compleja por tanto la podemos expresar como
un número complejo.
La parte real de este número complejo es precisamente la
potencia media tomada por la resistencia de carga de la Z, y su
unidad de medida son los Watts.
Fig. 3 Circuito en serie.
Sea un circuito como el de la figura 3 en el que se quiere
determinar la potencia total absorbida por la carga constituida
por “R”,”XL” y “Xc” en serie, por ley de conservación de la
energía, la potencia total absorbida deberá ser la suma de las
tres potencias, la real y las reales ficticias.
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Se obtiene así un número complejo denominado Potencia
Compleja y se designa con la letra “ ”.
ó
Ésta última expresión sigue siendo análoga a la expresión
de la ley de Joule tomada como base y podría considerarse
desde un punto de vista frontal como tal, para circuitos de
corriente alternada sinusoidal.
De la primera expresión, para la representación gráfica de
esta potencia compleja, se necesita recurrir a un plano
complejo tal como se muestra a continuación:
Fig. 4 representación gráfica de la frecuencia compleja.
Se obtiene así un triángulo de potencias con el vector
“ ” como hipotenusa donde “P” y “Q” son los catetos. De la
expresión y considerando que “ ” la potencia compleja
puede adoptar la forma:
Simplificando y considerando que “V=Z*I” se tiene:
Donde S=V*I es el módulo de la potencia compleja “ ”, se
conoce como potencia aparente, su unidad está dada en Volt-
Amper y es el argumento de la potencia compleja y coincide
con el argumento de “ ”.
También a partir de considerar que " " la potencia
compleja puede ser obtenida del siguiente producto:
Se ha llegado así a una expresión para la obtención de la
potencia en corriente alterna, similar a la de la potencia para
corriente continua ya que se obtiene de multiplicar el fasor
diferencia de potencial “V” por el fasor corriente “I”, ambos
constantes por definición de fasor.
V. VALORES EFICACES
A. Valor Eficaz de una forma de Onda Periódica
Se define de manera arbitraria el valor eficaz en términos de
una forma de onda de corriente, si bien sería igualmente
posible elegir una tensión. El valor eficaz de cualquier
corriente periódica resulta igual al valor de la corriente directa
que, al fluir a través de una resistencia de R-ohm entrega la
misma potencia promedio a la resistencia que la corriente
periódica.
En otras palabras, se deja que una corriente periódica dada
fluya por la resistencia, se determina la potencia instantánea
, y luego se obtiene el valor promedio de sobre un
periodo; esto es la potencia promedio (activa). Se provoca
después que una corriente directa fluya por esta misma
resistencia y se ajusta el valor de la corriente directa hasta que
se obtenga el mismo valor de potencia promedio.
La magnitud resultante de la corriente directa es igual al valor
eficaz de la corriente periódica dada. Estas ideas se ilustran en
el siguiente gráfico:
Fig. 5 Si la resistencia recibe la misma potencia promedio en los incisos a y b, entonces el valor eficaz de i(t) es igual a Ief , y el valor eficaz de v(t) es igual
a Vef.
La expresión matemática general del valor eficaz de i(t) se
obtiene después con facilidad. La potencia promedio (activa)
que entrega la corriente periódica i(t) a la resistencia se
obtiene mediante
donde el periodo de i(t) es T. La potencia que entrega la
corriente directa corresponde a
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Igualando las expresiones de potencia y despejando Ief, se
obtiene:
B. Valor Eficaz (RMS) de una forma de onda senoidal.
El caso especial más importante es el de la forma de onda
senoidal. Seleccionar la corriente senoidal
que tiene un periodo
y sustituirla en la ecuación del anterior caso para obtener el
valor eficaz
De esta forma, el valor eficaz de una corriente senoidal es
una cantidad real independiente del ángulo de fase y
numéricamente igual a √ veces la amplitud de la
corriente. Por lo tanto, una corriente √ A, tiene
un valor eficaz de 1 A y entregará la misma potencia promedio
a cualquier resistencia, como lo hará una corriente directa de
1ª.
Debe observarse con cuidado que el factor √ que se
obtuvo como la proporción entre la amplitud de la corriente
periódica y el valor eficaz sólo se aplica cuando la función
periódica es senoidal.
VI. CONCLUSIONES
- Como conclusión general, podríamos decir que, en
corriente alterna varía la tensión, por lo que también
varía la intensidad, lo que, como es lógico, origina
también una variación en la potencia.
- Generalmente, se dice que la potencia media es el
promedio de la potencia instantánea, pero debe
definirse con toda claridad el intervalo durante el que
se lleva a cabo el proceso de promedio.
VII. REFERENCIAS
Internet: Potencia Instantánea
[1] http://www.geocities.ws/drjera/Clase9_CK2.pdf
[2] http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r59425.PDF
[3] http://www.tuveras.com/electrotecnia/potencias/potencia.htm
Potencia Promedio
[4] http://www2.ing.puc.cl/iee1122/potencia1.pdf [5] http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/powerac.html
[6] http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/powerac.html
Potencia Compleja
[7] http://es.wikipedia.org/wiki/Potencia_el%C3%A9ctrica
[8] http://www.inele.ufro.cl/apuntes/Redes_Electricas__Ing_Ejec_Electricidad_para_Tecnicos/16_-_Potencia_en_Circuitos_Trifasicos.pdf
[9] http://www.ceiucaweb.com.ar/documentos/1-ciclo-basico/2do-anio-2do-
cuatri/electro/practica/10-Electrotecnia_I
Valores Eficaces
[10] http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_eficaz
[11] http://www.uco.es/grupos/giie/cirweb/teoria/tema_01/tema_01_06.pdf
[12] http://www.ifent.org/lecciones/cap08/cap08-05.asp
Publicaciones: [13] J. B. Cano, F. T. Paramio, “Introducción al Análisis de Circuitos”,
Universidad Autónoma de Madrid, Madrid 2007.
Libros: [14] W. H. Hayt Jr, J. E. Kemmerly, S. M. Durbin, “Análisis de Circuitos
en Ingeniería”, Universidad Autónoma Metropolitana, 7a ed., México 2007.