Ricardo Alejos Clculo Tensorial

Tarea 04Ejercicio 1EnunciadoHalle el tensor transpuesto del tensor .

Ejercicio 3EnunciadoHalle la parte antisimtrica del tensor del problema anterior.

SolucinSabemos que el tensor transpuesto puede ser encontrado invirtiendo los ndices del tensor original, es decir:

SolucinLa parte antisimtrica de cualquier tensor encontrar mediante la expresin: ( ) se puede

Aplicando este principio del tensor transpuesto al tensor propuesto en el ejercicio, encontramos su transpuesto que es:

O en notacin de subndices para encontrar cada una de las componentes: ( )

Aplicado esto al tensor propuesto en el ejercicio encontramos que:

Ejercicio 2EnunciadoHalle la parte simtrica del tensor del problema anterior.

Ejercicio 4EnunciadoEs el tensor simtrico? es antisimtrico?

SolucinLa parte simtrica de cualquier tensor , es decir se puede encontrar mediante: ( ) ,

SolucinUna de las propiedades del producto directo es que ( ) , entonces la parte simtrica del tensor es: ( ) ( )

Y escrito en notacin de subndices para encontrar sus componentes es: ( )

Y de forma similar, la parte antisimtrica es: ( ) ( )

Aplicado al tensor propuesto en el ejercicio, encontramos que: 1

Ricardo Alejos Clculo Tensorial En general, ninguno de las dos partes es cero, de modo que este tensor no es simtrico ni antisimtrico. Se puede corroborar adems porque: ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ) Siendo su parte simtrica: ( )

Al aplicar la notacin de subndices obtenemos:

Ejercicio 5EnunciadoHalle la matriz que es la representacin cartesiana de la parte antisimtrica del tensor .

(

SolucinEl tensor tiene su representacin matricial de la siguiente forma: [ ] [ ]

Ejercicio 7EnunciadoHalle la matriz cartesiana que le corresponde a la parte antisimtrica del tensor cuya representacin matricial cartesiana es: [ ] [ ]

Note que para ste tensor su parte simtrica es cero, mientras que es igual ste a su parte antisimtrica: [ [ ] ] ([ ([ ] ] [ [ ] ) ] ) [ ]

SolucinLa parte antisimtrica del tensor ( [ ] ([ ] [ es: ) ])

Por lo tanto: ( ) [ ] ([ ] [ ])

Ejercicio 6EnunciadoDemuestre que la parte simtrica de un tensor antisimtrico es cero. [ ] [ ]

SolucinEn general, un tensor antisimtrico cumple la propiedad: en general

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Ejercicio 8EnunciadoDemuestre que si es un tensor cualquiera, entonces ( ) ( ) .

SolucinEn general un tensor antisimtrico que . Su traza es ( ) Pero note que para todo trmino de la traza ocurre que( )( ) ( )( )

se define tal

SolucinRecordemos que el tensor inverso a , es decir , es aquel que al hacer su composicin con da como resultado el tensor identidad :

Y esto slo es posible si ( )( ) podemos conclur entonces que: Al transponer los tensores de ambos lados de la igualdad obtenemos: ( ) ( )

, de modo que

Ejercicio 10Una propiedad de la composicin de tensores dicta que: ( )

EnunciadoDemuestre que ( ) ( ).

De modo que podemos reescribir la expresin anterior como: ( )

SolucinRecordemos que la traza de un tensor cualquiera se puede obtener mediante la expresin: ( ) Y adems que las componentes de una composicin de dos tensores cualquiera y se pueden obtener de la siguiente forma: ( )

Pero adems la transpuesta del tensor identidad es el tensor identidad mismo, es decir:

As bien: ( )

De modo que la traza de la composicin de tensores es: ( ) ( )

Note ahora que, por la definicin del tensor inverso, sta ltima expresin se cumple s y solo s: ( ) ( )

De igual forma, la traza de la composicin de tensores es: ( ) ( )

Ejercicio 9EnunciadoDemuestre que la traza de un tensor antisimtrico debe ser cero. 3

Aplicando la propiedad conmutativa del ltimo resultado y cambiando los ndices mudos por :

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SolucinNote que este resultado prueba entonces que efectivamente: ( ) ( ) Bajo un razonamiento similar al ejercicio anterior, deducimos que la expresin en trminos de una traza equivale a la expresin: ( )

Ejercicio 11EnunciadoQu significado tiene la expresin rencia: tiene que ver con una traza). ? (Suge-

Ejercicio 13EnunciadoDemuestre que la traza del producto directo de dos vectores es el producto entre ellos, es decir, ( ) .

Solucinsta expresin puede significar muchas cosas. Pero entre ellas podemos observar que pudiera tratarse de la traza de la composicin de tensores , denotada por: ( )

SolucinRecordemos que las componentes del producto directo pueden encontrarse mediante la expresin: ( )

Esto es posible verlo a partir de la expresin para obtener la traza de una composicin de tensores: ( ) ( )

As bien, la traza de este tensor es entonces: ( ) ( )

Note que esta misma expresin, al transponer obtenemos: ( ) ( ) ( )

Note que el resultado es la definicin del producto punto de los vectores y :

Por lo tanto: ( )

Que efectivamente equivale a decir que: ( )

Ejercicio 14 Ejercicio 12EnunciadoQu significado tiene la expresin rencia: tiene que ver con una traza) ? (Suge-

EnunciadoPara cualquier tensor , demuestre que . ( )

Solucinsta demostracin podemos hacerla rpidamente aplicando la definicin de un tensor transpuesto: ( ) 4 ( )

Ricardo Alejos Clculo Tensorial Aplicando esta definicin a la expresin propuesta obtenemos: ( ) Ahora, el tensor que: ( ) ( ) Y por lo tanto: ( ) ( )

, por ser antisimtrico, se cumple ( )

Ejercicio 16EnunciadoEscriba, en trminos de tensores, sin ndices, la expresin .

De modo que podemos reescribir la expresin anterior utilizando esta ltima propiedad: ( ) ( ) ( ( )( ) )( )

SolucinLa las componentes de una composicin de dos tensores cualquiera y se pueden escribir de la forma: ( )

Tenemos exactamente la misma expresin de ambos lados, pero una tiene signo contrario. La nica forma en que esto puede cumplirse es que ambas cantidades sean cero, y por lo tanto: ( )

Note que se parece bastante a la expresin dada en el enunciado, de tal forma que pudiramos escribirla de la forma: ( )

Ejercicio 15EnunciadoUtilizando el resultado del ejercicio anterior, de( ) ( ). muestre que

En cuanto a la delta de Kronecker presentada a la derecha, podemos sustituirla por el tensor identidad . Esto es posible ya que el tensor identidad tiene sus componentes dadas precisamente por la delta de Kronecker. As bien, la expresin puede ser escrita en trminos de tensores y sin ndices de la siguiente forma:

SolucinCualquier tensor puede ser escrito como la superposicin de su parte simtrica y su parte antisimtrica:

De modo que podemos escribir: ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( )

Ejercicio 17EnunciadoDemuestre que si el tensor entonces . tiene inverso y ,

Pero recordemos que en el ejercicio anterior encontramos que: ( ) 5

SolucinAntes de comenzar, aclaremos que cuando se escribe se trata de la composicin de un tensor por s mismo, es decir:

Ricardo Alejos Clculo Tensorial ( ) Ahora bien, si aplicamos la composicin de los dos miembros de la igualdad con el tensor obtendremos: Aplicando esta definicin a la parte antisimtrica del tensor de producto directo, obtenemos que: ( ( ( ) ) ) ( ( ( ( )) ) )

Por la definicin del tensor inverso, sabemos que un tensor en composicin con su inverso nos da el tensor identidad, es decir:

As bien, podemos reescribir la expresin anterior como

Haciendo provecho de la propiedad de antisimetra en los ndices de , hacemos una permutacin de ndices en el segundo trmino: ( ) ( )

Para el tensor identidad es posible aplicar que , de modo que ambas composiciones de la expresin anterior son iguales, y por lo tanto:

Y ahora cambiamos los ndices mudos del segundo trmino para que queden iguales a los del primero: ( ) ( )

Ejercicio 18EnunciadoDemuestre que ( ) ( ) .

Y ahora s podemos sumar ambos trminos y obtener: ( ) ( )

SolucinPrimero obtengamos la parte antisimtrica del tensor ( ), que es: ( ) ( )

Haciendo nuevamente uso de la propiedad de antisimetra de , cambiamos los ndices y para obtener: ( ) ( )

O lo que es lo mismo, pero en notacin de subndices: ( ) ( )

Que es lo mismo que: ( Y por lo tanto: ( ) ( ) ) ( )

Ahora, recordemos que el axial de un tensor antisimtrico est dado por la expresin 6

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Ejercicio 19EnunciadoSea el tensor que hace rotar un vector en el espacio, un ngulo en torno al eje . Es decir, la componente del vector no se ve modificada, en tanto que su proyeccin sobre el plano rota un ngulo sobre este mismo plano es el tensor ortogonal?

As bien, podemos escribir el tensor matricial de la siguiente forma: [ ] [ ]

en su forma

Ahora, un tensor es ortogonal cuando se cumple que [ ][ ] . Procedamos a hacer sta operacin: [ ] [ ]

SolucinObtengamos primero las componentes de este tensor mediante la expresin: ( ) [ ][ ]

Al hacer la multiplicacin de ambas matrices, obtenemos: [ ]

Para poder predecir el efecto de sobre los vectores de la base, note entonces que los nicos que se modificarn sern aquellos que corresponden a los ejes y , es decir, y . Note entonces que la accin del tensor sobre dichos vectores ser entonces: ( ) ( ) ( ) son:

Ahora, utilizando la identidad trigonomtrica pitagrica , obtenemos: [ ][ ] [ ] es

Ya con este resultado, podemos confirmar que ortogonal.

As bien, las componentes del tensor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ejercicio 20EnunciadoSea el tensor del ejercicio anterior. Calcule y muestre que la accin geomtrica de este tensor es rotar los vectores un ngulo de en torno al eje , como era de esperarse.

SolucinPodemos obtener las componentes del tensor que resulta de la composicin mediante: ( )

Esto equivale a realizar tambin la multiplicacin de la matriz [ ] por s misma, de modo que:

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Ricardo Alejos Clculo Tensorial [ [ ] [ ][ ] ] Tras aplicar las identidades trigonomtricas de ngulo doble para seno y coseno, obtenemos: [ ] [ ] As bien, la representacin matricial de Ahora, podemos aplicar este nuevo tensor a los vectores de la base cartesiana: ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Note que el conjunto de vectores formado por las filas de esta matriz todos tienen magnitud uno, y adems son ortogonales entre s. Para comprobar su ortogonalidad podemos aplicar la prueba del producto de esta matriz por su transpuesta, debera darnos la matriz identidad: [ ][ ] [ ][ ]

Note entonces, que el efecto del tensor sobre cualquier vector es rotarlo en un ngulo de en torno al eje .

Ejercicio 21EnunciadoSea un tensor tal que ( ) , ( ) y ( ) . Compruebe que las filas de la matriz cartesiana que le corresponde forman un conjunto ortonormal de vectores, demostrando as que el tensor es ortogonal.

[ ][ ]

[

]

Cumplidas las condiciones de magnitud unitaria y ortogonalidad entre los vectores fila del tensor, se dice entonces que ste es ortonormal.

Ejercicio 22EnunciadoCunto debe valer el determinante de un tensor ortogonal? Verifique que eso ocurre con el tensor del ejercicio anterior.

SolucinTeniendo el efecto del tensor sobre los vectores de la base, es posible calcular las componentes del tensor de la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) ( ) 8

SolucinEl determinante de la matriz de un tensor ortogonal debe valer (positivo o negativo). Verifiqumoslo entonces para el tensor del ejercicio anterior:

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