Tarea 3 VC

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Diego Gomez (201318237) Taller 3 de Variable Compleja Sección 59 3. Sea () . Como se sabe que , entonces al reemplazar z por , se tiene que: () ( ) () () . Esto se cumple cuando | |, que es lo mismo que || , o || √ . 5. a) Se tiene que *∑ () () + *∑ (() ) +. Como ( () ) es 0 cuando n es impar, sólo hay que considerar los números pares y se puede reemplazar n por 2n. De tal manera que la expresión queda *∑ () + ∑ () () b) Sea () . Luego, () () , () () () () , () () y luego de esto se repiten en el mismo orden. Es fácil darse cuenta que para derivadas n-ésimas con n par se tiene un coseno multiplicado por () , de la misma manera, para derivadas con n impar se tiene un seno multiplicado por () () . De esta manera, evaluadas las derivadas en , se tiene que () () () () y que () () () (()) () . Luego, () puede expresarse como una serie de Maclaurin: () () . Se escribe directamente 2n, en lugar de n, porque sólo se están considerando los números n pares. Sección 62 4. La función () () tiene problemas de continuidad en y . Luego puede describirse como una serie de Laurent para dos dominios. En primer lugar, si || , entonces evidentemente || y puede escribirse como una expansión de Taylor: . Con lo que () ( ) . En segundo lugar, si || , entonces | | y ( ) puede escribirse como expansión de Taylor: . Por lo tanto, () . Sección 72 2. a) Sea () * ( )+ ( || ). Se puede observar que tiene un polo de orden m = 1 y que su residuo es .

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Solución de algunos ejercicios de variable compleja del libro Churchill.

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  • Diego Gomez (201318237)

    Taller 3 de Variable Compleja

    Seccin 59

    3.

    Sea ( )

    . Como se sabe que

    , entonces al reemplazar z por

    , se

    tiene que: ( )

    (

    )

    ( )

    ( )

    . Esto se cumple cuando

    |

    | , que es lo mismo que

    | |

    , o | | .

    5.

    a)

    Se tiene que

    *

    ( )

    ( )

    +

    *

    ( ( ) )

    +. Como (

    ( ) ) es 0 cuando n es impar, slo hay que considerar los nmeros pares y se puede reemplazar n por

    2n. De tal manera que la expresin queda

    *

    ( )

    + ( )

    ( )

    b)

    Sea ( ) . Luego, ( )( ) , ( )( ) ( )( ) , ( )( ) y

    luego de esto se repiten en el mismo orden. Es fcil darse cuenta que para derivadas n-simas con n par se

    tiene un coseno multiplicado por ( ) , de la misma manera, para derivadas con n impar se tiene un

    seno multiplicado por ( )( ) . De esta manera, evaluadas las derivadas en , se tiene que

    ( )( ) ( ) ( ) y que ( )( ) ( )(( ) ) ( ) .

    Luego, ( ) puede expresarse como una serie de Maclaurin: ( )

    ( )

    . Se

    escribe directamente 2n, en lugar de n, porque slo se estn considerando los nmeros n pares.

    Seccin 62

    4.

    La funcin ( )

    ( ) tiene problemas de continuidad en y . Luego puede describirse

    como una serie de Laurent para dos dominios. En primer lugar, si | | , entonces evidentemente

    | | y

    puede escribirse como una expansin de Taylor:

    . Con lo que ( )

    ( )

    . En segundo lugar, si

    | | , entonces |

    | y

    (

    ) puede escribirse como expansin de Taylor:

    . Por lo tanto, ( )

    .

    Seccin 72

    2.

    a)

    Sea ( )

    * (

    )+

    ( | | ). Se puede

    observar que tiene un polo de orden m = 1 y que su residuo es

    .

  • Diego Gomez (201318237)

    b)

    Sea ( ) ( )

    * (

    ( )

    ( )

    )+

    ( | |

    ). Se puede observar que tiene un polo de orden m = 3 y que su residuo es

    .

    c)

    Sea ( ) ( )

    ( )

    ( ( ) )

    ( )

    ( ) ( ( ))

    ( )

    ( )

    ( ) *

    ( )

    ( ( ))

    ( ( ))

    +

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )( ) ( | | ). Se puede observar que tiene un

    polo de orden m = 2 y que su residuo es 2 ( ).

    3.

    a)

    Como ( ) es analtica en , se puede representar como una expansin de Taylor: ( ) (

    ) ( ) ( )

    . Debido a que ( ) es distinto de 0, la funcin ( )

    ( )

    ( ) , tal y como puede verse, tiene un polo de orden m = 1 (o lo que es

    lo mismo, un polo simple en ) con residuo ( ).

    b)

    Al igual que en el numeral anterior, se tiene que ( ) ( ) ( )

    ( ) . Pero esta vez, como ( ) , entonces ( ) ( )

    ( )

    . Luego es un punto singular removible.

    Seccin 74

    4.

    a)

    Sea ( ) ( )

    , donde ( )

    . Como ( ) es analtica en y ( ) , entonces el punto

    es un polo simple de orden m = 3 y el residuo es ( ) (

    )

    (

    ( ) )

    ( )

    , para el intervalo | | . Como la curva | | se encuentra dentro de este disco, se puede

    decir que

    ( )

    ( )

    .

    b)

    Sea ( ) ( )

    , donde ( )

    . Como ( ) es analtica en y ( ) , entonces el punto

    es un polo simple de orden m = 1 y el residuo es ( )

    , para el intervalo

    | | . Como la curva | | contiene a dos puntos singulares ( y ), su

    integral

    ( )

    ser igual a ( ( ( ) ( )) (

    ) .

    Seccin 76

    2.

    a)

  • Diego Gomez (201318237)

    Sea ( )

    ( ) ( ) Entonces ( ) ( )

    , ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . Luego

    es un polo de ( ) y (

    )

    ( )

    ( )

    .

    b)

    Sea ( ) ( )

    , ( ) ( ) ( ) Entonces ( ) ( ) ( )

    ( ) (suponiendo que t es un entero), ( ) ( ) y ( ) ( ) ( )

    . Luego es un polo de ( ) y ( ( )

    )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ). As mismo,

    ( ) ( ) ( ) ( ) (suponiendo que t es un entero), ( )

    ( ) y ( ) ( ) ( ) . Luego es un polo de ( ) y

    ( ( )

    )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ). Con esto, se tiene que (

    ( )

    )

    ( ( )

    ) ( ).

    4.

    Sea | | .

    a)

    Sea ( )

    , ( ) ( ) Entonces (

    ) , (

    ) , (

    )

    , (

    ) , (

    ) y (

    ) . Luego, tanto

    como

    son polos de ( ) y

    ( )

    ( )

    ( )

    y

    ( )

    ( )

    ( )

    . Como estos son los nicos

    polos que se encuentran en la regin rodeada por la curva

    ( ( )

    ( )) .

    b)

    Sea ( )

    , ( ) ( ) Entonces ( ) , ( )

    ( ) ( ) , (

    ) , (

    ) , (

    ) , (

    )

    , (

    ) y (

    ) . Luego, 0,

    y

    son todos polos de

    ( ) que se encuentran dentro de la regin rodeada por la curva (son los nicos que lo hacen). Como

    (

    )

    ( )

    ( )

    ,

    (

    )

    ( )

    ( )

    y

    (

    )

    ( )

    ( )

    ,

    entonces

    ( (

    )

    (

    )

    (

    )) .

    Seccin 79

    5.

    Sea ( )

    ( )( ) . Para dicha funcin hay 4 polos: y . Sea el crculo de radio

    y orientado positivamente, entonces se tiene que los polos y 2 se encuentran en la regin

    delimitada por la parte superior de y por el segmento , que va desde hasta

    . De esta manera, ( )

    ( )

    ( ), donde

    ( )( )

  • Diego Gomez (201318237)

    ( )( ) |

    y

    ( )( ) (

    ( )( ) )

    |

    (

    ( )( )

    ( ) ( )

    ( )( ) )|

    ( )

    ( )

    ( )

    . En el

    crculo | | se tiene que | | | | y que | | || | | y | |

    || | | . Luego | ( )|

    ( )( ) y | ( )

    |

    ( )( ) , que tiende a 0 cuando

    R tiende a . Con esto se concluye que ( )

    (

    )

    Como se trata de una

    funcin par, se tiene que ( )

    es la mitad de lo hallado, es decir,

    .

    7.

    Sea ( )

    ( )( ). Para esta funcin hay 4 polos: y . Sea el crculo de

    radio y orientado positivamente, entonces se tiene que los polos y se encuentran en la

    regin delimitada por la parte superior de y por el segmento , que va desde hasta

    . De esta manera, ( )

    ( )

    ( ), donde

    ( )( )

    ( )( )|

    ( )

    y

    ( )( )

    ( )( )|

    ( )

    ( )( )

    . En el crculo | | se tiene que | | | |

    y que | | || | | y | | || ||( )| | || ||| | | |

    ( ) . Luego | ( )|

    ( )( ) y | ( )

    |

    ( )( ) , que

    tiende a 0 cuando R tiende a . Con esto se concluye que ( )

    (

    )

    , que es lo mismo que el valor principal de Cauchy para la integral de ( ).

    Seccin 81

    3.

    Sea ( )

    ( ) , donde b es una constante positiva. Los polos de la funcin son . El punto es

    un polo de orden m=2 de la funcin ( ) con residuo (

    ( ) )

    |

    ( )

    ( ) |

    ( )

    . De esta manera, cuando , donde es el radio de una curva | |

    positivamente orientada, se tiene que

    ( )

    (( )

    ) ( )

    . Luego,

    ( )

    ( )

    (( )

    ( )

    ). Debido a que | ( )

    |

    | ( )

    |

    ( ) y este ltimo trmino tiende a 0 cuando R lo hace a , se puede decir que

    ( )

    ( )

    (( )

    ) ( )

    . Como ( ) y coseno son ambas funciones pares,

    entonces ( )

    ( )

    ( )

    .

    5.

  • Diego Gomez (201318237)

    Sea ( )

    . Los polos de la funcin son (

    )

    ( ). Los puntos son

    ambos polos simples de la funcin ( ) con residuos

    ( )( )( )|

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    y

    ( )( )( )|

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    . De esta forma, teniendo en cuenta

    una curva | | positivamente orientada, con , se tiene que

    (

    ( ) ( )

    ) ( )

    . Por lo tanto,

    ( )

    ( (

    ) ( )

    ). Ya que | ( )

    | | ( )

    |

    y este

    ltimo trmino tiende a 0 cuando R tiende a , se puede decir que ( )

    ( (

    )) (

    (

    )) (

    ( ))

    ( ).

    7.

    Sea ( )

    ( )( ). Los polos de la funcin son y . Los puntos y son ambos polos

    simples de la funcin ( ) con residuos

    ( )( )( )|

    y

    ( )( )( )|

    De esta manera, teniendo en cuenta una curva | | positivamente orientada, con

    , se tiene que

    ( )( )

    (

    ) ( )

    . Por lo tanto,

    ( )

    ( )( )

    ( (

    ) ( )

    ). Debido a que | ( )

    |

    | ( )

    |

    ( )( ) y este ltimo trmino tiende a 0 cuando R tiende a , se puede decir que

    ( )

    ( )( )

    ( (

    ))

    ( ).