Tarea 3 VC
5
Diego Gomez (201318237) Taller 3 de Variable Compleja Sección 59 3. Sea () . Como se sabe que ∑ , entonces al reemplazar z por , se tiene que: () ∑ ( ) ∑ () ∑ () . Esto se cumple cuando | |, que es lo mismo que || , o || √ . 5. a) Se tiene que *∑ () ∑ () + *∑ (() ) +. Como ( () ) es 0 cuando n es impar, sólo hay que considerar los números pares y se puede reemplazar n por 2n. De tal manera que la expresión queda *∑ () + ∑ () () b) Sea () . Luego, () () , () () () () , () () y luego de esto se repiten en el mismo orden. Es fácil darse cuenta que para derivadas n-ésimas con n par se tiene un coseno multiplicado por () , de la misma manera, para derivadas con n impar se tiene un seno multiplicado por () () . De esta manera, evaluadas las derivadas en , se tiene que () () () () y que () () () (()) () . Luego, () puede expresarse como una serie de Maclaurin: ∑ () () . Se escribe directamente 2n, en lugar de n, porque sólo se están considerando los números n pares. Sección 62 4. La función () () tiene problemas de continuidad en y . Luego puede describirse como una serie de Laurent para dos dominios. En primer lugar, si || , entonces evidentemente || y puede escribirse como una expansión de Taylor: ∑ . Con lo que () ∑ ( ) ∑ . En segundo lugar, si || , entonces | | y ( ) puede escribirse como expansión de Taylor: ∑ . Por lo tanto, () ∑ ∑ ∑ . Sección 72 2. a) Sea () * ( )+ ( || ). Se puede observar que tiene un polo de orden m = 1 y que su residuo es .
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Solución de algunos ejercicios de variable compleja del libro Churchill.
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Diego Gomez (201318237)
Taller 3 de Variable Compleja
Seccin 59
3.
Sea ( )
. Como se sabe que
, entonces al reemplazar z por
, se
tiene que: ( )
(
)
( )
( )
. Esto se cumple cuando
|
| , que es lo mismo que
| |
, o | | .
5.
a)
Se tiene que
*
( )
( )
+
*
( ( ) )
+. Como (
( ) ) es 0 cuando n es impar, slo hay que considerar los nmeros pares y se puede reemplazar n por
2n. De tal manera que la expresin queda
*
( )
+ ( )
( )
b)
Sea ( ) . Luego, ( )( ) , ( )( ) ( )( ) , ( )( ) y
luego de esto se repiten en el mismo orden. Es fcil darse cuenta que para derivadas n-simas con n par se
tiene un coseno multiplicado por ( ) , de la misma manera, para derivadas con n impar se tiene un
seno multiplicado por ( )( ) . De esta manera, evaluadas las derivadas en , se tiene que
( )( ) ( ) ( ) y que ( )( ) ( )(( ) ) ( ) .
Luego, ( ) puede expresarse como una serie de Maclaurin: ( )
( )
. Se
escribe directamente 2n, en lugar de n, porque slo se estn considerando los nmeros n pares.
Seccin 62
4.
La funcin ( )
( ) tiene problemas de continuidad en y . Luego puede describirse
como una serie de Laurent para dos dominios. En primer lugar, si | | , entonces evidentemente
| | y
puede escribirse como una expansin de Taylor:
. Con lo que ( )
( )
. En segundo lugar, si
| | , entonces |
| y
(
) puede escribirse como expansin de Taylor:
. Por lo tanto, ( )
.
Seccin 72
2.
a)
Sea ( )
* (
)+
( | | ). Se puede
observar que tiene un polo de orden m = 1 y que su residuo es
.
-
Diego Gomez (201318237)
b)
Sea ( ) ( )
* (
( )
( )
)+
( | |
). Se puede observar que tiene un polo de orden m = 3 y que su residuo es
.
c)
Sea ( ) ( )
( )
( ( ) )
( )
( ) ( ( ))
( )
( )
( ) *
( )
( ( ))
( ( ))
+
( )
( )
( )
( ) ( )
( )( ) ( | | ). Se puede observar que tiene un
polo de orden m = 2 y que su residuo es 2 ( ).
3.
a)
Como ( ) es analtica en , se puede representar como una expansin de Taylor: ( ) (
) ( ) ( )
. Debido a que ( ) es distinto de 0, la funcin ( )
( )
( ) , tal y como puede verse, tiene un polo de orden m = 1 (o lo que es
lo mismo, un polo simple en ) con residuo ( ).
b)
Al igual que en el numeral anterior, se tiene que ( ) ( ) ( )
( ) . Pero esta vez, como ( ) , entonces ( ) ( )
( )
. Luego es un punto singular removible.
Seccin 74
4.
a)
Sea ( ) ( )
, donde ( )
. Como ( ) es analtica en y ( ) , entonces el punto
es un polo simple de orden m = 3 y el residuo es ( ) (
)
(
( ) )
( )
, para el intervalo | | . Como la curva | | se encuentra dentro de este disco, se puede
decir que
( )
( )
.
b)
Sea ( ) ( )
, donde ( )
. Como ( ) es analtica en y ( ) , entonces el punto
es un polo simple de orden m = 1 y el residuo es ( )
, para el intervalo
| | . Como la curva | | contiene a dos puntos singulares ( y ), su
integral
( )
ser igual a ( ( ( ) ( )) (
) .
Seccin 76
2.
a)
-
Diego Gomez (201318237)
Sea ( )
( ) ( ) Entonces ( ) ( )
, ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . Luego
es un polo de ( ) y (
)
( )
( )
.
b)
Sea ( ) ( )
, ( ) ( ) ( ) Entonces ( ) ( ) ( )
( ) (suponiendo que t es un entero), ( ) ( ) y ( ) ( ) ( )
. Luego es un polo de ( ) y ( ( )
)
( )
( )
( )
( ). As mismo,
( ) ( ) ( ) ( ) (suponiendo que t es un entero), ( )
( ) y ( ) ( ) ( ) . Luego es un polo de ( ) y
( ( )
)
( )
( )
( )
( ). Con esto, se tiene que (
( )
)
( ( )
) ( ).
4.
Sea | | .
a)
Sea ( )
, ( ) ( ) Entonces (
) , (
) , (
)
, (
) , (
) y (
) . Luego, tanto
como
son polos de ( ) y
( )
( )
( )
y
( )
( )
( )
. Como estos son los nicos
polos que se encuentran en la regin rodeada por la curva
( ( )
( )) .
b)
Sea ( )
, ( ) ( ) Entonces ( ) , ( )
( ) ( ) , (
) , (
) , (
) , (
)
, (
) y (
) . Luego, 0,
y
son todos polos de
( ) que se encuentran dentro de la regin rodeada por la curva (son los nicos que lo hacen). Como
(
)
( )
( )
,
(
)
( )
( )
y
(
)
( )
( )
,
entonces
( (
)
(
)
(
)) .
Seccin 79
5.
Sea ( )
( )( ) . Para dicha funcin hay 4 polos: y . Sea el crculo de radio
y orientado positivamente, entonces se tiene que los polos y 2 se encuentran en la regin
delimitada por la parte superior de y por el segmento , que va desde hasta
. De esta manera, ( )
( )
( ), donde
( )( )
-
Diego Gomez (201318237)
( )( ) |
y
( )( ) (
( )( ) )
|
(
( )( )
( ) ( )
( )( ) )|
( )
( )
( )
. En el
crculo | | se tiene que | | | | y que | | || | | y | |
|| | | . Luego | ( )|
( )( ) y | ( )
|
( )( ) , que tiende a 0 cuando
R tiende a . Con esto se concluye que ( )
(
)
Como se trata de una
funcin par, se tiene que ( )
es la mitad de lo hallado, es decir,
.
7.
Sea ( )
( )( ). Para esta funcin hay 4 polos: y . Sea el crculo de
radio y orientado positivamente, entonces se tiene que los polos y se encuentran en la
regin delimitada por la parte superior de y por el segmento , que va desde hasta
. De esta manera, ( )
( )
( ), donde
( )( )
( )( )|
( )
y
( )( )
( )( )|
( )
( )( )
. En el crculo | | se tiene que | | | |
y que | | || | | y | | || ||( )| | || ||| | | |
( ) . Luego | ( )|
( )( ) y | ( )
|
( )( ) , que
tiende a 0 cuando R tiende a . Con esto se concluye que ( )
(
)
, que es lo mismo que el valor principal de Cauchy para la integral de ( ).
Seccin 81
3.
Sea ( )
( ) , donde b es una constante positiva. Los polos de la funcin son . El punto es
un polo de orden m=2 de la funcin ( ) con residuo (
( ) )
|
( )
( ) |
( )
. De esta manera, cuando , donde es el radio de una curva | |
positivamente orientada, se tiene que
( )
(( )
) ( )
. Luego,
( )
( )
(( )
( )
). Debido a que | ( )
|
| ( )
|
( ) y este ltimo trmino tiende a 0 cuando R lo hace a , se puede decir que
( )
( )
(( )
) ( )
. Como ( ) y coseno son ambas funciones pares,
entonces ( )
( )
( )
.
5.
-
Diego Gomez (201318237)
Sea ( )
. Los polos de la funcin son (
)
( ). Los puntos son
ambos polos simples de la funcin ( ) con residuos
( )( )( )|
( ) ( )
( )
( )
y
( )( )( )|
( ) ( )
( )
( )
. De esta forma, teniendo en cuenta
una curva | | positivamente orientada, con , se tiene que
(
( ) ( )
) ( )
. Por lo tanto,
( )
( (
) ( )
). Ya que | ( )
| | ( )
|
y este
ltimo trmino tiende a 0 cuando R tiende a , se puede decir que ( )
( (
)) (
(
)) (
( ))
( ).
7.
Sea ( )
( )( ). Los polos de la funcin son y . Los puntos y son ambos polos
simples de la funcin ( ) con residuos
( )( )( )|
y
( )( )( )|
De esta manera, teniendo en cuenta una curva | | positivamente orientada, con
, se tiene que
( )( )
(
) ( )
. Por lo tanto,
( )
( )( )
( (
) ( )
). Debido a que | ( )
|
| ( )
|
( )( ) y este ltimo trmino tiende a 0 cuando R tiende a , se puede decir que
( )
( )( )
( (
))
( ).
